中考压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题

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【常考压轴题】平行四边形存在性问题—2023-2024学年八年级数学下册(浙教版) (解析版)

平行四边形存在性问题【知识储备】①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式：类型一几何背景下的平行四边形存在性问题【典题练习】1．（2023•河北二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（）A ．当t ＝3s 时，四边形ABMP 为矩形B ．当t ＝4s 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD ＝PM 时，t ＝3sD ．当CD ＝PM 时，t ＝3s 或5s【分析】根据题意，表示出DP ，BM ，AP 和CM 的长，当四边形ABMP 为矩形时，根据AP ＝BM ，列方程求解即可；当四边形CDPM 为平行四边形，根据DP ＝CM ，列方程求解即可；当CD ＝PM 时，分两种情况：①四边形CDPM 是平行四边形，②四边形CDPM 是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP ＝t cm ，BM ＝t cm ，∵AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴AP ＝（8﹣t ）cm ，CM ＝（6﹣t ）cm ，当四边形ABMP 为矩形时，AP ＝BM ，即8﹣t ＝t ，解得t ＝4，故A 选项不符合题意；当四边形CDPM 为平行四边形，DP ＝CM ，)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若即t＝6﹣t，解得t＝3，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即6﹣t＝t，解得t＝3，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝8﹣t+，又∵BM＝t，∴8﹣t+＝t，解得t＝5，综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．2．（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（）A．B．8C．4或D．或8【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故选：D．3．（2022春•曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或5【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD ＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．4．（2023春•大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝时，四边形AECF是平行四边形．【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE＝OF进而得到关于t的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得OE＝OB﹣BE＝OB﹣t，OF＝2t，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12cm，∴OB＝OD＝6cm，∴OE＝6﹣t，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，∴6﹣t＝2t，∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形，故答案为：2．5．（2023秋•红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．（1）求DQ、PC的代数表达式；（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；（2）根据平行四边形的性质知DQ＝CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；（3）分PQ＝QD、PQ＝PD、QD＝PD三种情况讨论求出t值即可．【解答】解：（1）根据题意，DQ＝（16﹣t）cm，PC＝（21﹣2t）cm；（2）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，∵cm，AH＝BP，∴，∴．当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t cm，QD＝（16﹣t）cm，∵QD2＝PQ2＝t2+122，∴（16﹣t）2＝122+t2，解得．当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+16﹣2t）2，∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，即3t2﹣32t+144＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．6．（2023春•和平区校级月考）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D 运动．（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为cm2．（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解；（2）设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，可得S△DPF＝S△P AB，即可求解；（3）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t ＝24﹣4t时，③当12﹣t＝4t﹣12时，④当12﹣t＝4t﹣24时，⑤当12﹣t＝36﹣4t时，⑥当12﹣t＝4t﹣36时，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠CBP，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∵AB＝BP，∴AB＝BP＝AP，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP＝60°，∴∠ABC＝120°．（2）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△CDF＝•CD＝S▱ABCD，S△PBC＝h2•BC＝S▱ABCD，∴S△PBC＝S△CDF＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S▱ABCD，∴S△P AB+S△PCD＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S△P AB+S△PCD，∴S△DPF＝S△P AB，∵△ABP是等边三角形，∴S△DPF＝S△P AB＝＝3，故答案为：；（3）∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，∵（s），∴0≤t＜12，①当12﹣t＝12﹣4t时，解得：t＝0（不合题意，舍去）；此时当P与A重合，Q与C重合；②当12﹣t＝24﹣4t时，解得：t＝4；③当12﹣t＝4t﹣12时，解得：t＝4.8；④当12﹣t＝4t﹣24时，解得：t＝7.2；⑤当12﹣t＝36﹣4t时，解得：t＝8；⑥当12﹣t＝4t﹣36时，解得：t＝9.6；综上所述：t为4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；【典题练习】7．（2022春•西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；故答案为：（4，0）或（﹣2，0）或（2，2）．8．（2018春•大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；（3）分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标．【解答】解：（1）如图，△A11C1为所作；（2如图，△A2B2C2为所作；（3）满足条件的点D的坐标为（2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．9．（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；（3）分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；（3）存在，∵D点在直线AB上，设D（a，a+6），∵BC平分∠ABO，∴CD＝OC，即＝3，解得a＝﹣，∴D（﹣，），设直线DE的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4，∴E（0，﹣4），设点P的坐标为（m，n），①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，∵O（0，0），C（﹣3，0），E（0，﹣4），∴P（﹣3，﹣4）；②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P'（3，﹣4）；③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P''（﹣3，4）；综上所述，符合条件的P点坐标为（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。

