贝叶斯决策的经典例题练习说课材料
实验一贝叶斯决策教材
实验一贝叶斯决策一、 实验原理1. 最小错误率贝叶斯决策规则：对于两类问题，最小错误率贝叶斯决策有以下裁决规则：P( 1 | x) P( 2 | x),则 x 1 ; 反之，则 x 2。
因为先验概率 P( i ）可以确立，与当前样本 x 没关，因此决策规则也可整理成下边的形式：若l (x) P( x | 1 ) P( 2 ) ，则 x1 ,不然 x 。
P(x |2 ) P( 1) 22. 均匀错误率决策界限把 x 轴切割成两个地域，分别称为第一类和第二类的决策地域 .样本在中但属于第二类的错误概率和样本在中但属于第一类的错误概率就是出现错误的概率， 再考虑到样本自己的分布后就是均匀错误率：t P( 2 | x) p( x)dx P( 1 | x) p( x)dxP(e)t tp( x | 2 ) P( 2 )dx p( x | 1 ) P( 1 )dx t3. 此实验中的裁决门限和均匀错误率（1）裁决门限假设随机脉冲信号 f 中 0 的概率为 ,高斯噪声信号 n 服从,信号叠加时的放大倍数为 a ，叠加后的信号为s f * a n 。
由最小错误率贝叶斯决策可得：P( 1 ) p( x | 1 )P( 2 ) p( x |2)a2 2a2 2 (ln(1 p0 ) ln p0 )化简计算得： t2a（2）均匀错误率由上述积分式可计算。
二、实验内容1、已知均值和方差，产生高斯噪声信号，计算其统计特征实验中利用 MATLAB产生均值为 0，方差为 1 的高斯噪声信号，信号统计分布的程序和结果以下：%产生高斯噪声并统计其特征x=0;%均值为 0y=1;%方差为 1n=normrnd(x,y,[1 1000000]);%产生均值为 0，方差为 1 的高斯噪声m1=mean(n);%高斯噪声的均值v1=var(n); %高斯噪声的方差figure(1)plot(n(1:400)); title( '均值为 0，方差为 1 的高斯噪声 ');figure(2)hist(n,10000); title('高斯噪声的统计特征 ');获得 m1=-4.6534e-005 ；v1= 0.9971 。
贝叶斯公式经典例题讲解
贝叶斯公式经典例题讲解
《贝叶斯公式经典例题讲解》
贝叶斯公式是一种概率公式，它可以在条件概率中派上用场。
贝叶斯公式可以用来计算在已知事实的情况下，某个事件发生的可能性。
一、贝叶斯公式
贝叶斯公式可以表示为：P（A|B）= P（B|A）* P（A）/ P（B）其中，P（A|B）是条件概率，即事件A在B已发生的情况下发生的概率；P（B|A）是反条件概率，表示事件B在A已发生的情况下发生的概率；P（A）表示事件A发生的概率；P（B）表示事件B发生的概率。
二、经典例题讲解
以下是贝叶斯公式的一个典型例题：
假设在一个学校中，有1000名学生，其中90％的学生爱看书，80％的学生爱看电视，另外有30％的学生同时喜欢看书和看电视。
现在随机抽取一名学生，问这位学生是否同时喜欢看书和看电视？
解：P（同时喜欢看书和看电视|随机抽取一名学生）= P（随机
抽取一名学生|同时喜欢看书和看电视）* P（同时喜欢看书和看电视）/ P（随机抽取一名学生）
= 0.3*0.3/1
=0.09
因此，这位学生同时喜欢看书和看电视的概率为0.09。
- 1 -。
第五章贝叶斯决策PPT资料44页
布 N(0, 2)，其中 2 已知，损失函数为
L(,x)10,,
求参数 的贝叶斯估计
例5.6 在新的止痛剂的市场占有率 的估计问题中
已给出损失函数 L(,x) 2( ,) 0, 1
药厂厂长对市场占有率 无任何先验信息。在市场
调查中，在n个购买止痛剂的顾客中有x个人买了新
我们约定，若已知
(1)有一个可观察的随机变量X，其密度函数 p(x )依赖于未知
参数 ，且 。
(2)在参数空间 上有一个先验分布
(3)有一个行动集 {a}。
在对 做点估计时，一般取；在对 做区间估计
时，行动a就是一个区间，的一切可能的区间构成行动 集 ；在对 作假设检验时，只有两个行动：接受和拒
一.平方损失函数下的贝叶斯估计
定理5.1 在平方损失函数L (,x) ( )下2 ，的贝叶 斯估计为后验均值，即 BxE(x)
