函数的定义域和值域知识点总结
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结函数概念1.映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。
2.函数的概念（1）函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常⑵函数的定义域、值域在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法(1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；(2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。
4.分段函数在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。
(-)考点分析考点1：映射的概念例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ；(2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ；(3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x .上述三个对应是A到B的映射.例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对(4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是()考点2：判断两函数是否为同一个函数例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1) /(X )= , g(x) = V?":⑶ /(x) = 2n ^X^ , g(X )= (2“V7)2"T (/7GN 4);(4) /(x) = Vx Jx + 1 , g(x) = Jx ，十 x ；(5) /(x) = x 2 -2x -1, g(t) = t 2 -2r -1 考点3：求函数解析式方法总结：(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；(2) 若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；(3) 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(%)题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1.已知二次函数/(X )满足/(2X + 1) = 4X 2-6X + 5,求/U)(三种方法)| + V* | _ Y 2例2. (09湖北改编)已知/(-—)=—v ，则/(X )的解析式可取为 l-x 1 + JC题型2：求抽象函数解析式例1.已知函数/⑴满足/U) + 2/(-) = 3x,求/⑴函数的定义域题型1:求有解析式的函数的定义域(1) 方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的X 的取值范 围，实际操作时要注意：酚母不能为0；②对数的真数必须为正；酬次根式中被开方数应 为非负数；歿指数幕中，底数不等于0；矽分数指数幕中，底数应人于0；魁解析式由 儿个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦n 果涉及实际问题，还应使得实际 问题有意义，而11注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义 域不耍漏写。
大学函数重要知识点总结
大学函数重要知识点总结一、函数的定义和性质1. 函数的定义函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系，通常表示为f: X -> Y，其中X为定义域，Y为值域。
2. 函数的性质（1）定义域和值域：函数的定义域是所有定义在函数上的自变量的集合，值域是所有函数值的集合。
（2）单值性：每个自变量对应唯一的函数值。
（3）奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
（4）周期性：如果存在正数T，使得f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
（5）上下界：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值都在一个范围内，则称函数有上下界。
（6）单调性：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值随着自变量x的增大而增大（或减小），则称函数具有单调性。
二、基本初等函数1. 常数函数常数函数的表达式为f(x)=C，C为常数。
2. 一次函数一次函数的表达式为f(x)=kx+b，k为斜率，b为截距。
3. 幂函数幂函数的表达式为f(x)=x^a，a为实数。
4. 指数函数指数函数的表达式为f(x)=a^x，a为正实数且不等于1。
5. 对数函数对数函数的表达式为f(x)=log_a(x)，a为正实数且不等于1。
包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
三、函数的运算1. 基本初等函数的四则运算（1）加法和减法：f(x)=g(x)±h(x)（2）乘法：f(x)=g(x)·h(x)（3）除法： f(x)=g(x)/h(x)，其中h(x)≠02. 复合函数如果存在函数u(x)和v(x)，则复合函数为：f(x)=u(v(x))。
3. 反函数如果两个函数f和g满足f(g(x))=x和g(f(x))=x，那么f和g互为反函数，且g=f^-1。
4. 函数的求导对函数进行求导可以得到函数的导数，导数表示函数在某一点的变化速度。
5. 函数的积分对函数进行积分可以得到函数的不定积分和定积分，不定积分是函数的原函数，定积分表示函数在一定范围内的面积或体积。
函数的定义域和值域知识点总结
函数定义域的几种求法：一、已知复杂函数，求f（x）例1.若函数f(x+1)的定义域是[-2,3]，求f(x)的定义域例2.若f( )的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域总结：二、已知简单函数f(x)，求复杂函数例1.若函数f(x)的定义域为[1,4]，求函数f(x+2)的定义域总结：三、综合一和二，求函数的定义域例1.若函数f(x+1) 的定义域是[-2,3],求函数f(2x-1)的定义域四、当定义域为R时，求未知数的取值范围例1.已知函数y=²的定义域为R，求m 的取值范围例3.已知函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围²总结：函数值域基本初等函数的定义域和值域1.一次函数f(x)=k x+b(k≠0)的定义域是R，值域是R2.反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是(-∞,0)∪(0,+ ∞),值域是(-∞,0)∪(0,+ ∞)3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R。
当a>0时，值域是[f(-),+ ∞); 当a<0,时，值域是(-∞,f(-)]函数值域的常用方法：一、利用简单函数值域求复杂函数值域例1．求函数y=-1的值域解：已知≧0，所以-1≧-1，所以函数y=-1的值域为[-1, + ∞]例2．求函数y=-的值域例3.求函数y=²的值域例4.求函数y=+1的值域例5.求函数y=+1的值域二、配方法例6．求函数y=²-4x+5的值域例7.求函数y=²-6x+10的值域解：y=²-4x+5=(x-2)2+1≧1所以，函数y=²-4x+5的值域为[1,+∞)例8.求函数y=的值域²三、将函数形式变成x=( )y的形式，利用已知函数值或者Δ的取值范围来判定例9．求函数y=²的值域²解：函数变形：y²+2yx+3y=2²+4x-7即：(y-2)²+2(y-2)x+3y+7=0当y=0时，显然不成立；当y≠0时，上式可以看作是关于x的一元二次方程，由于定义域x∈R，则有Δ≧0，即：Δ=4(y-2)2-4(y-2)(3y+7) ≧0所以2y2+5y-18≦0,解得：-≦y﹤2(x=2舍去)所以函数y=²的值域为[-,2）²。
高一值域和定义域的知识点
高一值域和定义域的知识点高一数学知识点：值域和定义域解析数学中的值域和定义域是一项基本概念，特别在高一的课程中，这两个概念被频繁地引用和运用。
理解和掌握这些概念，对于高一学生来说是至关重要的。
一、定义域的概念与运用1.1 定义域的定义在函数的定义中，值域和定义域是两个至关重要的概念。