2020年中考数学压轴题训练平行四边形的存在性问题

2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题针对训练1、如图已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 顶点为P .若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标2、如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标3、将抛物线c1:y=23x 3-+沿x 轴翻折，得到抛物线c2如图所⽰现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ：将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D E 在平移过程中，是否存在以点A 、N 、F,M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理⽈如图，4、抛物线y=25x bx c 4-++与y 轴交于点A （0,1），过点A 的直线与抛物线交于为⼀点B （3.2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂⾜为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的⼀动点，过点P作PN⊥x轴交直线AB于点M，交抛物线于点N设OP的长度为m，连结CM、BN，当m 为何值时，四边形BCMN为平⾏四边形？5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C 开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中⼀点到达终点时，另⼀点也随之停⽌运动，设运动的时间为t秒（t≥0）（1）直接⽤含t的代数式分别表⽰：QB= ，PD=（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某⼀时刻为菱形，求点Q的速度6、如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,3），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴上的⼀动点，且满⾜O=2x，连结DE，以DE、DA为边作平⾏匹边形DEFA（1）如果平⾏四边形DEFA为矩形，求m的值（2）如果平⾏四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值真题演练7、（18衢州24）如图，Rt△OAB的直⾓边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6,8），直线CD 交AB 于点D （6，3），交x 轴于点C （12,0）（1）求直线CD 的函数表达式；（2）动点P 在x 轴上从点（-10,0）出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正⽅向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为⼀边，O 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是菱形？并求出此时t 的值8、（19连云港26）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线L1：y=x 2+bx+c 过点C （0，-3），与抛物线L2：y=213222x x --+的⼀个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L1，L2上的动点（1）求抛物线L1的函数表达式（2）若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平⾏四边形，求点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L1上另⼀个动点，且CA 平分∠PCR 若OQ ∥PR ，求点Q 的坐标9、（19南充25）抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1,0）、点B （-3,0）与y 轴交于点C ，且OB=OC （如图所⽰）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上有两点M 、N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M 、N 之间的动点，过点D 作y 轴的平⾏线交MN 于点①求DE 的最⼤值②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？10（17泰安28）如图是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线，其中对称轴为x=1，与x轴的⼀个交点为A（-1,0），另⼀个交点为B，与y轴的交点为C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上⼀点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上⼀点，点Q是⼀次函数y=2x+2的图象上⼀点，若四边形OAPQ 为平⾏四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由模拟训练11、（2018年长沙市中考模拟（三）第26题）如图，已知抛物线y=x2-2x+a（a<0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=2x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线M相交于点N.（1）试⽤含a的代数式分别表⽰点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x 轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的⾯积；（3）在抛物线y=x2-2x+a上是否存在⼀点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平⾏四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由12、（2019年内蒙古准格尔旗中考模拟第24题）如图所⽰，已知抛物线y=-x2+bx+c与⼀直线相交于A（-1,0）、C（2,3）两点，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意⼀点，过点E 作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶4O点的四边形能否为平⾏四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由（3）若P是抛物线上位于直线AC上⽅的⼀个动点，直接写出△APC的⾯积的最⼤值及此时点P的坐标专题预测13、如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形1BC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3.33）。

二次函数背景下的平行四边形存在性问题解题策略

133美眉 2022.09下教研与美育教学研究二次函数背景下的平行四边形存在性问题解题策略杨柳(遵义市第一初级中学，贵州遵义 563000)二次函数背景下的存在性问题一直都是中考数学里高频率题型。

这类试题的综合性较强,对分析问题和解决问题的能力要求较高,是中考数学中的重点和难点问题。

平行四边形存在性问题是典型题型,也是讨论特殊平行四边形的存在性问题的基础。

它将分类讨论思想、数形结合思想、方程思想,以及平行四边形的性质和判定方法相结合,需要综合分析后解决问题。

利用平行四边形的判定方法进行判断,此类问题的解题方法有两种：一是几何法，二是代数法。

一、平行四边形存在性问题之几何法：根据题目背景找到图形的特点,确定等量关系求解（一）解题步骤：1.分类；2.画图；3.找到等量关系求解。

（二）分类：三定一动、两定两动A、两定两动B、两定两动C。

（三）解题分析：1.三定一动类问题：【类型分析】三个定点的坐标是确定的；一个动点的坐标不确定。

【解题策略】①命名分类；②分类画出图形；③利用平移法求出动点的坐标。

【例题解析】如图,抛物线,经过点A （﹣3,0）、B （1,0）、C（0,3）。

在抛物线所在的平面内,是否存在点D,使得以A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形,求出点D 的坐标。

解：由题意可得：A（﹣3,0）、B（1,0）、C（0,3）①平行四边形ADBC,如图1；摘要：二次函数背景下的平行四边形存在性问题是中考数学中综合性较强的考题，本文针对这类问题解题策略从几何法和代数法两个方面进行了介绍，通过类型分析、解题策略、例题详解等几个方面，帮助学生解决难点问题。

关键词：二次函数；平行四边形；存在性134教研与美育美眉 2022.09下教学研究点C（0,3）——点B（1,0）,点A（﹣3,0）——点D （-2,-3）②平行四边形ABDC,如图2：点A（﹣3,0）——点B（1,0）,点C（0,3）——点D（4,3）③平行四边形ABCD,如图3；点B（1,0）——点A（﹣3,0）,点C（0,3）——点D（-4,3）综上所述,点D（-2,-3）、（4,3）、（-4,3）时,以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形。

