《应用离散数学》谓词公式及其解释
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
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谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
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谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
离散数学的谓词逻辑详解
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
离散数学第二章谓词逻辑
第二章 谓 词 逻 辑
2.1 谓词的概念与表示
2.1 谓词的概念与表示
在谓词逻辑中，可将原子命题划分为个体和谓 词两部分。 个体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概念。 例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑板、实数、
中国、思想、唯物主义等，客体也可称之为 主语。 谓词：用来刻划个体的性质或个体之间的相互关系 的词。
第二章 谓 词 逻 辑
命题逻辑的局限性： 在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不
再对原子命题进行分解，因而无法研究命题的内部结 构、成分及命题之间的内在联系，甚至无法处理一些 简单而又常见的推理过程。
1
第二章 谓 词 逻 辑
例如，下列推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中,如果
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
(4) 一 般 来 说 ， 当 多 个 量 词 同 时 出 现 时 ，
它们的顺序不能随意调换。 例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，
则命题“对于任意的x，都存在y使得 x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值 为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
（x）(M(x) F(x))
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
（2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x))
（3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： （x）(M(x)∧D(x))
（4）令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高 素质的。则符号化为： （x）(Q(x) H(x))
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第二章 谓 词 逻 辑
离散数学第五章__谓词逻辑详述
又如，在命题“武汉位于北京和广州之间” 中，武汉、北京和广州是三个个体，而“…位 于…和…之间”是谓词，它刻划了武汉、北京和 广州之间的关系。设P：…位于…和…之间，a： 武汉，b：北京，c：广州，则
P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。
定义5.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n 个有次序的个体常元(如a1，a2，…，an)表示 成P(a1，a2，…，an)，称它为该原子命题的谓 词形式或命题的谓词形式。
注意：
1. n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用特定个体或个 体常元替代时，才能成为一个命题。
例如，令S(x)：x是大学生,这是一元谓词，不是命题； S(c)：张明是位大学生，这就是一个命题。 2. 个体变元在哪些论域取特定的值，对命题的真值有影响。
例如，令S(x)：x是大学生。若x的论域为某大学的计 算机系中的全体同学，则S(x)是真的；若x的论域是某中 学的全体学生，则S(x)是假的；若x的论域是某剧场中的 观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它观众，则 S(x)是真值是不确定的。
例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理： 所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
根据常识，认为这个推理是正确的。若用命题逻 辑来表示，设P、Q和R分别表示这三个原子命题， 则有
P，Q┣ R
(P∧Q)→P, (P∧Q)→Q都是永真式
然而，(P∧Q)→R并不是永真式，故上述推理形 式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论， 问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中，各命题 之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而 是体现在构成原子命题的内部成分之间，即体 现在命题结构的更深层次上。对此，命题逻辑 是无能为力的。所以，在研究某些推理时，有 必要对原子命题作进一步分析，分析出其中的 个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的 逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是 谓词逻辑的基本内容。
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
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例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
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这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
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对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
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谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
离散数学L4谓词
谓词是命题函数
• 一元谓词P可视为从个体域D到集合{T,F} 上的映射:
P: D {T,F}
• n元谓词也是一样:
P: Dn {T,F}
• 注意:P(x)是命题形式但不是命题,因为其 真值不确定.
– 仅当P取定为谓词常项,x取定为个体常项时, P(x)才成为命题.
Lu Chaojun, SJTU
谓词逻辑的基本概念
本章主要内容
• 谓词 • 量词 • 一阶谓词公式 • 自然语句的形式表示 • 公式的解释及真假性
Lu Chaojun, SJTU
谓词逻辑与命题逻辑的区别
• 命题逻辑:简单命题是分析的基本单元,不再对 简单命题的内部结构进行分析.
– 例如P:“柏拉图是人”和Q:“亚里士多德是人”是两个 相互独立的命题,看不出P和Q有什么联系.
Lu Chaojun, SJTU
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量词的辖域
• 量词所约束的范围称为量词的辖域.即:
(x) (…辖域…) (x) (…辖域…)
• 在x(或x)的辖域内的自由x都被该量词 约束.
