三角函数的综合应用教案

三角函数的综合应用教

案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页

)

考情分析考点新知理解和掌握同角三角函数的基本关

系式、三角函数的图象和性质、两角和

与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公

式及正弦定理和余弦定理，并能运用它

们解决有关三角函数的综合问题．

2. B级考点：①同角三角函数的

基本关系式

②二倍角公式

③三角函数的图象和性质

④正弦定理和余弦定理

1. (必修5P9例题4题改编)设△ABC的三个内角A、B、C所对的

边分别是a、b、c，且

a

cosA＝

c

sinC，则A＝________．

答案：

π

4

解析：由

a

cosA＝

c

sinC，

a

sinA＝

c

sinC，得

a

sinA＝

a

cosA，即sinA＝cosA，所以A＝

π

4.

2. (必修4P45习题1.3第8题改编)将函数y＝sinx的图象向左平

移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

x－

π

6的图象，则φ＝________．

答案：

11

6

π

解析：将函数y ＝sinx 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y

＝sin(x ＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋116π＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎪⎫x －π6. 3. (必修4P 109习题3.3第6(2)题改编)tan π12－1

tan π12＝________．

答案：－23

解析：原式＝sin π12

cos π12－cos π12sin π12＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12

＝－cos π612sin π6

＝－2 3. 4. (必修4P 115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝3sinxcosx －

cos 2

x ＋1

2(x ∈R )，则f(x)在区间⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域是________．

答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－12

，32

解析：f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6.当x ∈⎣⎢⎢

⎡⎦⎥⎥⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥

⎤－π6，π3，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.

5. 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则边BC 上的高为________．

答案：33

2

解析：由余弦定理，得7＝c2＋4－2c，即c2－2c－3＝0，解得c ＝3，所以边BC上的高h＝3sin60°＝33

2.

1. 同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinα

cosα

.

2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)＝cosαcosβsinαsinβ，tan(α±β)＝tanα±tanβ

1tanαtanβ

.

3. 二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝

2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝2tanα

1－tan2α

.

4. 三角函数的图象和性质

5. 正弦定理和余弦定理：

(1) 正弦定理：

a

sinA＝

b

sinB＝

c

sinC＝2R(R为三角形外接圆的半

径)．

(2) 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝b2＋c2－a2

2bc.

题型1三角恒等变换

例1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4

，π2.

(1) 求cosA 的值；

(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋5

2sinAsinx 的值域．

解：(1) 因为π4

cos ⎝

⎛⎭⎪⎪

⎫A ＋π4＝－210.

所以cosA ＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π4－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝

⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π4sin π4

＝－210·22＋7210·22＝3

5. (2) 由(1)可得sinA ＝4

5. 所以f(x)＝cos2x ＋5

2sinAsinx

＝1－2sin 2

x ＋2sinx ＝－2⎝ ⎛

⎭

⎪⎫sinx －12＋32，x ∈R .因为sinx ∈[－1，

1]，所以，当sinx ＝12时，f(x)取最大值3

2；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3.

所以函数f(x)的值域为⎣⎢⎡

⎦⎥⎤－3，32.

备选变式（教师专享）

(2013·上海卷)若cosxcosy ＋sinxsiny ＝12，sin2x ＋sin2y ＝2

3，则