二次函数求一元二次方程的近似解
22.2《二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)
22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点 1 二次函数与一元二次方程1． (柳州中考 )小兰画了一个函数 y ＝ x 2＋ ax ＋ b 的图象如图，则关于 x 的方程 x 2＋ ax ＋b ＝ 0 的解是 (D)A ．无解 C ． x ＝－ 42． (青岛中考 )若抛物线 y ＝x 2－6x ＋m 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 m >9． 3．二次函数 y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程 ax 2＋bx ＋m ＝0 有实数根，则 m 的取 值范围为 m ≤3．4． (1)已知一元二次方程 x 2＋x －2＝0 有两个不相等的实数根，即 x 1＝1，x 2＝－2.求二次函 数 y ＝ x 2＋ x － 2 与 x 轴的交点坐标；(2)若二次函数 y ＝－x 2＋x ＋a 与 x 轴有一个交点，求 a 的值．解： (1) ∵一元二次方程 x 2＋x －2＝ 0 有两个不相等的实数根，即 x 1＝1，x 2＝－2， ∴二次函数 y ＝x 2＋x －2 与 x 轴的交点坐标为 (1，0)，(－ 2，0)． (2)∵二次函数 y ＝－x 2＋x ＋a 与 x 轴有一个交点， 令 y ＝ 0，则－ x 2＋x ＋a ＝0 有两个相等的实数根，1∴1＋4a ＝0，解得 a ＝－ 14.B ． x ＝1D ．x ＝－ 1 或 x ＝4知识点 2 利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5 的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3知识点 3 二次函数与不等式6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y<0时x的取值范围是(C)A．x<－1B．x>2C．－1<x< 2D．x<－1或x>27．画出二次函数y＝x2－2x 的图象．利用图象回答：(1) 方程x2－2x＝0 的解是什么？(2) x 取什么值时，函数值大于0；(3)x 取什么值时，函数值小于0. 解：列表：x－2－101234y830－1038描点并连线：(1) 方程x2－2x＝0 的解是x1＝0，x2＝ 2.x1 1.1y－1－0.491.2 1.3 1.40.040.59 1.16（2）当 x<0或 x>2 时，函数值大于 0. （3） 当 0<x<2 时，函数值小于 0.易错点 1 漏掉函数是一次函数的情况8．（吕梁市文水县期中 ）若函数 y ＝（a －1）x 2－4x ＋2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为－ 1或2或 1.易错点 2 忽视坐标轴包含 x 轴和 y 轴 9．抛物线 y ＝x 2－2x ＋1 与坐标轴的交点个数是 （C ）A ． 0B ．1C ．2D ． 310．已知抛物线 y ＝x 2－（a ＋ 2）x ＋9 的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为 y ＝x 2－6x ＋9或 y ＝x 2＋6x ＋9或 y ＝ x 2＋ 9． 02 中档题11． （牡丹江中考 ）抛物线 y ＝ ax 2＋bx ＋c （a <0）如图所示，则关于 x 的不等式 ax 2＋bx ＋c >012． （大同市期中 ）二次函数 y ＝ （x － 2）2＋ m 的图象如图所示，一次函数 y ＝kx ＋b 的图象经过A （1，0）及点B （4，3），则满足 kx ＋b ≥x （－2）2＋m 的 x 的取值范围是 （A ）13．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为 （－1，0），（2，0），（0，2），则当 y >2 时，自变的解集是 （C ）A ．x <2C ．－ 3< x < 1B ． x >－ 3 D ．x <－ 3 或 x >1该二次函数图象上的点A ． 1 ≤x ≤ 4 C ．x ≥4B ．x ≤1量 x 的取值范围是 (B)1A ．0<x <2B ．0<x <1 1 C.2<x <1 D ．－ 1< x <214． (济南中考 )二次函数 y ＝ x 2＋ bx 的图象如图，对称轴为直线 x ＝1.若关于 x 的一元二次方 程 x 2＋bx －t ＝0(t 为实数 )在－ 1< x < 4的范围内有解，则 t 的取值范围是 (C)下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线 x ＝ 1；③当 x <1 时，函数值 y随 x 的增大而增大；④方程 ax 2＋ bx ＋c ＝ 0 有一个根大于 4.其中正确的结论有 (B)B ． 2 个 D ． 4 个16．( 杭州中考 )把一个足球垂直水平地面向上踢， 时间为 t(秒 )时该足球距离地面的高度 h(米 ) 适用公式 h ＝ 20t － 5t 2(0 ≤t ≤ 4．) (1) 当 t ＝3 时，求足球距离地面的高度； (2) 当足球距离地面的高度为 10 米时，求 t ； (3)若存在实数 t 1，A ．t ≥－1 C ．－ 1≤t < 8D ．3<t <8A ．1个 C ．3 个t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m 的取值范围．解：(1)当t＝3 时，h＝20t－5t2＝20×3－5×9＝15，∴此时足球距离地面的高度为15 米．2(2)当h＝10 时，20t－5t2＝10，即t2－4t＋2＝0，解得t＝2＋2或t＝2－ 2.答：经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10 米．(3) 由题意得t1和t2 是方程20t－5t2＝m(m≥0的) 两个不相等的实数根，则Δ＝202－20m>0.解得m<20.∴m 的取值范围是0≤m<20.03 综合题1 2 117．有这样一个问题：探究函数y＝2x2＋x的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函2x数y＝1x2＋1的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：2x函数y＝1x2＋1的自变量x 的取值范围是x≠0，m 的值为29；2 x 6(2) 在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3) 进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有 1 个交点，所以对应方程21x2＋1＝0 有 1 个实数根；2xx②方程1x2＋1＝2 有 3 个实数根；2x③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：（2）函数图象如图所示.⑶③答案不唯一，女口：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限.。
《利用二次函数求方程的近似根》人教版九年级数学(下册)
B. 3.23 < x < 3.24 D. 3.25 <x< 3.26
2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求
得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．4.4
B．3.4
C．2.4 D D．1.4
3.用图象法求一元二次方程
x2 的x 近1似根0（精确到0.1）.
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个 实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器 进行探索，见下表：
x
…
-0.4
-0.5
…
y
…
-0.04
0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这 时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
＋bx＋c＝0的近似根为( )
B
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而
对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称
轴为x＝－1，则
y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方1程
ax2+bx+c=0的根是__(2_,_0_)_.
