天津高考文科数学试题及答案
(271)2019年天津高考文科数学试题及答案(Word版)
7.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ，则
A. -2B. C. D. 2
8.已知函数 若关于 方程 恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为
A. B. C. D.
绝密★启用前
第Ⅱ卷
注意事项：
【详解】详解：解法一：如图，过点 作 的平行线交 于 ，
因为 ，故四边形 为菱形。
因为 ， ，所以 ，即 .
因为 ，
所以 .
解法二：建立如图所示的直角坐标系，则 ， 。
因为 ∥ ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
直线 的斜率为 ，其方程为 。
由 得 ， ，
所以 。
所以 。
A.-2B. C. D.2
【答案】C
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出 值即可。
【详解】 为奇函数，可知 ，
由 可得 ；
把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，得 ，
由 的最小正周期为 可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ， 。
故选C。
8.已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为
（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
19.设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
×
○
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷,含答案)
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，含答案）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 是虚数单位，复数131ii--= A.2i - B. 2i + C.12i -- D. 12i -+【答案】A2.设变量,x y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数3z x y =-的最大值为A.-4B.0C.43D.4【答案】D3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-4,则输出y的值为A.0.5B.1C.2D.46.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 A.23 B.25 C.43 D. 45 【答案】B7.已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知集合{}||1|2,A x R x Z =∈-<为整数集,则集合A Z ⋂中所有元素的和等于 . 【答案】310. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 3m . 【答案】411. 已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n N *∈.若316a =,2020S =,则10S 的值. 【答案】110三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分） 编号分别为1216,,,A A A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 得分 1726253322123138区间 [10,20)[20,30)[30,40)人数(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, (i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这2人得分之和大于50的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中,内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知B=C, 23b a =. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)求cos(2)4A π+的值.17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,45ADC ∠=,AD=AC=1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD,PO=2,M为PD 的中点.(Ⅰ)证明PB ∥平面ACM ; (Ⅱ)证明AD ⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点,又M 为PD 的中点,所以PB∥MO,因为PB ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM ,所以PB∥平面ACM .(Ⅱ)证明:因为45ADC ∠=,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而AC PO O ⋂=,所以AD⊥平面PAC.(Ⅲ)取DO 点N,连接MN,AN,因为M 为PD 的中点,所以MN∥PO,且MN=12PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角.在Rt DAO ∆中,AD=1,AO=12,所以4DO =,从而124AN DO ==.在Rt ANM ∆中,tan MN MAN AN ∠===5,即直线AM 与平面ABCD【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数322()4361,,f x x tx t x t x R =+-+-∈其中t R ∈. （Ⅰ）当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点. 【解析】（Ⅰ）当1t =时,32()436,(0)0,f x x x x f =+-=2'()1266,'(0)6f x x x f =+-=-,所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6y x =-. (Ⅱ) 22'()1266,f x x tx t =+-令'()0f x =,解得x t =-或2t,因为0t ≠,以下分两种情况讨论:(1)若0t <,则2tt <-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: x(,)2t -∞ (,)2t t -(,)t -+∞'()f x + - + ()f x所以()f x 的单调递增区间是(,)2t -∞,(,)t -+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t t -. (2)若0t >,则2tt >-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(,)t -∞-,(,)2t +∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t -.所以()f x 在(,1)2t 内存在零点. 若(1,2)t ∈,37()(1)24t f t t =-+-<37104t -+<, x(,)t -∞-(,)2t t -(,)2t+∞ '()f x +- + ()f x(0)10,f t =->所以()f x 在(0,)2t内存在零点,所以,对任意(0,2)t ∈,()f x 在区间(0,1)内均在零点.综上, 对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+,13(1),2n n b n N -+-=∈*,且12a =. （Ⅰ）求23,a a 的值;(Ⅱ)设2121n n n c a a +-=-,n N ∈*,证明{}n c 是等比数列; (Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和,证明21212122121()3n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈.- 11 -。
2024年天津高考数学试题+答案详解
2024年天津高考数学试题+答案详解（试题部分）一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}12．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x −=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x −=+D ．||sin 4e x x xy +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c −===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则m n ⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32−C ．0D ．328．双曲线22221()00a x y a bb >−=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x −=B ．22184x y −=C ．22128x y −=D ．22148x y −=9．一个五面体ABC DEF −．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A B 12+ C D 12二、填空题10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．12．圆22(1)25−+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， CE =12DE,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ+= ；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．15．若函数()21f x ax =−+恰有一个零点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A −的值．