首先，定义域指的是自变量的取值范围。
也就是说，在一个函数中，自变量可以取到的所有可能值形成的集合就是该函数的定义域。
例如，在函数 y = 2x + 3 中，自变量 x 可以取到任何实数的值，所以定义域是整个实数集R。
1.2 定义域的限制在实际问题中，有时候函数并不适用于所有的自变量取值范围。
例如，对于一个表示温度的函数而言，可能只适用于自变量为正数的情况，因为负温度在实际生活中并没有意义。
所以，在这种情况下，定义域就需要做出相应的限制。
例如，函数y = √x 的定义域就是非负实数集[0, +∞)。
1.3 定义域的确定方法确定一个函数的定义域，首先要注意函数中不能出现负号下的奇次根号，因为这样的根无法在实数范围内取得。
其次，要注意有分数形式的分母，不能等于零，因为除数不能为零。
最后，要留意任何其他潜在的限制条件，如有意义性等。
二、值域的概念与运用2.1 值域的定义与定义域类似，值域也是函数的一个重要概念。
值域指的是函数的因变量所能取到的所有可能值所形成的集合。
例如，在函数 y = 2x + 3 中，对于任何实数的自变量 x ，函数的值域都是整个实数集R。
2.2 值域的限制对于某些函数而言，其值域可能受到一些限制。
例如，函数 y = x^2 的值域就是非负实数集[0, +∞)，因为平方的结果永远不会是负数。
在寻找函数的值域时，我们需要考虑是不是有潜在的限制条件。
2.3 值域的确定方法确定一个函数的值域，可以通过图像分析和数学推导等多种方法。
对于某些函数而言，我们可以通过观察函数的图像，来判断函数的值域。
例如，当一个函数的图像形状是一个开口向上的抛物线时，我们就可以确定其值域是非负实数集。
中考知识点函数的定义域与值域
中考知识点函数的定义域与值域函数是数学中常见的一种数学工具，用来表示一种两个数集之间的对应关系。
在函数中，我们经常会涉及到两个重要的概念，即定义域和值域。
本文将介绍中考中关于函数定义域和值域的一些基础知识。
1. 函数的定义域函数的定义域是指能够使函数有意义的输入值的全体。
换句话说，定义域就是函数的自变量可以取值的范围。
在定义函数的时候，我们需要明确指定函数的定义域，以确保函数在这个范围内有良好的定义。
以一个简单的例子来说明，考虑函数y = x^2，这是一个求平方的函数。
在这个函数中，x 可以取任意实数作为输入值。
因此，函数的定义域是整个实数集，即定义域为(-∞, +∞)。
然而，并不是所有函数的定义域都涵盖了整个实数集。
例如，考虑函数y = 1/x，这是一个表示倒数的函数。
这个函数的定义域需要满足一个条件，即 x 不等于 0，因为不能除以零。
因此，函数的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞)。
需要注意的是，在有些情况下，定义域可能会受到其他限制。
例如，考虑函数y = √x，这是一个表示平方根的函数。
在这个函数中，x 必须大于等于零，否则平方根就没有定义。
因此，函数的定义域为[0, +∞)。
2. 函数的值域函数的值域是指函数在定义域上所有可能的输出值的集合。
换句话说，值域就是函数的因变量可以取值的范围。
了解一个函数的值域有助于我们对函数的性质有更深入的理解。
对于简单的函数来说，值域可能很容易确定。
例如，考虑函数y = x^2，这是一个求平方的函数。
由于平方的结果总是非负的，所以函数的值域为[0, +∞)。
对于有些函数而言，值域可能受到一些限制。
例如，考虑函数y = sin(x)，这是一个正弦函数。
正弦函数的值域是[-1, 1]，因为正弦函数的值在这个范围内波动。
有时候，确定函数的值域可能并不容易。
例如，考虑函数y = x^3，这是一个立方函数。
立方函数的值域是整个实数集，因为对于任意一个实数，都可以找到一个实数的立方等于它。
高一函数定义域和值域知识点
高一函数定义域和值域知识点在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数是一个映射关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。
而函数的定义域和值域则是函数的两个基本性质，它们对于理解函数的性质和特点非常关键。
一、函数的定义域函数的定义域是指函数中所有可能输入的取值范围。
也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输入可以采取哪些值。
例如，考虑一个简单的函数f(x) = √x。
这个函数的定义域是什么呢？我们知道平方根是一个实数运算，但是如果x取负值，那么该函数就无法定义了。
因此，这个函数的定义域是所有非负实数。
我们可以表示为：定义域D = [0, +∞)。
同样地，对于一个分式函数g(x) = 1/x，我们知道分母不能为零。
因此，该函数的定义域是除了x=0之外的所有实数。
我们可以表示为：定义域D = (-∞, 0)∪(0, +∞)。
另外，有些函数的定义域可能受到一些附加条件的限制。
比如，如果考虑一个函数h(x) = log(x)，我们知道对数运算要求x必须大于0，因此，该函数的定义域是所有正实数。
我们可以表示为：定义域D = (0, +∞)。
二、函数的值域函数的值域是指函数中所有可能输出的取值范围。
也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输出可以采取哪些值。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过平方运算得到一个非负数。
因此，该函数的值域是所有非负实数。
我们可以表示为：值域R = [0,+∞)。
同样地，对于函数g(x) = sin(x)，我们知道正弦函数的取值范围是在[-1, 1]之间的所有实数。
因此，该函数的值域是[-1, 1]。
另外，有些函数的值域可能受到一些附加条件的限制。
比如，如果考虑函数h(x) = e^x，我们知道指数函数的取值范围是大于0的实数。
因此，该函数的值域是大于0的所有实数。
我们可以表示为：值域R = (0, +∞)。
总结起来，函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
函数的定义域和值域知识点总结
函数的定义域和值域知识点总结函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
在了解函数的定义域和值域之前，我们需要先了解函数的基本概念和表示方法。
函数可以理解为一个输入到输出的映射关系，如果将函数视为一个机器，输入是函数的自变量，输出是函数的因变量。
函数可以用数学符号表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数的表达式。
例如，y=2x+1就是一个简单的一次函数。
定义域是指所有自变量可能取值的集合，也可以简单理解为函数的输入范围。
根据函数的不同类型，定义域可以有不同的限制条件。
1.有理函数：有理函数是指可以表示为两个多项式相除的函数。
它的定义域包含所有不使得分母等于0的实数。
2.无理函数：无理函数是指不能表示为两个多项式相除的函数，例如平方根、立方根、指数函数等。
对于无理函数，它的定义域可以是任意实数，也可以有一些限制条件。
3.双曲函数：双曲函数是指以指数函数和对数函数为基础的函数。
对于双曲函数，它的定义域可以是任意实数。
4.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是互为反函数关系的两个函数。
指数函数的定义域为所有实数，对数函数的定义域为正实数。
在确定函数的定义域时，常常需要考虑到以下几点：1.分式中的分母不能为0。
2.做对数运算时，底数必须大于0且不等于13.做反三角函数时，函数的值域必须在对应的定义域内。
4.开方运算中，被开方数必须大于等于0。
在讨论函数的定义域时，我们常常需要注意以下几个特殊情况：1.绝对值函数：绝对值函数的定义域为所有实数。
2.常量函数：常量函数的定义域为所有实数。
3.单调函数：单调函数的定义域为所有实数。
4.双曲函数：双曲函数的定义域为所有实数。
接下来，我们来讨论函数的值域。
值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合，也就是函数的输出范围。
函数的值域可能存在上界、下界或者不受限。
确定函数的值域时需要考虑以下几点：1.对于连续函数，可以通过求导数来判断函数的极大值和极小值，从而确定值域的上界和下界。
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结高中数学函数知识点总结一、函数概念函数是数学中重要的概念，具有广泛的应用。
函数是一种关系，它将一个集合的元素（自变量）与另一个集合的元素（因变量）联系起来。
常用的表示函数的方法是将它写为y=f(x)，其中y是函数值，x是自变量，f是函数名。
例如，y=x²就是一个函数，它的自变量是x，因变量是x²。
二、函数的定义域、值域和图像1.定义域函数的定义域是指自变量可以取的实数范围。
