第五节极限的存在性定理64145
判断函数极限是否存在的方法
判断函数极限是否存在的方法判断函数极限是否存在是微积分中的重要概念之一。
在实际问题中，判断函数极限的存在性可以帮助我们更好地理解函数的行为，进行数学建模和预测。
在本文中，我们将介绍判断函数极限存在的方法，并详细讨论极限的定义、性质和计算方法。
我们将首先介绍极限的定义，然后讨论函数极限的性质和计算方法。
最后，我们将通过一些例题对判断函数极限存在性的方法进行详细说明。
1.极限的定义在微积分中，我们用极限来描述函数在某一点处的“接近性”。
当自变量x趋于某个值a时，函数f(x)的极限存在，表示当x足够接近a时，f(x)的取值也足够接近一个确定的数L。
这个数L即是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
根据这个定义，我们可以得到极限存在的三个要素：自变量x趋于某个值a、函数f(x)在a的邻域内有定义、函数f(x)的取值趋于一个确定的数L。
因此，要判断函数极限是否存在，我们需要根据这三个要素来进行分析和判断。
2.函数极限的性质函数极限存在的性质主要包括唯一性、局部有界性、局部保号性和局部保序性。
唯一性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它的极限值是唯一的。
局部有界性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它在该邻域内有界。
局部保号性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L（L>0），则在该邻域内，函数的取值大于0。
局部保序性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则在该邻域内，函数的取值的大小顺序与自变量的大小顺序一致。
这些性质为判断函数极限的存在性提供了重要依据。
在实际问题中，我们可以根据这些性质来判断函数极限是否存在，并进一步进行相关的分析和计算。
3.函数极限的计算方法判断函数极限的存在性和计算实际上是相辅相成的。
只有在判断函数极限存在的前提下，我们才能进行具体的计算。
函数极限的计算方法主要包括极限的四则运算法则、极限的夹逼定理、极限的连续性定理和极限的分部求极限法等。
经济数学微积分极限存在准则
1 lim
0
sin
某过程
1;
2 lim (1 ) e .
0 某过程
1
思考题
有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个 月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对. 而所 生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对 小兔，以后每月亦生产小兔一对. 假定每产一对 小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共 有小兔几对？并求出许多年后，兔子总对数的月 增长率.
k 年后本利和 Ak A0 (1 r ) k
如果一年分 n期计息，年利率仍为r ，则 r 每期利率为 ，于是一年后的本利和 n r n A1 A0 (1 ) n
………
r nk k 年后本利和 Ak A0 (1 ) n 如果计息期数 n ，即每时每刻计算
复利(称为连续复利) ，则 k 年后的本利和
2
二、单调有界收敛准则
如果数列xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3x n x n 1
A
M
x
例3 证明数列 x n 3 3 3 ( n重根
注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim(
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
高等数学--25极限存在性定理与两个重要极限
lim
x
1
1 1 [x] 1
e
lim
x
1
1 x
x
e.
19
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令 t x,
lim
x
1
1 x
x
lim
t
1
1 t
t
lim
t
1
t
1
t
1
lim
t
1
t
1
1
t
1
1
t
1
1
e.
