稳态导热
合集下载
3 稳态导热
第3章 稳态导热导热是由微观分子的热运动引起的热量从高温区向低温区或者温度不同的物体间的传递的过程。
该过程在固体、液体、气体中都能发生，但在流体中，在发生导热的同时，由于有温差的存在必然伴随有自然对流传热现象，故只有在密实的固体中才能发生单纯的导热。
研究导热问题的目的就是要确定不同情况下物体内的温度分布及热通量和热流量的分布。
3.1 平壁一维稳态导热研究导热问题，首先是通过导热微分方程确定导热物体内部的温度分布，然后根据傅立叶定律确定导热速率，即热通量和热流量。
工程实践中存在大量稳态导热问题，如工程热设备的正常工作过程均可认为是稳态导热问题，而且有些问题在一定条件下可以简化为一维问题。
无限大平板（壁）、无限大圆筒壁、球体等是典型的一维问题，即长度和高度远大于其厚度（一般是10倍以上），此时温度仅沿厚度方向变化，沿长度和高度的变化可以忽略不计，如加热炉、冷藏设备等的外壁面。
3.1.1 第I 类边界条件: 表面温度为常数 ① 单层平壁设有一厚度为s 的无限大平壁，如图3.1所示。
已知平壁两个表面分别维持均匀稳定的温度21,w w T T ，假定导热系数为常数，且无内热源。
确定平壁内的温度分布和通过平壁的导热热通量。
图3.1 单层平壁在第I 类边界条件下的稳态导热该问题为一维、无内热源的稳态导热问题，其定解问题可以写成：12220=0x w x sw d Tdx T T TT ==== (3-1)对微分方程式连续积分两次，得其通解为：21C x C T +=式中：1C 和2C 为积分常数，由边界条件确定。
21C T w = 212C s C T w +=sT T C w w 121-=12w T C =平壁内温度分布为：xsT T T T w w w 211--=(3-2)上式即为平壁一维稳态导热问题的温度场的表达式，温度呈线性分布，说明平壁内的温度是一条直线，斜率为常量，即：sT T dx dTw w 21--= 代入傅里叶定律，得：()TssT T q ww ∆=-=λλ21(3-3)若平壁的侧表面积为F ，则热流量为：()T sFsFT T qF Q ww ∆=-==λλ21(3-4)式(3-3)和(3-4)就是平壁导热的计算公式，它揭示了T s q ∆和,,λ四个物理量间的内在关系。
【最新整理】传热与传质学-第三章-稳态热传导-new
（1）当N=3时，请画出等效热网络图，并标明各部分热阻。
（2）试用N表示通过复合平壁的热流密度和导热速率。
（3）N=10时，计算第5、6层平壁交界面处的温度。
分析：
tf1
➢ 按题意，一维、稳态h1 、平壁导热问题，第三类边界条件； t2
➢ 已知平壁相关尺寸、热导率；流体温度及对流换热系数；
t3
h2
dT dr
c1
T c1 ln r c2
T1 c1 ln r1 c 2 ; T 2 c1 ln r2 c 2
应用边界条件 获得两个系数
c1
T2 ln ( r2
T1 r1 )
;
c2Biblioteka T1(T2T1 )
ln r1 ln(r2 r1 )
T
T1
T2 ln(r2
T1 r1 )
ln(r
r1 )
将系数带入第二次积分结果
tf2
（1）当N=3时，请画出等效热网络图，并标明各部分热阻。
q
Tf 1 tf1
t1
t2
t3
t2
tf2 Tf 2
Rconv,1 三 Rc层 ond平,1 壁Rc的on稳 d ,2态R导con热d ,3 Rconv,2
各热阻：
Rconv,1
1 h1 A
Rconv,2
1 h2 A
L
Rcond ,1 k 1 A
RN 5,total
L
k 1
A
2
1 251
1 h1 A
0.5469K
/W
由于第5、6层平壁交界面处的温度可以表示为：
q Tf 1 T5,6 RN 5,total
因此，第5、6层平壁交界面处的温度为：
（2）试用N表示通过复合平壁的热流密度和导热速率。
（3）N=10时，计算第5、6层平壁交界面处的温度。
分析：
tf1
➢ 按题意，一维、稳态h1 、平壁导热问题，第三类边界条件； t2
➢ 已知平壁相关尺寸、热导率；流体温度及对流换热系数；
t3
h2
dT dr
c1
T c1 ln r c2
T1 c1 ln r1 c 2 ; T 2 c1 ln r2 c 2
应用边界条件 获得两个系数
c1
T2 ln ( r2
T1 r1 )
;
c2Biblioteka T1(T2T1 )
ln r1 ln(r2 r1 )
T
T1
T2 ln(r2
T1 r1 )
ln(r
r1 )
将系数带入第二次积分结果
tf2
（1）当N=3时，请画出等效热网络图，并标明各部分热阻。
q
Tf 1 tf1
t1
t2
t3
t2
tf2 Tf 2
Rconv,1 三 Rc层 ond平,1 壁Rc的on稳 d ,2态R导con热d ,3 Rconv,2
各热阻：
Rconv,1
1 h1 A
Rconv,2
1 h2 A
L
Rcond ,1 k 1 A
RN 5,total
L
k 1
A
2
1 251
1 h1 A
0.5469K
/W
由于第5、6层平壁交界面处的温度可以表示为：
q Tf 1 T5,6 RN 5,total
因此，第5、6层平壁交界面处的温度为：
传热学稳态导热
单位长度管道上旳总热阻：
Rl
1
h1d1
1
21
ln
d2 d1
1
2ins
ln
dx d2
1
h2d x
dx
ln d d 1
x 2
h2dx
16
外径增大使导热热阻增长而换热热阻减小，总热阻到 达极小值时旳热绝缘层外径为临界热绝缘直径dc
若d2< dc ，当dx在d2与d3范围内时，管道向外旳散
热量比无绝缘层时更大，d x d3 ql
解：设两层保温层直径分别为d2、d3和d4，则 d3/d2=2，d4/d3=3/2。
将导热系数大旳放在里面：
qL
t1 t2
1 ln d3 1 ln d4
1
t ln 2＋
1
ln 3
3t ;
0.11969
22 d2 23 d3 2 23
23 2
20
将导热系数大旳包在外面：
qL
t1 t 2 1 ln 2 1
tw t(x)
导热微分方程:
d 2t 0
1
tw
dx 2
2
o
x
3
两个边界均为第一类边界条件
x 0,
x ,
t tw1 t tw2
直接积分，得通解：
dt dx
c1
t c1x c2
代入边界条件得平壁内温度分布：
t
tw2 tw1
x
tw1
（线性分布）
4
热流量
Φ A dt A tw1 tw2 tw1 tw2 tw1 tw2