定理5.2在加权平方损失函数 L ( ,x ) ( )2下，
的贝叶斯估计为
Bx
Ex Ex
定理5.3 在参数向量 (1,2,,k) 的场合下，对
多元二次损失函数 L(,)()Q()Q ,为正定矩
的止痛剂，试在后验风险准则下对 作出贝叶斯估
计。
例5.7 设样本x只能来自密度函数 p0 (x)或 p1(x)
中的一个，为了研究该样本到底来自哪个分布，
我们来考虑如下简单假设的检验问题：
H 0:x来 p 0(自 x)， H 1:x来 p 1(自 x)
损失函数用矩阵表示如下：
L
0 1
1 0
5.3 常用损失函数下的贝叶斯估计
个样本，其中 已知。
试在平方损失函数下寻求 1 的贝叶斯估计。
贝叶斯决策举例
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三、风险型决策
其主要的步骤如下：
（1）已知条件概率密度参数表达式和先验概率；
（2）利用贝叶斯公式转换成后验概率； （3）根据后验概率大小进行决策。 利用已学过的条件概率、乘法公式及全概率公式得到后验概率的贝叶斯 公式如下：
公式成立表示在A成立的情况下, 事件Bi成立的概率,=P(Bi A)/P(A).
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P（Bi│A） =
P（A│Bi ）P（Bi ）
∑ P（A│Bi ）P（Bi ）
i=1 n
， i = 1,2,3，…，n
（2.5）
公式表示若事件B1，B2，…，Bn构成一 个完备事件组且都有正概率，则对任意一 个事件A都有公式成立
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三、风险型决策
贝叶斯决策是决策分析中最重要的方法之一，但需要解决两方面问题。
经营该产品是有利可图的，下一步应该决策是否需要聘请博瑞咨询公司。 根据咨询公司对市场预测的准确性，H1=预测市场畅销，H2=预测市场 滞销，根据题意得
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三、风险型决策
P（H1 │Q1）=0.95， P（H2│Q1）=0.05
P（H1 │Q2）=0.10， P（H2│Q2）=0.90
由全概率公式得，咨询公司预测该产品畅销和滞销的概率分别为
= =
0.95×0.8 0.78 0.10×0.2 0.78
≈ 0.9744 ≈Βιβλιοθήκη 0.0256Page 24
P（H1 │Q2）P（Q2）
三、风险型决策
P（Q1 │H2）=
P（Q2 │H2）= P（H2│Q1）P（Q1） P（H2） P（H2）
=
= 0.05×0.8 0.22 0.90×0.2 0.22
贝叶斯公式典型例题
贝叶斯公式典型例题
贝叶斯公式是一种计算条件概率的公式，常用于根据已知条件更新某个事件发生的概率。
下面是一个贝叶斯公式的典型例题：
例：假设有两种类型的围棋棋手，分别是专业棋手和业余棋手。
专业棋手在比赛中获胜的概率为0.9，而业余棋手获胜的概率为0.3。
已知在所有棋手中，专业棋手占70%，业余棋手占30%。
现在有一场比赛，我们只知道其中一位棋手获胜了，那么这位棋手是专业棋手的概率是多少？
解：首先，我们定义以下事件：
•A：棋手是专业的
•B：棋手获胜
根据题意，我们知道：
•P(A) = 0.7（专业棋手占比）
•P(¬A) = 0.3（业余棋手占比）
•P(B|A) = 0.9（专业棋手获胜的概率）
•P(B|¬A) = 0.3（业余棋手获胜的概率）
我们要找的是P(A|B)，即在已知棋手获胜的条件下，棋手是专业的概率。
根据贝叶斯公式，我们有：
P(A|B) = \frac{P(A) \times P(B|A)}{P(A) \times P(B|A) + P(¬A) \times P(B|¬A)}将已知的概率值代入公式中，我们得到：
P(A|B) = \frac{0.7 \times 0.9}{0.7 \times 0.9 + 0.3 \times 0.3} = \frac{0.63}{0.63
+ 0.09} = \frac{0.63}{0.72} = 0.875
