第四节 一次不等式(组)及不等式应用
2023年中考数学总复习第二章第四节 一元一次不等式(组)及其应用
2023年中考数学总复习第二章第四节一元一次不等式（组）及其应用一、选择题1.［2020·遵化三模］下面列出的不等式中，正确的是（）A．“m 不是正数”表示为m＜0B．“m 不大于3”表示为m＜3C．“n 与4的差是负数”表示为n-4＜0D．“n 不等于6”表示为n＞62.［2020·株洲］下列哪个数是不等式2（x-1）+3＜0的一个解？（）A．-3B．C．D．23.［易错］［2020·石家庄一模］如果a＞b，c＜1，那么下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．a+c＞b C．ac＜bc D．a-c＞b-c4.［2020·保定模拟］不等式2x-1＜4（x+1）的解集表示在如图所示的数轴上，则阴影部分盖住的数是（）A．-1B．-2C．-1.5D．-2.5（第4题图）5.［2020·河北模拟］下列各数中，是不等式组的解的是（）A．-1B．2C．4D．86.［难点］［2020·天水］若关于x 的不等式3x+a ≤2只有2个正整数解，则a 的取值范围为（）A．-7＜a＜-4B．-7≤a≤-4C．-7≤a＜-4D．-7＜a≤-47.［2020·重庆］小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔 2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（）A．5B．4C．3D．2二、填空题8.［2020·毕节］不等式x-3＜6-2x 的解集是______．9.［2020·河南］已知关于x 的不等式组其中a，b 在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为______．（第9题图）10.［2020·石家庄一模］不等式的最大整数解是______．11.［创新］［2020·保定清苑区一模］现规定一种新的运算：=ad-bc，≤18，则x 的取值范围_____．三、解答题12.［2020·石家庄长安区模拟］解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得______；（2）解不等式②，得______；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集为___________．（第12题图）13.［2020·苏州］如图，“开心”农场准备用50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a （m），宽为b（m）．（1）当a=20时，求b 的值；（2）受场地条件的限制，a 的取值范围为18≤a≤26，求b 的取值范围（第13题图）x＞a，x＞b,2x-3＞0，x-4＜0。
湘教版八年级数学上册作业课件 第4章 一元一次不等式(组) 一元一次不等式的应用
3．(4分)(醴陵市月考)某超市花费1 140元购进苹果100千克， 销售中有5%的正常损耗，为避免亏本(其它费用不考虑)， 售价至少定为多少元/千克？ 设售价为x元/千克，根据题意所列不等式正确的是( )A A.100(1－5%)x≥1 140 B.100(1－5%)x＞1 140 C.100(1－5%)x＜1 140 D.100(1－5%)x≤1 140
5．(4分)某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车
多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量，请写出原来每天生 产汽车x辆应满足的不等式为___1_5_(_x_＋__6_)＞__2_0_x_．
6．小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为168千克，爸爸坐在跷 跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这 时爸爸那端仍然着地．若设小明的体重为x千克，则妈妈的体重为__千2x克，爸 爸的体重为___(_1_6_8_－__x_－__2千x) 克，根据小明和妈妈的体重之和___＜爸爸的体重 (填“＞”或“＝”或“＜”)， 即可得出关于x的关系式为___x_＋__2_x_＜__1_6_8_－__x_－___2，x 解得x＜___2_8．
11．(南京中考)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的 长、宽、高之和不超过160 cm， 某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm， 长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为____7c8m.