有些函数定义域有限，有些函数定义域是整个实数集合。
例如，y=1/x的定义域是所有非零实数，y=sin x的定义域是所有实数。
2.值域函数的值域是指函数在定义域内可以取到的所有函数值。
有些函数值域有限，有些函数值域是整个实数集合。
例如，y=1/x的值域是(-∞,0)或(0,∞)，y=sin x的值域是[-1,1]。
3.图像函数图像是函数在直角坐标系中的表示，它由所有(x,f(x))的点组成。
函数的图像能够反映函数的性质，例如函数的单调性、奇偶性、周期性等。
三、函数的分类函数可以按照多种方式进行分类，包括：1.初等函数与非初等函数初等函数包括基本初等函数和其它初等函数。
基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数，其它初等函数包括每个基本初等函数的若干种组合形式。
非初等函数则是指不能表示为初等函数的函数，例如Gamma函数和Bessel函数等。
2.显式函数与隐式函数显式函数就是已知函数值y，能够根据函数的表达式计算自变量x，例如y=x²+1。
隐式函数则是不能通过简单的代数运算得到x的表达式，例如x²+y²=1是一个圆的方程。
3.周期函数与非周期函数周期函数指函数f(x+T)=f(x)，其中T为正周期。
非周期函数则是指没有正周期的函数。
4.单调函数与非单调函数单调函数指自变量增大时函数值单调增加或单调减少的函数。
非单调函数则是指既有增又有减的函数。
2.1函数的定义域、值域、解析式
函数的定义域、值域、解析式一、知识点1、定义域的概念和求法2、值域的概念和求法3、映射、对应法则 区间概念设,a b R ∈且a b <（,a b 称为端点，在数轴上注意实心空心的区分） 满足a x b ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[,]a b 满足a x b <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作(,)a b满足a x b ≤<或a x b <≤的全体实数x 的集合，叫做半开半闭区间，记作[,)a b 或(,]a b 分别满足,,,x a x a x a x a ≥>≤<的全体实数的集合分别记作[,),(,),(,],(,)a a a a +∞+∞-∞-∞一、定义域1、定义域的概念设集合A 是一个非空实数集，对A 内任意实数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记做(),y f x x A =∈。
x 叫做自变量，自变量取值的范围所组成的集合叫做函数的定义域。
函数的定义域和值域一定表示成集合或区间的形式。
（易错点）2、函数定义域的求法（方法对接）:（1）分式中的分母不为零； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零； （3）a 的零次方没有意义； （后续课程会涉及的定义域：指数式的底数，对数式的底数和真数，正余切函数和反三角函数的定义域）例1、求下列函数的定义域（分母和偶次方根）1()1f x x =+ 221533x x y x --=+-练习、求下列函数的定义域：1()5f x x =- ()13f x x x =-++ ()f x x x =+- 262x y x -=+ 021(21)4111y x x x =+-+-+- 211()1x y x -=-+（选讲）复合函数的定义域：函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[]()f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式，最后结果才是。
函数知识点(详细)
第二章函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值X 围。
（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。
③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数()2143432-+--=x x xy 的定义域。
例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。
④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的X 围出发，推出()y f x =的取值X 围。
函数必备【二级结论】和知识点
1函数知识必备1、函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （1）定义域： ①x 的取值范围；②基本初等函数的定义域：分式中分母不等于零即AB中0B ≠；偶次根式被开方式大于或等于00a ≥； 零指数幂0x 中{}|0x x ≠；对数中真数大于0即log a b 中0b >．正切函数tan y x =中ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．③抽象函数的定义域：定义域是x 的取值范围；括号里的范围是相同的． ④定义域取交集：若()f x ，()g x 的定义域分别为f D 、g D ，则()()()F x f x g x =±的定义域F f g D D D =I ．（2）值域：①y 的取值范围，分段函数中值域取并集； ②求值域的几种方法：1）直接法（利用基本初等函数的值域）；2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； 3）单调性法（判断函数的单调性）；4）分离常数（分式型函数，分子分母为一次函数形式）；（3）分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，分段函数是一个函数； ①注意分界点，画图时找到临界值； ②写分段函数时，定义域不重不漏； ③带解析式时，注意定义域满足的条件．2、函数的四性：单调性、奇偶性、对称性、周期性． （1）单调性：①定义：()()()1212,x x f x f x f x >>⇒单调递增； 等价变形：()()()()12120x x f x f x f x −−>⇒⎡⎤⎣⎦单调递增；()()()12120f x f x f x x x −>⇒−单调递增；（联想）()()0f x f x '>⇒单调递增．②定义：()()()1212,x x f x f x f x ><⇒单调递减； 等价变形：()()()()12120x x f x f x f x −−<⇒⎡⎤⎣⎦单调递减；()()()12120f x f x f x x x −<⇒−单调递减；（联想）()()0f x f x '<⇒单调递减．③在公共区间上：增+增为增；减+减为减；增-减为增；减-增为减． ④复合函数的增减性：“同增异减”．⑤特殊函数的增减性：()()()()f x f x ↑↓⇒−↓↑；()()())()0f x f x ↑↓⇒≥↑↓；()()()()()()()100f x f x f x f x ↑↓⇒↓↑><或．⑥“脱掉、脱掉（脱掉f ）”：（抽象函数的单调性）若()f x 为增函数，即函数值大的自变量也大，即()()12f x f x >时，脱掉f ，不等号方向不变，也就是12x x >；若()f x 为减函数，即函数值大的自变量反而小，即()()12f x f x >时，脱掉f ，不等号方向改变，也就是12x x <；31a >单调递增区间为()0,+∞幂函数y x α=0α<在()0,+∞上递减0α= 没有单调性 0α>在[)0,+∞上递增7）对勾函数：()0,0by ax a b x=+>>的单调性与极值点b a ±有关．8）绝对值函数：y a x k =−（0a ≠）1a>10<a<1y=log a xyx O 0<α<1α<0α>1α=1α=011y=x αOyx5（2）奇偶性：①前提：定义域关于原点对称（若区间(),a b 上是奇函数或者偶函数，则0a b +=；若定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数）； ②定义：奇函数：（一看定义，二看图象）1）x D ∀∈，有()()f x f x −=−，则()f x 为奇函数（()()0f x f x −+=）；2）图象关于原点对称；3）在对称区间内，单调性相同；4）若定义域内含有0，则()00f =． 偶函数：（一看定义，二看图象）1）x D ∀∈，有()()f x f x −=，则()f x 为偶函数（()()0f x f x −−=）； 2）图象关于y 轴对称；3）在对称区间内，单调性相反． 