所以，在已知棋手获胜的条件下，这位棋手是专业棋手的概率为0.875。
这个例题展示了贝叶斯公式在更新条件概率方面的应用。
通过已知的概率值和贝叶斯公式，我们可以计算出在给定条件下的未知概率。
贝叶斯讲义贝叶斯决策
1
R( | x) 0 L( , ) ( | x)d 20 ( ) ( | x)d
1
( ) ( | x)d 30 ( ) ( | x)d E( | x)
(3)求最优行动使上述风险函数达到最小.令:
dR(
| x)
3
(
|
x)d
1
0
则得:
( | x)d 1
d
0
0
3
(4)数值计算:
8
例2 在市场占有率θ的估计问题中，已知损失函数为：
L(
,
)
2(
,
),
0 1
药厂厂长对市场占有率θ无任何先验信息，另外在市场调查中，
在n个购买止痛剂的顾客中有x人买了新药，试在后验风险准则下
对θ作出贝叶斯估计。
解:(1)求参数θ的后验分布: 结果为 Be(x+1,n-x+1)
(2) (x),计算风险函数
| |
解:分三步求解:
(1)求参数θ的后验分布
(
|
x)
N
n
xi
2
, (n
2
)1
(2)对于任意一个决策函数
计算后验风险函数:
R( | x) L( , ) ( | x)d
( | x)d
| |
P|x (| | ) 1 P|x (| | )
(3)求出使得上述风险函数达到最小时的决策函数:
,i 0 ,i 1
斯决策问题:
p0 (x) 0 p1(x)1
①参数空间Θ={0,1}
②行动空间A={0,1}
③先验分布:P(θ=0)=π0, P(θ=1)=π1
④损失函数:决策正确无损失, 决策错误的损失为1.则
贝叶斯决策的例题练习
贝叶斯决策的例题练习公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]一、贝叶斯决策(Bayes decision theory)【例】某企业设计出一种新产品，有两种方案可供选择：—是进行批量生产，二是出售专利。
这种新产品投放市场，估计有3种可能：畅销、中等、滞销，这3种情况发生的可能性依次估计为：，和。
方案在各种情况下的利润及期望利润如下表。
企业可以以1000元的成本委托专业市场调查机构调查该产品销售前景。
若实际市场状况为畅销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和；若实际市场状况为中等，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和；若实际市场状况为滞销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和。
问：企业是否委托专业市场调查机构进行调查解：1.验前分析：记方案d1为批量生产，方案d2为出售专利E(d1)=*80+*20+*(-5)=(万元)E(d2)=40*+7*+1*=(万元)记验前分析的最大期望收益为E1，则E1=max{E(d1),E(d2)}=(万元)因此验前分析后的决策为：批量生产E1不作市场调查的期望收益2.预验分析：（1）设调查机构调查的结果畅销、中等、滞销分别用H1、H2、H3表示由全概率公式P(H1)=*+*+*=P(H2)=*+*+*=P(H3)=*+*+*=（2）由贝叶斯公式有P(?1|H1)=*=P(?2|H1)=*=P(?3|H1)=*=P(?1|H2)=*=P(?2|H2)=*=P(?3|H2)=*=P(?1|H3)=*=P(?2|H3)=*=P(?3|H3)=*=（3）用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值a)当市场调查结果为畅销时E(d1|H1)=80* P(?1|H1)+20* P(?2|H1)+(-5)* P(?3|H1)=80*+20*+(-5)*=(万元)E(d2|H1)=40* P(?1|H1)+7* P(?2|H1)+1* P(?3|H1)=40*+7*+1*=(万元)因此，当市场调查畅销时，最优方案是d1，即批量生产b)当市场调查结果为中等时E(d1|H2)=80* P(?1|H2)+20* P(?2|H2)+(-5)* P(?3|H2)=(万元)E(d2|H2)=40* P