17．已知四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值； (3)求点B 到平面1CB M 的距离．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB的中点，其中ABC S =△ (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19．已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==−． (1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a −+=⎧=⎨+<<⎩，*k ∈N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n b a b −≥⋅； （ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，求a 的值； (3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x −≤−．2024年天津高考数学试题+答案详解（答案详解）一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}1【答案】B【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =， 因此{}2,3,4A B =， 故选B2．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选C.3．下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1. 故选A4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x −=+B ．22cos 1x x y x +=+ C ．e 1x xy x −=+D ．||sin 4e x x xy +=【答案】B【详解】A ，设()22e 1x x f x x −=+，函数定义域为R ，但()112e 1f −−−=，()112e f −=，则()()11f f −≠，A 错误；B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x −+−+−===+−+，则()g x 为偶函数，B 正确；C ，设()e 1x xh x x −=+，函数定义域为{}|1x x ≠−，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，C 错误；D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R ，因为()sin141e ϕ+=，()sin141eϕ−−−=， 则()()11ϕϕ≠−，则()x ϕ不是偶函数，D 错误. 故选B.5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c −===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3−<<， 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2−<<<，所以0.30.30 4.21 4.2−<<<，即01a b <<<， 因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<， 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <， 所以b a c >>， 故选B6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则m n ⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥ D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交【答案】C【详解】A ，若//m α，//n α，则,m n 平行或异面或相交，A 错误. B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，B 错误. C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα=，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，C 正确.D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，D 错误. 故选C.7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32−C ．0D ．32【答案】A【分析】结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =−，再整体求出,126⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围。
2019年天津卷文科数学高考真题(原卷 答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学本试卷共20题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =−==∈<R …，则()A C B =（A ）{2}（B ）{2，3}（C ）{-1，2，3}（D ）{1，2，3，4}（2）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +−≤⎧⎪−+≥⎪⎨−⎪⎪−⎩……则目标函数4z x y =−+的最大值为（A ）2（B ）3（C ）5（D ）6（3）设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x −<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（A ）5 （B ）8（C ）24 （D ）29（5）已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）c b a << （B ）a b c << （c ）b c a <<（D ）c a b <<（6）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别交于点A和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 （A（B（C ）2（D（7）已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）-2（B）（C（D ）2（8）已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =−+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 （A ）59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）59,44⎛⎤⎥⎝⎦（C ）59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦（D ）59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津高考文科数学含参考答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学文史类本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分;共150分;考试用时120分钟..第Ⅰ卷1至2页;第Ⅱ卷3至5页..答卷前;考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上;并在规定位置粘贴考试用条形码..答卷时;考生务必将答案涂写在答题卡上;答在试卷上的无效..考试结束后;将本试卷和答题卡一并交回.. 祝各位考生考试顺利 第Ⅰ卷 注意事项：1．每小题选出答案后;用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑..如需改动;用橡皮擦干净后;再选涂其他答案标号.. 2．本卷共8小题;每小题5分;共40分.. 参考公式：·如果事件A ;B 互斥;那么PA ∪B =PA +PB ．·棱柱的体积公式V =Sh .其中S 表示棱柱的底面面积;h 表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =;其中S 表示棱锥的底面积;h 表示棱锥的高. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中;只有一项是符合题目要求的. 1设集合{1,2,3,4}A =;{1,0,2,3}B =-;{|12}C x x =∈-≤<R ;则()A B C = A {1,1}- B {0,1} C {1,0,1}- D {2,3,4}2设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为A6 B19 C21 D45 3设x ∈R ;则“38x >”是“||2x >”的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4阅读如图所示的程序框图;运行相应的程序;若输入N 的值为20;则输出T 的值为 A1 B2 C3 D45已知13313711log ,(),log 245a b c ===;则,,a b c 的大小关系为A a b c >>B b a c >>C c b a >>D c a b >> 6将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度;所得图象对应的函数 A 在区间[,]44ππ-上单调递增B 在区间[,0]4π上单调递减C 在区间[,]42ππ上单调递增D 在区间[,]2ππ上单调递减7已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2;过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ;且126,d d +=则双曲线的方程为A 22139x y -= B 22193x y -= C 221412x y -=D 221124x y -= 8在如图的平面图形中;已知 1.2,120OM ON MON ==∠=;2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A 15-B 9-C 6- D0 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.. 