注意：利用定义判断函数奇偶性的步骤：③基本初等函数的奇偶性： 函数参数取值奇偶性 一次函数()0y kx b k =+≠0b = 奇函数 0b ≠非奇非偶函数 二次函数()20y ax bx c a =++≠0b = 偶函数 0b ≠ 非奇非偶函数 反比例函数()0ky k x=≠ − 奇函数 指数函数xy a =（0a >且1a ≠） −非奇非偶函数对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）−非奇非偶函数幂函数y x α= α为奇数 奇函数 α为偶数偶函数④结论：1）函数()0f x =即是奇函数也是偶函数； 2）偶函数有()()()()f x f x f x f x =−==−； 3）奇偶性的运算规律：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数； （4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数；（6）奇±偶=非奇非偶（即奇函数中不含偶函数的项，偶函数中不含奇函数的项）； 4）x 的奇数次幂是奇函数，x 的偶数次幂是偶函数；5）若()()f x g x c =+（()g x 为奇函数），则()()2f a f a c +−=． 6）常见奇、偶函数：奇函数：xxy a a −=−；)ln y x =；x x x xa a y a a −−−=+．偶函数：+x xy a a −=；2y x a x =+．（3）对称性：①关于点对称：（横坐标和定，纵坐标和定）()f x 关于点()0,0对称，可得()()0f x f x −+=；()f x 关于点(),a b 对称，可得()()2f x a f x a b −+++=；或者()()22,f x f x a b −++=L ；若()f x 满足()()22f x f x a b +−+=，则()f x 关于点(),a b 对称．②关于轴对称：（横坐标和定，纵坐相等）()f x 关于0x =（y 轴）对称，可得()()f x f x −=；()f x 关于x a =对称，可得()()f x a f x a −+=+；或者()()2,f x f x a −=+L ；若()f x 满足()()2f x f x a =−+，则()f x 关于x a =对称．（4）周期性：（横坐标差定，纵坐相等）①定义：存在非零常数T ，对于()f x 定义域内的任意一个x ，()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT (), 0k k ∈≠Z 也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．②周期性的重要结论：1）()()f a x f b x +=+，T b a =−；2）()()f a x f b x +=−+，2T b a =−，特别地，()()f a x f x +=−，2T a =，则()()()()2f x a f x a a f x a f x +=++=−+=⎡⎤⎣⎦．3）()()1f a x f x +=±，2T a =；则()()()()12f x a f x a a f x f x a +=++==⎡⎤⎣⎦+． 4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．75）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T −=⇒． 6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T −=⇒．7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T −=⇒．3、基本初等函数的图象：指、对、幂函数的特点． （1）指数函数： 指数运算：①正整数指数幂：n a a a a =⋅⋅⋅L ；②负整数指数幂：1n n a a−=（0a ≠，*n ∈N ）；③零指数幂：01a =（0a ≠）；④正分数指数幂：mna =0a >，m ,*n ∈N ，(),1m n =)；⑤负分数指数幂：1m n m n a a −=(0a >，m ,*n ∈N ，(),1m n =）；⑥指数幂的运算性质：①r s r s a a a +=；②r r s sa a a−=；③()r r rab a b =；④()()s r r s a a =．指数函数图象与性质： ①定义域：R ； ②值域：()0,+∞；③过定点：()0,1，过点()1,a ；④单调性：01a <<时，指数函数为减函数；1a >时，指数函数为增函数；⑤渐近线：x 轴（图象上下平移时，渐近线也要一同平移；图象上下翻折时渐近线也要进行翻折）．指数函数知识拓展：①指数函数xy a =与1xx y a a −⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称；②判断底数大小：令1x =，与图象交点的纵坐标为底数；③比较大小：同底、同指、或者和0、1比较，或者和中间值比较；④解指数不等式：化同底，根据单调性去底（底数1a >，去底不等号的方向不改变；底数01a <<，去底不等号的方向改变）．（2）对数函数： 对数运算：①对数定义：一般地，若ba N =，则log ab N =（0a >，且1a ≠），读作“以a 为底N 的对数”．②常见的对数符号：常用对数，把10log N 记为lg N ；自然对数，把e log N 记为ln N ，其中e 2.71828=L ． ③对数恒等式：1）log 10a =；2）log 1a a =；3）log a Na N =；4）log N a a N =；④对数的运算性质：1）()log log log a a a M N M N ⋅=+；2）log log log a a a M M N N =−；3）log log a a M M αα=；4）log log log a b a NN b=（换底公式）．⑤有用结论：1）1log log a b b a =；2）log log m n a a n b b m=．对数函数图象及性质： ①定义域：()0,+∞； ②值域：R ；③过定点：()1,0，过点(),1a ；④单调性：01a <<时，对数函数为减函数；1a >时，对数函数为增函数； ⑤渐近线：y 轴（图象左右平移时，渐近线也要一同平移）． 对数函数与指数函数的关系注：同底的对数函数与指数函数互为反函数，二者的图象关于y x =对称．对数函数知识拓展：①对数函数log a y x =与11log log log a aay x x x ==−=的图象关于x 轴对称； ②判断底数大小：令1y =，与图象交点的横坐标为底数；③比较大小：同底、同真、或者和0、1比较，或者和中间值比较；④解对数不等式：化同底，根据单调性去底（底数1a >，去底不等号的方向不改变；底数01a <<，去底不等号的方向改变）．⑤求复合函数的单调性时，满足两点： 1）真数部分要大于0；2）根据复合函数的“同增异减”来求函数的单调区间．9（3）幂函数：①概念：形如()y x αα=∈R 的函数称为幂函数．②常见幂函数的图象将函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图象画在同一坐标系中，如下图所示：③幂函数的性质1）所有幂函数在()0, +∞上都有定义；2）0α>时，幂函数过原点，且在[)0,+∞上单调递增；0α<时，幂函数在()0, +∞上单调递减；3）设mnα=，m ∈Z ，*n ∈Z ，(),1m n =，当n 是偶数，则幂函数既不是奇函数也不是偶函数；当n 是奇数，则当m 为奇数时幂函数是奇函数，m 为偶数时幂函数是偶函数．4）当01α<<时，函数是上凸函数，且12,x x ∀满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；当1α>时，函数是下凸函数，且12,x x ∀满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． 5）幂函数的图象根据奇偶性进行补全即可．4、函数零点 （1）零点定义：①对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点；②零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标.即：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点； ③函数的零点与方程根的关系：函数()()()F x f x g x =−的零点就是方程()()f x g x =的根，即函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象交点的横坐标．④三个等价关系(三者相互转化)（2）零点存在性定理：①函数()f x 在区间[],a b 上是连续不断的； ②()()0f a f b <；③则函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即至少存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 就是方程()=0f x 的根（即是函数()f x 的零点）． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．③由函数()y f x =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出()f a ·()f b 0<，如图所示．所以()f a ·()f b 0<是()y f x =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件．（3）零点唯一的条件：函数()f x 在区间(),a b 上连续不断，满足()()0f a f b <，且函数()f x 在区间(),a b 上单调，则函数()f x 有唯一零点．。
