运筹学线性规划练习题详解演示文稿
运筹学习题解答(chap1 线性规划及单纯形法)
第一章 线性规划及单纯形法一、写出下列线性规划的标准形式，用单纯形法求解，并指出其解属于哪种情况。
1、P55,1.3(a)21510m ax x x Z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0x ,x 8x 2x 59x 4x 3.t .s 212121 解：将模型化为标准型21510x x Z Max +=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++0,,,825943..4321421321x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)2,1(*=X ，最优目标值为2。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
2、 P55,1.3(b)21x x 2Z m ax +=s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x解：将模型化为标准型21x x 2Z Max +=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++=+0x ,...,x ,x ,5x x x ,24x x 2x 6,15x x 552152142132 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)0,0,2,2,2(X *=，最有目标值为217。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
3、3212x x x Z Min -+=，t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤+-≤-+0,,,5,822,422321321321321x x x x x x x x x x x x 解：将模型化为标准型：3212x x x Z Min -+=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++-=+-+0,,,5,822,422321632153214321x x x x x x x x x x x x x x x 用单纯形法迭代最优解为（0，0，4），最优值为-4。
4、43213x x x x Z Min +++=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++-0,,,,,63,4224321421321x x x x x x x x x x 解：因为所有检验数均已非负，故已是最优解，最优解为（0，2，0，4），--10分最优目标值：6Z =*。
运筹学线性规划ppt课件
16
例3
化如下的线性规划问题模型
min z 3x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 3x3 2 2 x1 3x 2 2 x3 2 x 0, x 无约束, x 0 2 3 1
为标准形式。
(1 )变量 x1 是非正的，所以要将模型中的所有 x1 都用 x1 x1 0 代替，其中 x1
运筹学建模步骤:
识别问题
定义决策变量
建立约束条件
建立目标函数
6
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下： max( 或 min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 )b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn (或 ，或 )b2 s.t. a x a x a x (或 ，或 )b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量
x5 使它化为等式： 2 x1 3x 2 2 x3 x5 2 也就是
3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1
18
从而得到模型的标准形式为
2 x2 2 x2 x3 max z 3x1 2 x2 2 x 2 3x3 x 4 2 x1 3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1 x , x , x , x , x , x 0 1 2 2 3 4 5
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）第8课线性规划◇考纲解读①从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；②了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；③从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决．◇知识梳理1．平⾯区域①⼆元⼀次不等式0Ax By C ++>在平⾯直⾓坐标系中表⽰0Ax By C ++=某⼀侧所有点组成的__________．②在直线的某⼀侧取⼀特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表⽰直线哪⼀侧的平⾯区域.（特殊地，当C ≠0时，常把_______作为此特殊点）王新敞③在坐标系中画不等式0Ax By C ++>所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成虚线，表⽰区域__________边界直线．④在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成实线，表⽰区域____________边界直线．2.线性规划：①求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为________问题②满⾜线性约束条件的解（x ，y ）叫做__________，由所有可⾏解组成的集合叫做__________.