2．本卷共12小题;共110分..二．填空题：本大题共6小题;每小题5分;共30分. 9i 是虚数单位;复数67i12i ++=__________．10已知函数fx =e xln x ;f ′x 为fx 的导函数;则f ′1的值为__________． 11如图;已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1;则四棱柱A 1–BB 1D 1D 的体积为__________．12在平面直角坐标系中;经过三点0;0;1;1;2;0的圆的方程为__________． 13已知a ;b ∈R ;且a –3b +6=0;则2a+18b 的最小值为__________． 14已知a ∈R ;函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩，，，．若对任意x ∈–3;+∞;fx ≤x 恒成立;则a 的取值范围是__________．三．解答题：本大题共6小题;共80分．解答应写出文字说明;证明过程或演算步骤． 15本小题满分13分已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240;160;160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． Ⅰ应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人Ⅱ设抽出的7名同学分别用A ;B ;C ;D ;E ;F ;G 表示;现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．i 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；ii 设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”;求事件M 发生的概率． 16本小题满分13分在△ABC 中;内角A ;B ;C 所对的边分别为a;b;c ．已知b sin A =a cos B –π6． Ⅰ求教B 的大小；Ⅱ设a =2;c =3;求b 和sin2A –B 的值． 17本小题满分13分如图;在四面体ABCD 中;△ABC 是等边三角形;平面ABC ⊥平面ABD ;点M 为棱AB 的中点;AB =2;AD =∠BAD =90°．Ⅰ求证：AD ⊥BC ；Ⅱ求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； Ⅲ求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值． 18本小题满分13分设{a n }是等差数列;其前n 项和为S n n ∈N *；{b n }是等比数列;公比大于0;其前n 项和为T n n ∈N *．已知b 1=1;b 3=b 2+2;b 4=a 3+a 5;b 5=a 4+2a 6． Ⅰ求S n 和T n ；Ⅱ若S n +T 1+T 2+…+T n =a n +4b n ;求正整数n 的值． 19本小题满分14分设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ;上顶点为B .已知椭圆的离心率为3;||AB =I 求椭圆的方程；II 设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点;l 与直线AB 交于点M ;且点P ;M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍;求k 的值. 20本小题满分14分设函数123()=()()()f x x t x t x t ---;其中123,,t t t ∈R ;且123,,t t t 是公差为d 的等差数列. I 若20,1,t d ==求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； II 若3d =;求()f x 的极值；III 若曲线()y f x =与直线 12()y x t =---有三个互异的公共点;求d 的取值范围.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分;满分40分．1C 2C 3A 4B5D 6A 7A 8C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分;满分30分．94–i 10e 1113122220x y x+-=13141418;2三、解答题15本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．Ⅰ解：由已知;甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2;由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学;因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人;2人;2人．Ⅱi解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A;B};{A;C};{A;D};{A;E};{A;F};{A;G};{B;C};{B;D};{B;E};{B;F};{B;G};{C;D}; {C;E};{C;F};{C;G};{D;E};{D;F};{D;G};{E;F};{E;G};{F;G};共21种．ii解：由Ⅰ;不妨设抽出的7名同学中;来自甲年级的是A;B;C;来自乙年级的是D;E;来自丙年级的是F;G;则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A;B};{A;C};{B;C};{D;E};{F;G};共5种．学@科网所以;事件M发生的概率为PM=521．16本小题主要考查同角三角函数的基本关系;两角差的正弦与余弦公式;二倍角的正弦与余弦公式;以及正弦定理、余弦定理等基础知识;考查运算求解能力．满分13分．Ⅰ解：在△ABC 中;由正弦定理sin sin a bA B =;可得sin sin b A a B =;又由πsin cos()6b A a B =-;得πsin cos()6a B a B =-;即πsin cos()6B B =-;可得tan B ．又因为(0π)B ∈，;可得B =π3．Ⅱ解：在△ABC 中;由余弦定理及a =2;c =3;B =π3;有2222cos 7b a c ac B =+-=;故b．由πsin cos()6b A a B =-;可得sin A =．因为a <c ;故cos A =sin 22sin cos A A A =21cos22cos 17A A =-=． 所以;sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 17本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分． Ⅰ由平面ABC ⊥平面ABD ;平面ABC ∩平面ABD =AB ;AD ⊥AB ;可得AD ⊥平面ABC ;故AD ⊥BC ．Ⅱ解：取棱AC 的中点N ;连接MN ;ND ．又因为M 为棱AB 的中点;故MN ∥BC ．所以∠DMN 或其补角为异面直线BC 与MD 所成的角． 在Rt △DAM 中;AM =1;故DM．因为AD ⊥平面ABC ;故AD ⊥AC ．在Rt △DAN 中;AN =1;故DN在等腰三角形DMN中;MN =1;可得12cos MNDMN DM ∠==．所以;异面直线BC 与MDⅢ解：连接CM ．因为△ABC 为等边三角形;M 为边AB 的中点;故CM ⊥AB ;CM为平面ABC ⊥平面ABD ;而CM ⊂平面ABC ;故CM ⊥平面AB D ．所以;∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角． 在Rt △CAD 中;CD．在Rt △CMD 中;sin CM CDM CD ∠== 所以;直线CD 与平面ABD．18本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.I 解：设等比数列{}n b 的公比为q ;由b 1=1;b 3=b 2+2;可得220q q --=. 因为0q >;可得2q =;故12n n b -=.所以122112nn n T -==--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+;可得134a d +=.由5462b a a =+;可得131316,a d +=从而11,1a d ==;故n a n =;所以(1)2n n n S +=. II 解：由I;知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+; 整理得2340,n n --=解得1n =-舍;或4n =.所以n 的值为4.学&科网19本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力;以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.I 解：设椭圆的焦距为2c ;由已知得2259c a =;又由222a b c =+;可得23.a b =由||AB =;从而3,2a b ==.所以;椭圆的方程为22194x y +=.II 解：设点P 的坐标为11(,)x y ;点M 的坐标为22(,)x y ;由题意;210x x >>; 点Q 的坐标为11(,).x y --由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍;可得||=2||PM PQ ; 从而21112[()]x x x x -=--;即215x x =. 易知直线AB 的方程为236x y +=;由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ;可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ;可得1x =由215x x =;5(32)k =+;两边平方;整理得2182580k k ++=;解得89k =-;或12k =-.当89k =-时;290x =-<;不合题意;舍去；当12k =-时;212x =;1125x =;符合题意. 所以;k 的值为12-.20本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法;考查函数思想和分类讨论思想;考查综合分析问题和解决问题的能量;满分14分.