中考数学压轴题专题-二次函数与平行四边形存在性问题

专题6二次函数与平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1.平面直角坐标系中，点A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++.2.平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A C B D x x x x +=+，A CB D y y y y +=+. 3.已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内找到一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2021•赤峰）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣3，0）、B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，对称轴l 与x 轴交于点F ，直线m ∥AC ，点E 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点E 作EH ⊥m ，垂足为H ，交AC 于点G ，连接AE 、EC 、CH 、AH ．（1）抛物线的解析式为；（2）当四边形AHCE 面积最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF ，点P 是x 轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以F 、E 、P 、Q 为顶点，以EF 为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【例2】（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2021•梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．【例4】（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【例5】（2021•海南）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；（3）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，△BDE的面积等于；②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．1．（2021•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线与直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•平顶山二模）如图，已知二次函数y=−38x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y=34x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB ＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是92时，求△ABD的面积；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2020•东莞市校级一模）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C （0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x 轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．【题组二】5．（2020•雁塔区校级二模）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L 关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．（1）求抛物线L和L′的表达式；（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2020•碑林区校级三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a＞0）与x 轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线L的对称轴．（2）抛物线L：y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．（3）在（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．8．（2020•泰安二模）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【题组三】9．（2021•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y 轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．10．（2020•烟台模拟）如图，抛物线y＝ax2+43x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC．点P是x轴上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD＝BE时，求AD+AE的最小值；（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．11．（2020•龙城区一模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；（3）连结AD、CD，求cos∠ADC的值；（4）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2020•长沙模拟）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点D为该二次函数图象顶点．（1）求该二次函数解析式，及D点坐标；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P 的坐标；＝S△AOC，点E为直线AM上一动点，在x轴上是（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMC否存在点F，使以点F、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．【题组四】13．（2020•东莞市一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2021•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E 三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．15．（2020•郑州一模）如图，直线y=−23x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+103x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．16.（2021•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．【题组五】17．（2020•东营区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．18．（2020•唐山二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．19．（2020•安定区校级三模）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，−5）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，则点P的坐标为（2，−32）；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2020•高州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题组五】21.（2021•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．22．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y 轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．（1）如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．（2）如图2，若b＝﹣2，B B=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2021•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．【题组七】25．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB 交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．26．（2021•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021•武汉）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．28．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c ≤2x2﹣8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考数学解答题压轴题突破重难点突破七二次函数综合题类型四：二次函数与特殊四边形问题

解：存在．令x＝0，代入y＝－x2＋6x－5，得y＝－5， ∴点C的坐标为(0，－5)．
Ⅰ)如答图①，连接AC，分别过点A，B作对边的平行线交于点F. 在▱ ACBF中，∵C(0，－5)向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到A(1，0)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(6，5)；
解：设点Q的坐标为(a，b)，过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM 于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K， ∴△BMQ≌△QNF≌△EKB， ∴NF＝KB＝MQ＝|a＋2|，QN＝EK＝BM＝|b|， ∴点F的坐标为 (a－b，a＋b＋2)，点E的坐标为 (－2－b，a＋2)，
Ⅱ)如答图②，分别过点A，C作BC，AB的平行线交于点 F，在▱ ABCF中，∵B(5，0)向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴A(1，0)按照相同的平移方式得到F(－4，－5)；
Ⅲ)如答图③，连接AC，分别过点B，C作对边的平行线交于点F.在▱ ACFB中，∵A(1，0)向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(4，－5)；综上所述，满足条件的点F分别为(6，5)，(－4，－5)或 (4，－5)．
(1)求抛物线的函数解析式； (2)把抛物线 y＝x2＋bx＋c 平移，使得新抛物线的顶点为点 P(2，－4)．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 的坐标，并把求其中一个点 M 的坐标的过程写出来．
解：(1)该抛物线的函数解析式为y＝x2－72x－1. (2)满足条件的点M的坐标为 (2，－4)，(6，12)，(－2，12)．由题意可知，平移后抛物线的函数解析式为 y＝x2－4x，对称轴为直线x＝2，如答图．

二次函数中考压轴题四边形的存在性问题解析

二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选【例1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．【答案】解：（1）当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3。

∵点A 在点B 的左侧，∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。

当x=0时，y=3。

∴C 点的坐标为（0，3）。

设直线AC 的解析式为y=k 1x+b 1（k 1≠0），则111b =3k +b =0⎧⎨-⎩，解得11k =3b =3⎧⎨⎩。

∴直线AC 的解析式为y=3x+3。

∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4）。

（2）抛物线上有三个这样的点Q 。

如图，①当点Q 在Q 1位置时，Q 1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q 1的坐标为（2，3）；②当点Q 在点Q 2位置时，点Q 2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q 2坐标为（1+7，﹣3）；③当点Q 在Q 3位置时，点Q 3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q 3的坐标为（1﹣7，﹣3）。

综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+7，﹣3），Q 3（1﹣7，﹣3）。

（3）点B 作BB′⊥AC 于点F ，使B′F=BF ，则B′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求。

过点B′作B′E ⊥x 轴于点E 。

平行四边形存在性问题的解题策略

平行四边形存在性问题的解题策略
平行四边形存在性问题是一个常见的几何问题，即给定4条线段，判断它们是否可以构成一个平行四边形。

虽然这个问题看起来很简单，但是解决起来却并不容易。

解决平行四边形存在性问题的第一步是要判断这四条线段是否为平行线段。

根据对称性，可以把这四条线段分成两组，分别是AB和CD，那么AB两条线段是否平行，与CD两条线段是否平行，就可以用一般平行线段的性质来判断，即两条平行线段之间的角度是180°。

