【NO.8】数列的周期性
数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习专题
2023高考数列专题——数列的函数性质一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( )A ．2B ．－6C ．3D ．1例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( )A ．425B ．428C ．436D ．437跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2三、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn的最小值为( )A ．293B ．47－1C ．485D ．274例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第 项． 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．63、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 0114、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．四、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( )A ．0B ．252C ．21D ．42跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15 2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．3、 (2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．高考数列专题——数列的函数性质（解析版）一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列；(2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( B )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 解： ∵数列{a n }是单调递增数列，∴对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋b (n ＋1)>n 2＋bn ，即b >－(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立，又n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，∴b >－3，即实数b 的取值范围为(－3，＋∞)．例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为(－∞，6).解：解法一：由数列是一个递减数列，得a n ＋1<a n ，又因为a n ＝－2n 2＋kn －1，所以－2(n ＋1)2＋k (n ＋1)－1<－2n 2＋kn －1，k <4n ＋2，对n ∈N *，所以k <6.解法二：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，∵数列是递减数列，∴k 4<32，∴k <6.跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：A 由a n ＝n 3n ＋1，可得a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，故选A ．2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1n <2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a n ＝2－1n．答案：a n ＝2－1n(答案不唯一)3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1na n＝3(n ≥2)，∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 21·a 1＝2≠3．∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n×3n －2，n ≥2.(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a nn ＋1有解，①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝12；②当n ≥2时，a nn ＋1＝2×3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝2×3n －2n (n ＋1)，∴f (n ＋1)f (n )＝3nn ＋2>1，∴f (n )单调递增，∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是13．由①②可知实数λ的最小值是13．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( 3 )A ．2B ．－6C ．3D ．1解 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…所以数列{a n }每四项重复出现，即a n ＋4＝a n ，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，而2 023＝505×4＋3，所以该数列的前2 023项的乘积是a 1·a 2·a 3·a 4·…·a 2 023＝1505×a 1×a 2×a 3＝3．例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( A )A ．425B ．428C ．436D ．437解： 由数列的递推公式可得：a 2＝22－a 1＝43，a 3＝22－a 2＝3，a 4＝22－a 3＝－2，a 5＝22－a 4＝12＝a 1，据此可得数列{a n }是周期为4的周期数列，则：6S 100＝6×25×⎝⎛⎭⎫12＋43＋3－2＝425． 跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：B 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 023＝a 3×674＋1＝a 1＝12．五、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( C )A ．293B ．47－1C ．485D ．274解： 由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝28＋2＋4＋…＋2(n －1)＝28＋n (n －1)＝n 2－n ＋28，∴a n n ＝n ＋28n －1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28 ]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293．例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第9、10项．解： 解法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.解法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119. 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．解析：当a n ＝n －22n －11>0⇒n ＝1或n ≥6，∴a 2＝0，a 3<0，a 4<0，a 5<0，故当S n 取得最小值时n 的值为5．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．3、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 011解析：C 因为S 2 018>0，S 2 019<0，所以a 1＋a 2 018＝a 1 009＋a 1 010>0，a 1＋a 2 019＝2a 1 010<0，所以a 1 009>0，a 1 010<0，且a 1 009>|a 1 010|，因为对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，所以k ＝1 010，故选C ．4、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝45时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n ，当n <4时，a n ＋1a n>1，当n >4时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <12时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n <n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈N *，解得k ＝mm ＋1，则a n ＋1a n ＝m (n ＋1)n (m ＋1)，当n ＝m 时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故D 正确．故选B 、C 、D ．5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．解析：a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5．六、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( C )A ．0B ．252C ．21D ．42解： 由函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，又{a n }是等差数列，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21，则{a n }的前21项之和为21．故选．跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15解析：D f ′(x )＝x 2－6x ＋8，∵a 5，a 6是函数f (x )的极值点，∴a 5，a 6是方程x 2－6x ＋8＝0的两实数根，则a 5·a 6＝8，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 5·a 6)5＝5log 28＝15，故选D ．2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)． (2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34，因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34．3、(2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．解析：根据等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ≤S 8恒成立，可知a 8≥0且a 9≤0，所以1＋7d ≥0且1＋8d ≤0，解得－17≤d ≤－18．答案：⎣⎡⎦⎤－17，－18。
第一节 数列的概念及通项公式
答案：an＝2×3n
4．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝ ________.
解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得a1＝2，满足上式， 从而{an}的通项公式为an＝2n2－1(n∈N *)． 答案：2n2－1(n∈N *)
以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1＝1－n1. ∴an＋1＝1－n1，∴an＝－n1(n≥2)． 又∵当n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－n1.
[解题方略] 对于形如 an＋1－an＝f(n)的递推关系的递推数列，即数列相 邻两项之差是一个关于 n 的函数式，可以直接对等式两边求和 进行解答，也可写为 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＋a1 的形式进行迭代．
[一“点”就过] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn －1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合， 则应该分n＝1与n≥2两段来写．
所以数列{an}的通项公式是an＝－2n＋8(n∈N *)． 答案：－2n＋8
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________.
解析：当n≥2时，Sn－1＝2n－1，两式相减， 得an＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝2， 不满足an＝2n－1，所以an＝22n，－1n，＝n1≥，2. 答案：22n，－1n，＝n1≥，2
【备战】高考数学 高频考点归类分析 程序框图(真题为例)
程序框图典型例题：例1. （2012年全国课标卷理5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则【 】()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【答案】C 。
【考点】程序框图的结构。
【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是：A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数。
故选C 。
例2. （2012年北京市理5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为【 】A. 2 B .4 C.8 D. 16【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，程序的运行过程中各变量值变化如下表：-时，输出x 例3. （2012年天津市理5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25的值为【】-（Ｂ）1（Ｃ）3（Ｄ）9（A）1【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：例4. （2012年天津市文5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为【】（A）8 （B）18 （C）26 （D）80【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：例5. （2012年安徽省理5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是【】C5()D8()A3()B4()【答案】B。
【考点】程序框图的结构。
【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满x≤的最小项数：足4根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：y。
第一讲+数列的概念与简单表示法课件-2025届高三数学一轮复习
a6＝( )
A.3×44
B.3×44＋1
C.44
D.44＋1
解析：由an＋1＝3Sn，得到an＝3Sn－1(n≥2)，
两式相减，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， 则an＋1＝4an(n≥2)，因为a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，所以此数 列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an＝ a2qn-2＝3×4n-2(n≥2).则a6＝3×44.故选A.
1
＝
(2n
＋
1)
7 8
n＋1
，
an＋1 an
＝
(2n＋1)78n＋1 (2n－1)78n
＝
14n＋7 16n－8
.
当
aan＋n1>1 时，n<125；当aan＋n1<1 时，n>125.∵an>0，∴数列{an}的最大项 是 a8.
答案：8
考向 2 数列的周期性
[例3]已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公 通项公式 把数列的通项用公式表示
式 法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an， an－1)等表示数列的方法
3.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn， 则 an＝SS1n， －nSn＝－11，，n≥2.
4.数列的分类
分类标准
类型
项数
有穷数列 无穷数列
项与项间的 大小关系
递增数列 递减数列
常数列
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
强调数列项的顺序和重复性质。
1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。
举例讲解如何写出简单数列的通项公式。
第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。
练习写出几个给定数列的列举表示。
2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。
举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。
2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。
引导学生通过观察图形来理解数列的特点。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。
举例说明如何确定一个数列的项数。
3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。
举例说明如何判断一个数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。
举例说明如何判断一个数列的周期性。
第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。
推导等差数列的通项公式。
4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。
推导等比数列的通项公式。
4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。
举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。
第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。