lim
x
1
1 x
x
e
令 t 1, x
lim(1
x0
1
x) x
lim
t
1
1 t
t
e
1
lim(1 x) x e
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第五节 极限存在性定理与两个重要极限
2.5.1 极限存在性定理
定理 : (夹逼定理) 设在x0的某空心邻域内恒有：
(1) g(x) f (x) h(x),
(2) lim g(x) A, lim h(x) A
x x0
x x0
那末极限 lim f (x) A 存在. xx0
An
A0 (1
r )n n
令n→∞，则表示利息随时计入本金，这样， 一年后 其本利和为：
lim
n
A0 (1
r )n n
lim
n
A0
(1
rn )r
n
r
A0e r
25
an 是单调递增的
an 2 2 2 2 2 2 22 2
7
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极限的存在与极限的唯一性
极限的存在与极限的唯一性是数学上一个非常基本的概念。
在许多数学分支的研究中，都离不开极限的概念。
本文将从极限的概念、存在性和唯一性三个方面分别进行探讨。
一、极限的概念在实数集合中，如果有一个数列{(a_n)}，且对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|a_n-L|<ε成立，则称数列{(a_n)}以L为极限，记作lim(an)=L。
其中L称为极限值，N称为证明极限的正整数，ε称为误差。
极限的概念是衡量数列趋向于某个值的一种方式。
根据定义，当ε越小，N的值就越大，这意味着数列的后面项越来越趋近于L 这个值。
同时，由于是趋近于L这个值，因此并不要求数列的所有项都等于L。
二、极限的存在性对于一个数列而言，能否存在极限呢？答案是肯定的，在实数集合内(即使在更广义的数学对象内)，每个数列都有极限。
这个结果称为实数集合或者更广泛的情况下实数域的完备性。
简单说，完备性指的是没有任何数“遗漏了”，所有的数都在集合内，没有任何数可以脱离集合而单独存在。
完备性是数学上非常基本的定理，它是将实数集合分别分配到数轴上的一个非常基础的概念。
这个概念不仅对于数列有意义，在计算连续函数的极限、微积分中，以及各种数理化学的研究中都有着广泛的应用。
三、极限的唯一性一个数列存在极限之后，这个极限是否唯一呢？答案也是肯定的，极限是唯一的。
比如数列(1,1/2,1/3,1/4...)，其极限为0。
那么如果我们把这个数列稍稍改变一下，比如变成(1,1/3,1/5,1/7...)，依旧其极限为0。
极限的唯一性在数学研究的许多环节中，都起着至关重要的作用。
比如，在微积分中，我们需要根据一个函数的导数是否存在来判断其连续性。
如果存在一些函数具有两个或以上不同的极限，那这些函数就无法成为连续函数，为我们的运算和研究带来了很大的困难。
四、结语极限的存在和唯一性是数学研究中极其基础的概念，涉及到了实数集合的完备性、连续性、微积分等方面。
第五讲极限的运算法则及存在准则
练习：
x - 16 求 lim . x 4 x - 4 x 2 - 16 解 lim = lim( x + 4) = 4 + 4 = 8 x 4 x - 4 x 4
2
3) 型 ( 记号 ) 3 x2 + x + 1 lim 2 例4 x 2 x - x + 1 = 3 2 1 + + 3 x = lim x 1 2- + x 1 lim ( 3 + 2 x = x 1 lim( 2 x2 x 1 + x 1 + x 1 2) x 1 2) x
x+ 2-4 4 1 = lim 2 解 lim - 2 x 2 x - 2 x - 4 x2 x - 4 x-2 1 1 = lim 2 = lim = x2 x - 4 x2 x + 2 4
C 5) 型 0
2x + 4 例7 求 lim . x -1 x + 1 x+1 因为 lim =0 x -1 2 x + 4
小结
一、函数极限的四则运算
二、多项式商的极限 三、复合函数的极限
第五讲 • 内容提要
函数极限的运算法则 与存在准则
1. 极限的运算法则；
2. 两个极限存在准则。
• 教学要求
1. 熟练掌握极限的四则运算法则； 2. 了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界法 则）.
一、极限的运算法则
+ x x 对于 下面仅给出x x0时的运算法则， 0 x x0 , x , x + , x - 等情况的运算
x 0
lim cos x = 1
x 0
定义1 对于数列 { x n }, 如果存在正数M, 使得对于 一切 xn , 都满足不等式 | xn | M ,
第五节极限的存在性定理
若 yn M , MR , 则称 {yn} 有上界. 若 yn m , mR， 则称 {yn} 有下界. {yn}:有界 既有上界又
有下界.
一个数列有界(有上界, 有下界), 则 必有无穷多个界(上界, 下界).
数列{xn}的所有上界中的最小者 , 称为数列的上确界 , 记为 sup xn.
若 lim g(x) lim h(x) A , 则必有
x x0 ( x)
xx0 ( x)
lim f (x) A.
xx0 ( x)
例5 求
1
lim
x0
2x
5
3xxຫໍສະໝຸດ 111解
0
2x
3x 5
x
2 3x 5
x
x2 2
n
x2 2
n
1
xn
x2 2
n
n
3
x2 2
得
x2 f (x)
2
1 故 f (x) x
x 2
2
0 x 1 1 x 2
x2
两边取极限,得:
a a2 2a
得 a 1
a 0 (舍去)
例 求数列 3, 3 3 , 3 3 3 , 的极限. 解 令 y1 3, y2 3 3 , y3 3 3 3 , (1)存在性
a) 单调性
n 1 时 3 1 3 3 3 3 3 3 y1 y2 设 n k 时 yk yk1
两边夹定理
y
看懂后, 用精确地语言描述它.
