山西省2020届高考数学3月考前适应性测试一模试题理
【数学】山西省2020届高三下学期3月适应性调研试题(理)(解析版)
2.在复平面内，复数 ，下列说法正确的是（）
A. 的实部为1B.
C. D. 在第一象限
【答案】B
【解析】 ，
位于第四象限， 的实部为 ， ，故选A、C、D错误；
，B正确，
故选：B．
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于选项A， 是 上的偶函数，不符合题意；
④已知点P、Q分别是 ， 的中点，点M为正方体表面上一点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为 .
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】对于①，因为满足条件的动点M是以 为轴线，以 为母线的圆锥与平面ABCD的交线，即圆的一部分，故①是正确的；
对于②，依题意知点M到点F的距离与到直线AB的距离相等，所以M的轨迹是以F为焦点，AB为准线的抛物线，故②是正确的；
故选：B．
8.某程序框图如图所示，其中 ，若输出的 ，则判断框内应填入的条件为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意， ，
运行该程序，
输入 ，判断框成立；
则 ， ，判断框成立；
则 ， ，判断框成立；
则 ， ，判断框成立；
…
则 ， ，判断框成立；
则 ， ，判断框不成立，输出 .
故判断框内应填入的条上存在最小值-2.则非零实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知可得：
①当 时，
函数 在区间 上存在最小值-2，
，可得 ；
②当 时， ，
函数 在区间 上存在最小值-2，
，可得： ；
综上所述，非零实数 的取值范围 ；
2020届山西省高三适应性调研数学(理)试题(解析版)
2020届山西省高三适应性调研数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}{}22|log 1,|0A x x B x x x =<=->，则A B =I （ ）A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <„D ．{|14}x x <„【答案】A【解析】解对数不等式和一元二次不等式化简集合,A B ，再进行交运算，即可得答案. 【详解】由题意得{}2|log 1{|02},{|(1)0}{|0A x x x x B x x x x x =<=<<=->=<或1}x >，∴{|12}A B x x =<<I . 故选：A. 【点睛】本题考查数不等式和一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.2．已知复数z 满足21iz i -=+，则z =（ ） A ．132i+ B ．132i - C ．32i +D ．32i- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】 ∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i ----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 【答案】D【解析】对A 选项，可直观感知每年的产出是逐渐增高；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出． 【详解】对A 选项，每一年小矩形高是逐渐增高的，可直观发现每年产值是逐渐增高，故A 正确；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓，故B 正确； 对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大，故C 正确；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出，故D 错误．故选D ． 【点睛】本题主要考查数学阅读理解能力及从图中提取信息的能力，属基础题． 4．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10 B ．24C ．32D ．56【答案】D【解析】先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案.【详解】 ∵444111(12)1(12)(12)x x x x x⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭， ∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=，41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=， 故2x 的系数为243256+=. 故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案. 【详解】∵()1x f x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 6．函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x 是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，//,2,3AD BC AD BC ==，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行【答案】D【解析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，证明//AG DH ，且AG DH =，即可得答案. 【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在三角形PBC 中23PGPH PB PC ==， 所以//GH BC ，且223GH BC ==， 又因为//AD BC 且2AD =，所以//GH AD ，且GH AD =， 所以四边形ADHG 为平行四边形， 所以//AG DH ，且AG DH =.在PDH △中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，所以//EF DH ，且12EF DH =， 所以//EF AG ，且12EF AG =，即2AG EF =，故选：D.【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意利用线段的比例关系，证明平行.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ） A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【答案】A【解析】根据22a =，728S =，求得n a ，再利用裂项相消法求n T ，令2020n =代入n T ，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1774772a a S a +==. 设公差为d ，因为272,28a S ==，所以()112,7328,a d a d +=⎧⎨+=⎩解方程组得11,1,a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=， 所以111(1)n n a a n n +=⨯+.设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和， 则11111122334(1)(1)n T n n n n =+++⋯++⨯⨯⨯-⨯⨯+ 111111122331n n =-+-++⋯+-+ ∴2020111111111122334202012020202020201T =-+-+-++-+--+L 12020120212021=-=故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和.9．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ． 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.10．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7,02C p ⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ，若2CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值为 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：设点A，则因为，所以由2CF AF =可得，再由抛物线的定义可得：，即，所以，，所以的面积为，所以ACE ∆的面积为，所以，即，故应选A .【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质.11．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A ．3B ．36C ．324D ．348【答案】B【解析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径， 所以2AB =，且1,AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，所以111113326A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12．设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【答案】A【解析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<„，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点， 因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<„， 所以52222ϕϕωππ-<-„， 所以5342222ππωππ-<-„，即15783ω<„，满足的只有A.【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.二、填空题13．若||3a =r ，||2b =r，|+2|a b =r r a r 与b r的夹角为________. 【答案】3π 【解析】设a r 与b r的夹角为θ，对等式|+2|a b =r r 两边平方，再利用向量的数量积运算，求得cos θ的值，即可得答案. 【详解】设a r 与b r的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=r r r r r r ，解得：1cos 2θ=，所以3πθ=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查向量的夹角、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________. 【答案】1514【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}12n S a -的等比中项性质可得公比q ，再代入等比数列的前n 项和公式中，即可得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =， ∴4211231241332315(1)1587(1)144Sa q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++. 故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g . 【答案】1520 150010,{1,2,3,4,5}n n +∈【解析】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案. 【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个， 此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解.16．已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⋅u u u u u u u r u u r u u u u r u u r r u ，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠【解析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF V 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11||12OQ AF ==， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠.【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值．【答案】（1）3B π=（2）14【解析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c BC b=可求． 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以b =由正弦定理可得，sin sin 14c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【答案】（1）分布列见解析，2.6（2）40000尾【解析】（1）由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，利用相互独立事件同时发生的概率，可计算(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====的值，进而得到分布列和期望；（2）依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.95，计算一尾乙种鱼苗的平均收益，进而计算n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，再解不等式，即可得答案. 【详解】（1）记随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则(0)0.20.10.10.002P X ==⨯⨯=，(1)0.80.10.10.20.90.10.20.10.90.044P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)0.80.90.90.648P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为()00.00210.04420.30630.648 2.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+⨯=， 所以一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4⨯-⨯=元. 设购买n 尾乙种鱼苗，()E n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则()9.4376000E n n =…，解得40000n …. 所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、利润最大化的决策问题，考查函数与方程思想、，考查数据处理能力.19．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB △和POA V 的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题. （ⅰ）证明：//EF 平面PAQ ；（ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）见解析（ⅱ25【解析】（1）证明PC 垂直平面PAD 内的两条相交直线,AD PD ，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，再由线面平行的判定定理证得结论；（ⅱ）由PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量(2,2,1)n =r ，平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，求两向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值. 【详解】（1）因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥， 又,AD PD D PD ⋂=⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，而PC ⊂平面PBC ，故平面PAD 平面PBC .（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为两个三角形的重心，∴23PE PF PM PN ==，//EF MN 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面,PAQ EF ⊄平面PAQ ，所以//EF 平面PAQ . （ⅱ）PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(2,2,0)P A B PA AB =-=-u u u r u u u r，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0,n PA n AB ⋅=⎧⎨⋅=⎩vu u u v v即220,220,x z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩可取(2,2,1)n =r，又平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，所以5cos ,5||||5n m n m n m ⋅〈〉===r u rr u r r u r ，所以25sin ,5n m 〈〉=r u r . 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为25.【点睛】本题考查空间中的线面平行、面面垂直、二面角的向量求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系前必需证明三条直线两两互相垂直.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知12PF F △的内切圆半径的最大值为33，椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q不与,A B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2||AB GF 为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时3r =即可得到b 的值，再利用离心率求得,a c ，即可得答案；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求得||AB ，利用AB 的垂直平分线方程求得G 的坐标，两个都用m 表示，代入2||AB GF 中，即可得答案. 【详解】 （1）由题意知：12c a =，∴2222,a c b a c ==-，∴b =. 设12PF F △的内切圆半径为r ， 则()12121211(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+⋅V ， 故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =所以()3a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得：2,a b ==， 所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()2122121|||3434m AB y m m +===++. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m 的表达式，进而求证得到定值. 21．已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x -+---+'=+-==>.①当0a „时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增； ②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=， 所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程； （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案. 【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法. 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）答函数()y f x =的图象最低点为(,)m m ，正数,a b 满足6ma mb +=，求23a b+的取值范围.【答案】（1）[1,3]x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）讨论绝对值内数的正负，对x 分成三段，再解不等式组即可得答案； （2）求出函数图象最低点坐标为(2,3)，利用1的代换、基本不等式求最值. 【详解】第 21 页 共 21 页 （1）33,2,()5,12,33,1,x x f x x x x x -⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„所以由()6f x „可得2,336,x x ⎧⎨-⎩…„或12,56,x x -<<⎧⎨-+≤⎩或1,336,x x -⎧⎨-+⎩„„ 解得：[2,3]x ∈或(1,2)x ∈-或1x =-.综上[1,3]x ∈-.（2）因为33,2,()5,12,33,1,x x f x x x x x -⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„，所以当2x =时，min ()3f x =，最低点为(2,3)，即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当65a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用基本不等式求最值，要验证等号能否取到.。