线要比外壁面陡。
tw1 r1
tw2
r2
13
热流量
高等传热学_第二章_稳态导热
2-1 一维稳态导热
通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导
热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得
分离变量并积分
ql
dt 2 r dr
x 0, x ,
并整理得到
t 0 t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，
qV t x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即
t t1 x , t t 2 代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
2-1 一维稳态导热
图2-1通过大平壁的导热
2-1 一维稳态导热
2-1-1 无内热源的一维导热 求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条
件出发，解得温度场。 对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为
其通解为
d 2t 0 2 dx
t
qv 2 r C1 ln r C2 4
（2-1-25）
2-1 一维稳态导热
r＝0处温度应该有界，即 t
r 0
，可以作为一个边界条件，
由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即r＝R，t＝t1。代入通解可得
t t1
qv 2 2 (R r ) 4
种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。
传热学-第3章-稳态导热的计算与分析
15
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
d dt 0
dx dx
0 1 bt
分离变量积分并利用边界条件，得到平壁内的温度分布：
0
t
b 2
t2
m
tw2
tw1
x
0
t
w1
b 2
t 2 w1
式中：
m
0
1
tw1
tw2 2
b
为平壁平均温度下的导热系数
16
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
0
t
b 2
t2
m
tw2 tw1
x
0
t
w1
b 2
t 2w1
这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化时，
平壁内的温度分布是二次曲线方程，该二次曲线的凹凸性
主要由温度系数b的正负决定。
利用傅里叶定律分析表明：
——b>0时，温度分布曲线的开口向下；
——b<0时曲线开口向上
17
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
需要用平壁算术平均温度下的导热系数λm代替
19
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁 ❖ 由于热流密度为常数，仍可采用对傅立叶定律分离变量
积分的分析方法得到平壁内的温度分布 ❖ 作为练习，请大家自行推导
20
3.1.4 第三类边界条件下的常物性、无内热源的平壁
❖ 当平壁左、右两侧面分别与温度为tf1和tf2（tf1>tf2） 的流体进行对流传热时，平壁两侧均处于第三类 边界条件
态 稳态的特征：物体内各位置处的温度不随时间变化，可
以去掉方程中的非稳态项
传热学第二章 稳态导热
c t
1 r
r
r
t r
1 r2
t
z
t z
Φ
2019/9/11
25
x r sin cos; y r sin sin; z r cos
c t
1 r2
r 2
c
a c
a 称为热扩散率，又叫导温系数。
(thermal diffusivity)
2019/9/11
21
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能
力（ ）与沿途物质储热能力（ c ）之间
的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某 一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体 中很快扩散
第二章 稳态导热
§2-1 基本概念 §2-2 一维稳态导热
2019/9/11
1
分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究 方法，即针对物理现象建立物理模型，而后 从基本定律导出其数学描述(常以微分方程的 形式表达，故称数学模型)，接下来考虑求解 的理论分析方法。
导热问题是传热学中最易于采用此方法处理 的传热方式。
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内 各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反应 导热过程动态特性，是研究非稳态导热的重 要物理量
2019/9/11
22
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物 体内部各处的温度差别越小。
a木材 1.5107 m2 s，a铝 9.45105 m2 s
a木材 a铝 1 600
19
微元体内热源的生成热为：
稳态 导热
其导热机理认为介于气体和固体之间。
导热
单纯的导热一般只发生在密实的固体中。
此现象最为普遍，也 最具有应用价值
气体与液体因为具有流动特性，在产生导热的同时往 往伴随宏观相对位移（即对流）而使热量转移。
在工程应用中，一般把发生在换热器管壁、管道保温 层、墙壁等固态材料中的热量传递均可看作导热过程处理。
第一节 导热的基本定律
一、基本概念
导热又称热传导，是指物体各部分无相对位移或不同 物体直接接触时依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的 热运动而进行的热量传递现象。
导热是物质的属性，在固体、液体和气体中均可进行， 但微观机理有所不同。
• 气体 • 固体 • 液体