利用函数的图象求一元二次方程近似根
21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时）实验中学-余志高一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。
二、教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学方法】学生合作交流学习法三、教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.函数图象求一元二次不等式的解集.：画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：ax2+bx+c>0(a>0)的解集是x<x1或x>x2ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c<0(a<0)的解集是x<x1或x>x2Ⅲ．课堂练习P34随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．了解一元二次方程不等式的解集可由二次函数图象直接得出结论。
2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案 二次函数与一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标【知识与技能】了解二次函数与一元二次方程之间的联系,掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别,了解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.【过程与方法】通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系,体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.【情感态度与价值观】进一步增强学生的数形结合思想方法,增强学生的综合解题能力.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【教学难点】一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课出示课件2:以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h（单位:m ）与飞行时间t（单位:s）之间具有函数关系h=20t-5t2．（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如能,需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？（二）探索新知探究一二次函数与一元二次方程的关系出示课件5:⑴小球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:15=20t-5t2,t2-4t+3=0,解得t1=1,t2=3.∴当球飞行1s或3s时,它的高度为15m.教师问:你能结合图形,指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？学生独立思考.出示课件6:（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:20=20t-5t2,t2-4t+4=0,解得t1=t2=2.故当球飞行2秒时,它的高度为20米.教师问:你能结合图形,指出为什么只在一个时间球的高度为20m？学生独立思考.出示课件7:（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.教师问:你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?学生独立思考.出示课件8:（4）球从飞出到落地要用多少时间？学生板演:解:小球飞出时和落地时的高度均为0m,0=20t-5t2,t2-4t=0,解得t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时,它的高度为0米.即0秒时球地面飞出,4秒时球落回地面.教师问:从上面发现,二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?（出示课件9）学生答:一般地,当y取定值且a≠0时,二次函数为一元二次方程.教师举例说明:二次函数与一元二次方程关系．（出示课件10）例如,已知二次函数y=－x2＋4x的值为3,求自变量x的值,可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来,解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3 的值为0,求自变量x的值．出示课件12:例已知二次函数:y=2x2-3x-4的函数值为1,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程.反之,解一元二次方程2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数的函数值为0时自变量x的值.学生答:2x2-3x-4=1；y=2x2-3x-5解之得:x1=-1,x2=2.5出示课件13:练一练:1.二次函数y=x2-3x+2,当x=1时,y= ;当y=0时,x= .2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为;与x轴的交点坐标为.学生自主思考后口答:1.0；1或22.(0,-1)；(0.5,0)和（-0.5,0）探究二:利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况教师问:观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有,公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（出示课件14）（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.学生自主思考后,教师加以指导:先画出函数图象---图象与x轴交点横坐标是多少--对应一元二次方程的根是多少.（出示课件15）教师问:由上述问题,你可以得到什么结论呢？（出示课件16）学生思考后,师生共同总结:方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x 轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时,对应的方程无实数根.反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.出示课件19:观察图象,完成下表:生观察后,独立完成表格.答案:0个；无；x2-x+1=0无解1个；3；x2-6x+9=0,x1=x2=32个；-2,1；x2+x-2=0,x1=-2,x2=1师生共同总结:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系（出示课件20）出示课件21:例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证:此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值．师生共同解决如下:解:(1)证明:∵m≠0,∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0,∴Δ≥0,因此抛物线与x轴总有两个交点；（2）令y=0,则（x-1）（mx-2）=0,即x-1=0或mx-2=0,解得x1=1,x2=2.当mm为正整数1或2时,x2的值为整数,因为当m为2时,Δ=0,抛物线与x轴只有一个交点,所以正整数m的值为1.出示课件22:已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点,则k的取值范围是．学生自主解决.221=0kx x +-函数与轴有两个交点，即有两个不相等的实数根x20024(101)00.k k k k k ∴∆>≠-⨯->≠>-≠且，即且则且，出示课件23-26:例2 如图,丁丁在扔铅球时,铅球沿抛物线268-10105x y x =++运行,其中x 是铅球离初始位置的水平距离,y 是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m 时,它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m,它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达到3m ？为什么？学生自主思考后,师生共同解决.解:⑴由抛物线的表达式得2682.1-,10105x x =++即2650.x x -+= 解得12=1=5.x x ，即当铅球离地面的高度为2.1m 时,它离初始位置的水平距离是1m 或5m.⑵由抛物线的表达式得2682.5-,10105x x =++即2690x x -+=. 解得x 1=x 2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m 时,它离初始位置的水平距离是3m.⑶由抛物线的表达式得2683-,10105x x =++即26140.x x -+=因为2=-6-41140∆⨯⨯<（），所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.出示课件28:如图设水管AB 的高出地面2.5m,在B 处有一自动旋转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,可用二次函数y=-0.5x 2+2x+2.5描述,在所示的直角坐标系中,求水流的落地点D 到A 的距离是多少？教师分析:根据图象可知,水流的落地点D 的纵坐标为0,横坐标即为落地点D 到A 的距离.即y=0 .学生独立解答:根据题意得 -0.5x 2+2x+2.5=0, 解得x 1=5,x 2=-1(不合题意舍去). 答:水流的落地点D 到A 的距离是5m. 探究三:利用二次函数求一元二次方程的近似解出示课件29:求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.教师分析:一元二次方程x ²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x ²-2x-1 与x 轴的交点的横坐标,因此我们可以先画出这条抛物线,然后从图上找出它与x 轴的交点的横坐标,这种解一元二次方程的方法叫做图象法.师生共同解答.0122=--x x出示课件30,31:解:画出函数y=x²-2x-1 的图象（如下图）,由图象可知,方程有两个实数根,一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根,由图象可估计这个根是-0.4或-0.5,利用计算器进行探索,见下表:观察上表可以发现,当x分别取-0.4和-0.5时,对应的y由负变正,可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0,即有y=x2-2x-1的一个根,题目只要求精确到0.1,这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.教师总结归纳:一元二次方程的图象解法（出示课件32）利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.出示课件33:根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26学生口答:C（三）课堂练习（出示课件34-41）1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论正确是（）A．abc＞0 B．2a+b＜0C．3a+c＜0 D．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示,则一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的近似根为( )A．x1≈－2.1,x2≈0.1 B．x1≈－2.5,x2≈0.5C．x1≈－2.9,x2≈0.9 D．x1≈－3,x2≈13.若二次函数y=-x 2+2x+k 的部分图象如图所示,且关于x 的一元二次方程-x 2+2x+k=0的一个解x 1=3,则另一个解x 2= .4.一元二次方程3x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2,x 2=53,那么二次函数 y= 3x 2+x －10与x 轴的交点坐标是 .5.若一元二次方程20x mx n -+=无实根,则抛物线2y x mx n =-+图象位于（ ）A.x 轴上方B.第一、二、三象限C.x 轴下方D.第二、三、四象限6.二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( )A ．k<3B ．k<3且k ≠0C ．k ≤3D ．k ≤3且k ≠07.已知函数y ＝(k －3)x ²＋2x ＋1的图象与x 轴有交点,求k 的取值范围．8.某学校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时距地面209米,与篮框中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系,问此球能否准确投中？(2)此时,若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1米,那么他能否获得成功？参考答案:1.C2.B3.-14.（-2,0）（5,0）35.A6.D7.解:当k＝3时,函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点,∴k＝3；当k≠3时,y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点,∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16,∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述,k的取值范围是k≤4.8.解:(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0,20),B(4,4),C(7,3),其中B是抛物线的顶点．9(x 设二次函数关系式为y＝a(x﹣h)2＋k,将点A、B的坐标代入,可得y＝﹣19﹣4)2+4.(7﹣4)2+4＝3,左边＝右边,即点将点C的坐标代入上式,得左边＝3,右边＝﹣19C在抛物线上．所以此球一定能投中.⑵将x＝1代入函数关系式,得y＝3.因为3.1＞3,所以盖帽能获得成功．（四）课堂小结1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？2.你能利用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？（五）课前预习预习下节课（22.3第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材习题22.2第1、2、3、4、6题.2.配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路,然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外,通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法,重在让学生自主体会.。
部编数学九年级上册专题22.4二次函数与一元二次方程【六大题型】(人教版)(解析版)含答案
专题22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】【人教版】【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】....................................................................................................................1【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】........................................................................................................3【题型3 由二次函数解一元二次方程】................................................................................................................6【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】....................................................................................9【题型5 由二次函数的图象解不等式】..............................................................................................................11【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】 (13)【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】【例1】（2022春•西湖区校级期末）抛物线y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+mx +n 与x 轴只有一个交点（x 1，0）．下列式子中正确的是（ ）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n【分析】由抛物线与x轴只有一个交点（x1，0）可得抛物线顶点式，从而可得x1，x2与m的关系．【解答】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+x21=（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故选：B．【变式1-1】（2022春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由b2﹣4ac的大小可判断抛物线与x轴交点个数，由c的大小可判断抛物线与y轴的交点，进而求解．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0，∴抛物线与x轴有2个交点，∵c＝﹣3，∴抛物线与y轴交点为（0．