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|320}A x x x =-+…，{|1}B x x a =+…，若A B R =U ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，)+∞B ．(-∞，2]C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]2．（5分）若复数z 满足(12)z i i =-g ，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知1a b >>，0c <，则( ) A ．c ca b< B ．a b c c <C ．c c a b <D ．log ()log ()a b b c a c ->-4．（5分）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1-B ．CD ．15．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．26．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = ) A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．（5分）平面向量a r，b r 共线的充要条件是( )A ．||||a b a b =r rr r gB ．a r，b r 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，b a λ=r rD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r8．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为() A ．16B ．14 C ．13D ．129．（5分）把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位后，得到函数()y g x =的图象．则()g x 的解析式是( ) A ．2()sin ()12g x x π=+B ．1()cos(2)212g x x π=--C ．11()cos(2)262g x x π=--+D ．11()sin(2)262g x x π=-+10．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +„（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]11．（5分）已知抛物线2:8C x y =，过点0(M x ，0)y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则0y 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．不能确定12．（5分）点M 在曲线:3G y lnx =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数122log (01),()1(1),x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩„则1(())8f f = ．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆则A = ．15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为 ．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是，1]2③α与平面11CDD C所成锐二面角的正切值为④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设12n nnc b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：（1）填写下面22x 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[45，55)，[25，35)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据22()()()()()n adbc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AA C C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D ．（Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面11AA C C ； （Ⅱ）求二面角111A B C A --的余弦值．20．（12分）已知椭圆22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点3(1,)2． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知BMN ∆是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为BMN ∆的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．21．（12分）已知函数2()()f x xlnx ax a R =-∈． （1）讨论函数的极值点个数；（2）若()()g x f x x =-有两个极值点1x ，2x ，试判断12x x +与12x x g 的大小关系并证明． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点(0,2)M ，倾斜角为34π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|320}A x x x =-+…，{|1}B x x a =+…，若A B R =U ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，)+∞B ．(-∞，2]C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]【解答】解：Q 集合2{|320}{|1A x x x x x =-+=厔或2}x …， {|1}{|1}B x x a x x a =+=-厖，A B R =U ，11a ∴-„，解得2a „，∴实数a 的取值范围是(-∞，2]．故选：B ．2．（5分）若复数z 满足(12)z i i =-g ，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(12)2z i i i =-=+g ，2z i =-在复平面内所对应的点(2,1)-位于第四象限．故选：D ．3．（5分）已知1a b >>，0c <，则( ) A ．c ca b< B ．a b c c <C ．c c a b <D ．log ()log ()a b b c a c ->-【解答】解：①由于1a b >>，所以110a b<<，0c <，故c c a b >，选项A 错误．②当2c =-，3a =，2b =时，a b c c >，故选项B 错误． ③由于1a b >>，0c <，故c c a b <，选项C 正确．④由于1a b >>，0c <，所以a c b c ->-，故log ()log ()a b b c a c -<-，故错误． 故选：C ．4．（5分）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1-B ．2-C ．2 D ．1【解答】解：Q 已知sin cos 2,(0,)αααπ-=∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-， 故322πα=，34πα∴=，tan 1α=-． 故选：A ．5．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：模拟程序的运行，可得 3a =，1b = 1n =92a =，2b = 不满足条件a b „，执行循环体，2n =，274a =，4b = 不满足条件a b „，执行循环体，3n =，818a =，8b = 不满足条件a b „，执行循环体，4n =，24316a =，16b =此时，满足条件a b …，退出循环，输出n 的值为4． 故选：B ．6．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = ) A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-【解答】解：设公比为q ，易知1q ≠．由133813a a S =-⎧⎨=⎩得211318(1)131a a q a q q⎧=-⎪⎨-=⎪-⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩或125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，当113a q =⎧⎨=⎩时，213a a q ==；当125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21353a a q ==-所以23a =或2353a =-， 故选：D ．7．（5分）平面向量a r，b r 共线的充要条件是( )A ．||||a b a b =r rr r gB ．a r，b r 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，b a λ=r rD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r【解答】解：由共线向量基本定理可知，若平面向量a r，b r 共线，则存在不为零的实数λ，使(0)b a a λ=≠r rr r ， 即0a b λ-=r r r ，其等价命题为存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r． 故选：D ．8．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为() A ．16B ．14 C ．13D ．12【解答】解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研， 每个县区至少派一位专家，基本事件总数234336n C A ==， 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数2122326m C C A ==， ∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为61366m p n ===． 故选：A ．9．（5分）把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位后，得到函数()y g x =的图象．则()g x 的解析式是( ) A ．2()sin ()12g x x π=+B ．1()cos(2)212g x x π=--C ．11()cos(2)262g x x π=--+D ．11()sin(2)262g x x π=-+【解答】解：把函数211()sin cos222f x x x ==-的图象向右平移12π个单位后， 得到函数11()cos(2)226y g x x π==--的图象， 故选：C ．10．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +„（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]【解答】解：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，则212(log )(log )2f a f a f +„（1）为：2(log )f a f „（1），因为函数()f x 在区间[0，)+∞上单调递增， 所以2|log |1a „，解得122a 剟，则a 的取值范围是1[2，2]，故选：A ．11．（5分）已知抛物线2:8C x y =，过点0(M x ，0)y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则0y 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．不能确定 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，12x x ≠，由28x y =，可得4xy '=，所以14MA x k =，24MB x k =， 因为过点0(M x ，0)y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ， 所以，21144MA MB x x k k ==-g g ，可得1216x x =-，直线MA 的方程为：111()4xy y x x -=-，114()x x y y =+⋯①，同理直线MB 的方程为：222()4x y y x x -=-，224()x x y y =+⋯②， ①2x ⨯-②1x ⨯，可得1228x x y ==-，即02y =-， 故选：B ．12．（5分）点M 在曲线:3G y lnx =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：设1(M x ，13)lnx ，则直线1:l x x =，由11x x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩可得11y x =，即1(N x ，11)x ，11(233OM ON OP x +==u u u u r u u u r u u u r ，111213)(3x lnx x +=，111)3lnx x +， 又P 的纵坐标始终为0，即11103lnx x +=， 可令1()(0)3f x lnx x x =+>，导数为221131()33x f x x x x -'=-=，由()0f x '=，可得13x =， 则当103x <<时，()0f x '<，()f x 递减；13x >时，()0f x '>，()f x 递增．可得()f x 在13x =处取得极小值，且为最小值11()11333f ln ln =+=-， 由130ln -<，则()f x 在(0,)+∞有两个零点，即方程11103lnx x +=有两个不等实根，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数122log (01),()1(1),x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩„则1(())8f f = 8 ．【解答】解：Q 函数122log (01),()1(1),x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩„则1211()log 388f ==；∴1(())8f f f =（3）2318=-=．故答案为：8．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆则A = 23π．【解答】解：由余弦定理可得2222cos a b c bc A --=-， ABC ∆cos A =，又因为1sin cos 2ABC S bc A A ∆==，所以tan A =， 由(0,)A π∈可得23A π=． 故答案为：23π 15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =【解答】解：1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =， 可知：212PF F F ⊥，22||b PF a=，1222tan 3c F PF b a∠==，即2223()ac c a =-，可得23230e e --=，1e >， 3e ∴=．故答案为：3．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是2[，1]2③α与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为22④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ①②③④ ．（写出所有正确的命题序号） 【解答】解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取1CC 和11C D 的中点为M ，N ，连接MN 、1MB 、1NB ，则1//MN A B ，11//MB EA ，MN Q 、1MB ⊂平面1MNB ，1A B 、1EA ⊂平面1A BE ，且1MN M B M =I ，111A B EA A =I ，∴平面1//MNB 平面1A BE ，∴当F 在MN 上运动时，始终有1//B F 平面1A BE ，即平面1MNB 就是平面α．对于①，当F 为线段MN 的中点时，11MB NB =Q ，1B F MN ∴⊥，1//MN CD Q ，11B F CD ∴⊥，即①正确；对于②，11//BC B C Q ，∴直线1B F 与直线11B C 所成的角即为所求，11B C ⊥Q 平面1MNC ，1C F ⊂平面1MNC ，111B C C F ∴⊥，∴直线1B F 与直线11B C 所成的角为11FB C ∠，且11111tan FC FB C B C ∠=， 而1FC的取值范围为，112B C =，所以11tan FB C ∠∈1]2，即②正确； 对于③，平面1MNB 与平面11CDD C 所成的锐二面角即为所求， 取MN 的中点Q ，因为11B C ⊥平面1MNC ，所以11B QC ∠就是所求角，而11111tan B C B QC QC ∠==③正确； 对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面11BCC B ，平面11ADD A ，平面1111A B C D ，平面ABCD ，即④正确．故答案为：①②③④．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设12n n nc b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）由已知得：1221a b b b +=，11a ∴=．又{}n a Q 是公差为1的等差数列，n a n ∴=．11n n n n a b b nb +++=Q ，1(1)n n n b nb +∴+=，所以数列{}n nb 是常数列，11n nb b ∴==，1n b n∴=； （2）由（1）得：11()22nn n n c n b ==g ， 23111112()3()()2222n n S n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+g ①，又2341111111()2()3()()22222n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋯+g ②， 由①-②可得：231111111()()()()222222n n n S n +=+++⋯+-g111[1()]122()1212n n n +-=--g111(2)()2n n +=-+g ，12(2)()2n n S n ∴=-+g ．18．