动力学有限元
有限元分析-动力学分析PPT课件
目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容，帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高，有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化，以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合，如有限差分、 有限体积等，以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用，以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性：对于某些问题，可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性，结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题，计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
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ห้องสมุดไป่ตู้
求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元（或称为元素）的组合，来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
有限元 第9讲 动力学问题有限单元法
有限元第9讲动力学问题有限单元法动力学问题是指研究物体在运动中的受力和受力作用下的运动状态，常见的应用是结构工程学中的振动分析。
有限单元法是解决结构工程学中动力学问题的常用方法之一。
本文将介绍动力学问题和有限单元法的基本概念，并介绍其应用。
动力学问题的定义动力学是研究质点或刚体运动情况的分支学科，在结构工程学中是指结构在做振动时所受的力和运动状态。
动力学问题可以分为两种类型：稳态动力学问题和非稳态动力学问题。
稳态动力学问题是指结构在振动状态下所受的恒定力，而非稳态动力学问题则是指结构所受的变化的力，例如冲击力或地震力。
动力学问题的求解包括两个方面：一是确定受力情况；二是求解结构的运动状态。
确定受力情况通常需要通过实验或计算确定，求解结构运动状态则可以通过有限单元法来解决。
在结构工程学中，动力学问题的应用非常广泛。
例如，建筑物抗震设计需要对建筑物在地震作用下的反应进行分析，桥梁工程需要对桥梁在行车作用或风力作用下的振动响应进行分析。
有限单元法的基本概念有限单元法是一种将结构离散成若干小单元的数值分析方法，将结构分割成细小的单元，每个单元内部假设为均匀且连续的，通过对单元本身的运动状态进行求解，进而推知整个结构的运动状态。
有限元法用于解决的问题包括静力学问题、动力学问题、热力学问题和流体问题等。
有限单元法求解动力学问题的步骤主要包括如下几个步骤：1.离散化：将连续结构离散化成有限的小单元，每个单元内部运动状态通过定义一定数量的节点来确定。
2.建立单元的动力学方程：根据单元的形状和材料性质，建立单元的动力学方程，并计算单元的振动特性，例如频率和模态。
3.组装单元的方程：将单个单元的方程组装成整个结构的方程。
4.边界条件的处理：利用结构的边界条件（例如支撑、铰支等），将结构自由度减少到实际问题所需要的自由度。
5.求解结构的运动状态：通过求解整个结构的方程，得到结构的运动状态。
6.后处理：根据求解结果，进行结果的可视化和分析。
多体动力学和有限元关系
多体动力学和有限元关系多体动力学和有限元关系多体动力学和有限元关系是两个在工程领域中被广泛应用的概念。
多体动力学主要描述了多个物体之间相互作用的力学行为，而有限元是一种数值分析方法，用于近似求解连续物体中的力学问题。
在本文中，将探讨多体动力学与有限元的关系以及它们在工程设计中的应用。
1. 多体动力学基本原理多体动力学是研究多个物体之间相互作用的力学学科。
在多体动力学中，物体被视为刚体或弹性体，它们之间通过力或力矩进行相互作用。
多体动力学的研究对象包括机械系统、流体系统和电路系统等。
通过分析物体之间的相互作用，可以得到系统的运动学和动力学方程，从而预测系统的运动和响应。
2. 有限元方法概述有限元方法是一种近似求解连续物体中力学问题的数值分析方法。
它将连续物体离散为有限数量的子区域，称为有限元。
每个有限元代表一个局部区域，在该区域内的物理行为被近似为一组简单的函数。
通过在每个有限元内应用力学原理，可以建立有限元方程组，并通过求解该方程组得到连续物体的近似解。
有限元方法的优势在于可以处理复杂几何形状和边界条件，并且可以灵活地模拟材料的非线性行为。
3. 多体动力学与有限元的关系多体动力学与有限元方法在某种程度上可以看作是相互补充的。
多体动力学主要关注物体之间的相互作用和运动规律，而有限元方法则更注重求解连续物体内部的力学问题。
在一些对物体之间的相互作用和约束较为复杂的情况下，可以将多体动力学与有限元方法相结合，以获得更准确的结果。
4. 多体动力学与有限元的应用多体动力学和有限元方法在工程设计中具有广泛的应用。