﹣3），∴抛物线与坐标轴有3个交点，故选：D．【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），则n的值为（ ）A．﹣9B．﹣16C．﹣18D．﹣27【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m+1．故设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m ﹣1）2，直接将A（m﹣2，n）代入，通过解方程来求n的值．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+bx+c过点A（m﹣2，n）、B（m+4，n），∴对称轴是直线x＝m+1，又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴顶点为（m+1，0），∴设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，把A（m﹣2，n）代入，得：n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27，即n＝﹣27．故选：D．【变式1-3】（2022春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x ＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）A．（3，9）B．（3，﹣9）C．（﹣3，9）D．（﹣3，﹣9）【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x 轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，=3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（ ）A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），从而可得m，n，s，t 的大小关系．【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1，由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点在x轴下方，坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），∴m＜s＜t＜n．故选：C．【变式2-1】（2022•定远县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）A．x1＜﹣1＜5＜x2B．x1＜﹣1＜x2＜5C．﹣1＜x1＜5＜x2D．﹣1＜x1＜x2＜5【分析】方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，据此可判断选项．【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5），则抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与y＝ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（5，0），函数图象如图所示，由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，∴x1＜﹣1＜5＜x2，故选：A．【变式2-2】（2022•张店区期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（ ）A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象，再作出直线y ＝1，y＝3，它们与抛物线交于A，B和C，D，分别过交点作x轴的垂线，则垂足对应的数值为题干中方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论．【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象如下图：作直线y＝1与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于A，B，分别经过A，B作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，n，∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根；作直线y＝3与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于C，D，分别经过AC，D作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q，∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根．由图象可知m，n，p，q的大小关系是：p＜m＜n＜q．故选：B．【变式2-3】（2022•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（ ）A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β【分析】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．【解答】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点．由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．由图象可知，M＜α＜β＜N，故选：B．【题型3 由二次函数解一元二次方程】【例3】（2022•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）A．﹣2或4B．﹣2或0C．0或4D．﹣2或5【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，如图，∵0＜n＜m，∴﹣m＞﹣m，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，故选：A．【变式3-1】（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是 x1＝﹣1，x2＝3 ．【分析】利用二次函数y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得抛物线的顶点坐标，利用抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，=1．∴抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．【变式3-2】（2022•咸宁一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 x1＝﹣4，x2＝1 ．【分析】由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过（﹣4，0）求解．【解答】解：由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x=−522=−32，∵抛物线经过（﹣4，0），对称轴为直线x=−32，∴抛物线经过（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1．故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．【变式3-3】（2022•永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）A．5B．7C．12D．﹣7【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，∴−1−b+c=0−25+5b+c=0，解得：b=4 c=5，将b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，可得：﹣x2+4x+5+d＝0，又∵关于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，得：﹣36+4×6+5+d＝0，解得：d＝7，经验证d＝7时，Δ＞0，符合题意，∴d＝7．故选：B．【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2022•平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）x… 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56 1.25…A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根．【解答】解：如图：x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．故选：B．【变式4-1】（2022•灌云县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是 6.18＜x＜6.19 ．x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【解答】解：由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，故答案为：6.18＜x＜6.19．【变式4-2】（2022•渠县一模）如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是 x1＝0.8，x2＝3.2合理即可 ．（精确到0.1）【分析】直接利用抛物线与x 轴交点的位置估算出两根的大小．【解答】解：由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx ＝c 的两个根可能是：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．故答案为：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．【变式4-3】（2022秋•萍乡期末）代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数）中，x 与ax 2+bx +c 的对应值如下表： x ﹣1−12 0121 322 523ax 2+bx +c﹣2−141742741−14 ﹣2请判断一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 是常数）的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的（ ）A ．−12＜x 1＜0，32＜x 2＜2B ．﹣1＜x 1＜−12，2＜x 2＜52C ．−12＜x 1＜0，2＜x 2＜52D ．﹣1＜x 1＜−12，32＜x 2＜2【分析】观察表格可知，在x ＜1时，随x 值的增大，代数式ax 2+bx +c 的值逐渐增大，x 的值在−12～0之间，代数式ax 2+bx +c 的值由负到正，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0之间，在x ＞1时，随x 的值增大，代数式ax 2+bx +c 逐渐减小，x 的值在2～52之间，代数式ax 2+bx +c 的值由正到负，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在2～52之间，【解答】解：根据表格可知，代数式ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0和2～52之间，即：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是−12＜x1＜0，2＜x2＜52故选：C．【题型5 由二次函数的图象解不等式】【例5】（2022秋•垦利区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（ ）A．x＞﹣1B．x＜3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．故选：C．【变式5-1】（2022•定远县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…请求出当y＜0时x的取值范围 x＜﹣2或x＞3 ．【分析】把点（0，6）代入求出c，把点（﹣1，4）和（1，6）代入抛物线的解析式列方程组，解出可得a、b，即可得抛物线的解析式，进而可列不等式求出y＜0时x的取值范围．【解答】解：由表得，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），∴c＝6，∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），∴a−b+6=4a+b+6=6，解得：a=−1 b=1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，所以令﹣x2+x+6＜0，解得：x＜﹣2或x＞3．故答案为：x＜﹣2或x＞3．【变式5-2】（2022•工业园区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为 x＜﹣1或x＞1 ．【分析】根据图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，则a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时x+2＜1或x+2＞3，进而求解．【解答】解：由图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，∴当a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时，x+2＜1或x+2＞3，解得x＜﹣1或x＞1，故答案为：x＜﹣1或x＞1．【变式5-3】（2022•驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（ ）A．x≤1或x≥4B．1≤x≤4C．x≤1或x≥5D．1≤x≤5【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得点B横坐标，进而求解．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵点B和点C关于直线x＝2对称，∴点B横坐标为4，∵点A横坐标为1，∴1≤x≤4时，kx+b≥x2﹣4x+m，故选：B．【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2022•虞城县三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．①求抛物线和直线的函数解析式；②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求解析式即可，②抛物线开口向上，数形结合直接写出答案；（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴a+c=09a+c=8，m+n=05m+n=8，解得a=1c=−1，m=2n=−2，∴抛物线和直线的函数解析式分别为y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．②∵a＞0，抛物线开口向上，抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围为x＜1或x＞5．（2）若a＝c，则抛物线y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），∴开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，a），当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a＝3，当抛物线顶点在线段AB下方时，当经过B（3，3）时，a+a＝3，解得a=32，当经过A（0，3）时，4a+a＝3，解得a=35，∴当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为35≤a＜32或a＝3．【变式6-1】（2022•余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．【分析】（1）将（3，m），（n，﹣6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得y1＜y2时x的取值范围．（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．【解答】解：（1）将（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，将（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，解得n＝﹣2，∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得4=−9+3b+c−6=−4−2b+c，解得b=3 c=4，∴y＝﹣x2+3x+4，由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．【变式6-2】（2022•河南模拟）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为 y＝|x2﹣4x|﹣3 ；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： 函数关于直线x＝2对称 ；（3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点，则k＝ 1 ；②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集： x＝0或3≤x≤5 ．【分析】（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，即可求解析式为y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）描点法画出函数图象，函数关于x＝2对称；（3）①从图象可知：当x＝2时，y＝1，k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点；②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝5，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为3≤x≤5．【解答】解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，∴y＝|x2﹣4x|﹣3，故答案为：y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）如图：函数关于直线x＝2对称，故答案为：函数关于直线x＝2对称；（3）①当x＝2时，y＝1，∴k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点，故答案为1；②y＝x﹣3与y＝|x2﹣4x|﹣3的交点为x＝0或x＝3，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为x＝0或3≤x≤5，故答案为：x＝0或3≤x≤5．x+t与函数y＝【变式6-3】（2022•海珠区一模）令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线y=12 max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为 1或65 ．16【分析】只需画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，然后结合图象并运用分类讨论的思想，就可解决问题．【解答】解：在直角坐标系中画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，如图所示．当直线y =12x +t 经过（﹣2，0）或与抛物线y ＝﹣x 2+4相切时，直线y =12x +t 与函数y ＝max {﹣x 2+4，x ﹣2，﹣x ﹣2}的图象有且只有3个公共点．①若直线y =12x +t 经过（﹣2，0），则有0=12×（﹣2）+t ，解得t ＝1；②若直线y =12x +t 与抛物线y ＝﹣x 2+4相切，则关于x 的方程12x +t ＝﹣x 2+4即x 2+12x +t ﹣4＝0有两个相等的实数根，则△＝（12）2﹣4×1×（t ﹣4）＝0，解得t =6516．综上所述：t ＝1或6516．故答案为1或6516．。