Ⅰ解：由已知;可得fx =xx 1x +1=x 3 x ;故f ‵x =3x 1;因此f 0=0;(0)f '= 1;又因为曲线y =fx 在点0;f 0处的切线方程为y f 0=(0)f 'x 0;故所求切线方程为x +y =0.Ⅱ解：由已知可得fx =x t 2+3x t 2x t 2 3=x t 23 9x t 2=x 3 3t 2x 2+3t 22 9x t 22+9t 2.故()f x '=3x 3 6t 2x +3t 22 9.令()f x '=0;解得x =t 2;或x =t 2. 当x 变化时;f ‵x ;fx 的变化如下表：所以函数fx 的极大值为ft 2 9×；函数小值为ft 2 9.III 解：曲线y =fx 与直线y = x t2 有三个互异的公共点等价于关于x 的方程x t 2+dxt2x t 2 d +x t 2有三个互异的实数解;令u =x t 2;可得u 3+1 d 2u设函数gx =x 3+1 d 2x ;则曲线y =fx 与直线y = x t 2于函数y =gx 有三个零点.()g'x =3x 3+1 d 2.当d 2≤1时;()g'x ≥0;这时()g'x 在R 上单调递增;不合题意.当d 2>1时;()g'x =0;解得x 1=;x 2.易得;gx 在 ∞;x 1上单调递增;在x 1;x 2上单调递减;在x 2;+∞上单调递增;gx 的极大值gx1=g 3221)9d -+gx 的极小值gx2=+若gx 2≥0;由gx 的单调性可知函数y =fx 至多有两个零点;不合题意. 若2()0,g x <即322(1)27d ->;也就是||d >此时2||d x >;(||)||0,g d d =+>且312||,(2||)6||2||0d x g d d d -<-=--+<-<;从而由()g x 的单调性;可知函数()y g x =在区间1122(2||,),(,),(,||)d x x x x d -内各有一个零点;符合题意.学科……网所以d 的取值范围是(,(10,).-∞+∞。
2024年高考数学试卷(天津)(含答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =I ，2. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -¹，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ¹-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x j +=，函数定义域为R ，因为()sin141e j +=，()sin141ej ---=，则()()11j j ¹-，则()x j 不是偶函数，故D 错误.故选：B.5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A. 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m a ，n Ìa ，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n a a ，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,a a ^m n ，过m 作平面b ，使得s b a =I ，因为m b Ì，故//m s ，而s a Ì，故n s ^，故m n ^，故C 正确. 对于D ，若//,a a ^m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C .7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A8. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF Ð=°，设2PF m =，211122,PF F PF F q q Ð=Ð=，由21tan 2k q ==，求得1sin q =，因为1290F PF Ð=°，所以121PF PF k k ×=-，求得112PF k =-，即21tan 2q =，2sin q =，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F q q =°=，则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =×=×=V 得m =，则2122PF PF F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A.B.12+ C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==´´´=.故选：C.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+×-=+-+=-.故答案为：7-.11. 在63333x xæö+ç÷èø的展开式中，常数项为______．【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x æö+ç÷èø的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+æöæö===×××ç÷ç÷èøèø，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y xì-+=ïí=ïî可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．【答案】 ①.35②. 12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+u u r u u r u u u r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．【答案】 ①.43②. 518-【解析】【分析】解法一：以{},BA BC uuu r uuu r 为基底向量，根据向量的线性运算求BE uuu r，即可得l m +，设BF BE k =u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG ×uuu r uuur 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE uuu r，即可得l m +，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ×uuu r uuur 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =u u r u u r ，则13BE BC CE BA BC =+=+u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13l m ==，所以43l m +=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==×=uuu r uuu r uuu r uuu r，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Îuuu r uuu r uuu r uuu r，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëûuuu r uuur uuu r uuu ruuu r uuur22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又因为[]0,1k Î，可知：当1k =时，AF DG ×uuu r uuur取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èøuuu r uuu r uuu r ，因为(),BE BA BC l m l m =+=-uuu r uuu r uuu r ，则131l m ì-=-ïíï=î，所以43l m +=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，且G 为AF 中点，则13,22a G a -æö-ç÷èø，可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èøuuu r uuur ，则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèøuuu r uuur ，且1,03a éùÎ-êúëû，所以当13a =-时，AF DG ×uuu r uuur 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为______．【答案】()(1-È【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ³或0x £，计算可得(]0,2a Î时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a Î时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -³，当0a =时，x ÎR，有211=--=，则x =±当0a >时，则23,2121,ax x a ax x a ì-³ïï--=íï-<ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得x a ³或0x £，当0x £时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a Î，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a Î+¥时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a Î时，210ax --+=在0x £时有唯一解，则当(]0,2a Î时，210ax --+=在x a ³时需无解，当(]0,2a Î，且x a ³时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a æöç÷èø上单调递减，在23,a a æöç÷èø上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a æö-ç÷-ø=è，故x a ³时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x æö=-ç÷èø，其斜率为2，又(]0,2a Î，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a ³时的斜率(]0,2a Î，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +¥上单调递增，故有13a aa a ì<ïïíï>ïî，解得1a <<，故1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax x a ì-£ïï--=íï->ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-£ïï=íï->ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得0x ³或x a £，当0x ³时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a Î-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-，当(),2a Î-¥时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a Î-时，210ax --+=在0x ³时有唯一解，则当[)2,0a Î-时，210ax --+=在x a £时需无解，当[)2,0a Î-，且x a £时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-£ïï=íï->ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a æöç÷èø上单调递减，在32,a a æöç÷èø上单调递增，同理可得：x a £时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分渐近线方程为22a y x æö=-+ç÷èø，其斜率为2-，又[)2,0a Î-，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a <时的斜率[)2,0a Î-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），的且函数()g x 在(),a -¥上单调递减，故有13a aa aì>ïïíï<ïî，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a Î-U .故答案：()(1-È.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．【答案】（1）4 （2（3）5764【解析】【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，为即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos22564bc a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A ==小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===，2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´+=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos12148A A æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sinB ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=【17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP Ì平面1CB M ，1D N Ë平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-uuur 、()1,0,1CM =-uuuu r 、()10,0,2BB =uuur，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =r 、()222,,n x y z =r，则有111111200m CB x y z m CM x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuur r uuuu r r ，1222122020n CB x y z n BB z ì×=-+=ïí×==ïîuuur r uuur r ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =r 、()1,1,0n =r，则cos ,m =r ，故平面1CB M 与平面11BB CC；【小问3详解】由()10,0,2BB =uuur ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =r，=即点B 到平面1CB M.18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ×uur uuu r，再根据0TP TQ ×£uur uuu r 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C æ-ççè，故122ABC S c =´=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ì+=ïí=-ïî可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-uur uuu r，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t æöæö×=+--=+----ç÷ç÷èøèøuur uuu r ()()22121233122kx x k t x x t æöæö=+-++++ç÷ç÷èøèø()22222731231342342k k k t t k k æöæöæö=+´--+´++ç÷ç÷ç÷++èøèøèø()2222222327271812332234k k k t t t k k æö----++++ç÷èø=+=，因为0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立，故()223212450332702t t t ì+--£ïíæö+-£ïç÷èøî，解得332t -££.若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -££，两者结合可得332t -££.综上，存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．【答案】（1）21n n S =- （2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=å【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k γ，当124kk n a +=³=时，则111221111k k k k k a n n a a -++ì=<-=-í-=-<î，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--×=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--³--=-׳-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -³×；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ³，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-éù=×+=×=---ëûå，所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+éù=+´-´+´-´+×××+---=ëûå，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=å.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå.20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．【答案】（1）1y x =- （2）{}2（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】的由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x =¢+.所以()10f =，()11f ¢=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t¢-=-=，从而当01t <<时()0h t ¢<，当1t >时()0h t ¢>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+¥上递增，这就说明()()1h t h ³，即1ln t t -³，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g æö--=-=-=×ç÷øè.当()0,x ¥Î+的取值范围是()0,¥+，所以命题等价于对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³.一方面，若对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³，则对()0,t ¥Î+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t æö£=--=-+£-+-=+--ç÷èø，取2t =，得01a £-，故10a ³>.再取t =，得2022a a a £+-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ¥Î+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=³，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -³，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a --=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bbæö---ç÷--èø=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x =¢+，可知当10ex <<时()0f x ¢<，当1e x >时()0f x ¢>.