5：函数的定义域和值域高三复习数学知识点总结(全)
（二）函数的定义域（1）解决函数问题，优先考虑定义域.若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x 的取值范围.实际问题中还要考虑自变量的实际意义.（2）分式中分母0≠；偶次根式中被开方数应为非负数；)0(10≠==x x y ；)10(≠>=a a a y x 且；,log x y a =真数,0>x 底数10≠>a a 且；x y sin =定义域为,R x y cos =定义域为,R x y tan =定义域为x {|},2Z k k x ∈+≠ππ.（3）复合函数的定义域方法：①定义域是输入值x 的集合；②同一对应法则下的括号内整体范围一样.例：已知)1(+=x f y 的定义域为],3,2[-则)12(-=x f y 的定义域为.答案：]25,0[小结：①若已知)(x f 的定义域为],,[b a 则复合函数))((x g f 的定义域可由b x g a ≤≤)(解出；②若已知))((x g f 的定义域为],,[b a 则)(x f 的定义域即为],[b a x ∈时)(x g 的值域.（三）函数的值域（数形结合）常用方法法一：图象法（形）1.)10(22≤<+-=x x x y 2..30,113<≤+-=x x x y 3..14,4-≤≤-+=x xx y 法二：换元法+图象法（形）4.3212++=x x y 5.x x y 21-+= 6.1212+-=x x y 7.)0(422>+=x x x y 8.).1(1542>-+-=x x x x y 9.)10(210212≤≤++=x x xy 法三：单调性（导数和单调性的性质）（数）10.x x y 21--=11.2,0[,sin π∈+=x x x y 12.]3,3[,8123-∈+-=x x x y 法四：几何意义（形）13.2cos 1sin --=x x y 答案：1.]81,1[-；2.)2,1[-；3.]4,5[--；4.]21,0(；5.]1,(-∞；6.)1,1(-；7.]21,0(；8.),222[+∞-；9.]10103,22[；10.21,(-∞；11.]12,0[+π；12.]24,8[-；13.34,0[。
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tan y x =的定义域是{,x x R ∈且,2x kx k Z π⎫≠+∈⎬⎭； （6）已知()f x 的定义域求解()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法： （1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解 思路提示对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子()f x 有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 二、给出函数解析式求解定义域 例2.10 函数ln 1x y +=的定义域为（ ）．A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解解析 210,340x x x +>⎧⎨--+>⎩得11x -<<，故选C变式1 函数()1y x =- 的定义域为（）A.(0，1) B[0，1） C.(0，1] D[0，1] 变式2求函数()2f x = 的定义域.三、抽象函数定义域已知()f x 的定义域求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域. 解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同. 例2.11 （1）已知函数()f x 的定义域为（0，1）求()2f x 的定义域 （2）已知函数()2f x 的定义域为（2，4）求()f x 的定义域 （3）已知函数()2f x 的定义域为（1，2）求()21f x +的定义域.分析 已知函数()f x 的定义域为D ，求函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定又域'D ，只需(){}'D x g x D =∈;已知函数()f g x ⎡⎤⎣⎦ 的定义域'D ,求函数了()f x 的定义域，只需(){},'D t t g x t D ==∈，即求()g x 的值域.解析 （1）()f x 的定义域为（0，1），即0<x<1.故201x <<，所以11x -<<且x ≠0，所以()2f x 的定义域为()()1,00,1-(2) ()2f x 的定义域为(2，4).即2<x<4.所以4<2x <16，故()f x 的定义域为（4，16）；（3）因为()2f x 的定义域为（1，2）即1＜x ＜2，所以1＜2x ＜4，故需1＜2x ＋1＜4．所以0＜x ＜32， 故()21f x +的定义域为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭评注 定义域是对自变量而言的，如()2f x 的定义域为（1，2）指的是x 的范围而非2x 的范围. 变式1 已知函数()2x f 的定义域是［0，1］，求()21f x -的定义域． 变式2设()2lg2xf x x+=-，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为（） A(-4,0)U(0，4) B ()()4,41,4-- C. ()()2,11,2-- D ()()4,22,4--三、实际问题中函数定义域的求解例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝()f x ，并写出其定义域.分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.解析 由题意：2,,CD x CD x π==于是122x xAD π--=，因此()212222x x x y f x x ππ--==•+ ，化简即为24.2y x x π+=-+又根据实际应有201202x x x π>⎧⎪⎨-->⎪⎩,得102x π<<+，即所求函数的定义域为10,2π⎛⎫ ⎪+⎝⎭评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域 题型2 函数定义域的应用思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.例2.13若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围为_____.分析 函数()f x 的定义域为R,即2221x ax a+-- ≥0在R 上恒成立，再利用指数函数的单调性求解解析 由题意知2221x ax a+--≥0在R 上恒成立,所以220212xax a+-≥=,即有220x ax a +-≥恒成立,其等价于△=244010a a a +≤⇒-≤≤, 则实数a 的取值范围为[―1,0] 变式1 若函数()2143f x ax ax =++的定义域是R ，求则实数a 的取值范围是（）A.{}a a R ∈ B.304a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ C.34a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ D.304a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭变式2 函数()2lg 1y ax ax =-+ 的定义域是R,求a 的取值范围.变式3若函数y =的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 题型3 函数值域的求解思路提示 函数值域的求法主要有以下几种(1)观察法:根据最基本函数值域（如2x ≥0,0xa >及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如()20y ax bx c a =++≠的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y ax b =+转化为二次型函数.