导热是气体分子不规则热运动时碰撞的结果; 导电体的导热主要靠自由电子的运动来完成；
热量传递有三种基本方式：导热、对流和热辐射。
热力设备运行的两种类型: 增强传热 削弱传热
第十二章
稳态导热
学习导引
稳态导热是指温度场不随时间变化的导热过 程，热力设备在正常工作运行时发生的导热多 数可简化为一维稳态导热。本章主要介绍工程 上常见的一维稳态导热问题的计算。首先引入 有关导热的基本概念，而后阐述了反映导热基 本规律的傅里叶定律，并对其公式中的热导率 进行了分析，最后讨论了一维稳态导热中傅里 叶定律的具体应用，即平壁和圆筒壁的一维稳 态导热计算。
20℃
热导率/[W/(m·K)]
密度ρ
比热容cp
热导率
/ (kg/m3) / [J/（kg·K）] / [W/(m·K)]
-100 0
温度t/℃ 100 200 300 400 600 800 1000 1200
2710
902
236
导热
单纯的导热一般只发生在密实的固体中。
此现象最为普遍，也 最具有应用价值
气体与液体因为具有流动特性，在产生导热的同时往 往伴随宏观相对位移（即对流）而使热量转移。
在工程应用中，一般把发生在换热器管壁、管道保温 层、墙壁等固态材料中的热量传递均可看作导热过程处理。
第一节 导热的基本定律
一、基本概念
导热又称热传导，是指物体各部分无相对位移或不同 物体直接接触时依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的 热运动而进行的热量传递现象。
导热是物质的属性，在固体、液体和气体中均可进行， 但微观机理有所不同。
• 气体 • 固体 • 液体
导热是气体分子不规则热运动时碰撞的结果; 导电体的导热主要靠自由电子的运动来完成；
热量传递有三种基本方式：导热、对流和热辐射。
热力设备运行的两种类型: 增强传热 削弱传热
第十二章
稳态导热
学习导引
稳态导热是指温度场不随时间变化的导热过 程，热力设备在正常工作运行时发生的导热多 数可简化为一维稳态导热。本章主要介绍工程 上常见的一维稳态导热问题的计算。首先引入 有关导热的基本概念，而后阐述了反映导热基 本规律的傅里叶定律，并对其公式中的热导率 进行了分析，最后讨论了一维稳态导热中傅里 叶定律的具体应用，即平壁和圆筒壁的一维稳 态导热计算。
20℃
热导率/[W/(m·K)]
密度ρ
比热容cp
热导率
/ (kg/m3) / [J/（kg·K）] / [W/(m·K)]
-100 0
温度t/℃ 100 200 300 400 600 800 1000 1200
2710
902
236
《传热学》第2章-稳态导热
第一类边界条件： x 0 , t t w1 积分得:
控制方程
边界条件
x , t tw 2
t
dt 1 2 0 ( 1 bt ) c1 0 ( t bt ) c1 x c2 tw1 dx 2
代入边界条件，得:
1 1 2 2 ( t bt ) c 0 c , ( t bt 1 2 0 w2 w 2 ) c1 c 2 0 w1 2 w1 2 1 2 c ( t bt 2 0 w1 w1 ) 2 t w1 t w 2 1 c [ 1 b( t w1 t w 2 )] 0 1 2
tw 2 tw3
2
tw3 tw4
3
tw1 tw4 tw1 tw4 3 相加可得： q R ,1 R ,2 R ,3 R ,i
i 1
例2-1：有一锅炉炉墙，三层，内层为230mm的耐火 砖层，中间为50mm厚的保温层，外层为240mm的 红砖层，导热系数分别为1.10 W/(m.K) ，0.072 W/(m.K) ，0.58W/(m.K)，已知炉墙内外表面温度 为500℃与50℃，求炉墙的导热热流密度和红砖墙的 最高温度。
第二章 稳态导热
Steady-State Conduction —— One Dimension
主要内容
掌握稳态导热。
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
通过平壁的导热 通过复合平壁的导热 通过圆筒壁的导热 具有内热源的平壁导热 通过肋片的导热 通过接触面的导热
对各层直接应用单层大平壁的热量计算式 tw1 tw 2 tw1 tw 2 第一层平壁 : q1 , 变换 : q1 R ,1 t w1 t w 2 1 R ,1
控制方程
边界条件
x , t tw 2
t
dt 1 2 0 ( 1 bt ) c1 0 ( t bt ) c1 x c2 tw1 dx 2
代入边界条件，得:
1 1 2 2 ( t bt ) c 0 c , ( t bt 1 2 0 w2 w 2 ) c1 c 2 0 w1 2 w1 2 1 2 c ( t bt 2 0 w1 w1 ) 2 t w1 t w 2 1 c [ 1 b( t w1 t w 2 )] 0 1 2
tw 2 tw3
2
tw3 tw4
3
tw1 tw4 tw1 tw4 3 相加可得： q R ,1 R ,2 R ,3 R ,i
i 1
例2-1：有一锅炉炉墙，三层，内层为230mm的耐火 砖层，中间为50mm厚的保温层，外层为240mm的 红砖层，导热系数分别为1.10 W/(m.K) ，0.072 W/(m.K) ，0.58W/(m.K)，已知炉墙内外表面温度 为500℃与50℃，求炉墙的导热热流密度和红砖墙的 最高温度。
第二章 稳态导热
Steady-State Conduction —— One Dimension
主要内容
掌握稳态导热。
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
通过平壁的导热 通过复合平壁的导热 通过圆筒壁的导热 具有内热源的平壁导热 通过肋片的导热 通过接触面的导热
对各层直接应用单层大平壁的热量计算式 tw1 tw 2 tw1 tw 2 第一层平壁 : q1 , 变换 : q1 R ,1 t w1 t w 2 1 R ,1
工程热力学与传热学-§9-2 稳态导热
11
作业
P230-233 习题 9-2、4、6、7
12
13
r = r2 : t = tw1
6
§9-2 稳态导热
对导热微分方程式进行两次积分, 可得通解为
t C 1 ln r C 2
圆筒壁内的温度分布为对数曲线。代入边界条件,可得
t
tw1
tw1
tw
2
ln r ln r2
r1 r1
温度沿r 方向的变化率为
dt dr
tw1 tw2