– 例如(x)(P(x) Q(x)) – 但在(x)(P(x) (x)Q(x))中, Q(x)还处于最近
的(x)的辖域中,此x非自由,故不被(x)约束.
Lu Chaojun, SJTU
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命题形式P(x)如何化为命题?
• 假设P含义确定,是谓词常项
– 若x用个体常项代入,则P(x) 真假就定了; – 或者将x量化,形如(x)P(x)或(x)P(x),这时也
确定了真假.
• 总之:命题中是不能有自由变元的. • 变元易名规则:约束变元改名不改变命题
的真值,即(x)P(x) = (y)P(y).
离散数学19.谓词公式与翻译
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零.
则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为：
（x)(E(x)∧S(x)).
（3）令D(x): x是有理数.F(x):x能表示成分数.则符号化为：
学情分析
学生已经掌握谓词的概念和表示方法，能充分理解量词的含义并能合理运用。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课。
教学过程：
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其中x1,x2,...,xn是客体变元。
4）如果A是合式公式，x是A中的任何客体变元，则(x) A和(x) A也是合式公式；
5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式.
下面都是合式公式：
P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式：
教学设计
课程名称
《离散数学》
教师姓名
授课题目
谓词公式与翻译
授课章节
§2.3谓词公式与翻译
授课对象
数学与应用数学专业
教学目标
熟练掌握量词与联结词在谓词翻译里面的使用
教学方式
启发式
教学内容
谓词中量词与联结词的使用
教学重点
量词与联结词的使用
教学难点
谓词函数的使用
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助，通过例子说明量词和联结词的使用方法；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全：
一、对称表达式
1. 对立矛盾：P∧(¬P)，这就意味着，实际上什么都不是真。
2. 波尔定理：(P→Q)∨(Q→P)，即P和Q之一必定是另一个的条件。
3. 谓词逻辑：∀xPx，表明了P是对任意x是真的。
二、蕴涵表达式
1. 因果关系：P→Q，其中P是因，Q是果。
2. 排中律：P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R)，即P既支持Q和R的同时满足，也支持Q和R的分别满足。
3. 简单蕴涵：P→Q，Q即P的蕴涵结果。
三、命题逻辑
1. 范式：¬(P∨Q)即¬P∧¬Q，这表明,若P和Q两者成立其一，则结果
为假。
2. 合取范式：P ∨ Q，表示只要PQ其一成立，结果即成立。
3. 否定范式：P→Q，表示只有当P成立，Q才会成立，否则结果为假。
四、可辩证表达式
1. 含义性质：P→Q，表明当P为真时，Q也可能为真，但可能有证据
表明P为假时，Q也可能为假。
2. 对抗性质：¬P∧Q，表明当P（或Q）被否定时，另一方会加强对这个变量的认可。
3. 不可满足性：P∧¬P，表明两个性质之间存在矛盾，因此，这种形式无法同时满足。
离散数学(2.3谓词公式与翻译)
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae)
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y)))
(Q(δ,0)∧(Q(δ , x a)Q(ε,
f ( x) f ()a ) ). ))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
离散数学-2-1谓词的概念与表
在谓词逻辑中，可以使用特定的 推理规则，如Modus Ponens和 Modus Tollens，来推导新的命 题。
推理过程的逻辑分析
前提分析
在推理过程中，需要仔细分析给出的前提，以确保正确地应用推 理规则。
结论分析
在推导结论时，需要确保结论在逻辑上是从前提得出的。
逻辑谬误
在推理过程中，应避免出现逻辑谬误，如非形式谬误和形式谬误。
等价关系
定义：如果命题A和命题B的真值相同，那么就说A和B等价。 符号表示：A↔B。 例子：一个角是直角当且仅当它的三角形的两条边长度相等（A↔B）。
矛盾关系
定义
如果命题A和命题B的真值相反，那么就说A和B是矛 盾的。
符号表示
A∧¬B 或者 ¬A∧B。
例子
所有的猫都是动物（A），有些动物不是猫 （¬A∧B）。
分类
一元谓词
一元谓词是指只包含一个个体变量的谓词。 例如，“P(x)”表示“x是红色的”。
二元谓词
二元谓词是指包含两个个体变量的谓词。例如， “Q(x,y)”表示“x大于y”。
n元谓词
n元谓词是指包含n个个体变量的谓词，其中 n大于等于2。例如，“R(x,y,z)”表示“x等 于y和z的和”。
特性
04
谓词的推理规则
推理规则的种类
附加规则
将新的信息添加到前提中，从而 得出新的结论。
实例化规则
将抽象的谓词实例化为具体的对 象，从而得出新的结论。
01
02
分离规则
从前提中分离出结论，即如果前 提为真，则结论一定为真。
03
04
重写规则
将前提中的某些部分替换为等价 的表达式，从而得出新的结论。
离散数学-谓词逻辑
2-2.6 命题的符号化
在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的 符号表达式与论域有关系。例如 1.每个自然数都是整数。 (1).如果论域是自然数集合 N，令 I(x)：x 是整数，则命题的表达式为 xI(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式xI(x)表示“所有客体都是整数”，显然这是假的命题，此 表达式已经不能表达原命题了。因此需要添加谓词 N(x)：x 是自然数，用于表明 x 的特性，于是命题的符 号表达式为: x(N(x)→I(x)) 4