在机械系统设计中，可以使用多体动力学分析来评估机械系统的动态性能和稳定性，而有限元分析则可以用于优化机械结构的刚性和耐久性。
在车辆工程中，多体动力学可以用于模拟车辆的悬挂系统和转向系统的运动特性，而有限元分析可以用于优化车身结构的强度和刚度。
在建筑工程中，有限元方法可以用于评估结构的抗震性能，而多体动力学可以用于研究大楼在地震中的动态行为。
分子动力学的有限元长时间计算研究
分子动力学的有限元长时间计算研究分子动力学的有限元长时间计算研究一、引言分子动力学（MD）是一种模拟和研究原子和分子在特定条件下运动规律的方法，广泛应用于材料科学、生物化学、药物设计等领域。
有限元长时间计算是指利用有限元方法对分子系统进行长时间的模拟和计算，以研究复杂的分子动力学行为和性能。
本文将对分子动力学的有限元长时间计算研究进行全面评估，并通过逐步深入的探讨，帮助读者更全面、深入地理解这一主题。
二、分子动力学的基本原理1. 分子动力学的基本公式与算法分子动力学模拟的基本公式是牛顿运动方程，根据原子间的相互作用力和势能函数，利用数值算法进行时间演化。
有限元方法是一种用数学方法将连续体划分成离散单元的方法，结合分子动力学，可以更精确地模拟原子和分子的行为。
2. 分子动力学的模拟条件和约束在进行分子动力学的模拟时，需要考虑温度、压力、边界条件等影响因素，并通过施加约束条件来模拟不同环境下的分子系统。
三、有限元长时间计算的原理和方法1. 有限元方法在分子系统中的应用有限元方法是一种数值计算方法，通过离散化和逼近的方式，可以有效地模拟复杂的分子系统，并计算其长时间行为。
2. 长时间计算的数值稳定性和精度在进行有限元长时间计算时，需要考虑数值稳定性和精度的问题，以确保模拟结果的准确性和可靠性。
四、分子系统长时间行为的研究1. 原子和分子的动力学行为利用有限元长时间计算方法，可以研究原子和分子在不同条件下的动力学行为，如振动、扭转、碰撞等。
2. 分子系统的热力学性质通过长时间计算，可以研究分子系统的热力学性质，如热容、热传导等，为材料科学和化学工程领域提供重要参考。
五、总结与展望本文通过对分子动力学的有限元长时间计算研究进行深入探讨，全面评估了其在原子和分子行为研究中的重要性和应用前景。
有限元方法的应用为分子系统的模拟和计算提供了更精确和可靠的手段，长时间计算的研究将为材料科学、生物化学和药物设计等领域的发展提供重要支持。
六、-动力学问题的有限元法
2) 结构动力学问题
❖ 该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动 特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应 分析；响应谱分析等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
V T dV V uT ( f u u)dV S uT T dS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离 散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
M a(t) C a(t) K a(t) Q(t)
❖ 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载 荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是， 载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大 于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作 用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
❖ 大多数显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构 最小周期的一定比例时，计算得到的位移和速度将发 散或得到不正确的结果；
❖ 隐式方法往往是无条件稳定的，步长取决于精度，而 不是稳定性方面的考虑。
❖ 典型的显式方法是所谓的“中心差分法”，其基本思 想如下。
• 中心差分法 ❖ 将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：
• 对于3节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量 矩阵为：
• 该单元的集中质量矩阵为：
• 实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果 相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提 高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。
分子动力学方法与有限元
分子动力学方法与有限元
分子动力学方法和有限元方法是两种在物理和工程领域广泛使用
的数值模拟方法。
分子动力学方法是一种计算分子尺度下物质动力学行为的方法，
它基于牛顿力学和统计力学理论，通过求解运动方程模拟分子在时空
上的演化。
通过分子间相互作用力的计算，可以获得物质的力学、热学、电学、光学等性质。
