泛函分析考试题集与答案
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泛函分析复习题2021
1.在实数轴R 上,令p y x y x d ||),(-=,当p 为何值时,R 是度量
空间,p 为何值时,R 是赋范空间。
解:假设R 是度量空间,所以R z y x ∈∀,,,必须有:
),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立
即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-,取1,0,1-===z y x , 有2112=+≤p
p
p
,所以,1≤p
假设R 是赋范空间,p x x x d ||||||)0,(==,所以R k x ∈∀,, 必须有:||||||||||x k kx ⋅=成立,即p p x k kx ||||||=,1=p , 当1≤p 时,假设R 是度量空间,1=p 时,假设R 是赋范空间。 2.假设),(d X 是度量空间,则)1,min(1d d =,d
d
d +=12也是使X 成为度量空间。
解:由于),(d X 是度量空间,所以X z y x ∈∀,,有: 1〕0),(≥y x d ,因此0)1),,(min(),(1≥=y x d y x d
和0)
,(1)
,(),(2≥+=
y x d y x d y x d
且当y x =时0),(=y x d ,
于是0)1),,(min(),(1==y x d y x d 和0)
,(1)
,(),(2=+=y x d y x d y x d
以及假设
0)1),,(min(),(1==y x d y x d 或0)
,(1)
,(),(2=+=
y x d y x d y x d
均有0),(=y x d 成立,于是y x =成立 2〕),(),(y x d x y d =,
因此),()1),,(min()1),,(min(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),()
,(1)
,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=
3〕),(),(),(z y d y x d z x d +≤,因此 以及设x x x f +=
1)(,0)
1(1)(2
>+='x x f ,所以)(x f 单增, 所以)
,(),(1)
,(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+=
综上所述)1,min(1d d =和d
d
d +=
12均满足度量空间的三条件, 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
3.设H 是内积空间,H y y x x n n ∈,,,,则当x x n →,y y n →时,
),(),(y x y x n n →,即内积关于两变元连续。
解:H 是内积空间,设||||⋅是由其内积导出的范数,由于x x n →,
y y n →,
所以0>∀ε,0n ∃使得当0n n >时均有ε<-||||x x n 和
ε<-||||y y n
同时由于y y n →,故知n y 有界,H x ∈所以||||x 有限。因此可取
因此|),(),(),(),(||),(),(|y x y x y x y x y x y x n n n n n n -+-=- 故0)},(),(lim{=-∞
→y x y x n n n ,即),(),(y x y x n n →
4.设Y X ,是线性赋范空间,Y X T →:是线性算子,则T 不是连续的,当且仅当X x n ∈∃,使得0→n x ,但∞→||||n Tx
解:设T 不是连续的,则T 在X 上的每一点0x 都不是连续的,因此在点00=x 也不是连续的。则T 在包含X 上0点的任何有界邻域内均无界,
取X O S ⊂=)2
1
,0(1,则T 在1S 上无界,因此11S x ∈∃, 使得1||||1>Tx 成立。 取X O S ⊂=)21
,
0(2
2,则T 在2S 上无界,因此22S x ∈∃, 使得2||||2>Tx 成立。 类似地过程一直进行,直到 取X O S n
n ⊂=)21
,
0(,则T 在n S 上无界,因此n n S x ∈∃, 使得n Tx n >||||成立。
因此,X x n ∈∃,使得0→n x ,但∞→||||n Tx
其它,如果有X x n ∈,当0→n x ,有∞→||||n Tx
由于在Y 上不能找到一点Y y ∈,使得∞=||||Ty ,因此对全部的
点Y y ∈,均无法使得∞=||||Ty 成立,因此,在条件0→n x 下,对于全部的点Y y ∈,Ty Tx n →||||均不成立。所以T 在X 上的0点不是连续的,故T 不是连续的。
5.对于每个有界序列)(n α,定义线性算子p
p
l
l T →:,
),,(|),,(221121 x x x x αα→
求?||||=T
解:由于)(n α有界,所以有0>M ,使得||sup n n
M α=
对于p
l x x x ∈=∀),,(21 ,∞<=
∑∞
=1
||||||i p
i p p
x x , 从而
p n i p i
x
ε<∑∞
+=1
||
||||||||x M Tx ≤,从而M T ≤||||
其它,有)(n α有界序列,设||sup n n
M α=,
则对0>∀ε,有0n ,使得0||0>->εαM n 可取p n
n n l snga x
∈=),,,0,0(0)
(
,所以1||||)(=n x
p n i p i i p p
n x Tx
||||||||01
)
(αα==∑∞
=,因此εα-==M Tx n p n ||||||0)(
ε->M T ||||,由于ε的任意性,于是有M T ≥||||成立
综上所述有||sup ||||n n
M T α==