则 E(a)∈{T,F}。
• 2-2.2 原子谓词公式
定义：称 n 元谓词 P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式。例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x))、B(x,y,a) 都是原子谓词 公式。
2-2.3 谓词合式公式 (WFF)(Well Formed Formulas)
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1.原子谓词公式是合式公式。 2.如果 A 是合式公式，则A 也是合式公式。 3.如果 A、B 是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)都是合式公式。 4.如果 A 是合式公式，x 是Ａ中的任何客体变元，则xＡ和xＡ也是合式公式。 5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。 谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。 下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、x(A(x)→B(x))、xC(x) 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • • 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式x(A(x)→B(x))中x 后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略。
2-2.4 量词的作用域(辖域)
定义：在谓词公式中，量词的作用范围称为量词的作用域，也叫量词的辖域。 • • 例如 xA(x)中x 的辖域为 A(x). x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))中 x 的辖域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y)) y 的辖域为 R(x,y)。 • 一般地， • • • 如果量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。 如果量词后边是括号，则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。 如果多个量词紧挨着出现，则后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。 xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
离散数学第五章__谓词逻辑详述
5.2.2 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部 分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A的 x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖 域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元； B(x)中不是约束出现的其它个 体变元的出现称为自由出现，这些个体变元称 为自由变元。
5.1 个体、谓词和量词
在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈 述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和 谓语两部分组成。在谓词逻辑中，为揭示命 题内部结构及其不同命题的内部结构关系， 就按照这两部分对命题进行分析，并且把主 语称为个体或客体，把谓语称为谓词。
１.个体、谓词和命题的谓词形式
定义5.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个 体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分， 称为谓词。
称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。 一般说来，符号化的步骤如下： ①正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其
中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表 达出来。
②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词； 在全总论域讨论时，要给出特性谓词。
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后跟条 件式，存在量词(x)后跟合取式。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写 字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定 把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。
例如，在命题“张明是位大学生”中， “张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它 刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生，c： 张明，则“张明是位大学生”可表示为
S(c)，
或者写成