分子动力学方法可以用于研究多种物质行为，如材料变形、热传导、气体扩散，以及生物分子的构象和动力学。
有限元方法是一种计算连续介质力学和热学问题的方法，其基本
思想是将连续介质离散化为有限个小的单元，对每个单元进行有限次
的近似，然后通过数值求解算法得到整体系统的数学模型。
有限元方
法广泛应用于工程领域，如结构力学、流体力学、热传导等问题的数
值模拟。
其优点是能够较为准确地计算复杂几何形状的结构的应力、
变形、热传导等问题，而且计算结果有较高的可信性。
尽管分子动力学方法和有限元方法的基本理念不同，但两种方法
都是通过建立数学模型和求解模型方程来描述物理过程的，因此它们
在模拟物质性质和行为方面都具有很大的优势。
在实际应用中，一些
复杂的问题需要同时运用两种方法进行研究，例如材料的多尺度模拟、纳米材料的性能研究等。
刚体动力学 有限元
刚体动力学是研究刚体运动的力学学科。
刚体是指形状和大小在运动过程中保持不变的物体，刚体动力学研究刚体在受力作用下的运动规律和动力学特性。
刚体动力学主要包括以下几个方面：
运动学：研究刚体的位移、速度和加速度等与时间的关系，描述刚体的运动状态。
动力学方程：根据牛顿第二定律，建立刚体的动力学方程，描述刚体受到的力和加速度之间的关系。
转动运动：研究刚体绕固定轴进行转动的规律，包括转动惯量、角速度、角加速度等的计算和分析。
能量与动量守恒：研究刚体运动过程中的能量守恒和动量守恒定律，用于分析刚体的碰撞、旋转和平移等情况。
有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程和科学领域，包括力学、结构分析、流体力学等。
有限元方法将连续的物体或结构分割成有限数量的小单元，通过求解这些小单元的力学方程，得到整个物体或结构的力学行为。
在刚体动力学中，有限元方法可以用于建立刚体的数学模型，通过将刚体分割成有限数量的单元，利用数值计算方法求解刚体的运动和力学响应。
这种方法可以有效地模拟复杂的刚体运动和受力情况，帮助分析和优化刚体系统的设计和性能。
有限元方法在刚体动力学中的应用包括刚体结构的动力学分析、碰撞和撞击的模拟、机械系统的优化等。
它提供了一种灵活、高效的数值计算工具，用于解决刚体动力学问题和工程实践中的设计和分析任务。
有限元分析-动力学分析
1.为何傅里叶变换要换成正弦函数余弦函数这样的三角级数？ 2. 谐振运动的特征是什么？谐振运动有阻尼存在吗？
梁结构瞬态动力学分析实例
A steel beam of length and geometric properties shown in Problem Specifications is supporting a concentrated mass, m. The beam is subjected to a dynamic load F(t) with a rise time tr and a maximum value F1. If the weight of the beam is considered to be negligible, determine the time of maximum displacement response tmax and the response ymax. Also determine the maximum bending stress σbend in the beam.
谱分析
谱分析是一种将模态分析结果与已知的谱分析联系起来的 计算位移和应力的分析技术。它主要用于时间历程分析，以 便确定结构在任意时间变化载荷下的动力学响应，简单而言 就是载荷的谱不再是简谐运动。
简支梁的两端作垂直运动，也就是地震时的作用，确定其 响应频率。
梁对地基地震时的谱分析
A simply supported beam of length , mass per unit length m, and section properties shown in Problem Specifications, is subjected to a vertical motion of both supports. The motion is defined in terms of a seismic displacement response spectrum. Determine the nodal displacements, reactions forces, and the element solutions.
有限元第六讲 动力学分析
5.1.2谐响应分析
谐响应分析是用于确定线性结构在承受随时间按正弦(简谐) 规律变化的载荷时的稳态响应的一种技术。分析的目的是计 算结构在几种频率下的响应并得到一些响应值(通常是位移) 对频率的曲线，从这些曲线上可找到“峰值”响应并进一步 查看峰值频率对应的应力。
这种分析技术只计算结构的稳态受追振动，发生在激励开 始时的瞬态振动不在谐响应分析中考虑。作为一种线性分析， 该分析忽略任何即使己定义的非线性特性，如塑性和接触 (间隙)单元。但可以包含非对称矩阵，如分析在流体一结构 相互作用问题。谐响应分析也可用于分析有预应力的结构， 如小提琴的弦(假定简谐应力比预加的拉伸应力小得多)
MassMatrix Formulation[LLIMPMIL]：使用该选项可以选 定采用默认的质量矩阵形成方式(和单元类型有关)或集中质 量阵近似方式，建议在大多数情况下应采用默认形成方式。