九年级数学第二章二次函数与一元二次方程
用函数观点看一元二次方程【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式24b ac =-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标根的情况△＞00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a-±-=0a <△＝00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-0a <△＜00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称无实数根）0a <要点进阶：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点进阶：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x 轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y 值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．要点进阶： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，则1x 、2x 是一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根．由根与系数的关系得12b x x a +=-，12c x x a=． ∴ 22121||||()AB x x x x =-=-21212()4x x x x =+-24⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭b c a a 224b ac a -=24||b ac a -= 即 ||||AB a =△（△＞0）． 要点四、抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：判别式 0a >抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点不等式20ax bx c ++>的解集不等式20ax bx c ++<的解集△＞01x x <或2x x >12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解注：a ＜0的情况请同学们自己完成． 要点进阶：抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++>的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点例1. 已知抛物线22(1)423y k x kx k =+++-．求：(1)k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点； (2)k 为何值时，抛物线与x 轴有唯一交点；(3)k 为何值时，抛物线与x 轴没有交点．举一反三：【变式】二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2+bx+c=0的两个根； （2）写出不等式ax 2+bx+c ＞0的解集； （3）求y 的取值范围．类型二、利用图象法求一元二次方程的解例2. 利用函数的图象，求方程组的解.类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用例3. 已知关于x 的二次函数22(21)34y x m x m m =--+++．(1)探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数为2，1，0．(2)设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，且22125x x +=与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式．举一反三：【变式】已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．例4.如图，二次函数的图象与x 轴交于A （﹣3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ． （1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线与y 轴的交点为E ，连结AD 、AE ，求△ADE 的面积．【巩固练习】 一、选择题1. 若二次函数241y ax x a =++-的最大值为2，则a 的值是（ ）A.4B.-1C.3D.4或-12．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜0B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠33．方程2123x x x++=的实数根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．如图所示的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)240b ac ->；(2)1c >；(3)20a b -<；(4)0a b c ++<．你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个5．方程2252x x x-++=的正根的个数为( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个6．“如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ．m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ．m ＜a ＜n ＜b二、填空题7． 已知二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象的顶点在x 轴上，则m 的值为 ．8．如图所示，函数y ＝(k-8)x 2-6x+k 的图象与x 轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为 ．第8题 第9题9．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别为1 1.3x =和2x =________．10．已知二次函数222(1)2y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则此图象的顶点A 和图象与x 轴的两个交点B 、C 构成的△ABC 的面积是________．11．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <；②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是 ．12．如图是二次函数和一次函数y 2=kx+t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是 ．三、解答题 13．已知抛物线212y x x k =-+与x 轴有两个不同的交点． (1)求k 的取值范围；(2)设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，点D 是抛物线的顶点，如果△ABC 是等腰直角三角形，求抛物线的解析式．14．如图所示，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A 、B 两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．15．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？。
二次函数全章复习与巩固—知识讲解基础-精品
【学习目标】1 .通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2 .会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3 .会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4 .会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】y —or 2（aK0）,y-ar 2+c （a #C ）y=。
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户o ）.y=ar 2+&r+r （a 声0）-F年二次方程与二次函数的关系 _利用三次函数的图豪求二元三次」方程的解刹车距离 最大面积是多少【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果y =2■3是常数，4H0）,那么V 叫做五的二次函数. 要点诠释：如果y=ax'+bx+c （a,b,c 是常数，aWO ）,那么y 叫做x 的二次函数.这里，当a=O 时就不是二次函 数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零.a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质L 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y 二"/；®y=ax 2,③y=工一人『；@y=a （x-hY_ p i~ .其中我二一二，k=————;⑤）7=&/+£次+二.（以上式子aWO ）《二次函数》全章复习与巩固知识讲解（基础）用函数观点看 一元二次方程实际问题与二次函数何时获得最大利润二次函数的概念二次函数的对称轴,顶点坐标二次函数实际问题2a4a几种特殊的二次函数的图象特征如下:2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.⑴［的符号决定抛物线的开口方向：当以>0时，开口向上；当以<0时，开口向下；4相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）平行于v轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，丁轴记作直线x=o.3.抛物线y=ar2+bx+c（aWO）中，。
用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
用二次函数的图象求一元二次方程的近似解课标要求会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.中招考点用二次函数图象求一元二次方程的近似解．例1 阅读材料回答问题：有如下一道题：画图求方程22+-=x x 的解.两位同学的解法如下：甲：将方程22+-=x x 化为022=-+x x ，画出22-+=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．乙：分别画出函数2x y =和2+-=x y 的图象，观察它们的交点， 把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．归纳反思上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线2x y =的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解．所以建议同学们以后尽量用乙的方法.例2利用函数的图象，求下列方程的解：（1）0322=-+x x ；（2）02522=+-x x ．解：（1）先把方程化成x 2=-2x+3.如图：在同一直角坐标系中分别画出函数2x y =和32+-=x y 的图象，得到它们的交点（-3，9）和（1，1），则方程0322=-+x x 的解为x=–3或x=1．（2）先把方程02522=+-x x 化为 01252=+-x x ，然后在同一直角坐标系中画出函数2x y =和125-=x y 的图象，如图，得到它们的交点（21，41）和（2，4）， 则方程02522=+-x x 的解为 21，2． 归纳反思一般地，求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的近似解时，通常先把方程化成a c x a b x --=2的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出y=x 2和ac x a b y --=两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．例3 利用函数的图象，求下列方程组的解： (1)213,22.y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（2）236,2.y x y x x =+⎧⎨=+⎩ 分析：（1）可以通过直接画出函数2321+-=x y 和2x y =的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．解：（1）在同一直角坐标系中画出函数2x y =和2321+-=x y 的图象，如图.得到它们的交点（23-，49）和（1，1）， 则方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22321x y x y 的解为:12213,1,29 1..4x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ （2）在同一直角坐标系中画出函数x x y 22+=和63+=x y 的图象，如图.得到它们的交点（-2，0）.（3，15），则方程组⎩⎨⎧+=+=x x y x y 2632的解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=153,022211y x y x ．思考：（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线2x y =的图象，请尝试一下．强化练习1．已知二次函数432--=x x y 的图象如图，（1）则方程0432=--x x 的解是 ，（2）不等式0432>--x x 的解集是 ，（3）不等式0432<--x x 的解集是 ．2．利用函数的图象，求方程组22.y x y x =-+⎧⎨=⎩，的解.。
中考数学专题练习利用二次函数图像求一元二次方程的近似根(含解析)