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如y Ax B =+ ，c bx ax++2或fex d c bx a y x x ++++=22的函数值域问题可运用判别式法（注意x 的取值范围必须为实数集R ）.(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如d cx b ax y +++=或d cx b ax y +++=的函数，当ac>0时可利用单调性法.（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y 的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.(10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域. 一 观察法 例 2.14 求函数1+=x y 的值域.分析 由观察法直接得到函数的值域.解析 因为0≥x ，所以函数的值域为),1[+∞. 变式1 函数)(122R x y x x ∈+=的值域是 . 变式2 函数)(1||||R x x x y ∈+=的值域是 . 二 配方法例 2.15 求函数xx y 245-+=的值域.分析 对于根式中的二次函数，利用配方法求解. 解析 由0452≥-+xx ，得]5,1[-∈x .[0,3]y ==.变式1 求函数)1(11)(x x x f --=的值域.变式2 求x x x f -++=53)(的值域. 变式3 设函数)0()(2<++=a c bx a x f x 的定义域为D ，若所有点),()),(,(D t s t f s ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）.A -2B -4C -8D 不能确定 三 图像法（数形结合）例 2.16 求函数y =.分析 由函数表达式易联想到两点间距离公式，可将其转化为动点与两定点的距离之和. 解析 如图2-4所示，1)1(1)1(2222+++=-+x x y ，所示动点P （x,1）到两定点A （-1,0）和B（1,0）的距离之和，作点B （1,0）关于直线y=1的对称点,(1,2)B ，连接B¹A 交y=1于点P¹（0,1）,此时AB¹的长即为PA 与PB 的长之和的最小值，点P¹（0,1）到A,B 两点的距离之和为[,+∞﹚.评注 本题中也可看着动点P （x,0）与两定点A¹(-1,1),B¹(1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA¹|+|PB¹|'''||A B ≥=|PA¹|+|PB¹|的最小值为.变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 变式2函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ）.A2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B []1,0- C⎡⎤⎣⎦ D⎡⎤⎣⎦变式3函数()f x =的值域是（ ）.A6655⎡⎢⎣⎦ B6355⎡⎢⎣⎦ C2⎤⎥⎣⎦D⎡-⎢⎣⎦四 基本不等式法例2.17 已知x>2,求函数245()24x x f x x -+=-的值域.解析 令24(0,)t x =-∈+∞,则42t x +=， 224445412244t t t t y t t t ++⎛⎫-⨯+ ⎪+⎝⎭===+≥1=（当且仅当14t t=，即t=2,x=3时取等号）.故函变式1 求函数11y x x =++的值域. 五、换元法（代数换元与三角换元）【例2.18】求函数]2,1[,3243)(-∈+-⋅=x x f xx的值域.解析 令]2,1[,2-∈=x t x，则]4,21[∈t ，得]4,21[,332∈+-=t t t y .因为函数332+-=t t y 的对称轴61=t ，所以函数在区间]4,21[上单调递增，所以值域为]47,413[.故函数)(x f 的值域为]47,413[.变式1：求函数x x y -+=2的值域.变式2：求函数22x x y -+=的值域.六、分离常数法【例2.19】求212++=x x e e y 的值域.分析 本例中的函数是关于xe 的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解.解析 由题意得2322342112+-=+-+=++=x x x x x e e e e e y ，因为0>xe ，所以23230<+<xe . 223221,02323<+-<<+-<-x x e e ，故值域为)2,21(.变式1：求函数153--x x y 的值域.变式2：求函数66522-++-=x x x x y 的值域.七、判别式法【例2.20】求函数2211x x y x x -+=++的值域.解析 因为043)21(122≠++=++x x x 恒成立，所以函数的定义域为R. 原式可化为1)1(22+-=++x x x x y .整理得01)1()1(2=-+++-y x y x y .若1=y ，即02=x ，即0=x ；若1≠y ，因为R x ∈，即有0≥∆，所以0)1(4)1(22≥--+y y ，解得331≤≤y 且1≠y .综上所述，函数的值域为]3,31[.变式1：已知函数1)(2++=x bax x f 的值域为]4,1[-，求b a ,的值.变式2：已知函数18log )(223+++=x nx mx x f 的定义域为R ，值域为]2,0[，求n m ,的值.八、单调性法 【例2.21】求函数11++-=x x y 的值域.解析 由函数的定义域为),1[+∞，且函数11++-=x x y 在区间),1[+∞上单调递增.当1=x 时，2=y ，所以函数的值域为),2[+∞.变式1：求函数11--+=x x y 的值域.变式2：函数x x x f 3245)(---=的值域是_______________.变式3：求函数225222+++++=x x x x y 的值域.变式4：求函数225222++-++=x x x x y 的值域.九、有界性法【例2.22】求函数)(2222R x x x y ∈+=的值域. 解析 解法一（有界性法）：由题意可得y x y x y yx x x y 2)2(222222222-=-⇒=+⇒+=，即有222--=y y x ，由R x ∈，可知02≥x ，故0222≥--=y y x ，可得20<≤y ，因此所求函数的值域为)2,0[. 解法二（分离常数法）：24224)2(2222+-=+-+=x x x y ，由Rx ∈，可知222≥+x ，故22402≤+<x ，因此函数的值域为)2,0[.变式1：已知函数])1,0[(22∈+=x e e y xx，求函数的值域.变式2：已知函数34)(,1)(2-+-=-=x x x g e x f x，若有)()(b f a f =，则b 的取值范围为（ ）]22,22.[+-A )22,22.(+-B ]3,1.[C )3,1.(D【例2.23】已知π<<x 0，求函数xxy sin cos 2-=的值域.解析 由x x y cos 2sin -=，得2cos sin =+x x y 2)sin(12=++⇒ϕx y ，且y1tan =ϕ，故112)sin(2≤+=+y x ϕ.得3≥y 或3-≤y .又0sin ),,0(>∈x x π，0cos 2>-x ，则0>y .故3≥y .因此函数的值域为),3[+∞.评注 本题也可以用数形结合思想求解，设x v x u cos ,sin =-=，则y 的几何意义为点)2,0(与点),(v u 所确定直线的斜率，其中),(v u 为单位圆在y 轴左侧部分.变式1：已知)2,0[π∈x ，求函数xxy cos 2sin 1--=的值域.十、导数法【例2.24】求函数])3,3[(12)(3-∈-=x x x x f 的值域.解析 由0312)('2=-=x x f ，得2,221=-=x x .由表21-看出，)(x f 的最大值)(,16)}2(),3(m ax {)(max x f f f x f =-=的最小值16)}3(),2(m in{)(min -=-=f f x f ，故)(x f 的值域为]16,16[-.()()()2-133,222,222,33()00()99x f x f x -----'-+--表极小值极大值评注 对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.变式1：若函数cx bx x y ++=23在区间]0,(-∞及),2[+∞上都是增函数，而在)2,0(上是减函数，求此函数在]4,1[-上的值域.