PrestressEffectsca／culation[PSTRES]：选用该选项可以计 算有预应力结构的模态。默认的分析过程不包括预应力，即 结构是处于无应力状态的。
求解结构的前几阶模态，以了解结构如何响应的情形。该方法采用集中 质量阵(LUMPM，ON)； Reduced(Householder)method：使用减缩的系统矩阵求解，速度快。但 由于减缩质量矩阵识近似矩阵，所以相应精度较低； Unsymmetric method：用于系统矩阵为非对称矩阵的问题，例如流体一 结构相同作用； Damped method：用于阻尼不可忽略的问题； QR Damped method：采用减缩的阻尼阵计算复杂阻尼问题，所以比 Damped method方法有更快的计算速度和更好的计算效率。
结构动力学中基于有限元方法的动力响应分析
结构动力学中基于有限元方法的动力响应分析结构动力学是研究结构在外部载荷作用下的振动特性和动态响应的学科。
大型工程结构系统的复杂性和非线性特性给结构动力学分析提出了挑战，而有限元方法则成为求解这种非线性响应的一种重要手段。
在本文中，我们将探讨结构动力学中基于有限元方法的动力响应分析。
1. 有限元方法有限元法是一种现代数值计算方法。
它是把连续物体分割成多个单元，通过单元间的相互作用关系求解结构的内部应力、变形和各种响应的数值方法。
有限元法的基本思想是把复杂的整体结构分解成有限数量的小单元，并对每个小单元进行数学模型分析。
通过求解这些模型，可以推导出整个结构的力学特性和响应情况。
2. 结构动力学中的有限元方法在结构动力学中，有限元方法也是一种重要的分析方法。
一般来说，结构动力学的有限元模型应包括结构的物理性质、载荷和边界条件等。
在构建有限元模型之前，需要对结构几何形状进行测量和描述，然后将结构分割成有限数量的单元，每个单元都有一组节点和自由度，节点之间的相互作用关系是通过构建单元刚度矩阵来实现的。
在建立了完整的有限元模型后，可以采用不同的求解算法，如静力求解和动力求解进行解析求解。
3. 动力响应分析在有限元法中，一般需要对结构进行动力响应分析。
动力响应分析的主要目标是确定在特定载荷下结构的动态响应情况。
动态响应包括结构的位移、速度、加速度、应力和应变等。
这些响应都对结构的安全性、稳定性和寿命等方面产生影响，因此需要进行充分的动态响应分析。
在动力响应分析中，一般采用有限元模型接触外部载荷模拟结构振动情况。
通过分析结构的固有振动模态和相应的频率响应，可以计算出特定载荷下结构的动态响应。
在实际分析中，通常需要考虑多种载荷并结合计算机模拟技术实现更为准确的动态响应分析。
4. 结论本文简要介绍了结构动力学中基于有限元方法的动力响应分析。
有限元法是一种现代数值计算方法，它可以将结构分割成多个小单元，进行数值模拟，计算结构内部应力、变形和各种响应。
有限元-第9讲-动力学问题有限单元法
a1 ae a2
... an
ui(t) ai vi(t)
wi(t)
(i 1,2,...n,)
（3）形成系统的求解方程
••
•
M a(t)C a(t)K(ta )Q (t)
（1.8）
其中
••
•
a(t)和a(t)
分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，
M,C,K和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。9
•
at
1 2t
att att
中心差分法的递推公式
（3.1） （3.2）
1 t2 M 2 1 tC a t t Q t K 2 t2 M a t 1 t2 M 2 1 tC a t t（3.3）
上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又 称为逐步积分法。
动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的 数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两 种普遍应用的减缩自由度的方法是减缩法和动力子结构法。
11
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
一、协调质量矩阵和集中质量矩阵
单元质量矩阵
Me NTNdV称为协调质量矩阵。 Ve
集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上，这样得到的质量矩 阵是对角线矩阵。以下分实体单元和结构单元进行讨论。
16
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
按第二种方法计算，得到集中质量矩阵与第一种方法结果一样。
注：对于8结点矩形单元，两种方法得到的集中质量矩阵不同。
在实际分析中，更多的是推荐用第二种方法来计算集中质量矩阵。 2.结构单元
2结点经典梁单元、协调质量矩阵和集中质量矩阵如下所示： （1）协调质量矩阵
位移插值函数是 N N 1 N 2 N 3N 4（2.7）
有限元动力学问题有限单元法
动力学问题在物理领域中也有着广泛的应用，如力学、电磁学、光学等。例如，力学中的弹性力学问题、电磁学中的 电磁场问题、光学中的光束传播问题等。
其他领域