（12分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：（1）填写下面22x 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[45，55)，[25，35)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据22()()()()()nad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【解答】解：（1）根据题意填写22x 列联表，计算2250(297113)6.272 6.63540103218K⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算22842210584(0)225C CP XC C===gg，211128482422105104(1)225C C C C CP XC C+===g g gg，11122824242210535(2)225C C C C CP XC C+===g g gg，2124221052(3)225C CP XC C===gg；所以随机变量X的分布列为：X0123P84225104225352252225所以X的数学期望为841043524()01232252252252255E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，已知四边形11AA C C为矩形，16AA=，4AB AC==，160BAC BAA∠=∠=︒，1A AC∠的角平分线AD交1CC于D．（Ⅰ）求证：平面BAD⊥平面11AA C C；（Ⅱ）求二面角111A B C A--的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，过点D作//DE AC交1AA于E，连接CE，BE，设AD CE O=I，连接BO，1AC AA⊥Q，DE AE∴⊥，又AD为1A AC∠的角平分线，∴四边形AEDC为正方形，CE AD∴⊥，又AC AE =Q ，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=， 又O Q 为CE 的中点，CE BO ∴⊥，又AD Q ，BO ⊂平面BAD ，AD BO O =I ，CE ∴⊥平面BAD ． 又CE ⊂Q 平面11AA C C ，∴平面BAD ⊥平面11AA C C ．（Ⅱ）在ABC ∆中，4AB AC ==Q ，60BAC ∠=︒，4BC ∴=， 在Rt BOC ∆中，Q 1222CO CE ==，∴22BO =，又4AB =，1222AO AD ==，222BO AO AB +=Q ，BO AD ∴⊥， 又BO CE ⊥，AD CE O =I ，AD ，CE ⊂平面11AA C C ，BO ∴⊥平面11AA C C ， 故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2A ，2-，0)，1(2A ，4，0)，1(2C -，4，0)，1(0,6,22)B ， ∴11(2,2,22)C B =u u u u r ，1(4,6,0)AC =-u u u u r，11(4,0,0)C A =u u u u r ， 设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =r，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u r r u u u u r r ，∴1111146022220x y x y z -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令16x =，得(6,4,52)m =-r，设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =r，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u r r u u u u r r ，∴22224022220x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令22y =，得(0,2,1)n =-r ， ∴92317cos ,||||1023m n m n m n <>===r r g r r r r g g ，故二面角111A B C A --的余弦值为317．20．（12分）已知椭圆22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点3(1,)2．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知BMN ∆是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为BMN ∆的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．【解答】解：（1）由题意可得：2222211914c a b c a b=⎧⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）设(,)B m n ，记线段MN 中点D ，因为O 为BMN ∆的重心，所以2BO OD =u u u r u u u r ，则点D 的坐标为：(2m -，)2n-，若0n =，则||2m =，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为||2m ，即为1， 若0n ≠，此时直线MN 的斜率存在，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则12x x m +=-，12y y n +=-， 又2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，可得：121234MN y y mk x x n-===--， 故直线MN 的方程为：3()422m m n y x n =-+-，即2268340mx ny m n +++=， 则点O 到直线MN的距离22d =将22143m n +=，代入得d =因为203n <…，所以min d =，1<， 故原点O 到直线MN．21．（12分）已知函数2()()f x xlnx ax a R =-∈． （1）讨论函数的极值点个数；（2）若()()g x f x x =-有两个极值点1x ，2x ，试判断12x x +与12x x g 的大小关系并证明． 【解答】解：（1）1()221(0)f x lnx x ax lnx ax x x'=+-=-+>g ，令()0f x '=，得12lnx a x +=，记1()lnx Q x x +=，则2()lnxQ x x-'=， 令()0Q x '>，得01x <<；令()0Q x '<，得1x >，()Q x ∴在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞ 上是减函数，且()max Q x Q =（1）1=，∴当21a >，即12a >时，()0f x '= 无解，()f x ∴ 无极值点， 当21a =，即12a =时，()0f x '=有一解，12lnxa x+…，即210lnx ax -+„，()0f x '„ 恒成立，()f x ∴无极值点，当021a <<，即102a <<时，()0f x '=有两解，()f x ∴有2个极值点， 当20a „，即0a „时，()0f x '=有一解，()f x ∴有一个极值点，综上所述：当12a …时，()f x 无极值点；102a <<时，()f x 有2个极值点；当0a „时，()f x 有1个极点；（2）2()g x xlnx ax x =--，()2(0)g x lnx ax x '=->， 令()0g x '=，则20lnx ax -=，2lnxa x∴=， 记()lnxh x x=，则21()lnx h x x -'=，由()0h x '>得0x e <<，由()0h x '<，得x e >，()h x ∴在(0，e )上是增函数，在(,)e +∞上是减函数，()max h x h =（e ）1e=，当x e >时，()0f x >，∴当102a e<<即112a e <<时()g x 有2个极值点1x ，2x ，由112222lnx ax lnx ax =⎧⎨=⎩得，121212()2()ln x x lnx lnx a x x =+=+，∴1212()2ln x x a x x =+，不妨设12x x <，则121x e x <<<，122x x x e ∴+>>， 又()h x 在(,)e +∞ 上是减函数，∴1221212212()()2ln x x lnx ln x x a x x x x x +<==++， 1212()()ln x x ln x x ∴+<， 1212x x x x ∴+<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点(0,2)M ，倾斜角为34π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB +的值． 【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，转换为直角坐标方程为22(3)9x y -+=．直线l 过点(0,2)M ，倾斜角为34π．整理得参数方程为(2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22(3)(2)9-+=，整理得240t ++=，所以：12t t +=-124t t =，所以求1212||11||||||4t t MA MB t t ++==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，21,2()|1||2|3,1221,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=++-=-⎨⎪-+<-⎩剟． ()4f x <Q ，∴2214x x >⎧⎨-<⎩或1234x -⎧⎨<⎩剟或1214x x <-⎧⎨-+<⎩， ∴522x <<或12x -剟或312x -<<-，∴3522x -<<， ∴不等式的解集为35{|}22x x -<<． （2）Q 对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=， 224m m ∴-+的取值范围是()f x 值域的子集．()|1||2||21|f x x x a a =++-+Q …，()f x ∴的值域为[|21|a +，)+∞，又2224(1)33m m m -+=-+…，|21|3a ∴+„，21a ∴-剟，∴实数a 的取值范围为[2-，1]．。
山西省太原市2020届高三数学模拟试题(一)理(含解析)
太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对集合化简，求出.【详解】，，，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的交集运算,本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数的真数要大于零.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出.【详解】，故本题选C.【点睛】本题考查复数的除法运算.3.下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B. 若，则C. 若命题“是真命题”，则命题“是真命题”D. 命题“，”的否定是“，”【答案】D【分析】对于选项A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意成立时，这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项D：含有特称量词命题否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。
【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项A是假命题；选项B:或者，所以选项B是假命题；选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用，构造出关于的双齐式，进行求解。
【详解】，因为，所以，原式故本题选B。
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。
重点考查了同角三角函数之间的关系。
5.已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C. 1 D. 0【答案】A【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。
山西省太原市2020年高三一模理科数学试题文字版带解析
太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理科）（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N=（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.32134．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a 7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ） A.189 B.63 C.42 D.21。
山西省2020届高三考前适应性测试数学(理)试题 Word版含解析
理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},2B x y y x ==+，则AB 中元素的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】联立方程解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，得到答案.【详解】22y x y x ⎧=⎨=+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，故A B 中有两个元素.故选：C.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（ ） A. ②③ B. ①③ C. ②D. ①②【答案】A 【解析】 【分析】根据折线统计图即可判断．【详解】①建国以来有一段时间年龄中位数低于20，为年轻型人口，所以①错误； ②从2010年至2020年年龄中位数在30岁以上，为“老龄型”人口，正确， ③放开二孩政策之后我国年龄中位数在30岁以上，仍为“老龄型”人口，正确， 故选：A ．【点睛】本题考查了折线统计图，考查了合情推理的问题，属于基础题．3.函数()311x e x f x lnx x ⎧-=⎨≥⎩，＜，，则关于函数()f x 的说法不正确的是（ ）A. 定义域为RB. 值域为(3,)-+∞C. 在R 上为增函数D. 只有一个零点【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的解析式即可判断()f x 的定义域为R ，且在R 上为增函数，只有一个零点1x =,从而判断出说法不正确的选项．【详解】()311x e x f x lnx x ⎧-=⎨≥⎩＜，()f x ∴的定义域为R ，值域为(3,3)[0,)e --⋃+∞，且对于1x <时30x e -<，明显地，()f x 在R 上为增函数，且(1)0f =，()f x ∴只有一个零点． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，分段函数、指数函数和对数函数的单调性的判断，函数零点的定义及求法，考查了计算和推理能力，属于基础题．4.在四边形ABCD 中，()3,1AC =-，()2,BD m =，AC BD ⊥，则该四边形的面积是（ ）B. C. 10D. 20【答案】C 【解析】 【分析】由AC BD ⊥可知0AC BD ⋅=,利用坐标运算求出m ,再求四边形的面积即可.【详解】因为()3,1AC=-,()2,BD m=,AC BD⊥,所以()3210AC BD m⋅=⨯+-=,即6m=,所以四边形的面积为()22223126102AC BD⋅+-⋅+==,故选:C.【点睛】本题主要考查向量垂直的应用,考查数量积的坐标运算,属于基础题.5.天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.第一颗被描述的经典造父变星是在1784年.上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是（）A. 5.5，3.7B. 5.4，4.4C. 6.5，3.7D. 5.5，4.4 【答案】A【解析】【分析】结合图象可知,两个相邻最高点或最低点的位置横向差即为周期，再结合视星等的数值越小，亮度越高，取视星等的最小数值即可得出最亮时的视星等.【详解】根据图象可知，两个相邻最高点或最低点的位置横向相差约为5.5，故可以估计周期约为5.5；又视星等的数值越小，亮度越高，故最亮时视星等约为3.7；故选：A.【点睛】本题考查图象的基本应用,考查学生的分析理解能力，难度不大.6.双曲线1C：22221x ya b-=与2C：22221x yb a-=（0a b>>）的离心率之积为4，则1C的渐近线方程是（）A. y x=± B. (23y x=± C. 2y x=± D.()23y x =±+【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知4c c a b ⨯=,即24c ab =,即224a b ab +=,据此可解出23ba=-,从而可得出双曲线1C 的渐近线方程.【详解】因为双曲线1C :22221x y a b-=与2C :22221x y b a -=(0a b >>)的离心率之积为4,所以4c ca b⨯=,即24c ab =, ∴224a b ab +=,即4b aa b+=,因此2410b b a a ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭, ∵0a b >>,故23ba=-, ∴双曲线1C 的渐近线方程为()23y x =±-, 故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的应用,考查双曲线渐近线的求法,难度不大.7.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸中小正方形的边长为1，则此几何体的体积是（ ）A. 279π+B. 2712π+C. 33πD. 189π+【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知,该几何体上半部分是一个底面半径为3,高为3的圆柱,下半部分是一个底面边长为高为2的正四棱锥,利用体积计算公式分别求出圆柱和棱锥的体积,即可得出几何体的体积.【详解】由三视图可知,该几何体是由一个底面半径为3,高为3的圆柱,和一个底面边长为高为2的正四棱锥组合而成,圆柱的体积为23327ππ⋅⋅=,正四棱锥的体积为(212123⋅⋅=,所以几何体的体积为2712π+, 故选:B.【点睛】本题考查利用三视图还原几何体,考查几何体体积的求法,难度不大.8.已知Rt ABC 中，90A ∠=，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其内切圆半径为r ，由12ABC S bc =△，又111222ABC S ar br cr =++△，可得bc r a b c=++.类比上述方法可得：三楼锥P ABC -中，若90BAC ∠=，PA ⊥平面ABC ，设ABC 的面积为1S ，PAB △的面积为2S ，PAC 的面积为3S ，PBC 的面积为4S ，则该三棱锥内切球的半径是（ ）123412341234D.1234【答案】B 【解析】 【分析】设PA a =，AB b =，AC c =，则1136P ABC ABC V S PA abc -=⋅⋅=△，12abc =， 123412abcR S S S S =+++，化简得到答案. 【详解】设PA a =，AB b =，AC c =，则1136P ABC ABC V S PA abc -=⋅⋅=△， 又123411113333p ABCV S R S R S R S R -=+++，∴12341234132P ABC abc V R S S S S S S S S -==++++++.又∵112=S bc ，212S ab =，312S ac =.∴22212318S S S a b c =.∴12abc =，∴1234R =.故选：B.【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的计算能力和推理能力.9.6312x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，常数项是（ ） A. 220 B. 220-C. 924D. 924-【答案】B 【解析】 【分析】()122636112x x x x x-⎛⎫-+=⎪⎝⎭，利用二项式定理计算得到答案.【详解】()12626423611212x x x x x x x x -⎛⎫-+⎛⎫-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即求分子展开式中6x 项的系数.