推导等差数列的前n项和的公式。
5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。
推导等比数列的前n项和的公式。
5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。
举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。
第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。
数列的函数特征(教师版)
数列的函数特征(教师版)1、数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即a n ＝f (n )(n ∈N *)．数列的函数图像是一群孤立的点。
2、数列的增减性(1)若 ，n ∈N *，则数列{a n }叫作递增数列； (2)若 ，n ∈N *，则数列{a n }叫作递减数列； (3)若 ，n ∈N *，则数列{a n }叫作常数列； (4)若a n 的符号或大小交替出现，则数列{a n }叫作摆动数列．3、数列的最大项与最小项(1)若a n 是最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.(2)若a n 是最小项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.4、数列的周期性对于数列{a n }，若存在一个大于1的自然数T (T 为常数)，使a n ＋T ＝a n ，对一切n ∈N *恒成立，则称数列{a n }为周期数列，T 就是它的一个周期．考向一 数列的单调性例1—1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n2n 2＋1，判断数列{a n }的增减性．解：∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1a n ＋1－a n ＝1n 2＋1－1n ＋1 2＋1＝[ n ＋1 2＋1]－ n 2＋1 n 2＋1 [ n ＋1 2＋1]＝2n ＋1n 2＋1 [ n ＋1 2＋1].由n ∈N *，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .∴数列{a n }为递增数列．例1—2 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a ，b 均为正常数，则该数列是单调递__________数列．解：∵a n ＋1－a n ＝a n ＋1 b n ＋1 ＋1－an bn ＋1＝a[b n ＋1 ＋1] bn ＋1>0.∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .①判断数列单调性的基本方法是利用作差或作商的方法比较a n 与a n ＋1的大小关系，若a n ＞a n ＋1(n ∈N *)恒成立，则{a n }是递减数列；若a n ＜a n ＋1(n ∈N *)恒成立，则{a n }是递增数列；②判断数列单调性时，也可从数列与函数的关系出发，分析数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )对应函数的单调性来确定数列的单调性．变式1—1 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝kn2n ＋3(k ∈R )．(1)当k ＝1时，判断数列{a n }的单调性；(2)若数列{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解：(1)当k ＝1时，a n ＝n 2n ＋3，所以a n ＋1＝n ＋12n ＋5，于是a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋5－n2n ＋3＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋5)(2n ＋5)(2n ＋3)＝3(2n ＋5)(2n ＋3)＞0，故数列{a n }是递增数列．(2)若数列{a n }是递减数列，则a n ＋1－a n ＜0恒成立，即a n ＋1－a n ＝kn ＋k 2n ＋5－kn 2n ＋3＝3k(2n ＋5)(2n ＋3)＜0，由于(2n ＋5)(2n ＋3)＞0，所以必有3k ＜0，故k ＜0.变式1—2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝11＋n 2－n，n ∈N *，则该数列是单调递__________数列． 解：a n ＝11＋n 2－n＝n ＋1＋n 2，当n 增大时，n ＋1＋n 2增大，所以数列是递增数列．考向二 数列的最大项与最小项例2—1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4 (n ∈N *)，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．解：(1)a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，当n ＝2,3时，a n <0.∴数列中有两项是负数． (2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值， 其最小值为－2.例2—2 已知a n ＝9n (n ＋1)10n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．解：因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤ n ＋2 －109 n ＋1 ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9， 则当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0， 所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108.①根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的载体函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值；②在数列{a n }中：若a n 是最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 是最小项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.变式2—1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋25n ，则数列{a n }各项中最大项是( )． A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析：由于a n ＝－2n 2＋25n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2542＋6258，且n ∈N *，所以当n ＝6时，a n 的值最大，即最大项是第6项．变式2—2 已知数列的通项a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫67n ，n ∈N *.试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数，若没有，说明理由．解：假设第n 项a n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，于是⎩⎨⎧(n ＋2)⎝⎛⎭⎫67n ≥(n ＋1)⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋3)⎝⎛⎭⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，所以4≤n ≤5，所以当n ＝4或n ＝5时，数列中的项最大，即a 4与a 5都是最大项，且a 4＝a 5＝6574.考向三 数列的周期性例3—1 已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解：a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1，a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ，a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a ＋1＝a ，a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，…….∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ，∴{a n }为周期数列，周期为3.∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .答案 B例3—2 在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.解：(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.∴a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2.数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．变式3—1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( )A.67B.57C.37D.17解：C [计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.]变式3—2 设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为Πn ，则Π2 011的值为( )A ．－12B ．－1 C.12D ．2解析：由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而Π2 011＝Π1＝2.考向四 数列与函数的综合应用例4 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围． 解：若{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n ≥0.即(n ＋1)3－a (n ＋1)－n 3＋an ≥0恒成立． 即a ≤(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1恒成立，即a ≤(3n 2＋3n ＋1)min ，∵n ∈N *， ∴3n 2＋3n ＋1的最小值为7. ∴a 的取值范围为a ≤7.(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法；②作商法；③结合函数图象等方法．变式4 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对任意n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．k >－1 C ．k >－2 D ．k >－3解：由a n ＋1>a n 知道数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3，故选D.基础达标1、若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填写序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n .解：可以通过画函数的图像一一判断．②有增有减，④是摆动数列．答案 ①③2、在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )．A ．103 B.8658 C.8258D ．108解析 根据题意并结合二次函数的性质可得：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n 2－292n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋3＋8418， ∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108.答案 D3、函数f (x )*＋ )x 1 2 3 4 5 f (x )51342A.1 B ．2 C ．4 D ．5解：∵x 0＝5，x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (x 1)＝f (2)＝1，x 3＝f (x 2)＝f (1)＝5，x 4＝f (x 3)＝f (5) ＝2，…，∴x n 的值周期出现，且周期T ＝3，则x 2 011＝x 670×3＋1＝x 1＝2.答案 B能力提升 4、已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 解：因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)， 所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立． 而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的范围．5、已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解：∵a n ＝n －99＋ 99－98 n －99＝99－98n －99＋1∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上．在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象．由图象易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1， 当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减．∴a 10>a 11>…>a 30>1.所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.答案 C6、已知数列{a n }是递减数列，且a n ＝(m 2－2m )(n 3－2n )，求实数m 的取值范围．解：∵数列为递减数列，∴a n ＋1<a n ，∴a n ＋1－a n ＝(m 2－2m )[(n ＋1)3－2(n ＋1)－n 3＋2n ]＝(m 2－2m )(3n 2＋3n －1)<0. ∵n ∈N ＋，∴3n 2＋3n －1＝3⎝⎛⎭⎫n ＋122－74≥5>0，∴m 2－2m <0，解得0<m <2.故实数m 的取值范围为0<m <2.。
数列中的周期性和模周期性
2中等数学!赦修活劲葆程讲農］数列中的周期性和模周期性田尚（湖南省长沙市第一中学,410005）中图分类号:0122.7文献标识码：A文章编号:1005-6416（2019）05-0002-07（本讲适合高中）数列是高中数学竞赛中的重要内容，其蕴含着丰富的性质.以数列为背景，经常可设计出一些构思精巧、形式优美、富有新意的问题.因此,各类竞赛都很注重对数列的考查.本文以研究数列的性质为出发点，主要探讨数列中的周期性和模周期性问题.1数列的周期性1.1知识介绍定义1对于数列山”1,若存在确定的正整数T及％,使得对一切n^n0,恒有a”+7 =a”成立，则称）«…!是从第n0项起的周期为T的周期数列.当n0=l时，称巾”｝为纯周期数列；当%工2时，称｛a”丨为混周期数列.定义2给定数列UJ,若项a”+*与项a“,a”+i,"・，a”+_i之间满足函数关系式F（a”+&,a”+*-i,・・・，a”）=0或a”+*=/（a”+Q,…，a”），则称此关系式为k阶递归式，由此递归式和初始值«1,a2,--,a k所确定的数列｛a”|称为k阶递归数列.关于周期数列，以下性质在解题中应用较多.收稿日期：2018-08-21得回日期=2018-12-10性质1周期数列为无穷数列，其值域为有限集.证明设数列｝是从第N项开始的周期为T的周期数列.则由定义知a n G｛ct,,¾•',a N_\,a N,••',a^+T_i｝（n C Z+）,即其值域为有限集.性质2值域为有限数集的无穷递归数列必为周期数列.证明设也”｝的值域为有限集D,\D\且巾”｝满足％阶递归关系a n+k=/（a”，a”+i,…，a”+_i）56N）.考虑无穷有序数组（5,°2,…，aQ,（°2，°3，…，a*+i）,…，仏心+1,色+*-1），…由于=则上述不相同的有序数组至多个.由抽屉原理，知必存在两个相同的有序数组.不妨设（a m,a m+l,---,a m+k_1）与（為+『，a m+T+l，…，am+T+lc-J（k、T G Z*）相同，即£=5+/^=^,^+1,-,/71+:-1成立•用数学归纳法证明：当n^m时，恒有a n+T=a n-事实上，当n-m时，结论已经成立.设nWs（sMm+A:-l）时，结论成立.由a s+i+r=/（a j+r5a j-i+r»,"*>a J+t-i+r）=A a s，a s-i，---,a s+k-J=a s+l,即当n=s+l时，命题成立.2019年第5期3综上，当n ^m 时，恒有a n + T = a ”.因此，数列｛ a ” I 是从第m 项开始的周期 为T 的周期数列.性质3周期数列必有界.证明 由性质1,知周期数列的值域是 有限集，进而知周期数列必有界.1.2例题选讲例1令S 为一个有限集，且SCQ.对任意正整数仁若能找到S 中的个数（允许 相同）其和为0,则b k =0；否则,b k = l.证明：实数0.力篦…为有理数.［分析】只要证:数列｛b n !从某项开始为周期数列.只需考虑0幺S,且S 中同时存在正数和负数的情况.记s =冬 <•••< 如，_竺>...>其中,Pi 、qi 、Uj 、y E z +,且(P>,?；) = !(» 巳 1,2,…,, (吟,10 = 1()巳 1,2,...,/}).记 T= 71 (q “j +p ：Uj),1 WiWm lCjCZv iN = mT + IT +屮+.・.+巴?1其中，［幻表示不超过实数X 的最大整数.下面证明：T 为数列｛ b n |从某项开始的周期，即存在正整数N,使得当n^N 时，均有 6” = b*+T.故 6” =0 o b n + T =0.当b n =0时,取出这n 个和为0的数，再力廿上-------个丛及------------Pi ”i 个913 +p l v l q x qg +p®--J'J 这n + T 个数之和为0,即b n + T =0.v \当 U 时,由于n + T＞（m + l ）T,故qw存在一个正数至少出现T 次,不妨设该正数號•若负数的个数均小于八则正数至少有个.故正数之和大于”巴+ •••+巴）.于是，这n + T 个数之和不为0,与bw= 0矛盾.从而,必存在一个负数至少出现T 次，不妨设该 负数为-勺，则可去掉一-—q iUj （＜ T ）个生9 +PiVj qj及一7~P 円（＜ T ）个-出•故这n 个数之Qi u j+Pi v j 弓和为0,即b n =0.因此，数列｛ b n \从某项开始为周期数列，即实数0.久篦…为有理数.【评注】要证明实数0.价篦…为有理数的重要方法是说明无穷数列｛ b n ｝为从某项开始的周期数列•本题有一定的组合色彩，可按照定义证明｛ b n \从某项开始是周期为T 的 周期数列.例2设实数列怡”］满足：=a 9x 2 =/3,%”+2 = G Z+）.证明：对任何实数a 、0,必存在整数p 、q,使得对任何正整数",均有p＜x n ＜q.