（类似函数的定义域）；③使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解叫做____________ 线性规划问题⼀般⽤图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性⽬标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可⾏域（即各约束条件所⽰区域的公共区域）；（5）利⽤线性⽬标函数作平⾏直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可⾏域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案◇基础训练1．（2008⼭东青岛）若y x z y y x x y y x +=??-≥≤+≤2,11,则满⾜约束条件的最⼤值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52. (2008佛⼭⼀模)在平⾯直⾓坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥??-+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是（）．A ．3B ．6C ．92D ．9 3．设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- _________4．（2008⼭东济宁）已知点(,)P x y 的坐标满⾜条件41x y y x x +≤??≥??≥?，点O 为坐标原点，那么||PO 的最⼤值等于_______,最⼩值等于____________.◇典型例题例1．已知实数x ，y 满⾜不等式组22021x y x y +-≥??≤??≤?，求22z x y =+-⼤值和最⼩值．例2．为迎接2008年奥运会召开，某⼯艺品加⼯⼚准备⽣产具收藏价值奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该⼚所⽤的主要原料为A 、B 两种贵重⾦属，已知⽣产⼀套奥运会标志需⽤原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，⽣产⼀套奥运会吉祥物需⽤原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该⼚⽉初⼀次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该⼚⽣产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该⼚⽉利润最⼤，最⼤利润为多少？◇能⼒提升1.（2007⼴州⼆模）已知⽅程2x bx 10(b R 0)a a a +-=∈>、且有两个实数根，其中⼀个根在区间(1,2)内，则a -b 的取值范围为（）A ．()+∞-1,B ．()1,-∞-C ．()1,∞-D ．()1,1-2．给出平⾯区域（包括边界）如图所⽰，若使⽬标函数(0)z ax y a =+>取得最⼤值的最优解有⽆穷多个，则a 的值为（） A ．14 B ．35 C ．4 D ．533．（2008佛⼭⼆模）已知A 为xOy 平⾯内的⼀个区域．命题甲：点20(,){(,)|0}360x y a b x y x x y -+≤??∈≥??+-≤?；命题⼄：点A b a ∈),(．如果甲是⼄的充分条件，那么区域A的⾯积的最⼩值是（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2008深圳⼆模)当点(,)M x y 在如图所⽰的三⾓形ABC 内（含边界）运动时，⽬标函数z kx y =+取得最⼤值的⼀个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是（）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,1)-5．实数x ，y 满⾜不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?若ωω则,11+-=x y 的取值范围是 . 6.(2008韶关⼆模)某车间⽣产甲、⼄两种产品，已知制造⼀件甲产品需要A 种元件5个，B 种元件2个，制造⼀件⼄种产品需要A 种元件3个，B 种元件3个，现在只有A 种元件180个，B 种元件135个，每件甲产品可获利润20元，每件⼄产品可获利润15元，试问在这种条件下，应如何安排⽣产计划才能得到最⼤利润？2)第8课线性规划◇知识梳理1. ①平⾯区域，②原点，③不包括，④包括. 2. ①线性规划，②可⾏解，③最优解。
简单的线性规划问题课件
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为[12，2]．
x＋y≤6 若变量 x、y 满足约束条件x－3y≤－2
x≥1
，则 z＝2x＋3y
的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
[答案] C
[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)． 作出直线 l：2x＋3y＝0. 平移直线 l 到 l′的位置，使直线 l 通过可行域中的 A 点(如 图) 这时直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴 上的截距为 z，随 z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截 距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0 0 ，得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx－＝41y＋3＝0 ，得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x，y)叫做 可行解 ； 由所有可行解组成的集合叫做 可行域 ；使目标函数取得最大值 或最小值的可行解叫做 最优解．
(2013·福建文，6)若变量 x、y 满足约束条件xx＋ ≥y1≤2 y≥0