分子二项展开式的通项为()()122121C rrrx --，令2426r -=，解得9r =，此时()()129992612C 1220x x --=-，故原式展开后，常数项220-.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10.函数2()22sin f x x x =+，若12()()3f x f x =-，则12x x +的最小值是（ ）A.23πB.4π C.3π D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】由题得A B C π++=，所以12(),()f x f x 分别是函数的最小（大）值和最大（小）值. 不妨设12(),()f x f x 是函数的最小值和最大值，求出121226k k x x ππ++=+即得解.【详解】由题得2()22sin 2cos 212sin(2)16f x x x x x x π=+=-+=-+，所以()[1,3]f x ∈-. 因为12()()3f x f x =-，所以12(),()f x f x 分别是函数的最小（大）值和最大（小）值. 不妨设12(),()f x f x 是函数的最小值和最大值， 所以11111122,,,626x k k Z x k k Z πππππ-=-∈∴=-∈.22222222+,,+,623x k k Z x k k Z πππππ-=∈∴=∈,所以()12126x x k k ππ+=++,当120k k +=时，12x x +的最小值是6π. 故选：D【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB AD ==，14AA =，M 是1BB 的中点，点P 在长方体内部或表面上，且//MP 平面11AB D ，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是（ ） A. 6B.C. D. 9【答案】D 【解析】 【分析】设E ,F ,G ,H ,N 分别为11B C ,11C D ,1DD ,DA ,AB 的中点,则11////EF B D NH ,1////MN B A FG ,所以平面//MEFGHN 平面11AB D ,所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部,因此,结合题中所给数据即可求出六边形MEFGHN 的面积2EFGH S S =梯形.【详解】如图所示,设E ,F ,G ,H ,N 分别为11B C ,11C D ,1DD ,DA ,AB 的中点, 则11////EF B D NH ,1////MN B A FG , 所以//NH 平面11AB D ,//MN 平面11AB D , 又NHMN N =,所以平面//MEFGHN 平面11AB D ,所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部, 因为2AB AD ==,14AA =, 所以2EF HN ==5EM MN FG GH ====,22GM =E 到GM 2232522⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以六边形MEFGHN 的面积2223222922EFGH S S ==⨯=梯形, 故选:D.【点睛】本题主要考查空间中平行的应用,考查学生的空间思维及计算能力,属于中档题.12.数列{}n a 中，156a =，()()1251056515n n n n a a n n a n ++=++++，则99a =（ ） A.12019B.20182019C.12020D.20192020【答案】C 【解析】 【分析】化简得到()()()152325n n n n a n a n a +++=++，记()2n n b n a =+，得到11115n n b b +=+，1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以15为公差的等差数列，计算得到答案. 【详解】由()()()()()125105232556515nnn n n n a n a a n n a n n a n +++==+++⎡⎤++++⎣⎦，故()()()152325n n n n a n a n a +++=++，记()2n n b n a =+，则155nn n b b b +=+，两边取倒数，得11115n n b b +=+，所以1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以15为公差的等差数列， 又1111235b a ==，所以()12111555n n n b +=+-=，所以()()5212n n b a n n n ==+++，故99511001012020a ==⨯.故选：C.【点睛】本题考查了数列的通项公式，确定1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以15为公差的等差数列是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知复数32iz i+=（i 为虚数单位），则z =______.【解析】 【分析】化简得到12z i =-+，得到模长. 【详解】32212i iz i ii ++===-+-，z【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力.14.等差数列{}n a 中，418a =，2030a =，则满足不等式n a n >的正整数n 的最大值是______.【答案】59 【解析】 【分析】计算得到6034n n a +=，解不等式6034n na n +=>得到答案. 【详解】由412013181930a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得163434a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即6034n n a +=，又6034n na n +=>，解得60n <，故正整数n 的最大值为59. 故答案为：59.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，解不等式，意在考查学生的计算能力.15.设1F ，2F 分别为椭圆C ：2214xy +=的左、右焦点，A ，B 分别为C 上第二、四象限的点，若四边形12AF BF 为矩形，则该矩形的面积是______，AB 所在直线的方程是______. 【答案】(1). 2 (2). 4y x =- 【解析】 【分析】计算得到122AF AF =⋅，得到面积，联立方程得到A ⎛ ⎝⎭，AB 过坐标原点，计算得到答案.【详解】由已知得122AF AF a +=①，222124AF AF c +=②，①2-②得122AF AF =⋅，∴矩形12AF BF 的面积为122S AF AF =⋅=.矩形12AF BF 的外接圆方程为223x y +=，与椭圆C的方程联立得A ⎛ ⎝⎭.又AB 过坐标原点，∴AB的斜率为4AB OA k k ==-， ∴AB所在直线的方程为4y x =-. 故答案为：2；y x =.【点睛】本题考查了椭圆内接矩形的相关问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 16.已知函数()log xa x x f a -=+（其中0a >且1a ≠）有零点，则实数a 的最小值是______.【答案】1e e - 【解析】 【分析】由()f x 存在零点，即函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与1log a y x =的图象有公共点，a 最小时，两图象均与直线y x =相切，设切点坐标为()00,x y ，计算得到答案.【详解】由()f x 存在零点，即函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与1log a y x =的图象有公共点.当1a >时，两图象显然有公共点；当01a <<时，由图可知，a 最小时，两图象均与直线y x =相切， 此时，设切点坐标为()00,x y ，则00001,,11ln 1,x x y a y x a a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩∴001,11ln 1,x x x a a a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩∴0001,1ln 1,x x a x a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩∴0001ln ln ,1ln 1.x x a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴0ln 1x =，∴0x e =，∴11ln a e=，∴1e a e -=. 故答案为：1e e -.【点睛】本题考查了根据函数零点求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos tan tan a B A B +=. （1）求A ；（2）若ABCa 的最小值. 【答案】（1）3A π=；（2）2【解析】【分析】 （1）化简得到()sin cos A B aA+=，根据正弦定理计算得到答案.（2）根据面积得到4bc =，利用余弦定理和均值不等式计算得到答案.【详解】（1）由已知得sin sin cos cos cos A B a B A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos cos sin cos A B A B a A +⎛⎫= ⎪⎝⎭.∴()sin cos A B aA+=.由正弦定理sin sin a c A C=，得sin sin cos CA C A ⋅=. 又因为(),0,sin 0A C C π∈∴≠，∴tan A =3A π=.（2）由ABC 4bc =，由余弦定理得222222cos 24a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-==， 当且仅当2b c ==时，取得等号，所以a 的最小值为2.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.如图1，已知等边ABC 的边长为3，点M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，且2BM MA =，2AN NC =.如图2，将AMN 沿MN 折起到A MN '△的位置.（1）求证：平面A BM '⊥平面BCNM ；（2）给出三个条件：①A M BC '⊥；②二面角A MN C '--大小为60；③7A B '=在这三个条件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：在线段BC 上是否存在一点P ，使直线PA '与平面A BM '310，若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分 【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）MN AB ⊥，MN A M '⊥得到MN ⊥平面A BM '，得到证明.（2）以M 为原点，MB ，MN ，MA '分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，平面A BM '的法向量为()0,10n =，利用夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）由已知得1AM =，2AN =，60A ∠=，2222cos60MN AM AN AM AN =+-⋅︒，解得3MN =，故222AN AM MN =+，∴MN AB ⊥， ∴MN A M '⊥，MN MB ⊥，又∵MBA M M '=，∴MN ⊥平面A BM '，MN ⊂平面BCNM ，∴平面A BM '⊥平面BCNM .（2）（ⅰ）若用条件①A M BC '⊥，由（1）得A M MN '⊥，BC 和MN 是两条相交直线，∴A M '⊥平面BCNM .以M 为原点，MB ，MN ，MA '分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 则()0,0,1A '，设()23,0P a a -，其中302<≤a ，则()23,1A P a a '=--. 平面A BM '的法向量为()0,1,0n =.设直线PA '与平面A BM '所成角为θ， 则()223310sin cos ,10231aA P n a a θ'===-++，解得6632a ±=>， 所以不存在P 满足条件.（ⅱ）若用条件②二面角A MN C '--大小为60，由（1）得A MB '∠是二面角A MN C '--的平面角，∴60A MB '∠=.过A '作A O BM '⊥，垂足为O ，则AO '⊥平面BCNM .在平面BCNM 中，作OD OB ⊥，点D 在BM 的右侧.以O 为原点，OB ，OD ，OA '分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则A ⎛' ⎝⎭，设3,02P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中302<≤a，则3,2A P a ⎛'=- ⎝⎭. 平面A BM '的法向量为()0,1,0n =.设直线PA '与平面A BM '所成角为θ，则sin cos ,10A P n θ'===，解得32a =或3a =（舍去），所以存在P 满足条件，这时3PB =. （ⅲ）若用条件③A B '=A BM '△中，由余弦定理得：222''2'cos A B MB MA MB MA A MB =+-⋅'∠，故120A MB '∠=︒.过A '作A O BM '⊥，垂足为O ，则AO '⊥平面BCNM .同（ⅱ）以O 为原点，OB，OD ，OA '分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则2A ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，设,052P a ⎛⎫-⎪⎝⎭，其中302<≤a ，则,522A P a ⎛'=-- ⎝⎭. 平面A BM '的法向量为()0,10n =.设直线PA '与平面A BM '所成角为θ，则sin cos ,A P n θ'===，2215210a a -+=.解得32a =>，所以不存在P 满足条件.【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19.已知抛物线C ：24y x =.（1）若x 轴上的点A 关于直线1y x =-的对称点在C 上，求A 点的坐标；（2）设过C 的焦点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，PQ 的延长线与y 轴交于M ，O 为坐标原点，若POQ △的面积等于MOQ △面积的3倍，求直线l 的方程.【答案】（1）()1,0A -或()3,0A ；（2）220x y --=或2220x y +-= 【解析】 【分析】（1）点(),0A a 关于直线1y x =-的对称点为()1,1A a '-，代入计算得到答案.（2）设()00,M y （00y >），()11,Q x y ，()22,P x y ，根据题意得到214x x =，12242x x k +=+，121=x x ，计算得到答案.【详解】（1）设点(),0A a 关于直线1y x =-的对称点为(),A x y '''，则1,1,22y x ay a x ⎧=-⎪⎪-⎨'+⎪=-''⎩'⎪解得1x '=，1y a '=-.∴()1,1A a '-. 把A '点坐标代入24y x =得()214a -=，∴1a =-或3a =.∴()1,0A -或()3,0A .（2）设()00,M y （00y >），()11,Q x y ，()22,P x y ，O 到直线l 的距离为d . 则12MOQ S MQ d =⋅△，12OPQ S PQ d =⋅△.由3POQ MOQ S S =△△，得3PQ QM =，即3PQ QM =，得214x x =①.由已知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：()1y k x =-，代入24y x =，得()2222240k x k x k -++=，∴12242x x k+=+②，121=x x ③.由①③得112x =，22x =代入②得28k =，∴k =±，∴直线l 的方程为0y --=或0y +-=.【点睛】本题考查了点关于直线对称，抛物线中面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.设函数()21ln ax a f x x x=---，其中a R ∈. （1）若()f x 在()0,∞+上为增函数，求a 的取值范围； （2）当12a ≥，()1,x ∈+∞时，求证：()10xf x e -+>. 【答案】（1）2,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意()32210ax f x x x-+'=≥恒成立，即23112a x x ≥-，令()23g t t t =-（0t >），计算最值得到答案.（2）令()211ln xax a x F xx e -=---+，证明1x e x -≥，根据()'0F x >得到函数单调递增，计算最值得到答案.【详解】（1）∵()f x 在()0,∞+上增函数，∴()322112120ax x ax x x x x f -+=-+=≥'恒成立，即23112a x x≥-，()0,x ∈+∞恒成立，令()23g t t t =-（0t >），则()223g t t t '=-， 由()0g t '=得23t =，当20,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，()g t 为增函数；当2,3t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g t '<，()g t 为减函数； ∴()min 24327g g x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴227a ≥，故2,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. （2）当12a ≥时，令()()1211ln x x e ax a x e F f x x x --+=---+=（1x >），则()21211111112x x ax x x x x e F x x e--=-+-≥-+-，令()1x h x ex -=-，得()11x h x e -'=-，由于1x >时，()0h x '>，()h x 为增函数；由于1x <时，()0h x '<，()h x 为减函数； ∴()()10h x h ≥=，即1x e x -≥， ∴()21211111112x x ax x x x e x eF x x --=-+-≥-+-'()232222212121210x x x x x x x x x x x--+-+≥-+=≥==， ∴()F x 在[)1,+∞为增函数，又()10F =，∴()0F x >，即()1e0xf x -+>.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.现有甲，乙两种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食甲随机附赠玩具1M ，2M ，3M 中的一个，每袋零食乙从玩具1N ，2N 中随机附赠一个.记事件n A ：一次性购买n 袋零食甲后集齐玩具1M ，2M ，3M ；事件n B ：一次性购买n 袋零食乙后集齐玩具1N ，2N . （1）求概率()4P A ，()5P A 及()4P B ； （2）已知()()()111n n n n P A aP A bP B ---=+，其中a ，b 为常数，求()n P A .【答案】（1）()449P A =，()55081P A =，()478P B =；（2）()11121233n n n P A --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）一次性购买4袋零食甲获得玩具的情况共有4381=种不同的可能，其中能够集齐三种玩具的充要条件是1M ，2M ，3M 三个玩具中，某个玩具出现两次，其余玩具各出现一次， 计算得到概率，同理可得答案.（2）记()n n a P A =，()n n b P B =，计算1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得到11123n n n n a a b ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用累加法计算得到答案.【详解】（1）一次性购买4袋零食甲获得玩具的情况共有4381=种不同的可能，其中能够集齐三种玩具的充要条件是1M ，2M ，3M 三个玩具中，某个玩具出现两次，其余玩具各出现一次，对应的可能性为122342C C A 36=，故()4364819P A ==， 一次性购买5袋零食甲获得玩具的情况共有53243=不同的可能，其中能够集齐三种玩具的充要条件是1M ，2M ，3M 三个玩具中，某个玩具出现三次，其余玩具各出现一次或某两个玩具各出现两次，另一个玩具出现一次，对应的可能性分别为132352C C A 60=，222353C C C 90=，故()560905024381P A +==. 