定的温度tw1、tw4。
显然，通过此三层平壁的导热为稳态 导热, 各层的热流量相同。
4
§9-2 稳态导热
三层平壁稳态导热的总导热热阻为各层导热热阻之和， 由单层平壁稳态导热的计算公式可得
tw1 tw4
R1 R 2 R3
1
tw1 tw4
2
3
A1 A2 A3
tw1 tw2 1 ln r2
tw1 tw2 1 ln d2
tw1 tw2 R
2l r1
2l d1
R为整个圆筒壁的导热热阻, 单位是K/W。
单位长度圆筒壁的热流量为
l
l
tw1 tw2 tw1 tw2
1 ln d2
Rl
2 d1
Rl为单位长度圆筒壁的导热热阻, 单位是m·K/W。
内热源，两侧表面分别维持均匀恒定的温度
tw1、tw2，且tw1 > tw2 。
选取坐标轴x与壁面垂直,如图所示。
2
§9-2 稳态导热数学Fra bibliotek型：d2t 0
dx2
作业
P230-233 习题 9-2、4、6、7
12
13
r = r2 : t = tw1
6
§9-2 稳态导热
对导热微分方程式进行两次积分, 可得通解为
t C 1 ln r C 2
圆筒壁内的温度分布为对数曲线。代入边界条件,可得
t
tw1
tw1
tw
2
ln r ln r2
r1 r1
温度沿r 方向的变化率为
dt dr
tw1 tw2
定的温度tw1、tw4。
显然，通过此三层平壁的导热为稳态 导热, 各层的热流量相同。
4
§9-2 稳态导热
三层平壁稳态导热的总导热热阻为各层导热热阻之和， 由单层平壁稳态导热的计算公式可得
tw1 tw4
R1 R 2 R3
1
tw1 tw4
2
3
A1 A2 A3
tw1 tw2 1 ln r2
tw1 tw2 1 ln d2
tw1 tw2 R
2l r1
2l d1
R为整个圆筒壁的导热热阻, 单位是K/W。
单位长度圆筒壁的热流量为
l
l
tw1 tw2 tw1 tw2
1 ln d2
Rl
2 d1
Rl为单位长度圆筒壁的导热热阻, 单位是m·K/W。
内热源，两侧表面分别维持均匀恒定的温度
tw1、tw2，且tw1 > tw2 。
选取坐标轴x与壁面垂直,如图所示。
2
§9-2 稳态导热数学Fra bibliotek型：d2t 0
dx2
3 稳态导热要点
第3章 稳态导热导热是由微观分子的热运动引起的热量从高温区向低温区或者温度不同的物体间的传递的过程。
该过程在固体、液体、气体中都能发生，但在流体中，在发生导热的同时，由于有温差的存在必然伴随有自然对流传热现象，故只有在密实的固体中才能发生单纯的导热。
研究导热问题的目的就是要确定不同情况下物体内的温度分布及热通量和热流量的分布。
3.1 平壁一维稳态导热研究导热问题，首先是通过导热微分方程确定导热物体内部的温度分布，然后根据傅立叶定律确定导热速率，即热通量和热流量。
工程实践中存在大量稳态导热问题，如工程热设备的正常工作过程均可认为是稳态导热问题，而且有些问题在一定条件下可以简化为一维问题。
无限大平板（壁）、无限大圆筒壁、球体等是典型的一维问题，即长度和高度远大于其厚度（一般是10倍以上），此时温度仅沿厚度方向变化，沿长度和高度的变化可以忽略不计，如加热炉、冷藏设备等的外壁面。
3.1.1 第I 类边界条件: 表面温度为常数 ① 单层平壁设有一厚度为s 的无限大平壁，如图3.1所示。
已知平壁两个表面分别维持均匀稳定的温度21,w w T T ，假定导热系数为常数，且无内热源。
确定平壁内的温度分布和通过平壁的导热热通量。
图3.1 单层平壁在第I 类边界条件下的稳态导热该问题为一维、无内热源的稳态导热问题，其定解问题可以写成：12220=0x w x sw d Tdx T T TT ==== (3-1)对微分方程式连续积分两次，得其通解为：21C x C T +=式中：1C 和2C 为积分常数，由边界条件确定。
21C T w = 212C s C T w +=sT T C w w 121-=12w T C =平壁内温度分布为：xsT T T T w w w 211--=(3-2)上式即为平壁一维稳态导热问题的温度场的表达式，温度呈线性分布，说明平壁内的温度是一条直线，斜率为常量，即：sT T dx dTw w 21--= 代入傅里叶定律，得：()TssT T q ww ∆=-=λλ21(3-3)若平壁的侧表面积为F ，则热流量为：()T sFsFT T qF Q ww ∆=-==λλ21(3-4)式(3-3)和(3-4)就是平壁导热的计算公式，它揭示了T s q ∆和,,λ四个物理量间的内在关系。
第二章导热基本定律及稳态导热
– 固体
金属（以自由电子的迁移为主） 金属T↑， λ↓； 合金T↑， λ↑
非金属（以弹性波） T↑， λ↑
– 气体 分子间的相互碰撞 T↑， λ↑ – 液体 分子运动、弹性波 T↑， λ↓
由以上分析可看出，在一般情况下：
– ①λ固>λ液>λ气； – ②λ导>λ非导； – ③λ湿>λ干； – ④λ多孔<λ实体 – 习惯上把λ<0.15 的材料称为隔热材料
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
表示物体内部温度趋向一致能力的大小。
二、圆柱体坐标中的导热微分方程
三、单值性条件
1 几何条件 物体的形状、大小及相对 位置。
2 物理条件 热物性λ、ρ、Cp等 3 时间条件 （初始条件）tτ=0=f(x,y,z) 4 边界条件 表征导热体的边界与导热
第三节 一维稳态导热
一、平壁的一维稳态导热
1 单层平壁
（1）壁面等温
t
已知有一平壁，导热系数为λ ， 且为常数，二壁温为t1和t2 （ t1>t2 ），壁面截面积为A， 厚为δ，无内热源。
求（1）温度分布；（2）热流 量Q（q）
t1
δ
t2 x
方法一：利用导热微分方程式
方法二：直接利用付里叶定律
隔热材料一般利用气体导热系数小的特 点，把材料做成蜂窝状多孔性。
第二节 导热微分方程
一、直角坐标系中的导热微分方程
假设：
– （1）物性参数为常数 （λ，ρ，c）
– （2）材料各相同性 – （3）物体内具有内热
源 发q出v，的单热位量时。间体积 Qx
思路：取一微元体— 平行六面体
dv=dx·dy·dz
金属（以自由电子的迁移为主） 金属T↑， λ↓； 合金T↑， λ↑
非金属（以弹性波） T↑， λ↑
– 气体 分子间的相互碰撞 T↑， λ↑ – 液体 分子运动、弹性波 T↑， λ↓
由以上分析可看出，在一般情况下：