y h(x)
y A
极限存在的相关定理及应用
极限存在的相关定理及应用极限是微积分里常常涉及的概念，可以用来描述一个函数在某个数轴上的趋势，也可以用来计算一些与函数相关的重要数值。
在数学领域里，有许多与极限存在相关的定理和应用。
下面我们就来详细了解一下这些定理和应用。
一、极限的基本定义在介绍极限存在的相关定理和应用之前，我们先来回顾一下极限的基本定义。
我们可以用“趋于”和“无限接近”的概念来描述极限。
更准确地说，当一个函数f(x)在x趋近于a的过程中，其对应的y值无限接近于某个数L，那么这个数L就是f(x)在x趋近于a时的极限值，记作：lim f(x) = L(x→a)其中，lim表示“极限”，f(x)表示函数，a表示在哪个点求极限，而L表示函数f(x)在x趋近于a时的极限值。
如果这个极限存在，我们说函数f(x)在x趋近于a时有极限，否则我们则称它没有极限。
二、中值定理中值定理是微积分学的基础理论之一，也是极限存在的重要应用之一。
中值定理的基本思想是，对于一个连续函数f(x)，如果在一个区间[a,b]上连续且在(a,b)内可导，那么必然存在一个点c，其在[a,b]内，且：f′(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)其中，f′(c)表示函数f(x)在点c处的导数，(f(b) - f(a)) / (b - a)表示f(x)在[a,b]上的平均斜率。
中值定理在实际应用中非常广泛，可以用来求解一些关于极值点和拐点等数学问题。
三、极值定理极值定理是微积分学的核心内容之一，用来描述函数在某一段区间内的最大值和最小值。
如果一个函数f(x)在某个点x0处极大（或极小），则其一定是导数f′(x)在x0处等于0的点。
这个结论可以 expressed as：如果f(x)在x0处可导且f′(x0) = 0，则x0是f(x)的极值点。
要注意的是，虽然极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点却不一定是极值点，比如在一些情况下，f′(x)在x0处等于0时，函数f(x)既不是极大值也不是极小值。
第5节极限存在性定理与两个重要极限
tan2 2 x 求 极 限 lim . x 0 1 cos x
1 2 解 当 x 0 时, 1 cos x ~ x , tan2 x ~ 2 x . 2 (2 x )2 原式 lim 8 . 2 x 0 1 / 2 x
13
例7
tan x sin x 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
lim [1 ] e
1
1 x 例9 求 lim(1 ) . x x
解
1 x 1 原式 lim[(1 ) ] x x 1 1 lim . x 1 x e (1 ) x
21
2 x 例10 求 lim(1 ) . x x x x 2 2 2 2 2 2 2 [(1 ) ] [lim(1 ) ] e . 解 原 式 lim x x x x 3 x 2x ) . 例11 求 lim( "1 " x 2 x
1 n n
2
n n 1
2
lim
n
1
lim(
n
1 n 1
2
1 1 2 n 1 2 n 2
1,
) 1.
2
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.
定理(夹逼定理) 设在 x0 的某空心邻域内恒有
g( x ) f ( x ) h( x )
且有 lim g( x ) lim h( x ) A ，
4 cos x
2
e4 .
22
例13
连续复利问题
将本金A0 存入银行 , 年利率为 r, 则一年后本息 之和为 A0 (1 r ) . 如果年利率仍为 r， 但半年计一次 利息 ,且利息不取，前期的本息之和作为下期的本金 再计算以后的利息，这样利息又生利息，由于半年
函数极限的存在准则
函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。
我们先来看一个例子：例：符号函数为对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。
定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的左极限.记：如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的右极限.记：注：只有当x→x0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在x→x0时有极限函数极限的存在准则准则一：对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.注：有极限的函数不一定单调有界两个重要的极限一：注：其中e为无理数，它的值为：e=2.718281828459045...二：注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.例题：求解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，则注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换1/x，则t→0.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。
为此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。
记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。
定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量.记作：(或)注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。
极值存在定理
极小点的判定条件（一） 内点为极小值点的判定条件（求)(min x f ，D x ∈）一、一般条件定理1（一阶必要条件）设1R R :→⊆n D f 具有一阶连续偏导数，*x 是D 的内点，若*x 是)(x f 的局部极小点，则 0)(*=∇x f定理2（二阶必要条件）设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导数，若*x 是D 的内点且为)(x f 的局部极小点，则)(*2x f ∇是半正定的。