最有效训练题1.已知R a ∈，则下列函数中定义域和值域都可能是R 的是（ ）a x y A +=2. 1.2+=ax y B 1.2++=x ax y C 1.2++=ax x y D 2.若函数344)(2++-=mx mx x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）R A . )43,0.(B ),43.(+∞C )43,0.[D3.定义域为R 是函数)(x f y =的值域为],[b a ，则函数)(a x f y +=的值域是（ ） ],2.[b a a A + ],0.[a b B - ],.[b a C ],[b a a +-4.函数x y 416-=的值域是（ ）),0.[+∞A ]4,0.[B )4,0.[C )4,0.(D5.设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=))(()())((4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）),1(]0,49.[+∞-A ),0.[+∞B ),49.[+∞-C ),2(]0,49.[+∞- D 6.对任意两实数b a ,，定义运算“*”如下：⎩⎨⎧>≤=)()(*b a b b a a b a 若若，函数x x x f 221log *)23(log )(-=的值域为（ ）)0,.(-∞A ),0.(+∞B ]0,.(-∞C ),0.[+∞D 7.函数)2lg(1x x y -++=的定义域是________________.8.函数],0[,2sin 1cos π∈--=x x x y 的值域为________________.9.若函数)(x f y =的值域为]3,1[，则函数)3(21)(+-=x f x F 的值域是____________. 10.已知函数430(2--=x x x f ，定义域为],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是_________________. 11.求下列函数的定义域. （1）1||212-+-=x x y ；（2）02)45()34lg(-++=x x x y ；（3）x x y cos lg 252+-=；（4）)34(log 25.0x x y -=； （5）xey -=11；（6）229)2lg()(xx x x f --=；（7）已知函数)(x f 的定义域是]4,2[-，求)3(2x x f -的定义域； （8）已知函数)1(+x f 的定义域为]3,2[-，求)22(2-x f 的定义域.12.求下列函数的值域.（1）)30(1422≤≤+-=x x x y ； （2）xxy 2121+-=； （3）2234x x y -+-=；（4）x x y 212-+=；（5）21x x y -+=；（6）xx y sin 2sin -=； （7）)1)(111(log 5.0>+-+=x x x y ； （8）1322+-+-=x x x x y .。
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。
二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。
题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。
二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。
A。
$(-4,-1)$ B。
$(-4,1)$ C。
$(-1,1)$ D。
$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。
解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。
解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。
故选C。
变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。
A。
函数的定义域和值域知识点和题型归纳
●高考明方向了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.★备考知考情定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.一、知识梳理《名师一号》P13知识点一常见基本初等函数的定义域注意：1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域均为R(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)(6)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为{|,,}2∈≠+∈x x R x k k Z ππ如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．知识点二 基本初等函数的值域注意：(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a} (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0} (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .（补充）三角函数中正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R《名师一号》P15知识点二 函数的最值注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3函数最值与函数值域有何关系？函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．1、温故知新P11 知识辨析1（2） 函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）答案：正确2、温故知新P11 第4题函数(]()1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C (].2,0-D答案：D注意：牢记基本函数的值域3、温故知新P11 第6题函数()=y f x 的值域是[]1,3，则函数()()123=-+F x f x 的值域是（ ）[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D答案：A注意：图像左右平移没有改变函数的值域二、例题分析：（一)函数的定义域1．据解析式求定义域例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1(2014·山东) 函数()=f x 为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，12∪[2，＋∞)解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0， 即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12. 所以函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1） 函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1） 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．函数的定义域一定要用集合或区间表示例2. (补充)若函数2()lg(21)f x ax x =++的定义域为R则实数a 的取值范围是 ；答案：()1,+∞变式：2()lg(21)=++f x ax ax ?练习：(补充)若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R 则实数k 的取值范围是 ；答案：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．求复合函数的定义域例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）(2015·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则函数y ＝f (2x )－ln(x －1)的定义域为( )A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,8]D ．