自动控制原理(第二版)第二章 线性系统的数学模型

2.3 传递函数
求解微分方程可求出系统的输出响应，但如果方程阶次较高， 求解微分方程可求出系统的输出响应，但如果方程阶次较高，则计算 非常繁琐，因此对系统的设计分析不便， 非常繁琐，因此对系统的设计分析不便，所以应用传递函数将实数中的微分 运算变成复数中的代数运算，可使问题分析大大简化。 运算变成复数中的代数运算，可使问题分析大大简化 一、传递函数的概念及意义 （1）传递函数的定义： ）传递函数的定义： 线性系统在零初始条件 零初始条件下 线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变 换之比。 换之比。 线性定常系统微分方程的一般表达式: 线性定常系统微分方程的一般表达式
解：（1）确定输入、输出量为 d 、n ：（ ）确定输入、输出量为u （2）根据电路原理列微分方程 ）
di ed + id Rd + Ld = ud dt ed = cen
根据电动机力矩平衡原理列微分方程
GD2 dn M= 375 dt M = cmid
（3）消去中间变量，可得电路微分方程 ）消去中间变量，
式中K = ( dEd )α =α 0 = − Edo sin α 0 dα 将上式改写成增量方程, 得∆Ed = K∆α
注意： 注意： 1.非线性方程必为连续。 非线性方程必为连续。 非线性方程必为连续 原因：断续的方程不能用台劳级数展开，因此不能采用此方法。这类非 原因：断续的方程不能用台劳级数展开，因此不能采用此方法。 本质非线性。 线性称为本质非线性 线性称为本质非线性。 2.K值与工作点的位置有关。 值与工作点的位置有关。 值与工作点的位置有关 3.考虑增量 的变化范围较小。 考虑增量∆X的变化范围较小 考虑增量 的变化范围较小。
f
为系统开环放大系数
2.2 非线性数学模型的线Байду номын сангаас化
对于部分的非线性系统来说， 在一定的条件下可近似地视作线性系 对于部分的非线性系统来说，是在一定的条件下可近似地视作线性系 统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学模型来处理的方法， 这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学模型来处理的方法， 称为非线性数学模型的线性化。 称为非线性数学模型的线性化。 非线性数学模型的线性化 从数学上看，三阶以上的非线性方程求解困难， 从数学上看，三阶以上的非线性方程求解困难，高阶线性方程就容易 得多；从工程上看，实际的物理系统都是非线性的。例如， 得多；从工程上看，实际的物理系统都是非线性的。例如，弹簧的刚度与 其形变有关，因此弹簧系数K实际上是其位移 的函数，并非常值；电阻、 实际上是其位移x的函数 其形变有关，因此弹簧系数 实际上是其位移 的函数，并非常值；电阻、 电容、电感等参数值与周围的环境（温度、湿度、压力等） 电容、电感等参数值与周围的环境（温度、湿度、压力等）及流经它们的 电流有关，也并非常值；电动机本身的磨擦、 电流有关，也并非常值；电动机本身的磨擦、死区等非线性因素会使其运 动方程复杂化而成为非线性方程。然而，在一定条件下， 动方程复杂化而成为非线性方程。然而，在一定条件下，为了简化数学模 型，可以忽略它们的影响，将这些元件视为线性元件。这样做会使问题简 可以忽略它们的影响，将这些元件视为线性元件。 化，给控制系统的研究工作带来很大的方便，是工程中一种常见的、比较 给控制系统的研究工作带来很大的方便，是工程中一种常见的、 有效的方法。 有效的方法。
K f − 反馈电压和转速之间的比例系数
（3）消去中间变量得直流调速系统的动态微分方程 ）
TdTm d 2n Tm + 1 + K k dt 2 1+ K
k
dn Kr + n = U dt (1 + K k ) C e
g
其中 K r = K 1 K s 为正向通道电压放大系数
Kk = K1K s K Ce
∆ y = k∆ r
简写为 y = kr 式中k = (
df (r ) ) r = r0 dr
这就是该非线性元件或系统的线性化数学模型，这种线性化方法叫做小偏 这就是该非线性元件或系统的线性化数学模型，这种线性化方法叫做小偏 差方法。这种线性化方法特别适合于具有连续变化的非线性特性函数， 差方法。这种线性化方法特别适合于具有连续变化的非线性特性函数，其 实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。 实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。
（1）确定输入、输出量为 ）确定输入、输出量为Ug 、n （2）根据力电路、电动机力矩平衡原理列微分方程 ）根据力电路、
uk = K 1(u g − u f ) ud = K s uk 其中K1 = R3 R1