所以()f x 在10,eæùçúèû上递减，在1e ,éö+¥÷êëø上递增.不妨设12x x £，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ££<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <££时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c æùÎçúèû，设()ln ln x x x c c j =--()ln 1x x j =+¢.由于()x j ¢单调递增，且有11110j =+<+=-+=¢，且当2124ln 1x c c ³-æö-ç÷èø，2cx >2ln 1c ³-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c j æö=+>++=-³ç÷èø¢.所以()x j ¢在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x j ¢单调递增，即知00x x <<时()0x j ¢<，0x x c <<时()0x j ¢>.故()x j 在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ££时，有()()0x c j j £=；②当00x x <<112221e e f f cæö=-£-=<ç÷èø，故我们可以取1,1q c öÎ÷ø.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cj ö=-<-<--=-<÷ø.再根据()x j 在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x j <；综合①②可知对任意0x c <£，都有()0x j £，即()ln ln 0x x x c c j =--£.根据10,ec æùÎçúèû和0x c <£的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -£.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-£.情况三：当12101ex x <££<时，根据情况一和情况二讨论，可得()11e f x f æö-££ç÷èø，()21e f f x æö-££ç÷èø而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f æö-£-ç÷èø或()()()1221e f x f x ff x æö-£-ç÷èø.故一定有()()12f x f x -£成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.的。
662.天津高考文科数学及答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔文史类〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试用时120分钟．第I 卷至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷考前须知： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每题5分，共50分． 参考公式： ·如果事件A B ，互斥，那么 ·球的外表积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+球的体积公式34π3V R =·如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．设集合{}08U x x =∈<N ≤，{}1245S =，，，，{}357T =，，，那么()UST =〔 〕A ．{}124，，B ．{}123457，，，，，C ．{}12，D ．{}124568，，，，，2．设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥那么目标函数5z x y =+的最大值为〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．53．函数14)y x =≤≤的反函数是〔 〕A ．2(1)(13)y x x =-≤≤ B ．2(1)(04)y x x =-≤≤ C ．21(13)y x x =-≤≤D ．21(04)y x x =-≤≤4．假设等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，那么7a =〔 〕A ．12B ．13C ．14D ．155．设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，那么a b ⊥的一个充分条件是〔 〕A ．a b αβαβ⊥⊥，∥，B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，6．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数是〔 〕 A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 7．设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，那么此椭圆的方程为〔 〕A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 8．函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，≤，，，那么不等式2()f x x ≥的解集为〔 〕A ．[]11-，B ．[]22-，C ．[]21-，D ．[]12-，9．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，那么〔 〕 A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<10．设1a >，假设对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值的集合为〔 〕 A ．{}12a a <≤B ．{}2a a ≥C ．{}23a a ≤≤D ．{}23，2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔文史类〕第二卷考前须知：1．答卷前将密封线内的工程填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人．12．52x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为 〔用数字作答〕．13．假设一个球的体积为，那么它的外表积为 ．14．平面向量(24)=，a ，(12)=-，b ，假设()=-c a a b b ，那么=c ． 15．圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，那么圆C 的方程为 ．16．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，那么不同的排法共有 种〔用数字作答〕．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．〔本小题总分值12分〕 函数2()2cos2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是2π．〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 18．〔本小题总分值12分〕甲、乙两个篮球运发动互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116． 〔Ⅰ〕求乙投球的命中率p ；〔Ⅱ〕求甲投球2次，至少命中1次的概率；〔Ⅲ〕假设甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．19．〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．3AB =，2AD =，2PA =，PD =60PAB =∠．〔Ⅰ〕证明AD ⊥平面PAB ；〔Ⅱ〕求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； 〔Ⅲ〕求二面角P BD A --的大小． 20．〔本小题总分值12分〕数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，． 〔Ⅰ〕设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列； 〔Ⅱ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅲ〕假设3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项． 21．〔本小题总分值14分〕设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． 〔Ⅰ〕当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； 〔Ⅱ〕假设函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；〔Ⅲ〕假设对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围． 22．〔本小题总分值14分〕中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，20y -=． 〔Ⅰ〕求双曲线C 的方程；〔Ⅱ〕假设以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MNABCDP81 2，求k的取值范围．的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔文史类〕参考解答一、选择题：此题考查根本知识和根本运算．每题5分，总分值50分． 1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B二、填空题：此题考查根本知识和根本运算．每题4分，总分值24分．11．1012．1013．12π14．15．22(1)18x y ++=16．432三、解答题17．