泛函分析考试题集与答案

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泛函分析复习题2021

1.在实数轴R 上,令p y x y x d ||),(-=,当p 为何值时,R 是度量

空间,p 为何值时,R 是赋范空间。

解:假设R 是度量空间,所以R z y x ∈∀,,,必须有:

),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立

即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-,取1,0,1-===z y x , 有2112=+≤p

p

p

,所以,1≤p

假设R 是赋范空间,p x x x d ||||||)0,(==,所以R k x ∈∀,, 必须有:||||||||||x k kx ⋅=成立,即p p x k kx ||||||=,1=p , 当1≤p 时,假设R 是度量空间,1=p 时,假设R 是赋范空间。 2.假设),(d X 是度量空间,则)1,min(1d d =,d

d

d +=12也是使X 成为度量空间。

解:由于),(d X 是度量空间,所以X z y x ∈∀,,有: 1〕0),(≥y x d ,因此0)1),,(min(),(1≥=y x d y x d

和0)

,(1)

,(),(2≥+=

y x d y x d y x d

且当y x =时0),(=y x d ,

于是0)1),,(min(),(1==y x d y x d 和0)

,(1)

,(),(2=+=y x d y x d y x d

以及假设

0)1),,(min(),(1==y x d y x d 或0)

,(1)

,(),(2=+=

y x d y x d y x d

均有0),(=y x d 成立,于是y x =成立 2〕),(),(y x d x y d =,

因此),()1),,(min()1),,(min(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),()

,(1)

,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=

3〕),(),(),(z y d y x d z x d +≤,因此 以及设x x x f +=

1)(,0)

1(1)(2

>+='x x f ,所以)(x f 单增, 所以)

,(),(1)

,(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+=

综上所述)1,min(1d d =和d

d

d +=

12均满足度量空间的三条件, 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。

3.设H 是内积空间,H y y x x n n ∈,,,,则当x x n →,y y n →时,

),(),(y x y x n n →,即内积关于两变元连续。

解:H 是内积空间,设||||⋅是由其内积导出的范数,由于x x n →,

y y n →,

所以0>∀ε,0n ∃使得当0n n >时均有ε<-||||x x n 和

ε<-||||y y n

同时由于y y n →,故知n y 有界,H x ∈所以||||x 有限。因此可取

因此|),(),(),(),(||),(),(|y x y x y x y x y x y x n n n n n n -+-=- 故0)},(),(lim{=-∞

→y x y x n n n ,即),(),(y x y x n n →

4.设Y X ,是线性赋范空间,Y X T →:是线性算子,则T 不是连续的,当且仅当X x n ∈∃,使得0→n x ,但∞→||||n Tx

解:设T 不是连续的,则T 在X 上的每一点0x 都不是连续的,因此在点00=x 也不是连续的。则T 在包含X 上0点的任何有界邻域内均无界,

取X O S ⊂=)2

1

,0(1,则T 在1S 上无界,因此11S x ∈∃, 使得1||||1>Tx 成立。 取X O S ⊂=)21

,

0(2

2,则T 在2S 上无界,因此22S x ∈∃, 使得2||||2>Tx 成立。 类似地过程一直进行,直到 取X O S n

n ⊂=)21

,

0(,则T 在n S 上无界,因此n n S x ∈∃, 使得n Tx n >||||成立。

因此,X x n ∈∃,使得0→n x ,但∞→||||n Tx

其它,如果有X x n ∈,当0→n x ,有∞→||||n Tx

由于在Y 上不能找到一点Y y ∈,使得∞=||||Ty ,因此对全部的

点Y y ∈,均无法使得∞=||||Ty 成立,因此,在条件0→n x 下,对于全部的点Y y ∈,Ty Tx n →||||均不成立。所以T 在X 上的0点不是连续的,故T 不是连续的。

5.对于每个有界序列)(n α,定义线性算子p

p

l

l T →:,

),,(|),,(221121 x x x x αα→

求?||||=T

解:由于)(n α有界,所以有0>M ,使得||sup n n

M α=

对于p

l x x x ∈=∀),,(21 ,∞<=

∑∞

=1

||||||i p

i p p

x x , 从而

p n i p i

x

ε<∑∞

+=1

||

||||||||x M Tx ≤,从而M T ≤||||

其它,有)(n α有界序列,设||sup n n

M α=,

则对0>∀ε,有0n ,使得0||0>->εαM n 可取p n

n n l snga x

∈=),,,0,0(0)

(

,所以1||||)(=n x

p n i p i i p p

n x Tx

||||||||01

)

(αα==∑∞

=,因此εα-==M Tx n p n ||||||0)(

ε->M T ||||,由于ε的任意性,于是有M T ≥||||成立

综上所述有||sup ||||n n

M T α==

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