2019中考数学专题练习-利用二次函数图像求一元二次方程的近似根（含解析）一、单选题1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：﹣﹣若，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ， x2的取值范围是（）A. ﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B. ﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C. 0＜x1＜1，1＜x2＜2D. ﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜42.根据下列表格的对应值：）A. 8＜x＜9B. 9＜x＜10 C. 10＜x＜11 D. 11＜x＜123.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A. ﹣2＜x＜﹣2.14B. ﹣2.14＜x＜2.13C. ﹣2.13＜x＜﹣2.12 D. ﹣2.12＜x＜﹣2.114.根据下列表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x得范围正确的是（）A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.265.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当x=3时，y＜D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根6.根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（）A. x＜3.24B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.287.已知二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（）A. ﹣1.3B. ﹣2.3C. ﹣0.3 D. ﹣3.38.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值．由此可以判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根在（）A. 6.17~6.18之间B. 6.18~6.19之间 C. 6.19~6.20之间 D. 不确定9.根据下表中二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的对应值：A. 3.23＜x ＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25 C. 3.25＜x ＜3.26 D. 不能确定10.根据下列表格对应值：）A. x ＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x ＜3.26 D. 3.25＜x ＜3.2811.根据下列表格对应值：A. x ＜3B. x ＜2C. 4＜x ＜5 D. 3＜x ＜412.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ）A. 3＜x ＜3.23B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x ＜3.2613.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的个数是（ ）B. 1C. 2D. 1或214.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是（）B. 1C. 2D. 1或2二、填空题15.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的根为________ ；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是________ ；当x________ 时，y随x的增大而减小．16.我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．17.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，则方程的另一个近似根为x2=________ （精确到0.1）．18.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.19.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x﹣10=0的根：（1）（2）20.试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：________．21.抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如图所示，则关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是________．22.根据下列表中的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的取值范围为________ ．三、解答题23.利用函数图象判断方程2x2﹣3x﹣4=0有没有解．若有解，求出它的近似解（精确到0.1）．24.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．四、综合题25.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：﹣﹣﹣2（1）当x=3时，y=________ ；（2）当x= 1 时，y有最________ 值为________（3）若点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________ y2（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是________26.画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么（2）当x取何值时，y＞0（3）当x取何值时，y＜0答案解析部分一、单选题1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：﹣﹣若，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ， x2的取值范围是（）A. ﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B. ﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C. 0＜x1＜1，1＜x2＜2D. ﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4【答案】A【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵，∴﹣1＜m ﹣2＜﹣，＜m ﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y=m ﹣2与y=m ﹣之间，故对应的x 的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y=0在y=m ﹣2与y=m ﹣之间，故对应的x 的值在2与3之间，即2＜x2＜3．故选：A ．【分析】根据函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．2.根据下列表格的对应值：）A. 8＜x ＜9B. 9＜x ＜10 C. 10＜x ＜11 D. 11＜x ＜12【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】依题意得当8＜x ＜12，y 随x 的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是10＜x ＜11．故选C ．【分析】根据表格知道8＜x ＜12，y 随x 的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围．3.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）A. ﹣2＜x ＜﹣2.14B. ﹣2.14＜x ＜2.13C. ﹣2.13＜x ＜﹣2.12 D. ﹣2.12＜x ＜﹣2.11【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.01与y=0.02之间，∴对应的x 的值在﹣2.13与﹣2.12之间，即﹣2.13＜x1＜﹣2.12，故选C ．【分析】根据函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围．4.根据下列表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x得范围正确的是（）A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．故选C．【分析】观察表格可知，y随x的增大而增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．5.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当x=3时，y＜D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0，∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；,∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．6.根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（）A. x＜3.24B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28【答案】B【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．故答案为：B．【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02＜0；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01＞0，于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时，ax2+bx+c=0，由此得到方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解x的范围。
二次函数与一元二次方程题型归纳
二次函数与一元二次方程-重难点题型二次函数的图象【题型1 抛物线与x轴的交点】【例1】（2021•海珠区一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【变式1-1】（2020秋•路南区期末）小明在解二次函数y＝ax2+bx+c时，只抄对了a＝1，b＝4，求得图象过点（﹣1，0）．他核对时，发现所抄的c比原来的c值大2，则抛物线与x轴交点的情况是（）A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．不确定【变式1-2】（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5B．﹣1C．5或1D．﹣5或﹣1【变式1-3】（2020秋•长春期末）在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2021•碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（）A．x1＜m＜n＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2D．x1＜m＜x2＜n【变式2-1】（2021•上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（）A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q【变式2-2】（2021•娄底模拟）对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程﹣x2+6x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3和x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞1【变式2-3】（2021•河南模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．若关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）也有两个整数根，则这两个整数根是（）A．﹣2和0B．﹣4和2C．﹣5和3D．﹣6和4【题型3 由二次函数解一元二次方程】【例3】（2021•花都区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是．【变式3-1】（2020秋•南京期末）二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为．【变式3-2】（2021•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为．【变式3-3】（2020秋•上虞区期末）已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x+3m）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x+3m）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为．【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2020秋•禅城区期末）如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（）x… 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56 1.25…A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5【变式4-1】（2020秋•长春期末）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c0.020.010.020.04 A．1或2B．1C．2D．0【变式4-2】（2020秋•濮阳期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20【变式4-3】（2020秋•钦州期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（）A．2.18B．2.68C．﹣0.51D．2.45【题型5 由二次函数的图象解不等式】【例5】（2021•杭州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1【变式5-1】（2020秋•淮安区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…123…y…0﹣10…（1）求该二次函数的表达式．（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为；不等式ax2+bx+c＜3的解集为．【变式5-2】（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【变式5-3】（2021•九龙坡区校级模拟）已知函数y＝a|x﹣2|+x+b（a，b为常数）．当x＝3时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，请对该函数及其图象进行探究：（1）a＝，b＝；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．（3）已知函数y＝﹣x2+4x+5的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集．【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．−214或﹣3B．−134或﹣3C．214或﹣3D．134或﹣3【变式6-1】（2021•章丘区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x 轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m 与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（）A．−254＜m＜3B．−254＜m＜2C．﹣2＜m＜3D．﹣6＜m＜﹣2【变式6-2】（2021•南沙区一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（）A．h＞52B．0＜h≤52C．h＞2D．0＜h＜2【变式6-3】（2021•莱芜区模拟）如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．1＜m＜158B．158＜m＜3C．1＜m＜3D．−18＜m＜1。
九年级数学上册《 二次函数与一元二次方程》教案
九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》教案经典题型教学目标知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重点和难点重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学过程设计（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t —5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2.所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：（1）解方程 15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.（2）解方程 20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）解方程 20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.（4）解方程 0＝20t －5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s 时球落回地面播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） .反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.（二）问题的讨论二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋0.的图象如图26.2－2所示.（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.可以看出：（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x ＋9=0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.总结：一般地，如果二次函数y=2++的图像与x轴相交，ax bx c那么交点的横坐标就是一元二次方程2++=0的根.ax bx c（三）归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.（五）小结总结本节的知识点.（六）作业:（七）板书设计二次函数与一元二次方程抛物线y＝ax2＋bx＋c与方程ax2＋bx＋c=0的解之间的关系例题。
九年级数学下册二次函数 . 二次函数与一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
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内容(nèiróng)总结
5 二次函数与一元二次方程(fāngchéng)。第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程(fāngchéng)的近似根。(1)方程(fāngchéng) －2x2＋8x－6＝0的解是什么。解：函数y＝－2x2＋8x－6的图象如图．。x3－x－2＝0的解(结果精确到0.1)．。[解析] 由题意可知点A
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图K－18－3
第2课时 利用(lìyòng)二次函数的图象求一元二次方程的近似根
[解析(jiě xī)] 由图象可知当x＝2时，y＜0；当x＝3时，y＞0.由于直线x＝1是它的对称 轴，则由二次函数图象的对称性可知：当x＝0时，y＜0；当x＝－1时，y＞0.所以另 一个根x2的取值范围为－1＜x2＜0.故答案为－1＜x2＜0.