【分析】先取a 、0的几个特殊值，容易发现数列的周期为9•结合性质3,知周期数列有界.则可证明原命题的一个充分条件:数列中存在正整数N,使得对任何k^N,均有叫+9 = X k-若%…=0,则结论成立.若如不恒为0卫”不恒为正（否则，％+34中等数学=X n+2~X n+l=(%”+1一％”)一％”+1=一哲<°,矛盾)，也不恒为负(否则卫”+2=+>0)，则存在m C Z+，及a、6M0,a、b不全为零,使得陷=~a,x m+l=b.于是，%m+2="m+l=b+a,x m+3=\x m+2\-x m+l=a,X m+4=l%m+3I~X m+2=_b,x m+5=1陷+4丨_轧+3=b-a.(1)当b<a时，陷+6=\x m+5\-x m+4=a,%m+7=1陷+6丨-轧+5=2a-b,X m+S=I%m+7I_%m+6=Q_6,陷+9=l%m+8丨-%“+7X m+\0=l%m+9'~X m+&(2)当bNa时，类似(1)可得X m+9=-a,%m+10=b.从而，总有X m+g=x m,xm+w=X m+l.再结合二阶递归式，知对于任何k^n,均有x k+9=X k-结合性质3,知数列｛%”｝有界，即对任何 实数a、0,必存在整数p、g,使得对任何正整数口,均有p<x n<q.［评注】欲证数列｛签｝有界，可尝试加强命题，证明伙」为周期数列.例3已知两个整数列!a J J!满足方程(a“-a”-i)(a”-a”-2)+(%-b”_J(6”-b”_2)=0,①其中,/1=3,4,-.证明:存在正整数仁使得a k+^k=a t+2018+^4+2018-②【分析】本题所给条件有明显的几何意义,故设在平面直角坐标系下P”(a”,6”).由方程①，知点P"在以P”—P”_2为直径 的圆上.记d”=IP”P”+i F=(a”-a n+i)2+(b n -b n+1)2.显然，｛d J为非负整数列，且由点P n在以P”-iP“-2为直径的圆上，知｛d n|单调不增.于是,存在足够大的◎使得0=“”=血+i=力”+2=…,或0<d”=d”+i=d”+2=…，即点Pgn)与仇+i重合或与代+2重合.从而，数列I a”｝从n项开始是周期为1或2的周期数列.类似地，数列｛久|从“项开始是周期为1或2的周期数列.这表明，存在,使得式②成立.［评注】从结论上看,要证的是“年份数”为数列｛的周期，实质上很可能存在比年份数更小的周期•此外，本题中构建几何模型解决代数问题的方法是十分漂亮的.例4已知正整数d,定义数列jaj:［牛，a”为偶数；a0=1,Q”+i=2a…+d,a n为奇数.求所有满足条件的整数必使得存在n>0,a n=1.⑴(2011,克罗地亚国家队选拔考试)【分析】先对d分奇偶讨论.若d为偶数，则a”=1+加,数列｛a”|中的所有项均为奇数且数列是单调递增的，不合题意.设d为奇数•可由数学归纳法证明：若a”为奇数，则a»Wd；若％为偶数，则a“W2d.可见，数列｛a”I的值域为有限集.由性质2,知数列｛Q”｝从某项开始为周期数列.设r(r>0)为存在sMr且使得a r=a s的最小下标.若a「Wd,则a「、a,均为其前一项除以2,即a严竽4=竽.2019年第5期5故a一1=a,_i，这与r是最小值矛盾.若a r>d,由a”W2d,得a八a,均为其前一项加d,仍有a r_i=a,_i,也与r的最小性 矛盾.因此,r=0,即对每一个奇数d,均存在s,使得a s=a0=1.【评注】观察数列的初始项a。
高中数学数列的周期性教案
高中数学数列的周期性教案
教学目标：
1. 了解数列的定义和基本性质；
2. 掌握数列的周期性及其判断方法；
3. 能够应用周期性解决数列问题。
教学重点与难点：
重点：数列的周期性及判断方法；
难点：数列周期性的应用。
教学准备：
1. PowerPoint课件；
2. 数列题目练习册；
3. 评价标准表。
教学过程：
一、引入：
教师通过展示一组数列让学生思考，引出数列的周期性概念。
二、概念讲解：
1. 数列的定义及基本性质；
2. 数列的周期性概念；
3. 判断数列是否周期性的方法。
三、示例演练：
教师通过几个具体例子，让学生分析数列的周期性，判断是否为周期数列。
四、练习环节：
学生自主完成练习册上的数列题目，巩固掌握数列的周期性概念及判断方法。
五、拓展应用：
教师设置一些应用题，让学生运用数列周期性解决问题。
六、总结反思：
学生和教师共同总结本节课的重点知识，思考数列周期性的应用场景。
教学评价：
通过课堂练习、作业布置和小组讨论等方式，评价学生对数列周期性的理解和应用能力。
拓展延伸：
学生可以通过参与竞赛、研究数学论文等方式深入了解数列的周期性，并运用到实际问题中。
教学反思：
教师应根据学生的反馈及时调整教学方式和内容，不断提升教学效果和学生学习兴趣。
专题23 数列的基本知识与概念 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题23数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N*-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】题型一：数列的周期性题型二：数列的单调性题型三：数列的最大（小）项题型四：数列中的规律问题题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（）A ．2B ．5C ．7D ．8例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（）A ．16B ．16-C ．6D ．6-例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（）A ．67B ．68C ．134D ．167例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（）A ．15B ．25C ．35D ．45例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩ *(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（）A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（）A ．14-B ．45C ．5D ．45-例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（）A ．12-B ．12C ．-1D ．2题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（）A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（）A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围为（）A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法根据1n n a a ＋－的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列作商比较法根据1(>0<0)n n n na a a a +或与1的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图象直观判断题型三：数列的最大（小）项例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（）A ．12B ．1C ．2D ．3例16．已知数列{}n a 满足110a =，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（）A ．-1B ．112C ．163D ．274例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na nn b S =，则数列{}n b 的最小项为（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____例19．数列，1n =，2， ，中的最小项的值为__________．【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n nn a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =．题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（）；()f n =（）．A ．352331n n +-B ．362331n n -+C ．372331n n -+D ．382331n n +-例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，()1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（）A ．()1,12B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9例23．将正整数排列如下：123456789101112131415……则图中数2020出现在A ．第64行3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（）A ．343B ．575C ．D ．12例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n -=+-，则下列说法正确的是（）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a 例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（）A ．12B ．34C ．1D ．32例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（）A ．235B ．143C 12D ．13例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（）A ．134B ．5C ．6D ．132例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（）A ．[]40,25--B ．[]40,0-C ．[]25,25-D ．[]25,0-【过关测试】一、单选题1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数()f x 定义如下表，数列{}()N n x n ∈满足02x =，且对任意的自然数n 均有()1n n x f x +=，则2022x =（）x 12345()f x 51342A ．1B ．2C ．4D ．52．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为{}n a ，其前n 项和为n S ，给出以下结论：①22122n a n n -=-；②182是数列{}n a 中的项；③21210a =；④当n 为偶数时，()2122n n n S S S n n *++-+=+∈N ．其中正确的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．（2022·河南·模拟预测（理））观察数组()2,2，()3,4，()4,8，()5,16，()6,32，…，根据规律，可得第8个数组为（）A ．()9,128B ．()10,128C ．()9,256D ．()10,2564．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()()11120n n a a +-++=，112a =，则数列{}n a 的前2022项积为（）A ．16-B ．23C ．6-D ．325．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()1112,21*+-==∈-n n n a a a n N a ，则2022=a （）A ．13B ．1C ．2D ．526．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()2**2,5,,1,5,.n n tn n n a t n n n ⎧-+≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N 且数列{}n a 是单调递增数列，则t 的取值范围是（）A ．919,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．(]1,48．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{nan }中数值最小的项是（）A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项9．（2022·上海普陀·二模）数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-10．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题11．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（）A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n=D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-12．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足1112,012,1321,12n n n n n a a a a a a +⎧⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩ ，则数列{}n a 中的项的值可能为（）A ．13B ．2C ．23D ．4513．（2022·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（）A ．数列2345,,,3456，⋯的一个通项公式是1n n a n =+B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，1-，1，1-，⋯与数列1-，1，1-，1，⋯是同一数列D ．数列11,24，⋯，12n是递增数列14．（2022·全国·高三专题练习）已知n S 是{}n a 的前n 项和，12a =，()1112n n a n a -=-≥，则下列选项错误的是（）A ．20212a =B ．20211012S =C ．331321n n n a a a ++⋅⋅=D ．{}n a 是以3为周期的周期数列15．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }满足112,2712,62n n n n n a a a a a +⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，123a =，则数列{an }中的项的值可能为（）A ．19B ．16C ．13D ．4316．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（）A ．2-B ．23C ．32D ．317．（2022·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{}220,,s ts t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排列的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，…，则下列结论正确的是（）A ．第四行的数是17，18，20，24B ．()11232-+=⋅n n n a C ．()11221n n a n +=+D ．10016640a =18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（）A ．第6行第1个数为192B ．第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列C ．第10行前10个数的和为9952⨯D ．数表中第2021行第2021个数为202060612⨯19．（2022·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（）A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n=D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-20．（2022·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（）．A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．122n a n=-D ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S 21．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=（1，2，4，5，7，8与9互质），则（）A ．若n 为质数，则()1n n ϕ=-B ．数列(){}n ϕ单调递增C ．数列()2n n ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前5项和等于72D ．数列(){}3nϕ为等比数列三、填空题22．（2022·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列{}n a 满足()111,2,3,n na n a +>= ，则{}n a 为递增数列”为假命题的数列{}n a 的通项公式可以为n a =__________．23．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 是无穷数列；②{}n a 是单调递减数列；③20n a -<<.这个数列的通项可以是__________.24．（2022·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列{}n a 的通项公式：n a =__________．①10n n a a +<；②数列{}n a 是单调递减数列；③数列{}2nn a 是一个等比数列．25．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．26．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8n n a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________.27．（2022·山西·模拟预测（理））数列{}n a 中，已知11a =，20a >，()*21n n n a a a n ++=-∈N ，则2022a 的取值范围是___________.28．（2022·四川成都·三模（理））已知数列{}n a 满足13a =，122n n n a a a ++=，则2022a 的值为______．29．（2022·全国·模拟预测）在数列{}na 中，11a =，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，则1232021a a a a ++++= ___．。
数学中的数列和三角函数知识
数学中的数列和三角函数知识一、数列知识1.数列的定义：数列是由一些按照一定顺序排列的数构成的序列。
2.数列的表示方法：–列举法：直接将数列中的各项写出来；–通项公式法：用公式表示数列中任意一项的值。