– ①λ固>λ液>λ气； – ②λ导>λ非导； – ③λ湿>λ干； – ④λ多孔<λ实体 – 习惯上把λ<0.15 的材料称为隔热材料
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
表示物体内部温度趋向一致能力的大小。
二、圆柱体坐标中的导热微分方程
三、单值性条件
1 几何条件 物体的形状、大小及相对 位置。
2 物理条件 热物性λ、ρ、Cp等 3 时间条件 （初始条件）tτ=0=f(x,y,z) 4 边界条件 表征导热体的边界与导热
第三节 一维稳态导热
一、平壁的一维稳态导热
1 单层平壁
（1）壁面等温
t
已知有一平壁，导热系数为λ ， 且为常数，二壁温为t1和t2 （ t1>t2 ），壁面截面积为A， 厚为δ，无内热源。
求（1）温度分布；（2）热流 量Q（q）
t1
δ
t2 x
方法一：利用导热微分方程式
方法二：直接利用付里叶定律
隔热材料一般利用气体导热系数小的特 点，把材料做成蜂窝状多孔性。
第二节 导热微分方程
一、直角坐标系中的导热微分方程
假设：
– （1）物性参数为常数 （λ，ρ，c）
– （2）材料各相同性 – （3）物体内具有内热
源 发q出v，的单热位量时。间体积 Qx
思路：取一微元体— 平行六面体
dv=dx·dy·dz
传热学ch2稳态导热
反。
dΦ/dA为通过该点的热流密度，傅里叶定律 的热流密度表达式写为：
t q λ n
负号表示热流方向和温度梯度方向相反，即 指向温度降低的方向。 q是沿n方向传递的热流密度（严格地说热 流密度是矢量，所以q应是热流密度矢量在 n方向的分量）单位为W/m²。 t n 是物体沿n方向的温度变化率
2.1.2导热基本定律 1）傅里叶导热定律 定义式： dΦ λ dA t
n
λ——导热系数 A——传热面积，单位为m² t ——温度，单位为K
物理意义：
通过物体内某点微元面积dA，在单位时间里传 递的热量与该点处的温度梯度以及截面面积成正 比。导热基本定律说明的是通过物体中任一点导 热量的大小，热量传递的方向和温度传递的方向相
假定前提：热扰动的传递速度无限大。 不适用范围（非傅里叶导热）： 1）温度效应，导热物体的温度接近0K时； 2）时间效应，当过程的作用时间极短，与材料 本身固有的时间尺寸（松弛时间）相接近时； 3）尺度效应，当过程发生的空间尺寸极小，与 微观粒子的平均自由行程相接近时。
已知条件：无内热源、λ为定值、稳态 导热微分方程： t 0
c. 温度与热导率的关系 物体热导率随温度的变化关系比较复杂,如 图所示，但一般在某个不大的温度范围内， 可以认为二者之间成线性关系，一般写成 0 (1 bt) 其中b称为温度系数。
温度对物质的热导率具有较大的影响，同 一物体温度变化，热导率一般也发生变化。 因此，在谈论某种物体的热导率时，一般 应指明物体此时所处的温度，如果没有指 明，一般物体温度为常温。
一维稳态温度场假设肋片受到流体冷却肋基温度为t高温肋片温度沿肋高h下降由于肋片一般在长度方向肋宽方向较长所以温度在该方向不变在肋片厚度方向由于肋片很薄且大所以该方向温度也不变所以温度只在肋高方向变化是一维稳态温度场如图221则1宏观整个肋片上从肋基到肋端取为控制体则能量平衡为
dΦ/dA为通过该点的热流密度，傅里叶定律 的热流密度表达式写为：
t q λ n
负号表示热流方向和温度梯度方向相反，即 指向温度降低的方向。 q是沿n方向传递的热流密度（严格地说热 流密度是矢量，所以q应是热流密度矢量在 n方向的分量）单位为W/m²。 t n 是物体沿n方向的温度变化率
2.1.2导热基本定律 1）傅里叶导热定律 定义式： dΦ λ dA t
n
λ——导热系数 A——传热面积，单位为m² t ——温度，单位为K
物理意义：
通过物体内某点微元面积dA，在单位时间里传 递的热量与该点处的温度梯度以及截面面积成正 比。导热基本定律说明的是通过物体中任一点导 热量的大小，热量传递的方向和温度传递的方向相
假定前提：热扰动的传递速度无限大。 不适用范围（非傅里叶导热）： 1）温度效应，导热物体的温度接近0K时； 2）时间效应，当过程的作用时间极短，与材料 本身固有的时间尺寸（松弛时间）相接近时； 3）尺度效应，当过程发生的空间尺寸极小，与 微观粒子的平均自由行程相接近时。
已知条件：无内热源、λ为定值、稳态 导热微分方程： t 0
c. 温度与热导率的关系 物体热导率随温度的变化关系比较复杂,如 图所示，但一般在某个不大的温度范围内， 可以认为二者之间成线性关系，一般写成 0 (1 bt) 其中b称为温度系数。
温度对物质的热导率具有较大的影响，同 一物体温度变化，热导率一般也发生变化。 因此，在谈论某种物体的热导率时，一般 应指明物体此时所处的温度，如果没有指 明，一般物体温度为常温。
一维稳态温度场假设肋片受到流体冷却肋基温度为t高温肋片温度沿肋高h下降由于肋片一般在长度方向肋宽方向较长所以温度在该方向不变在肋片厚度方向由于肋片很薄且大所以该方向温度也不变所以温度只在肋高方向变化是一维稳态温度场如图221则1宏观整个肋片上从肋基到肋端取为控制体则能量平衡为
第三章一维稳态和非稳态导热
0
.
23
12
分别为：
.436
0
.20
1
2 1
s
0
.
46
1
t
t
q
1400
884
.
2
1116
.
8
℃
2
w
1
1
.
436
1
➢ 将求出的t2 与原假设的t2 相比较，若两者相差甚大，需重新计算。
重设t2=1120℃，计算的方法同上，中间过程略去，可以得到：
➢
s
0
.46
单位面积热阻：（1）导热热阻S/λ;
（2）对流给热热阻1/α
Si
多层：温度分布；热通量；界面温度的求解；
单位面积热阻:（1）导热热阻
i
（2）对流给热热阻1/ α
小
➢
结
对于一维圆筒壁：
单层：温度分布；热流量；
单位长度热阻:（1）导热热阻
1
d
ln 2
2 d 1
1
（2）对流给热热阻 d
多层：温度分布；热流量；界面温度的求解；
di1
1
单位长度热阻:（1）导热热阻
ln
2 d
i
i
（2）对流给热热阻 1
d
➢ 对于有内热源的情况：
温度分布，热通量或热流量均不为常数
热阻分析法的适用范围：一维、稳态、无内热源的情况。
临界绝热层：
2 x
dc
2
内容结构
1 稳态导热
.
23
12
分别为：
.436
0
.20
1
2 1
s
0
.
46
1
t
t
q
1400
884
.
2
1116
.
8
℃
2
w
1
1
.