B．3.2
C．4.4
D．以上都不对
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图K－18－1
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第2课时 利用二次函数(hánshù)的图象求一元二次方程的近似根
[解析(jiě xī)] C 由图象可知其对称轴为直线x＝3，又抛物线是轴对称图形，∴抛物线 与x轴的两个交点关于x＝3对称，而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是 x1，x2，那么两根满足2×3＝x1＋x2，而x1＝1.6，∴x2＝4.4.
又∵点
C(200，840)在抛物线上，∴840＝a×2002＋1000，解得
1 a＝－250，
∴抛物线的函数表达式为 y＝－2150x2＋1000.
中考数学专项练习利用二次函数图像求一元二次方程的近似根(含解析)
中考数学专项练习利用二次函数图像求一元二次方程的近似根（含解析）【一】单项选择题1.二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕中，自变量x与函数y的对应值如下表：2假设，那么一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ，x2的取值范围是〔〕A.﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B.﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C.0＜x1＜1，1＜x2＜2D.﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.8＜x＜9 B.9＜x＜10 C.10＜x＜11 D.11＜x＜123.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.﹣2＜x＜﹣2.14B.﹣2.14＜x＜2.13 C.﹣2.13＜x＜﹣2.12 D.﹣2. 12＜x＜﹣2.114.根据以下表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x得范围正确的选项是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.265.二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：那么以下判断中正确的选项是〔〕A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时，y＜D.方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.287.二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象〔如图〕，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=〔〕A.﹣1.3B.﹣2.3C.﹣0.3D.﹣3.38.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的自变量x与函数y的一些对应值．由此可以判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个根在〔〕A. 6.17~6.18之间B. 6. 18~6.19之间C. 6.19~6.20之间 D.不确定判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x的范围是〔〕A. 3.23＜x＜3.24 B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D.不能确定判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3B.x＜2C.4＜x＜5D.3＜x＜412.根据以下表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a、b、c为常数〕一个解的范围是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.2613.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或214.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或2【二】填空题15.二次函数y=﹣x2+2x+m的图象如下图，那么关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的根为________；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是_____ ___；当x________时，y随x的增大而减小．16.我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标〔写出其中的一对〕．17.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如下图的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，那么方程的另一个近似根为x2=________〔精确到0.1〕．18.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，那么方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.19.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x﹣10=0的根：〔1〕________是方程的一个近似根．〔2〕________ 是方程的另一个近似根．20.试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：________．21.抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如下图，那么关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是________．判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解的取值范围为________．【三】解答题23.利用函数图象判断方程2x2﹣3x﹣4=0有没有解．假设有解，求出它的近似解〔精确到0.1〕．24.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．【四】综合题的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：﹣﹣根据表格中的信息，完成以下各题〔1〕当x=3时，y=________；〔2〕当x=1时，y有最________值为________〔3〕假设点A〔x1 ，y1〕、B〔x2 ，y2〕是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________y 2〔4〕假设自变量x的取值范围是0≤x≤5，那么函数值y的取值范围是________26.画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：〔1〕方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么〔2〕当x取何值时，y＞0〔3〕当x取何值时，y＜0【一】单项选择题1.二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕中，自变量x与函数y的对应值如下表：2假设，那么一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ，x2的取值范围是〔〕A.﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B.﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C.0＜x1＜1，1＜x2＜2D.﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵，∴﹣1＜m﹣2＜﹣，＜m﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y= ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y= m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y =0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x2＜3．应选：A、【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2 +bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.8＜x＜9 B.9＜x＜10 C.10＜x＜11 D.11＜x＜12【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0. 38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是10＜x＜11．应选C、【分析】根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围．3.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.﹣2＜x＜﹣2.14B.﹣2.14＜x＜2.13 C.﹣2.13＜x＜﹣2.12 D.﹣2. 12＜x＜﹣2.11【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+ bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.01与y=0.02之间，∴对应的x的值在﹣2.13与﹣2.12之间，即﹣2.13＜x1＜﹣2.12，应选C、【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围．4.根据以下表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x得范围正确的选项是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.2 4～3.25之间．应选C、【分析】观察表格可知，y随x的增大而增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.2 5之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．5.二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：那么以下判断中正确的选项是〔〕A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时，y＜D.方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为〔1，3〕，∴二次函数解析式为：y=a〔x ﹣1〕2+3，再将〔0，1〕点代入得：1=a〔﹣1〕2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2〔x﹣1〕2+3，∵a＜0，∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；,∵y=﹣2〔x﹣1〕2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为〔0，1〕，故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D、方程有两个相等实数根错误；应选：C、【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为〔1，3〕，借助〔0，1〕两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根7.二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象〔如图〕，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=〔〕A.﹣1.3B.﹣2.3C.﹣0.3D.﹣3.3【考点】图象法求一元二次方程的近似根8.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的自变量x与函数y的一些对应值．由此可以判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个根在〔〕A. 6.17~6.18之间B. 6. 