3.数列的分类：–整数数列：数列中的每一项都是整数；–有理数数列：数列中的每一项都是有理数；–实数数列：数列中的每一项都是实数。
4.数列的性质：–单调性：数列可以分为单调递增、单调递减或常数数列；–周期性：数列中存在周期性的重复项；–收敛性：数列的各项逐渐趋近于某一确定的值。
5.等差数列：数列中任意两项之差都相等的数列。
–定义：数列{a_n}中，如果对于任意的n，都有a_n - a_(n-1) = d，那么数列{a_n}就是等差数列，其中d为常数，称为公差。
–通项公式：a_n = a_1 + (n - 1)d–前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)6.等比数列：数列中任意两项的比值都相等的数列。
–定义：数列{a_n}中，如果对于任意的n，都有a_n / a_(n-1) = q，那么数列{a_n}就是等比数列，其中q为常数，称为公比。
–通项公式：a_n = a_1 * q^(n-1)–前n项和公式：S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)（q ≠ 1）二、三角函数知识1.三角函数的定义：三角函数是用来描述直角三角形中角度与边长之间关系的函数。
2.基本三角函数：–正弦函数（sin）：sinθ = 对边 / 斜边–余弦函数（cos）：cosθ = 邻边 / 斜边–正切函数（tan）：tanθ = 对边 / 邻边3.特殊角的三角函数值：–sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，tan30° = 1/√3–sin45° = √2/2，cos45° = √2/2，tan45° = 1–sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3–sin90° = 1，cos90° = 0，tan90° = 无穷大4.三角函数的性质：–周期性：三角函数具有周期性，如sinθ和cosθ的周期都是2π；–奇偶性：sinθ和tanθ是奇函数，cosθ是偶函数；–单调性：三角函数在各自的定义域内具有单调性。
高三复习经典专题6：周期数列问题
周期数列的性质及应用我们在学习函数时，通常会围绕着函数的单调性、奇偶性和周期性进行研究；那么，数列作为一种特殊的函数，它是否有周期性呢？有周期性的数列又有哪些特点呢？下面是我在教学中总结出的几点认识，仅供大家参考． 1、周期数列的概念及主要性质类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{n a ，如果存在一个常数T )(+∈N T ，使得对任意的正整数0n n >恒有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．若10=n ，则称数列}{n a 为纯周期数列，若20≥n ，则称数列}{n a 为混周期 数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期．通过周期数列的定义以及所学过的周期函数的性质，发现周期数列满足以下性质： （1）如果T 是数列}{n a 的周期，则对于任意的+∈N k ，kT 也是数列}{n a 的周期． （2）若数列}{n a 满足21---=n n n a a a （+∈N n ，且2>n ），则6是数列的一个周期．（3）已知数列}{n a 满足n t n a a =+（+∈N t n ,，且t 为常数），n S 分别为}{n a 的前n 项的和，若r qt n +=（t r <≤0，+∈N r ），则r n a a =，r t n S qS S +=．特别地：数列}{n a 的周期为6，（即：n n a a =+6）则262012335S S S +=（4）若数列}{n a 满足s a a k n n =+-),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列； 若数列}{n a 满足s a a a k n n n =+++-- 1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列． 若数列}{n a 满足s a a a k n n n =⋅⋅⋅-- 1)0,,(≠∈>+s N n k n ，则数列}{n a 是周期数列．特别地：数列}{n a 满足s a a n n =+-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=2；数列}{n a 满足s a a a n n n =++--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=3 数列}{n a 满足s a a n n =-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=2；数列}{n a 满足s a a a n n n =--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=3（5）若数列}{n a 满足,11dca baa a n n n --=--a+d=0,则数列}{n a 是周期T=2；例：数列}{n a 满足,37311--=--n n n a a a 则数列}{n a 是周期T=2；；2、周期数列性质的简单应用 （1）求周期数列的通项公式例1（04山东数学竞赛）、已知数列}{n a 满足21=a ，nn a a 111-=+，求n a ． 分析：周期数列的通项公式通常都可以分段表示，所以只需求出它的一个最小正周期即可． 解：∵n n a a 111-=+，∴111112--=-=++n n n a a a ，从而n n n n a a a a =-+=-=++111123； 即数列}{n a 是以3为周期的周期数列．又21=a ，211112=-=a a ，11123-=-=a a ，所以 332313,1,21,2+=+=+=⎪⎩⎪⎨⎧-=k n k n k n a n ．例2、若数列}{n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+)121( ,12)210( ,21n n n n n a a a a a ；若761=a ，则20a 的值为（ ）．A ．76 B ．75 C ．73 D ．71． 解析：紧扣分段函数的定义，代入a 1=76求得a 2=75，并依次求出 ,76,7343==a a ．故此数列是周期为3的周期性数列，故75220==a a ．故选B ．（2）求周期数列中的项例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列}{n a 中，5,321==a a 且对于大于2的正整数，总有21---=n n n a a a ，则2009a 等于（ ）．A ．-5B ．-2C ．2D ．3．解析：由性质（2）知，数列}{n a 是以6为周期的周期数列，而533462009+⨯=，再由性质（3）可得5)(3233452009-=--=-==a a a a a a a ，故选A ．例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列}{n a 满足a a =1（a 为实数），11313---+=n n n a a a (+∈N n )，求2000a ．解：11313---+=n n n a a a (+∈N n )可变形为1133133---+=n n n a a a ．我们发现1133133---+=n n na a a 与三角式6tantan 16tan tan )6tan(πππx x x -+=+十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系的原型．通过运算，发现本题中可取n a =6tanπn ，6)1(tan 1π-=-n a n ．显然此数列的周期是6．而263332000+⨯=，再由性质（3），得aa a a -+==31322000．注：此类问题也可采用不动点法求解，有兴趣的朋友不妨试一下．（3）求周期数列的前n 项和例5、设数列}{n a 中，21321===a a a ，，且对N n ∈，有321+++n n n n a a a a = 321++++++n n n n a a a a （121≠++n n n a a a ）成立，试求该数列前100项和100S ．解：由已知条件，对任何自然数+N ，有321+++n n n n a a a a = 321++++++n n n n a a a a ，把式中的n 换成1+n ，得4321++++n n n n a a a a = 4321+++++++n n n n a a a a ．两式相减得，44321)(+++++-=-n n n n n n n a a a a a a a ．因为1321≠+++n n n a a a ，所以n n a a =+4)(+∈N n ．所以}{n a 是以4为周期的周期数列，而254100⨯=，再由性质（3），得200)4211(25254100=+++⨯==S S ．例6（上海08质检题）、若数列}{n a 满足n n n a a a -=++12)(+∈N n ，n S 为}{n a 的前n 项和，且20082=S ，20103=S ，求2008S ．解析：由n n n a a a -=++12及性质（2），可知所以数列}{n a 是以6为周期的周期数列．由20082=S ，20103=S ，知200821=+a a ，2010321=++a a a ，再结合123a a a -=，可求得10031=a ，10052=a ，23=a ；由递推关系式可进一步求得10034-=a ，10055-=a ，26-=a ．因为433462008+⨯=，由性质（3），得100710070334334462008=+⨯=+=S S S ．（4）求周期数列的极限例7、（06北京）在数列}{n a 中，1a ，2a 是正整数，且21---=n n n a a a ， 5,4,3=n ，则称}{n a 为“绝对差数列”．若“绝对差数列”}{n a 中，320=a ，021=a ，数列}{n b 满足21++++=n n n n a a a b ， 3,2,1=n ，分别判断当n →∞时，数列}{n a 和}{n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值．解析：因为在绝对差数列}{n a 中320=a ，021=a ．所以自第20项开始，该数列是320=a ，021=a ，322=a ，323=a ，024=a ，325=a ，326=a ，027=a …．即自第 20 项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n →∞时，n a 的极限不存在．当20n ≥时，126n n n n b a a a ++=++=，所以lim 6n n b →∞=．周期数列练习1、已知数列}{n a 满足，,11=a ,22=a ,21--=n n n a a a ),3(*∈≥N n n .则=17a ( ) A.1 B.2 C.21D.9872-2、n 个连续自然数按规律排成下表：（ ） 0 3 → 4 7 → 8 11 … ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 1 → 2 5 → 6 9 → 10根据规律，从2011到2012的箭头方向依次为（ ）。
高二数学数列的概念试题答案及解析
高二数学数列的概念试题答案及解析1.设数列的前项和为，且满足．（1）求，，，的值并写出其通项公式；（2）证明数列是等比数列．【答案】（Ⅰ）；；；。
；（2）详见解析【解析】（1）由，得；；；，故可猜想。
(2)根据已知和可推导出。
根据等比数列的定义可知，数列是首项为1公比为2的等比数列。
解：（1）由，得；；；，猜想． 6分（2）方法一：①②②-①得∴即∴数列是等比数列． 13分方法二：（三段论）∵通项公式为的数列，若，是非零常数，则是等比数列；由（1）通项公式，即；∴通项公式的数列是等比数列．【考点】1与的关系；2等比数列的定义。
2.数列……的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】数列中正负（先正后负）项间隔出现，必有，而数列1，3，5，7，9，……的一个通项公式为，所以数列的一个通项公式为，故选A.【考点】数列的通项公式.3.下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（）A．380B．39C．35D．23【答案】A【解析】因为数列的通项是两个相邻的正整数的乘积.由380=19×20.其它三个选项都不符合.故选A.本题考察的知识是数列的通项公式.也可以先排除数字更小的选项，这种思维方式在选择题中经常使用.【考点】数列的通项公式.4.已知数列{an }满足条件a1=–2,an+1=2+,则a5= ．【答案】【解析】由递推公式依次可得解，，，，.【考点】数列通项问题.5.下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（）A．380B．39C．35D． 23【答案】A【解析】分别让选项中的数值等于n（n+1），求出n是自然数时的这一项，就是符合要求的选项．解：由n（n+1）=380，有n=19．所以A正确； n（n+1）=39，n（n+1）=35，n（n+1）=23均无整数解，则B、C、D都不正确．故选A．【考点】数列的概念点评：数列的概念是高考中的热点，应充分重视．属于基础题．6.数列的前项和为 ()A．B．C．D．【答案】A【解析】因为根据已知条件，可知数列的通项公式为，故前n 项和故选A.【考点】本题主要考查数列的求和的运用。
江西南昌二中2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题(一)(解析版)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1南昌二中2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题一本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ） A. 8.4 B. 8.5C. 8.6D. 8.7【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用第50百分位数的定义计算即得. 【详解】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数， 所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为8.48.68.52+=. 故选：B2. 已知双曲线222:1(0)x C y b b−=>的离心率e <，则b 的取值范围是（ ）A. (0,1)B.C. (1,)+∞D. )+∞【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线方程，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围． 【详解】由已知可得双曲线的焦点在y 轴上时，1a =，221c b =+，所以==<c e a212+<b ，由0b >，解得01b <<.故选：A.3. 若数列{}n a 满足211a =，111n na a +=−，则985a =（ ） A.1110B. 11C. 110−D.1011【答案】D 【解析】【分析】探索数列的周期性，根据数列的周期性求指定项.【详解】因为132111111111n n n n n a a a a a +++++−===−−−−11111n n na a a −−=−−.所以数列{}n a 周期为3的数列.所以985328311a a a ×+== 211a =，所以11111a =−⇒11011a =， 故98511011a a ==. 故选：D4. 已知平面,αβ，直线l ⊂α，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是（ ）A. 若//,//m αββ，则//l mB. 若//,m αββ⊥，则l m ⊥C. 若//,//l m αβ，则//m βD. 若,//l m m β⊥，则αβ⊥【答案】B 【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【详解】对于A ，若//,//m αββ，则//l m 或l 与m 异面，故A 错误； 对于B ，若//,m αββ⊥，则m α⊥，又l ⊂α，则l m ⊥，故B 正确；对于C ，若//,//l m αβ，则//m β或m β⊂，故C 错误； 对于D ，若,//l m m β⊥，则//αβ或α与β相交，故D 错误． 故选：B ．5. 在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.7和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ） A.1529B.78C.58D.1729【答案】A 【解析】【分析】根据条件概率的计算公式计算得解.【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件,,A B C ，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D ，()0.6P A ∴=，()0.7P B =，()0.5P C =，()()()()()P D P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC =∪∪=++0.40.30.50.40.70.50.60.30.50.29=××+××+××=，()()()0.30.40.50.30.50.60.15P BD P ABC P ABC =+=××+××=，()()()0.15150.2929P BD P B D P D ∴===.故选：A.6. 在平面直角坐标系中，集合(){},0A x y kx y k =−+=，集合(){},1B x y y kx ==−，已知点M A ∈，点N B ∈，记d 表示线段MN 长度的最小值，则d 的最大值为（ ）A. 2B.C. 1D.【答案】D 【解析】【分析】将集合,A B 看作是直线的集合，求出定点坐标，即可得出答案.【详解】集合{}|0A x kx y k =−+=可以看作是表示直线1:0−+=l kx y k 上的点的集合， 由0kx y k −+=变形可得，()10k x y +−=， 由100x y += = 可得，10x y =− = ，所以直线1:0−+=l kx y k 过定点()1,0E −.集合(){},1Bx y y kx ==−可看作是直线2:1l y kx =−上的点的集合， 由1y kx =−变形可得，()10kx y −+=， 由010x y = += 可得，01x y = =−，所以，直线2:1l y kx =−过定点()0,1F −.显然，当线段AB 与直线12,l l 都垂直时，d 有最大值EF =故选：D .7. 已知函数()cos 2f x x =，()sin g x x =，则存在ππ,64θ∈，使得（ ） A. 2()()()()g f g f θθθθ=+⋅ B. 4()()()2()g f f g θθθθ⋅=+ C. 2()()()()f g g f θθθθ=+⋅ D. ()()f g θθ=【答案】C 【解析】【分析】由题意求出函数(),()f x g x 在区间ππ,64上的值域，由此即可判断A ，D ；设()4cos 2sin F x x x =，求导研究()F x 的单调性，进一步得到()F x 在ππ,64上的值域,从而判断B ；设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+⋅−结合零点存在定理判断()G x 在ππ,64上是否存在零点，从而判断C.