一次性购买4袋零食乙获得玩具的情况共有4216=种不同的可能，其中不能集齐两种玩具的情况只有2种，即全是1N ，全是2N ，故()4271168P B =-=. （2）记()n n a P A =，()n n b P B =，根据题意及（1）的计算，不难整理得下表：由于n B 的对立事件总是2种情形（即全是1N ，全是2N ），容易得到1211122n n n b -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.为解出待定系数a ，b ，令23223433a a a b b a a a b b ⎧=⋅+⋅⎨=⋅+⋅⎩，即2321092423994a b a b ⎧=⨯+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得1,2,3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或3,23a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去，因为4544233a a b ⎛⎫≠+- ⎪⎝⎭）. 故11123n n n n a a b ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即11121233n n n n a a ---⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，同理221221233n n n n a a ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……2121233a a -=-⨯， 累加可得()11121233n n n n P A a --⎛⎫⎛⎫==+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2n ≥）.当1n =时，10a =适合上式，∴()11121233n n n n P A a --⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了概率的计算，根据数列的递推公式求通项公式，累加法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.在极坐标系Ox 中，直线l 过点()3,0A与点6B π⎫⎪⎭. （1）求直线l 的极坐标方程；（2）已知圆C ：cos ρθ=.若曲线0θ=与l ，C 相交于A ，E 两点；曲线3πθ=与l ，C 相交于M ，N 两点，E ，N 异于极点O ，求证：//NE AM .【答案】（1）32sin 6ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)先将极坐标下()3,0A,6B π⎫⎪⎭两点的坐标化为直角坐标系下点的坐标,从而求出直线l 的直角坐标方程,再将其转化为极坐标方程即可;(2)将0θ=和3πθ=分别代入l ,C 的极坐标方程中,可求出1OE =,3OA =,12ON =,32OM =,因此有13OE ON OA OM ==,从而//NE AM . 【详解】(1)因为极坐标系Ox 中,直线l 过点()3,0A与点6B π⎫⎪⎭, 所以直角坐标系中,直线l 过点()3,0A与点3,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 因此直线l的直角坐标方程为30x -=, 故直线l的极坐标方程为cos sin 30ρθθ+-=,即l 的极坐标方程为32sin 6ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (2)将0θ=代入cos ρθ=得1OE =,且由()3,0A 知3OA =, 将3πθ=代入cos ρθ=得12ON =, 将3πθ=代入32sin 6ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭得32OM =, ∴13OE ON OA OM ==, ∴//NE AM .【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化,考查极坐标几何意义的应用,难度不大.23.已知函数()3f x x x a =-+-，当3x ≤时()f x 的最小值是2.(1)求a ；(2)若2m n a +=，求证：()2251m n +≥.【答案】(1)1a =或5a =；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)因为3x ≤，所以()3f x x x a =-+-，再分别求出3a ≤和3a >两种情况下()f x 的最小值，据此列式求解即可；(2)由(1)知1a =或5a =，故在1a =和5a =两种情况下，分别利用柯西不等式进行证明.【详解】(1)因为3x ≤，所以30x -≤，所以()33f x x x a x x a =-+-=-+-，①当3a ≤时，()23,3,3x a x a f x a a x -++≤⎧=⎨-<≤⎩， 所以()()min 3f x f a a ==-，由32a -=，得1a =；②当3a >时，()23f x x a =-++，所以()()min 33f x f a ==-+，由32a -+=，得5a =；综上所述，1a =或5a =.(2)当1a =时，则21m n +=，所以()()()()222222251221m n m n m n +=++≥+=， 当且仅当2n m =即15m =，25n =时上式取等号； 当5a =时，则25m n +=，所以()()()()22222225122251m n m n m n +=++≥+=>， 当且仅当2n m =即1m =，2n =时上式取等号； 综上所述，()2251m n+≥.【点睛】本题考查绝对值不等式及柯西不等式的应用，考查学生的计算分析能力，难度不大.。
2020年山西太原高三一模数学试卷（理科）
2020年山西太原高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.设复数满足，则 （ ）．A. B. C. D.3.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）．A.B.C.D.4.等比数列中，，则“”是“”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.函数的图象大致为（ ）．A.B.C.D.6.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ）．开始是否输出结束A.B.C.D.7.展开式中的常数项是（ ）．A.B.C.D.8.刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）．正视图侧视图俯视图C.D.9.已知变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.10.已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）．A.B.C.D.11.设，若平面内点满足对任意的，都有，则下列结论一定正确的是（ ）．A.B.C.D.12.定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（ ）．A.B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，若其右顶点到这条渐近线的距离为，则双曲线方程为 ．14.已知函数在单调递增，在单调递减，则．15.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是，且平面平面，活动弹子，分别在正方形对角线，上移动，则长度的最小值是 ．16.某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用表示第行从左数第个数，如，则．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知外接圆的半径为，其内角，，的对边长分别为，，，若．求角．若，，求的值．（1）（2）18.如图，是边长为的正方形，平面，且．求证：平面平面．线段上是否存在一点，使二面角等于？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．（1）（2）19.新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性．对于份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验次．二是混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起．若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时份血液检验的次数总共为次．某定点医院现取得份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为．求把份血液样本混合检验，结果为阳性的概率．若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．（1）（2）20.已知椭圆的焦点为和，过的直线交于，两点，过作轴垂直的直线交直线于点．设，已知当时，．xy求椭圆的方程．求证：无论如何变化，直线过定点．【答案】解析:∵，．∴，∵，∴．∴，∴．故选．解析:（1）12（2）21.已知函数，．判断函数在区间上零点的个数．设函数在区间上的极值点从小到大分别为，，，，，．证明：．对一切，成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数)，已知点，点是曲线上任意一点，点满足，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．求点的轨迹的极坐标方程．已知直线与曲线交于，两点，若，求的值．（1）（2）23.已知函数，．若的最小值为，求实数的值．若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围．B1.A2.，，．故选．解析:如图，由题可知：，∴，令，∴，则，∴，∴．故选．解析:先验证充分性．若，则，又因为，所以，所以，即，所以“”是“”的充分条件；若，则，又因为，所以．又，所以，或者，故“”是“”的不必要条件．故选．C 3.正方形阴A 4.D5.解析:由题意，函数，可得，即，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除、；当时，，则，所以函数在上递增，排除，故选．解析:模拟程序框图的运行过程知：该程序运行后输出的是：，令，解得：，由题意知：不成立，成立，∴整数．故选．解析:展开式的通项公式为：令，解得；所以展开式中的常数项是．故选：．解析:B 6.D 7.C 8.由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球．由三视图可知四棱锥的底面是边长为的正方形，四棱锥的高为，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为，，，∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，∴外接球的体积为．故选．解析:约束条件对应的区域如图：xy–1123456O 目标函数经过时取最小值为，所以，则；当且仅当，并且时等号成立，故选．解析:如图，A 9.D 10.由题意可得，，则，即，则，∴，即．故选：．解析:以线段的中点为原点，以所在的直线为轴，以其中垂线为轴，建立直角坐标系，则、、设点，则，，则，即有，整理为以为元的一元二次不等式，即，由于上述不等式对任意恒成立，则必然成立，,解得，即或者，C 11.动点位于直线上或其上方部分，或者直线上或者其下方的区域内，用动态的观点看问题，我们让点位于点处，则，故错误．让点位于点处，则，故错误．此时，，用余弦定理计算，，故错误．我们进一步确定选项的正确性，，，则，其中，，故，即，故正确．故选：．解析:∵时，，∴，令，则，∵当，，∴，∴在上是减函数，且，∵，∴当时，，由于此时，所以，当时，，由于此时，D 12.∴，当时，由，得，所以当时，总有，∵是奇函数，即，∴当时，总有，由不等式，得或，解得或，∴的取值范围是．故选：．解析:∵双曲线 （，）的一条渐近线方程为，∴，，又∵双曲线的右顶点到渐近线的距离为，∴，可得，所以双曲线方程为．解析:根据题意，函数在上单调递增，在上单调递减，则在处取得最大值 ，则有，变形可得，当时，．解析:由已知，，两两相互垂直．以为坐标原点，分别以，，方向为，，轴空间直角坐标系．13.14..15.（1）则，，，，设，,则，所以，，所以 ．当且仅当 时取等号，所以．故长度的最小值是．解析:由题意得，第行有个数，表示第行从左往数第个数，该行数字都是奇数，前面奇数行有，，，，共行，共有奇数个，则是第个奇数，故，故答案为．解析:∵，16.（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，即，∴，∵，∴．∵，，由正弦定理得，由，故为锐角，，∴．解析:∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面．如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴，∴，，（1）证明见解析．（2）存在点当时，二面角所成角为．18.（1）（2）假设线段上存在一点满足题意，设，，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，而，，则，即，所以可取，由，可得．∴存在点当时，二面角所成角为．解析:该混合样本阴性的概率是，根据对立事件原理，阳性的概率为．方案一：逐个检验，检验次数为．方案二：由知，每组个样本检验时，若阴性则检验次数为，概率为若阳性则检验次数为，概率为．设方案二的检验次数记为，则的可能取值为，，，其分布列如下，可求得方案二的期望为．方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为 ， 的可能取值为，．其分布列如下，可求得方案三的期望为．比较可得，故选择方案三最“优”．（1）．（2）选择方案三最“优”．证明见解析．19.（1）（2）解析:设椭圆方程为，其中，由已知当时，不妨设，则，∵，∴，由椭圆定义得，从而，故此时点在轴上，不妨设，从而由已知条件可得，代入椭圆方程，解得，所以，故所求椭圆方程为．方法一：设直线方程为，代入椭圆中，，即，设，，则，，∴，由题设知，直线斜率，∵直线方程为，化简得：，故直线过．方法二：设，，代入椭圆方程，得，①，②②两边同乘以，得，③①③，得，④由，得，，将，代入④化简得：，从而，，即，又，于是，，，三点共线，因此无论如何变化，直线过定点．（1）．（2）证明见解析．20.（1）1（2）解析:，当时，∵，∴，，无零点；当时，∵，∴，而，，有唯一零点；当时，∵，∴，而，有唯一零点；综上，在有两个零点．，由（）知在无极值点；在有极小值点，即为，在有极大值点即为，而，，，，可知，，同理在有极小值点，，在有极值点．由，得，，∵，∴，，而，，故有，，（1）在有两个零点．12（2）证明见解析．证明见解析．21.2（1）（2）∵在是增函数，，即．同理，，，，由在递增得，当为偶数时，不妨设，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，即，结论成立；当为奇数时，设，∵，，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即，结论也成立．综上，对一切，成立．解析:设点，，且点，由，得，整理得，即，化为极坐标方程为．设直线的极坐标方程为．设，，因为，所以，即，（1）．（2）．22.（1）（2）又，则，解得，所以，．解析:函数，解得或．不等式，即，由题意，时，成立．∴，∴，不等式的解集包含，即且，解得，所以实数的取值范围是．（1）或．（2）．23.。
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|320}A x x x =-+…，{|1}B x x a =+…，若A B R =U ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，)+∞B ．(-∞，2]C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]2．（5分）若复数z 满足(12)z i i =-g ，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知1a b >>，0c <，则( ) A ．c ca b< B ．a b c c <C ．c c a b <D ．log ()log ()a b b c a c ->-4．（5分）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1-B ．CD ．15．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．26．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = ) A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．（5分）平面向量a r，b r 共线的充要条件是( )A ．||||a b a b =r rr r gB ．a r，b r 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，b a λ=r rD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r8．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为() A ．16B ．14 C ．13D ．129．（5分）把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位后，得到函数()y g x =的图象．则()g x 的解析式是( ) A ．2()sin ()12g x x π=+B ．1()cos(2)212g x x π=--C ．11()cos(2)262g x x π=--+D ．11()sin(2)262g x x π=-+10．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +„（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]11．（5分）已知抛物线2:8C x y =，过点0(M x ，0)y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则0y 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．不能确定12．（5分）点M 在曲线:3G y lnx =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数122log (01),()1(1),x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩„则1(())8f f = ．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆则A = ．15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为 ．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是，1]2③α与平面11CDD C所成锐二面角的正切值为④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设12n nnc b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：（1）填写下面22x 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[45，55)，[25，35)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据22()()()()()n adbc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AA C C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D ．（Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面11AA C C ； （Ⅱ）求二面角111A B C A --的余弦值．。
2020年3月山西省高三适应性调研考试数学(理科)A卷答案
14．解析：(x2－21x)6 的通项公式为 Tr＋1＝Cr6(x2)6－r·(－21x)r＝Cr6(－12)rx12－3r，令 12－3r
＝3，得 r＝3，所以含 x3 项的系数为 C36(－12)r＝20×(－18)＝－52.