436
1
➢ 将求出的t2 与原假设的t2 相比较，若两者相差甚大，需重新计算。
重设t2=1120℃，计算的方法同上，中间过程略去，可以得到：
➢
s
0
.46
单位面积热阻：（1）导热热阻S/λ;
（2）对流给热热阻1/α
Si
多层：温度分布；热通量；界面温度的求解；
单位面积热阻:（1）导热热阻
i
（2）对流给热热阻1/ α
小
➢
结
对于一维圆筒壁：
单层：温度分布；热流量；
单位长度热阻:（1）导热热阻
1
d
ln 2
2 d 1
1
（2）对流给热热阻 d
多层：温度分布；热流量；界面温度的求解；
di1
1
单位长度热阻:（1）导热热阻
ln
2 d
i
i
（2）对流给热热阻 1
d
➢ 对于有内热源的情况：
温度分布，热通量或热流量均不为常数
热阻分析法的适用范围：一维、稳态、无内热源的情况。
临界绝热层：
2 x
dc
2
内容结构
1 稳态导热
《传热学》第2章_稳态热传导
qt1t235 W3 /m 2
2021/5/23
第2章 稳态热传导
例2-2 一锅炉炉壁有三层材料组成，最里面的是耐火粘土砖，厚115mm，
中间层是硅藻土砖，厚125mm；最外面是石棉板，厚70mm，已知墙
壁内外表面的温度为495 ℃和60 ℃，试求每平方米炉强的热损失及分界
面上的温度。
假设：1. 一维问题；2. 稳态导热；3. 无接触热阻(界面紧密接触)
1,2，,导3 热系数
面温度t1，t4。
，1,两2,外3表
假设各层之间接触良好，可以近似地认
t2
t3 t4
为接合面上各处的温度相等
x 0
❖
第一类边界条件：
x
n i1
i
t t1 t tn1
t1
t2
t3
t4
❖
热阻：
2021/5/23
r1
1 1
....r.n.nn
三层平壁的稳态导热
关键点：界面热流密度、传热量处处相同
0时( n t)wf2()
3. 规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的 温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为
( n t)wh(twtf )
2021/5/23
第2章 稳态热传导
4. 如果导热物体表面与温度为Te的外界环境只发生辐射传热，称为
辐射边界条件。可表示为
T nTw 4Te4
更多的热量；2. 分母是单位体积的物体温度升高1℃所需要的
热量。a越大，表示物体内部温度扯平的能力越大。
2. 等号左边一项为非稳态项，也就是热力学能增量
3. 等号右边三项为通过界面的导热而使微元体增加的能量
4. 公式最后一项为源项
2021/5/23
第2章 稳态热传导
例2-2 一锅炉炉壁有三层材料组成，最里面的是耐火粘土砖，厚115mm，
中间层是硅藻土砖，厚125mm；最外面是石棉板，厚70mm，已知墙
壁内外表面的温度为495 ℃和60 ℃，试求每平方米炉强的热损失及分界
面上的温度。
假设：1. 一维问题；2. 稳态导热；3. 无接触热阻(界面紧密接触)
1,2，,导3 热系数
面温度t1，t4。
，1,两2,外3表
假设各层之间接触良好，可以近似地认
t2
t3 t4
为接合面上各处的温度相等
x 0
❖
第一类边界条件：
x
n i1
i
t t1 t tn1
t1
t2
t3
t4
❖
热阻：
2021/5/23
r1
1 1
....r.n.nn
三层平壁的稳态导热
关键点：界面热流密度、传热量处处相同
0时( n t)wf2()
3. 规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的 温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为
( n t)wh(twtf )
2021/5/23
第2章 稳态热传导
4. 如果导热物体表面与温度为Te的外界环境只发生辐射传热，称为
辐射边界条件。可表示为
T nTw 4Te4
更多的热量；2. 分母是单位体积的物体温度升高1℃所需要的
热量。a越大，表示物体内部温度扯平的能力越大。
2. 等号左边一项为非稳态项，也就是热力学能增量
3. 等号右边三项为通过界面的导热而使微元体增加的能量
4. 公式最后一项为源项
第三章 稳态导热
Q 稳态无内热源： 1 = Q2 = Q3 = Q
t w1 − t w4 Rλ1 + Rλ 2 + Rλ 3 = Q t w1 − t w4 Q= Rλ1 + Rλ 2 + Rλ 3
Q=
δ3 δ1 δ2 + + λ1 A λ2 A λ3 A
t w1 − t w4
W
q=
δ1 δ 2 δ 3 + + λ1 λ2 λ3
= tw1 − tw2 t −t = w1 w2 r 1 Rλ ln 2 2πλl r 1
[ W]
tw1 − tw2 Q tw1 − tw2 = 单位长度圆筒壁的热流量 ql = = r 1 l rlλ ln 2 2πλ r 1
[ W/m]
1 r2 rλl = ln m⋅ o C W ——单位长度圆筒壁的导热热阻 ——单位长度圆筒壁的导热热阻 2πλ r 1
线性分布
求得平壁内温度分布
δ
x + tw1
温度梯度： 温度梯度：
dt tw2 − tw1 = dx δ
单层平壁内部温度分布是一条直线
导过平壁的热流量
tw1 − tw2 tw1 − tw2 tw1 − tw2 dt Q = −λ A = λ A = = [ W] δ δ λA dx Rλ o Rλ = δ (λ A) [ C W] ——导热面积为A的导热热阻 ——导热面积为 导热面积为A
t w1 − t w2 t w1 − t w2 ⇒ Rλ1 = 对平壁1 Q 对平壁1： 1 = Rλ1 Q1
t w2 − t w3 t w2 − t w3 ⇒ Rλ 2 = 对平壁2 Q 对平壁2： 2 = Rλ 2 Q2
t w3 − t w4 t w3 − t w4 对平壁3 Q 对平壁3： 3 = Rλ3 ⇒ Rλ3 = Q3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处 的温度差别越小。
a木材 1.5107 m2 s，a铝 9.45105 m2 s
a木材 a铝 1 600
a反应导热过程动态特性，是研究非稳态导热的重要物理量
x r cos ; y r sin ; z z
qr
t r
q
1 r
t
qz
t z
q
gradt
Φl
l
tw1 tw2 ln( r2 r1)
tw1 tw2 Rl
W/m
2
多层圆筒壁
Φ
tw1 tw(n1)
n
i1
1
2i
L
ln
ri1 ri
ql
tw1 tw(n1)
n
i1
1
2i
ln
ri1 ri
W W m
通过单位长度圆筒壁的热流量
第三类边界条件 • 单层圆筒壁
h1 h2
ql r1 2r1h1 (t f 1 tw1 ) ql
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
[J]
同理可得y和z方向上的净热流量
dQy
dQy dy
qy y
dxdydz d
[J]
dQz
dQzdz
qz z
dxdydz d
[J]
三个方向上净热流量之和就等于该微元上总净热流量
d
qx x
dxdydz d
q y y
dxdydz d
qz z
dxdydz d
有无内热源、大小和分布；是否各向同性
3、时间条件 稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的 温度分布 t 0 f (r)