【详解】当ππ,64x∈时，1sin 2x <<，10cos 22x <<，所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>⋅，即()()()()g x f x f x g x >>⋅，（一个正数乘以一个小于1的正数，积一定小于这个数）故排除A ，D ． 对于B ，设3()4cos 2sin 4sin 8sin F x x x x x ==−，则()f x ′=()24cos 16sin x x −．因为当ππ,64x∈时，1sin 2x <<216sin 0x −<，即()0f x ′<， 所以()F x 在ππ,64上单调递减，π()16F x F <=．又当ππ,64x∈时，12sin x <<，10cos 22x <<，所以11cos 22sin 2x x <+<+，所以cos 22sin 4cos 2sin 0x x x x +−>，即cos 2x +2sin 4cos 2sin x x x >，故B 错误．对于C ，令()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+⋅−，因为π1064G =−<，π04G =>，且函数()G x 的图象是连续不断的，所以函数()G x 在ππ,64内存在零点θ，即存在ππ,64θ ∈，使得sin sin cos 22cos 20θθθθ+⋅−=， 即存在ππ,64θ∈，使得2cos 2sin sin cos 2θθθθ=+⋅，故C 正确. 故选：C ．【点睛】方法点睛：复合函数求导的一般步骤：（1）分析清楚函数()y h x =是由哪些函数复合成的，也就是找出()y f u =，()u g x =，使得()(())h x f g x =；（2）分别求y 对u 的导数()f u ′和u 对x 的导数()g x ′，再根据复合函数的求导法则，得到()()()h x f u g x ′′′=，注意最后结果中要把()f u ′写成(())f g x ′的形式．8. 已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA PBλ=（0λ>且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆心在AB 上，半径为21AB λλ⋅−的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −表面上动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.4π3+D. (2π+【答案】C 【解析】【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心O 位置及半径，P 在空间内轨迹为以O 为球心的球，球与面ABCD ，11ABB A ，11BCC B 交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，求出在截面内的圆弧的长度即可.【详解】在平面中，图①中以B 为原点以AB 为x 轴建系如图，设阿氏圆圆心(),0O a ,半径为r ，2||22||2||,2,||32||123PA PA PB r AB PB =∴=∴=⋅=×=− ， 设圆O 与AB 交于M ,由阿氏圆性质知2AM MBλ==，||2||2,||2||42BM BO a AM BM a =−=−∴==− ， 422633,1,(1,0)a a a a O ∴−+−=−=∴=∴，P 在空间内轨迹为以O 为球心半径为2的球，若P 在四边形11ABB A 内部时如图②,截面圆与1AB BB ，分别交于M ，R ，所以P 在四边形11ABB A 内的轨迹为 MR，2,1,RO BO == 在Rt O RB 中60ROB ∠= ， π22π33MR ∴×==， 所以，当P 在面11ABB A 内部的轨迹长为2π3，同理，当P 在面ABCD 内部的轨迹长为2π3，当P 在面11BCC B 时,如图③所示，OB ⊥面11BCC B ，平面11BCC B 截球所得小圆是以B 为圆心，以BP 为半径的圆，截面圆与1BB BC ，分别交于R Q ，，且BP =所以P 在正方形11BCC B 内的轨迹为 RQ，所以 ππ2RQ=，综上：P 的轨迹长度为224ππππ333+=.【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知复数01i z =−，()i ,z x y x y =+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A. 方程02z z −=表示的z 在复平面内对应点的轨迹是圆 B. 方程002z z z z −+−=表示的z 在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C. 方程001z z z z −−−=表示的z 在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支 D. 方程()00012z z z z z ++=−表示的z 在复平面内对应点的轨迹是抛物线 【答案】AC 【解析】【分析】根据复数模的几何意义，及椭圆、双曲线的定义逐项分析即可. 【详解】由复数模的几何意义知，02z z −=表示复平面内点(,)x y 与点(1,1)−之间的距离为定值2， 则z 在复平面内对应点的轨迹是圆，故A 正确； 由复数模的几何意义知，002z z z z −+−=表示复平面内点(,)x y 到点(1,1)−和(1,1)的距离之和为2，又002z z =−，不满足椭圆的定义122a F F >，故B 不正确；由复数模的几何意义知，001z z z z −−−=表示复平面内点(,)x y 到点(1,1)−和(1,1)的距离之差为1， 又002z z =−，满足双曲线的定义122a F F <，故C 正确；对于D ，()00012z z z z z ++=−可化为01+=−z z z ， 表示复平面内点(,)x y 到点(1,0)−和(1,1)−的距离相等，轨迹是直线， 故D 不正确，10. 已知θ为锐角，则下列说法错误的是（ ） A. 满足tan cos sin θθθ=+的θ值有且仅有一个B. 满足sin θ,tan θ,cos θ成等比数列的θ值有且仅有一个C. sin θ,cos θ,tan θ三者可以以任意顺序构成等差数列D. 存在θ使得tan sin θθ−,cos sin θθ−,cos tan θθ−成等比数列 【答案】CD 【解析】【分析】从前往后的顺序，利用三角函数公式，图象和性质，逐步判断，找到错误的C ，利用反证法可判断D 的正误.【详解】因为πsin cos4θθθ+=+ ，在同一坐标系内作tan y x =和π4yx+的图象：可知在π0,2上，方程tan cos sin θθθ=+只有一解，故A 选项内容正确； 由sin θ，tan θ，cos θ成等比数列，可得2tan sin cos θθθ=，π0,2θ∈，得1cos 2tan 2θθ+=， 在同一坐标系内作tan y x =和1cos 22xy +=的图象：可知方程1cos 2tan 2θθ+=，π0,2θ∈有且只有一解，所以B 选项内容正确； 若sin θ，cos θ，tan θ三者可以以任意顺序构成等差数列，则必有：sin cos tan θθθ==，且θ锐角，所以sin cos θθ==，而sin tan1cos θθθ==， 所以sin θ，cos θ，tan θ三者不可能以任意顺序构成等差数列，， 所以C 选项内容错误, 对于D ，若存在π0,2θ∈，使得tan sin θθ−,cos sin θθ−,cos tan θθ−成等比数列， 则()()()2cos sin tan sin cos tan θθθθθθ−=−−，而 1tan sin sin 10cos θθθθ−=−>，故cos tan 0θθ−>即cos tan θθ>，故22cos sin θθ>即cos sin θθ>，所以π0,4θ∈且cos sin 0θθ−>， 由cos tan θθ>可得cos sin tan sin 0θθθθ−>−>， 而sin sin tan cos θθθθ<=，故cos sin cos tan 0θθθθ−>−>， 故()()()2cos sin cos tan tan sin θθθθθθ−>−−，所以不存在θ使得tan sin θθ−,cos sin θθ−,cos tan θθ−成等比数列 故选：CD.【点睛】思路点睛：与三角有关的方程是否有解的问题，可根据代数式的特征选择合适的范围，再根据范围判断一些特定代数式的符号，从而可判断方程是否有解.为11. 已知无穷数列{}n a ，11a =．性质*:,s m n ∀∈N ，m n m n a a a +>+，；性质*:,t m n ∀∈N ，2m n ≤<，11m n m n a a a a −++>+，下列说法中正确的有（ ）A. 若32n a n =−，则{}n a 具有性质sB. 若2n a n =，则{}n a 具有性质tC. 若{}n a 具有性质s ，则n a n ≥D. 若等比数列{}n a 既满足性质s 又满足性质t ，则其公比的取值范围为()2,∞+ 【答案】BCD 【解析】【分析】根据性质s 的定义可判断选项A ；根据性质t 的定义可判断选项B ；根据性质s 的定义可得11n n a a −−>，*2,N n n ≥∈，利用累加法可证选项C ；对于D ，结合选项C ，可得1q >，由{}n a 满足性质s ，分m n =和m n ≠讨论求出2q >，再由{}n a 满足性质t 得112n n m m q q q q −−−−>−，令()1x x f x q q −=−，结合函数单调性可验证2q >满足题意.【详解】对于A ，因为32n a n =−，对*,N m n ∀∈，()()()+32323230m n m n a a a m n m n −−=−+−−−−=−<， 即m n m n a a a +<+，所以{}n a 不具有性质s ，故A 错误； 对于B ，2n a n =，对*,N m n ∀∈，2m n ≤<，()()()22221111220m n m n a a a a m n m n n m −++−−−++−−−+>，11m n m n a a a a −+∴+>+，故B 正确；对于C ，若{}n a 具有性质s ，令1m =，则111n n n a a a a +>+=+， 即11n n a a −−>，*2,N n n ≥∈，()()()112211111nn n n n a a a a a a a a n −−−∴=−+−+…+−+>++…+=，又11a =，所以n a n ≥，*N n ∈，故C 正确；对于D ，{}n a 是等比数列，设其公比为q ，又11a =，1n n a q −∴=， 若{}n a 满足性质s ，由选项C 得n a n ≥，即1n q n −≥，*N n ∈，1q ∴>，由*,N m n ∀∈，m n m n a a a +>+，得m n m n q q q +>+，当m n =时，得22n n q q >，即2n q >，对*N n ∀∈，又n q q ≥，2q ∴>， 当m n ≠时，不妨设1n m >≥，则n m q q q >≥，2m n m n m q q q q +∴>+>，解得2n q >，2q ∴≥，综上，若{}n a 满足性质s ，则2q >.若{}n a 满足性质t ，对*,N m n ∀∈，2m n ≤<，11m n m n a a a a −++>+，可得211m n m n q q q q −−−+>+，即112n n m m q q q q −−−−>−，令()1xx f x q q−=−，则()()1f n f m >−，又1n m >−，所以函数()1xx f x q q−=−在*N x ∈上单调递增，又由{}n a 满足性质s ，2q >，()()11ln ln ln 10x x x f x q q q q q q q −−∴=−=⋅⋅−>′成立，所以等比数列{}n a 既满足性质s 又满足性质t ，则其公比的取值范围为()2,∞+. 故D 正确. 故选：BCD.【点睛】思路点睛：选项C ，由题意可得11n n a a −−>，*2,N n n ≥∈，累加法可得()()()112211nn n n n a a a a a a a a n −−−=−+−+…+−+>，结合11a =，可判断；选项D ，由{}n a 满足性质s ，结合选项C 得1q >，分m n =和m n ≠讨论恒成立求出2q >，又由{}n a 满足性质t ，得112n n m m q q q q −−−−>−，令()1x x f x q q −=−，结合函数单调性可验证2q >满足题意. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知:31p x −≤≤，:q x a （a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[)1,+∞ 【解析】【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解. 【详解】因为q 一个充分不必要条件是p ， 所以[3,1]−是(],a −∞的一个真子集， 则1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.的故答案为：[)1,+∞.13. 各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体1111ABCD A B C D −，满足1160A AB A AD ∠=∠=°，则1AC =______；此平行六面体的体积为______．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由空间向量基本定理可得11AC AB BB BC =++，对其两边同时平方结合数量积的定义即可求出1AC ；连接,AB CD 交于点O ，连接1AO ，先证明1AO ⊥平面ABCD ，再由柱体的体积公式即可得出答案.【详解】因为2222211111()222AC AB BB BC AB BB BC AB BB AB BC BB BC =++=+++⋅+⋅+⋅11111112cos 2cos 2cos AB BB A AB AB BC DAB BB BC CBB =+++⋅∠+⋅∠+⋅∠1132110211522=+×××++×××=，所以1AC =.连接,AB CD 交于点O ，连接1AO ，因为底面为边长是1的正方形，所以12AOAC ==，12DO BD== 因为1160A AB A AD ∠=∠=°，连接11,A D A B ，则111A D A B==，所以在1A DB △中，1AO BD ⊥，所以1A 又因为22211+=A O AO A A ，所以1A O AO ⊥，AO BD O = ，,AO BD ⊂平面ABCD ，所以1A O ⊥平面ABCD ，所以平行六面体的体积为：11=⋅ABCD V S A O .. 14. 已知定义在R 上的增函数()f x 满足对任意的1x ，2x ∈R 都有1212()()()f x x f x f x +=，且(3)8f =，函数()g x 满足()(4)4g x g x +−=，(6)()g x g x −=，且当[]2,3x ∈时()(1)g x f x =−．若()g x 在[]0,100上取得最大值的x 值依次为1x ，2x ，…，k x ，取得最小值的x 值依次为1x ′，2x ′，…，nx ′，则()()11=′′+ ++ = ∑∑i kni i i i i x x x x g g ______．【答案】2600 【解析】【分析】对()f x 可得(1)2f =，(2)4f =，由题意分析可知()g x 的一个周期为4，关于点(2,2)对称，关于直线3x =对称，进而结合函数性质分析求解.【详解】因为1212()()()f x x f x f x +=， 令12x x x ==，可得()()22f x f x = ，令122,==x x x x ，可得()()()()332f x f x f x f x == ，因为(3)8f =，所以(1)2f =，(2)4f =．因为()(4)4g x g x +−=，可知()g x 的图象关于点(2,2)对称， 又因为当[2,3]x ∈时，()(1)g x f x =−，则()g x 在[]2,3上单调递增，且(3)(2)4g f ==，所以()g x 在[]1,2上单调递增，且(1)0g =．因为(6)()g x g x −=，则()g x 的图象关于直线3x =对称， 所以()g x 在(3,5]上单调递减，且(5)0g =，故()g x 在[]1,5上的最大值为4，最小值为0．由(6)()g x g x −=得(4)(2)g x g x −=+，则()(2)4g x g x ++=， 所以(2)(4)4g x g x +++=，得(4)()g x g x +=， 故()g x 的一个周期为4，且在43(Z)x m m =−∈处取得最小值0，在41x m =−处取得最大值4， 所以()()11371199254159972502600k ni iiii i x g x x g x = +++=+++⋅⋅⋅++×++++⋅⋅⋅+′+×=′ ∑∑．故答案为：2600.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()()2ln 12a f x x x a x +−+，()()21g x ax a x =−++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()0f x g x +≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】15. 答案见解析 16. 1,e+∞【解析】分析】（1）根据题意求出对函数()f x 求导得()()11f x ax a x=+−+′，然后分类对a 进行讨论，从而可求解.（2）由()()0f x g x +≤恒成立，利用参数分离可得2222ln ln x x a x x≥=，然后构造函数()ln t h t t =，再利用导数求解出()h t 的最大值，从而可求解. 【小问1详解】 由题意知：()()11f x ax a x=+−+′，()0,x ∞∈+ 所以()()()()21111ax a x x ax f x xx−++−−=′=，()0,x ∞∈+①当(],0a ∈−∞时，若()0,1x ∈，则()0f x ′>，若()1,x ∞∈+，则()0f x ′<，【所以()f x 在()0,1上单调递增，()f x 在()1,∞+上单调递减； ②当()0,1a ∈时，令()0f x ′=得：1x =或1x a=，且11a >，若()0,1x ∈，则()0f x ′>，若11,x a ∈，则()0f x ′<，若1,x a ∞ ∈+ ，则()0f x ′>， 所以()f x 在()0,1，1,a ∞ + 上单调递增，在11,a上单调递减； ③当1a =时，()0f x ′≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； ④当()1,a ∞∈+时，令()0f x ′=得：1x =或1x a=，且101a <<，若10,x a∈，则()0f x ′>，若1,1x a∈ ，则()0f x ′<，若()1,x ∞∈+，则()0f x ′>， 所以()f x 在10,a，()1,∞+上单调递增，在1,1a上单调递减. 【小问2详解】由()()0f x g x +≤恒成立，即2ln 02a x x −≤，()0,x ∞∈+恒成立， 所以2222ln ln x x a x x≥=，()0,x ∞∈+， 令ln ()th t t=，()0,t ∞∈+，所以21ln ()t h t t −′=， 若()0,e t ∈，则()0h t ′>，若()e,t ∞∈+，则()0h t ′<，()h t 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减；所以当e t =时，()h t 有极大值也最大值为1(e)eh =，所以1e a ≥.所以a 的取值范围为1,e +∞.16. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球．