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一 起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总 论域，为深入研究命题提供了方便。
离散数学23谓词公式与翻译
元，则(x)A，(x)A是合式公式。 ⑸ 只有有限次地应用⑴、⑵、⑶、⑷所得的公式 是合式公式。
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二、命题翻译
谓词公式也有以下约定： ⑴ 最外层的括号可以省略。 ⑵ 如果按¬、∧、∨、→、↔在运算中的优先级 别，省略括号后不改变原来的运算次序，可以 省略括号，但量词后面括号不能省略。
1一谓词公式简单命题函数与逻辑联结词可以组合成一些命题表达式与命题公式概念类似不是所有谓词表达式都可以成为谓词公式并进行谓词演算下面介绍谓词的合式公式的概念
一、谓词公式
简单命题函数与逻辑联结词可以组合成一些命题 表达式 与命题公式概念类似，不是所有谓词表达式都可 以成为谓词公式并进行谓词演算，下面介绍谓词 的合式公式的概念。
以上只是一般准则，具体应用时会有例外
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本课小结
谓词公式 命题翻译
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课后作业
补充:用谓词写出下列各断言 (1)长江比黄河长,金陵饭店比北京饭店高. (2)南京位于武汉和上海之间. (3)不是所有男人都比女人高. (4)有而且仅有一个素数是偶数. (5)凡是资本家都会剥削人,但剥削人者未必都
A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(a,b)
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二、命题翻译
由例题4可知，由命题翻译成谓词演算公式， 机动性很大，对个体刻划尝试的不同就可 翻译成不同的谓词公式。 一般的，对日常语言，我们可以有一个大 体的准则，根据这些准则可以进行命题的 翻译。
名词：专用名词（如南京、刘翔等）是客体
该命题符号化为： ¬(x) (y) (F(x)∧G(y)→H(x,y))
离散数学 教案 谓词逻辑(2)
4
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 解 在解释I下 1.
2.
3.
西南科技大学
5
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 如下： 例2：指定一个解释 如下： ：指定一个解释N如下 (1) 个体域为自然数集合 N 个体域为自然数集合D (2) 个体常元：a=0 个体常元： (3) DN上的指定函数为：f(x,y)=x+y，g(x,y)=x*y 上的指定函数为： ， (4) 指定谓词F(x,y)为：x=y 为 指定谓词 在以上指定的解释N下 求下列谓词公式的真值： 在以上指定的解释 下，求下列谓词公式的真值： (1) ∀xF(g(x,a),x) (2) ∀x∃y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∃ → (3) F(f(x,y),f(y,z))
西南科技大学
17
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics (5).量词辖域的扩充和收缩 量词辖域的扩充和收缩 ⇔∀xA(x) ∨B ①.∀x(A(x) ∨B) ⇔∀ ∀ ⇔∀xA(x) ∧ B ②. ∀x(A(x) ∧ B) ⇔∀ ⇔∃x ③.∃x(A(x) ∨B)⇔∃ A(x) ∨B ∃ ⇔∃ ④.∃x(A(x) ∧B)⇔∃ A(x) ∧B ⇔∃x ∃ ⇔∃ 说明： 说明：∃，∀在∧，∨逻辑联结词下，辖域可以扩充 逻辑联结词下， 到一切不含该指导变元的任意原子公式上。 到一切不含该指导变元的任意原子公式上。 公式推广， ⇔∃xA(x) ∨B(y) 公式推广，有：∃x (A(x) ∨B(y)) ⇔∃ 即只需满足两个条件： 、 中不含指导变元 中不含指导变元x 即只需满足两个条件：1、B中不含指导变元 2、只能是∧，∨ 、只能是∧
离散数学19.谓词公式与翻译
下面都是合式公式： P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式： xyP(x) ，P(x)∧Q(x)x.
为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边 有括号，则此括号不能省. 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号不是最外 层括号，所以不可以省略.
谓词公式与翻译
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其 中x1,x2,...,xn 是客体变元。
例如 Q, A(x) , A(x,y), A(x,f(x)), B(x,y,z), B(x,a,b) 都 是原子谓词公式。
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1）原子谓词公式是合式公式； 2）如果A是合式公式，则A也是合式公式； 3）如果A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (AB)都是合式公式； 4）如果A是合式公式，X是A中的任何客体变元，则(X) A和 (X) A也是合式公式； 5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
P(|x-a|,0))→Q(|f(x)-b|, )).
例1 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零. （2）存在小于2的素数. （3）没有不能表示成分数的有理数. （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩.