，则 z
温故知新
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种 矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t．列 出满足生产条件的关系式，并画出平面区域．
简单的线性规划问题(第1课时)课件2
x＋2y 8
x 2 y 8
4 4y x
16 12
x y
4 3
x 0
x
0
y 0
y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获 利3万元，采用那种生产安排利润最大？
0.06 0.06
174xx174
y y
6 6
x 0
x 0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y 4 x z
它表示斜率为 4
3 28
3
随z变化的一组平行直
线系
6/7 y
z 28 是直线在y轴上 5/7 M
为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
三、例题
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y
y 2 x z
4
3
3
3
它表示斜率为
2 3
的
M
直线系，z与这条直线
的截距有关。
o
4
8x
如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距
最大，即z最大。
运筹学线性规划练习题详解演示文稿
钢卷 工序
I
III(1) 1
II
III(2)
I
2
II
III
II 3
III
机器效率 10吨/28小时 50米/分钟 20米/分钟 25米/分钟 10吨/35小时 20米/分钟 25米/分钟 16米/分钟 20米/分钟
每月需求量 销售利润 ≤1250吨 250元/吨
≤250吨
350元/吨
离机场距离
摧毁可能性
要害部位 （公里） 每枚重型炸弹 每枚轻型炸弹
1
450
0.10
0.08
2
480
0.20
0.16
为了使摧毁敌3方军事目标54的0 可能性最大0.，15应如何确定0飞.1机2 轰炸的方案。
要求建立这4 个问题的线600性规划模型。0.25
0.20
第十六页，共22页。
15.一个大的造纸公司下设10个造纸厂，供应1000个用户。这些造纸厂内 应用三种可以互相替换的机器，四种不同的原材料生产五种类型的纸 张。公司要制定计划，确定每个工厂每台机器上生产各种类型纸张的 数量，并确定每个工厂生产的哪一种类型纸张，供应哪些用户及供应 的数量，使总的运输费用最少。已知：
≤1500吨 400元/吨
14.某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部 位，只要摧毁其一即可达到目的。为完成此项任务的汽油消耗量限 制为48000升，重型炸弹48枚，轻型炸弹32枚。飞机携带重型炸弹 时每升汽油可飞行2公里，带轻型炸弹时每升汽油可飞行3公里。又 知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽 油消耗（空载时每升汽油可飞行4公里）外，起飞和降落每次各消 耗100升。有关数据如下表所示：
管理运筹学线性规划ppt课件
x1 +x2 =300
D
x1
x1 ≥0, x2 ≥0
ห้องสมุดไป่ตู้
O
100 200 300 400
• 五边形ABCDO内(含边界)的任意一点2x1(x+1x，2 =x402)0都是满足所有
约束条件的一个解，称之可行解 。 z=0= 50x1 +100 x2
11
经济管理学院
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第二节
线性规划的图解法
三 、解的可能性（续） • 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集
例如
maxZ= 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 ≥2
2
经济管理学院
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第一节
线性规划一般模型
一、线性规划问题的三个要素
•
▪ 决策问题待定的量值称为决策变量。 ▪ 决策变量的取值要求非负。
• 约束条件
第三节
线性规划的标准型
一 、标准型
• 线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如
▪ 目标函数有极大化和极小化； ▪ 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； ▪ 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
运筹学例题及答案ppt课件
解：a）
1
b
4
0
0
2/3 1/3 0 0 1 2 b 1/3 2/3 0 043
1 1 1 0 0 5 2/3 1/3 0 1 0 2
将其加到表（1）的最终单纯形表的基变量b这一列数 字上得表（2）
（表2）
cj 3 2 0 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 x2 10/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 3 x1 1/3 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 x5 -2 0 0 -1 1 1 0 0 x6 -4/3 0 0 -2/3 1/3 0 1
5(x1 x2 x3)10x7 6000 7(x4 x5 x6)9x8 12x9 10000
6(x1 x4)8(x7 x8)4000 4(x2 x5)11x9 7000
7(x3 x6)4000
xj 0
对偶理论
1. 已知线性规划问题：
max z 2 x 1 4 x 2 x 3 x 4
cj－ zj 0 0 -1/3 -4/3 0 0 1/3
因x2已变化为x/2，故用单纯形法算法将x/2替换出基变 量中的x2，并在下一个表中不再保留x2，得表（9）
表9