答案：－52
2x，0≤x≤1，
15.解析：作出 f(x)＝
的图象如图所示．因为 f(x1)
2．解析：∵z＝ ＝
＝
1＋i (1＋i)(1－i)
2
，∴z
在第四象限，z
的实部为12，－z ＝1＋2 3i，故
A、C、D 错误；|z|＝ （21）2＋（－32）2＝ 210，B 正确，故选 B. 答案：B
3．解析：因为 y＝x3 和 y＝1x－x 是奇函数，y＝x3 在 R 上是增函数，y＝1x－x 在 (−, 0) 和
平面 ABCD 的交线，即圆的一部分，故①是正确的；
对于②，依题意知点 M 到点 F 的距离与到直线 AB 的距离相等，所以 M 的轨迹是以 F
为焦点，AB 为准线的抛物线，故②是正确的；
对于③，如图(1)，取 AB 的中点 I，BC 的中点 O，显然可以证明平面 B1IO∥平面 A1NC1，
当 M 在线段 IO 上时，均有 B1M∥平面 A1NC1，即动点 M 的轨迹是线段 IO，故③是正确的；
得y－x 3·y＋x 3＝－12， 整理得点 P 的轨迹方程为1x82 ＋y92＝1.
y0－3 设 P(x0，y0)，Q(x1，y1)，则直线 PA1 的斜率为 kPA1＝ x0 ，由 QA1⊥PA1，所以直线 QA1
的斜率
kQA1＝－y0x－0 3.于是直线
QA1
的方程为
y＝－y0x－0 3x＋3.同理，QA2
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知，，则A. B.C. D.4.已知，，则的值是A. B. C. D. 15.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a，b分别为3，1，则输出的n等于A. 5B. 4C. 3D. 26.已知等比数列的前n项和为，若，且，则A. B. 3 C. D. 3或7.平面向量，共线的充要条件是A.B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，，8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为A. B. C. D.9.把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象．则的解析式是A. B.C. D.10.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是A. B. C. D.11.已知抛物线C：，过点作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则的值为A. B. C. D. 不能确定12.点M在曲线G：上，过M作x轴垂线l，设l与曲线交于点N，若，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”则曲线G上的“水平黄金点”的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数则______．14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则______．15.设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使，且，则双曲线的离心率为______．16.正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，记与F的轨迹构成的平面为．，使得直线与直线BC所成角的正切值的取值范围是与平面所成锐二面角的正切值为正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是______写出所有正确的命题序号三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知是公差为1的等差数列，数列满足，，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄频数510101555了解4581221填写下面2x2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解不了解合计若对年龄在，的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考公式和数据，其中．19.如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线AD交于D．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ求二面角的余弦值．20.已知椭圆C：的焦距为2，且过点．求椭圆C的方程；已知是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为的重心，求点O到直线MN 距离的最小值．21.已知函数．讨论函数的极值点个数；若有两个极值点，，试判断与的大小关系并证明．22.已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点，倾斜角为．求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．23.已知函数．若，解不等式；对任意的实数m，若总存在实数x，使得，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合或，，，，解得，实数a的取值范围是．故选：B．求出集合A，B，由，能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：，在复平面内所对应的点位于第四象限．故选：D．利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：由于，所以，，故，选项A错误．当，，时，，故选项B错误．由于，，故，选项C正确．由于，，所以，故，故错误．故选：C．直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求得，是解题的关键，属于基础题．由条件可得，求得，可得的值，从而求得的值．【解答】解：已知，，即，故，，．故选A．5.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，此时，满足条件，退出循环，输出n的值为4．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：D解析：解：设公比为q，易知．由得，解得或，当时，；当时，，所以或，故选：D．由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7.答案：D解析：解：由共线向量基本定理可知，若平面向量，共线，则存在不为零的实数，使，即，其等价命题为存在不全为零的实数，，．故选：D．写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论．本题考查共线向量基本定理的应用，熟练掌握共线向量基本定理及其等价条件是关键，是基础题．8.答案：A解析：解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为．故选：A．每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．由偶函数的性质将化为：，再由的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．【解答】解：因为函数是定义在R上的偶函数，所以，则为：，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，则a的取值范围是，故选：A．11.答案：B解析：解：设，，，由，可得，所以，，因为过点作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，所以，，可得，直线MA的方程为：，，同理直线MB的方程为：，，，可得，即，故选：B．设出AB的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M，转化求解的值．本题考查函数的导数的应用，曲线与方程相结合，考查计算能力．12.答案：C解析：【分析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查新定义“水平黄金点”的理解和应用，考查函数方程的转化思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．设，可得直线l的方程，联立曲线，可得N的坐标，再由向量的加法运算可得P的坐标，再由P的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数．【解答】解：设，则直线l：，由，可得，即，，又P的纵坐标始终为0，即，可令，导数为，由，可得，则当时，，递减；当时，，递增．可得在处取得极小值，且为最小值，由，则在有两个零点，即方程有两个不等实根，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2，故选：C．13.答案：8解析：解：函数则；．故答案为：8．依题意得，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：由余弦定理可得，的面积为，又因为，所以，由可得．故答案为：由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：解析：解：，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使，且，可知：，，，即，可得，，．故答案为：．根据点P为双曲线上一点，，且，推出P的位置，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义与性质，解题的关键是确定，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查空间立体几何的综合，涉及空间线面的位置关系、异面直线的夹角和面面角等问题，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于难题．分别取和的中点M，N，连接MN、、，然后利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而确定平面就是平面．当F为线段MN的中点时，可证明；利用平移的思想，将直线与直线BC所成角转化为与所成的角，由于平面，所以即为所求，进而求解即可；平面与平面所成的锐二面角即为所求，也就是求出即可；由正方体的对称性和二面角的含义即可判断．【解答】解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取和的中点M，N，连接MN、、，则，，、平面，B、平面，且，，平面平面，当F在MN上运动时，始终有平面，即平面就是平面．对于，当F为线段MN的中点时，，，，，即正确；对于，，直线与直线所成的角即为所求，平面，平面，，直线与直线所成的角为，且，而的取值范围为，，所以，即正确；对于，平面与平面所成的锐二面角即为所求，取MN的中点Q，因为平面，所以就是所求角，而，即正确；对于，由对称性可知，与所成的锐二面角相等的面有平面，平面，平面，平面ABCD，即正确．故答案为：．17.答案：解：由已知得：，又是公差为1的等差数列，，，所以数列是常数列，，；由得：，，又，由可得：，．解析：先由题设条件求得，再求，进而论证数列是常数列，最后求得；先由求得，再由错位相减法求．本题主要考查等差数列基本量的计算、数列通项公式的求法及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解32不了解18合计401050计算，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算，，，；所以随机变量X的分布列为：X0123P所以X的数学期望为．解析：根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列和数学期望问题，是中档题．19.答案：解：Ⅰ如图，过点D作交于E，连接CE，BE，设，连接BO，，，又AD为的角平分线，四边形AEDC为正方形，，又，，，≌，，又为CE的中点，，又，平面BAD，，平面BAD．又平面，平面平面C.Ⅱ在中，，，，在中，，，又，，，，又，，AD，平面，平面，故建立如图空间直角坐标系，则，4，，4，，，，，，设平面的一个法向量为，则，，令，得，设平面的一个法向量为，则，，令，得，，故二面角的余弦值为．解析：Ⅰ过点D作交于E，连接CE，BE，设，连接BO，推导出，四边形AEDC为正方形，，推导出≌，从而，，从而平面BAD，由此能证明平面平面C.Ⅱ推导出，，从而平面，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题．20.答案：解：由题意可得：，解得：，，所以椭圆的方程为：；设，记线段MN中点D，因为O为的重心，所以，则点D的坐标为：，若，则，此时直线MN与x轴垂直，故原点O到直线MN的距离为，即为1，若，此时直线MN的斜率存在，设，，则，，又，，两式相减，可得：，故直线MN的方程为：，即，则点O到直线MN的距离，将，代入得，因为，所以，又，故原点O到直线MN的距离的最小值为．解析：由题意焦距的值可得c的值，再由过点的坐标，及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；分B的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B的坐标，由O是三角形的重心可得MN的中点的坐标，设M，N的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN的斜率，求出直线MN的方程，求出O到直线MN的距离的表达式，再由B的纵坐标的范围求出d的取值范围，进而求出d的最小值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及三角形重心的应用，属于中档题．21.答案：解：，令，得，记，则，令，得；令，得，在上是增函数，在上是减函数，且，当，即时，无解，无极值点，当，即时，有一解，，即，恒成立，无极值点，当，即时，有两解，有2个极值点，当，即时，有一解，有一个极值点，综上所述：当时，无极值点；时，有2个极值点；当时，有1个极点；，，令，则，，记，则，由得，由，得，在上是增函数，在上是减函数，，当时，，当即时有2个极值点，，由得，，，不妨设，则，，又在上是减函数，，，．解析：先求出，令，得，记，则函数的极值点个数转化为函数与的交点个数，再利用导数得到在上是增函数，在上是减函数，且，对a分情况讨论，即可得到函数的极值点个数情况；，，令，则，所以，记，利用导数得到在上是增函数，在上是减函数，，当时，，所以当即时有2个极值点，，从而得到，所以，即．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是难题．22.答案：解：曲线C的极坐标方程是，转换为直角坐标方程为．直线l过点，倾斜角为整理得参数方程为为参数．将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，整理得，所以：，，所以求．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，．，或或，或或，，不等式的解集为对任意的实数m，若总存在实数x，使得，的取值范围是值域的子集．，的值域为，又，，，实数a的取值范围为．解析：将代入中，再利用零点分段法解不等式即可；根据条件可知，的取值范围是值域的子集，然后求出的值域和的取值范围，再求出a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和函数恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
太原市2020年高三年级模拟试题(一)数学(理)
.......................................................3 分
∴ cos B a2 c2 b2 1 ，
2ac
2
........................................................5 分
0 B π ， B 2π . 3
(Ⅱ)如图所示，建立空间直角坐标系 A xyz ， ∵ AE 1, AB 2, AE BE ,
z
D
C
F
BE 3 ， B(0, 2, 0), E( 3 , 1 , 0) , ................................8 分 22
A
B y
假设线段 AD 上存在一点 F 满足题意，设 F(0, 0, h) ， (h 0) ，
太原市 2020 年高三年级模拟试题（一） 数学试题（理）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A C A D B D C A
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. x2 y2 1 4 12
14． 1 2
g(x1) g(x2 ) g(x3) g(x4) g(x2k1) g(x2k ) g(x2k1) 0 ，结论也成立.