若AB和CD两组线段都是平行线段，则说明这四条线段可能构成平行四边形，接下来就要判断对角线的关系。

可以用向量的性质来判断，即对角线的夹角是90°，判断时要将AB和CD两组线段的终点向量相加，若其夹角为90°，则说明这四条线段可以构成平行四边形。

另外，若AB两条线段不是平行线段，则这四条线段一定不能构成平行四边形。

因为平行四边形的4条边都是平行线段，而AB两条线段不是平行线段，则说明这四条线段不可能构成平行四边形。

总之，解决平行四边形存在性问题的关键是要判断四条线段之间的关系，即AB两条线段是否平行，以及AB两条线段的终点向量之和的夹角是否为90°。

只有当这两个条件都满足时，这四条线段才能构成平行四边形。

2024年九年级中考数学专题复习训练平行四边形的存在性问题

1.如图,已知抛物线y=x22x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C，顶点为P.若以A、
C、P、M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
2.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.
4.如图,抛物线y= 54x 2+bx+c 与y 轴交于点A(0，1),过点A 的直线与抛物线交于另一点B （3，5
2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，设OP 的长度为m.连接CM 、BN,当m 为何值时,四边形BCMN 为平行四边形?
9.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0,3),顶点D的坐标为(1,4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在y轴上找一点E,使得△EAC为等腰三角形,请直接写出点E的坐标
(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形?若存在，请求出点P、Q 的坐标;若不存在，请说明理由.。

平行四边形的存在性问题解题策略

平行四边形的存在性问题解题策略专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1 【解析】P、A、C三点是确定的，过△P AC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33右，上D1(2, 7)．由于C(0, 3)33下，左D2(－4, 1)．下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33由于P(－1, 4)11右，下D3(－2, －1)．右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (4-和C ′(4+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (-和D ′-．图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以a=P(1．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA NDMD NP=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么GQ KAGA KP=．图5-2 图5-3例❻如图6-1，将抛物线c1：2y=x轴翻折，得到抛物线c2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4例❼ 如图7-1，菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，E 、H 分别是AB 、CD 的中点，E 、G 分别在AD 、BC 上，且AE ＝CG ．（1）求证四边形EFGH 是平行四边形；（2）当四边形EFGH 是矩形时，求AE 的长；（3）当四边形EFGH 是菱形时，求AE 的长．图7-1【解析】（1）证明三角形全等得EF ＝GH 和FG ＝HE 大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH 的对角线FH ＝4是确定的，当EG ＝FH ＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH 为直径画圆，你看看，这个圆与AD 有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD ＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）如果平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEF A为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEF A．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4 您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。

平行四边形的存在性问题的处理方法

平行四边形的存在性问题的处理一、问题说明关于此类问题，其实已经不是考试的主流了，但是作业及期末考试偶有出现，同学们又不会进行处理，所以简单将解题思路讲解一下，同学们可以自己看看。

二、解题方法总结平行四边形的存在性问题中，已知两点，求双动点的存在性问题是比较经典的。

以这个问题为切入点，讲讲解决这类问题需要克服的两个难点：（1）分类的处理（如何找到所有存在的可能性）（2）计算技巧的处理（平移法）三、问题的演绎例1，（已知三点求一点）如图在坐标平面内再找一点D，使得点A,点B，点C,点D组成平行四边形。

（一）分类处理任意连接两个已知点，例如选择连接AC，对线段AC进行分类讨论（1）若AC是平行四边形的边，则BD一定会和AC平行，且长度等于AC，所以点D在点B的右上方或左下方（如下图）(3,0)(1,1)C1C2(3,0)C（2）若AC是平行四边形的对角线，则BD和AC相互平分，则点D位置如图综上所述存在3个点D满足要求（二）计算技巧的处理平行四边形的计算方法很多，从平移的角度去处理是非常简单的以D1为例：如红色箭头标注方向为例：∵点C(0,-1)往右平移1个单位往上平移2个单位得点A(1,1)∴点D1的坐标是点B以同样的方式平移得到，点D坐标为（4，2）同样类似的方法得到点D2的坐标为（2，-2）D3的坐标为（-2，0）D 3(3,0)2D 31例2，已知二次函数322--=x x y 上两点A（-1，0），C（2，-3），点M在X轴上运动，点N在抛物线上运动，求出所有的点M的坐标。

使得点A ，C,M,N组成平行四边形。

、解题分析：已知点A,点C，所以只需要对AC进行分类讨论，点M在X轴上运动，所以设成（a，0），点N通过点M平移得到，然后代入二次函数解析式求解即可。

设点M的坐标为（a,0）（1）若AC是边，则点N在M的左上方或者右下方当点N在左上方时，点N的坐标（a-3,3）将点N（a-3,3）代入322--=x x y 中解得724±=a 当点N在右上方时，点N的坐标（a+3,-3）将点N（a+3,-3）代入322--=x x y 中解得3-=a 或1-=a （舍）(2)若AC是对角线时，则点N的坐标为（1-a,-3）将点N（1-a,-3）代入322--=x x y 中解得1=a 或1-=a （舍）四、问题的拓展双动点的载体，可以是坐标轴，二次函数。