(?1|H2)+7* P(?2|H2)+1* P(?3|H2)=40*+7*+1*=(万元)所以市场调查为中等时，最优方案是：d1，即批量生产c)当市场调查结果为滞销时E(d1|H3)=80* P(?1|H3)+20* P(?2|H3)+(-5)* P(?3|H3)=80*+20*+(-5)*=（万元）E(d2|H3)=40* P(?1|H3)+7* P(?2|H3)+1* P(?3|H3)=40*+7*+1*=（万元）因此市场调查为滞销时，最优方案是：d2，即出售专利（4）通过调查，该企业可获得的收益期望值为E2= E(d1|H1)* P(H1)+ E(d1|H2)* P(H2)+ E(d2|H3)* P(H3)=*+*+*=（万元）通过调查，该企业收益期望值能增加E2-E1=（万元）因此，在调查费用不超过万元的情况下，应进行市场调查3.验后分析（1）本题中调查费用1000<9600,所以应该进行市场调查（2）当市场调查结果为畅销时，选择方案1，即批量生产（3）当市场调查结果为中等时时，选择方案1，即批量生产（4）当市场调查结果为滞销时，选择方案2，即出售专利。
贝叶斯准则例题
贝叶斯准则例题⼀、贝叶斯准则：例题1：设⼆元假设检验的观测信号模型为：H 0: x = -1+n H 1: x = 1+n其中n 是均值为0，⽅差为212nσ=的⾼斯观测噪声。
若两种假设是等先验概率的，⽽代价因⼦为000110111,8,4,2,c c c c ==== 试求贝叶斯（最佳）表达式和平均代价C:解：因为两种假设是等先验概率的所以 011()()2P H P H ==，这样，贝叶斯准备的似然⽐函数()x λ为：① 122110221(1)exp 1122(|)22()exp(4)(|)(1)1exp 112222x p x H x x p x H x πλπ--?==?=+ ?-??⽽似然⽐检测门限η为：010********(41)()()21()()(82)2P H c c P H c c η--=?=-- =1/2于是贝叶斯判决表达式为11exp(4)2H x H ><，两边取⾃然对数，并整理的最简判决表达式为10.1733H x H >-<②现在计算判决概率01(|)P H H 和00(|)P H H ，由于本例中检验统计量()l x x =，所以在两个假设下检验统计量的概率密度函数分别为：122012211(1)(|)exp 1122221(1)(|)exp 112222l p l H l p l H ππ+=-???-=-???这样，0.17330111220.1733(|)(|)1(1)exp 0.0486112222P H H p l H dll dl π--∞--∞=-=-=0.17330001220.1733(|)(|)1(1)exp 0.8790112222P H H p l H dll dl π--∞--∞=+=-=最后，利⽤贝叶斯平均代价表达式，01011110111010100000()()()()(|)()()(|)C P H c P H c P H c c P H H P H c c P H H =++---代⼊0000110(),(|),(|),P H P H H P H H c 等各数据，计算得： 1.8269C=总结：如果我们把判决表达式中的检测门限-0.1733稍作调整，例如调整为-0.1700极品-0.1800，则计算出的平均代价均⼤于检测门限为-0.1733的平均代价，这⼀结果从侧⾯验证了贝叶斯准则的确能使平均代价最⼩。
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贝叶斯决策的经典例
题练习
一、贝叶斯决策(Bayes decision theory)
【例】某企业设计出一种新产品，有两种方案可供选择：—是进行批量生产，二是出售专利。
这种新产品投放市场，估计有3种可能：畅销、中等、滞销，这3种情况发生的可能性依次估计为：0.2，0.5和0.3。
方案在各种情况下的利润及期望利润如下表。
企业可以以1000元的成本委托专业市场调查机构调查该产品销售前景。