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零. 则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为： （x)(E(x)∧S(x)).
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例2 对任意小的正数，存在一个正数，使得当
0<|x-a|<时，有|f(x)-b|<.此时称 lim f x b . xa 解：令P(x,y)表示“x大于y”, Q(x,y)表示“x小于y”,故 lim f x b 可命题符号化为： xa ( )( ) (x)(((P(,0)→P(,0))∧Q(|x-a|,)∧
离散数学 第二章 谓词逻辑-2-3节
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个体域 (论域)
个体域的给定形式有两种： （1）具体给定。
如：{a,b,c}
（2）全总个体域/任意域。 所有个体域的总和，即世间一切万物的主体。
河南工业大学离散数学课程组 3、量词：在命题中表示客体数量的词，称之为量词。
：全称量词 ：存在量词
Anyone
Exit
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例
（2）每一个大学生都会说英语； 无特性谓词： Q(x):x会说英语。(x)Q(x) x∈{大学生}
Q(x):x会说英语。U(x):x是大学生。 (x) (U(x) → Q(x))
（3）有一些自然数是素数。 无特性谓词：T(x)：x是素数。(x) T(x) x∈{自然数}
一、谓词演算的原子公式
定义2-3.1 ：称n元谓词P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式， 简称原子公式。即不出现命题联结词和量词。 例如 P、Q(x)、A(x,f(x),a)都是谓词演算的原子公式。
二、谓词演算的合式公式(WFF)(Well Formed formulas) 定义2-3.2：谓词合式公式递归定义如下： (1)原子谓词公式是合式公式。
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将命题函数→命题的两种方法
1）将变元取定具体的值，如P(a),P(b)。 2）将谓词量化。如(x)P(x), (x)P(x)。
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命题函数举例
例.设S(x)表示“x学习很好”, W(x)表示“x工作很 好”, A(x)表示“ x身体好” S(x) 表示“x学习不是很好”, S(x) ∧W(x) 表示“x学习和工作都很好”。 A(x)→(S(x)∧W(x)) 表示“如果x身体不好，则x的学习与工作都不 会好”。 S(x), W(x)是简单命题函数, 而S(x), S(x)W(x), A(x)→(S(x)∧W(x))是 复合命题函数。
离散数学及其应用课件第2章第1节
例题
在个体域分别为：(a):自然数集合，(b):实数集合时，将下列命题符号化， 并给出它们的真值。 1. 对于任意的x，均有x2−3x+2=(x−1)(x−2); 2. 存在x，使得x+5=2。
解 假设F(x)：x2−3x+2=(x−1)(x−2)，G(x)：x+5=2。 (a) 个体域为自然数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为0。 (b) 个体域为实数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为1。
注意：除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，多 个量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变 原命题的含义。
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离散数学及其应用
1
第2章 谓词逻辑
2.1 谓词逻辑的基本概念 2.2 谓词合式公式 2.3 谓词公式的解释和分类 2.4 谓词演算的关系式 2.5 前束范式 2.6 谓词演算的推理
2
2.1谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体词和谓词 定义2.1.1 个体词是指可以独立存在的客体，可以是一个 具体的事物或抽象的概念，是原子命题所描述的对象。
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例题
若P(x)是语句“x2>10”，论述域为不超过4的正整数， xP(x)和x P(x)的真值是什么？
解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为 x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4) 而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
11
例题
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§2.2 谓词公式及其解释
习题2.2
1. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀
（2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀ （3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀
解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；
)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是y ∃的约束变元。