中点坐标法解决二次函数中平行四边形存在性问题

图2 图3图1另辟蹊径解决二次函数中平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点,其图形复杂,知识覆盖面广,综合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题,常规解法是先画出平行四边形,再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图,若考虑不周,很容易漏解．为此,笔者另辟蹊径,借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题．1 两个结论,解题的切入点数学课标,现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式,也没有平行四边形的顶点坐标公式,我们可帮助学生来探究,这可作为解题的切入点;线段中点坐标公式平面直角坐标系中,点A 坐标为x 1,y 1,点B 坐标为x 2,y 2,则线段AB 的中点坐标为221x x +,221y y +. 证明：如图1,设AB 中点P 的坐标为x P ,y P .由x P -x 1=x 2-x P ,得x P =221x x +,同理y P =221y y +,所以线段AB 的中点坐标为221x x +,221y y +. 平行四边形顶点坐标公式□ABCD 的顶点坐标分别为Ax A ,y A 、Bx B ,y B 、Cx C ,y C 、Dx D ,y D ,则：x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 证明：如图2,连接AC 、BD ,相交于点E ． ∵点E 为AC 的中点,∴E 点坐标为2C A x x +,2C A y y +. 又∵点E 为BD 的中点,∴E 点坐标为2D B x x +,2D B y y +. ∴x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D .即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．2 一个基本事实,解题的预备知识如图3,已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ,在平面内另找一个点D ,使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB 为对角线的□ACBD 1,以AC 为对角线的□ABCD 2,以BC 为对角线的□ABD 3C ．3 两类存在性问题解题策略例析与反思三个定点、一个动点,探究平行四边形的存在性问题例1 已知抛物线y=x 2-2x+aa ＜0与y 轴相交于点A ,顶点为M .直线y=21x-a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点,并且与直线AM 相交于点N .1填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标,则M , N ；2如图4,将△NAC 沿y 轴翻折,若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上,AN ′与x 轴交于点D ,连接CD ,求a 的值和四边形ADCN 的面积；图4图53在抛物线y=x 2-2x+aa ＜0上是否存在一点P ,使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形若存在,求出点P 的坐标；若不存在,试说明理由.解：1M 1,a-1,N a 34,-a 31；2a=-49；S 四边形ADCN =16189； 3由已知条件易得A 0,a 、C 0,-a 、Na 34,-a 31.设Pm ,m 2-2m +a . ①当以AC 为对角线时,由平行四边形顶点坐标公式解题时熟练推导出,得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+a m m a a a m a 23134002,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==81525a m . ∴P 125,-85； ②当以AN 为对角线时,得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+a m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==81525a m 不合题意,舍去. ③当以CN 为对角线时,得: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=--+=+a m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=8321a m . ∴P 2-21,87. ∴在抛物线上存在点P 125,-85和P 2-21,87,使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形.反思：已知三个定点的坐标,可设出抛物线上第四个顶点的坐标,运用平行四边形顶点坐标公式列方程组求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚,往往要以这三条线段分别为对角线分类,分三种情况讨论.两个定点、两个动点,探究平行四边形存在性问题例2 如图5,在平面直角坐标系中,抛物线A-1,0,B 3,0,C 0,-1三点.1求该抛物线的表达式；2点Q 在y 轴上,点P 在抛物线上,要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P 的坐标.解：1易求抛物线的表达式为y=132312--x x ； 2由题意知点Q 在y 轴上,设点Q 坐标为0,t ；点P 在抛物线上,设点P 坐标为m ,132312--m m . 尽管点Q 在y 轴上,也是个动点,但可理解成一个定点,这样就转化为三定一动了．①当以AQ 为对角线时,由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m ,∴m=-4,∴P 1-4,7；图6 ②当以BQ 为对角线时,得：-1+m=3+0,∴m=4,∴P 24,35； ③当以AB 为对角线时,得：-1+3=m+0,∴m=2,∴P 32,-1.综上,满足条件的点P 为P 1-4,7、P 24,35、P 32,-1. 反思：这种题型往往特殊,一个动点在抛物线上,另一个动点在x 轴y 轴或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标,另一个动点若在x 轴上,纵坐标为0,则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y 轴上,横坐标为0,则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q 的纵坐标t 没有用上,可以不设．另外,把在定直线上的动点看成一个定点,这样就转化为三定一动了,分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类,分三种情况讨论.例3 如图6,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A-4,0,B 0,-4,C 2,0三点．1求抛物线的解析式；2若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值；3若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y =-x 上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标．解：1易求抛物线的解析式为y=21x 2+x-4； 2s=-m 2-4m-4<m <0；s 最大=4过程略； 3尽管是直接写出点Q 的坐标,这里也写出过程．由题意知O 0,0、B 0,-4.由于点Q 是直线y=-x 上的动点,设Qs ,-s ,把Q 看做定点；设Pm ,21m 2+m -4. ①当以OQ 为对角线时,∴s=-252 .∴Q 1-2+52,2-52,Q 2-2-52,2+52；②当以BQ 为对角线时,∴s 1=-4,s 2=0舍.∴Q 3-4,4；③当以OB 为对角线时,∴s 1=4,s 2=0舍.∴Q 44,-4.综上,满足条件的点Q 为Q 1-2+52,2-52、Q 2-2-52,2+52、Q 3-4,4、Q 44,-4.反思：该题中的点Q 是直线y =-x 上的动点,设动点Q 的坐标为s ,-s ,把Q 看做定点,就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.4 问题总结这种题型,关键是合理有序分类：无论是三定一动,还是两定两动,统统把抛物线上的动点作为第四个动点,其余三个作为定点,分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类,分三种情况讨论,然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程组．这种解法,不必画出平行四边形草图,只要合理分类,有序组合,从对角线入手不会漏解,条理清楚,而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题,体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.。

利用中点法解决平行四边形存在性问题

利用中点法解决平行四边形存在性问题平行四边形作为特殊的四边形,一直是中考试题中的主角。

尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高。

此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质；考查识图作图、运算求解、数学表达等能力；数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想。

