贝叶斯决策的经典例题练习

一、贝叶斯决策(Bayes decision theory)

【例】某企业设计出一种新产品，有两种方案可供选择：—是进行批量生产，二是出售专利。这种新产品投放市场，估计有3种可能：畅销、中等、滞销，这3种情况发生的可能性依次估计为：0.2，0.5和0.3。方案在各种情况下的利润及期望利润如下表。

企业可以以1000元的成本委托专业市场调查机构调查该产品销售前景。若实际市场状况为畅销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.9、0.06和0.04；若实际市场状况为中等，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.05、0.9和0.05；若实际市场状况为滞销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.04、0.06和0.9。问：企业是否委托专业市场调查机构进行调查？

解：

1.验前分析：

记方案d1为批量生产，方案d2为出售专利

E(d1)=0.2*80+0.5*20+0.3*(-5)=24.5(万元)

E(d2)=40*0.2+7*0.5+1*0.3=11.8(万元)

记验前分析的最大期望收益为E1，则E1=max{E(d1),E(d2)}=24.5(万元)

因此验前分析后的决策为：批量生产

E1不作市场调查的期望收益

2.预验分析：

（1）设调查机构调查的结果畅销、中等、滞销分别用H1、H2、H3表示

由全概率公式

P(H1)=0.9*0.2+0.06*0.5+0.04*0.3=0.232

P(H2)=0.05*0.2+0.9*0.5+0.05*0.3=0.475

P(H3)=0.04*0.2+0.06*0.5+0.9*0.3=0.308

（2）由贝叶斯公式有

P(Ɵ1|H1)=0.9*0.2/0.232=0.776

P(Ɵ2|H1)=0.06*0.5/0.232=0.129

P(Ɵ3|H1)=0.04*0.3/0.232=0.052

P(Ɵ1|H2)=0.05*0.2/0.475=0.021

P(Ɵ2|H2)=0.9*0.5/0.475=0.947

P(Ɵ3|H2)=0.05*0.3/0.475=0.032

P(Ɵ1|H3)=0.04*0.2/0.308=0.026

P(Ɵ2|H3)=0.06*0.5/0.308=0.097

P(Ɵ3|H3)=0.9*0.3/0.308=0.877

（3）用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值

a)当市场调查结果为畅销时

E(d1|H1)=80* P(Ɵ1|H1)+20* P(Ɵ2|H1)+(-5)* P(Ɵ3|H1)

=80*0.776+20*0.129+(-5)*0.052=64.4(万元)

E(d2|H1)=40* P(Ɵ1|H1)+7* P(Ɵ2|H1)+1* P(Ɵ3|H1)

=40*0.776+7*0.129+1*0.052=31.995(万元)

因此，当市场调查畅销时，最优方案是d1，即批量生产

b)当市场调查结果为中等时

E(d1|H2)=80* P(Ɵ1|H2)+20* P(Ɵ2|H2)+(-5)* P(Ɵ3|H2)=20.46(万元)

E(d2|H2)=40* P(Ɵ1|H2)+7* P(Ɵ2|H2)+1* P(Ɵ3|H2)

=40*0.021+7*0.947+1*0.032=7.501(万元)

所以市场调查为中等时，最优方案是：d1，即批量生产

c)当市场调查结果为滞销时

E(d1|H3)=80* P(Ɵ1|H3)+20* P(Ɵ2|H3)+(-5)* P(Ɵ3|H3)

=80*0.026+20*0.097+(-5)*0.877=-0.365（万元）

E(d2|H3)=40* P(Ɵ1|H3)+7* P(Ɵ2|H3)+1* P(Ɵ3|H3)

=40*0.026+7*0.097+1*0.877=2.596（万元）

因此市场调查为滞销时，最优方案是：d2，即出售专利

（4）通过调查，该企业可获得的收益期望值为

E2= E(d1|H1)* P(H1)+ E(d1|H2)* P(H2)+ E(d2|H3)* P(H3)

=64.4*0.232+20.46*0.475+2.596*0.308=25.46（万元）通过调查，该企业收益期望值能增加

E2-E1=25.46-24.5=0.96（万元）

因此，在调查费用不超过0.96万元的情况下，应进行市场调查

3.验后分析

（1）本题中调查费用1000<9600,所以应该进行市场调查

（2）当市场调查结果为畅销时，选择方案1，即批量生产

（3）当市场调查结果为中等时时，选择方案1，即批量生产

（4）当市场调查结果为滞销时，选择方案2，即出售专利