动力学问题在其他领域中也有着广泛的应用，如生物学、化学、地球科学等。例如，生物学中的生物力 学问题、化学中的化学反应动力学问题、地球科学中的地震动力学问题等。
03
有限元方法在多个领域都有广泛的应用，如机械、建筑、 航空航天、电子等。通过对不同领域动力学问题的有限元 分析，可以为相关领域的研究和应用提供重要的参考和指 导。
研究限制与不足
有限元方法虽然具有广泛的应用前景，但仍存在一些 限制和不足之处。例如，对于一些复杂结构和多尺度 问题，有限元方法的计算量和计算成本可能会较高， 需要进一步优化算法和计算流程。
有限元方法是一种有效的数值计算方法，可以精确地解决 结构动力学问题。通过对结构进行离散化，将连续的物理 问题转化为离散的数学问题，可以更方便地进行数值计算 和模拟。
02
有限元方法具有广泛的适用性，可以应用于各种材料和结 构的动力学问题。通过对不同材料和结构的有限元分析， 可以得到其动力学特性和响应规律，为工程设计和优化提 供依据。
02
有限元法基础
有限元法概述
有限元法是一种数值分析方法，用于 求解各种物理问题，如结构力学、流 体动力学、热传导等。它通过将连续 的求解域离散化为由有限个简单单元 组成的集合，从而将连续的偏微分方 程转化为离散的线性方程组，降低了 问题的复杂性和难度。
VS
有限元法在工程领域应用广泛，可以 用于分析复杂结构、设备和系统的动 力学行为，进行结构优化和设计等。
04
有限元法在动力学问 题中的应用
动力学问题的有限元法求解步骤
有限元课件ch9 结构动力学
K
(n)
K 1 0 0
n i
0 0 K n
令
y 1 Y
Y Y Y
2 i 1
可 以 得 到 ： i
Y M y
(i) T
(1 )
Y Y Y Y { }
(2) 2
y 称为几何坐标， 称为正则坐标 M Y K Y P (t )
Y M K P ( t ) ， P ( t ) 广义荷载列阵
(i) T ( j) 2
j
(i) T
( j)
又已知：
M M ， K K
T
T
Y M Y 0 Y K Y 0
(i) T ( j) (i) T ( j)
振型关于质量正交 振型也关于刚度正交
Y M Y M
(i) T (i)
M
i
， i (0)
Y M y ( 0 )
(i) T
M
i
i ( t ) i ( 0 ) cos i t
i (0)
sin
i
t
1 M i
i
t
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pi (τ ) sin
i
( t τ ) dτ
i
1、主要问题：确定自振频率和相应振型；
m2
Y1 2
2、自振频率和自由度个数相等，由特征方程求出； 3、每个频率都对应自己的主振型； 4、主振型是结构的固有性质。
m1
第2振型
有限元第五章 有限元动力学基本原理
第五章 有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结 构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力 及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆 称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另 外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体， 此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而 且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题， 成为动力学分析。 对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如 一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为
停止迭代 此时为低阶特性
2
1
（ i 1）
(i 1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 M 0 2 0 K 2 5 3 0 0 3 0 3 3 1 1 1 解： 1 1 1.5 1.5 K 1 1.5 11 / 6
& & & M C K P
第五章 有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
& & M C 为阻尼力
K 为弹性力
对于单元体而言，可以得到类似的上述方程
e T N N dV V
于是，令e T V来自m N N dV
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
e
m 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。
结构动力学问题的有限元法
二、单元分析
单元分析旳任务仍是建立单元特征矩阵，形成单元特征方程。 动态分析中，单元特征矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特征矩阵。
在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 qe ，则单元 内也产生相应旳虚位移 d 和虚应变 。单元内产生旳虚应变能为:
式中，ω为简谐振动圆频率；{Φ}为节点振幅列向量。
将解代入振动方程中，同步消去因子ejωt，可得
K 2 M 0
上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题能够求出n个特
征值
12
,
12
,,
2 n
和相相应旳n个特征向量
1,2 ,n 。其中特
征值ωi(i=1,2,…..,n)就是构造旳i阶固有频率，特征向量{Φi} i(i=1,2,…..,n)就是构造
三、总体矩阵集成 总体矩阵集成旳任务是将各单元特征矩阵装配成整个构造旳特征矩阵，
从而建立整体平衡方程，即
M q Cq K q Rt
式中，{q}为所以节点位移分量构成旳n阶列阵，n为构造总自由度数；
R
t
n
Ri
t
（i为节点数），称为节点载荷列阵；[K]、[M]、[C]
分别为构i造1 旳刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
旳i阶模态振型。
振型{Φi}是构造按频率ωi振动时各自由度方向振幅间旳相对百分比关系， 它反应了构造振动旳形式，并不是振幅旳绝对大小。
固有特征分析实际上就是求解广义特征值问题。求解旳数值措施主要有 1、变换法 基本思想是经过一系列矩阵变换，将矩阵[M][K]化为对角阵，
k11
K d
k 22
5 动态分析有限元法
多体动力学和有限元关系
多体动力学和有限元关系多体动力学和有限元分析的关系多体动力学和有限元分析是两个重要的工程领域，它们在实际问题的求解和设计过程中起着至关重要的作用。
本文将探讨多体动力学和有限元分析之间的关系，并介绍它们在实践中的应用。
多体动力学是研究多体系统运动的学科，多体系统是由多个物体组成的力学系统。
多体动力学研究物体之间的相互关系和运动规律，包括质点的运动、刚体的运动和变形等。
多体动力学可以应用于机械工程、航空航天工程、土木工程等领域，用于分析和设计各种机械装置、结构和系统。
有限元分析是一种数值计算方法，用于求解复杂结构的力学问题。
有限元分析将连续体划分为有限数量的单元，然后在每个单元内对物体的运动和应力进行数值计算。
通过求解单元之间的相互作用，可以得到整个结构的运动和应力分布。
有限元分析适用于求解各种结构的静力学和动力学问题，包括弹性变形、稳定性分析、疲劳寿命预测等。
多体动力学和有限元分析之间有着密切的联系和相互依赖。
首先，多体动力学可以为有限元分析提供准确的质点和刚体的运动学参数。
在有限元分析中，需要将结构划分为单元，并对每个单元的运动状态进行计算。
多体动力学可以提供这些单元的位移和速度等数据，为有限元分析提供边界条件和初始条件。
其次，有限元分析可以为多体动力学提供准确的材料性能和载荷边界条件。
在多体动力学中，物体之间的相互作用和外部载荷会影响系统的运动状态。
有限元分析可以通过数值计算得出这些相互作用力和载荷，为多体动力学提供准确的力学参数。
最后，多体动力学和有限元分析的结果可以相互验证和校准。
在设计和分析过程中，可以通过对比两种方法的结果来评估其准确性和可靠性。
这种相互验证和校准可以提高工程设计的质量和可靠性，减少开发和生产过程中的风险和成本。
综上所述，多体动力学和有限元分析是两个相互依赖且相互补充的工程领域。
它们在工程设计和分析中发挥着重要的作用，可以提供准确和可靠的结果。
多体动力学和有限元分析的结合应用可以为各种工程问题的求解和设计提供有效的工具和方法。
近场动力学与有限元方法的区别
近场动力学与有限元方法的区别近场动力学和有限元方法是两种常用的数值模拟技术，它们分别采用不同的算法和数学方法来对物理问题进行求解。
本文将从不同的角度介绍这两种方法的区别。
1. 原理近场动力学方法是一种基于分子动力学的数值模拟技术，通过对物质分子间的相互作用力的计算来模拟物体在微观层面上的运动。
其基本原理是根据分子级别上的物理成分，包括分子的质量、电荷、速度、能量等，建立分子的运动学方程和相互作用力的力学方程，并将其离散化求解。
该方法可以有效地模拟固体、液体、气体等基本物质的力学和热力学性质，并能够在微观层面上捕捉物质的瞬态状态和动态行为。
有限元方法是一种基于数学理论的数值模拟技术，主要用于求解物体在宏观尺度上的力学问题。
它基于连续介质力学的基本原理，将物体离散化成许多小部分，同时将其与周围环境的作用力相互作用，然后求解其静力学或动力学方程。
该方法适用于多种物理场问题，例如结构分析、流体力学、电磁场问题等。
2. 应用领域近场动力学方法主要应用于电子结构、材料科学、地球科学等领域，特别是在模拟材料缺陷、断裂、疲劳、热膨胀等行为方面具有非常好的效果。
它可以模拟区域尺度在几纳米到几微米之间的物质和介质，并可以考虑物质的非线性和非均匀性。
有限元方法在机械、土木、航空航天、汽车等工程领域的应用非常广泛，可以对如钢筋混凝土梁、飞机机翼、汽车车身等结构进行力学计算和模拟，并可以预测其强度、刚度、振动等性质。
3. 离散化方法在近场动力学方法中，物体被离散成小的粒子，这些粒子通过相互作用力发生相互作用，并在微观层面上发生运动。
而且，物体的运动受到长程协作以及短程反应力的影响。
因此，近场动力学方法注重离散效果和相互作用力的准确计算，以获得更精确的结果。
在有限元方法中，物体被分割成一系列小单元或网格，将力学问题转化为求解一个连续的偏微分方程，其中物体的行为由节点或区域内的变量来描述，通常是位移分量、应力分量或变形分量等。