时间条件又称为初始条件 （Initial conditions）
４、边界条件
说明导热体边界上过程进行的特点 反映过程与周围环境相互作用的条件
c1
t c1x c2
tw1
x 0,
x ,
t t
tw1 tw2
c1
tw2 tw1
c2 tw1
tw2
t
tw2 tw1
x
tw1
线性分布
o
dt
tw2
tw1
Fourier’s law
dx
q
tw2 tw1
t
t
(A)
r
R
A
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
多层平壁的导热
tw1 tw2 1 ln r2
2 r1
ql r 2 2r2h2 (tw2 t f 2 )
ql
1
tf1 tf 2 1 ln r2
1
h1 2r1 2 r1 h2 2r2
tf1 tf2 Rl
W m
• 多层圆筒壁
ql
1
tf1 tf2
n
1
ln di1
1
h1d1 i1 2 i di h2d n1
t
c1
t1
tw2t2twt11 ; lnl(nr(2r2r1r)1 )
ln(
rc2r1)
t w1
(tw2
t w1 )
ln r1 ln( r2 r1)
t
t1
t2 t1 ln( r ln( r2 r1)
r1 )
温度呈对数曲线分布
温度场
t
tw1
(tw1
t
w
2
)
ln( r ln( r2
r1 ) r1 )
边界条件一般可分为三类：（Boundary conditions） 第一类、第二类、第三类边界条件
已知任一瞬间导热体边界上温度值
t s tw s — 边界表面； tw = f (x,y,z)—边界上的温度
tw1 tw2
o
x
x 0, t tw1
x , t tw2
已知物体边界上热流密度的分布及变化规律
1 r2
(
t )
( z
t ) Φ z
圆筒壁长度l，外径小于 1/10 l
简化为一维稳态无内热源导热问题
d (r dt ) 0 dr dr
一类边界
r r
r1时 r2时
t tw1 t tw2
求解:
r
dt dr
c1
t c1 ln r c2
t w1 c1 ln r1 c2 ; t w 2 c1 ln r2 c2
r1 ) r1 )
dt tw1 tw2 1 dr ln(r2 r1) r
q dt tw1 tw2
dr r ln(r2 r1)
W m2
虽然是稳态情况，但 热流密度 q 与半径 r
成反比！
Φ
2
rlq
tw1 ln( r2
tw2 r1 )
tw1 tw2 R
2 l
W
长度为 l 的圆筒 壁的导热热阻
第一层：q
1 1
(t1
t2
)
t2
t1
q
1 1
第二层：q
2 2
(t2
t3
)
t3
t2
q
2 2
第
i
层：q
i i
(ti
ti11)
ti1
ti
q
i i
第三类边界条件
q
1 h1
tf1 tf2
n i
i1 i
1 h2
tf1 h1
t2
t3
h2
tf2
tf1
t1
t2
t3
t2
tf2
c t
1 r
(r t ) r r
液体
液体 0.07~0.7 W (m C)
20 C : 水 0.6 W (m C)
大多数液体（分子量M不变）： T
液体的热导率随压力p的升高而增大
p
Q U W W 0, Q U
dU Q d dV
净进入微元体的热流量
内热源生成热 dV dxdydz
单位时间微元体内能增 dU mc dt cv dt cdxdydz dt
稳态导热
温度场
› 某时刻空间所有各点温度分布的总称,是时间和空间的 函数
t f (x, y, z, ) t = f ( r, )
时间
• 稳态温度场 • 非稳态温度场
t 0 t f (r)
t f (r, )
空间
• 一维温度场 • 二维温度场 • 三维温度场
等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点 连接起来所构成的面
沿等温面法线方向上的温度增量与法向距 离比值的极限，gradt
grad t t i t j t k
x
y
z
t t n s
注：温度梯度是向量；正向 朝着温度增加的方向
等温面上某点，以通过该点处最大热流密 度方向为方向、数值上正好等于沿该方向 的热流密度
q qx i qy j qz k
› 极短时间内产生极大的热流密度的热量传递现 象， 如激光加工过程。
› 极低温度(接近于0 K)时的导热问题。
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律 + 热力 学第一定律
› 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； › 它没有涉及具体、特定的导热过程的通用表达式 › 对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
一维稳态常物性无内热源导热问题
c t ( t ) ( t ) ( t ) Φ x x y y z z
› 单层平壁的导热
c t ( t ) Φ x x
d2t dx2
0
边界条件
x 0,
x
,
t t
tw1 tw2
t
求解：
dt dx
qx
xx
t x
xy
t y
xz
t z
qy
yx
t x
yy
t y
yz
t z
qz
zx
t x
zy
t y
zz
t z
固体物质
› 晶格振动 › 自由电子移动
通常来说
› 金属：温度上升， 导热率下降
› 非金属：温度上升， 导热率上升
纯金属
› 主要依靠自由电子的迁移
金属 12~418 W (m C)
c
or
t a2t qv
c
a — 热热扩扩散率散（率导温, 系m数2/）s [ m2 s]
c
2 — 拉拉普普拉拉 斯斯 算子算子
• 热扩散率 a反映了导热过程中材料的导热能力（ ） 与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分
一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散，所以 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度 趋向于均匀一致的能力
根据傅里叶定律
qx
t x
,
q
y
t y
, qz
t z
d
x
t x
dxdydz
d
y
t y
dxdydz
d
z
t z
dxdydz
d
dU Q d dV
c t
(
x
t ) (
x y
t ) y z
(
t z
)
qv
当、c 、 为常数时
t
a(
2t x2
2t y 2
2t z 2
)
qv ;
说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
› 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
a木材 1.5107 m2 s，a铝 9.45105 m2 s
a木材 a铝 1 600
a反应导热过程动态特性，是研究非稳态导热的重要物理量
x r cos ; y r sin ; z z
qr
t r
q
1 r
t
qz
t z
q
gradt
Φl
l
tw1 tw2 ln( r2 r1)
tw1 tw2 Rl
W/m
2
多层圆筒壁
Φ
tw1 tw(n1)
n
i1
1
2i
L
ln
ri1 ri
ql
tw1 tw(n1)
n
i1
1
2i
ln
ri1 ri
W W m
通过单位长度圆筒壁的热流量
第三类边界条件 • 单层圆筒壁
h1 h2
ql r1 2r1h1 (t f 1 tw1 ) ql