学生在处理问题的时候,往往不能正确分类，导致漏解。

此外,在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算,学生顺利完成的难度就更大。

如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线互相平分，即对角线的中点互相重合，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径，简称“中点法”。

不需画图证明，跨越了复杂的推理过程和艰难的探索发现以及证明过程，学生的思路清晰明了。

一、已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点。

此类题是解决平行四边形存在性问题的基础题。

由于有三个点A、B、C已经确定，在作图时，一般会分别选择AB、AC、BC为对角线来进行画图，根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称来解决问题。

具体求解方法是利用平行四边形的对角线互相平分，即对角线的中点互相重合。

如果平行四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（, ）、B（，）、C（, ）、D（, ），则,，化简为,。

即平行四边形每条对角线上两个顶点的横坐标之和相等,纵坐标之和也相等。

简称“中点法”。

例：如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点．若平面内有一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．图1解：先求出三个点坐标，A(-2,0)、B(4,0)、C(0，-4），再分别以三边为平行四边形对角线构造平行四边形，如图答-1：①以为对角线，,；同理=4，所以；②以为对角线，；③以为对角线，.综上所述，的坐标为.二、已知两个定点，另外两个点一般在抛物线上或抛物线对称轴上或x轴上或y轴上。

巧解二次函数中平行四边形存在性问题

巧解二次函数中平行四边形存在性问题近年来，二次函数中平行四边形存在性问题一直是中考的热点问题。

这类题目需要学生综合运用多种知识和技能，因此对于学生的分析和解决问题的能力要求很高。

常规的解题方法是先画出平行四边形，然后利用“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决问题。

但是，如果考虑不周，很容易漏解。

为了解决这一问题，可以借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这类题。

在数学课标和现行初中数学教材中，没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式。

因此，我们可以帮助学生探究这些公式，将其作为解题的切入点。

线段的中点坐标公式可以通过平面直角坐标系中的点A和点B的坐标来计算。

具体来说，如果点A的坐标是(x1,y1)，点B的坐标是(x2,y2)，那么线段AB的中点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。

这个公式可以通过图示来证明。

平行四边形顶点坐标公式可以通过平行四边形的对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等来计算。

具体来说，如果平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，那么xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD。

这个公式可以通过图示来证明。

在解决平行四边形存在性问题时，可以先确定三个定点A、B、C，然后再找一个动点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。

根据不同的情况，可以得到不同的答案。

这个方法可以帮助学生更好地理解平行四边形的存在性问题，提高他们的解题能力。

例1已知抛物线$y=x^2-2x+a(a<0)$与$y$轴相交于点A，顶点为M。

直线$y=\frac{1}{x-a}$分别与$x$轴、$y$轴相交于$B$、$C$两点，并且与直线$AM$相交于点N。

1) 填空：试用含$a$的代数式分别表示点$M$与$N$的坐标，则$M(1,a-1)$，$N(a,-a)$；2) 如图4，将△$NAC$沿$y$轴翻折，若点$N$的对应点$N′$恰好落在抛物线上，$AN′$与$x$轴交于点$D$，连接$CD$，求$a$的值和四边形$ADCN$的面积；3) 在抛物线$y=x^2-2x+a(a<0)$上是否存在一点$P$，使得以$P$、$A$、$C$、$N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，试说明理由。

二次函数之平行四边形存在性问题攻略

二次函数之平行四边形存在性问题攻略二次函数综合题是全国各省市每年必考的中考题型，与二次函数有关的存在性问题更是必考题型。

本文就以平行四边形的存在性为例，谈谈研究这类题型的基本思路和解题技巧。

在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题：（1）已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（下文出现时简称“三定一动”）；（2）已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（下文出现时简称“两定两动”）；平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序；由于定序较为简单，所以笔者就不再举例说明。

学生在拿到这类题型时常常无从下笔，比较典型的两种错误：一是确定动点位置时出现遗漏，而是在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解。

实际上，这类题型的解法是有章可循的，就是要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。

一、基本思路：（1）分清题型（属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同）；（2）分类讨论且作图（利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置）；（3）利用几何特征计算（不同的几何存在性要用不同的解题技巧）。

可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”。

二、平行四边形题型攻略：（1）如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点；这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点；（2）如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。

三、平行四边形解题技巧：（1）若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解；（2）若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决；（3）灵活运用平行四边形的中心对称的性质，也可使问题变得简单.例1：如1：已知抛物线223y x x=--+与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P.若以A、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形,求点M 的坐标.图1 图2 解题思路：“三步曲”①“分清题型”：根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题中“三定一动”题型；②“分类讨论且作图”：分析定点、动点，挖掘不变特征；A 、C 、P 为定点，M 为坐标平面内一动点动点，确定位置的方法是：将以三个定点为顶点画APC ∆，每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生的交点位置就是M 点；③“利用几何特征计算”分析几何特征建等式求解点M 坐标。

