复合函数的导数练习题

<

函数求导

1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限） （1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；

（2）求平均变化率

x

x f x x f x y ∆-∆+=

∆∆)

()(00。 （3）取极限求导数=)(0'

x f x

x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000

2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点)(0'

x f 的导数就是

导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。 3．常用的导数公式及求导法则： ！

（1）公式

①0'

=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '

= ③x x sin )(cos '

-=

④1

'

)(-=n n nx

x

⑤a a a x x ln )('

=

⑥x

x e e ='

)(

⑦a

x x a ln 1)(log '

=

⑧x x 1)(ln '

=

⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（x

x 2'

sin 1)cot -

= （2）法则：'

'')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=

/

)

()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -=

例： （1）()3

24y x x =- （2）sin x

y x

=

（3）3cos 4sin y x x =- （4）()2

23y x =+

·

（5）()ln 2y x =+

复合函数的导数

如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数

y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且

(f [)(x ϕ])ˊ=

[])(x f ϕ')(x ϕ'

或记作 x y '=u

y '•x u '

熟记链式法则

\

若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则

x y '=)()(x u f ϕ''

若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则

x y '=

)()()(x v u f ψϕ'''

（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成

的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。

例1函数4

)

31(1

x y -=

的导数. 解：4

)

31(1

x y -=

4)31(--=x ． 设4

-=u

y ，x u 31-=，则

]

x u x u y y '''⋅=x u x u )'31()'(4-⋅=-

)3(45

-⋅-=-u 55)31(1212---==x u 5

)31(12

x -=

．

1．求下函数的导数.

（1）cos

3

x

y = （2）y =！

(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2

《

(1)y =3

2)

12(1-x (2)y =4131+x (3)y =sin(3x －6π) (4)y =cos(1+x 2

)

$

⑴32)2(x y -=； ⑵2

sin x y =；⑶)4

cos(x y -=π

； ⑷)13sin(ln -=x y ．

1．求下列函数的导数

|

(1) y =sin x 3

+sin 3

3x ； （2）1

22sin -=

x x y (3))2(log 2

-x a

2.求)132ln(2

++x x 的导数

￥

一、选择题（本题共5小题，每题6分，共30分） 1. 函数y =

2

)13(1

-x 的导数是（ ） A. 3)13(6-x B. 2)13(6-x C. －3)13(6-x D. －2

)13(6

-x

3. 函数y =sin （3x +4

π

）的导数为（ ）

A. 3sin （3x +

4π

）

B. 3cos （3x +

4

π） ~

C. 3sin 2

（3x +

4π） D. 3cos 2

（3x +4

π） 4. 曲线n

x y =在x=2处的导数是12，则n=（ ） A. 1 B. 2 C.

3

D. 4

5. 函数y =cos2x +sin x 的导数为（ ） A. －2sin2x +x

x

2cos B. 2sin2x +

x x

2cos C. －2sin2x +

x

x 2sin

D. 2sin2x －

x

x 2cos

6. 过点P （1，2）与曲线y=2x 2

相切的切线方程是（ ） A. 4x －y －2=0 B. 4x+y －2=0 )

C. 4x+y=0

D. 4x －y+2=0

二、填空题（本题共5小题，每题6分，共30分）

8. 曲线y =sin3x 在点P （

3π

，0）处切线的斜率为___________。 9. 函数y =x sin （2x －2π）cos （2x +2

π

）的导数是 。