现按照如下规则摸球．从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球的结果是一红一白． （1）你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；（2）如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X ，求是X 的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）． 【答案】（1）选择1号盒子 （2）4517【解析】【分析】（1）计算出1号盒子和2号盒子中摸出一红一白的概率比较下结论； （2）根据题意得到95,17X B求解. 【小问1详解】解：设选择1号盒子后摸出一红一白的概率为1P ， 设选择2号盒子后摸出一红一白的概率为2P ，则 1132125C C 3C 5P ==， 11642210C C 8C 15P ==， 因为 12P P >，所以较大可能选择1号盒子； 【小问2详解】由贝叶斯公式，选择1号盒子后猜中的概率112192111722P P P P ==+ 由题意得：95,17X B， 所以()94551717E X =×=. 17. 如图1，已知正三角形ABC 边长为4，其中3,3AD DB AE EC ==，现沿着DE 翻折，将点A 翻折到点A ′处，使得平面A BC ′⊥平面,DBC M 为A C ′中点，如图2.（1）求异面直线A D ′与EM 所成角的余弦值； （2）求平面A BC ′与平面DEM 夹角的余弦值.【答案】（1（2 【解析】【分析】（1）设O 为BC 的中点，结合图形翻折的性质推出A O ′⊥平面DBC ，建立空间直角坐标系，求得相关线段长，即可求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求得异面直线A D ′与EM 所成角的余弦值；（2）求出平面A BC ′与平面DEM 的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】取BC 的中点为,O DE 的中点为O ′，连接A O ′与OO ′，正三角形ABC 中，3,3ADDB AE EC ==，所以3,4DE BC DE BC ∥=，则四边形DECB 为等腰梯形， 故,OO DE OO BC ′⊥′⊥；由翻折性质可得A EA D ′′=，,A EC A DB EC DB ′′∠=∠=, 则A EC ′ ≌A DB ′ ，,A C A B O ′′∴=是BC 的中点， A O BC ′∴⊥，平面A BC ′⊥平面DBC ，平面A BC ′ 平面,DBC BC A O =′⊂平面A BC ′，A O ′∴⊥平面,DBC OO ∴′⊂平面DBC ，A O OO ∴′⊥′以点O 为坐标原点以,,OC OO OA ′′所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，正ABC 的边长为34,,4DE BC DE BC =∥， 则A DE ′ 为正三角形，边长为3，则,A O DE A O ⊥∴′=′′′，2,OC OB OO ===′，连接A O ′′， 在A OO ′′中，由勾股定理得OA =′=，(33,,,(2,0,0),22A D E C M ∴− ′ ，则31,,22A D EM =−=− ′，cos ,A D EM A D EM A D EM′′′⋅∴〈〉===⋅异面直线所成角的取值范围为π(0,]2， ∴异面直线A D ′与EM【小问2详解】由（1）得(()()3,2,0,0,2,0,0,2A B C D−−′，3,2E M ， ()53,0,0,,2DE DM ∴==， 易得平面A BC ′的一个法向量为()0,1,0m =， 设平面DEM 的法向量为(),,n x y z =，则00DE n DM n ⋅= ⋅=，即30502x x y z =−+= ，令1z =，则()n = ，cos ,m n m n m n ⋅∴〈〉==⋅∴平面A BC ′与平面DEM.18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>和点(4,5)R .点P 在C 上，且45OP OR =.（1）求C 的方程；（2）若过点R 作两条直线1l 与2l ，1l 与C 相交于A ，B 两点，2l 与C 相交于E ，D 两点，线段AB 和ED 中点的连线的斜率为k ，直线AB ，ED ，AD ，BE 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，证明：12341111k k k k +=+，且34111k k k+−为定值. 【答案】（1）25y x = （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由己知，根据R 点坐标，借助45OP OR =可表示出P 点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解；（2）由已知，分别设出,,,A B C D 四点坐标，然后利用坐标分别表示出直线AB ，ED ，AD ，BE 的斜率,即可证得12341111k k k k +=+，设AB 和ED 的中点分别为M ，N ，分别联立,AB CD l l 与抛物线方程，求得M ，N 的坐标，利用斜率公式表示1k，化简计算即可得出结果. 【小问1详解】设点()00,P x y ，则()00,OP x y = ，因为45OP OR = ，(4,5)OR =，所以0416455x =×=，04545y =×=，所以点16,45P， 代入方程22y px =中，得52p =，所以C 的方程为25y x =. 【小问2详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,E x y ，()44,D x y ，则直线AB 的斜率12112125y y k x x y y −==−+， 同理得直线ED 的斜率43243345y y k x x y y −==−+， 直线AD 的斜率41341145y y k x x y y −==−+， 直线BE 的斜率32432235y y k x x y y −==−+， 所以()3412123412111555y y y y y y y y k k +++=+=+++， ()2314123434111555y y y y y y y y k k +++=+=+++， 从而得12341111k k k k +=+. 由()1254,5,y k x y x −=− =消去x 得()21155540k y y k −+−=， 所以1215y y k +=，()1121554k y y k −=由()11Δ2520540k k =−−>，得1k >1k <. 设AB 和ED 的中点分别为M ，N ，则()1211522M y y y k =+=，12115510442M M y k x k k −−=+=+， 同理252N y k =，22251042N k x k −=+， 所以2212121212511115211125112M N M N k k k k x x k y y k k k k −−− − ===+−− − ，即121112k k k +−=， 所以得34121111112k k k k k k+−=+−= .19. 若存在0x D ∈使得()()0f x f x ≤对任意x D ∈恒成立，则称0x 为函数()f x 在D 上的最大值点，记函数()f x 在D 上的所有最大值点所构成的集合为M（1）若()221,f x x x D =−++=R ，求集合M ； （2）若()()2,4xx x x f x D −==R ，求集合M ；（3）设a 为大于1的常数，若()[]sin ,0,f x x a x D b =+=，证明，若集合M 中有且仅有两个元素，则所有满足条件的b 从小到大排列构成一个等差数列．【答案】（1）{}1M =（2）{}1,2M =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）配方得到当且仅当1x =时，()221f x x x =−++取得最大值，得到{}1M =； （2）求导，得到函数单调性，求出当1x =或2时，()f x 取得最大值，故{}1,2M =；（3）求导，得到函数单调性，并得到()()2πf x f x ′′+=，得到()12ππarccos k f b f k a =−−，结合()()12πk k f b f b +−=，得到1k k b b +−为定值，故所有满足条件的b 从小到大排列构成一个等差数列．【小问1详解】()()222112f x x x x =−++=−−+, 当且仅当1x =时，()221f x x x =−++在R 上取得最大值，故{}1M =； 【小问2详解】()()24x x x xf x −=定义域为R ，()()()22ln 212424ln 44x x x x x x x x x x f x −+−−−⋅′= ()()221ln 24x x x x −−=，令()22x q x x =−，则()2ln 22xq x ′=−， 令()0q x ′=得22log ln 2x =， x 22,log ln 2 −∞ 22log ln 2 22log ,ln 2 +∞()q x ′ - 0 +()q x 极小值其中()1ln 2e ,12 ∈= ，故()22,4ln 2∈，()22log 1,2ln 2∈，可以看出()()10,20q q ==，故()q x 有且仅有2个零点，分别为1和2，令()0f x ′=得()11,2ln 2x =∈或1或2，x (),1−∞ 1 11,ln 2 1ln 2 1,2ln 22()2,+∞()f x ′ + 0 - 0 + 0- ()f x 极大值 极小值 极大值其中()()1124f f ==，故当1x =或2时，()f x 取得最大值，故{}1,2M =；【小问3详解】()[]sin ,0,f x x a x D b =+=，1a >，()[]1cos ,0,f x a x D b ′=+=，1a >，令()0f x ′=得112πarccos 2ππarccos x k k a a±−±− ，Z k ∈，当10πarccos x a <<−时，()0f x '>，()f x 单调递增，当11πarccosπarccos x a a−<<+时，()0f x ′<，()f x 单调递减， 当11πarccos 3πarccos x a a+<<−时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当113πarccos 3πarccos x a a−<<+时，()0f x ′<，()f x 单调递减， 当113πarccos 5πarccos x a a +<<−，()0f x '>，()f x 单调递增， ……，由于()()()2π1cos 2π1cos f x a x a x f x ′′+=++=+=， 故所有的单调递增区间经过适当平移可重合，同理，所有的单调递减区间经过适当平移可重合， 要想集合M 中有且仅有两个元素，则需要()11πarccos f b f a =−或()213πarccos f b f a =− ， 或()315πarccos f b f a =− ，……，()12ππarccos k f b f k a =−−， 其中()()2π2πsin 2π2πsin f x x a x x a x +=+++=++， ()()2π2πsin sin 2πf x f x x a x x a x +−=++−−=，又()()1112π2ππarccos 2ππarccos 2πk k f b f b f k f k a a + −=+−−−−−=， 所有的k b 均处在单调递增区间上，所以1k k b b +−为定值，故所有满足条件的b 从小到大排列构成一个等差数列．【点睛】函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.。
数列知识点归纳及例题分析
数列知识点归纳及例题分析一、数列的概念：1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： 10,-3,8,-15,24,....... 221,211,2111,21111,......(3), (17)9,107,1,232.n a 与n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n a a n nn注意：强调2,1≥=n n 分开,注意下标；n a 与n S 之间的互化求通项例2：已知数列}{n a 的前n 项和⎩⎨⎧≥+==2,11,32n n n S n ,求n a .3.数列的函数性质：（1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大小项问题：单调性法；图像法（3）数列的周期性：注意与函数周期性的联系例3：已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ,531=a ,求2017a . 二、等差数列与等比数列例4等差数列的判定或证明：已知数列{a n}中,a1＝错误!,a n＝2－错误!n≥2,n∈N,数列{b n}满足b n＝错误!n∈N．1求证：数列{b n}是等差数列；2求数列{a n}中的最大项和最小项,并说明理由．1证明∵a n＝2－错误!n≥2,n∈N,b n＝错误!.∴n≥2时,b n－b n－1＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝1.∴数列{b n}是以－错误!为首项,1为公差的等差数列．2解由1知,b n＝n－错误!,则a n＝1＋错误!＝1＋错误!,设函数fx＝1＋错误!,易知fx在区间错误!和错误!内为减函数．∴当n＝3时,a n取得最小值－1；当n＝4时,a n取得最大值3.例5等差数列的基本量的计算设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn ,满足S5S6＋15＝0.1若S5＝5,求S6及a12求d的取值范围．解1由题意知S6＝错误!＝－3,a6＝S6－S5＝－8. 所以错误!解得a1＝7,所以S6＝－3,a1＝7.2方法一∵S5S6＋15＝0,∴5a 1＋10d 6a 1＋15d ＋15＝0, 即2a 错误!＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解,所以 Δ＝81d 2－810d 2＋1＝d 2－8≥0, 解得d ≤－2错误!或d ≥2错误!. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0, ∴5a 1＋10d 6a 1＋15d ＋15＝0, 9da 1＋10d 2＋1＝0.故4a 1＋9d 2＝d 2－8.所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－2错误!或d ≥2错误!.例6前n 项和及综合应用1在等差数列{a n }中,已知a 1＝20,前n 项和为S n ,且S 10＝S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值；2已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25,求数列{|a n |}的前n 项和． 解 方法一 ∵a 1＝20,S 10＝S 15,∴10×20＋错误!d ＝15×20＋错误!d ,∴d ＝－错误!. ∴a n ＝20＋n －1×错误!＝－错误!n ＋错误!. ∴a 13＝0,即当n ≤12时,a n >0,n ≥14时,a n <0,∴当n ＝12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋错误!×错误!＝130.方法二 同方法一求得d ＝－错误!.∴S n ＝20n ＋错误!·错误!＝－错误!n 2＋错误!n ＝－错误!错误!2＋错误!. ∵n ∈N,∴当n ＝12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12＝S 13＝130. 2∵a n ＝4n －25,a n ＋1＝4n ＋1－25,∴a n ＋1－a n ＝4＝d ,又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项,以4为公差的递增的等差数列． 令错误!由①得n <6错误!；由②得n ≥5错误!,所以n ＝6. 即数列{|a n |}的前6项是以21为首项,公差为－4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列, 而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ,则 T n ＝错误! ＝错误!例7已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 3例8等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ,且7453nnS n T n ,则使得n na b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . 先求an/bn n=5,13,35例9已知数列{}n a 中,113a =,当2≥n 时,其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-,则数列{}n a 的通项公式为 ()()21132214n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-⎩≥例10在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n+=++,则n a = .例1111a a -+是和的等比中项,则a +3b 的最大值为 2 . 例12 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为例13 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_三、数列求和： 1倒序相加法如：已知函数1()()42x f x x R =∈+,求12()()()m mS f f f m m m =+++_________2错位相减法：{}n n b a 其中{ n a }是等差数列,{}n b 是等比数列; 3裂项相消法：形如)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=4拆项分组法：形如n n n c b a ±=,如：n n n a 32+=,65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数,21)1(n a n n ⋅-=-练习：1、数列1,211+,3211++,···,n+++ 211的前n 项和为 B A ．122+n n B ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n2、数列,,1617,815,413,211 前n 项和=n S ．3、数列{}n a 的通项公式为nn a n ++=11,则S 100＝_________________;4、设()111126121n S n n =+++++,且134n n S S +⋅=,则=n ．65、设*N n ∈,关于n 的函数21)1()(n n f n ⋅-=-,若)1()(++=n f n f a n ,则数列}{n a 前100项的和=++++100321a a a a ________．答案：100．解答：])1[()1()1()1()1()1()(22221n n n n n f n f a n n n n -+-=+⋅-+⋅-=++=-,)12()1(+-=n n ,所以201)199(9)7(5)3(100321+-+++-++-=++++ a a a a100502=⨯=． 