cj 3 2 0 0 0 0 cB xB b x1 X’2 x3 x4 x5 x6 4 X’2 1 0 1 1/2 -1/4 0 0 3 x1 3 1 0 -1/2 3/4 0 0 0 x5 3 0 0 -1 1 1 0 0 x6 0 0 0 -1 1/2 0 1
y1 2 y2 y4 2
3
y
1
y2
y3
y4
4
s.t. y3 y4 1
y1
y3
1
y1, y2 , y3 , y4 0
运筹学 线性规划习题解析PPT课件
解：由题设条件设生产甲、乙两种皮带分别为x1、 x2根
max S=max(4x1+3x2) 2x1+x2≤1000
交点：x1=200 x2=600
x1 +x2≤800
x1
≤400
x2 ≤700
x1、x2≥0
第14页/共28页
第一章 线性规划
• 7、某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，制造A、B产品每吨所需要的各种原料、可得利润以及工厂 现有的各种原料数如下表所示：
第11页/共28页
设x1、x2、x3、x4分别代表四种方法分割 300cm的钢管的根数，S表示废料的总长度
• x1+x2+x3+x4=500 可以截得80cm钢管（3x1+2x2+x3）根，70cm钢管 （2x2+3x3+4x4）根，共有废料（60x1+10x3+20x4 ） cm 则可得： (3x1+2x2+x3):(2x2+3x3+4x4)=12:3 化简m的in：S=mi3n(x610-x61+x12-01x21+x230-x13)6x4=0
min S=min(5x1+6x2+7x3)
x1+x2+x3=1000
x1≤300
x2≥150
x3 ≥200
x1,x2,x3≥0
第2页/共28页
第一章 线性规划
• 2、某产品重量为150千克，用A、B两种原料制成。每单位A原料成本为2元， 每单位B原料成本为8元。该产品至少需要含14单位B原料，最多含20单位A 原料。每单位A、B原料分别重5千克、10千克，为使成本最小，该产品中A、 B原料应各占多少？
运筹学例题解析
运筹学例题解析(共6页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-(一)线性规划建模与求解B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。
甲、乙两种产品每生产1单位分别消耗2小时、1小时。
又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。
已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。
请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大要求：1、建立该问题的线性规划模型。
2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。
如果不存在最优解，也请说明理由。
解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1、x2单位 。
(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2(3)约束条件如下：12211225..3,0+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x x s t x x x x2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1+x 2与约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。
甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。
（二）图论问题的建模与求解样题A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。
但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。
试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。
已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。
要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
解：（1）建立图论——最短路问题模型。
①设点Vi 表示第i年年初，虚设一个点V6，表示第五年年底；②弧(Vi , Vj)表示第i年初购进一台设备一直使用到第j年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；③弧(Vi , Vj)上的权数表示第i年初购进一台设备，一直使用到第j年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。
线性规划完整ppt课件
若 x、 y 满足
y 1
y
2 x -1
x y m
若目标函数 zxy最小值-1，则m的值.
可编辑课件
15结束
变式训练（四）
x y 1
若 x、 y 满足 x y 4
x
y
2
x y 2
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6
问题（四）
用什么方法解决这个问题呢？ 根据什么判断这是一个线性规划问题呢？
可编辑课件
7
解：设每天吃x百克苹果,y百克桔子,花 钱z元，则 50x 25y 75
0.2x 0.4y 1 x0 y0
z 0.75x y
可编辑课件
8
M
M
可编辑课件
9
当直线z=0.75x+y经过可行域上的点M时，z有最小值
巩固练习
x y 1
若点M( x , y ) 在平面区域 x y 4 上
x
y
2
x y 2
向量a (1, 2)，则 OM a 的最大值.
可编辑课件
12
变式训练（一）
x y 1
若 x、 y
满足
x
x
y y
4 2
x y 2
则 z | x2y| 最大值.
可编辑课件
13
变式训练（二）
解方程组500.2xx++205.y4=y=751
得M的坐标为（1，7） 33
所以，zmin
0.75x
y
31 12
2.6
答：最少可以花约2.6元.