中考数学复习指导：直角坐标系中平行四边形存在性问题

直角坐标系中平行四边形存在性问题解决平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题，既要考虑多种平移情况，又要进行画图分析，对于学生难以掌握.笔者通过探究，发现有更简洁的方法，供大家参考. 预备知识1 若在平面直角坐标系中，12(,0),(,0)A x B x ，则AB 的中点为12(,0)2x x +. 预备知识2 若在平面直角坐标系中，1122(,),(,)A x y B x y ，则AB 的中点为1212(,)22x x y y ++. 由此可知，若ABCD 是平行四边形，则AC 与BD 的中点为同一点，所以，若在平面直角坐标系中，ABCD 是平行四边形，且1122(,),(,)A x y B x y ，3344(,),(,)C x y D x y ,则有132422x x x x ++= ∴ 1324x x x x +=+ 132422y y y y ++= 1324y y y y +=+. 由此可得结论:平行四边形每条对角线的两个顶点的横坐标之和与纵坐标之和分别相等.根据这个结论就可简洁地解决平面直角坐标系中平行四边形存在性问题.例1 已知平面直角坐标系内三点(2,1),(3,1),(2,2)A B C −−，在平面内求一点D ,使A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，写出点D 的坐标.解设(,)D x y ，分三种情况:(1)若AB 为对角线，则根据平行四边形每条对角线的两个顶点的横(纵)坐标之和分别相等，可得 232x +=−+ , 解得 7x = ,1(1)2y +−=+ , 2y =− .(7,2)D ∴−(2)若AC 为对角线，则有 223x −=− , 解得 3x =−, 121y +=−+, 4y =. (3,4)D ∴−.(3)若AD 为对角线，则有 232x +=− , 解得 1x =−,112y +=−+ , 0y =.(1,0)D ∴−综上所述，满足条件的点D 有三个，坐标分别为: 1(7,2)D −,2(3,4)D −,3(1,0)D −. 方法归纳若在平面直角坐标系中，已知一个四边形为平行四边形，则只要把四个顶点的坐标写出来(可以有两个未知数)，再根据“平行四边形每条对角线的两个顶点的横(纵)坐标之和分别相等”，可以列出两个等式，组成方程组，从而把问题转化为解方程组，不需要画图分析，也不需要分动点的个数讨论例2 如图1，在坐标系xoy 中，ABC ∆是等腰直角三角形，90BAC ∠=°，(1,0)A ，(0,2)B ，抛物线2122y x bx =+−过点C . (1)求抛物线的解析式;(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l ,当移到何处时，恰好将ABC ∆的面积二等分; (3)点P 是抛物线上一动点，问是否存在点P ，使四边形PACB 为平行四边形?若存在，求出P 点的坐标;若不存在，请说明理由.图1解 (1),(2)略;(3)由(1)可求得抛物线的解析式为: 211222y x x =−−，故可设211(,2)22P x x x −−. 因为(1,0)A ，(0,2)B ，(3,1)C ，且四边形PACB 为平行四边形，∴310x +=+ ,211210222x x −−+=+ . 解得2x =−,得(2,1)P −.故存在(2,1)P −，使四边形PACB 为平行四边形.例3 如图2，矩形OABC 在平面直角坐标系xoy 中，点A 在x 轴的正半轴上，C 在y 轴的正半轴上，OA =4, OC =3.若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O 、A 两点，直线AC 交抛物线于点D .(1)求抛物线的解析式; (2)求点D 的坐标;(3)若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，问是否存在以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出N 点的坐标;若不存在，请说明理由.图2解 (1),(2)略;(3)由(1)知2334y x x =−+;由(2)知点D 的坐标9(1,)4. 设23(,3)4M m m m −+,(,0)N n . (4,0)A ∵,9(1,)4D ,所以当AD 为对角线时:41m n +=+, 解得 1m =, (舍去) 3m =，29300344m m +=−+. 4n =; 2n =.当AM 为对角线时: 41m n +=+ , 解得 1m =, (舍去) 3m =,23930044m m −++=+. 4n =; 6n =. 当AN 为对角线时: 41n m +=+ , 得 2m =舍去)2m =23900344m m +=−++. 1n =− n =−.所以，N 点的坐标为(2,0),或(6,0),或(1,0),或1,0)−. 例4 如图3，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2211()44y x m m m =−−+的顶点为A , 与y 轴的交点为B .连结AB ，作AC AB ⊥,AC 交y 轴于点C ,延长CA 到点D ，使AD AC =;连结BD ，作AE //x 轴，DE //y 轴，AE ,DE 交于E .图3(1)当2m =时，求点B 的坐标; (2)求ED 的长;(3)①设D 的坐标(,)x y ，求y 关于x 的函数解析式;②过点D 作AB 的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P ,当m 为何值时，以A 、B 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形? 解 (1),(2)略; (3)①略;②由已知，顶点A 的坐标为21(,)4m m m −+，与y 轴交点B 的坐标为(0,)B m .由(3)①知21(2,4)4D m m m −++, y ∴与x 的函数解析式为2114162y x x =−++,故可设211(,4)162P x x x −++.因为PD //AB ，所以以A 、B 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形有两种情况:1)AP 为对角线，则 02m x m +=+, 解得 0x =，（舍去） 8x =−， 2144m m m −+++, m=-8； m=0 . 2211144162m m x x =−+−++.2)AD 为对角线，则 20m m x +=+, 解得 0x =,（舍去） 24x =,2114162x x m −+++, m=8; .m=0 2211444m m m m =−++−+.所以当8m =或一8时，以A 、B 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形.。