K s − 整流装置电压放大倍数
d 2n dn u +n= d Td Tm 2 + Tm dt dt ce L + Ld 其中Td = s RΣ uf = Kf n GD 2 RΣ Tm = 375ce cm
举例5 某三相桥式晶闸管整流电路的输入为控制角α 输出量为Ed Ed， 举例 某三相桥式晶闸管整流电路的输入为控制角α，输出量为Ed，Ed 与α之间的关系为
Ed = 2.34 E2 cos α = Ed 0 cos α
——交流电源相电压的有效值 交流电源相电压的有效值； 式中 E2——交流电源相电压的有效值； 时的整流电压。 Ed0—— α = 0o时的整流电压。 由图中可知Ed Ed与 之间呈非线性关系。 解：由图中可知Ed与α之间呈非线性关系。 如果正常工作点为A点 如果正常工作点为 点，该处 Ed (α ) = Edo cos α 0 在小范围内变化时， 那么当控制角α在小范围内变化时，可以作为线性 环节来处理。 环节来处理。令 γ = α , y = E cos α 0 0 0 d0 0 则有Ed − Ed 0 cos α 0 = K (α − α 0 )
如何进行线性化 1.忽略非线性因素的影响 忽略非线性因素的影响 2.切线法 小偏差法 切线法/小偏差法 切线法 线性化原理： 线性化原理： 对于具有一个自变量的非线性元件或系统， 对于具有一个自变量的非线性元件或系统，设非线性方程为 y = f (r ) ，工 其各阶导数均存在， 作点为 y0 = f (r0 ) ，其各阶导数均存在，则可在工作点附近展开成泰勒级数
举例1 编写RC 电路微分方程 举例 编写
（1）确定输入、输出量为 i 、u0 ）确定输入、输出量为u （2）根据电路原理列微分方程 ）
ui = Ri + u 0 i=C du 0 dt
（3）消去中间变量，可得电路微分方程 ）消去中间变量， du RC 0 + u 0 = ui dt
举例2 举例 编写电枢控制的他励直流电动机的微分方程
d n y (t ) d n −1 y (t ) dy (t ) d m r (t ) d m −1r (t ) dr (t ) an dt n + an−1 dt n−1 + L + a1 dt + a0 y(t ) = bm dt m + bm−1 dt m−1 + L + b1 dt + b0 r (t )
二、系统动态微分方程的编写 （1）确定系统输入量、输出量； ）确定系统输入量、输出量； （2）从输入端开始将系统划分为若干个元部件，依有关定理列写各个部 ）从输入端开始将系统划分为若干个元部件， 件的方程组； 件的方程组； （3）消去中间变量； ）消去中间变量； （4）整理。 ）整理。 举例4 举例 列写直流调速系统的微分方程
Ld GD 2 Rd d 2 n GD 2 Rd dn u + +n= d Rd 375 cm ce dt 2 375cm ce dt ce
令
Td =
Ld Rd
——电动机的电磁时间常数 电动机的电磁时间常数 ——电动机的机电时间常数 电动机的机电时间常数 ——电动机的动态微分方程 电动机的动态微分方程
GD 2 Rd Tm = 375 cm ce
则得
d 2n dn u TmTd 2 + Tm +n= d dt dt ce
举例3 举例 具有质量弹簧阻尼器的机械位移系统
（1）确定输入、输出量为 、y ）确定输入、输出量为F （2）根据力学、运动学原理列微分方程 ）根据力学、
ma = F − Fs − F f d2y a= 2 dt Fs = ky F f= f dy dt
r 为系统输出量， 其中 y(t )为系统输出量，(t )为系统输入量 在初始情况为零时，两端取拉氏变换： 在初始情况为零时，两端取拉氏变换：
( an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 )Y ( s ) = (bm s m + bm −1s m −1 + L + b1s + b0 ) R( s )
移项后得： 移项后得： G ( s) = Y ( s) / R( s)
= (bm s m + bm −1s m−1 + LL + b1s + b0 ) /(an s n + an −1s n −1 + LL + a1s + a0 ) 上式中Y(s)输出量的拉氏变换；R(s)输入量的 拉氏变换； G(s) 为系统或环 输出量的拉氏变换； 上式中 输出量的拉氏变换 输入量的 拉氏变换； 节的传递系数。 节的传递系数。
df (r ) 1 d 2 f (r ) y = f (r0 ) + ( ) r =r0 (r − r0 ) + ( ) r =r0 (r − r0 ) 2 + L dr 2! dr 2 很小时， df (r ) 当 (r − r0 ) 很小时，忽略二次以上导数项 y = f (r0 ) + ( ) r = r0 (r − r0 ) 或可表达为 y − y0 = k (r − r0 ) dr