可编辑课件
10
问题（五）
解决线性规划实际问题的步骤：
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案整理版
《运筹学》线性规划部分练习题一、思考题1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？2 .线性规划问题的一般形式有何特征？3.建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4.两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5.求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6.什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7•试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8•试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9.在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10.大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11 •什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？二、判断下列说法是否正确。
1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2.线性规划的可行解集是凸集。
3.如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4.线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7.用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j' 0对应的变量都可以被选作换入变量。
8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9.单纯形法计算中，选取最大正检验数二k对应的变量xk作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。
10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
三、建立下面问题的数学模型1.某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。
运筹学第2章线性规划和单纯形法-习题解答PPT
影像科学与技术实验室 东南大学计算机学院 伍家松 jswu@
1
第一次作业完成的比较好的同学名单
71115134 朱鑫 71115142 刘茂林 71115204吕庆香 71115223 李竞 71115226 王思根 71115241蔡健宇
71115314 张轩奕 71115317 张东旭 71115338 姚雪飞 71115339肖君彦 71115344 李威 71116439 农思平
3x2 2 x2
8 3
11
课后练习题 2.3(1)
2 x1 x3 8
x1
6 x3
3
没有必要再计算目标函数z的值
2 x1 x1
4 x4 7 x4
8 3
12
课后练习题 2.3(1)
3x2 x3 8
2
x
2
6 x3
3
3 2
x2 x2
4 x4 7 x4
8 3
13
课后练习题 2.3(1)
作业的分数越高。 自己做的作业，对于作业中的题目提出自己独到的
创新性的个性的解法(不管解法是正确还是错误)
对于平时的作业，错误并不可怕， 可怕的是解法的平庸，最可怕的是抄袭！
5
理论类型作业
第2章 线性规划与单纯形法 （P55-56）
2.3 （1） 2.8
6
实验类型作业
第2章 线性规划与单纯形法 实验类型作业只交电子版 (准备一份WORD)
8
课后练习题（运筹学第4版）
第2章 线性规划与单纯形法
2.3 （1） 2.8
9
课后练习题 2.3(1)
2.3
10
课后练习题 2.3(1)
运筹学习题讲解(答案见另外word)
运筹学习题讲解
7. 求下图所示的网络最小费用最大流问题，每条弧旁边的 数字为（bij，cij）。
v2 (1,4) (2,2) x (3,5) (1,1) v1 (4,2) (1,3) v3 (4,3) (3,3) v4 (2,5) y
运筹学习题讲解
4. 用匈牙利法求解下述指派问题，已知效率矩阵为：
15 18 21 24 19 23 22 18 26 17 16 19 19 21 23 17
运筹学习题讲解
5. 某工厂生产三种产品，各种产品重量与利润的关系如下 表所示。现将此三种产品运往市场销售，运输能力总重量 不超过8吨，要求利润最大，采用动态规划方法求解，试 写出动态规划模型。
运筹学习题讲解
1. 写出如下线性规划问题的对偶问题：
maxz x1 2 x 2 x 3 x1 x 2 x 3 2 x x x 1 1 2 3 s.t . 2 x1 x 2 x 3 2 x1 0, x 2 0, x 3无 限 制
种类 重量（吨/件） 利润（元/件)
1 2 3
3 5 4
80 180 130
运筹学习题讲解
6. 某物流公司新购进4辆车，准备配发给甲、乙、丙3个 货栈，这3个货栈将得到的车辆数与收益的关系如下表所 示，试做出使总收益最大的分配方案。
0 甲 乙 丙 30 50 60 1 42 60 71 2 57 70 82 3 67 81 94 4 76 92 94
并利用弱对偶性说明z的最大值不大于1。
运筹学习题讲解
2. 已知线性规划问题
m axz 2 x1 x2 5 x3 6 x4 2 x1 x3 x4 8 s.t . 2 x1 2 x 2 x3 2 x4 12 x 0, i 1,2,3,4 i
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蛋白质(克) 矿物质(克) 维生素(毫克) 价格(元/公斤)
1
3
1
0.5
0.2
2
2
0.5
1.0
0.7
3
1
0.2
0.2
0.4
4
6
2
2
0.3
5
18
0.5
0.8
0.8
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最 省的选用饲料的方案。
6.一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。公司 现有库容5000担的仓库。1月1日，公司拥有库存 1000担杂粮，并有资金20000元。估计第一季度杂 粮价格如下表所示：
进货价(元/担) 出货价(元/担)
1月
2.85
3.10
2月
3.05
3.25
3月
2.90
2.95