定理3（二阶充分条件）设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导数，*x 为D 的内点，且0)(*=∇x f ，若)(*2x f ∇正定，则*x 为)(x f 的严格局部极小点。
定理4（二阶充分条件）设1R R :→n f 具有二阶连续偏导数，n x R *∈且0)(*=∇x f ，若存在*x 的δ邻域),(*δx N 使对),(*δx N x ∈∀，都有)(2x f ∇半正定，则*x 为)(x f 的局部极小点。
二、凸规划极值判定条件凸规划问题：非空凸集D 上的凸函数的极小化问题。
定理5 设1R R :→⊆n D f 为凸集D 上的凸函数，则（1）)(x f 的任一局部极小点*x 为全局极小点；（2）若)(x f 可微，且存在D x ∈*，使0)(*=∇x f ，则*x 为)(x f 在D 上的全局极小点；（3）若)(x f 为严格凸函数，且全局极小点存在，则必唯一。
定理6 考虑如下特殊的凸规划问题：正定二次函数C x b Qx x x f ++=T T 21)(，n x R ∈ 则b Q x 1*--=为唯一的全局极小点。
（二） 边界点为极小值点的判定条件考虑一般的非线性规划(NP)：)(min x f:D x ∈ ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(,,1 ,0)(l j x h m i x s ji （1） 一、一般条件定理1（K —T 条件）（或一阶必要条件）：设*x 是（NP ）的局部极小点，)(,),(),(,),(),(11x h x h x s x s x f l m 在点*x 处可微，且点*x处的全部起作用约束的梯度线性无关（即*x 是正则点），则存在实数l m λλμμ,,,,,11 ，使下述条件成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∇-∇-∇∑∑==mi m i x s x h x s x f i i i l j j j m i i i ,,2,1 ,0,,2,1 ,0)(0)()()(*1*1** μμλμ （*）二、凸规划极值判定条件考虑凸规划问题：)(min x fs.t. ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(,,1 ,0)(l j x h m i x s ji （2） 其中，)(x f 是可微凸函数，m i x s i ,,1 ),( =是可微凹函数，l j x h j ,,1 ),( =是线性函数。
数列极限存在的判定准则
数列极限存在的判定准则数列极限存在是数学中一个重要的概念，它揭示了数列在无穷项时的趋势和稳定性。
在数学分析中，数列极限存在的判定准则有以下几种：1. Cauchy准则Cauchy准则是数列极限存在的一个重要准则。
根据Cauchy准则，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，对于任意正整数k，满足|an - ak| < ε。
这个准则意味着当数列中的项足够靠后时，这些项之间的差异足够小。
当且仅当数列满足Cauchy准则时，数列的极限才存在。
2. 单调有界准则对于递增（或递减）且有上（或下）界的数列，它的极限存在。
更加具体地，如果数列满足以下条件之一： - 若存在正整数N，当n>N时，有an≤an+1； - 若存在正整数N，当n>N时，有an≥an+1； - 数列有上（或下）界。
以上条件满足之一时，数列的极限存在。
3. 夹逼准则夹逼准则也是数列极限存在的判定准则之一。
如果存在两个数列{an}和{cn}，且满足an≤bn≤cn，并且当n趋近于无穷大时，an和cn都趋近于同一个极限L，那么数列{bn}的极限也收敛于L。
4. 有界性与单调性的整体准则一个数列，如果它是有界的，并且通过去除它的有限项后，剩余的数列具有单调性，那么原始数列的极限存在。
更准确地说，如果数列满足以下条件： - 存在正实数M，使得当n为任意正整数时，有|an|≤M； - 存在正整数N，当n>N时，an+1≥an或an+1≤an；则数列的极限存在。
5. 收敛数列算术运算性质如果两个数列{an}和{bn}收敛于a和b，那么它们的和、差、乘积和商也会收敛，并且有以下性质： - 和的极限为a + b； - 差的极限为a - b； - 乘积的极限为a * b； - 商的极限为a / b（其中b不等于0）。
这个准则告诉我们，如果知道一个数列收敛，并且知道另一个数列与之相关（通过加减乘除操作），我们可以利用这些关系判断极限的存在与值。
极限存在定理
极限存在定理
极限存在定理是关于数理逻辑的数学定理，它也被称为哥德尔不完备性定理。
它表明在计算机科学和数学的自然假设的基础上，一个公理即不能被证明也不能被否定。
该定理是二十世纪三十年代由哥德尔提出的，它颠覆了人们最初对数学和计算机科学的看法，同时也传递了一个激励信息：除了计算机科学和数学，人们还可以使用其他方法来解决问题。
极限存在定理说明，有一个无穷系统，它以某种方式存在于现实之中，而这个系统是不能用数学和计算机科学来证明或否定的。
这个系统的存在，意味着我们不可能用数学或计算机科学来精确地表示或验证它。
由于这种不可验证性，我们不能证明一个公理是真实的，或者是伪造的，因此我们必须使用其他方法来解决这个问题。
极限存在定理对于我们日常的生活也有重要的意义。
它提醒我们：有些事情我们可能无法用数学或计算机科学来解决，只有通过实践证明才能确定。
此外，它也要求我们探索真正的和虚拟的世界，勇于尝试新的可能性，以打破旧的惯性思维模式。
在全面了解定理的基础上，我们需要理解它所提出的问题，并深入分析，寻求更多有效的解决方案。
这些方案可能包括发明新的数学和计算机科学方法，也可能包括使用新的思维方法和创造性思维手段，从而推动科学研究的发展。
总的来，极限存在定理的出现打破了人们关于数学和计算机科学的观念，它对于我们对数学和计算机科学的理解和运用都有巨大的意
义。
它敦促我们正确地认识一个无穷系统，研究它涉及到的问题，从而推动科学研究的发展。
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(C ) 一定不存在 ( D ) 不一定存在.