三、解答题(共45分) 12．(15分)(长沙中考)为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程 正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某 段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元． (1)若购买两种树苗的总金额为90 000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少 棵？ (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种 树苗多少棵？
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
1．(2021·常德)．－5a＜－5b
ab C.c＞c
D．a＋c＞b＋c
( C)
2．(2021·湖州)不等式 3x－1>5 的解集是
A．x>2
B．x<2
4 C．x>3
4 D．x<3
( A)
2x＋1＞0， 3．(2021·永州)在一元一次不等式组x－5≤0 的解集中，整数解的个
数是
( C)
A．4
B．5
C．6
D．7
x＋3≥2，
4．(2021·济宁)不等式组x－2 1－x>－2的解集在数轴上表示正确的是 ( B)
4＋x x＋2
3
>
2
，
5．若关于 x 的不等式组x＋2 a＜0
的解集是 x＜2，则 a 的取值范围是
( D)
A．a≥2
B．a＜－2
C．a≥－2
D．a≤－2
6．(2021·青海)已知点 A(2m－5，6－2m)在第四象限，则 m 的取值范围 是 m＞m＞33. 7．(2021·苏州)若 2x＋y＝1，且 0＜y＜1，则 x 的取值范围为
－2x＋3≤1，①
11．(2021·无锡)解不等式组：x－1<x3＋1.② 解：解不等式①，得 x≥1， 解不等式②，得 x<3， ∴不等式组的解集为 1≤x＜3.
3(x－1)＞x①，
12．(2021·湘西州)解不等式组：1－2x≥x－2 3②，并在数轴上表示它的 解集．
解：解不等式①，得 x＞32， 解不等式②，得 x≤1， 在数轴上表示不等式的解集为：
买 40 张门票反而更合算．
x＋4≥3，① 10．(2021·天津)解不等式组6x≤5x＋3.②请结合题意填空，完成本题 的解答． (1)解不等式①，得__xx≥≥－－1_1_； (2)解不等式②，得__xx≤≤33__； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
中考总复习数学第4节 一次不等式(组)及一次不等式的应用
(2)计划用两种货车共 12 辆运输这批物资，每辆大货 车一次需费用 5000 元，每辆小货车一次需费用 3000 元．若运输物资不少于 1500 箱，且总费用小于 54000 元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用 最少．最少费用是多少？
分析：(1)设 1 辆大货车一次运输 x 箱物资，1 辆小 货车一次运输 y 箱物资，由“2 辆大货车与 3 辆小货车一 次可以运输 600 箱；5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以 运输 1350 箱”列方程组，即可求解；
数学 中考总复习
第4节 一次不等式(组)及一次不 等式的应用
类型1：解一元一次不等式组 ►例1求不等式组32x－x＋7＜3≥2，1 ①②的解集，并把它的 解集在数轴上表示出来．
分析：解不等式组的一般步骤是：先分别求出不等 式①，②的解集，再把①，②的解集在 同一数轴上 表 示出来，然后利用数轴取两个解集的 公共部分 ，由 此得出不等式组的解集．
(1)以 x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示实 际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出 y 关于 x 的函数关系式；
(2)新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省 钱？
解：(1)由题意可得 y 甲＝0.9x. 当 0≤x≤100 时，y 乙＝x， 当 x＞100 时，y 乙＝100＋(x－100)×0.8＝0.8x＋20， 由上可得，y 乙＝x（0.80x≤＋x2≤0（10x0＞）1，00）.