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6.2结构动力有限元法理论与模型一、基本原理在实际问题的求解中，应用最广的是基于位移的有限元素法。
此法的基本思想是把本来为连续的工程结构分割成在结点上相联的单元组合体。
取这些结点的位移为基本未知量，并假定每个单元中的位移用单元位移函数来描述，这实质上是假定了单元的模态。
在此基础上，利用能量变分原理进行单元分析的全结构分析，得到全结构的振动平衡方程，从而把连续体的动力学问题化为多自由度系统的振动问题。
有限元动力分析的基本过程是首先将工程结构离散化，通过选择合理的单元确定出分析模型，在此基础上选择位移函数，进行单元分析，确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵，再经过坐标变换，通过能量变分原理，进行全结构分析，建立系统的振动平衡方程。
最后运用有限元数值方法进行方程的求解。
结构动力有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同，基本原理和求解过程也与静力分析相同，不同之处仅在分析模型的确定与运动方程的建立方面。
二、动态分析模型的确定由于结构动态分析中除考虑弹性力外，还要考虑惯性力和阻尼力，其运动方程是常微分方程组，所以动态分析的复杂程度高，计算工作量大，有限元分析模型要尽量精炼、简单。
1.模型确定的基本原则•分析模型应与分析的目的相适应。
动力分析的目的各不相同，有的是为了提供固有特性计算动态响应或供控制系统用；有的是为了舱内提供振动环境。
不同的目的，通常要求不同的模态数与计算精度。
显然，用于估算基本固有频率的模型应当比计算冲击响应的模型简单。
用于设计计算的模型应当比用于校核计算的模型简单。
•分析模型要与选用的计算工具与计算条件相适应。
计算机软件种类日益丰富，选择分析模型要与所用程序、所用计算机容量相适应。
如对于容量大的计算机，可选用较为复杂的有限元模型，而对于容量小的计算机则在能反映结构动态性能的前提下尽量简化模型，使求解规模尽量小。
对于大模型，可选用子结构模型，采用模态综合方法求解。
应注意, 不一定模型愈精细精度就愈高。
模型愈复杂，往往带来了更繁杂的运算。
虽然模型误差小了，但计算误差加大。
不恰当的精细模型反而得到不佳的结果。
•模型应正确反映结构的实际特性。
一个具体结构的动态特性，主要取决于质量、刚度的大小与分布，取决于结构边界条件与阻尼特性。
因此，模型应尽量保持整个飞行器、甚至各部件的质量、质心位置不变，保证构造的刚度特性和传力路线基本不变。
真实反映分析对象的边界条件与阻尼特性。
因此，选取的单元应保持其几何形状、受力特性、变形特性与实际结构的几何形状特点、受力传力特点、变形特性相一致。
例如，对于薄壁结构翼面或舱段，不应选用板、壳单元来模拟蒙皮。
2.影响分析模型的主要因素（1）刚度分布。
飞行器属于三维物体，但根据动态行为特征对于具有互相正交的两个对称面的飞行器，有时可按二维处理；对于轴对称性强的导弹或发射器，当长细比很大时，往往可按一维模型处理。
但是当具有明显的局部非对称性或当因内部装载而引起严重耦合现象时，则需考虑采用三维模型。
刚度的具体模型可分为：⑻ 刚体一一刚度视为无穷大，如舱体内部设备在进行全弹固有特性分析时可视为刚体；（b）集中刚度模型一一例如运载器级间连接接头或发动机连接支座处、设备支承处等简化为集中线弹簧或集中扭转弹簧（如图6-1所示）；图6-1 刚度集中分布模型示意图1 —板；2 —集中质量；3—线弹簧；4—梁。
(c)分段连续模型（有限元模型）——对于刚度变化复杂，又不连续变化的复杂结构，常采用分段连续体有限元模型（如图6-2所示）图6-2 刚度分段连续模型示意图1 —板；2—线弹簧。
(d)连续分布模型——例如有限元素法的单元可采用杆、梁、板、壳等连续体。
有限元模型实际上是上述各种典型刚度模型的复合。
如多级运载器可简化为分段连续、各段间用集中刚度连接的复合模型（如图6-3所示）。
图6-3 动态分析模型示意图 （a ）集中参数模型；（b ）有限元模型。
1 —板；2—梁；3 —集中质量。
此外，舱体内部压力、轴向载荷、定轴旋转等，将在飞行器数学模型中引起附加修正刚度。
质量分布。
将质量人为集中到选定的结点上。
质量矩阵是一个对角矩阵，其形式为当质量均匀分布时，可将质量平均分配给各相关结点上。
如果质量分布不均匀（如图6-4所示）， 较简便的方法是酌情规定各结点所分担的区域，然后再把各区域质量分配给各结点。
集中质量模型图6-4 集中质量分配模型因为此种质量矩阵是一个对角线矩阵，便于一维存贮和进行对称分解。
对于结构本身集中质量占相当优势的系统，或网格划分较细的系统可采用此模型。
(b) —致质量模型。
此类单元质量矩阵为a式中「------- 质量密度；匸——单元位移函数矩阵。
它之所以被称为一致质量矩阵是因为建立刚度矩阵和质量矩阵所用的位移插值函数是一致的。
把所有单元质量矩阵叠加起来得到整个结构的总体质量矩阵。
一致质量矩阵总是正定满秩的。
飞行器往往存在非结构质量。
例如贮箱中液体晃动质量，对它无论是选用当量摆模型，还是采用弹簧质量系统，都要确定有效质量，一般以集中质量方式处理。
许多复杂结构常采用一致质量与集中质量的复合模型。
例如，图6-5所示为“土星V'所采用的复合模型。
质量模型的选择通常要结合模型网格的疏密、单元的种类及结构特点，酌情决定。