中考数学复习指导：平行四边形存在性问题的解题模型

平行四边形存在性问题的解题模型平行四边形存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，解题有一定的难度．因此对此类问题建立解题模型，则可以大大降低学生思维难度．模型原理对角线互相平分的四边形是平行四边形．模型工具中点坐标公式：若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则线段AB 的中点为C （122x x +，122y y +）一、模型探究点A 、B 、C 是坐标平面内不在同一直线上的三点．(1)画出以A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形；(2)若A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)、（x 2，y 2）、（x 3，y 3），写出平行四边形第四个顶点D 的坐标．解 (1)过点A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形有三个，如图1．(2)在以BC 为对角线的□CABD 1中，设BC 与AD 1的交点为E ，则有BE ＝CE ，AE ＝AD 1．因为B （x 2，y 2），C(x 3，y 3)，由中点坐标公式，可得E （232x x +，232y y +）设D1（x D ，y D ），则由中点坐标公式，可得AD 1中点E 为模型结论1．以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个．由已知的三点坐标，按对角线分类，利用中点坐标公式，可直接写出第四个顶点的坐标，姑且称此法为“中点坐标法”．2．已知点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点，求点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形．结论①若AB为平行四边形对角线，则D＝A＋B－C；②若AC为平行四边形对角线，则D＝A＋C－B；③若BC为平行四边形对角线，则D＝B＋C－A．说明“D＝A＋B－C”是指D点的横坐标＝A点的横坐标＋B点的横坐标－C点的横坐标；D点的纵坐标＝A点的纵坐标＋B点的纵坐标－C点的纵坐标．二、模型运用1．三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性例1 如图2，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，－3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标．解(1)抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3；(2)易得A（－1，0）、C(0，－3)、N(－3，0)．下面探讨以A、C、N三点为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标．如图3，由平移的性质直接写出第四个顶点的坐标：以CN为对角线，第四个顶点坐标为P1（－2，－3）；以AC为对角线，第四个顶点坐标为P2（2，－3）；以AN为对角线，第四个顶点坐标为P3(－4，3)．将其分别代入抛物线y＝x2－2x－3中检验，其中只有P2（2，－3）在抛物线上．点评本题已知三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移的性质，直接写出第四个顶点的坐标．值得注意的是，若没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑．例2 已知抛物线y＝x2－2x＋a(a<0)与y轴相交于点A，顶点为舱直线y＝12x－a与y轴相交于C点，与直线AM相交于点N．(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M(_______)，N（_______）；(2)如图4，在抛物线y＝x2－2x＋a(a<0)上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？解(1)M（1，a－1），N（43a，－13a）；(2)易得A（0，a）、C(0，－a)、N（43a，－13a）．下面探讨以A、C、N三点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，如图5．若以CN为对角线，第四个顶点为P1（43a，－73a）．代入解析式得a＝－38，即P1（－12，78）；若以AC为对角线，第四个顶点为P2（－43a，13a）．代入解析式得a＝－158，即P2(52，－58)；若以AN为对角线，第四个顶点为P3（43a，53a）．代入解析式得a＝158>0．不合题意，无解，∴所以在抛物线上存在点P1（－12，78）和P2(52，－58)，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．点评本题已知三个定点坐标，虽不是具体数值（含字母a），但依然可以根据模型直接写出第四个顶点的坐标．看上去此法冗长，三种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨．2．两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性例3 如图6，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y 轴的正半轴上，OA ＝4，OC ＝3．若抛物线的顶点在边BC 上，且抛物线经过O 、A 两点，直线AC 交抛物线于点D ，(1)求抛物线的解析式；(2)求点D 的坐标；(3)若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)抛物线的解析式为 2334y x x =-+． (2)点D 的坐标为(1，－94)． (3)存在．假设N 点坐标为(n ，0)，又因为A(4，0)，D(1，94)． ①若AN 为对角线，则点彤的坐标为(n ＋3，－94)，代入抛物线解析式，得n ＝－17所以N 点坐标为（－17，0），或（－17，0）；②若AD 为对角线，则点M 的坐标为（5－n ，94）代入抛物线解析式，得n 1＝2，n 2＝4（舍去），所以N 点坐标为(2，0)；③若DN为对角线，则点M的坐标为（n－3，94）代入抛物线解析式，得n1＝6，n2＝4（舍去），所以N点坐标为(6，0)，综上所述，满足条件的点N有四个：N1(2，0)，N2(6，0)，N3－1，0)，N4(－1，0)．点评对于两个定点、两个动点的问题，我们的思路是，先用一个未知数假设一个相对较简单的动点坐标，然后把这三点看成定点，根据中点坐标模型，用该未知数表示另一个动点的坐标；最后再根据动点应满足的条件，求出榴应点的坐标．三、中点坐标模型的思考中点坐标模型是巧妙利用平行四边形对角线互相平分这一原理，结合中点坐标公式，归纳总结出的一种确定平行四边形顶点坐标的方法，该方法的最大优点是避免了复杂的画图，使得分类讨论变得简单，不会有遗漏．中点坐标模型实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想．这就启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、方程思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才‘能从教材的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想．。

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中考数学压轴题解题策略
平行四边形的存在性问题解题策略
专题攻略
解平行四边形的存在性问题一般分三步：
第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．
如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．
根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．
根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．
例题解析
例?如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线
y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），
与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为
顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．
图1-1 【解析】P、A、C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直
线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．
由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．
右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33
右，上D1(2, 7)．由于A(－3,0)33
由于C(0, 3)33
下，左D2(－4, 1)．
下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33
右，下D3(－2, －1)．由于P(－1, 4)11
右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11
我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．
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