四、求数列通项式2ln n+1公式法：121+=+n n a a ,112++-=⋅n n n n a a a a ,121+=+n nn a a a 等 2累加法：形如)2)((1≥=--n n f a a n n 或)(1n f a a n n +=-,且)(n f 不为常数 3累乘法：形如)2)((1≥⋅=-n n f a a n n 且)(n f 不为常数 4待定系数法：形如1,0(,1≠+=+k b ka a n n ,其中a a =1型5转换法：已知递推关系0),(=n n a S f ⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n解题思路：利用⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n a a n nn变化1已知0),(11=--n n a S f ；2已知0),(1=--n n n S S S f （6）猜想归纳法慎用练习：考点三：数列的通项式1、在数列{}n a 中,前n 项和842--=n n S n ,则通项公式=n a _______________3、已知数列的前n 项和n n S 23+=,则=n a _______________15122n n n a n -=⎧=⎨≥⎩4、已知数列{}n a ,21=a ,231++=+n a a n n ,则 =n a )(,23*2N n nn ∈+5、在数列{}n a 中,1112,lg 1n n a a a n +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭*N n ∈,则n a ＝ .6、如果数列{}n a 满足)(53111*++∈=-=N n a a a a a n n n n ，,则=n a ________________7、}{n a 满足11=a ,131+=+n n n a a a ,则n a =_______132n -8、已知数列{}n a 的首项12a =,且121n n a a +=-,则通项公式n a = 121n -+ 9、若数列{}n a 满足()*112,32n n a a a n N +==+∈,则通项公式n a =10、如果数列{}n a 的前n 项和323-=n n a S ,那么这个数列的通项公式是 DA ．)1(22++=n n a nB ．n n a 23⋅=C ．13+=n a nD ．n n a 32⋅=五、数列应用题： 等差数列模型1、一种设备的价格为450000元,假设维护费第一年为1000元,以后每年增加1000元,当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限,那么此设备的最佳更新年限为 ;30年2、在一次人才招聘会上,有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：甲公司：第一年月工资数为1500元,以后每年月工资比上一年月工资增加230元； 乙公司：第一年月工资数为2000元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初同时被甲、乙公司录取,试问：1若该人打算连续工作n 年,则在第n 年的月工资收入分别是多少元2若该人打算连续工作10年,且只考虑工资收入的总量,该人应该选择哪家公司为什么精确到1元解：1设在甲公司第n 年的工资收入为n a 元,在乙公司第n 年的工资收入为n b 元 则2301270n a n =+,120001.05n n b -=⋅ 2设工作10年在甲公司的总收入为S 甲,在甲公司的总收入为S 乙由于S S >乙甲,所以该人应该选择甲公司.等比数列模型例 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据计划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年度减少51,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加41;1设n 年内本年度为第一年总投入为n a 万元,旅游业总收入为n b 万元,写出n a 、n b 的表达式；2至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入精确到整数 参考解答：112511800511800511800800-⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n a2解不等式n n a b >,得5≥n ,至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.六、2017年高考题一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 2017年新课标Ⅰ 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为2. 2017年新课标Ⅱ卷理 我国古代数学名着算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.2017年新课标Ⅲ卷理 等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0．若632,,a a a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为4. 2017年浙江卷 已知等差数列}{n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0>d ”是“5642S S S >+”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件5.2017年新课标Ⅰ 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列⋯,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是02,接下来的两项是102,2,再接下来的三项是2102,2,2,依此类推.求满足如下条件的最小整数100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 二、填空题将正确的答案填在题中横线上6. 2017年北京卷理 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a ,22a b =_______.7.2017年江苏卷等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a =_______________．8. 2017年新课标Ⅱ卷理 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =, 则11nk kS ==∑． 9.2017年新课标Ⅲ卷理设等比数列{}n a 满足3,13121-=--=+a a a a ,则=4a __． 三、解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10. 2017年新课标Ⅱ文已知等差数列}{n a 前n 项和为n S ,等比数列}{n b 前n 项和为.2,1,1,2211=+=-=b a b a T n 1若533=+b a ,求}{n b 的通项公式； 2若213=T ,求3S . 11.2017年新课标Ⅰ文 记nS 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知.6,232-==S S1求{}n a 的通项公式； 2求n S ,并判断21,,++n n n S S S 是否成等差数列; 12. 2017年全国Ⅲ卷文设数列{}n a 满足()123+212n a a n a n ++-=…1求数列{}n a 的通项公式； 2求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和；13.2017年天津卷文已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*()n S n ∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2334111412,2,11b b b a a S b +==-=． 1求{}n a 和{}n b 的通项公式； 2求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ． 14.2017年山东卷文已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.1求数列{}n a 的通项公式；2{}n b 为各项非零等差数列,前n 项和n S ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T15. 2017年天津卷理已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =.1求{}n a 和{}n b 的通项公式； 2求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 16. 2017年北京卷理 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅,其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数． 1若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列； 2证明：或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n m ≥时,nc M n>；或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．17.2017年江苏卷对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立,则称数列{}n a 是“()P k 数列”．1证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；2若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明：{}n a 是等差数列． 18.本小题满分12分已知}{n x 是各项均为正数的等比数列,且.2,32321=-=+x x x x Ⅰ求数列}{n x 的通项公式；Ⅱ如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点)1,(,),2,(),1,(11211+⋯++n x P x P x P n n 得到折线121+⋯n P P P ,求由该折线与直线11,,0+===n x x x x y 所围成的区域的面积n T .19.2017年浙江卷已知数列}{n x 满足：).)(1ln(,1*111N n x x x x n n n ∈++==++证明：当*N n ∈时,1n n x x <<+10； 22211++≤-n n n n x x x x ； 3212121++≤≤n n n x .。
2025届高考数学一轮复习教案：数列-数列的概念
第七章数列第一节数列的概念【课程标准】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.3.能够利用a n与S n的关系求数列的通项公式.4.能根据数列递推关系求数列的项或通项公式.【考情分析】考点考法:高考题常以数列的概念为载体,考查数列项、前n项和及其与通项公式的关系.S n和a n的关系是高考热点,在各种题型中都会有所体现.核心素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{a n}中,S n=a1+a2+…+a n2.数列的表示法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n,a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和a n与a n+1的关系式或a1,a2和a n-1,a n,a n+1的关系式等表示数列的方法函数法a n=f(n),n∈N*【微点拨】(1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)数列的通项公式不唯一;(3)归纳与猜想是研究数列的重要方法.3.数列的分类单调性递增数列∀n∈N*,a n+1>a n递减数列∀n∈N*,a n+1<a n常数列∀n∈N*,a n+1=a n摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列周期性∀n∈N*,存在正整数k,a n+k=a n【微点拨】(1)数列的单调性可以类比数列的通项公式对应的函数解析式在区间(0,+∞)上的单调性;(2)可以把数列函数化,利用函数方法研究数列的单调性.4.数列的前n项和数列{a n}的前n项和S n=a1+a2+a3+…+-1+a n,则a n=1,=1,--1,≥2.【基础小题·自测】类型辨析改编题号12,3,4 1.(多维辨析)(多选题)下列结论不正确的是()A.数列5,2,0与2,0,5是同一个数列B.根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个C.任何一个数列不是递增数列,就是递减数列D.如果数列{a n}的前n项和为S n,则对∀n∈N*,都有a n=S n-S n-1【解析】选ACD.A中两个数列项的顺序不同,不是同一个数列;B正确;C中数列可能是常数数列或摆动数列;D中当n=1时,a1=S1-S0无意义.2.(选择性必修第二册P5例2·变形式)数列0,23,45,67,…的一个通项公式为()A.a n=-1r1B.a n=-12r1C.a n=2(-1)2-1D.a n=22r1【解析】选C.将0写成01,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N*;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N*.3.(选择性必修第二册P6例5·变形式)数列1,3,6,10,15,…的递推公式可以是()A.a n+1=a n+n,n∈N*B.a n=a n-1+n,n≥2,n∈N*C.a n+1=a n+(n+1),n≥2,n∈N*D.a n=a n-1+(n-1),n∈N*,n≥2【解析】选B.设数列1,3,6,10,15,…为,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,n=2时,A,D不合题意;而C中不包含a2-a1=2,由此可得数列满足a n-a n-1=n,n≥2,n∈N*.4.(选择性必修第二册P4例1·变形式)已知数列{a n}满足a n=(r1)2,则S3=________.【解析】数列{a n}满足a n=(r1)2,可得a1=1,a2=3,a3=6,所以S3=1+3+6=10.答案:10【巧记结论·速算】在数列{a n}中,若a n最大,则≥-1,≥r1(n≥2).若a n最小,则≤-1,≤r1(n≥2).【即时练】已知数列中,a n=n2-5n+4,则数列的最小项是()A.第1项B.第3项、第4项C.第4项D.第2项、第3项【解析】选D.根据题意,数列中,a n=n2-5n+4,则a n+1-a n=(n+1)2-5(n+1)+4-n2+5n-4=2n-4,当n<2时,有a n+1-a n<0,则有a1>a2,当n=2时,有a n+1-a n=0,则有a2=a3,当n>2时,有a n+1-a n>0,则有a3<a4<……故数列的最小项是第2项、第3项.【核心考点·分类突破】考点一通项公式的探索及应用[例1](1)(多选题)已知数列{a n}的通项公式为a n=9+12n,则在下列各数中,是{a n}的项的是()A.21B.33C.152D.153【解析】选ABD.由数列的通项公式得,a1=21,a2=33,a12=153.(2)写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.①23,45,87,169;②-12,23,-34,45;③3,4,3,4;④6,66,666,6666.【解析】①4个项都是分数,它们的分子依次为2,22,23,24,分母是正奇数,依次为2×1+1,2×2+1,2×3+1,2×4+1,所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=22r1.②4个项按先负数,后正数,正负相间排列,其绝对值的分子依次为1,2,3,4,分母比对应分子多1,所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=(-1)nr1.③4个项是第1,3项均为3,第2,4项均为4,所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=3,=2-14,=2(k∈N*).④4个项,所有项都是由数字6组成的正整数,其中6的个数与对应项数一致,依次可写为6=23(10-1),66=23(102-1),666=23(103-1),6666=234-1),所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=23(10n-1).【解题技法】由数列的前几项求通项公式的方法(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.(2)对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.【对点训练】1.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的()A.不在此数列中B.第13项C.第14项D.第15项【解析】选D.因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为a n=37(n-1),由37(n-1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项.2.根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(2)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…;(3)23,415,635,863,1099,…;(4)9,99,999,9999,….【解析】(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为a n=(-1)n(6n-5).(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式为a n=(-1)n·1(r1).(3)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式为a n=2.(2-1)(2r1)(4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1000-1,10000-1,故所求数列的一个通项公式为a n=10n-1.考点二已知S n或S n与a n的关系求a n[例2]金榜原创·易错对对碰①若数列{a n}的前n项和S n=2n+1,则数列的通项公式为a n=________.②若数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则数列的通项公式为a n=________.【解析】①当n=1时,a1=S1=21+1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-2n-1=2n-1.