一般说来，单元划分较细、结构包含的集中质量(例如内部设备或配重块)多，则采用集中质量为宜。
如果能用位移函数矩阵丁组成动态时单元的真实变形，则采用一致质量矩阵得到的固有频率与振型比较可靠，而且接近真实值的上界。
与一致质量矩阵相比，集中质量矩阵的形成以及以后的运算都比较方便，存储量少，但给出的固有频率往往偏低，振型计算的误差较一致质量矩阵的大。
总之，两种质量矩阵在计算精度上的优劣很难得出明确的结论。
(3) 边界条件。
它包括全系统的边界条件和多级发射器级间的边界条件。
由于振型、频率对于边界条件很敏感，因而必须正确模拟边界条件，才能准确求得实际飞行器的动力分析结果。
自由、固支边界条件较易解决，难处理的是弹性支撑条件。
发射器或导弹与发射架之间、其各级之间连接边界均 属于弹性连接边界。
这些边界的支撑刚度对固有特性及动态响应的影响较大，一般均需通过地面静力 实验来解决。
总之，一个好的分析模型的确定，依赖于综合考虑分析对象、采用的解法以及精度要求，综合平 衡有效性与经济性，经过实验验证逐步修正，才能完善、合理地解决。
另外，对同一个飞行器，其飞 行阶段不同，任务要求不同，一般要采用不同的分析模型。
如图6-5所示，其中30个自由度的集中质 量一维模型，是在初步设计阶段和确定实验要求时采用的模型；而300个自由度的三维一维复合、集中 质量一致质量复合模型，则是为确立控制系统敏感元件的位置和计算固有特性而确定的分析模型。
今 后，我们将连续模型以外的其他模型称为离散模型，因为它们都是用离散参数来描述动态性能的。
图6-5 土星-V 在不同设计阶段的动力学模型（a ） 土星-V 火箭；（b ） 梁-杆模型；（c ） 梁-杆-1/4 壳模型；（d ） 1/4 壳模型；（e ）三维模型。
（3） 合理地进行结点布置与单元划分在具体实施模型化工作时，必须正确布置结点或分割线、分割剖面的位置，确定有限元网格，实 现工程结构的离散化。
通常情况下，结点、分割线或分割剖面应置于结构几何形状、载荷以及材料特 性突变处。
因此，结点位置宜取在以下位置：•结构几何形状的拐点、结构开口处、厚度突变处； •载荷作用点； •应力集中点；•结构的约束点或支承处；•结构单元（部件或零构件）之间连接点； •结构中主要受力元件之间的相交点（连接点）；riihiuAAA|心I 曲"由曲felhll Illi•要求输出位移或应力的点。
在进行网格划分时，首先应选择合理的单元。
可供选择的单元很多。
按形状分可分为一维、二维和三维单元，也可分为直线边单元和曲线边单元。
直线边单元计算简单，曲线边单元容易较好地拟合复杂几何形状，但计算工作量大。
另外，单元也有高低精度之分。
高精度单元虽然计算精度高，但自由度多，相应的计算规模大。
确定模型时，应该在满足精度要求的情况下，尽量选用简单的单元。
而在具体划分网格时应考虑以下内容：•结构特性（几何形状、材料性能、边界条件等）和外力变化剧烈部位网格应相对较密。
•二维和三维单元在各方向的长度比应尽量接近于1，避免畸形单元。
例如三角形单元的边长比不应超过1 : 3，多边形单元的相邻两边夹角不要接近180。
等。
•相邻单元的尺寸不宜相差太大。
•选取不同元素相组合时，应考虑同一结点上不同元素间自由度的协调。
•单元的疏密要视需要而定，除应力梯度大的区域外，不应片面追求密网格，以减小计算规模。
对于大型复杂结构，可考虑先进行整体粗网格计算，再根据粗算结果，对应力梯度大的区域进一步加密网格进行“细算”。
•在条件合适时，应充分利用结构的对称性确定网格与模型，以减小计算规模。
•网格划分的结果应保证各单元的尺寸与单元的力学特性相符合。
例如，对于普通的板单元，其边长应远大于板厚；对于梁单元，通常梁的长度应远大于其截面尺寸。
如果出现了粗短梁，则应在单元分析中考虑剪切效应。
三、运动方程的建立采用瞬时最小势能原理建立运动方程。
1.单元分析取单元内任意一点的位移向量丿、为基本未知量，它是位置」和时间：的函数。
由有限元素法知曲,f"（如f）而且cr= D E 式中J ——单元位移插值函数矩阵，即位移函数矩阵；%"）—单元结点位移向量；「［丁——分别为应变、应力变量；(6-1 ) (6-2 ) (6-3 )根据瞬时最小势能原理，系统在外力作用下，在满足位移边界条件和协调条件的所有位移场中， 真实位移场必满足平衡条件并使总势能取极值，即有变分式(511=0而单元总势能-二为(6-5)式中 ---------- 弹性体应变能；——外载荷势能。
由弹性力学的基本理论，有S 1 fff 小刖Q = 4/ （川 s j DBS ）免（6-6）3如皿（6-7）式中的第一项为体力项，第二项为外激励力项。
式中」一 ------ 体力向量；人 ----- 外激力向量。
而且丄丄心「丁（ 6-8）式中L ---- 单元内力向量；〔：——阻尼系数；L ，------ 体积密度；-1' -1' —— 依次为速度向量与加速度向量。
将（6-1）式代入，考虑到%仅仅是时间一的函数，可得3t D分别为几何矩阵和弹性矩阵。
(6-4)匕=-衬(出矿加亠jff N T CN ^-n n川矿吨3)-训M 晟(6-6 )式代入式(6-5)得单元总势能的表达式：C e = [jj CiV T NdQ17M , = \\I PN TN ^Q并依次称食」「•上丁约为单元的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵、结点力向量。