答案 ( D ).
例3
求
1 li(m
1
1
).
n n21 n22
n2n
解 因为
n
n2 n
1 1 1
n21 n22
n2n
n n2 1
n lim
1
且
n lim
n2 n n 1
n n2 1
所以 原式 1.
1
例4 求 lim (1n2n3n4n5n)n. n
因此 ln imyn A.
注 (1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理. (2)不等式两边极限必须存在且相等. (3)此定理对一般函数极限仍然成立.
补充 (00年考研真题3分)
设对任意的 x, 总有(x)f(x)g(x),
且 li[m g(x)(x)]0,则 lim f (x)
x
x
( A) 存在且等于零 ( B ) 存在但不一定等于零
解 因为
1
1
1
1
5 ( 5 n ) n (1n2n3n4n5n)n( 5 5 n ) n 5 5 n
lim5 5
且
n
1
lim(55n ) 5
n
所以 原式 5.
常见的建立不等式的方法
(1)分母变大分数值变小,分母变小 分数值变大.
(2)去掉小项和变小,小项变大和变大.
作业题 1.记住极限存在性定理. 2.习题二 (A) 17、18.
xn1 A 4
xn2 A
42
x1 A 4n1
2 1 4 n1
只需 nlog4
211
取Nlog4 211
故极限存在.
求数列极限:
1.先按单调有界证极限存在性再按递推公式求 极限值,本方法一般适用于数列详细给出的 情况.
2.先按递推公式求极限值再按精确性定义验证 极限存在性,本方法一般适用于数列递推公式 给出的情况.
例2
设
x1
2,xn1
2 1 ,n1,求
xn
lim
n
xn
.
解 (1)求值 设 lnim xn A
则
1
ln im xn1
2 ln im xn
即 A 2 1 A1 2
A
因 xn 2
故 A1 2.
(2)存在性 对 0,
要使
xn
A
1
1
(2 )(2 )
xn1Leabharlann A11 xn1 A
xn1 A Ax n1
第五节 极限的存在性定理
定理2.14 单调有界数列必有极限.
例1 求数列 3, 3 3, 3 3 3,的极限. 解 令 y13,y233,y3333, (1)存在性
a ) 单调性
n1时1 3 3 3 3 3 3 3y1y2 设 nk时 yk yk1
nk1时 yk yk13yk 3yk1yk1yk2
定理2.15 如果数列 xn,yn,zn满足下列条件
(1)从某项开始有 xnynzn
(2) lnim xn lnimzn A
则 数列yn极限存在,并且lnim yn A
证 由已知, 对 0,NZ,当nN时
xn A
zn
A
xnynzn
同时成立
此时 A xn yn zn A
所以 yn A 成立
故对一切正整数 n有 yn yn1, 所以数列递增.
b ) 有界性
n1时 y1 33 设 nk时 yk 3 nk1时 yk 3 3yk 32 3yk 3yk13
故对一切正整数 n有 yn 3 ,所以 数列有界.
综上所述, 数列极限存在.
(2)求值 设 lnim yn A 将 yn 3yn1 两边求极限 得 ln i m yn 3nl im yn1 即 A 3A 故 A 3.