18~6.19之间C. 6.19~6.20之间 D.不确定【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x 应取对应的范围．应选B、【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x的范围是〔〕A. 3.23＜x＜3.24 B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D.不能确定【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由表可以看出，当x取3.24与3.25之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.24＜x＜3.25．应选：B、【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．应选B、【分析】根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可．判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3B.x＜2C.4＜x＜5D.3＜x＜4【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3＜x＜4．应选D、【分析】根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可．12.根据以下表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a、b、c为常数〕一个解的范围是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程a x2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．应选：C、【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．13.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或2【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=﹣0.01；当x=6.19时，y=0.02；∴方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间，应选C、【分析】由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间．14.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或2【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=﹣0.01；当x=6.19时，y=0.02；∴方程的一个根在6.17～6.18之间，另一个根在6.18～6.19之间．应选C、【分析】由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17～6.18之间，另一个根在6.18～6.19之间．【二】填空题15.二次函数y=﹣x2+2x+m的图象如下图，那么关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的根为________；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是_____ ___；当x________时，y随x的增大而减小．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】解：∵对称轴为x=1，一个根为3，∴=1，∴x=﹣1，∴﹣x2+2x+m=0的根为x1=﹣1，x2=3，∴不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是﹣1＜x＜3，当x＞1时，y随x的而减小．【分析】根据二次函数y=﹣x2+2x+m的图象可以得到其对称轴和与x轴一个交点，由此可以得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后就可得m的值，那么解方程就能求得一元二次方程的解，可得到函数与x轴的交点，那么x轴上方的函数图象所对应的x的取值即为不等式﹣x2+2x+m＞0的解集，对称轴的右侧，y随x的增大而减小．16.我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标〔写出其中的一对〕．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=0可以变为x2=2x+3，∴x2﹣2x﹣3 =0的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．【分析】由于一个方程组的解即是组成方程组的两个函数的图象的交点坐标，所以抛物线x2﹣2x﹣3=0可看作两个函数组合而成，而将y=x2和y=2 x+3相减即可得到x2﹣2x﹣3=0，所以方程的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．17.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如下图的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，那么方程的另一个近似根为x2=_ _______〔精确到0.1〕．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】解：由函数图象可知，此函数的对称轴为x=﹣1，设函数的另一根为x，那么=﹣1，解得x=2.5．【分析】由函数的图象可求出函数的对称轴方程，再根据对称轴与方程两根之间的关系建立起方程，求出未知数的值即可．18.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，那么方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根19.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x﹣10=0的根：〔1〕________是方程的一个近似根．〔2〕________ 是方程的另一个近似根．【考点】图象法求一元二次方程的近似根20.试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：________．【考点】图象法求一元二次方程的近似根21.抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如下图，那么关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是________．【考点】图象法求一元二次方程的近似根判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解的取值范围为________．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【三】解答题23.利用函数图象判断方程2x2﹣3x﹣4=0有没有解．假设有解，求出它的近似解〔精确到0.1〕．描点，连线，画出函数y=2x2﹣3x﹣4的图象，如答图所示，故方程2x2﹣3x﹣4=0的解为x1≈﹣0.8，x2≈1.8．【考点】图象法求一元二次方程的近似根24.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【分析】利用函数图象求一元二次方程的解的方法，从画图角度比较两种方法即可．【四】综合题的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：﹣﹣根据表格中的信息，完成以下各题〔1〕当x=3时，y=________；〔2〕当x=1时，y有最________值为________〔3〕假设点A〔x1 ，y1〕、B〔x2 ，y2〕是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________y 2〔4〕假设自变量x的取值范围是0≤x≤5，那么函数值y的取值范围是________【考点】图象法求一元二次方程的近似根26.画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：〔1〕方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么〔2〕当x取何值时，y＞0〔3〕当x取何值时，y＜0【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【分析】利用描点连线的方法画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象．再根据图象判断函数的增减性．。
人教版九年级上第二十二章 二次函数 22.2 二次函数一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标（一）学习目标1．了解一元二次方程的根的几何意义，知道抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. （二）学习重点：1. 二次函数与一元二次方程之间的联系.2. 用图象法求一元二次方程的近似根并且估算.（三）学习难点：1. 理解一元二次方程的根在二次函数中的意义.2．用函数观点看一元二次方程，二次函数与一元二次方程的区别与联系. 3. 体会数形结合解决问题的思想方法.二、教学设计（一）课前设计 1. 预习任务: 二次函数2yax bx c 的图象与x 轴的交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况：①有两个不相等的实数根，②有两个相等的实数根，③没有实数根(二)课堂设计1. 知识回顾（1）二次函数的定义：形如20yax bx c a b c a（、、为常数，）的函数，叫做二次函数.（2）二次函数的图象和性质：二次函数2y ax bx c 的图象是一条抛物线，当0a 时，当2bx a时，y 随着x 的增大而减小，当2bx a时，y 随着x 的增大而增大； 当0a 时，当2bxa时，y 随着x 的增大而增大，当2bx a时，y 随着x 的增大而减小. （3）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）（4）一元二次方程20ax bx c 的根的情况怎样判定：用根的判别式：ac b d 42-= ①当d ＞0时，方程20ax bx c 有两个不相等的实数根； ②当d=0时，方程20ax bx c 有两个相等的实数根； ③当d<0时，方程20ax bx c 没有实数根. 2. 问题探究探究一 二次函数与一元二次方程之间的联系 重点、难点知识★▲ ●活动① 通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系问题 如图，以40m s 的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位: m ）与飞行时间t （单位: s ）之间具有函数关系 师问：考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20m ？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 一般地，我们可以利用二次函数2y ax bx c 深入讨论一元二次方程20ax bx c . 师问：二次函数223yx x ，221yx x ，222yx x 的图象如下图所示，每个图象与x 轴有几个交点？223yx x 的图象 221yx x 的图象 222y x x 的图象师问：一元二次方程2230x x ，2210x x 有几个实数根？用判别式验证一下. 一元二次方程2220x x 有实数根吗？.师问：二次函数2yax bx c 的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程20ax bx c 的根有什么关系？ 总结：一般地，从二次函数2y ax bx c 的图象可得如下结论：（1）抛物线2yax bx c 与x 轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根.反之亦然.（即：由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系） （2）如果抛物线2y ax bx c 与x 轴有交点，交点的横坐标是0x ，那么当0xx 时，函数值是0，因此0xx 是一元二次方程20ax bx c 的一个根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的. 探究二 利用二次函数的图象求一元二次方程的根 ●活动② 通过例子，解决问题例 利用函数图象求方程2220x x 的实数根（结果保留小数点后一位）.