【人教A版】高中数学必修二：专题强化训练(二)

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专题强化训练(二)

点、直线、平面之间的位置关系

(30分钟50分)

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.在下列命题中,不是公理的是( )

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内

D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线

【解析】选A.选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.

2.(2015·浙江高考)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β( )

A.若l⊥β,则α⊥β

B.若α⊥β,则l⊥m

C.若l∥β,则α∥β

D.若α∥β,则l∥m

【解析】选A.选项A中,由平面与平面垂直的判定,故正确;选项B中,当α⊥β时,l,m可以垂直,也可以平行,也可以异面;选项C中,l∥β时,α,β可以相交;选项

D中,α∥β时,l,m也可以异面.

3.(2015·西安高一检测)已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( )

A.与a,b都相交

B.只能与a,b中的一条相交

C.至少与a,b中的一条相交

D.与a,b都平行

【解析】选C.若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据公理4,则a∥b,与a,b异面矛盾.

4.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点P∈l,则下列说法中,正确的个数是( )

①过P与l垂直的直线在α内;

②过P与β垂直的直线在α内;

③过P与l垂直的直线必与α垂直;

④过P与β垂直的直线必与l垂直.

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选B.②④正确,对于①:与l垂直的直线不一定在α内,对于③:只有在β内与l垂直的直线才与α垂直,故①③错误.

5.已知l,m,n为两两垂直的三条异面直线,过l作平面α与直线m垂直,则直线n 与平面α的关系是( )

A.n∥α

B.n∥α或n⊂α

C.n⊂α或n与α不平行

D.n⊂α

【解析】选A.因为l⊂α,且l与n异面,所以n⊄α,又因为m⊥α,n⊥m,所以n∥α.

6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N 是A1B1上的动点,则直线NO,AM的位置关系是( )

A.平行

B.相交

C.异面垂直

D.异面不垂直

【解析】选C.过O作EF∥AB,分别与AD,BC相交于点E,F,连接A1E,B1F,因为O是AC的中点所以E,F分别是AD,BC的中点,所以AB∥EF,AB=EF,又因为A1B1∥AB,A1B1=AB,所以A1B1∥EF,A1B1=EF,所以A1B1FE是平行四边形,易证AM⊥A1E,AM⊥A1B1,所以AM⊥平面A1B1FE,又NO⊂平面A1B1FE,所以AM⊥NO.

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置,使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线A′B与CD所成角的大小为.

【解析】由A′O⊥平面ABCD,可得平面A′BC⊥平面ABCD,又由DC⊥BC,可得DC⊥平面A′BC,所以DC⊥A′B,即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.

答案:90°

8.(2015·广州高一检测)设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且,则m∥n”,题中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.

①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.

可以填入的条件有.

【解析】由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.

答案:①或③

9.(2015·南昌高一检测)如图,自二面角α-l-β内任意一点A分别作AB⊥α,AC ⊥β,垂足分别为B和C,若∠BAC=30°,则二面角α-l-β的大小为.

【解析】因为AB与AC相交,所以可以确定一个平面.设平面ABC与l相交于点D,连接BD,CD,

因为AB⊥α,l⊂α,所以AB⊥l,

因为AC⊥β,l⊂β,所以AC⊥l,又l⊥平面ABC

所以l⊥BD,l⊥CD,所以∠BDC是二面角α-l-β的平面角.

在四边形ABDC中,∠ACD=∠ABD=90°,∠BAC=30°所以∠BDC=150°,

所以二面角α-l-β的大小为150°.

答案:150°

三、解答题(每小题10分,共20分)

10.(2015·安徽高考)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.

(1)求三棱锥P-ABC的体积.

(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.

【解析】(1)由题意可得S△ABC=·AB·AC·sin60°=,由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,

所以所求三棱锥的体积为V=S△ABC·PA=.

(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为点N,

在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM,

由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,

所以MN⊥AC,由于BN∩MN=N,所以AC⊥平面MBN,

又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM,