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几何综合压轴题

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七年级数学下册专题08 期中-几何综合大题必刷(压轴题)(原卷版)

七年级数学下册专题08 期中-几何综合大题必刷(压轴题)(原卷版)

专题08 期中-几何综合大题必刷（压轴题）1．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．2．如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．（1）填空：∠OBC+∠ODC＝；（2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：（3）如图2：若BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．3．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON＝5∠DOM 时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过秒后边OC 与边ON互相垂直．（直接写出答案）4．【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflection law）．【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝；（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，则α与β之间满足的等量关系是．5．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．6．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B 射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．7．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．8．如图1，MN∥EF，C为两直线之间一点．（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数．（2）如图2，若∠CAM与∠CBE的平分线相交于点D，∠ACB与∠ADB有何数量关系？并证明你的结论．（3）如图3，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系：．9．（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；（2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．10．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．（1）若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ 的度数；若不存在，请说明理由．11．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．12．已知：AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．（1）如图（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4．①若∠4＝36°，求∠2的度数；②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试探究∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由．13．已知M、N分别为直线AB，直线CD上的点，且AB∥CD，E在AB，CD之间．（1）如图1，求证：∠BME+∠DNE＝∠MEN；（2）如图2，P是CD上一点，连PM，作MQ∥EN，若∠QMP＝∠BME．试探究∠E与∠AMP的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，作NG⊥CD交PM于G，若MP平分∠QME，NF平分∠ENG，若∠MGN＝m°，∠MFN＝n°，直接写出m与n的数量关系．14．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．15．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系．（2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数．（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论：①的②∠GEN﹣∠BDF的值不变．其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少．16．已知AB∥CD，解决下列问题：（1）如图①，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数．（2）如图②，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，试写出∠P与∠E的数量关系并说明理由．（3）如图③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，设∠E＝m°，求∠P的度数（直接用含n、m的代数式表示，不需说明理由）．17．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．（1）求证：∠ABD＝∠C；（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，①求证：∠ABF＝∠AFB；②求∠CBE的度数．18．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度数（用含α，β的式子表示）；（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF＝∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．19．如图1，AB∥CD，G为AB、CD之间一点．（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：EG⊥FG；（2）如图2，若∠AEP＝∠AEF，∠CFP＝∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并且证明你的结论；（3）如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G 作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．20．如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H分别是直线AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，EI与HI交于点I．（1）如图1，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，求∠EIH的度数．（2）如图2，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，其他条件不变，求∠EIH的度数．（3）如图3，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，∠GHC的平分线HJ交∠KEG 的平分线EJ于点J．其他条件不变，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，求∠EJH的度数．21．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD（1）求证：∠EMF＝90°．（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．22．已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于H，过A作AG⊥AC交CM于G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，①若∠GAB＝36°，则∠MCD＝．②猜想：∠GAB与∠MCD之间的数量关系是．（2）如图2，点G在CH上时，（1）②猜想的∠GAB与∠MCD之间的数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出∠GAB与∠MCD之间的数量关系，并说明理由．23．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．（1）如图1，∠BME，∠E，∠END的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图2，∠BME＝m°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ的度数．（用含m的式子表示）（3）如图3点G为CD上一点，∠BMN＝n•∠EMN，∠GEK＝n•∠GEM，EH∥MN交AB于点H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含n的式子表示）24．如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；（2）如图（2），若∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当∠BAQ＝∠BAP，∠DCQ＝∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．25．如图1，AB∥CD．G为AB、CD之间一点．（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：EG⊥FG；（2）如图2．若∠AEP＝∠AEF，∠CFP＝∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并且证明你的结论；（3）如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G 作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系；并证明你的结论．26．已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：（1）如图1所示，求证：OB∥AC；（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，此时∠EOC的度数等于（直接写出答案即可）；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（4）在（3）的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使∠OEB＝∠OCA，求此时∠OCA度数．27．如图1，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF ＝80°．（1）求∠BEO+∠OFD的值；（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN ﹣∠FNM的值（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG＝m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH＝m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN﹣∠ENM＝80°，直接写出m的值．28．已知，两直线AB，CD，且AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，放置一个足够大的直角三角尺，使得三角尺的两边EP，EQ分别经过点M，N，过点N作射线NF，使得∠ENF＝∠ENC．（1）转动三角尺，如图①所示，当射线NF与NM重合，∠FND＝45°时，求∠AME的度数；（2）转动三角尺，如图②所示，当射线NF与NM不重合，∠FND＝60°时，求∠AME 的度数．（3）转动直角三角尺的过程中，请直接写出∠FND与∠AME之间的数量关系．29．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．30．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．31．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．（1）如图1，求证：EF∥GH；（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．32．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF 交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．33．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数；（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N 在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角）34．已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG 上一点，连接NE，求证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE 交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度数．35．综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），P A、PB与直线MN重合，且三角板P AC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）∠DPC＝；（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板∠P AC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板P AC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC ∥DB成立；（3）如图③，在图①基础上，若三角板P AC的边P A从PN．处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是多少？36．已知E，F分别是AB、CD上的动点，P也为一动点．（1）如图1，若AB∥CD，求证：∠P＝∠BEP+∠PFD；（2）如图2，若∠P＝∠PFD﹣∠BEP，求证：AB∥CD；（3）如图3，AB∥CD，移动E，F使得∠EPF＝90°，作∠PEG＝∠BEP，求的值．37．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为秒．38．已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，又∵AB∥CD，∴∥CD∵MN∥AB，∴∠＝∠MGA．∵MN∥CD，∴∠D＝（）∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．39．如图1，直线AB、CD被直线EF截，分别交AB于点G，交CD于点H，∠AGE与∠EHC互补．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，点P在直线AB、CD内部直线EF上，点M、N分别在直线AB、CD上，连接PM、PN，点K在∠PMB的角平分线上，连接KN，若∠MKN＝180°∠MPN，求证：∠PNK＝∠CNK；（3）如图3，在（2）的条件下，点O为AB上一点，连接ON、MN，MN平分∠PNO，若∠MNK：∠PMK＝2：7，2∠MKN﹣∠PNO＝180°，求∠NOM的度数．40．已知，AB∥CD，点F、G分别在AB、CD上，且点E为射线FG上一点．（1）如图1：当点E在线段FG上时，连接AE、DE，易得∠AED＝∠EAF+∠EDG．小明给出的理由是：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠EAF＝∠AEH，∠EDG＝∠DEH，（依据1）∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝∠EAF+∠EDG；（依据2）填空：依据1：．依据2：．（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF＝∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI＝2：1，∠AED＝20°，∠I＝30°，求∠EKD的度数．41．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠P AC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠P AD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠P AC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC 的度数．（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．42．阅读下面材料：小亮遇到这样问题：如图1，已知AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．判断∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O作OP∥AB，通过构造内错角，可使问题得到解决．请回答：∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系是．参考小亮思考问题的方法，解决问题：（2）如图2，将△ABC沿BA方向平移到△DEF（B、D、E共线），∠B＝50°，AC与DF相交于点G，GP、EP分别平分∠CGF、∠DEF相交于点P，求∠P的度数；（3）如图3，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连接FE并延长至点A，连接BA、BC和CA，作∠CBF和∠CEF的平分线交于点M，若∠ADC＝α，则∠M＝（直接用含α的式子表示）．。

专题15 几何综合(解答题25题压轴题)解析版

专题15 几何综合(解答题25题压轴题)解析版

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC中，，，，点是边上的动点，以为边在外作正方形CDEF，分别联结、，与交于点．⊥时，求正方形CDEF的面积；（1）当AE BE△和相似，求的值；（2）延长交于点，如果BEH=时，求的长．（3）当AG AE【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，设CD=x，则AD=12-x，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x的值，再利用正方形的面积公式求解即可；（2）先证∠BAC=∠EBF，设边长为x，利用三角函数求出x的值，再求∠ABE的正弦值即可；（3）设边长为x，利用∠BCG∠∠EDG，得出，然后联立，根据AG=AE，求解即可．【详解】解：（1）Rt∠ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，13=，设CD=x，则AD=12-x，在∠ADE中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在∠BFE中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在∠ABE中，AE∠BE，∠AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=，∠正方形CDEF的面积=CD²=×=；（2）如图：延长ED交AB于H，∠∠BEH∠∠ABG，且∠ABG=∠EBH，∠∠BEH=∠BAG，∠DE∠EF ，∠∠BEH=∠EBF ，∠∠BAC=∠EBF ，设边长为x ，则tan∠EBF=，tan∠BAC=，令=，则x=, ∠25125971284HDAH AD BC AB AC -====，∠59767138484AH =⋅=， ∠BH=13-AH=，HD=， ∠HE=HD+x= ，过H 作HM ，与BE 相交于M ，5sin sin 13B M AG HE ∠=∠=,595sin 84s 951419165in 81332HM HE HEM ABE BH BH ⨯⋅∠∠====； （3）∠DE//BC,∠∠BCG∠∠EDG ，设边长为x ，∠，∠DG+GC=x ，∠DG=，GC=，则 ，令AG=AE ，则CD=x=或x=（舍去）．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A 、B 不重合），联结CM ，作∠CMF ＝90°，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ．点G 为线段MF 的中点，联结DG ．（1）如图1，如果AD ＝AM ＝4，当点E 与点G 重合时，求∠MFC 的面积；（2）如图2，如果AM ＝2，BM ＝4．当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD ＝x ，DG 2＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM ＝6，CD ＝8，∠F ＝∠EDG ，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）运用ASA 证明∠AME DFE ≅∆求出FD 的长再运用三角形面积公式即可得到答案； （2）证明FHM MHC △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可．【详解】解（1）过M 作MH∠DC ，垂足为H ，如图1易得四边形ADHM 是正方形，∠AE ED =又∠FED=∠MEA∠∠∠.4AM FD DH ===∠MH FC ⊥∠∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90°∠90FMC ∠=︒，∠∠FMH+∠HMC=90°∠∠FMH=∠HCM∠∠FMH∠∠MCH∠∠，CF 10=∠1202MFC S CF MH =⋅=△ （2）过M 作MH∠DC ，过G 点作GP∠DC ，垂足分别为H ，P ，如图2，∠FG GM =，∠，∠MH∠DC ，∠∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90°∠∠FMC=90°，∠∠FMH+∠HMC=90°∠∠FMH=∠HCM ，∠FHM MHC △∽△∠，即，∠∠，，∠222DG DP GP =+∠由 可得∠定义域为（3）点在矩形内部时,延长DG 交AB 于J ，连接AG ，AF ，如图∠∠AD BC =∠， 2AJ BM ==∠，∠AG DG =∠∠∠∠1390+∠=︒∠∠∠∠90AGE =︒∠垂直平分∠6AF AM ==∠4DF MJ ==∠点在矩形外部时，延长DG 交BA 延长线于L ，连接DM ，如图∠，AD BC =∠，∠∠∠L CMD =∠，∠FMC 为直角，∠90DGE ∠=︒，垂直平分∠8DM DF ==，，∠AD =【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知中，，AC BC =，点、在边上，45DCE ∠=︒，过点作的垂线交的延长线于点，联结．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当，2AD BD =时，求的长；（3）过点作射线的垂线，垂足为点，设，tan FMD y ∠=，求关于的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-3；（3）y=x(0<x<)．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB得BC=BE，再由∠DEC∠∠DCA，得AD=AC，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF，先证∠BDC∠∠EDF，得出，进而得出=y，然后结合已知条件得出结果．【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE，∠∠DEC=∠CEB，∠∠DEC∠∠CEB，∠，故CE²=BE·DE；（2）由题意得∠DCE是等腰三角形，DC=CE，由∠DEC∠∠CEB得BC=BE，同理可得∠DEC∠∠DCA，AD=AC，∠BC=AC，∠BE=AD=BC=AC，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，AB=3，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-AC=3-3，AD=6-6，AE=BD=3-3，∠DE=AB-BD-AE=3-2(3-3)=6-3．（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠，∠tan∠FMD=y，∠=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF，∠=y，∠，BE=BC，∠，∠，∠DE=，CD=，∠，，则y(1-y)=x(1-y)，y-xy=x-xy，y=x(0<x<)．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF∠AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．（1）如图1，当∠B=90°时，求与的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：可得： 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长相交于，过作FH AD ⊥于 连接 先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =，设 再设DH x =， 利用求解，可得 从而可得答案； （3）如图，过作EG DC ⊥交的延长线于，延长至,使 证明：6EH EC ==，设 ,HG GC y == 证明：可得：再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1） 四边形ABCD 是菱形， 四边形ABCD 是正方形，90BAE BEA ∴∠+∠=︒， ,EF AE ⊥,BAE CEF ∴∠=∠ ,BEA CFE ∴∽ ， 3,EC CF =3,AB BE ∴= 设,,CF a BE b == 3,CE a ∴= 3,AB BC b a ∴==+ 而33,b a b ∴+=（2）延长相交于，过作FHAD ⊥于 连接菱形ABCD ，//,AB CD ∴ ,BAE G ∴∠=∠ 为的中点，,BE CE ∴= ,AEB CEG ∠=∠ ,,,AB CG AE GE ∴== ,AE EF ⊥设 则75,FG AF a DF a ∴===， 设 22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=-由菱形ABCD 可得：（3）如图，过作EG DC ⊥交的延长线于，延长至,使 ,,EC EH H ECH ∴=∠=∠ 23,CF CE CF ==， 6CE EH ∴==，设 ,HG GC y == 则 ,6HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ， ,//,B D AB CD ∴∠=∠ ,B ECH ∴∠=∠ ,AFE B ∠=∠ cos ,6EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得： 经检验：是原方程组的解，217,CD x ∴=+= 即菱形ABCD 的边长为：【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，，4AC BC ==，点D 为边上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线于点F ．（1）如果点D 为边的中点，求的正切值；（2）当点F 在边上时，设，，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结如果与相似，求线段的长．【答案】（1）；（2）；（3）4-4、或．【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE由即得到与x 的关系；（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ==AH ==1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH∠CB 于H∠EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∠ACD EHD ．∠ 即．∠()444x EH x -=+ ．∠EH∠CB ，，4AC BC ==∠ ，．∠∠EF AD ⊥，90C ∠=︒∠ ．∠EDB ADC ∠=∠∠．∠∠AFE BDE ．∠即．整理得，；（3）在Rt∠MDB 中，DB=4-x,所以MD=MB=在Rt∠ADM 中，AM=AB 一MB=所以tan∠DAB=按照点F 的位置，分两种情况讨论∠CDF 与∠AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan∠FDC=tan∠DAB,得结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.解得x=4-4 或-4-4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan∠CFD=tan∠DAB ，得结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得或（舍去）②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x -4如图如果∠FDC=∠DAB,由结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得x=或（舍去）如果∠CFD=∠DAB, 与y=2x -4整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为4-4、或．【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在中，90C ∠=︒，，，点为边的中点（如图），点、分别是射线、上的动点，且，联结、、．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点在线段上，当是直角三角形时，求的长；（3）将沿直线翻折，点的对应点为点，如果点位于内，请直接写出的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）或；（3）【分析】（1）证明∠BPQ∠∠BAC 即可；（2）由∠PQD<，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tanAC B BC ===∠B=，30DPC ∠=︒，计算tan 30CD CP ︒===BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q 作QE∠AC 交于，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，证明∠EQD∠∠CDP ，得到，设，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，，，1DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值； （3）只需考虑的极限情况：①当正好在上时，如图3，设BP=m ，由求出，'DP D P =，列得计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当经过点时，求出PC=，即可得到．【详解】解：（1）在中，90C ∠=︒，，，∠4AB ==，∠，∠，∠，∠，∠QBP CBA ∠=∠， BPQBAC ∴，∠90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∠ABC 中，tan3AC B BC ===∠∠B=， ∠，，∠，点为边的中点，∠CD=1，∠tan 30CD CP ︒===，； 当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∠AC 交于，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，∠∠EQD+∠EDQ=∠EDQ+∠CDP=，EQD CDP ∴，，设，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，∠∠B=，∠BQP=，∠PQ=，∠60QPB ∠=︒，∠，sin 604QF PQ =⋅︒=，∠1344t QE F t t C +===，，，1DE CE CD =-=-， ，或（舍去），综上，BP 的长为或；（3）只需考虑的极限情况：①当正好在上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，，，30CDP ∠=︒，又'DP D P =，，；②另外一个极限情况时，如图4，当经过点时，∠60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1， ∠PC=，∠，综上：．．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，，点M 、N 是边、上的动点，且，、与对角线分别交于点P 、Q ．（1）求的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）；（2）45°；（3）不会发生变化，．【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt △ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 △BCG ≌△DCN ，得到角相等，再由角相等，得△GMC ≌△NMC ，由DN DC =解答即可； （3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC ，再得△CPQ ∽△CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC ∵4AB AD ==，3CB CD ==∴AC 垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=∠MCN 在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3∴5== ∴=sin ∠ACB=（2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ，∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90°∴△BCG ≌△DCN ∴∠G=∠CND ，CN=CG ，∠BCG=∠DCN∴∠MCN=∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=∠BCD=∠MCN∵CM=CM ， ∠G=∠CND,∴△GMC ≌△NMC ∴∠G=∠MNC=∠DNC当DN=NC 时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°∠ADO+∠CDO=90°∴∠ADO=∠COD= ∠BCD=∠MCN ∴∠NDP=∠NCP ∴D 、C 、N 、P 四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC ∴△CPQ ∽△CNM ∴在Rt△CPN中， =cos∠MCN=cos∠ACB= ∴不会发生变化【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=；（3）．定义域为：．【分析】（1）根据CE∠BD，得出∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE结合题干证明出∠ABD∠∠ECB，进而得到，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE．（2）过点B作BH∠AN，垂足为H．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE，得到2⋅，代入求出CE，再CE=CB CA根据求出BD，利用三角函数求出BH，根据勾股定理即可求出AD．（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=根据∠ECB∠∠ABD得到，代入化简为即可求解．【详解】解：（1）∠CE∠BD，∠∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE．∠∠A=∠DBE，∠∠A=∠BEC．∠∠ABD∠∠ECB，∠．∠，∠，∠DF·CE=BC·BE．（2）过点B作BH∠AN，垂足为H．∠CE∠BD，∠∠CEB=∠EBD=∠A，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠，∠2⨯，CE==⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936CE=CB CA∠CE=6．∠，∠．在Rt∠ABH 中，，4．．AD=． （3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=．．∠∠ECB∠∠ABD ，∠． ∠1322ABD S AD BH x =⋅△＝，∠，∠． 定义域为．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC 中，，，，点为斜边的中点，ED AB ⊥，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）或 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出，求出，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可．（3）先证PDF BDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出的长．【详解】解：（1） PD QD ⊥，ED AB ⊥∠A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，∠ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△，∠ 又点为斜边的中点，∠AD BD = ， 又ED AB ⊥在Rt BDE 中， 又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10D 为AB 中点， ∠BD =5， DE =，由勾股定理得：BE =，可得，BQ BE EQ =-，253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （3）tan tan DQ ED ED FPD B DP AD BD ∠====，∠FPD B ∠=∠，又∠PDF BDQ ∠=∠， ∠PDF BDQ △△，∠为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，，，解得．若BD BQ =，，解得．③若DQ BD =，，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，，，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设，．（1）求证：，并求的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）或 【分析】（1）根据垂直关系得到，根据AA 即可证明，得到，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠； （2）先证明FCH FBE △∽△，得到，代入得到，故可求解；（3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解．【详解】解：（1）∠90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90EAD FCD ︒∠=∠=∠FAD FCD △∽△∠2AB DC ==，，∠ ∠1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知∠∠22FC EA x == ∠ABCD∠FCH FBE △∽△，∠∠∠222(02)21x y x x +=<<+， （3）∠，，过点E 作EM∠CD 于M 点，∠四边形AEMD 为矩形∠MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∠，，EH =∠ABCD∠∠∠∠∠，若BEG DHE △∽△， ∠∠即化简得2240x y +-=∠∠222212240x x x +⨯-++=化简得22508x x +=- 解得或若EGB HDE △∽△∠∠即∠代入化简得22637200x x ++=∠=372-4×26×20=-711＜0，∠方程无解综上，和时与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆的直径，点为弧上一点，联结PA PO 、，点为劣弧上一点(点不与点、重合），联结交PA PO 、于点如图，当时，求的长；当点为劣弧的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求的度数；当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）；（2）18°；（3） 或．【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∠AOP 和∠OEB ，利用三角形外角的性质即可求得即； （3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一： 作OG BC ⊥，∠BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，；方法二： 连接AC ，∠AB 为直径，90ACB ∴∠=；（2）∠AO=OP ，∠∠PAO=∠P ，∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPE OPA ∴∆∆，是AP 中点，平分，CO BO =，设2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠，， 即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∠DH//OP ，∠∠ADH∠∠APO ，∠，，∠AB=4，∠OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===，2,AO OP ==，∠DH//OP ，∠∠BOE∠∠BHD ，，，AHD AOED HOED S S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接由得//AC DP ，∠∠ACD∠∠PED ，∠ACB∠∠OEB ，2AD DP =， ∠，2AC EP ∴=，又,AO BO =∠，2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，∠AO=OP ，∠∠PAO=∠APO ，∠PAO+∠APO=∠EOB=60°，∠30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形2,AC BC BE ∴===．综上所述，四边形AOED 的面积为或．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，，，点是边上一个动点（不与点、重合），的垂线交的延长线于点．点在线段上，满足:1:2FG GE =．设．（1）求证：；（2）当点在的内部时，用的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）3cot 61x ADG x -∠=-；（3）． 【分析】（1）证明ADF ABE △∽△，根据相似的性质即可求解；（2）作GH CF ⊥于点，得到，进而得到，，613x DH DF FH -=-=，根据余切定义即可求解； （3）根据FGD AFE ∠=∠，得到 FAD ADG ∠=∠，进而得到1cot cot FAD BAE x ∠=∠=，根据（2）结论得到关于x 方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）∠四边形ABCD 为矩形，∠∠B=∠ADF=∠BAD=90°，∠∠BAE+∠EAD=90°，∠AE∠AF ，∠∠EAD+∠FAD=90°，∠∠BAE=∠DAF ，∠ADF ABE △∽△，；（2）由（1）可得3DF x =，作GH CF ⊥于点，∠GH∠EC ，∠∠FGH∠∠FEC ，∠，，，613x DH DF FH -=-=， ；（3）如图，∠FGD AFE ∠=∠，∠AF∠GD ，∠ FAD ADG ∠=∠， ∠1cot cot FAD BAE x ∠=∠=，由（2）得3cot 16x ADG x-∠=-，， 解得（大于．舍去），的长为．【点睛】本题考查了相似三角形，三角函数等知识，综合性较强，难度较大，根据题意证明ADF ABE △∽△，理解余切的定义，并构造方程是解题关键．13. （2021虹口一模）如图，在中，，，，过点作射线//AM BC ，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），连接、分别交边于点、，．（1）当时，求的长（2）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）联结并延长交边于点，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出的长．【答案】（1）；（2）()243604520x y x x +=<<+；（3）或或． 【分析】【详解】（1）Rt △ABD 中，AD=1，AB=3，∴，∵//AM BC ，∴△ADF ∽△CBF ，∴=，∴BF=4DF ，∴（2）∵△ADF ∽△CBF ，∴，∵=，∴BF=，DF=，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∴AF=，∵AM ∥BC ，∴∠CAD=∠C ，∵，∴∠CAD=∠DBE ，∵∠AFD=∠BFG ，∴△ADF ∽△BGF ，∴，∴，∵，∴54x y x ⋅=+，∴()243604520x y x x +=<<+；（3）∵△ADF ∽△BGF ，∴，∴42054BG x x=++，∴，∵AM ∥BC ，∴∠DBE=∠C ，∠DEB=∠CBG ，∴△BDE ∽△CGB ，∴，∴，∴GE=BE -BG=，∵AM ∥BC ，∴△DEG ∽△HBG ，∴，∴BH=，分三种情况：①当BD=BH 时，29()494x x =++ ②当BD=DH 时，则BH=2AD=2x ，∴，解得x=；③当BH=DH 时，过H 作HP ⊥BD 于P ，此时BP=，∵∠ABD+∠PBH=∠ABD+∠ADB=，∴∠ADB=∠PBH ，∵∠BAD=∠BPH=,∴△ABD ∽△PHB ，∴，∴，解得x=，综上，线段AD 的长为或或．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，分情况讨论问题进行解答，（3）多次证明三角形相似，目的是求出线段BH 的长度，再根据等腰三角形的性质进行解答，如用（2）的思路进行求解BH 的长度，则无法进行求值，只能是通过其他方法求BH ，这是此题的难点． 14.（2021宝山一模） 如图，已知中，，AC BC =，点、在边上，45DCE ∠=︒，过点作的垂线交的延长线于点，联结．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当，2AD BD =时，求的长；（3）过点作射线的垂线，垂足为点，设，tan FMD y ∠=，求关于的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-3；（3）y=x(0<x<)．【分析】（1）先证∠B=∠DCE，再由∠DEC=∠CEB，得出△DEC∽△CEB，进而得出结论；（2）由△DEC∽△CEB得BC=BE，再由△DEC∽△DCA，得AD=AC，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF，先证△BDC∽△EDF，得出，进而得出=y，然后结合已知条件得出结果．【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠B=45°，∵∠DCE=45°，∴∠B=∠DCE，∵∠DEC=∠CEB，∴△DEC∽△CEB，∴，故CE²=BE·DE；（2）由题意得△DCE是等腰三角形，DC=CE，由△DEC∽△CEB得BC=BE，同理可得△DEC∽△DCA，AD=AC，∵BC=AC，∴BE=AD=BC=AC，∵AC=3，∴在Rt△ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，AB=3，∵AD=2BD，∴BD=AB-AD=AB-AC=3-3，AD=6-6，AE=BD=3-3，∴DE=AB-BD-AE=3-2(3-3)=6-3．（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∴EF∥BC，∴∠EFD=∠BCD，∵∠EDF=∠BDC，∴△BDC∽△EDF，∴，∴tan∠FMD=y，∴=y，在Rt△MFC中，∠MCF=45°，∴MF=CF，∴=y，∵，BE=BC，∴，∵，∴DE=，CD=，∴，，则y(1-y)=x(1-y)，y-xy=x-xy，y=x(0<x<)．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．⊥，垂足为F，点D是边AB 15. （2021松江一模）如图，已知在等腰中，AB AC==，，BF AC上一点（不与A，B重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和相似，求线段BD 的长．【答案】（1）10；（2）；（3）或．【分析】（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ，根据正切可求出AH =2x ，再根据勾股定理解出x 即可．（2）作//DE BC 交AC 于点E ，利用三角形面积公式可求出的长，再利用勾股定理可求出，从而得到．再利用ADE ABC 和结合边的等量关系得到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可．（3）根据题意可证明C DQF ∠=∠，所以分两种情况讨论①当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长②当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，同理设，解出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长．【详解】（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ，根据题意，，∴AH =2x ，在Rt ABH 中，，∴解得x =5．∴BH = 5．又∵是等腰三角形，即H 点为BC 中点，∴BC =2BH =10．（2）根据题意可知1122ABC S AH BC BF AC =⨯⨯=⨯⨯，即1010BF ⨯=⨯ ∴，．作//DE BC 交AC 于点E ，∴ADE ABC ，得到：，即．，得到：．又∵∴，由 ，解得，．∵//DE BC ，是等腰三角形，∴也是等腰三角形，∴．（3）∵90BQE QBE ∠+∠=︒，90C QBE ∠+∠=︒，∴BQE C ∠=∠，又∵BQE DQF ∠=∠，∴C DQF ∠=∠当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，设，∵,∴，∴，∴QF BF BQ x =-=，∵12QP PF QF x ===，∵tan 2DQP ∠=,∴， ∴，∵，即解得x =，经检验是原方程的解，即．∴ ．当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，设，同理，，，∵ , ∴142OQ x ==-，∴28DQ OQ x ==-，∴， 同理∵，即解得，经检验是原方程的解，．∴ ．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论．16.（2021嘉定一模）在矩形ABCD 中，，，点E 在CD 边上，.点F 是线段AE 上一点，联结，CF .（1）如图11，如果，求线段的长；（2）如图12，如果，①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段的长.证明：（1）过点F 作FH ⊥AB ，垂足为H .得FH ∥BC ∥AD ，∠BFH =∠CBF ，∠AFH =∠DAE.∵，，∴，.在Rt △BFH 中，设BH =3k ，由易得FH =4k . ···································································· 1分在Rt △AFH 中，由FH =4k ，易得AH =2k ， ································································· 1分又∵AB =6，∴2k+3k=6，解得. ·························································································· 1分∴，. ······························································································································ 1分（2）方法1.如图12-1，延长AE 交BC 的延长线于G .易得AD ∥BG ，DAE G ∠=∠, ················································································· 1分在Rt ADE △中，∵90D ∠=︒，，，∴，. ··························································································································· 1分∴.解得 ························································································································ 1分又∵，∴CG CF =，∴CFG G ∠=∠. ······································································· 1分∴∠CFE =∠DAE. ·········································································································· 1分（3）方法1.如图13-1，联结交于P ，类似（1）可求. ······················································ 1分 ∵AB CD ∥，∴.将，代入，得.又∵10BD =，∴4DP DE ==. ∴. ·········································································· 1分 又∵，∴ ···························································································································· 1分 又∵∠CFE =∠DAE ，∴△CEF ∽△APD . ··············································································· 1分 ∴.将、、=-=2CE CD DE 代入，得 ······················································································· 1分。

八年级坐标与几何综合题(压轴题)

八年级坐标与几何综合题(压轴题)

（1）2701, 直线AB; y=x-b分别与x轴y轴交于A(6,0), B两点, 过点B的直线交x 轴负半轴于C,（2）OB；OC=3: 1。

（3）求直线BC的解析式。

直线EF: y=kx—k（k≠0）.交AB于E, 交BC 于F, 交x轴于D, 是否存在这样的直线EF使得S△EBD=S△FBD?若存在求出k的值, 若不存在, 说明理由。

如图2,P为A点右侧x轴上的一动点, 以P为直角顶点 BP为腰, 在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ, 连接QA并延长交y 轴于点K 当P点运动时, K点的位置是否发生变化？如果不变求出它的坐标, 如果变化, 说明理由。

X（1）2702, 如图, 在平面直角坐标系中, 一次函数y=x+7与X轴, Y轴分别交与点A,C.点B为x轴正半轴上一点, 且△ＡＢＣ的面积为70。

（2）求直线BC的解析式。

动点P从A 出发沿线段AB向点B以每秒2个单位的速度运动, 同时点Q从点C出发沿射线CO以每秒1个单位的速度匀速运动, 当点P停止运动时点Q也停止运动。

连接PO,PC,设△ＡＢＣ的面积为S, 点P,Q的运动时间为t(秒), 求S与t的函数关系式, 并直接写出自变量的取值范围。

在（2）的条件下, 在直线BC上是否存在点D, 连接DP,DO.使得△DPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形, 若存在求出t值, 若不存在, 说明理由。

2703.在平面直角坐标系中, 直线y=x-4与X轴, Y轴分别交于A, D两点, AB⊥AD, 交y轴于点B 。

（1）求直线AB 的解析式。

（2）点P 为X 轴上一动点, PC ⊥PB, 交直线AD 于点C, 设 △PAC 的面积为S, 点P 的横坐标为t, 求S 与t 的函数关系式, 并写出自变量t 的取值范围。

（3）在（2）的条件下, 当S=2.5时, 求t 的值。

2704, 在平面直角坐标系中, 正比例函数y=x 的图像上有一点P （点P 在第一象限）, 点A 为Ｙ轴上的一动点, ＰＢ⊥ＰＡ, 交Ｘ轴正半轴与点Ｂ, ＰＨ⊥Ｘ轴。

专题17 解密几何综合压轴题(原卷版)

专题17 解密几何综合压轴题(原卷版)

专题17 解密几何综合压轴题1．【问题情境】：数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片()ABCD AD AB>，其中宽8AB=．(1)【动手实践】：如图1，威威同学将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点M处，折痕为BN，连接MN，然后将纸片展平，得到四边形ABMN，则折痕BN的长度为______．(2)【探究发现】：如图2，胜胜同学将图1中的四边形ABMN 剪下，取AN 边中点E ，将ABE 沿BE 折叠得到A BE '，延长BA '交MN 于点F ．点Q 为BM 边的中点，点P 是边MN 上一动点，将MQP △沿PQ 折叠，当点M 的对应点M '落在线段BF 上时，求此时tan PQM ∠的值； (3)【反思提升】：明明同学改变图2中Q 点的位置，即点Q 为BM 边上一动点，点P 仍是边MN 上一动点，按照（2）中方式折叠MQP △，使点M '落在线段BF 上，明明同学不断改变点Q 的位置，发现在某一位置QPM ∠与（2）中的PQM ∠相等，请直接写出此时BQ 的长度．2．综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM ，BM ．根据以上操作，当点M 在EF 上时，写出图1中一个30°的角：______． (2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD 按照（1）中的方式操作，并延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ． ①如图2，当点M 在EF 上时，∠MBQ ＝______°，∠CBQ ＝______°；②改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合），如图3，判断∠MBQ 与∠CBQ 的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用在（2）探究中，已知正方形纸片ABCD 的边长为8cm ，当FQ ＝1cm 时，直接写出AP 的长．3．将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB ' ，记旋转角为α．连接BB '，过点D 作DE 垂直于直线BB '，垂足为点E ，连接,DB CE '，()1如图1，当60α=︒时，DEB '∆的形状为 ，连接BD ，可求出BB CE'的值为 ；()2当0360α︒<<︒且90α≠︒时，①()1中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点,,,B E C D '为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出'BEB E的值．4．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE BC ⊥，垂足为点E ，GF CD ⊥，垂足为点F ．(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形：②推断：AGBE的值为_____________；(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（045），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．①求证：AHG CHA△∽△．②若8AG=，GH=BC=_________________．5．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是直线AB上一动点（点D不与点A，B重合），以CD为边作正方形CDEF，连接AE，AF．(1)观察猜想当点D在线段AB上时，线段BD与AF的数量关系是______，∠CAE的度数是______．(2)探究证明当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．(3)解决问题当BD=AE的长．6．已知，在△ABC中，AB=AC，点D为边AC上一动点，∠BDE=∠A且DB=DE，连接BE，EC，其中ADk EC=．问题发现：（1）如图1，若∠A=60°，∠BCE与∠A怎样的数量关系？k的值为多少？直接写出答案．类比探究：（2）如图2，若32ABBC=，点D在AC的延长线上，∠BCE与∠A有怎样的数量关系？k的值为多少？请说明理由．拓展应用：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，D为AC上一点，以BD为边，在如图所示位置作正方形BDEF，点O为正方形BDEF的对称中心，且OA=出DE的长．7．在四边形ABCD中，点E为AB边上一点，点F为对角线BD上的一点，且EF AB⊥．（1）若四边形ABCD 为正方形；①如图1，请直接写出AE 与DF 的数量关系；②将EBF △绕点B 逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想AE 与DF 的数量关系并说明理由；（2）如图3，若四边形ABCD 为矩形，BC mAB =，其它条件都不变，将EBF △绕点B 逆时针旋转9(0)0αα︒<<︒得到△E BF ''，连接AE '，DF '，请在图3中画出草图，并求出AE '与DF '的数量关系．8．（1）问题发现如图1，在∠OAB 和∠OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ．填空：①ACBD的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．9．解答题(1)如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD、CE，求证，BD CE；[类比探究](2)如图2，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，连接BD CE ，．求BDCE的值．[拓展提升](3)如图3，ABC 和ADE 都是直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，2AC AEAB AD==．连接BD CE 、，延长CE 交BD 于点F ，连接AF ．若AFC ∠恰好等于90︒，请直接写出此时AF BF CF ，，之间的数量关系．10．如图1，已知矩形ABCD 中，43AB BC =，O 是矩形ABCD 的中心，过点O 作OE AB ⊥于E ，作OF BC ⊥于F ，得矩形BEOF ．(1)线段AE与CF的数量关系是，直线AE与CF的位置关系是；、．那(2)固定矩形ABCD，将矩形BEOF绕点B顺时针旋转到如图2的位置，连接AE CF么（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；AB ，当矩形BEOF旋转至点O在CF上时（如图3），设OE与BC交于点P，求(3)若8PC的长．11．（1）如图1，正方形ABCD的中心为点O，正方形OA′B′C′与正方形ABCD的边长相等．正方形OA′B′C′绕点O旋转，运动过程中两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？如果变化，重叠部分的面积如何变化；如果不变，重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有何关系？请写出结论并证明．结论：______________________________________________________证明：______________________________________________________（2）如图2，正三角形ABC的中心为点O，正三角形OA′B′与正三角形ABC的边长相等，边OA′经过点B．正三角形OA′B′绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤120°），运动过程中两个正三角形重叠部分的面积是否发生变化？如果变化，重叠部分的面积如何变化；如果不变，重叠部分的面积与正三角形ABC的面积有何关系？请写出研究过程．12．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为___________；②ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． ①线段PB 长的最小值为_______；②若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．。

济南市中考数学几何综合压轴题易错专题

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济南市中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明：四边形CEGF是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝22，求BC的长．解析：（1）证明见解析；（2）AG2BE，理由见解析；（3）5【分析】（1）先说明GE⊥BC、GF⊥CD，再结合∠BCD=90°可证四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可证明；（2）连接CG，证明△ACG∽△BCE，再应用相似三角形的性质解答即可；（3）先证△AHG∽△CHA可得AG GH AHAC AH CH==，设BC＝CD＝AD＝a，则AC2，求出AH=23a，DH=13a，10，最后代入AG AHAC CH=即可求得a的值．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形．（2）结论：AG2；理由：连接CG，由旋转性质知∠BCE ＝∠ACG ＝α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG ＝cos45°2，2cos 45CB CA ︒== ， ∴2CE CA CG CB=， ∴△ACG ∽△BCE ， ∴2AG CA BE CB == ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG 2；（3）∵∠CEF ＝45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC ＝135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC ＝∠BEC ＝135°，∴∠AGH ＝∠CAH ＝45°，∵∠CHA ＝∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AH AC AH CH==， 设BC ＝CD ＝AD ＝a ，则AC 2a ， 则由AG GH AC AH =222a = ∴AH ＝23a ， 则DH ＝AD ﹣AH ＝13a ，2210CH CD DH =+=， ∴AG AH AC CH =23210a a = ， 解得：a ＝5BC ＝5【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查相似形的判定和性质、正方形的性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题并利用参数构建方程解决问题．2．（1）（问题背景）如图1，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是直线BC 上的一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°至AE ，连接CE ，求证：ABD ACE △≌△；（2）（尝试应用）如图2，在（1）的条件下，延长DE ，AC 交于点G ，BF AB ⊥交DE 于点F ．求证：2FG AE =；（3）（拓展创新）如图3，A 是BDC 内一点，45ABC ADB ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，3BD =，直接写出BDC 的面积为_____________．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）32【分析】（1）【问题背景】如图1，根据SAS 证明三角形全等即可．（2）【尝试应用】如图2，过点D 作DK ⊥DC 交FB 的延长线于K ．证明△ECG ≌△DKF （AAS ），推出DF ＝EG ，再证明FG ＝DE ＝2AE 即可．（3）【拓展创新】如图3中，过点A 作AE ⊥AD 交BD 于E ，连接CE ．利用全等三角形的性质证明CE ＝BD ，CE ⊥BD ，再根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）【问题背景】证明：如图1，∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴DAB EAC ∠=∠，在ABD △和ACE 中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABD ACE SAS △≌△．（2）【尝试应用】证明：如图2，过点D 作DK DC ⊥交FB 的延长线于K ．∵DK CD ⊥，BF AB ⊥，∴90BDK ABK ∠=∠=︒，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∴45DBK K ∠=∠=︒，∴DK DB =，∵ABD ACE △≌△，∴135ABD ACE ∠=∠=︒，DB EC DK ==，∴45ECG ∠=︒，∵BF AB ⊥，CA AB ⊥，∴AG BF ∥，∴G DFK ∠=∠，在ECG 和DKF △中，ECG K G DFK CE KD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ECG DKF AAS ≌△△，∴DF EG =， ∵2DE AE =，∴2DF EF AE +=，∴2EG EF AE +=，即2FG AE =．（3）【拓展创新】如图3中，过点A 作AE AD ⊥交BD 于E ，连接CE ．∵45ADB ∠=︒，90DAE ∠=︒，∴ADE 与ABC 都是等腰直角三角形，同法可证ABD ACE △≌△， ∴3CE BD ==， ∵45AEC ADB ∠=∠=︒，∴90CED CEB ∠=∠=︒， ∴11333222BDC S BD CE =⋅⋅=⨯⨯=△． 故答案为：32． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为 ；[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝10，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM 的值； [拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B ′处，折痕为CM ．①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB ′上的一个动点，将△APM 沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A ′，A ′M 与CP 交于点F ，求PF MF的取值范围． 解析：（1）AM ＝BM ；（2）169；（3）①AC ＝152；②310≤PF FM ≤34． 【分析】 （1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质求出BM ，AM 即可．（3）①证明△BCM ∽△BAC ，推出BC BM CM AB BC AC== 由此即可解决问题．②证明△PFA ′∽△MFC ，推出'PF PA FM CM =，因为CM =5，推出'5PF PA FM =即可解决问题． 【详解】 解：（1）如图①中，∵△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，∴MN 垂直平分线段BC ，∴CN ＝BN ，∵∠MNB ＝∠ACB ＝90°，∴MN ∥AC ，∵CN ＝BN ，∴AM ＝BM ．故答案为：AM ＝BM ．（2）如图②中，∵CA ＝CB ＝6，∴∠A ＝∠B ，由题意MN 垂直平分线段BC ，∴BM ＝CM ，∴∠B ＝∠MCB ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴BC BM BA BC =， ∴6106BM =， ∴BM ＝185， ∴AM ＝AB ﹣BM ＝10﹣183255=，∴321651895AM BM ==； （3）①如图③中，由折叠的性质可知，CB ＝CB ′＝6，∠BCM ＝∠ACM ，∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴BC BM CM AB BC AC == ∴696BM =， ∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5，∴659AC=， ∴AC ＝152． ②如图③﹣1中，∵∠A ＝∠A ′＝∠MCF ，∠PFA ′＝∠MFC ，PA ＝PA ′，∴△PFA ′∽△MFC ，∴PF PA FM CM'=， ∵CM ＝5，∴5PF PA FM '=， ∵点P 在线段OB 上运动，OA ＝OC ＝154，AB ′＝152﹣6＝32， ∴32≤PA ′≤154， ∴310≤PF FM ≤34． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．4．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形ABCD 中，若180A C ∠+∠=︒或180B D ∠+∠=︒，则四边形ABCD 是“对补四边形”．（概念理解）（1）如图1，四边形ABCD 是“对补四边形”．①若::3:2:1A B C ∠∠∠=，则D ∠=________；②若90B ∠=︒．且3,2AB AD ==时．则22CD CB -=_______；（拓展提升）（2）如图，四边形ABCD 是“对补四边形”，当AB CB =，且12EBF ABC ∠=∠时，图中,,AB CF EF 之间的数量关系是 ，并证明这种关系； （类比应用）（3）如图3，在四边形ABCD 中，,AB CB BD =平分ADC ∠；①求证：四边形ABCD 是“对补四边形”；②如图4，连接AC ，当90ABC ∠=︒，且12ACDABC S S =时，求tan ACD ∠的值． 解析：（1）①90︒，②5；（2）AE CF EF +=，理由见解析；（3）①见解析，②23【分析】（1）①根据“对补四边形”的定义，结合::3:2:1A B C ∠∠∠=，即可求得答案； ②根据“对补四边形”的定义，由90B ∠=︒，得D ∠90=︒，再利用勾股定理即可求得答案；（2）延长EA 至点K ，使得AK CF =，连接BK ，根据“对补四边形”的定义，可证明ABK CBF △≌△，继而证明BEK BEF △≌△，从而可得结论； （3）①过点B 作BM AD ⊥于点M ，BN AC ⊥于点N ，则90BMA BNC ∠=∠=︒,可证Rt ABM Rt CBN △≌△，进而可证四边形ABCD 是“对补四边形”； ②设,AD a DC b ==，则tan a ACD b ∠=根据222AC a b =+，再运用12ACD ABC S S =建立方程，解方程即可求得tan ACD ∠．【详解】（1）::3:2:1A B C ∠∠∠=，设3,2,A x B x C x ∠=∠=∠=，根据“对补四边形”的定义，180A C ∠+∠=︒，即3180x x +=︒，解得45x =︒，290B x ∴∠==︒，180B D ∠+∠=︒，90D ∴∠=︒．故答案为：90︒．②如图1，连接AC ，90B ∠=︒，180B D ∠+∠=︒，90D ∴∠=︒，在Rt ABC 中22BC AC AB =-，在Rt ADC 中222CD AC AD =-，22222222()CD CB AC AD AC AB AB AD ∴-=---=-， 3,2AB AD ==，2222325CD CB ∴-=-=，故答案为：5．（2）AE CF EF +=，理由如下：如图2，延长EA 至点K ,使得AK CF =，连接BK ，四边形ABCD 是“对补四边形”， ∴180BAD C ∠+∠=︒， 180BAK BAD ∠+∠=︒，∴BAK C ∠=∠，,AK CF AB CB ==， ∴()ABK CBF SAS △≌△， ∴,ABK CBF BK BF ∠=∠=， ∴ABK ABF CBF ABF ∠+∠=∠+∠， 即KBF ABC ∠=∠， 12EBF ABC ∠=∠， ∴12EBF KBF ∠=∠， ∴EBK EBF ∠=∠， ,BK BF BE BE ==，∴()BEK BEF SAS △≌△, ∴EK EF =，∴AE CF AE AK EK EF +=+==， 即AE CF EF +=，故答案为：AE CF EF +=． （3）①证明：如图3，过点B 作BM AD ⊥于点M ，BN AC ⊥于点N ，则90BMA BNC ∠=∠=︒， BD 平分ADC ∠， BM BN ∴=，AB CB =，()Rt ABM Rt CBN HL ∴△≌△，BAM C ∴∠=∠， 180BAM BAD ∠+∠=︒，180C BAD ∴∠+∠=︒，BAD ∴∠与C ∠互补，∴四边形ABCD 是“对补四边形”；②由①可知四边形ABCD 是“对补四边形”， 180ABC ADC ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90ADC ∴∠=︒，设AD a DC b ==，，则22222AC AD CD a b =+=+， AB BC =，2222211()22AB BC AC a b ∴===+， 1122ACD S AD CD ab ∴=⋅=△， 222111()224ABC S AB BC AB a b =⋅==+△，12ACD ABCS S=， 22112=12()4ab a b ∴+，整理得：2()410a ab b-⨯+=，解得：2ab= 在Rt ABC 中，tan a ACD b∠=，∴tan ACD∠=2．【点睛】本题考查了勾股定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，三角函数的定义等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质，准确理解新定义是解题的关键． 5．情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示.将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是▲，∠CAC′= ▲ °．问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.解析：情境观察：AD（或A′D），90问题探究：EP=FQ. 证明见解析结论： HE=HF. 证明见解析【详解】情境观察AD（或A′D），90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.同理AG=FQ. ∴EP=FQ拓展延伸结论： HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，同理△ACG∽△FAQ，∵AB= k AE，AC= kAF，∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF6．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A 顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10417或12﹣372．【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．【详解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′，设EB=ED′=x ， 由勾股定理得：42+（3+x ）2=（4+x ）2， 解得：x=4.5， 过点D ′作D′F ⊥CE 于F ， ∴D′F ∥AC ， ∴△ED′F ∽△EAC ， ∴D F ED AC AE ''=， 即4.544 4.5D F '=+， 解得：D′F=3617， ∴S △ACE =12AC×EC=12×4×（3+4.5）=15；S △BED′=12BE×D′F=12×4.5×3617=8117， 则S 四边形ACBD′=S △ACE ﹣S △BED′=15﹣8117=10417； （ii ）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E ⊥AC 于点E ， 如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3，在Rt △AED′中，根据勾股定理得：7， ∴S △AED′=12AE×ED′=12737S 矩形ECBD′=CE×CB=（47）×3=12﹣7， 则S 四边形ACBD′=S △AED′+S 矩形ECBD′37+12﹣737【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．7．如图所示，在△ABC 中，AB BC =，D 、E 分别是边AB 、BC 上的动点，且BD BE =，连结AD 、AE ，点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点，设B α∠=．（1）观察猜想 ①在求MNCE的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令60α=︒，解题思路如下： 如图1，先由,AB BC BD BE ==，得到CE AD =，再由中位线的性质得到PM PN =，60NPM ∠=︒，进而得出△PMN 为等边三角形，∴12MN NP CE CE ==． ②如图2，当90α=︒，仿照小明的思路求MNCE的值； （2）探究证明 如图3，试猜想MNCE的值是否与()0180αα︒<<︒的度数有关，若有关，请用含α的式子表示出MNCE，若无关，请说明理由； （3）拓展应用如图4，2,36AC B =∠=︒，点D 、E 分别是射线AB 、CB 上的动点，且AD CE =，点M 、N 、P 分别是线段CD 、AE 、AC 的中点，当1BD =时，请直接写出MN 的长． 解析：（1）②2MN CE =2）MN CE 的值与α的度数有关，sin 2MN CE α=；（3）MN 的长55-35+ 【分析】（1）②先根据线段的和差求出AD CE =，再根据中位线定理、平行线的性质得出,45PM PN APN CPM =∠=∠=︒，从而可得出90NPM ∠=︒，然后根据等腰直角三角形的性质即可得；（2）参照题（1）的方法，得出PMN 为等腰三角形和NPM ∠的度数，再利用等腰三角形的性质即可求出答案；（3）分两种情况：当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时和当点D 、E 分别是边AB 、CB 的延长线上的动点时，如图（见解析），先利用等腰三角形的性质与判定得出,ABC BCE CAB AFC ∠=∠∠=∠，再根据相似三角形的判定与性质得出BC 、CE 的长，由根据等腰三角形的三线合一性得出1,182BP AC CBP ABC ⊥∠=∠=︒，从而可得sin18︒的值，最后分别利用（2）的结论即可得MN 的长． 【详解】 （1）②,AB BC BD BE ==∴AD CE = ,90AB BC B =∠=︒∴ABC 为等腰直角三角形，45ACB CAB ∠=∠=︒∵点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点 11//,,//,22PN CE PN CE PM AD PM AD ∴==,45,45PM PN APN ACB CPM CAB ∴=∠=∠=︒∠=∠=︒∴18090NPM APN CPM ∠=︒-∠-∠=︒ ∴PMN 为等腰直角三角形，∴222MN PN CE == 即22MN CE =； （2）MNCE的值与α的度数有关，求解过程如下： 由（1）可知，PM PN =，即PMN 为等腰三角形180180NPM APN CPM ACB CAB B α∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠=如图5，作PH MN ⊥ 则11,222NH MN NPH NPM α=∠=∠= 在Rt NPH 中，sin NHNPH PN∠=，即12sin 122MN CE α=则sin 2MN CE α=；（3）依题意，分以下两种情况： ①当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时如图6，作ACB ∠的角平分线交AB 边于点F ，并连结BP2,36,AC ABC AB AC =∠=︒=72ACB CAB ∴∠=∠=︒136,722ACE BCE ACB AFC ABC BCE ∴∠=∠=∠=︒∠=∠+∠=︒,ABC BCE CAB AFC ∴∠=∠∠=∠2BF CF AC ∴===，ACF ABC ~AF ACAC AB∴=，即2AC AF AB =⋅ 设==AB BC x ，则2AF AB BF x =-=- 22(2)x x ∴=-解得15x 或15x =-（不符题意，舍去）即15BC =+1515CE BC BE BC BD ∴=-=-=+-=由（2）可知，36sin sin182MN CE ︒==︒ sin185sin18MN CE ∴=⋅︒=︒点P 是AC 上的中点1,182BP AC CBP ABC ∴⊥∠=∠=︒，112CP AC ==（等腰三角形的三线合一）在Rt CBP 中，sin CP CBP BC ∠=，即151sin18415-︒==+51555sin18544MN --∴=︒=⨯=②如图7，当点D 、E 分别是边AB 、CB 的延长线上的动点时 同理可得：15BC =+15125CE BC BE BC BD ∴=+=+=++=+5135sin18(25)44MN CE -+∴=⋅︒=+⨯=综上，MN 的长为554-或354+．【点睛】本题考查了中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况，并结合题（2）的结论是解题关键．8．()1问题发现如图①，正方形,ABCD DEFG 、将正方形DEFG 绕点D 旋转，直线AE CG 、交于点,P 请直接写出线段AE 与CG 的数量关系是 ，位置关系是 _；()2拓展探究如图②，矩形,2,2,ABCD DEFG AD DE AB DG ==、将矩形DEFG 绕点D 旋转，直线,AE CG 交于点,P ()1中线段关系还成立吗/若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AE CG 、的数量关系和位置关系，并说明理由；()3解决问题在()2的条件下，24,28,AD DE AB DG ====矩形DEFG 绕D 点旋转过程中，请直接写出当点P 与点G 重合时，线段AE 的长，解析：()1,AE CG AE CG =⊥；()()21中数量关系不成立，位置关系成立．1,2AE AE CG CG =⊥，理由见解析；()32565【分析】（1）证明△ADE ≌△CDG （SAS ），可得AE ＝CG ，∠DAG ＝∠DCG ，再由直角三角形两个锐角互余即可证得AE ⊥CG ；（2）先证明△ADE ∽△CDG ，利用相似三角形的性质证明即可．（3）先通过作图找到符合题意的两种情况，第一种情况利用勾股定理求解即可；第二种情况借助相似三角形及勾股定理计算即可． 【详解】（1）,AE CG AE CG =⊥；理由如下：由题意知在正方形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒，,AD DC DE DG ==， EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠EDA GDC ∴∠=∠在△ADE 与△CDG 中，AD DC ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CDG （SAS ） ∴AE CG =，DEA DGC ∠=∠ ∵对顶角相等，∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠ 90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥．（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．即：1,2AE AE CG CG =⊥ 理由如下：由题意知在矩形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒，EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠EDA GDC ∴∠=∠2,2AD DE AB DG ==，2AD DC .EDAGDC ∴ 12AE CG ∴=，DEA DGC ∠=∠ ∵对顶角相等∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥．综上所述：1,2AE AE CG CG =⊥ （3）如图1，当点G 、P 在点A 处重合时，连接AE ，则此时∠ADE ＝∠GDE ＝90°∴在Rt △ADE 中，AE ＝22224225AD DE +=+= ，如图1，当点G 、P 重合时， 则点A 、E 、G 在同一直线上，∵AD ＝DG ＝4，∴∠DAG ＝∠DGA ，∵∠ADC ＝∠AGP ＝90°，∠AOD ＝∠COG ，∴∠DAG ＝∠COG ，∴∠DGA ＝∠COG ，又∵∠GDO ＝∠CDG ，∴△GDO ∽△CDG ，∴DO DG OG DG DC CG==48CG ∴DO ＝2，CG ＝2OG ，∴OC ＝DC －DO ＝8－2＝6，∵在Rt △COG 中，OG 2＋GC 2＝OC 2，∴OG 2＋（2OG ）2＝62，∴OG ＝655（舍负）， ∴CG ＝1255， 由（2）得：12AE CG = ∴AE ＝655， 综上所述，AE 的长为25或655． 【点睛】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键．9．[问题解决]（1）如图1．在平行四边形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上的点B '处，折线AE 交BC 于点E ，连接B 'E ．求证：四边形ABEB '是菱形．[规律探索]（2）如图2，在平行四边形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点P 的直线折叠，点B 恰好落在AD 上的点Q 处，点A 落在点A ′处，得到折痕FP ，那么△PFQ 是等腰三角形吗？请说明理由．[拓展应用]（3）如图3，在矩形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点P 的直线折叠，得到折痕FP ，点B 落在纸片ABCD 内部点B '处，点A 落在纸片ABCD 外部点A '处，A B ''与AD 交于点M ，且A 'M ＝B 'M ．已知：AB ＝4，AF ＝2，求BP 的长．解析：（1）证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）422．【分析】（1）由平行线的性质和翻折可推出CEB ABE '∠=∠，即//AB B E '．故四边形ABEB '是平行四边形，再由翻折可知AB AB '=，即证明平行四边形ABEB '是菱形．（2）由翻折和平行线的性质可知BPF QPF ∠=∠，BPF QFP ∠=∠，即得出QPF QFP ∠=∠，即PFQ △是等腰三角形．（3）延长PB '交AD 于点G ，根据题意易证()FA M GB M ASA ''≅，得出结论2A F B G AF ''===，FM GM =．根据（2）同理可知PFG △为等腰三角形，即FG =PG ．再在Rt A FM '中，FM =2PG FG FM ===2PB PB PG B G ''==-=．【详解】（1）由平行四边形的性质可知//AD BC ，∴AB E CEB ''∠=∠，由翻折可知AB E ABE '∠=∠，∴CEB ABE '∠=∠，∴//AB B E '．∴四边形ABEB '是平行四边形．再由翻折可知AB AB '=，∴四边形ABEB '是菱形．（2）由翻折可知BPF QPF ∠=∠，∵//AD BC ，∴BPF QFP ∠=∠，∴QPF QFP ∠=∠，∴QF =QP ，∴PFQ △是等腰三角形．（3）如图，延长PB '交AD 于点G ，根据题意可知90FA M GB M ''∠=∠=︒，在FA M '和GB M '中，90FA M GB M A M B M FMA GMB ''''∠=∠''=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()FA M GB M ASA ''≅，∴2A F B G AF ''===，FM GM =．根据（2）同理可知PFG △为等腰三角形．∴FG =PG ．∵2A F AM '==，∴在Rt A FM '中，FM =∴2FG FM ==∴PG =∴2PB PB PG B G ''==-=．【点睛】本题为矩形的折叠问题．考查矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强．掌握折叠的性质和正确的连接辅助线是解答本题的关键．10．（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°，求证：AP2+BP2=CP2证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等边三角形∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC=∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2（2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．（3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），请直接写出k的值．解析：（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，见解析；（3）3【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可．（2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证PP′=2PA，再根据勾股定理代换即可．（3）将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证3，再根据勾股定理代换即可．【详解】（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2（2）关系式为：2PA2+PB2=PC2证明：将△APC 绕A 点逆时针旋转90°，得到△AP’B ，连接PP’，则△APP’为等腰直角三角形，∴∠APP’=45°，PP’=2PA ，P C=P’B ，∵∠APB=135°，∴∠BPP’=90°，∴P’P 2+BP 2=P’B 2，∴2PA 2+PB 2=PC 2．（3）k=3将△APC 绕点A 顺时针旋转120°得到△AP’B ，连接PP’，过点A 作AH ⊥PP’，可得303,APP PP PA PC P B '︒''∠===60APB ︒∠=90BPP '︒∴∠=222P P BP P B ''∴+=222(3)PA PB PC ∴+=222()kPA PB PC +=3k ∴=【点睛】本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键．11．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．（1）观察猜想图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____；（2）探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值． 解析：（1）相等，60；（2）MNP △是等边三角形，理由见解析；（3）MNP △面积的3【分析】（1）根据＂120,,A AB AC ∠==,AD AE =点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点＂，可得MN //BD ，NP //CE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出MNP ∠．（2）先求出ABD ACE △≌△，得出ABD ACE ∠=∠，根据MN //BD ，NP //CE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN ，再等量代换求出MNP ∠，即可求解．（3）根据BD AB AD ≤+，可知BD 最大值，继而求出MNP △面积的最大值．【详解】()1由题意知：AB=AC ，AD=AE ，且点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点， ∴BD=CE ，MN //BD ，NP //CE ，MN=12BD ，NP=12EC∴MN=NP又∵MN //BD ，NP //CE ，∠A=120︒，AB=AC ，∴∠MNE=∠DBE ，∠NPB=∠C ，∠ABC=∠C=30根据三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP ，∠ENP=∠NBP+∠NPB ，∠NPB=∠C ，∠MNE=∠DBE ，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C =60． ()2MNP 是等边三角形．理由如下：如图，由旋转可得BAD CAE ∠=∠ 在ABD 和ACE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ACE SAS ∴≌BD CE ABD ACE ，=∠=∠∴．点M N 、分别为DE BE 、的中点，MN ∴是EBD △的中位线，12MN BD ∴=且//MN BD 同理可证12PN CE =且//PN CE ,MN PN MNE DBE NPB ECB ，∴=∠=∠∠=∠MNE DBE ABD ABE ACE ABE ∠=∠=∠+∠=∠+∠ENP EBP NPB EBP ECB ∠=∠+∠=∠+∠MNP MNE ENP ACE ABE EBP ECB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠60ABC ACB =∠+∠=︒．在MNP △中∵∠MNP=60︒，MN=PNMNP ∴是等边三角形．()3根据题意得:BD AB AD ≤+即4BD ≤，从而2MN ≤MNP △的面积212MN ==． ∴MNP △【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键．12．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一动点，设DE ＝nEA ，连接CE 并延长，交AB 于点F ．（1）尝试探究：如图1，当∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，DE ＝EA 时，BF ，BA 之间的数量关系是 ；（2）类比延伸：如图2，当△ABC 为锐角三角形，DE ＝EA 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移：如图3，当△ABC 为锐角三角形，DE ＝nEA 时，请直接写出BF ，BA 之间的数量关系．解析：（1）23BF AB =；（2）仍然成立，见解析；（3）221BF n AB n =+ 【分析】 （1）尝试探究：过点D 作DMCF ，交AB 于M ，可证BDM BCF ∽, ，AFE AMD ∽ ，可得11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ==== ，可证BM MF AF ＝＝， 可得BF ，BA 之间的数量关系； （2）类比延伸：过点D 作DMCF ，交AB 于M ，可证BDM BCF ∽，AFE AMD ∽，可得11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ====，可证BM MF AF ＝＝，可得BF BA ，之间的数量关系； （3）拓展迁移：过点D 作DMCF ，交AB 于M ，由平行线分线段成比例可得BM MF FM nAF ＝，＝，可得22AB nAF AF BF nAF +＝，＝，即可求BF BA ，之间的数量关系．【详解】解：（1）尝试探究如图，过点D 作DM CF ，交AB 于M∵AD 是中线，AE DE ＝∴1122BD CD BC AE AD ＝＝，＝ ∵DM CF ，∴BDM BCF ∽，AFE AMD ∽ ∴11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ==== ∴22BF BM AM AF ＝，＝∴BM MF AF FM ＝，＝∴BM MF AF ＝＝∴23BF AB =（2）类比延伸：结论仍然成立，理由如下：如图，过点D 作DM CF ，交AB 于M∵AD 是中线,AE DE ＝ ∴1122BD CD BC AE AD ＝＝，＝ ∵DM CF ，∴BDM BCF ∽，AFE AMD ∽ ∴11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ==== ∴22BF BM AM AF ＝，＝∴BM MF AF FM ＝，＝∴BM MF AF ＝＝∴23BF AB = （3）拓展迁移 如图，过点D 作DMCF ，交AB 于M∵DM FC ，且BD CD ＝∴1BD BM DC FM== ∴BM MF ＝∵DM CF DE nEA ，＝∴1AE AF DE FM n== ∴FM nAF ＝∴BM MF nAF ＝＝∴2AB nAF AF +＝ 2BF nAF ＝ ∴221BF n AB n =+ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质综合，根据题干条件作出辅助线并得到对应的相似三角形是解决本题的关键.13．在Rt ABC 中，9072ACB AB AC ∠=︒==，，，过点B 作直线m AC ∥，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到A B C '''（点A B ，的对应点分别为A B ''，）．（1）问题发现如图1，若P 与A 重合时，则ACA '∠的度数为____________；（2）类比探究：如图2，设AB 与BC 的交点为M ，当M 为A B ''的中点时，求线段PQ 的长；（3）拓展延伸在旋转过程中，当点P Q ，分别在CA CB ''，的延长线上时，试探究四边形PA B O ''的面积是否存在最小值．若存在，直接写出四边形PA B O ''的最小面积；若不存在，请说明理由．解析：（1）60︒；（2）72；（3）33 【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到3∠A'BC=90°，可得3cos BC A CB A C ''∠==，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°； （2）根据M 为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM ，进而得到332PB ==，依据tan ∠Q=tan ∠33，进而得出PQ=PB+BQ=72； （3）依据S 四边形PA'B′Q =S △PCQ -S △A'CB '=S △PCQ 3S 四边形PA'B′Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ =123，利用几何法或代数法即可得到S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA'B′Q =3-3 【详解】解：（1）由旋转可得：2AC A C ''==，90,7,2ACB AB AC ∠=︒==，3BC ∴90ACB ∠=︒，m AC ∥，90A BC '∴∠=︒，cos BC A CB A C '∴∠==' 30A CB '∴∠=︒，60ACA ∴'∠=︒．（2）M 为A B ''的中点，A CM MA C ''∴∠=∠,山旋转可得，MA C A '∠=∠，A A CM '∴∠=∠，tan tan PCB A ∴∠-∠32PB ∴==，tan tan BQC PCB ∠=∠=2BQ BC ∴===， 72PQ PB BQ ∴=+=；（3）S 四边形PA B Q PCQ A CB PCQ S S S ''''==-△△△S ∴四边形PA B Q ''最小即PCQ S 最小，12PCQ S PQ BC ∴=⨯⨯=△， 取PQ 的中点C ，90PQC ∠=︒，12CC PQ '∴=，即2PQ CC '=， 当CG 最小时，PQ 最小，CG PQ ∴⊥，即CG 与CB 正合时,CG 最小，min CG ∴=min PQ =，PCQ S ∴△的最小值3=， S 四边形PA B Q ''=3【点睛】此题考查四边形综合题，旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题关键在于掌握旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．14．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180a a ︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180a β+=︒时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=︒，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=︒，120A B ∠+∠=︒，123BC =6CD =，63DA =P ，使PDC △与PAB △之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．解析：（1）①12；②4，（2）12AD BC =；理由见解析，（3）存在；313【分析】（1）①首先证明ADB '∆是含有30的直角三角形，可得1122AD AB BC '==，即可解决问题；②首先证明BAC B AC ''∆∆≌，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题． （2）AD 与BC 的数量关系为12AD BC =，如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，先证四边形AC MB ''是平行四边形，再证明BAC AB M '∆∆≌，即可解决问题．（3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，做直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，先证明PA PD =，PB PC =，再证明+180APD BPC ∠∠=︒，即可得出结论，再在Rt PDQ ∆中，根据勾股定理，即可求出PQ 的长．【详解】（1）①如图2，∵ABC ∆是等边三角形，把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，∴===AB AC BC AB AC ''=，又∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，∴=DB DC ''，∴AD B C ''⊥，即90ADB '∠=︒，∵60BAC ∠=︒，180BAC B AC ''∠+∠=︒，∴120B AC ''∠=︒，∴=30B C ''∠∠=︒，∴在ADB '∆中，90ADB '∠=︒，30B '∠=︒， ∴1122AD AB BC '==．故答案为：12． ②如图3，∵90BAC ∠=︒，+=180BAC B AC ''∠∠︒，∴==90BAC B AC ''∠∠︒，即ABC ∆和AB C ''∆为直角三角形，∵把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '， ∴=AB AB '，=AC AC '，∴在ABC ∆和AB C ''∆中，===AB AB BAC B AC AC AC '''∠'⎧⎪∠⎨⎪⎩∴BAC B AC ''∆∆≌，∴=BC B C ''，∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，AB C ''∆为直角三角形，∴1122AD B B C C ''==， 又∵8BC =， ∴11=8=422AD BC =⨯． 故答案为：4． （2）12AD BC =， 如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，图5∵=B D DC ''，AD DM =，∴四边形AC MB ''是平行四边形，∴AC B M AC ''==，∵+=180BAC B AC ''∠∠︒，+=180B AC AB M '''∠∠︒，∴=BAC AB M '∠∠，∵=AB AB '，∴在BAC ∆和AB M '∆中，==AC B M BAC AB M AB AB ''=⎧'⎪∠∠⎨⎪⎩∴BAC AB M '∆∆≌，∴BC AM =， ∴12AD BC =． （3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，图6∵+=120A B ∠∠︒，∴=180=60M A B ∠︒-∠-∠︒， ∵=90C ∠︒，∴=180=30MDC M MCD ∠︒-∠-∠︒，在Rt DCM ∆中，∵=6CD ，=90DCM ∠︒，=30MDC ∠︒， ∴3CM =43DM =60M ∠︒， 在Rt BEM ∆中，∵=90BEM ∠︒，143BM BC CM =+==30MDC ∠︒，∴1732EM BM ==， ∴33DE EM DM =-= ∵=63AD ∴=AE DE ，∵BE AD ⊥，∴PA PD =，PB PC =，在Rt CDF ∆中，∵=6CD ，=63CF∴tan 3CDF ∠=∴60CDF CPF =︒=∠∠，∴FCP CFD ∆∆≌，∴CD PF =，∵//CD PF ，∴四边形CDPF 是矩形，∴=90CDP ∠︒，∴=60ADP ADC CDP ∠∠-∠=︒，∴ADP ∆是等边三角形，∴==63PA PD AD =∵=60BPF CPF ∠∠=︒，∴120BPC ∠=︒，∴+180APD BPC ∠∠=︒，∴PDC ∆与PAB ∆之间满足小明探究的问题中的边角关系，在Rt PDQ ∆中，∵=90PDQ ∠︒，63PD PA AD ===，132DQ CD ==， ∴()2222=363313PQ DQ DP +=+=．【点睛】 本题考查了三角形的综合问题．掌握全等三角形的性质以及判定定理、直角三角形斜边中线定理、解直角三角形、勾股定理、中线的性质是解题的关键．在处理三角形的边旋转问题时，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系．在证明某点是否存在问题时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性．15．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a （x ﹣2）2﹣经过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，则a= ．（操作）将图①中抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G ，如图②．直接写出图象G 对应的函数解析式． （探究）在图②中，过点B （0，1）作直线l 平行于x 轴，与图象G 的交点从左至右依次为点C ，D ，E ，F ，如图③．求图象G 在直线l 上方的部分对应的函数y 随x 增大而增大时x 的取值范围．（应用）P 是图③中图象G 上一点，其横坐标为m ，连接PD ，PE ．直接写出△PDE 的面积不小于1时m 的取值范围． 解析：【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x ＜2或x ＞2+时，函数y 随x 增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+． 【详解】 试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a 的值；【操作】：先写出沿x 轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF 的坐标，根据图。

(完整版)中考数学几何综合压轴题初三难题训练(真题附答案)

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中考数学几何综合压轴题初三难题训练1. （2015金华中考）如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于eO , EF 与BC , CD 分别相交 于点G ， H ，则-EF 的值是（）GHA.——B. 2C. . 3D. 222.（2015遵义中考）将正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB 1GD 1，B^!交CD 于点E ， AB 3，则四边形A^ED 的内切圆半径为（）D ，E 分别是OA ，OB 的中点，则图中影阴部分的面积为 ___________ cm 2 .A. D.3. （2015遵义中考）如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径 OA 2cm ，C 为弧AB 的中点,6Di到E ，且有 EBD CAB • (1) 求证：BE 是eO 的切线；(2 )若BC 3 , AC 5，求圆的直径 AD 及切线BE 的长.5. (2016岳阳中考)数学活动 旋转变换(1) 如图①，在 VABC 中， ABC 130°，将VABC 绕点C 逆时针旋转500得到VABC ，连接 BB ，求ABB 的大小；(2) 如图②，在 VABC 中， ABC 150° , AB 3, BC 5，将VABC 绕点C 逆时针旋转 60° 得到VABC ，连接BB ，以A 为圆心，AB 长为半径作圆.(I)猜想：直线 BB 与e A 的位置关系，并证明你的结论； (H)连接AB ，求线段AB 的长度；(3)如图③，在 VABC 中， ABC 90° 180° , AB m , BC n ，将VABC 绕点 C 逆180°得到VABC ，连接AB 和BB ，以A 为圆心，AB 长为半与角 满足什么条件时，直线 BB 与e A 相切，请说明理由，并求此条件下线段AB 的长度(结果用角或角 的三角函数及字母 m , n 所组成的式子表示)时针旋转2角度0° 2径作圆，问：角6. (2016成都中考)如图，在RtVABC中，ABC 90°，以CB为半径作eC，交AC于点D，交AC 的延长线于点E，连接BD , BE .(1)求证：VABD s VAEB ;AB 4(2)当一—时，求tanE ；BC 3BE父于点F .(3 )在(2 )的条件下，作BAC的平分线，与7. （2016苏州中考）如图，在矩形ABCD中，AB 6cm , AD 8cm •点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O,点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s）（0 t 8）•3（1）如图，连接DQ，当DQ平分BDC时，t的值为.（2）如图，连接CM，若VCMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续连行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3,在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由.8. （2015扬州中考）如图，已知 eO 的直径AB 12cm , AC 是eO 的弦，过点 延长线于点P ，连接BC •（1） 求证： PCA B ；（2） 已知 P 400 ,点Q 在优弧ABC 上，从点A 开始逆时针运动到点 重合），当VABQ 与VABC 的面积相等时，求动点 Q 所经过的弧长.C 作eO 的切线交BA 的C 停止（点Q 与点C 不9. （ 2015大庆中考）如图， 四边形ABCD 内接于eO ,ADPBC P 为BD 上一点，APB BAD . (1) 证明：AB CD ;(2) 证明：DP BD AD BC ； (3) 证明：BD 2 AB 2 AD BC .10. （2015武汉中考）如图，AB是eO的直径，ABT 4^ , AT AB •（1）求证：AT是eO的切线；（2）连接OT交e O于点C，连接AC，求tan TAC的值.11. （2016随州中考）如图，AB是eO的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD OA交弦AB 于点E，连接BD，且DE DB •（1）判断BD与eO的位置关系，并说明理由；5(2)若CD 15 , BE 10 , ta nA -，求eO 的直径.1212. (2015德州中考)如图，eO的半径为1 , A, P , B , C是eO上的四个点, APC CPB 60°•(1) 判断VABC的形状：；(2) 试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3) 当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.13. (2016淮安中考)问题背景：如图1，在四边形 ADBC 中， ACB形，所以CE . 2CD ，从而得出结论：AC BC . 2CD •(1) 简单应用：在图1中，若AC 2 , BC 2 2，则CD •(2) 如图3, AB 是eO 的直径，点 C 、D 在e 上，AD BD ，若AB 13, BC 12，求CD 的 长. (3) 拓展规律：如图 4 , ACB ADB 90° , AD BD ，若 AC m , BC n m n ，求 CD 的长(用含m , n 的代数式表示)1(4 )如图5 , ACB 90° , AC BC ,点P 为AB 的中点，若点E 满足AE 1AC ,3CE CA ，点Q 为AE 的中点，则线段 PQ 与AC 的数量关系是.ADB 90° , A D BD ，探究线段 AC,BC,CD 之间的数量关系•小吴同学探究此问题的思路是：将 VBCD 绕点D ，逆时针旋转 90°到 VAED 处，点 B,C 分别落在点 A,E 处(如图2)，易证点 C,A,E 在同一条直线上，并且VCDE 是等腰直角三角li14. (2015宜昌中考)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC , BD相交于点E , F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作eO，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I , H两占八、、♦(1)求FDE的度数；(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；(3)当G为线段DC的中点时，(i)求证：FD FI ;(ii)设AC 2m, BD 2n，求eO的面积与菱形ABCD的面积之比.15. （2015株洲中考）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C , D两点，CD 2 , DAB 30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q .（1）当点P运动到使Q , C两点重合时（如图1），求AP的长;（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使VCQD的面积为丄?（直接写出答案）21（3）当使VCQD的面积为丄，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ QD时（如图2）,2求AP的长.第11页（共29页）第12页(共29页)第一部分 1.C【解析】如图，连接 AC 、BD 、OF ,其中AC 与EF 交于点I . QAO 是EAF 的角平分线,OAF 60o 2 30o .QOA OF ,OFA OAF 30° ,COF 60° ,BD CO 2 1 1 GH BD 2r r , 2 2竺3 3 .GH r作 DAB 1与 AB 1C 1的角平分线交于点 O ，过O 作OF AB 1 , 则 OAF 30° , AB 1O 4^ ,答案EF 3 o r 2 23r . QAO 2OI ,OI -r , CI 21 r r2 FI r sin60°GH CI 11 r , 22.B 【解析】设eO 的半径为r ,则 OF r ，第13页（共29页）故B i FOF 〔OA , 2 设B i Fx , 则AF ：丄3 x , 故 3 2 x 2 2 x 2 2x ,解得x3 -，负值舍去. 2 四边形AB iE D 的内切圆半径为宁-第二部分3. n 1二2 2 2 【解析】连接0C ，过C 点作CF OA 于F •Q 半径OA 2cm , C 为A B 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点, OD OE 1cm , OC 2cm , AOC 4^ •CF . 2 • 鸟白图形ACDS 扇形OACS VOCD 2 45 n 221 2 1 23601 n2 2 cm . 2 2Q S VODE 〔OD 2 1 OE cm 2 2S 阴影S 扇形OAB S 空白图形ACD S VODE90 n 221 2 1—n ------ —360 2 2 21 —n _! 12 cm . 2 2 2第三部分4. (1)如图，连接OB .第14页(共29页)QBD BC ,CAB BAD .Q EBD CAB ,BAD EBD .QAD 是eO 的直径，ABD 90o , OA BO .BAD ABO .EBD ABO .OBE EBD OBD ABD OBD ABD 90°.Q 点B 在e O 上，BE 是eO 的切线.(2)如图，设圆的半径为 R ，连接CD .QAD 为eO 的直径，ACCD 90° .QBC BD ,OB CD .OB PAC .QOA OD ,1 5 OF AC .2 2Q 四边形ACBD 是圆内接四边形,BDE ACB .Q DBE ACB ,VDBE s VCAB . DB DEAC BC .3DE 5 3 .DEQ OBE OFD 90 ,DF PBE .QR 0 ,R 3.QBE 是eO 的切线,5. (1)如图①中， QVA BC 是由VABC 旋转得到，ABC ABC 130°，CB CBCBB CBB ，Q BCB 50o ，CBB CB B 650，ABB ABC BB C 65° .(2 )(1)结论：直线 BB ，是e A 的切线. 理由：如图②中，150°,CB CB ,Q ABC ABC CBB CBB ,Q BCB 60° ,CBB CB B 60° ,ABB ABC BBC 90° .AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.(H) Q 在 RtVABB 中，Q AB B 90° , BB BC 5 , AB AB 3,AB AB 2 BB 2 34 .(3 )如图③中，当 180°时，直线BB ，是e A 的切线 理由：Q ABC ABC ,CB CB ,OF OB ODOEBE JDE AE * 2 3 3\5 5 3 115(3)解法一：在 RtVABC 中, -AC 2 BG -AB 2 11BG 即 5x BG 4x 3x ，解得BG 2 2 12 x . 590°.AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.在VCBB 中QCB CB n , BCB 2 ,BB 2 nsin ,在 RtVA BB 中,AB . BB 2 AB 2 ,m 2 4n 2si n 26. (1) QDE 为e C 的直径，DBE 90° . 又 Q ABC 90° ,DBE DBC 90° , CBE DBC 90° ,ABD CBE .又QCB CE ,CBE E , ABD E .又 Q BAD EAB ,VABD ^VAEB .(2 )由(1)知，VABD s VAEB 在 RtVDBE 中,BD 1 tanEBE 2CBB CBB ,Q BCB 2 ,CBB ABB CB B 180° 2-------------? 2ABC BBC90°180° 90°BD BE ABAEABQ - BC设 AB 4x ，贝U CE 在 RtVABC 中，AB CB 3x .5x ,AE AC CE 5x 3x 8x BD BE AB AE 4x8xQAF 是 BAC 的平分线, BF AB 4x 1 FHEF 2BG BE 32 2 12 8FH BG一x x3 3 5 5 1又 Qta nE2EH 2FH 16 x ,5AM AE EM24 x ・ 5 在 RtVAHF 中, 2 2 AH HF AF 1 2 3即 224 x5e C 的半径是3xQAF 平分 BAC ， FE AE 8x 2AE 于 H , 【解析】解法二：如图 2过点A 作EB 延长线的垂线，垂足为点在 VBAE 中，有 1 2 3 E 180°90° 90° , 4 2 E 45 ,VGAF 为等腰直角三角形8.5 L ，AFeC 的半径是NG BN a ，CG 3 a ，4 NC BC 9 a，4BH 9a， 5AB 3a ， AC AG 3a ，tan NAC NG AG sin NAC 10105a ，4 15 a，4 13由( 2) 可知, AE 8x , tanEAG AE 于点M ， 解法三:AE 于点G ，FM BAC 的平分线,QAF 是AE 10 .在 RtVDBE 中,设 BP 4t ，则 PQ 3t , BQ 5t .Q DQ 平分 BDC , QC CD , QP BD .CQ PQ 3t .QCQ 8 5t.3t 8 5t ，即 t 1.(2)如图，过点M 作ME BC 于点E .在 RtVAFM 中, FM AF sin NAC 2 卫互,AM 10 5 3 10 5 在 RtVEFM 中, EM FM tanE2 10 QBH a,5 EH 18 a, 5 DE 9 a ,2 DC 9 a ,4 AD 3 a,2 又QAE DE3 a 2 9 a2 9a,10 106DC 3.1087. (1)【解析】由题意可VBPQ s VBCD .DH AE10 ,a在 RtVABD 中，AB 6cm , AD 8cm ,BD 10cm .由 BPQ BCD , QBP DBC ，得 VPBQ ^VCBD .PB PQ BQBC CD BD .Q PB 4t ,PQ 3t , BQ 5t .Q MQ MC ,1 1 QE CE —QC - 8 5t2 2Q VMEQ s VDCB , EQ BCMQ BD1 -8 5t 23t40t 49(3)如图1，设QM 所在直线交CD 于点F . ① Q VQCF s VBCD , CF CDCQ CB CF 68 5t 8E15 -t , DF 4 又DO 3t , DO DF CF 6 ，即点O 始终在QM 所在直线的左侧.②如图，设MQ与eO相切时，切点我G，连接OG ,OG BCOF BD，0.88吗3t 10，4丄4t3当t -时，正方形PQMN的边长为3解法一：连接MO并延长交PQ于点贝U VMOG s VMHQ ,OG MGHQ MQ，260.815HQ4，HQ241328PH13 °HK14 213HK HQ .点O不在PMQ的平分线上，当QM1与eO相切时，PM与eO【解析】解法二：连接OM , OP ,Q SVMPQ SVMOQ S VPOQ S VPOM ，则VOGF s VBCD ,534 , QF-,FG3 5 .H，过点H作HK PM于点K不相切.OQ，设点O到MP的距离为h ,1 4 0.8 1 344142 h 8 .2 2 152h7 20.8 .15当QM与eO相切时，PM与eO不相切QAB是eO的直径，ACB 1 2 90o,又PC是eO的切线，PCO PCA 1 90°,2 PCA.又OC OB .2 B,PCA B .(2) Q P 40°,AOC 50°.QAB 12，AO 6 .AOQ 130°时，VABQ与VABC的面积相等,优弧ABQ所对的圆心角为230°时，VABQ与VABC的面积相等,13n31803180当BOQ 50°时，即9. (1) Q AD PBC ,ADB DBC ,AB DC ,AB CD .(2) Q APB BAD , BAD BCD 180° , APBBCD APD ,Q ADB CBD .VADPWDBC ,AD DPBD BC ，DP BD AD BC .QBD 2DE 2 BE 2, DE 2 CD 2 CE 2 ,2 BD 2CD 2 BE 2 CE 2AB 2 BE CE BE CEAB 2 AD BC.10. (1) QAB AT ,ATB B 45°.BAT 90° .AT 是eO 的切线.(2 )设eO 半径为r ，延长TO 交eO 于D ，连接AD .点Q 所经过的弧长 230 n 6 180 23 n3AAPD 180° , (3)如图，过点D 作DE BC 交BC 于E .QCD是直径，CAD BAT 90°.TAC OAD D . 又ATC DTA,VTAC s VTDA.TA TCTD AT .TA2TC TD , 即4r2 TC TC 2r 解得TC 5 1r.tan TAC tan DACADTCAT.5 1 r2r51211. (1)连接OB .QOB OA, DE DB ,A OBA, DEB ABD.QCD OA,A AEC A DEB 90°,OBA ABD 90°,OB BD ,BD是eO的切线；(2)如图，过点D作DG BE于G .QDE DB,1EG -BE 5,2GDE A,VACE s VDGE,QVACE s VDGE12. (1)等边三角形(2) PA PB PC .证明：如图，在PC上截取PD PA，连接AD .PA AD , PAD 60o.Q BAC 60o,PAB DAC .Q APC 60o,VPAD是等边三角形.Q ACE DGE 90°, AEC GED ,tan EDG tanAEGDG5—，即DG 12 .12在RtVEDG 中，DE .DG2 EG213. QCD 15, DECE 2 .13 ,ACDGCEGE，AC CE DGGE245e O的直径2OA 4AD96QAB AC ,VPAB 也VDAC .PB DC .QPD DC PC ,PA PB PC .(3)当点P 为A B 的中点时，四边形 APBC 面积最大.理由如下：如图，过点 P 作PE AB ，垂足为E , 过点C 作CF AB ，垂足为F ，四边形APBC 面积最大. Qe O 的半径为1,其内接正三角形的边长AB 31S 四边形APBC 匚 2 32 3 . 13. (1) CD 3(2)连接 AC 、BD 、AD ,Q AB 是eO 的直径，ADB ACB 90° ,Q A D B D ,AD BD ,将VBCD 绕点D ，逆时针旋转90°到VAED 处，如图3 ,EADDBC , Q DBCDAC 180° , EADDAC 180° , E 、A 、C 三点共线，Q AB 13,BC 12,由勾股定理可求得： AC 5 ,Q BC AE ,CE AE AC 17,2 AB PE ，S VABC 1AB CF . 2S 四边形APBC 1 — AB PE 2 Q 当点P 为A B 的中点时, CF . PE CF PC , PC 为eO 直径, Q S VPABQ EDA CDB ,EDA ADC CDB ADC ,即 EDCADB 90° ,Q CD ED , VEDC 是等腰直角三角形，CE 2CD ,17近 CD 2(3)以AB 为直径作eO ,连接OD 并延长交eO 于点D 1 , 连接D 1A ，D 1B ， D 1C ，如图D 1C又Q 0D 是eO 的直径,DCD 1 90o ,Q AC m ， BC n由勾股定理可求得: 2 2 DQ AB2 n22PQ = -^」AC • 614.( 1)QEF 为eO 的直径,FDE 90° .(2)四边形FACD 为平行四边形•理由如下:QABCD 为菱形，AB PCD , AC BD ,AEB 90° • 又 FDE 90o ,AC PFD •四边形FACD 为平行四边形.(3)(i )如图，连接GE •由(2)的证明过程可知： ACBC ■ 2D 1C ，ABm 2 2 Q D 1C 2 CD 2 2 D 1D 2CD m 2 n 2CD (4)Q 在RtVDEC 中，G 为CD 的中点,EG DG ,弧DG 弧EG ,1 2.又EF 为eO 的直径,FGE 90° ,FG EG .QG 为DC 中点，E 为AC 中点,GE 为VDAC 的中位线，EG PAD . FGADF l HDFHI 90o . 1 3 24 90o , 3 4 ,FD FI .(ii ) Q 菱形ABCD , AE CE m , BE DE nQ 四边形FACD 为平行四边形,FD AC 2m FIQ FD PAC , 3 8 .又34 7, 78 , EI EA m . 在 RtVFDE 中，FE 2 FD 2 DE 2 ,3m $ 2m $ n 2，解得，n 5m .2 3m9 2 1 S eo n 测，S 菱形ABCD — 2m 2n 2mn 2 4 2 S e O : S 菱形ABCD 9 n m 2:2 5m 2葺5. 4 4015. (1) QAB 是圆O 的切线，OBA 90o .2 5m 2 ,QRtVOBA中，CD 2, DAB 30°,OB 1 ,OB OC AC 1 .Q当点P , C运动到Q , C两点重合时,PC为圆O的切线，PCA 90°,Q DAB 30°, AC 1 ,AP -A/3•3(2)有4个位置使VCQD的面积为-•21【解析】由于CD的长度2，而S VCQD1, 故CD上的高的长度为-，从而如下图，我们可得到答案.2(3)过点Q作QN AD于点N，过点P作PM AD于点M •QNQCD是圆O的直径,CQD 90°• 易证VQCN s VDQN •QN CNDN QNQN2 CN DN .1x 2 x4解得X i 2 3, x22QCQ QD ,CNCNQN易证VPMC s VQNC .易得列空2 3MP QNCM 2 3 MP .在RtVAMP中易得AM 3MP , QAM CM AC 1,2,3 MP . 3MP 1 ,MP 3 14 ，薦1AP2MP21 2.又QCB CE,3 E .。

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

八年级几何综合：四边形压轴题综合训练1(50道真题)含解析

八年级几何综合：四边形压轴题综合训练1(50道真题)含解析

几何综合压轴题专题1．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB＝90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME＝PM，连结DE．（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？请选择其中的一个图形证明你的猜想；（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论？请说明理由．（4）若以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，其中A、C、D的坐标分别为（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面内找到一点M，使以A、C、D、M为点构造成平行四边形，若不能，说明理由，若能，请直接写出点M的坐标．2．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）．（1）求证：EO平分∠AEB；（2）猜想线段OE与EB、EA之间的数量关系为（直接写出结果，不要写出证明过程）；（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．3．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；（2）下列说法正确的有；（填写所有正确结论的序号）①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．4．如图1，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF ⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，连接EF、CF，若CE＝8，求四边形BEFC的面积；（3）如图3，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG．5．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90o，若AC＝12，BC＝5，点M是斜边AB上一动点，求线段CM的最小值．在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到：当CM⊥AB时，线段CM取得最小值．请你根据小明的思路求出这个最小值．【思维运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥BC于点E，求线段DE的最小值．【问题拓展】（3）如图3，AB＝6，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上．∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离的最小值为．（直接写出结果，不需要写过程）6．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．7．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一动点，DF⊥BE交BE的延长线于F．（1）如图（1），若BE平分∠DBC时，①直接写出∠FDC的度数；②延长DF交BC的延长线于点H，补全图形，探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点C作CG⊥BE于点G，猜想线段BF，CG，DF之间的数量关系，并证明你的猜想．8．如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H．（1）求证：HE＝HG；（2）如图2，当BE＝AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求的值；9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）当t＝3时四边形OQCD的面积为多少？（3）是否存在t的值，使△AQP为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．10．平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．11．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、∠ACD的平分线于点E、F．（1）猜想与证明，试猜想线段OE与OF的关系，并说明理由．（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）若AC边上存在一点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．12．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．13．问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边所在直线上的一动点（不与点B、C重合），连结AD，以AD为边作Rt△ADE，且AD＝AE，根据∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，得到∠BAD＝∠CAE，结合AB ＝AC，AD＝AE得出△BAD≌△CAE，发现线段BD与CE的数量关系为BD＝CE，位置关系为BD⊥CE；（1）探究证明：如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；②求证：BD2+CD2＝2AD2；（2）拓展延伸：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝13cm，CD＝5cm，求AD 的长．14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点．（1）求证：点P也是BC的中点；（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的长；（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长．15．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．16．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F 两点（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）求证：BE+CF＝AC；（3）若BC的长为16，求四边形AEDF的面积．17．如图，正方形ABCD的边长为a，射线AM是∠BAD外角的平分线，点E在边AB上运动（不与点A、B重合），点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连结EC、EF、EG．（1）求证：CE＝EF；（2）求△AEG的周长（用含a的代数式表示）；（3）试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大．18．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．（1）求证：∠ADE＝∠FEM；（2）如图（1），当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图（2），当点E在AB边（除两端点）上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．19．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C，D在x轴上方，且四边形ABCD的面积为32，（1）若四边形ABCD是菱形，求点D的坐标．（2）若四边形ABCD是平行四边形，如图1，点E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，求AE+2EF的值．（3）若四边形ABCD是矩形，如图2，点M为对角线AC上的动点，N为边AB上的动点，求BM+MN的最小值．20．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系是．（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，请直接写出线段AD的长．21．我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．例如，如图（1），△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）（1）熟悉模型：如图（2），已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；（2）运用模型：如图（3），P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，求∠APB的度数．小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连结CM，通过转化的思想求出了∠APB的度数，则∠APB的度数为度；（3）深化模型：如图（4），在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．22．在△ABC方格纸中的位置如图1所示，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位长度．（1）图1中线段AB的长是；请判断△ABC的形状，并说明理由．（2）请在图2中画出△DEF，使DE，EF，DF三边的长分别为，，．（3）如图3，以图1中△ABC的AB，AC为边作正方形ABPR和正方形ACQD，连接RD，求△RAD的面积．23．有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，已知△ABC，点C在AB的垂直平分线上，E在边AB上，D是△ABC内一点，连接ED，CD，∠AED＝60°，∠BCD＝30°，若四边形BCDE是邻余四边形，BC是邻余线．①ED与BC有什么位置关系？说明理由．②判断△ABC形状，说明理由．24．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB ＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD的取值范围是．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．25．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC、AD于点E、F，已知AB＝1，，连接BF．（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图②，当α＝45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；（3）如图③，当α＝90°时，求△BOF的面积．26．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，已知AB1C1≌△ABC，BC与B1C1相交于点D，AC与B1C1相交于点E，AB1与BC相交于点F．（1）如图1，观察并猜想CE和B1F有怎样的数量关系？并说明理由．（2）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，证明四边形AFDE是筝形．（3）如图2，若∠CAC1＝30°，B1C1＝3，其他条件不变，求C1E的长度．27．综合与实践（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（2）类比探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段CM，AE，BE之间的数量关系为．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为．28．如图，正方形OABC的边长为8，P为OA上一点，OP＝2，Q为OC边上的一个动点，分别以OP\PQ为边在正方形OABC内部作等边三角形OPD和等边三角形PQE．（1）证明：DE＝OQ；（2）直线ED与OC交于点F，点Q在运动过程中．①∠EFC的度数是否发生改变？若不变，求出这个角的度数；若改变，说明理由；②连结AE，求AE的最小值．29．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．30．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝8cm，F是AB边上的中点，将∠AFC绕点F顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤90°）得到∠A'FC'，∠A'FC'的两边分别与AC、BC边相交于点D，E两点，连结DE．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）求∠EDF的度数；（3）当△EFB变成等腰直角三角形时，求CE的长；（4）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．31．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．32．（1）观察猜想如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则△ADB和△EAC是否全等？（填是或否），线段AB、AC、BD、CE之间的数量关系为．（2）问题解决如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，AB＝6，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长．（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝5，AD＝，DC＝DA，CG⊥BD于点G，求CG的长，33．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．（1）求证：DG＝BC；（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．34．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长．35．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝．36．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．37．阅读下面材料，完成相应任务：全等四边形能够完全重合的两个四边形叫做全等四边形．由此可知，全等四边形的对应边相等，对应角相等；反之，四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．根据探究三角形全等条件的经验容易发现，满足1个、2个、3个、4个条件时，两个四边形不一定全等．在探究“满足5个条件的四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是否全等”时，智慧小组的同学提出如下命题：①若AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠D＝∠D'，则四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'；②若AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，AD＝A'D'，∠A＝∠A'，则四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．（1）小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形．由此判断命题①是命题（填“真”或“假”）．（2）小彬经过探究发现命题②是真命题．请你结合图2证明这一命题．（3）小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若AB＝A′B′，BC＝B'C'，CD＝C'D'，，，则四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题．38．（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点，若∠AMN＝90°，求证：△AMN为等腰三角形．下面给出此问题一种证明的思路，你可以按这一思路继续完成证明，也可以选择另外的方法证明此结论．证明：在AB边上截取AE＝MC，连接ME，在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC∴∠NMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠MAB．（下面请你连接AN，完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，试探究△AMN是何种特殊三角形，并证明探究结论．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，试猜想：当∠AMN的大小为多少时，（1）中的结论仍然成立？39．（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF＝EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．（2）方法迁移：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．40．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是命题（填“真”或“假”）；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE ＝AD，CB＝CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．41．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为，点C的坐标为；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）42．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a2+b2＝c2．（1）直接填空：如图①，若a＝3，b＝4，则c＝；若a+b＝4，c＝3，则直角三角形的面积是．（2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2．（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的结论求EF的长？43．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用（3）若边长AB＝4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是．44．如图①，△ABC中，AB＝AC，点M、N分别是AB、AC上的点，且AM＝AN．连接MN、CM、BN，点D、E、F、G分别是BC、MN、BN、CM的中点，连接E、F、D、G．（l）判断四边形EFDG的形状是（不必证明）；（2）现将△AMN绕点A旋转一定的角度，其他条件不变（如图②），四边形EFDG的形状是否发生变化？证明你的结论；（3）如图②，在（2）的情况下，请将△ABC在原有的条件下添加一个条件，使四边形EFDG是正方形．请写出你添加的条件，并在添加条件的基础上证明四边形EFDG是正方形．45．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD、BE．（Ⅰ）求证：CE＝AD；（Ⅱ）如图2，当点D是AB中点时，连接CD．（i）四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（ii）当∠A＝°时，四边形BECD是正方形．（直接写出答案）46．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，动点P 在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在线段PB上有一点M，且PM＝5，当P运动秒时，四边形OAMP的周长最小，并画图标出点M 的位置．47．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G．求证：AF⊥DE且AF＝DE．（2）如图②，若点E、F分别在CB、DC的延长线上，且BE＝CF，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由．（3）如图③，在图②的基础上连接AE、EF，H、M、N、P分别是AE、EF、FD、DA的中点，请直接写出四边形HMNP的形状．48．已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M、N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN＝60°，AM、AN分别交BD于E、F两点．（1）如图1，求证：CM+CN＝BC；（2）如图2，过点E作EG∥AN交DC延长线于点G，求证：EG＝EA；（3）如图3，若AB＝1，∠AED＝45°，直接写出EF的长．（4）如图3，若AB＝1，直接写出BE+AE的最小值．49．如图①所示，▱ABCD是某公园的平面示意图，A、B、C、D分别是该公园的四个入口，两条主干道AC、BD交于点O，经测量AB＝0.5km，AC＝1.2km，BD＝1km，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：（1）公园的面积为km2；（2）如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN、MN、CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM＝ON（点M与点O、B不重合），并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；（3）若修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．50．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为“不完全矩形”（1）①如图1，在不完全矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝3，BC＝4，则BD＝：②如图2，在平面直角坐标系中，A（0.4），B（6，0），若整点M使得四边形AOBM是不完全矩形，则点M的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是不完全矩形．。