（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，
)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。
2. 设个体域}21
{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。
（1）))()((x Q x P x →∀ （2）))()((x Q x P x ∧∃
解（1）解释1I ：个体域}21
{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
（2）解释2I ：个体域}21
{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。
（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀
（2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀
解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。
成假解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(>x x P ，2:)(>y y Q ，1:),(<+y x y x R 。
（2）成真解释：个体域D ＝{1,2,3}，0:)(<x x P ，2:)(>y y Q ，3:),(>+y x y x R 。
成假解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(>x x P ，0:)(>y y Q ，1:),(<+y x y x R 。
4. 给定解释I 如下：
个体域R =D （这里R 为实数集合）。
个体常元0=a 。
二元函数y x y x f -=)(，。
二元谓词y x y x P =：，)(，y x y x Q <：，)(。
在解释I 下，下列公式的含义是什么？哪些成为命题哪些不成为？成为命题的其真值又
如何？ （1）))()((y x P y x Q y x ，，⌝→∀∀
（2）))())(((y x Q a y x f P y x ，，，→∀∀
（3）)))(()((a y x f P y x Q y x ，，，⌝→∀∀
（4）))())(((y x P a y x f Q y x ，，，→∀∀
解（1）公式被解释成“)(y x y x y x ≠→<∀∀”，为真命题。
（2）公式被解释成“)0(y x y x y x <→=-∀∀”，为假命题。
（3）公式被解释成“)0(≠-→<∀∀y x y x y x ”，为真命题。
（4）公式被解释成“)0(y x y x y x =→<-∀∀”，为假命题。
5. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
（1）)()(x xP x P ∃→ （2）)()(x P x xP →∃
（3）)()(x xP x P ∀→ （4）)()(x P x xP →∀
（5）))()((x P x P x ⌝→∀ （6）)()(y x xP y y x yP x ，，∀∀→∀∀
（7）)()(x y yP x y x yP x ，，∀∀→∀∀ （8）)()(y x yP x y x yP x ，，∀∃→∃∀ （9）)()(y x xP y y x yP x ，，∃∀→∀∃
（10）))()((x y P y x P y x ，，→∀∀ 解（1）因为当存在某个x 使)(x P 取1时)(x xP ∃一定取1，所以公式是为永真式。
（3）取解释1I ：个体域为自然数集合，
0)(2≥x x P ：。
在1I 下公式的前件与后件均为真，所以公式为真，即不是永假式。
取解释2I ：个体域仍为自然数集合，但)(x P 取为0>x 。
在2I 下公式不成为命题，即不是永真式。
综合知公式为可满足式。
（5）取解释1I ：个体域为自然数集合，
0)(2≥x x P ：。
在1I 下，对任意的x ，)(x P 为真而)(x P ⌝为假，所以公式为假，即不是永真式。
取解释2I ：个体域仍为自然数集合，
但)(x P 取为02<x 。
在2I 下，对任意的x ，)(x P 为假而)(x P ⌝为真，所以公式为真，即
不是永假式。
综合知公式为可满足式。
（7）公式为永真式，用非形式化的反证法证明如下：若公式非永真，则存在一个解释，使得)(y x yP x ，∀∀取1而)(x y yP x ，∀∀取0。
)(x y yP x ，∀∀取0表明存在某对00,y x 使得)(00x y P ，取0，从而)(y x yP x ，∀∀也应取0。
这与前面说)(y x yP x ，∀∀取1矛盾。
故
公式是永真式。
（9） 设I 为任意一个解释，个体域为D 。
若)(y x yP x ，∀∃取1，即存在D x ∈0，使得)(0y x yP ，∀为真，从而)(y x xP y ，∃∀为真，故)()(y x xP y y x yP x ，，∃∀→∀∃为真。
所以在解释I 下公式为真，由I 的任意性可知，公式为永真式。
（2）、（4）、（6）、（8）、（10）略。
6. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
（1）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∧∀→∧∀
（2）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀
（3）)())()((y yQ y yQ x xP ∃∧∃→∀⌝
（4）))()(())()((x xQ y P x Q y P x ∀→→→∀
（5）))()(())()((x xQ x P x Q x P x ∀→→→∀
（6）)))()(()((x P y x yQ x P →∀→⌝，
（7）))()(()(y x P y x Q y x P ，，，→→
解 略
7. 给出一个非闭式的永真式，给出一个非闭式的永假式，给出一个非闭式的可满足式。
解 略。