解：画出函数222yx x 的图象（图22.2－3），它与x 轴的公共点的横坐标大约是7.0-、2.7，所以方程2220x x 的实数根为7.01-≈x ，7.22≈x（图22.2－3）我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 观察函数222yx x 的图象，可以发现，当自变量为2时函数值小于0（点(2,2)在x 轴的下方），当自变量是3时函数值大于0，（点(3,1)在x 轴的上方）.所以抛物线222yx x 在23x 这一段经过x 轴.（抛物线没有间断点，因而抛物线从x 轴下方通过x 轴上方时一定经过x 轴.）也就是说，当自变量取2,3之间的某个值时，函数值为0，即方程2220x x 在23，之间有根. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.（每次可以将根所在的范围缩小到原来的一半.）例如，取2,3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5,3之间.再取2.5,3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0,0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5,2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.5625,2.75之间，在2.6875,2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在的范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于2.6875 2.750.06250.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.你能用这种方法得出方程2220x x 的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？这种求根的近似值的方法也适用于更高的一元方程.【总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤： （1） 画出函数的图象（可用计算机画）；（2）根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间； 可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. （可以利用计算器计算）. （3）确定方程的近似根.探究三 例题讲解 学以致用 ●活动① 基础性例题例1：抢答：判断下列抛物线与x 轴的交点个数. （1）2242yx x （2）2621yx x （3） 2324y x x【答案】一个交点，没有交点，两个交点． 练习：二次函数2340y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，则线段AB 长为 ．【答案】13例2 （1）已知二次函数277y kx x 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围为（ ）A ．74kB ．047≠-≥k k 且 C ．74k D ．704k k -≠＞且 【答案】B （2）若二次函数23yx x m 的图象全部在x 轴的下方，则m 的取值范围为 ． 【答案】94m． 练习：抛物线2yx x b 的图象全部在x 轴的上方，则b 的取值范围为 ．【知识点】抛物线与x 轴的交点问题 【答案】14b●活动② 提升型例题 例3 下表是一组二次函数235yx x 的自变量x 与函数值y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y﹣1﹣0.490.040.591.16那么方程2350x x 的一个近似根是（ ） A ．1 B ．1.1 C ．1.2 D ．1.3【答案】C练习：在平面直角坐标系中，抛物线20yax bx c a （）的部分图象如图所示，直线1x 是它的对称轴．若一元二次方程20ax bx c 的一个根1x 的取值范围是123x ，则它的另一个根2x 的取值范围是 ．【答案】210x●活动③ 探究型例题例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233yx x 与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D ．（1）填空：点A 的坐标为（ ， ），点B 的坐标为（ ， ），点C 的坐标为（ ， ），点D 的坐标为（ ， ）； （2）点P 是线段BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合）①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE =PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长；【答案】(1) 0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、83；（2）① 35(,)22E -，② 3522EF =或；练习：如图，抛物线2y ax bx =+过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ． （1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标． 【答案】24y x x =-+,3 , （5，﹣5） 3. 课堂总结 【知识梳理】（1）填表：二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=的关系：判别24b ac - 0∆> 0∆= 0∆<函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象0a >0a <20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根12,x x有两个相等的实数根122b x x a==-没有实数根抛物线与x 轴 的交点情况有两个交点 有一个交点 无交点（2）一般地：已知二次函数2y ax bx c =++的函数值为m ，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程2ax bx c m ++=．反之，解一元二次方程2ax bx c m ++=又可以看作已知二次函数2y ax bx c =++的值为m 的自变量x 的值．（3）利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤： ①画出函数的图象（可用计算机画）；②根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间；③可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. （可以利用计算器计算）. ④确定方程的近似根. 【重难点归纳】1. 注意抛物线与x 轴的交点与抛物线的对称轴之间的关系：当已知方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x 时，那么抛物线2y ax bx c =++的对称轴为122x x x +=. 2. 注意四个“二次”之间的区别与联系，即二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次三项式；利用他们之间的转化解决问题.（1）二次三项式2ax bx c ++恒正⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴上方0a ⇔>且0∆<； （2）二次三项式2ax bx c ++恒负⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴下方0a ⇔<且0∆<. 3. 利用二次函数图象求不等式解集的方法：“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“0,0y y ><或0,0y y ≥≤”，从图象看是指曲线在x 轴上方或x 轴下方时的x 值（对应的自变量x 的取值范围）。
二次函数求一元二次方程的近似解
用二次函数求一元二次方程的近似解在二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，令y=0，则为一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，即抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点的横坐标，就是相应一元二次方程的实数根．那么怎么用二次函数来估计一元二次方程的解呢？我们先看一个简单的例子例1．利用二次函数图象求一元二次方程2530x x -+=的近似解分析：如图1，首先画出二次函数253y x x =-+的图象，由图象可知方程有两个根一个在0和1之间，一个在4和5之间，下面具体探究一下：点评：通过例1的整个探究过程什么发现：用二次函数的图象估计一元二次方程：20ax bx c ++=的根，主要步骤为：（1）准确画出)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，其中要先确定抛物线的顶点，再在顶点两侧取相对称的点（至少描五点来连线；（2）确定抛物线与x 轴的交点在一哪两个数之间；（3）列表格，在第（2）步中确定的两个数之间取值，进行估计，通常只精确到十分位即可下面，我们在来研究比较复杂一点的问题例2．利用二次函数图象求一元二次方程2238x x -+-=-的近似解分析：由于223y x x =-+-的函数值为-8时，对应点的横坐标即为一元二次方程2238x x -+-=-的近似解，故可通过作出函数图象来估计方程的近似解解：在平面直角坐标系内作出函数223y x x =-+-的图象，如图2，又图象可知方程2238x x -+-=-的根是抛物线223y x x =-+-与直线8y =-的交点，左边的交点横坐标在-1与-2之间，另一个交点横坐标在3与4之间图1（1）先求在-1和-2之间的根，利用计算器进行探索因此x=-1.5是方程2238x x -+-=-的一个近似根因此x=3.5是方程2238x x -+-=-的另一个近似根故一元二次方程2238x x -+-=-的解为121.5, 3.5x x =-=点评：本题的基本步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y h =的交点的位置确定交点的横坐标的范围； （3）利用计算器估计方程的近似解图2x。
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用二次函数求一元二次方程的近似解
在二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，令y=0，则为一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax ，即抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点的横坐标，就是
相应一元二次方程的实数根．那么怎么用二次函数来估计一元二次方程的解呢？我们先看一个简单的例子
例1．利用二次函数图象求一元二次方程2
530x x -+=的近似解
分析：如图1，首先画出二次函数253y x x =-+的图象，由图象可知方程有两个根一个在0和1之间，一个在4和5之间，下面具体探究一下：
点评：通过例1的整个探究过程什么发现：用二次函数的图象估计一元二次方程：
20ax bx c ++=的根，主要步骤为：
（1）准确画出)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象，其中要先确定抛物线的顶点，再在顶点两侧取相对称的点（至少描五点来连线；
（2）确定抛物线与x 轴的交点在一哪两个数之间；
（3）列表格，在第（2）步中确定的两个数之间取值，进行估计，通常只精确到十分位即可
下面，我们在来研究比较复杂一点的问题
例2．利用二次函数图象求一元二次方程2
238x x -+-=-的近似解
分析：由于2
23y x x =-+-的函数值为-8时，对应点的横坐标即为一元二次方程
2238x x -+-=-的近似解，故可通过作出函数图象来估计方程的近似解
解：在平面直角坐标系内作出函数2
23y x x =-+-的图象，如图2，又图象可知方程
2238x x -+-=-的根是抛物线223y x x =-+-与直线8y =-的交点，左边的交点横
坐标在-1与-2之间，另一个交点横坐标在3与4之间
图1
（1）先求在-1和-2之间的根，利用计算器进行探索
因此x=-1.5是方程2
238x x -+-=-的一个近似根
因此x=3.5
是方程2
238x x -+-=-的另一个近似根
故一元二次方程2
238x x -+-=-的解为121.5, 3.5x x =-=
点评：本题的基本步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y h =的交点的位置确定交点的横坐标的范围； （3）利用计算器估计方程的近似解
图2
x。