如买进的杂粮当月到货，但需到下月才能卖出，且 规定“货到付款”。公司希望本季末库存为2000 担，问应采取什么样的买进和卖出策略使3个月总 的利润最大？
7.某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况 为秋冬季3500人日，春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出 干活，春夏季收入为2.1元/人日，秋冬季为1.8元/人日。该农场种植三
3.某人有一笔30万元的资金，在今后三年内有以下投 资项目：
(1)三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额 的20%，其本利可一起用于下一年投资；
(2)只允许第一年年初投入，第二年年末可收回，本 利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过 15万元；
(3)于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回， 本利合计为投资额的160%，这类投资限额20万元；
士分别于2:00、 6:00、 10:00、 14:00、 18:00、 22:00分六批上班，并连续工作8小时。试确定： (a)该医院至少应设多少名护士，才能满足值班需要； (b)若医院可聘用合同工护士，上班时间同正式工护 士。若正式工护士报酬为10元/小时，合同工护士 为15元/小时，问医院聘用正式工和合同工护士各 多少人成本最低？
(1)若占用本厂每月每立方米库容需1元，该厂应如何安排生 产计划，才能在满足市场需求的前提下，确保生产加库存 费用最低？
(2)上述问题是否有可行解？ (3)若该厂仓库不足时，可从外厂租借，租用外厂仓库时上述
费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如 何安排生产，使总的生产加库存费用为最少？
(4)于三年内的第三年初允许投资，一年收回，可获 利40%，投资限额为10万元。
试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资 计划。
4.某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖 果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C的
含量，原料成本、各种原料每月的限制用量、三 种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。
甲
乙
丙
原材料成本 每月限制
(元/公斤)
用量(公斤)
A
≥60%
≥15%
2.00
2000
B
1.50
2500
C
≤20%
≤60%
≤50%
1.00
1200
加工费
(元/公斤)
0.50
0.40
0.30
售价
(元/公斤)
3.40
2.85
2.25
问该厂每月生产这三种牌号的糖果各多少公斤，使
得到的利润为最大？
5.某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需 要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。 现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成 分含量及单价表如下表所示：
种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门 投资，而饲养动物时每头奶牛投资400元，每只鸡投资3元。养奶牛时 每天需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春秋 季为50人日，年净收入400元/头奶牛。养鸡时不占土地，需人工为每 只鸡秋冬季需0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入为2元/只鸡。农场 现有鸡舍允许最多养3000只鸡，牛栏允许最多养32头奶牛。三种作物 每年需要的人工及收入情况如下表所示。
9.对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预定数如下 表所示：
季度
产品
1
2
3
4
I
1500
1000
2000
1200
II
1500
1500
1200
1500
III
1000
2000
1500
2500
该三种产品1季度无库存，要求在4季度末各库存150件。已知 该厂每季度生产工时为15000小时，生产I、II、III产品每 件分别需时2、4、3小时。因更换工艺装备，产品I在1季度 无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每 迟交一个季度赔偿20元，产品III赔偿10元；又生产出的产 品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。问 该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用为最小。
秋冬季需人日数 春夏季需人日数 年净收入(元/公顷)
大豆 20 50 175
玉米 35 75 300
麦子 10 Байду номын сангаас0 120
试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
8.市场对I、II两种产品的需求量为：产品I在1～4月每月需 10000件，5 ～9月每月30000件，10 ～12月每月需100000件； 产品II在3 ～9月每月15000件，其他月每月50000件。某厂 生产这两种产品成本为：产品I在1 ～5月内生产每件5元， 6 ～12月内生产每件4.5元；产品II在1 ～5月内生产每件8元， 6 ～12月内生产每件7元。该厂每月生产两种产品能力总和 不超过120000件。产品I容积每件0.2立方米，产品II每件0.4 立方米，而该厂仓库容积为15000立方米。要求：
运筹学线性规划练习 题详解演示文稿
优选运筹学线性规划 练习题
1.某炼油厂根据计划每季度需供应合同单位汽油15万 吨、煤油12万吨、重油12万吨。该厂从A、B两处
运回原油提炼，已知两处原油成分如下表所示。 又如从A处采购原油每吨价格（包括运费，下同） 为200元，B处原油每吨为310元。请给出该炼油厂 采购原油的最优方案。
含汽油 含煤油 含重油 其他
A(%) 15 20 50 15
B(%) 50 30 15 5
2.某医院昼夜24小时各时间段内需要的护士数量如下： 2:00～6:00 10人； 6:00～10:00 15人； 10:00～14:00 25人； 14:00～18:00 20人； 18:00～22:00 18人； 22:00～2:00 12人。护