若实际市场状况为畅销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.9、0.06和0.04；若实际市场状况为中等，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.05、0.9和0.05；若实际市场状况为滞销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.04、0.06和0.9。
问：企业是否委托专业市场调查机构进行调查？解：
1.验前分析：
记方案d1为批量生产，方案d2为出售专利
E(d1)=0.2*80+0.5*20+0.3*(-5)=24.5(万元)
E(d2)=40*0.2+7*0.5+1*0.3=11.8(万元)
记验前分析的最大期望收益为E1，则E1=max{E(d1),E(d2)}=24.5(万元)
因此验前分析后的决策为：批量生产
E1不作市场调查的期望收益
2.预验分析：
（1）设调查机构调查的结果畅销、中等、滞销分别用H1、H2、H3表示
由全概率公式
P(H1)=0.9*0.2+0.06*0.5+0.04*0.3=0.232
P(H2)=0.05*0.2+0.9*0.5+0.05*0.3=0.475
P(H3)=0.04*0.2+0.06*0.5+0.9*0.3=0.308
（2）由贝叶斯公式有
P(Ɵ1|H1)=0.9*0.2/0.232=0.776
P(Ɵ2|H1)=0.06*0.5/0.232=0.129
P(Ɵ3|H1)=0.04*0.3/0.232=0.052
P(Ɵ1|H2)=0.05*0.2/0.475=0.021
P(Ɵ2|H2)=0.9*0.5/0.475=0.947
P(Ɵ3|H2)=0.05*0.3/0.475=0.032
P(Ɵ1|H3)=0.04*0.2/0.308=0.026
P(Ɵ2|H3)=0.06*0.5/0.308=0.097
P(Ɵ3|H3)=0.9*0.3/0.308=0.877
（3）用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值
a)当市场调查结果为畅销时
E(d1|H1)=80* P(Ɵ1|H1)+20* P(Ɵ2|H1)+(-5)* P(Ɵ3|H1)
=80*0.776+20*0.129+(-5)*0.052=64.4(万元)
E(d2|H1)=40* P(Ɵ1|H1)+7* P(Ɵ2|H1)+1* P(Ɵ3|H1)
=40*0.776+7*0.129+1*0.052=31.995(万元)
因此，当市场调查畅销时，最优方案是d1，即批量生产
b)当市场调查结果为中等时
E(d1|H2)=80* P(Ɵ1|H2)+20* P(Ɵ2|H2)+(-5)* P(Ɵ3|H2)=20.46(万元)
E(d2|H2)=40* P(Ɵ1|H2)+7* P(Ɵ2|H2)+1* P(Ɵ3|H2)
=40*0.021+7*0.947+1*0.032=7.501(万元)
所以市场调查为中等时，最优方案是：d1，即批量生产
c)当市场调查结果为滞销时
E(d1|H3)=80* P(Ɵ1|H3)+20* P(Ɵ2|H3)+(-5)* P(Ɵ3|H3)
=80*0.026+20*0.097+(-5)*0.877=-0.365（万元）
E(d2|H3)=40* P(Ɵ1|H3)+7* P(Ɵ2|H3)+1* P(Ɵ3|H3)
=40*0.026+7*0.097+1*0.877=2.596（万元）
因此市场调查为滞销时，最优方案是：d2，即出售专利
（4）通过调查，该企业可获得的收益期望值为
E2= E(d1|H1)* P(H1)+ E(d1|H2)* P(H2)+ E(d2|H3)* P(H3)
=64.4*0.232+20.46*0.475+2.596*0.308=25.46（万元）
通过调查，该企业收益期望值能增加
E2-E1=25.46-24.5=0.96（万元）
因此，在调查费用不超过0.96万元的情况下，应进行市场调查
3.验后分析
（1）本题中调查费用1000<9600,所以应该进行市场调查（2）当市场调查结果为畅销时，选择方案1，即批量生产（3）当市场调查结果为中等时时，选择方案1，即批量生产（4）当市场调查结果为滞销时，选择方案2，即出售专利。