2020年中考数学4.几何综合选择填空压轴题(含解析)

2020年中考数学4.几何综合选择填空压轴题(含解析)

几何综合-填空选择压轴题41、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．2、如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．√6cm C．2.5cm D．√5cm3、定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是，点A2018的坐标是．4、我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C．994D．5325、如图，直线y=﹣√33x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D 是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为．6、小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为49√3cm2，则该圆的半径为cm．27、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是．8、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A．√15 B．2√5 C．2√15 D．89、如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE 的值是（）A．√24 B．14C．13D．√2310、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．32B．43C．53D．8511、如图，在正方形ABCD中，AD=2√3，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为．12、如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）A．9+25√34 B．9+25√32C．18+25√3 D．18+25√3213、如图，点O 是▱ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 是AB 边上的点，且EF=12AB ；G 、H 是BC 边上的点，且GH=13BC ，若S 1，S 2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则S 1与S 2之间的等量关系是 ．14、如图，已知∠POQ=30°，点A 、B 在射线OQ 上（点A 在点O 、B 之间），半径长为2的⊙A 与直线OP 相切，半径长为3的⊙B 与⊙A 相交，那么OB 的取值范围是（ ）A ．5＜OB ＜9 B ．4＜OB ＜9C ．3＜OB ＜7D ．2＜OB ＜715、如图，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交CD 于点E ．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC 的长为 ．16、如图，在菱形ABCD中，tanA=43，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，BNCN的值为．17、如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A．32B．2 C．52D．318、如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=14AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则S△ADGS△BGH的值为（）A．12B．23C．34D．119、如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2√3）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为．20、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为．21、如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r 1：r2= ．22、对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为（）A．7 B．6 C．5 D．423、如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）24、如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=√3x于点B 1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则A2019B2018̂的长是．25、如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP 的长为．26、如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．27、如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝．。

2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)

2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)

几何综合压轴问题专项练习答案（40题）(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2），求MN 【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出,CM CN 解；（2）过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得进而可得1CP =，勾股定理解Rt ,Rt NCP MCP ，即可求解．【详解】（1）解：依题意，112CM DE ==，12CN AB =当M 在NC 的延长线上时，,M N 的距离最大，最大值为（2）解：如图所示，过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点∵CDE 绕顶点C 逆时针旋转∴120BCE ∠=︒，∵45BCN ECM ∠=∠=︒，∴MCN BCM ECM ∠=∠-∠=∴60NCP ∠=︒，∴30CNP ∠=︒，∴112CP CN ==，在Rt CNP 中，2NP NC =-在Rt MNP △中，MP MC CP =+∴2234MN NP MP =+=+【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含(1)如图1，求证：DE BF =；(2)如图2，若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点【答案】(1)见解析(2)22BE =+△∵点G 是DE 的中点，∴GH 是FCD 的中位线，∴11122GH CD AD ===，设BE a =，则CH EH ==(1)如图1，求AB边上的高CH的长．''．(2)P是边AB上的一动点，点,C D同时绕点P按逆时针方向旋转90︒得点,C D①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP的长．△是直角三角形时，求BP的长．②当AC D''∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'．由旋转知PC PC '=，设C D ''与射线BA 的交点为作CH AB ⊥于点H ．∵PC PC ⊥'，∴90CPH TPC ∠'+∠=︒，∵C D AT ''⊥，∴90PC T TPC ∠'+∠='︒，【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；【分析】（1）①证明：ABE CBD ∠=∠，再证明ABE ≅△可得DF DC =．证明AE DF =，从而可得结论；（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒，证明2DE BD =，证明2AB BC =，ABE CBD ∠=∠，可得②AD DF BD=+．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，=．∴DF DC=，∵AE CD∴AE DF=．∴AD AE DE DF BD=+=+∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴2DE BD =．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，222262210BC BD CD =+=+=∴2221022AF AC BC ===⨯=25HF (2)知识应用：如图2Y是菱形；①求证：ABCD②延长BC至点E，连接OE交【答案】(1)见解析5∴1BG BO GC OD==，∴115222CG BC AD ===，∴552OF GC ．处从由60PC P C PCP ''=∠=︒，，可知PCP '△为①三角形，故PP PC '=，又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥，由②可知，当B ，P ，P '，A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值，如图2，最小值为(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知4km 23km AC BC ==，，建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________用含的式子表示）∵ACP A CP ''∠=∠，∴ACP BCP A CP BCP ∠+∠=∠+∠''又∵60PCP '∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H ，∵60ACB ∠=︒，90ACA '∠=︒，∴30A CH '∠=︒，1猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，①求证：PD PB =；②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②不变化，（2）AQ CP =，理由见解析【分析】（1）①根据正方形的性质证明②作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，∴四边形AMPN 是矩形，∴90MPN ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BAC ∠=︒，90AOB ∠=∴45AEP ∠=︒，四边形OPEF=作PM AB⊥于点M，则QM MB=，∴QA BE=．∴AQ CP（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF 满足0360α︒<<︒，点,,C E F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】初步尝试：（1）1MN AC =；MN AC ∥；（2）特例研讨：（1）30BCF ∠=︒；（2）CD∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=︒∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α∴,BE BM BF BN ==；BEF ∠=∵点,,A E F 在同一直线上时，2∵,ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠∴ADN BDE ∽,∴2222DN AN DE BE ===,设DE x =，则2DN x =，在Rt ABE △中，2,2BE AE ==在Rt ADN △中，22AD DN AN =+∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC θ∠=︒-，∵MN 是ABC 的中位线，∴MN AC∥∴MNB MBN θ∠=∠=，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴EBF MBN ≌，MBE NBF α∠=∠=，∴EBF EFB θ∠=∠=∴1802BEF θ∠=︒-，∵点,,C E F 在同一直线上，∴2BEC θ∠=∴180BEC BAC ∠+∠=︒，∴,,,A B E C 在同一个圆上，∴EAC EBC αθ∠=∠=-∴()()1802BAE BAC EAC θαθ∠=∠-∠=︒---180αθ=︒--∵ABF αθ∠=+，∴180BAE ABF ∠∠=+︒；如图所示，当F 在EC 上时，∵,BEF BAC BC BC∠=∠=∴,,,A B E C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，∴ABF θβ∠=-，∵BFE EBF θ∠=∠=,EFB FBC FCB∠=∠+∠∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-，∵ EBEB =∴EAB ECB θβ∠=∠=-∴BAE ∠ABF=∠综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形，90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==，连接AD ，BE ，探究AD ，BE 的位置关系．(1)如图1，当1m =时，直接写出AD ，BE 的位置关系：____________；(2)如图2，当1m ≠时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当3,47,4m AB DE ===时，将CDE 绕点C 旋转，使,,A D E 三点恰好在同一直线上，求（2）解：成立；理由如下：∵90DCE ACB ∠=∠=︒，∴DCA ACE ACE ∠+∠=∠+（3）解：当点E 在线段AD设AD y =，则AE AD DE =+根据解析（2）可知，DCA △∴3BE BC m AD AC===，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．(1)若点P 在AB 上，求证：A P AP '=；(2)如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当180n =时，x 的值；②若点P 到BD 的距离为2，求tan A MP '∠的值；∵PM 平分A MA '∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBA V V ∽∴DN DM MN DB DA BA ==∵8,6,90AB DA A ==∠=︒，∴2226BD AB AD =+=+∴2103sin 3BQ BP DBA ===∠，∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒，∴90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠，∵A MP AMP ' ≌，∴90PA M A '∠=∠=︒，（2）如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B '处，若24,6BC CE AB ⋅==，求BE 的值；（3）如图③，在ABC 中，45,BAC AD BC ∠=︒⊥，垂足为点,10,D AD AE ==于点F ，连接DF ，且满足2DFE DAC ∠=∠，直接写出53BD EF +的值．∵EF BC ∥，∴2CDF DFE ∠=∠=∴CDH FDH ∠=∠，又∵DH DH =，CHD ∠∴(ASA CHD FHD ≌【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．13．（2023·湖南郴州·=，连接点E，使CE AD(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设4AB=，若AEB DEB∠=∠，求四边形BDFC的面积．【答案】(1)1CF BD=，理由见解析∴60,ADG ABC AGD ∠=∠=︒∠=∠∴ADG △为等边三角形，∴AD AG DG ==，∵AD CE =，AD AB AG AC -=-∴DG CE =，BD CG =，于点由①知：ADG △为等边三角形，∵ABC 为等边三角形，∴4,AB AC BC BH CH =====∴2223AH AB BH =-=，(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当90FEC ∠=︒时，求证：AEF DCE ∽△△；②如图2，当2tan 3FCE ∠=时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当1,sin 3GE DE FCE =∠=时，求证：，可得结论；正方形ABCD 中，①ADC BAD ∠=∠ ∴AEF CED ∠+∠=AEF ECD ∴∠=∠，延长DA ，CF 交于点G ，作GH CE ⊥，垂足为H ，90EDC EHG ∠=∠=︒ 且∠问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90α=︒时，直接写出GCF ∠的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120α=︒时，若12DG CG =，求BE CE 的值．故答案为：45︒．（2）解：在AB上截取ANABC BAE AEB∠+∠+∠=∠=∠，ABC AEF22⎝⎭（3）解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．16．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为∠=∠=︒∠=∠．将ABCACB DEF A D90,和DFE△(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点问题．∠①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE②“智慧小组”提出问题：如图AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】(1)正方形，见解析(2)①AM BE=，见解析；【分析】（1）先证明四边形形；∠（2）①由已知ABE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形E ，连接AE ，直线AE 交直线(1)如图1，若25CDP ∠=︒，则DAF ∠=___________(2)如图1，请探究线段CD ，EF ，AF 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP 绕点D 转动的过程中，设AF a =，EF 【答案】(1)20︒。

2024年中考数学压轴题(全国通用)：以相似为载体的几何综合问题(教师版含解析)

2024年中考数学压轴题(全国通用)：以相似为载体的几何综合问题(教师版含解析)
挑战 2023 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题 27 以相似为载体的几何综合问题
21．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝4，点 M、N 分别在 AB、AD 上，且 MN⊥MC，点 E 为 CD 的中点，连接 BE 交 MC 于点 F．
(1)当 F 为 BE 的中点时，求证：AM＝CE； (2)若퐸퐵 ＝2，求퐴 的值； (3)若 MN∥BE，求퐴 的值．
（1）问题解决：如图①，若
AB//CD，求证：��12
=
�퐶⋅� �퐴⋅�퐵
（2）探索推广：如图②，若퐴퐵与퐶 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在�퐴上取一点 E，使�퐸 = �퐶，过点 E 作퐸 ∥퐶 交� 于点
F，点 H 为퐴퐵的中点，� 交퐸 于点 G，且� = 2
=
�퐶⋅� �퐴⋅�퐵
=
5�⋅5� 6�⋅9�
∴ 퐸 = � ⋅ sin∠ �퐸，퐵 = �퐵 ⋅ sin∠퐵� ，
∴�△�퐶
=�1=
1 2
�퐶
⋅
�△퐴�퐵=�2=
1 2
�퐴
⋅
퐵
퐸=
1 2
�퐶
⋅
�
⋅ sin∠ �퐸，
=
1 2
�퐴
⋅
�퐵
⋅
sin∠퐵�
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴sin∠ �퐸 = sin∠퐵� ；
∴�1
�2
=
12�퐶⋅� ⋅sin∠ �퐸 12�퐴⋅�퐵⋅sin∠퐵�
(3)首先利用同角的余角相等得
∠CBF＝
∠CMB，则
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几何综合压轴题
1、如图，□ABCD的对角线相交于点O，将线段OD绕点O
旋转，使点D的对应点落在BC延长线上的点E处，OE交CD于
H，连接DE．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若OE⊥CD，求证：2CE·OE＝CD·DE；
（3）若OE⊥CD，BC＝3，CE＝1，求线段AC的长．
2、如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一
个菱形AEFG且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，G D．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝2，点D是边AC上一点，连接BD，并将
△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在边AB上的点E处，过点D作DF⊥BD，交AB
于点F.
(1)求证：∠ADF＝∠EDF；
(2)探究线段AD，AF，AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)若EF＝1，求BC的长.
4、如图，?ABCD中，AB=8，AD=10，sinA=，E、F分别是边AB、BC上动点（点E不与
A、B重合），且∠EDF=∠DAB，DF延长线交射线AB于G．
（1）若DE⊥AB时，求DE的长度；
（2）设AE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当△BGF为等腰三角形时，求AE的长度．
5、如图,已知正方形ABCD ,将一块等腰直角三角板的锐角顶点与A 重合,并将三角板绕A 点旋转,如图1,使它的斜边与BD 交于点H ,一条直角边与CD 交于点G .
(1)请适当添加辅助线,通过三角形相似,求出AG AH 的值; (2)连接GH ,判断GH 与AF 的位置关系,并证明; (3)如图2,将三角板旋转至点F 恰好在
DC 的延长线上时,若AD =23,AF =25.求DG 的长.
6、如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，D 为AB 的中点，∠EDF =90°，DE 交AC 于点G ，DF 经过点C ．（1）求∠ADE 的度数；
（2）如图2，将图1中的∠EDF 绕点D 顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E 1DF 1，∠E 2DF 2，DE 1交直线AC 于点P ，DF 1交直线BC 于点Q ，DE 2交直线AC 于点M ，DF 2交直线BC 于点N ，求的值；
（3）若图1中∠B =β（60°＜β＜90°），（2）中的其余条件不变，判断
的值是否为定值如果是，请直接写出这个值（用含β的式子表示）；如果不是，请说明理由．
7、如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．
8、已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；
（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；
（3）连接CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．
9、如图，将矩形ABCD沿AH折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．折痕与边BC交于点H, 已知AD=8，HC:HB=3:5.（1）求证：△HCP∽△PDA；
(2) 探究AB与HB之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）连结BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
10、在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．（1）如图1，当点E与点B重合时，若AE=4，判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当点E在DB延长线上时，求证：AE=2CD；
（3）记直线CE与直线AB相交于点F，若
5
6
CF
EF
，CD = 4，求BD的长．。

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