基本不等式求最值教学设计

“基本不等式求最值”的教学设计

一、教材分析

（一）本节教材所处的地位和作用

“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书数学北师大版·必修5“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材；同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．

（二）教材处理

依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理（均值不等式）及它的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些最值问题和实际问题．本节课为第二课时。为了讲好这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．

（三）教学目标

1.知识目标：

（1）会利用“均值不等式”解决某些最值问题；

（2）掌握获得“均值不等式”条件的常用方法。

2.能力目标：

（1）学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题

规律，提高学生的抽象概括能力。

（2）通过学生的口头表述和书面表达提高学生的数学表达和数学交流的能力。

（3）通过例题、变式练习及应用题的解决树立学生的化归思想；

（4）通过实际问题发展学生的数学应用意识。

3.德育目标：通过具体问题的解决，增强科学严谨的治学态度，体会“探究学习”在学习过程中的作用，使学生体验成功，增强学习数学的自信心。

（四）教学重点、难点、关键

重点：用均值不等式求解最值问题的思路和基本方法。 难点：均值不等式的使用条件，合理地应用均值不等式。

关键：理解均值不等式的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键。 二、学情分析

我所教的两个班都是文科平行班，大部分学生数学基础较差；学生的理解能 力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；但学生有学好数学的自信心，有一定 的学习积极性。 三、教法分析 （一）教学方法

为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标，采用启发探究式学习。其中，在探索结论时，采用发现法；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行。 （二）教学手段

根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机和实物投影辅导教学。 四、教学过程设计 1.复习回顾：

重要不等式：”成立。时，“当且仅当时，当==≥+∈b a ab b a R b a ,2,2

2

均值不等式：”成立。

时，“当且仅当时，当==+≤

∈+

b a b

a a

b R b a ,2

, （设计意图：通过对上节课所学知识的回顾，让学生加深对基本不等式的理解，为下面的求最值做铺垫。） 2.思考探索：

1.把36写成两个正数的积，当这两个数取何值时，它们的和最小？

2.把18写成两个正数的和，当这两个数取何值时，它们的积最大？

设计意图：让学生自己尝试用均值不等式解决最值问题，从而引出下面的结论：当a,b 为正实数时，

（1）若ab 为定值，则当a=b 时，其和a+b 有最小值。 （2) 若a+b 为定值，则当a=b 时，其积ab 有最大值。 3.应用基本不等式求最值的条件：

一正二定三相等

a与

（设计意图：通过对结论的分析，让学生得出利用均值不等式求最值的三个条件：一正，二定，三相等。）

4.典例解析

的最小值。

求

若

例

x

x

y

x

1

,0

.

1+

=

>

（设计意图：对均值不等式进行一个简单的应用，学生可能在书写时忽略一些条件。老师在引导的过程中再次强调求最值得三个条件。）

变式1：的最大值。

求函数

若

x

x

y

x

1

,0+

=

<

（设计意图：让学生在尝试的过程中间发现，求最值的条件一正不满足了。然后老师引导学生创造条件让一正满足，进而利用均值不等式求出最值。）

变式2：的最小值。

求函数

若

x

x

y

x

1

,3+

=

≥

2

1

1

2

1

2

1

1

,

,

3

(

m in

=

∴

=

=

=

=

⋅

≥

+

=

>

>

∴

≥

y

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

”成立。

时，“

即

当且仅当

错解）

[)

3

10

3

1

3

3

3

1

min

=

+

=

=

∴

∞

+

+

=

y

x

x

x

y

时，

当

上单调递增

，

在

正解：