4 角平分线 省优 【一等奖教案】

1．4 角平分线 第1课时 角平分线

1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点) 2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)

一、情境导入

问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：角平分线的性质定理

【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等

如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC

上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .

解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．

证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt

△DEB 中，∵⎩

⎪⎨⎪

⎧BD ＝DF ，DC ＝DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ；

(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，

∵⎩

⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .

方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．

【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用

如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，

则AC 的长是( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋1

2

×AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.

方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出

线段的长度是常用的方法．

【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用

如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂

足分别为E ，F .求证：CE ＝CF .

解析：由角平分线上的性质可得DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt

△CDF 中，∵⎩

⎪⎨⎪

⎧CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF .

方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，

可作为判定三角形全等的条件．

探究点二：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定

如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：

AD 是∠BAC 的平分线．

解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．

证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与

△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩

⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，

BD ＝CD ，

∴Rt △BDE ≌Rt △CDF (HL)，∴DE ＝DF .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是∠BAC 的平分

线．

方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．

【类型二】 角平分线的性质和判定的综合

如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂

足分别是E 、F .下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF ；②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等．其中正确的结论有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 解析：由AD 平分∠BAC ，D

E ⊥AB ，D

F ⊥AC 可得DE ＝DF ，由此易得△ADE ≌△ADF ，故∠ADE ＝∠ADF ，即①AD 平分∠EDF 正确；②AE ＝AF 正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE 、AF 距离相等的点，在∠BAC 的角平分线AD 上，到DE 、DF 的距离相等的点在∠EDF 的平分线DA 上，两者同一条直线上，所以到DE 、DF 的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选D.

方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．

【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题

如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点D .求证：AD 是∠BAC 的平

分线．

解析：分别过点D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．

证明：分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G .∵BD 平分∠CBE ，DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点D 在∠BAC 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分线．

方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．

【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用