综上，对一切 n N ，g x1 g x2 g x3 g xn 0 成立. .........................12 分
（二）选考题 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22.（本小题满分 10 分）
......................................................................6 分
2020届山西省高考3月联考数学模拟试题(理)有答案(已审阅)
山西省下学期高三级联考数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知{}{}|31,|3xA xB x y x =<==+，则A B =IA. [)3,0-B. []3,0-C. ()0,+∞D.[)3,-+∞2.若复数z 满足1ziz i=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为 A. 1122i -+ B. 1122i -- C. 1122i - D.1122i +3.已知命题:p t π=，命题0:sin 1tq xdx =⎰，则p 是q 的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.过双曲线()22210y x b b-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E,O 为坐标原点，若2OFE EOF ∠=∠，则b =A. 12335.九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休教师晚会，学生们准备用歌曲，小品，相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声1个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为A. 96B. 72C.48D.24 6.已知锐角θ的终边经过点(3P m 且cos 2mθ=，将函数()12sin cos f x x x =+的图象向右平移θ个单位后得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的图象的一个对称中心为 A. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A. 12B. 11C. 10D. 98.已知实数,x y 满足2001x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，且z x y =+的最大值为6，则()225x y ++的最小值为53 A. 9.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳌膳.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳌膳和两个阳马，则阳马和鳌膳的体积之比为A. 3：1B. 2：1C. 1:1D.1:210.设函数()21cos ,12,01x x f x x x π⎧+>⎪=⎨⎪<≤⎩，函数()()10g x x a x x =++>，若存在唯一的0x ，使得()()(){}min ,h x f x g x =的最小值为()0h x ，则实数a 的取值范围是A. 2a <-B. 2a ≤-C. 1a <-D. 1a ≤-11.已知抛物线24y x =，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A,B 两点（A 在第一象限内），3AF FB =u u u r u u u r,过AB 中点且垂直于l 的直线交x 轴于点G ，则三角形ABG 的面积为A. 9B. 9C. 9D.912.已知函数()2ln f x x x =-与()()()()21222g x x m m R x =-+-∈-的图象上存在关于()1,0对称的点，则实数m 的取值范围是A.(),1ln 2-∞-B.(],1ln 2-∞-C. ()1ln 2,-+∞D.[)1ln 2,-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在102x ⎛+ ⎝中的展开式中，15x 的系数为 . 14.已知()x x x f x xe e=+，定义()()()()()()1211,,,,n n a x f x a x a x a x a x n N *+'''===∈⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L ，经计算()()()()()()1231231,2,3,x x x x x x x x xa x x e a x x e a x x e e e e---=++=++=++L ，令()()2017g x a x =，则()1g = .15.已知ABC ∆所在平面内有两点P,Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若24,2,3APQ AB AC S ∆===u u u r u u u r ,则AB AC ⋅u u u r u u u r 的值为 .16.已知ABC ∆中，2223sin 7sin 2sin sin sin 2sin B C A B C A +=+则sin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.已知数列{}n a 为等差数列，且355,9a a ==，数列{}n b 的前项和为21.33n n S b =+ （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布()2,N μδ，同时随机抽取100名参与某电视台（我爱京剧）节目的票[]30.80友的年龄作为样本进行分析研究（全部票友的年龄都在内），样本数据分组为[)[)[)[)[]30,40,40,50,50,60,60,70,70,80，由此得到如图所示的频率分布直方图.（1）若()()3868P P ξξ<=>，求,a b 的值；（2）现从样本年龄[]70,80在的票友中组织了一次有关京剧知识的回答，每人回答一个问题，答对赢得一台老年戏曲演唱机，答错没有奖品，假设每人答对的概率均为23，且每个人回答正确与否相互之间没有影响，用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数，求η的分布列和数学期望.19.（本题满分12分）如图，平面ABEF ⊥平面CBED ，四边形ABEF 为直角梯形，90AFE FEB ∠=∠=o ,四边形CBED 为等腰梯形，//CD BE ,且2222 4.BE AF CD BC EF =====， （1）若梯形CBED 内有一点G ，使得//FG 平面ABC ，求点G 的轨迹； （2）求平面ABC 与平面ACDF 所成的锐二面角的余弦值.20.（本题满分12分）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为Q,以12F F 为直径的圆O 过点P ，直线PQ 与圆O 23.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆相交于M,N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于A,B 两点，满足：①记MN 的中点为E,且A,B 两点到直线OE 的距离相等；②记OMN ∆,OAB ∆的面积分别为12,S S ，若12S S λ=，当1S 取得最大值时，求λ的值.21.（本题满分12分）已知函数()2ln f x a x bx =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()10,2,,x y g x af x t t R --==+∈且 2.t ≤（1）求()f x 的解析式；（2）求证：()().xg x e f x t <++请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
山西省2020届高三数学考前适应测试试题 理(A卷)(含解析)
山西省2020届高三数学考前适应测试试题理（A卷）（含解析）一、选择题：本题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（C R A）∩B＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求集合在中的补集，再求交集【详解】,所以【点睛】考查集合运算，解题的关键是先求出，属于简单题。
2.下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，需先判断定义域是否关于原点对称，再求【详解】C选项定义域，定义域关于原点不对称，故答案为C.【点睛】本题考查函数的奇偶性判断，奇函数定义域关于原点对称，偶函数定义域关于原点对称3.已知复数z满足为虚数单位），则z＝（）A. 2＋B. 2－C. －2＋D. －2－【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则进行计算即可【详解】由题可得所以故选A。
【点睛】考查复数计算，属于简单题。
4.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率。
【详解】由题可得基本事件总数，第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是故选D.【点睛】本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数。
5.已知直线和抛物线C：，P为C上的一点，且P到直线l的距离与P 到C的焦点距离相等，那么这样的点P有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个【答案】C【解析】【分析】先设出P点坐标，将点P到抛物线焦点的距离转化成到准线的距离，由P到直线l的距离与P 到C的准线距离相等列出方程求解。
【详解】由题P为C上的一点，设P，P到直线的距离又因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离与到准线的距离相等，所以P到C的焦点距离，则i) 当即时，方程有两个不相等的实数根，即P点有两个；ii) 当即时，方程无实根，所以P点不存在。
山西省高考前（3月）适应性测试数学试题(理)含答案
山西省高三下学期适应性考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足12iz i =+，则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．1答案：D 解析：12221i i z i i +-===--，则z 的共轭复数z ＝2i +，虚部为1。
2.已知实数集R ，集合{}2|log 3M x x =<，{}2|450N x x x =-->，则()R M N =（ ） A ．[1,8)- B ．(0,5]C ．[1,5)-D ．(0,8)答案：B解析：集合{}|08M x x =<<，{}|51N x x x =><-或，R C N ＝{x|－1≤x ≤5}， 所以，()R MN =(0,5]3.已知函数2,0,()1,0,xe a xf x x a x ⎧+≤⎪=⎨++>⎪⎩a 为实数，若(2)()f x f x -≥，则x 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,1]-∞-C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞答案：A解析：由题可知，函数()f x 在R 上为单调递增函数，因为(2)()f x f x -≥， 所以，2x x -≥，解得1x ≤4.若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的中心为O ，过C 的右顶点和右焦点分别作垂直于x 轴的直线，交C 的渐进线于A ，B 和M ，N ，若OAB ∆与OMN ∆的面积比为1:4，则C 的渐进线方程为（ ）A ．y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±答案：B解析：依题可知△AOB 与△MON 相似，由三角形面积比等于相似比的平方，得：2214a c =，所以，2c a =，即222a b a +＝4，所以，3b a=， 所以，C 的渐进线方程为3y x =±5.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互，则在甲获得冠的情况下，比赛进行了3局的概率为（ ） A ．13 B ．25 C ．23 D ．45答案：B解析：甲获得冠的概率为：，其中比赛进行了3局的概率为：，故所求概率为：820227275÷= 6.已知P 是圆222x y R +=上的一个动点，过点P 作曲线C 的两条互相垂直的切线，切点分别为M ，N ，MN 的中点为E ，若曲线C ：22221(0)x y a b a b+=>>，且222R a b =+，则点E 的轨迹方程为22222222x y x y a ba b++=+，若曲线C ：22221x y a b -=（0a b >>），且222R a b =-，则点E 的轨迹方程为（ ）A ．22222222x y x y a b a b+-=-B ．22222222x y x y a ba b+-=+． 22222222x y x y a b a b++=-D ． 22222222x y x y a ba b++=+答案：A解析：由于椭圆与双曲线的定义中运算互为逆运算，所以，猜想双曲线对应的点E 的轨迹方程为：22222222x y x y a ba b+-=-7.72(1)x x+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．1- B ．1C ．7-D ．7答案：D解析：展开式：661371()17C x C x ⨯=，故系数为78.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>与直线3y x =+只有一个公共点，且椭圆的离心率为5C 的方程为（ ） A ．221169x y += B ．22154x y += C ．22195x y += D ．2212520x y += 答案：B解析：把3y x =+代入椭圆的方程，得：2222222()69a b x a x a a b +++-＝0， 由于只有一个公共点，所以，△＝0，得22a b +＝9，又5c a =2245b a =，解得225,4a b == 9.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图像如图所示，将函数()y f x =的图象向左平移43π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =在区间5,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．3B ．332C ．322D ．22答案：C解析：由图可知，函数()f x 的周期为24ππω=，所以，12ω=， 又点3(,0),(0,)32π-在函数图象上，所以，有10.如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A．7πB．5πC．3πD．π答案：A解析：依㼵意可得该三棱锥的面PCD是边长为3的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P－BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD＝3，O1D＝1，及OB＝OD，可得OB＝72，即外接球的半径为72，则其表面积为7π11.运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如1121MOD=）．下列说法正确的个数是（）①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．A．0 B．1 C．2 D．3答案：C解析：由程序框图知，a 表示一个数的个数，b 表示其十位数，c 表示其得位数。
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山西省2017届高三3月高考考前适应性测试（一模）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足12iz i =+，则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．12.已知实数集R ，集合3{|log 3}M x x =<，2{|450}N x x x =-->，则()R MC N =（ ）A ．[1,8)-B ．(0,5]C ．[1,5)-D ．(0,8)3.已知函数2,0,()1,0,x e a x f x x a x ⎧+≤=⎨++>⎩a 为实数，若(2)()f x f x -≥，则x 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,1]-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞4.若双曲线:C 22221x y a b-=(0,0)a b >>的中心为O ，过C 的右顶点和右焦点分别作垂直于x 轴的直线，交C 的渐近线于A ，B 和M ，N ，若OAB ∆与OMN ∆的面积比为1：4，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．3y x =± C.2y x =± D ．3y x =±5.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了3局的概率为（ ） A ．13 B ．25 C.23 D ．456.已知P 是圆222x y R +=上的一个动点，过点P 作曲线C 的两条互相垂直的切线，切点分别为M ，N ，MN 的中点为E .若曲线:C 22221x y a b-=(0)a b >>，且222R a b =+，则点E 的轨迹方程为22222222x y x y a ba b +-=+若曲线:C 22221x y a b -=.(0)a b >>，且222R a b =-，则点E 的轨迹方程为（ ）A ．22222222x y x y a b a b +-=- B ．22222222x y x y a b a b+-=+C.22222222x y x y a ba b++=- D ．22222222x y x y a b a b++=+7.2(1)x x-+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．-1 B ．1 C. -7 D ．78.已知椭圆:C 22221x y a b-=(0)a b >>与直线3y x =+只有一个公共点，且椭圆的离心率为55.则椭圆C 的方程为（ ）A ．221169x y += B ．22154x y += C.22195x y += D ．2212520x y += 9.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，将函数()y f x =的图象向左平移43π个单位，得到函数()y g x =的图象.则函数()y g x =在区间5[,]22ππ上的最大值为（ ） A ．3 B ．33 C. 32 D ．210.如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABBC ∠=°，D 为AC 的中点，将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．7πB ．5π C.3π D ．π11.运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”. （算术符号MOD 表示取余数，如1121MOD =）.下列说法正确的个数是（ ） ①“水仙花数”是三位数； ②152是“水仙花数”； ③407是“水仙花数”.A ．0B ．1 C. 2 D ．312.已知函数()cos sin sin af x x x x x x=--，(,0)(0,)x k k ππ∈-（其中k 为正整数，a R ∈，0a ≠），则()f x 的零点个数为（ ） A ．22k - B ．2k C.21k - D ．与a 有关第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13.命题“x N ∀∈，21x >”的否定是 ．14.在ABC ∆中，已知2AB =，1AC =，60A ∠=︒，D 为AB 的中点，则向量AD 在BC 上的投影为 ．15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且23b =，3sin C (sin 3cos )sin A A B =+，则AC 边上的高的最大值为 ．16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列{}n a 满足222cos 2n n a π=+，等差数列{}n b 满足112a b =，22a b =. （1）求n b ；（2）记212122n n n n n c a b a b --=+，求n c ； （3）求数列{}n n a b 的前2n 项和2n S .18. 将某质地均匀的正十二面体玩具的十二个面上分别标记数字1，2，3，…，12.抛掷该玩具一次，记事件A ：向上的面标记的数字是完全平方数（即能写成整数的平方形式的数，如293=，9是完全平方数）.（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷该玩具一次，若事件A 发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A 没有发生，则甲得0分；②乙抛掷该玩具一次，将向上的一面对应数字作为乙的得分. （1）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望； （2）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（3）抛掷该玩具一次，记事件B ；向上一面的点数不超过(112)k k ≤≤.若事件A 与B 相互独立，试求出所有的整数k .19. 在三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，D 为11A B 的中点.（1）证明：1//AC 平面1BC D ； （2）若11A A A C =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且BC 与平面1BC D 所成角的正弦值为155，求三棱柱111ABC A B C -的高. 20. 已知抛物线:C 24y x =和直线:l 1x =-.（1）若曲线C 上存在一点Q ，它到l 的距离与到坐标原点O 的距离相等，求Q 点的坐标； （2）过直线l 上任一点P 作抛物线的两条切线，切点记为A ，B ，求证：直线AB 过定点. 21. 已知函数1()ln f x x ax b x=+-+. （1）若函数2()()g x f x x=+为减函数，求a 的取值范围. （2）若()0f x ≤恒成立，证明：1a b ≤-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（0a b >>，θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(0)r r ρ=>.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数； （2）若b r a <<，求由两曲线1C 与2C 交点围成的四边形面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式||2x x m m --≥. （1）当0m =时，求该不等式的解集；（2）当[2,3]x ∈时，该不等式恒成立，求m 的取值范围.2017年山西省高考考前适应性测试 理科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:DBABB 6-10:ADBCA 11、12：CC 二、填空题13. 0x N ∃∈，201x ≤. 14.3-15.3 16.163三、解答题17.解：（1）由题意知2,3cos =4,.n n a n n π⎧=+⎨⎩为奇数，为偶数于是11112b a ==，224b a ==，故数列n b 的公差为3， 故13(1)32n b n n =+-=-.（2）2[3(21)2]4[3(2)2]n c n n =--+-3618n =-. （3）由（Ⅱ）知，数列{}n c 为等差数列，21122212122n n n n n S a b a b a b a b --=++++1212()2n n c c c c c +=+++=218n =. 18.解：（1）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X ，Y . 1）易得X ，Y 的分布列分别为： 故7EX =，132EY =. 2）(6,16)(24)(54)P P X Y P X P X ==≤≤+=+= 161151212121224=⨯++=. （2）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有12个，事件A 包含3个基本事件（1点，4点，9点）. 记()n AB ，()n B 分贝表示事件AB ，B 包含的基本事件数， 由()()()P AB P A P B =及古典概率模型，得()3()121212n AB n B =⋅，()4()n B n AB ∴=①， 故B 事件包含的基本事件数必为4的倍数，即{4,8,12}k ∈， 当4k =时，()4n B =，{1,4}AB =，()2n AB =，不符合①， 当8k =时，()8n B =，{1,4}AB =，()2n AB =，符合①， 当12k =时，()12n B =，{1,4,9}AB =，()3n AB =，符合①，故k 的所有可能值为8或12.19. 解：（1）证明：连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE .则E 为1B C 的中点，又D 为11A B 的中点，所以1//DE A C ，且DE ⊂平面1BC D ，则1//AC 平面1BC D .（2）解：取AC 的中点O ，连接1A O ，因为点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且11A A A C =，所以1A O ⊥平面ABC ，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz =.设1AO a =. 又ABC ∆中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，则(B -，(1,0,0)C -，1(2,0,)C a -，3(,)22D a -，所以(1,BC =，1(0,)BC a =，11(2C D =. 设(,,)n x y z =为平面1BC D 的法向量，则1100n BC n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,10.2az x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取y a =-，则(3,,n a a =-为平面1BC D 的一个法向量.由3|cos ,|||2a n BC ==可得a =即三棱柱111ABC A B C -.20.解：（1）设(,)Q x y ，则222(1)x x y +=+，即221y x =+.由22214y x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩，解得1(,2Q .（2）设过点(1,)t -的直线方程为(1)(0)y t k x k -=+≠，代入24y x =得24440ky y t k -++=，由0∆=得210k kt +-=，特别地，当0t =时，1k =±，这时切点为(1,2)A ，(1,2)B -， 显然AB 过定点(1,0)F .一般地方程210k kt +-=有两个根， ∴12k k t +=-，121k k =-•. ∴两切点分别为21112(,)A k k ，22211(,)B k k ， ∴21112(1,)FA k k =-，22212(1,)FB k k =-. 又2212221212(1)(1)k k k k ---=12121112(1)()0k k k k +-=， ∴//FA FB ，∴AB 过点(1,0)F . 综上，直线AB 过定点(1,0)F . 21.解：（1）∵2()()g x f x x =+=1ln x ax b x+++，0x >. ∴211'()g x a x x=+-，0x >. ∵()g x 为减函数，∴'()0g x ≤，即2211111()24a x x x ≤-=--. ∴14a ≤-. （2）211'()f x a x x=++221(0)ax x x x ++=>，令21y ax x =++， 当0a ≥时，'()0f x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，不满足()0f x ≤恒成立； 当0a <时，140a ∆=->，由210ax x ++=， 得1140a x ---=>，或1140a x -+-=<，设0114ax ---=函数()f x 在0(0,)x 上单调递增；在0(,)x +∞上单调递减. 又()0f x ≤恒成立，所以0()0f x ≤，即0001ln 0x ax b x +-+≤.由上式可得0001ln b ax x x ≤--.由20010ax x ++=得0201x a x +=-. 所以00020011ln x a b ax x x x ++≤---020011ln 1x x x =-+-+. 令01t x =，0t >. 2()ln 1h t t t t =+-+.212(21)(1)'()t t t t h t t t+--+-==.当01t <<时，'()0h t >，函数()h t 在(0,1)上单调递增， 当1t ≥时，'()0h t ≤，函数()h t 在(1,)+∞上单调递减，()(1)1h t h ≤=，故而1a b +≤，即1a b ≤-.22.解：（1）22122:1(0)x y C a b a b+=>>，2222:(0)C x y r r +=>.当r a =或b 时，两曲线有两个公共点； 当b r a <<时，两曲线有四个公共点； 当0r b <<或r a >时，两曲线无公共点.（2）由于曲线1C 与曲线2C 关于x 轴、y 轴以及原点对称， 所以四边形也关于x 轴、y 轴以及原点对称. 设四边形位于第一象限的点为(cos ,sin )a b θθ， 则四边形的面积为4cos sin S a b θθ==•2sin 2ab ab θ≤.当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时，等号成立.23.解：（1）当0m =时，原不等式化为||20x x -≥，等价于202x x ≥⎧⎨≥⎩或202x x <⎧⎨-≥⎩，解得x ≥所以所求的不等式的解集为{|x x ≥.（2）∵[2,3]x ∈，∴0x >，∴原不等式化为2||m x m x+-≥①. 当2m ≤-，即20m +≤时，①式恒成立，所以2m ≤-. 当2m >-，即20m +>时，①式化为2m x m x +-≥，或2m x m x+-≤-. 化简得22(1)x m x -≥+，或22(1)x m x +≤-. ∵[2,3]x ∈，∴10x +>，10x ->，∴221x m x -≤+或221x m x +≥-.又221111x x x x -=--++，2231211x x x x +=-++--， 所以当[2,3]x ∈时，2min 22()13x x -=+，2max 2()61x x +=-， 所以23m ≤，或6m ≥. 所以223m -<≤，或6m ≥.综上实数m 的取值范围为2{|3m m ≤或6}m ≥.。