►考点 3 一元一次不等式的实际应用 10. (2020·宜昌)红光中学学生乘汽车从学校去研学 旅行基地，以 75 千米/时的平均速度，用时 2 小时到达， 由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于 50 千米/时且不高于 60 千米/时的范围内，这样需要用 t 小时到达，求 t 的取值范围．
2021年中考数学总复习第二章 方程(组)与不等式(组)第四节 一元一次不等式(组)及其应用
5. 不等式 3 x - x 4 可以表示( C ) 2
A. 3 x 与x的差大于4 2
B. 3 x 与x的差小于4 2
C. 3 x 与x的差最小值为4 2
D. 3 x 与x的差最大值为4 2
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第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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6. (2011河北22题8分)甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40 分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． (1)问乙单独整理多少分钟完工？
(1)求购进A，B两种型号的口罩机各多少台；
【分层分析】(1)设购进A种型号的口罩机x台，B种型号的口罩机y台，由表格和题干① 可得等式为__1_6_x_+_1_4_._8_y=__4_5_6__；由题干②可得等式为_x_+_y_=_3_0__，列方程组求解即可，
也可只设一个未知数，列一元一次方程求解；
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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(2)①嘉嘉在去分母和去括号时出错了，去分母时漏乘了没有分母的常数项－1，去 括号时没有变号． 正确的解法是： 去分母，得 2(x＋2)－3(x－1)≥－6， 去括号，得 2x＋4－3x＋3≥－6， 移项，得 2x－3x≥－6－4－3， 合并同类项，得 －x≥－13， 系数化为1，得 x≤13；
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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(4)若2x-6<3x的解集能使关于x的不等式 a 2 x x - 2 - a 成立，求常数a的取值范
围．
3
3
(4)∵不等式2x-6＜3x的解集为x＞-6，
不等式 a 2 x x - 2 - a 的解集为x≤6a+2，
初二数学-一次函数、方程(组)及不等式的综合应用
不等式在实际问题中的应用
方案优选问题 在多种方案中选择最优方案，可以通过建立和解决不等式来比较各种方案的优劣。 最大值最小值问题 在生产、生活中，经常需要求某个量的最大值或最小值，可以通过建立不等式来解决。 经济问题 在经济学中，价格、成本、利润等变量之间存在不等关系，可以通过建立和解决不等式来分析经济问题。
建立实际问题与数学模型的联系
实际问题的数学建模与解决
通过分析实际问题，将问题转化为数学模型，如线性方程、不等式或函数表达式。
利用数学知识和方法求解数学模型，得出实际问题的解决方案。
实际问题的数学解决方案
将数学解决方案应用到实际问题中，验证其可行性和有效性。
实际问题的应用与验证
综合应用题的解题思路与技巧
方程组在实际问题中的应用
在经济学中，方程组被用来描述和解决各种问题，如供需关系、成本和收益等。
经济问题
在解决物理问题时，经常需要建立和解决方程组，例如在力学、电磁学和热力学等领域。
物理问题
在航天工程中，需要建立复杂的方程组来描述和解决飞行器的轨道、速度和加速度等问题。
航天工程
PART THREE
初二数学-一次函数、方程(组)及不等式的综合应用
答辩学生：XXX 指导老师：XXX
Contents
目 录
目录
绪论
研究 方法
PART ONE
一次函数的应用
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
一次函数的定义与性质
一次函数是形如$y=kx+b$的函数，其中$k$和$b$是常数，且$k neq 0$。 一次函数的图像是一条直线，其斜率为$k$，截距为$b$。 一次函数的性质包括单调性、奇偶性等，这些性质在解决实际问题中具有重要意义。
一次不等式(组)及一次不等式的应用
第四节 一次不等式(组)及一次不等式的应用(建议时间：________分钟)基础过关1. (2018广西北部湾经济区)若m ＞n ，则下列不等式正确的是( ) A.m －2＜n －2 B. m 4＞n4C.6m ＜6nD. －8m ＞－8n 2. (2018衢州)不等式3x ＋2≥5的解集是( )A.x ≥1B. x ≥73 C.x ≤1 D. x ≤－13. (2018南充)不等式x ＋1≥2x －1的解集在数轴上表示为()4. (2018襄阳)不等式组⎩⎨⎧-<+->14212x x xx 的解集为( )A.x ＞13B. x ＞1C.13＜x ＜1 D. 空集5. (2018合肥瑶海区一模)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤<-141213x xx 的解集在数轴上表示正确的是( )6. (2018娄底)不等式组⎩⎨⎧->--≥-41322x x x 的最小整数解是( )A.－1B. 0C.1D. 27. (2018荆门)已知关于x 的不等式3x －m ＋1>0的最小整数解为2，则实数m 的取值范围是( )A.4≤m <7B. 4<m <7C.4≤m ≤7D. 4<m ≤78. 