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
[J]
同理可得y和z方向上的净热流量
dQy
dQy dy
qy y
dxdydz d
[J]
dQz
dQzdz
qz z
dxdydz d
[J]
三个方向上净热流量之和就等于该微元上总净热流量
d
qx x
dxdydz d
q y y
dxdydz d
qz z
dxdydz d
有无内热源、大小和分布；是否各向同性
3、时间条件 稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的 温度分布 t 0 f (r)
时间条件又称为初始条件 （Initial conditions）
４、边界条件
说明导热体边界上过程进行的特点 反映过程与周围环境相互作用的条件
c1
t c1x c2
tw1
x 0,
x ,
t t
tw1 tw2
c1
tw2 tw1
c2 tw1
tw2
t
tw2 tw1
x
tw1
线性分布
o
dt
tw2
tw1
Fourier’s law
dx
q
tw2 tw1
t
t
(A)
r
R
A
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
多层平壁的导热
tw1 tw2 1 ln r2
2 r1
ql r 2 2r2h2 (tw2 t f 2 )
ql
1
tf1 tf 2 1 ln r2
1
h1 2r1 2 r1 h2 2r2
tf1 tf2 Rl
W m
• 多层圆筒壁
ql
1
tf1 tf2
n
1
ln di1
1
h1d1 i1 2 i di h2d n1
t
c1
t1
tw2t2twt11 ; lnl(nr(2r2r1r)1 )
ln(
rc2r1)
t w1
(tw2
t w1 )
ln r1 ln( r2 r1)
t
t1
t2 t1 ln( r ln( r2 r1)
r1 )
温度呈对数曲线分布
温度场
t
tw1
(tw1
t
w
2
)
ln( r ln( r2
r1 ) r1 )
边界条件一般可分为三类：（Boundary conditions） 第一类、第二类、第三类边界条件
已知任一瞬间导热体边界上温度值
t s tw s — 边界表面； tw = f (x,y,z)—边界上的温度
tw1 tw2
o
x
x 0, t tw1
x , t tw2
已知物体边界上热流密度的分布及变化规律
1 r2
(
t )
( z
t ) Φ z
圆筒壁长度l，外径小于 1/10 l
简化为一维稳态无内热源导热问题
d (r dt ) 0 dr dr
一类边界
r r
r1时 r2时
t tw1 t tw2
求解:
r
dt dr
c1
t c1 ln r c2
t w1 c1 ln r1 c2 ; t w 2 c1 ln r2 c2
r1 ) r1 )
dt tw1 tw2 1 dr ln(r2 r1) r
q dt tw1 tw2
dr r ln(r2 r1)
W m2
虽然是稳态情况，但 热流密度 q 与半径 r
成反比！
Φ
2
rlq
tw1 ln( r2
tw2 r1 )
tw1 tw2 R
2 l
W
长度为 l 的圆筒 壁的导热热阻
第一层：q
1 1
(t1
t2
)
t2
t1
q
1 1
第二层：q
2 2
(t2
t3
)
t3
t2
q
2 2
第
i
层：q
i i
(ti
ti11)
ti1
ti
q
i i
第三类边界条件
q
1 h1
tf1 tf2
n i
i1 i
1 h2
tf1 h1
t2
t3
h2
tf2
tf1
t1
t2
t3
t2
tf2
c t
1 r
(r t ) r r
液体
液体 0.07~0.7 W (m C)
20 C : 水 0.6 W (m C)
大多数液体（分子量M不变）： T
液体的热导率随压力p的升高而增大
p
Q U W W 0, Q U
dU Q d dV
净进入微元体的热流量
内热源生成热 dV dxdydz
单位时间微元体内能增 dU mc dt cv dt cdxdydz dt
稳态导热
温度场
› 某时刻空间所有各点温度分布的总称,是时间和空间的 函数
t f (x, y, z, ) t = f ( r, )
时间
• 稳态温度场 • 非稳态温度场
t 0 t f (r)
t f (r, )
空间
• 一维温度场 • 二维温度场 • 三维温度场
等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点 连接起来所构成的面
沿等温面法线方向上的温度增量与法向距 离比值的极限，gradt
grad t t i t j t k
x
y
z
t t n s
注：温度梯度是向量；正向 朝着温度增加的方向
等温面上某点，以通过该点处最大热流密 度方向为方向、数值上正好等于沿该方向 的热流密度
q qx i qy j qz k
› 极短时间内产生极大的热流密度的热量传递现 象， 如激光加工过程。
› 极低温度(接近于0 K)时的导热问题。
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律 + 热力 学第一定律
› 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； › 它没有涉及具体、特定的导热过程的通用表达式 › 对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
一维稳态常物性无内热源导热问题
c t ( t ) ( t ) ( t ) Φ x x y y z z
› 单层平壁的导热
c t ( t ) Φ x x
d2t dx2
0
边界条件
x 0,
x
,
t t
tw1 tw2
t
求解：
dt dx
qx
xx
t x
xy
t y
xz
t z
qy
yx
t x
yy
t y
yz
t z
qz
zx
t x
zy
t y
zz
t z
固体物质
› 晶格振动 › 自由电子移动
通常来说
› 金属：温度上升， 导热率下降
› 非金属：温度上升， 导热率上升
纯金属
› 主要依靠自由电子的迁移
金属 12~418 W (m C)
c
or
t a2t qv
c
a — 热热扩扩散率散（率导温, 系m数2/）s [ m2 s]
c
2 — 拉拉普普拉拉 斯斯 算子算子
• 热扩散率 a反映了导热过程中材料的导热能力（ ） 与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分
一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散，所以 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度 趋向于均匀一致的能力
根据傅里叶定律
qx
t x
,
q
y
t y
, qz
t z
d
x
t x
dxdydz
d
y
t y
dxdydz
d
z
t z
dxdydz
d
dU Q d dV
c t
(
x
t ) (
x y
t ) y z
(
t z
)
qv
当、c 、 为常数时
t
a(
2t x2
2t y 2
2t z 2
)
qv ;
说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
› 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界