本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等根底知识，考查根本运算能力．总分值12分． 〔Ⅰ〕解：1cos 2()2sin 212xf x x ωω+=++sin 2cos 22x x ωω=++sin 2cos cos 2sin 244x x ωωππ⎫=++⎪⎭224x ωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由题设，函数()f x 的最小正周期是2π，可得222ωππ=，所以2ω=．〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知，()424f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当4242x k ππ+=+π，即()162k x k ππ=+∈Z 时，sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，所以函数()f x 的最大值是2x 的集合为162k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，．18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的根底知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．总分值12分．〔Ⅰ〕解法一：设“甲投球一次命中〞为事件A ，“乙投球一次命中〞为事件B ，由题意得221(1())(1)16P B p -=-=， 解得34p =或54p =〔舍去〕，所以乙投球的命中率为34． 解法二：设“甲投球一次命中〞为事件A ，“乙投球一次命中〞为事件B ，由题意得1()()16P B P B =， 于是1()4P B =或1()4P B =-〔舍去〕，故31()4p P B =-=．所以乙投球的命中率为34．〔Ⅱ〕解法一：由题设和〔Ⅰ〕知，1()2P A =，1()2P A =．故甲投球2次至少命中1次的概率为31()4P A A -=．解法二：由题设和〔Ⅰ〕知，1()2P A =，1()2P A =．故甲投球2次至少命中1次的概率为123C ()()()()4P A P A P A P A +=． 〔Ⅲ〕解：由题设和〔Ⅰ〕知，1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1()4P B =．甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为11223C ()()C ()()16P A P A P B P B =， 1()()64P A A P B B =， 9()()64P A A P B B =．所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为3191116646432++=． 19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等根底知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力．总分值12分．〔Ⅰ〕证明：在PAD △中，由题设2PA =，2AD =，PD =可得222PA AD PD +=，于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ．〔Ⅱ〕解：由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠〔或其补角〕是异面直线PC 与AD 所成的角．在PAB △中，由余弦定理得cos PB PA AB PAB ==由〔Ⅰ〕知AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，因而BC PB ⊥，于是PBC △是直角三角形， 故tanPB PCB BC == 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为arctan2． A BCDP H E〔Ⅲ〕解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ． 因为AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，所以AD PH ⊥．又AD AB A =，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角． 由题设可得，sin 603PH PA ==cos601AH PA ==，2BH AB AH =-=，BD ==413AD HE BH BD ==．于是在Rt PHE △中，tan 4PH PEH HE ==所以二面角P BD A --的大小为arctan4． 20．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．总分值12分． 〔Ⅰ〕证明：由题设11(1)(2)n n n a q a qa n +-=+-≥，得11()n n n n a a q a a +--=-，即12n n b qb n -=，≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，211a a -=， 32a a q -=，……21(2)n n n a a q n ---=≥．将以上各式相加，得211(2)n n a a q qn --=+++…≥．所以当2n ≥时，11111 1.n n q q a qn q -⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，上式对1n =显然成立．〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕，当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠． 由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ①整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =〔舍去〕．于是q =另一方面，21133(1)11n n n n n q q q a a q q q +--+--==---，15166(1)11n n n n n q q q a a q q q-+-+--==---．由①可得36n n n n a a a a n ++-=-∈*N ，．所以对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．21．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等根底知识，考查综合分析和解决问题的能力．总分值14分． 〔Ⅰ〕解：322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++． 当103a =-时， 2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得10x =，212x =，32x =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(0)-∞， 0 102⎛⎫⎪⎝⎭， 12 122⎛⎫⎪⎝⎭， 2(2)+，∞()f x ' -+-+()f x↘极小值↗极大值↘极小值↗所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是减函数．〔Ⅱ〕解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根． 为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥恒成立，即有29640a ∆=-≤． 解此不等式，得8833a -≤≤．这时，(0)fb =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是8833⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．〔Ⅲ〕解：由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当(1)1(1)1f f ⎧⎨-⎩≤，≤， 即22b a b a --⎧⎨-+⎩≤，≤ 在[]22a ∈-，上恒成立．所以4b -≤，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，．22．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等根底知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考查推理、运算能力．总分值14分．〔Ⅰ〕解：设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b -=>>，，由题设得229a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为22145x y -=． 〔Ⅱ〕解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，① ②将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得 222(54)84200k x kmx m ----=．此方程有两个不等实根，于是2540k -≠，且 222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得 22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足12024254x x km x k +==-，002554m y kx m k =+=-． 从而线段MN 的垂直平分线的方程为 225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，．由题设可得 2219981254542km m k k =--． 整理得222(54)k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540k k k-+->， 整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠．解得02k <<或54k >． 所以k 的取值范围是5555004224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∞，，，，∞．。