综上有a n=3,=1,2-1,≥2.答案:3,=1,2-1,≥2.②当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.综上有a n=2n-1.答案:2n-1【解题技法】1.已知S n求a n的三个步骤(1)利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换S n中的n得到一个新的关系式,利用a n=S n-S n-1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的解析式.(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时a n的解析式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.2.已知S n与a n的关系求a n的两个方法(1)利用S n-S n-1=a n(n≥2)消去S n,转化为a n与a n-1的关系求a n;(2)利用a n=S n-S n-1(n≥2)消去a n,转化为S n与S n-1的关系,求出S n后再求a n.提醒:当n≥2时推出的关系不包含n=1的情况,因此需要验证n=1时是否成立,如果成立,则合并表示,如果不成立,则分段表示.【对点训练】1.已知正项数列{a n}中,1+2+…+=(r1)2,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=nB.a n=n2C.a n=2D.a n=2 2【解析】选B.因为1+2+…+=(r1)2,所以1+2+…+-1=(-1)2(n≥2),两式相减得=(r1)2-(-1)2=n(n≥2),所以a n=n2(n≥2),①又当n=1时,1=1×22=1,a1=1,适合①式,所以a n=n2,n∈N*.2.记S n为数列{a n}的前n项和,若S n=2a n+1,则S n=________.【解析】因为S n=2a n+1,所以S n+1=2a n+1+1,所以a n+1=2a n+1-2a n,所以a n+1=2a n,当n=1时,S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,所以数列{a n}是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以S n=-(1-2)1-2=1-2n.答案:1-2n【加练备选】1.已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=2n,则a n=________.【解析】当n=1时,a1=21=2,因为a1+2a2+3a3+…+na n=2n,①故a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1=2n-1(n≥2),②由①-②得na n=2n-2n-1=2n-1,所以a n=2-1.显然当n=1时不满足上式,所以a n=1,,≥2.答案=1,≥22.已知数列的前n项和S n=3n+b,求的通项公式.【解析】当n=1时,a1=S1=3+b.当n≥2时,a n=S n-S n-1=2·3n-1,因此,当b=-1时,a1=2适合a n=2·3n-1,所以a n=2·3n-1.当b≠-1时,a1=3+b不适合a n=2·3n-1,所以a n=3+,=1,2·3-1,≥2.综上可知,当b=-1时,a n=2·3n-1;当b≠-1时,a n=3+,=1,2·3-1,≥2.考点三数列的性质及其应用【考情提示】数列作为一种特殊的函数,除考查求通项公式、求和等之外,还考查数列的单调性,项的最值,周期性等,解题时要类比函数的研究方法,结合数列的特性.角度1数列的单调性及项的最值[例3]已知数列{a n}的通项公式为a n=3-23r1(n∈N*).则下列说法正确的是()A.这个数列的第10项为2731B.98101是该数列中的项C.数列中的各项都在区间[14,1)内D.数列{a n}是单调递减数列【解析】选C.令n=10,得a10=2831.故选项A不正确,令3-23r1=98101,得9n=300,此方程无正整数解,故98101不是该数列中的项.因为a n=3-23r1=3r1-33r1=1-33r1,又n∈N*,所以数列{a n}是单调递增数列,所以14≤a n<1,所以数列中的各项都在区间[14,1)内,故选项C正确,选项D不正确.【解题技法】关于数列的单调性及项的最值(1)求数列项的最值需要先研究数列的单调性,一是通过列举项找规律;二是利用数列递增(减)的等价条件,求出递增、递减项的分界点处的n值.(2)利用函数方法,令n∈(0,+∞),研究对应函数的单调性、图象确定最值,再回归到数列问题.【对点训练】已知数列{a n}的通项公式为a n=3r2,若数列{a n}为递减数列,则实数k的取值范围为()A.(3,+∞)B.(2,+∞)C.(1,+∞)D.(0,+∞)【解析】选D.因为a n+1-a n=3r3+2r1-3r2=3-3-2r1,由数列{a n}为递减数列知,对任意n ∈N*,a n+1-a n=3-3-2r1<0,所以k>3-3n对任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).角度2数列的周期性[例4]已知数列{a n}满足a n+1=a n-a n-1(n≥2),a1=m,a2=n,S n为数列{a n}的前n项和,则S2029的值为()A.2029n-mB.n-2029mC.mD.n【解析】选C.根据题意计算可得a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,因此数列{a n}是以6为周期的周期数列,且a1+a2+…+a6=0,所以S2029=S338×6+1=a1=m.【解题技法】关于数列的周期性在求数列的某一项的值,且该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,一般地,求出数列的前几项,确定周期,然后利用数列的周期性即可求出所求项.【对点训练】已知数列{a n}中,a1=12,a n+1=1+1-,则a2025=()A.-2B.12C.-13D.3【解析】选B.因为a1=12,所以a2=1+11-1=3,a3=1+21-2=-2,a4=1+31-3=-13,a5=1+41-4=12,…,所以数列{a n}是周期数列且周期T=4,所以a2025=a1=12.。
周期问题知识点总结六年级
周期问题知识点总结六年级周期问题知识点总结周期问题是数学中的一个重要概念，主要涉及到数列和函数的周期性特征。
在六年级的数学学习中，我们需要掌握一些周期问题的基本知识点，本文将对这些知识进行总结。
以下是几个重要的周期问题知识点：一、数列的周期性数列是由一串按照一定规律排列的数字组成的序列。
当数列中的数字按照一定的规律重复出现时，我们就称这个数列具有周期性。
1. 周期的定义一个数列如果存在一个正整数T，使得数列中的每个元素在位置上与它前面的第T个元素相等，则称T为该数列的一个周期。
2. 寻找周期要确定一个数列的周期，可以观察数列中的数字是否出现重复的现象。
如果发现某个数字在数列中多次出现，并且这些数字按照一定规律排列，那么这个规律所包含的数字个数就是数列的周期。
3. 常见周期在数列中，常见的周期有1、2、3等整数周期，也可能存在更大的周期。
例如，常见的斐波那契数列的周期是3。
二、函数的周期性函数是一种将一个变量的值映射到另一个变量上的规则。
当函数满足一定条件时，我们可以称之为周期函数。
1. 周期函数的定义如果存在一个正实数T，使得对于函数的定义域上的任意实数x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T为该函数的周期。
2. 寻找周期要确定函数的周期，可以观察函数图像是否表现出了一定的重复性。
在函数图像中，如果存在一个最小的正周期，使得函数图像以该周期为单位重复出现，那么该周期就是函数的周期。
3. 常见周期常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。
例如，正弦函数的周期是2π。
三、周期问题的应用周期问题不仅仅是数学中的一个概念，它在现实生活中也有着广泛的应用。
1. 时间与周期我们生活在一个充满周期性的世界中。
一天有24小时，一周有7天，一年有365天等。
我们利用时间的周期性来组织和安排日常生活，如工作、学习和休息等。
2. 电子技术中的周期在电子技术领域，周期问题也有着广泛的应用。
例如，交流电的周期是指电流正弦波形从一个方向到另一个方向再返回来所需要的时间。
对“周期数列”的探究
对“周期数列”的探究浙江省绍兴县柯桥中学(312030) 陈冬良一般在数列中等差数列与等比数列考查较多，笔者在教学过程中感到一类特殊的数列也时常在各类高考或竞赛卷中出现,我们把它命名为“周期数列”，数列作为一类特殊的函数，函数性质在数列中的考查显得尤为自然，“周期数列”较好的渗透函数周期性的考查，笔者对 “周期数列”的考查作了以下一些探讨，仅供参考.周期数列定义：对一数列{a n },若存在一确定的正整数T 及n 0,对任一n ≥ n 0 恒有a n+T =a n 成立 ,则数列{a n }为周期数列，T 为数列{a n }的周期.周期数列性质：1)周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2)若T 是{a n }的周期，则对任何k *∈N ,kT 也是{a n }的周期；3)周期数列必有最小正周期；一．直接定义考查例1.① (2001上海春季)若数列{a n }前8项的值各异，且a n+8=a n 对任意n *∈N 都成立，则下列数列中可取遍{a n }的前8项值的数列为( )A.{a 2k+1}B.{a 3k+1}C.{a 4k+1}D.{a 6k+1} 解：由数列{a n }前8项的值各异，且a n+8=a n 对任意n *∈N 都成立得数列{a n }的周期T=8,则问题转化为2k+1,3k+1,4k+1,6k+1中k=1,2,3,…代入被8除，若余数能取到0,1,2,3,4,5,6,7即为答案，经检验，3k+1可以，故{a 3k+1}可取遍{a n }的前8项值,答案为B.评注：若在给定数列{a n }中有a n+T =a n 出现，往往需考虑数列周期.②(04北京高考)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2,公和为5，那么a 18的值为_____. 解：由题可得5=a 1+a 2=a 2+a 3=a 3+a 4=…=a 2n-1+a 2n = a 2n +a 2n+1=…,得a 2n+1=a 2n+3,a 2n =a 2(n+1),得{a n }为周期数列,T=2,故a 18=a 2 ,又a 1=2,得a 2=3,所以a 18=3评注：上例考查是近年来较新的一种考查形式，通过自定义得一新数列，由新信息解题，上例作者定义为等和数列，其实质也是一周期数列.二.等价转化考查例2. (03高一“希望杯)整数数列{a n },对于每个n ≥3都有a n =a n-1-a n-2,若前2003项的和为a (a ≠0),则S 5= ( ) A.a B.5a C.a5 D.5a 探究1：由题得 213212341232211------=-=-=-===n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a,n 个等式相加得S n =a n-1+a 2 ,则S 2003=a 2002+a 2=a,求S 5=a 4+a 2 ?由S n =a n-1+a 2 ,由于{S n }中都出现a 2,猜想a 2为常数,由S 2003=a 2002+a 2=a 猜想a 2=a,特例法，取a 1=0, a 2=a,则 a 3=a,a 4=0,a 5=-a,a 6=-a,a 7=0,a 8=a,…;由列举容易得{a n }满足 S 2003=a 2002+a 2=a,又{a n }周期T=6,则S 2003=a 2002+a 2=243336a a ++⨯=a 4+a 2=S 5=a,故答案选A.探究2：由探究1的特例探究可知{a n }是周期数列,下列我们进行一般探究.由题得 213212341232211------=-=-=-===n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a,n 个等式相加得S n =a n-1+a 2 ,则S 2003=a 2002+a 2=a,求S 5=a 4+a 2 ?又a n =a n-1-a n-2可得a n-1=a n-2-a n-3 ,两式相加得a n = -a n-3 ,进一步可得a n = -a n-3= -(-a n-6)=a n-6,等同于n n a a =+6,由周期数列定义得{a n }的周期T=6,下面与探究1相同。
数列的周期与分群
数列的周期与分群一、例题分析1．已知数列{}n a 满足12a =，111n n n a a a +-=+，则2019a =______. 【解析】 【分析】 由12a =，111n n n a a a +-=+得到数列前几项，明确数列具有周期性，从而得到结果. 【详解】因为12a =，111n n n a a a +-=+ 所以2211213a -==+，311131213a -==-+，41123112a --==--+，531231a --==-+，211213n a -==+，…，所以数列{}n a 的周期为4，所以2019312a a ==-.故答案为：12-【点睛】本题考查递推关系，归纳猜想数列的周期性是解题的关键. 2．若数列{}n a 满足111n na a +=-，82a =，则1a =_____________． 【答案】12【解析】 【分析】本题通过递推式直接将8a 代入在依次类推则可得出1a 。
【详解】 因为111n n a a +=-，所以111n n a a +=-，并且n n a a =+3 所以21741===a a a【点睛】本题考察递推式的应用，若在选择填空题中遇到则可以通过一次类推或找规律求解。
3．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin 2n n n a a π++-=，记nS为数列{}n a 的前n 项和，则2019S =_________. 【解析】 【分析】根据数列{}n a 的递推公式求出该数列的前几项，找出数列的周期性，从而求出数列{}n a 的前2019项和2019S 的值. 【详解】Q 对任意的n *∈N ，()11sin2n n n a a π++-=，()11sin2n n n aa π++∴=+.则11a =，21sin 1a a π=+=，323sin1102a a π=+=-=，43sin 20a a π=+=，545sin0112a a π=+=+=，65sin 31a a π=+=，所以，()4n n a a n N *+=∈. 201945043=⨯+Q ，且4123411002S a a a a =+++=+++=，2019412350450421101010S S a a a ∴=+++=⨯+++=，故答案为：1010.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查数列周期性的应用，解题时要结合递推公式求出数列的前若干项，找出数列的规律，考查推理能力和计算能力，属于中等题. 4．数列{}n a 的通项公式为cos 12n n a n π=+，其前n 项和为S n ，则2019S =________. 【解析】 【分析】先通过列举得到从数列第一项到第四项的和为6，从数列第五项到第八项的和为6，依次类推.再根据26102018,,,,a a a a L 是以-1为首项，以-4为公差的等差数列，求出2018a ，再求解. 【详解】 由题得1cos1=12a π=+，22cos 1=211a π=+-+=-， 333cos1=12a π=+，44cos 21=5a π=+，555cos1=12a π=+，66cos31=-5a π=+， 777cos 1=12a π=+，88cos 41=9a π=+，999cos 1=12a π=+,1010cos51=-9a π=+故可以推测从数列第一项到第四项的和为6，从数列第五项到第八项的和为6，依次类推.2019=4504+3⨯,又26102018,,,,a a a a L 是以-1为首项，以-4为公差的等差数列， 所以20181(5051)(4)2017a =-+--=-， 所以2019S =5046+2-2017=1009⨯. 故答案为：1009 【点睛】本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．已知函数2()cos2x f x x π=，数列{}n a 中，()()*1()n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前40项之和40S =__________． 【答案】1680 【解析】 【分析】分别求得数列的前几项，可得数列{}n a 为4-，4-，16，16，36-，36-，64，64，100-，100-，……，可得数列的规律，即每4项求和为等差数列的形式，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】函数()2cos2xf x x π=且数列{}n a 中，()()1n a f n f n =++可得：()()112044a f f =+=-=-；()()223404a f f =+=-+=-；()()33401616a f f =+=+=；()()44516a f f =+=； ()()55603636a f f =+=-=-；()()66736a f f =+=-；……可得数列{}n a 为4-，4-，16，16，36-，36-，64，64，100-，100-，……即有数列{}n a 的前40项之和：()()()4044161636366464100100144144S =--+++--+++--+++ ()1444144416001600245688312⋅⋅⋅+--++=+++⋅⋅⋅+()1102431216802=⨯⨯+= 本题正确结果：1680 【点睛】本题考查数列的求和，注意运用三角函数的周期和等差数列的求和公式，找到数列的规律，考查化简运算能力，属于中档题． 二、强化练习1．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2019a =_____. 【答案】1- 【解析】 【分析】根据递推公式依次计算各项，可知数列{}n a 是以3为周期的周期数列；根据周期数列特点可求得结果. 【详解】由递推公式知：211112a a =-=；32111a a =-=-；43112a a =-=；541112a a =-=；… 以此类推，可知数列{}n a 是以3为周期的周期数列 2019367331a a a ⨯∴===- 本题正确结果：1- 【点睛】本题考查根据数列递推公式研究数列的性质、求解数列中某一项的问题，关键是能够通过递推公式得到数列为周期数列的结论.2．已知数列{}n a 满足11n n n a a a +⋅=-，12a =，则2019a =________. 【答案】1- 【解析】 【分析】利用递推关系可得数列的周期性，进而得出。
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【NO.8】数列的周期性
这个题目还是有点意思，考察的是数列的周期性，这个和我们往常遇到的题目还是有点不一样。
这个题目最怕的就是学生选错思路，导致一门心思去求通项公式，从而算到死也不能算出来。
接下来我们给出分析。
对于首项和第二项的奇数和偶数讨论，大家要注意，分类讨论必不可少！不要老是想着求通项公式就好。
对于解答这个题目最关键的地方或者说是突破口就是首项和第二项的奇数和偶数的讨论。
从而通过求出首项的值来递推后面每一项的数值，我们观察找出规律。
我之前讲过齐次化联立得专题，发现阅读量低的有点可怜，事实上这一块是非常重要的。
对于圆锥曲线我后期也会出一个专题，那就是定比点差法，这种方法也是非常重要的，很少有人对此进行过专门的总结过。
今天的分享就到这里。