(1,8]解析：由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]． 则使函数y ＝f (2x )－ln(x －1)有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤2x ≤4，x －1>0，解得1<x ≤2，所以定义域为(1,2]．例3. （2）《名师一号》P13 对点自测2已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f (f (x ))的定义域是( )A ．{x |x ≠－1}B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2}解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠－1，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2） （P13 问题探究 问题1 类型二）已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域， 是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．例4．(补充)已知2(1)f x +的定义域是[]0,1，求()f x 的定义域。
函数定义域 函数值域高一数学知识点总结
函数定义域函数值域高一数学知识点总结函数定义域函数值域高一数学知识点总结「篇一」一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的.定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R。
②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。
③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。
④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。
⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。
⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。
3. 求函数值域(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;(3)、判别式法：(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。
函数的定义域和值域知识点总结
函数的定义域和值域知识点总结1.函数的定义域：2.函数的值域：函数的值域是指函数的所有可能输出的集合，也就是因变量的取值范围。
值域是函数输出的范围，表示函数的所有可能结果。
3.定义域的确定方法：在定义一个函数时，常常需要确定函数的定义域。
一般来说，常见的函数的定义域有以下几种确定方法：-首先，需要考虑自变量存在的实值范围。
对于多项式函数和有理函数而言，一般情况下定义域为实数集。
-其次，需要考虑函数中出现开方运算、对数运算、分式运算等，这些运算存在定义范围的限制。
-最后，需要考虑函数中的分母是否为零。
当分母为零时，函数的定义域将受到限制。
4.常见函数的定义域和值域：-多项式函数的定义域为实数集，值域也是实数集。
-幂函数的定义域和值域根据指数的奇偶性来确定，如果指数为偶数，定义域为非负实数集，值域为非负实数集；如果指数为奇数，定义域和值域为实数集。
-指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
-三角函数的定义域为实数集，值域在[-1,1]之间。
5.确定函数的定义域和值域的方法：-对于一次函数、二次函数和绝对值函数，可以直接通过函数的图像来确定定义域和值域。
-对于有更复杂形式的函数，可以通过对函数进行分析，将函数表达式中存在定义域限制的部分找出来，确定函数的定义域。
-对于一些特殊的函数，可以通过函数性质和运算性质推断其定义域和值域。
-同时，也可以通过计算等式的解或者不等式的解来确定定义域和值域。
总结起来，函数的定义域和值域是数学中对于函数输入和输出范围的描述，了解它们对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
确定函数的定义域和值域需要考虑函数中各个运算的定义范围，分析函数表达式的性质和图像，并可以利用计算等式和不等式的解来确定。
函数的定义域和值域的确定对于函数的应用具有重要的指导意义。
高二函数定义域和值域知识点总结
高二函数定义域和值域知识点总结函数是数学中的重要概念，研究函数的定义域和值域是学习函数的基础知识。
在高二数学学习中，我们首先需要了解函数及其定义域和值域的概念，然后学习如何确定函数的定义域和值域。
下面是对高二函数定义域和值域知识点的总结。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到唯一的输出值。
用符号表示，函数一般记作"f(x)"，其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 定义域的概念函数的定义域是指函数中自变量的所有可能取值的集合。
换句话说，定义域是函数输入的合法范围。
一般情况下，函数的定义域是根据函数的公式或者特性来确定的。
3. 常见函数的定义域- 有理函数的定义域：有理函数是多项式函数和分式函数的组合，其定义域由分式函数的分母确定，分母为0时，函数无定义。
- 幂函数的定义域：幂函数的定义域由指数的取值确定，当底数为正数时，定义域为全体实数；当底数为负数或零时，定义域可能为实数的一个子集。
- 指数函数的定义域：指数函数的定义域为全体实数。
- 对数函数的定义域：对数函数的定义域由实参的取值确定，对数函数的实参必须为正数。
4. 值域的概念函数的值域是指函数所有可能输出的值的集合。
换句话说，值域是函数输出的合法范围。
一般情况下，值域是根据函数的特性和定义域来确定的。
5. 常见函数的值域- 有理函数的值域：对于有理函数，我们可以通过对其进行求导，并找到其极限值来确定其值域。
- 幂函数的值域：当底数为正数，并且指数为无穷大时，幂函数的值域为正实数；当底数为零或者负数，并且指数为奇数时，幂函数的值域为全体实数。
- 指数函数的值域：指数函数的值域为正实数。
- 对数函数的值域：对数函数的值域为全体实数。
6. 确定函数的定义域和值域的方法- 公式法：根据函数的公式，推导出定义域和值域的范围。
- 图像法：通过绘制函数的图像，观察函数的特性，确定定义域和值域。
- 分段讨论法：当函数在不同定义域范围内具有不同的特性时，可以将函数分段讨论，分别确定各个定义域范围内的值域。
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函数定义域的几种求法：
一、已知复杂函数，求f（x）
例1.若函数f(x+1)的定义域是[-2,3]，求f(x)的定义域
例2.若f( )的定义域为[0,3]，求f(x)
f(x)，求复杂函数
的定义域为[1,4]，求函数f(x+2)的定义域
总结：
三、综合一和二，求函数的定义域
例1.若函数f(x+1) 的定义域是[-2,3],求函数f(2x-1)的定义域
四、当定义域为R时，求未知数的取值范围
例1.已知函数y=的定义域为R，求m 的取值范围
y=的定义域为a的取值范围总结：
例2、（-∞，0] 例3、[0,2] 例4、（-∞，1）∪（1，+∞），例5、同例4. 例7、[1，+∞）
函数值域
基本初等函数的定义域和值域
1.一次函数f(x)=k x+b(k≠0)的定义域是R，值域是R
2.反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是(-∞,0)∪(0,+ ∞),值域是(-
∞,0)∪(0,+ ∞)
3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R。
当a>0时，值域是[f(-),+ ∞); 当a<0,时，值域是(-∞,f(-
)]
函数值域的常用方法：
例1．求函数
解：已知≧0所以y=-1的值域为[-1,+ ∞] y=-的值域y=的值域
例4.求函数y=+1的值域例5.求函数y=+1的值域二、配方法
例2、（-∞，0] 例3、[0,2] 例4、（-∞，1）∪（1，+∞）， 例5、同例4. 例7、[1，+∞）
例6．求函数
y=
-4x+5的值域 例7.求函数
y=-6x+10的值域
解：y=-4x+5=(x-2)2+1≧1
所以，函数y=
-4x+5的值域为[1,+∞)
例8.求函数y=
的值域
围来判定
例9．求函数
y=
的值域y +2yx+3y=2
+4x-7(y-2)+2(y-2)x+3y+7=0
Δ≧0，
≧0
-≦y ﹤2(x=2舍去
) 所以函数y=为[-,2）。