2024年天津市高考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2024年天津市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ={1,2,3,4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =( ) A. {1,2,3,4}B. {2,3,4}C. {2,4}D. {1}2.设a ，b ∈R ，则“a 3=b 3”是“3a =3b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列图中，相关性系数最大的是( )A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是( )A. e x −x 2x 2+1B. cosx+x 2x 2+1C. e x −x x+1D.sinx+4xe |x|5.若a =4.2−0.3，b =4.20.3，c =log 4.20.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a6.若m ，n 为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( ) A. 若m//α，n ⊂α，则m//n B. 若m//α，n//α，则m//n C. 若m//α，n ⊥α，则m ⊥nD. 若m//α，n ⊥α，则m 与n 相交7.已知函数f(x)=sin3(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π.则函数在[−π12,π6]的最小值是( ) A. −√ 32B. −32C. 0D. 328.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2，△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( ) A.x 22−y 28=1 B.x 24−y 28=1 C.y 24−x 28=1 D.x 22−y 24=19.一个五面体ABC −DEF.已知AD//BE//CF ，且两两之间距离为1.并已知AD =1，BE =2，CF =3.则该五面体的体积为( ) A.√ 36B. 3√ 34+12 C. √ 32 D. 3√ 34−12第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
文数高考试题答案及解析-天津
普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：﹒如果事件A,B 胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V=13Sh 其中S 表示圆锥的底面面积， H 表示圆锥的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+I （C ）1+I （D ）-1-i【解析】复数i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，选C. 【答案】C（2） 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由y x z 23-=得223z x y -=，由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时，直线223zx y -=的截距最大，而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ，选B. 【答案】B（3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环2,2330==-=n S ，第二次循环3,83322==-+=n S ，第三次循环4,2633823==-+=n S ，第四次循环满足条件输出26=S ，选C. 【答案】C（4） 已知a=21.2，b=()12-0.2，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）c<b<a （B ）c<a<b C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为122.02.022)21(<==-b ，所以ab <<1，14log 2log 2log 25255<===c ，所以a b c <<，选A.【答案】A（5） 设x ∈R ，则“x>12”是“2x 2+x-1>0”的（A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件（D ） 既不充分也不必要条件【解析】不等式0122>-+x x 的解集为21>x 或1-<x ，所以“21>x ”是“0122>-+x x ”成立的充分不必要条件，选A.【答案】A（6） 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） y=cos2x ，x ∈R（B ） y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0（C ） y=2xxe e --，x ∈R（D ） y=x3+1，x ∈R【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B. 【答案】B（7） 将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点（34π，0），则ω的最小值是（A ）13（B ）1 C ）53（D ）2【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2，选D.【答案】D（8） 在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ，AQ =(1-λ)AC ，λ∈R 。
高考文科数学试卷word版(天津卷)含答案
数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时 120分钟。
答卷前， 考生务势必自己的姓名、 准考号填写在答题卡上，并在规定地点粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务势必答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
2．本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。
参照公式：假如事件 A ，B 互斥，那么棱柱的体积公式V ShP( A B)P( A) P( B)此中 S 表示棱柱的底面面积。
h 表示棱柱的高。
一、选择题：在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项切合题目要求的．1 3i1． i 是虚数单位，复数 =1 iA ． 2iB ． 2 iC ． 1 2iD ． 12ix 1,2．设变量 x ， y 知足拘束条件x y 4 0, 则目标函数 z 3xy 的最大值为x 3y 4 0,A ．-4B ．04 D ． 4C ．3x 的值为 -4 ，则输出y 的值为．阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，若输入3A ．,0． 5B ． 1C ．2D ． 44．设会合 Ax R | x 2 0 , B x R | x 0 ， C x R | x( x 2)0 ，则“ xAB ”是“ xC ”的A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充足必需条件D ．即不充足也不用要条件5．已知 a log 2 3.6, blog 4 3.2,c log 4 3.6 则A ．a b cB ．a c b C．b a c D ．c a b 6．已知双曲线x2 y2 1(a 0, b 0) 的左极点与抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点的距离a2 b2为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（）A．2 3 B．2 5 C．4 3 D．4 57．已知函数 f (x) 2sin( x ), x R ，此中0, , 若 f (x) 的最小正周期为 6 ，且当 x 时， f (x) 获得最大值，则2（）A ．f ( x)在区间[ 2 ,0] 上是增函数B．f (x)在区间[ 3 , ] 上是增函数C．f ( x)在区间[3 ,5 ] 上是减函数D．f (x)在区间[4 ,6 ] 上是减函数8 ．对实数a和b a b a, a b 1,，定义运算“”：b,a b设函数1.f ( x) (x2 2) ( x 1), x R 。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件A，B 互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．
·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
（A）1（B）2（C）3（D）4
（A）-15（B）-9（C）-6（D）0
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
（16）（本小题满分13分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos(B–π/6)．
（Ⅰ）求教B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．
（17）（本小题满分13分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱
AB
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
（1）C（2）C（3）A（4）B
（5）D（6）A（7）A（8）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．
（17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．
（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB 的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．
（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分.。