若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧<->-m x x x )2(312的解集是x ＜5，则m 的取值范围是( )A.m ≥5B. m ＞5C.m ≤5D. m ＜59. (2018雅安)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<-≤+--)1(3151215312x x x x 的整数解的个数是( ) A.0个 B. 2个 C.3个 D. 4个10. (2018合肥庐阳区二模)某超市销售一批创意闹钟，先以55元/个的价格售出60个，然后调低价格，以50元/个的价格将剩下的闹钟全部售出，销售总额超过了5500元，则这批闹钟的数量至少为( )A.44B. 45C.104D. 10511. (2018安徽第六次大联考)不等式－2018x ≥－2015x ＋6的解集为________．12. (2018扬州)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->-≥+221513x x x 的解集为________．13. (2018贵阳)已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧<--≥-0135x a x 无解，则a 的取值范围是________．14. (2018山西)2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115 cm .某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20 cm ，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为________cm .第14题图15. (2018江西)解不等式：x －1≥x －22＋3.16. (2018桂林)解不等式5x －13<x ＋1，并把它的解集在数轴上表示出来．17. (2018合肥45中一模)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥+->--323211)2(2x x x x18. (2018天津)解不等式组⎩⎨⎧+≤≥+②①.314,13x x x请结合题意填空，完成本题的解答． (Ⅰ)解不等式①，得____________； (Ⅱ)解不等式②，得____________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：第18题图(Ⅳ)原不等式组的解集为________________．19. (2018铁岭)俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用，已知1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元． （1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？（2）学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？满分冲关1. (2018台湾)如图的宣传单为莱克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？( ) 第1题图 A.112 B. 121 C.134 D. 1432. (2018株洲)下列哪个选项中的不等式与不等式5x ＞8＋2x 组成的不等式组的解集为83＜x＜5( )A.x ＋5＜0B. 2x ＞10C.3x －15＜0D. －x －5＞03. (2018泰安)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤--<--)(2)1(412131a x x x x 有3个整数解，则a 的取值范围是( ) A.－6≤a <－5 B. －6<a ≤－5 C.－6<a <－5 D. －6≤a ≤－5基础过关1. B2. A3. B4. B5. C6. B7. A8. A9. C 10. D 11. x ≤－2 12. －3<x ≤12 13. a ≥2 14. 5515. 解：原不等式两边同乘2，得2x －2≥x －2＋6， 移项得2x －x ≥2－2＋6， 即x ≥6.16. 解：不等式两边同乘3，得5x －1<3x ＋3，移项，得5x －3x <3＋1， 合并同类项，得2x <4， 系数化为1，得x <2，将解集在数轴上表示如解图：第16题解图17. 解：⎩⎪⎨⎪⎧x －2（x －2）＞1 ①x －12＋3≥x －23 ②， 解①得x ＜3； 解②得x ≥－19，∴原不等式组的解集为－19≤x ＜3. 18. 解：(Ⅰ)x ≥－2；(Ⅱ)x ≤1； (Ⅲ)如解图：第18题解图(Ⅳ)－2≤x ≤1.19. 解：(1)设甲品牌的足球的单价是x 元，则乙品牌的足球的单价是(x ＋30)元，根据题意，得1000x ＝1600x ＋30，解得x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意， ∴x ＋30＝80.答：甲品牌的足球的单价是50元，乙品牌的足球的单价是80元； (2)设学校购买乙品牌的足球m 个，则购买甲品牌的足球(25－m )个， 根据题意，得50(25－m )＋80m ≤1610，解得m ≤12. 答：学校最多购买12个乙品牌的足球．参考答案满分冲关 1. C 2. C 3. B。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
有 3 个整数解，则 a 的取值范围为
( A)
A．1<a≤2
B．1<a<2
C．1≤a<2
D．1≤a≤2
6 ． (2019 · 鄂 州 第 12 题 3 分 ) 若 关 于 x ， y 的 二 元 一 次 方 程 组
x－3y＝4m＋3，
x＋5y＝5
的解满足 x＋y≤0，则 m
的取值范围是__mm≤≤－－22__.
③学校购买篮球和足球共 40 个．
(1)
若④购买篮球的个数不少于足球个数的23，则最少可购买篮球
116 6
个；
【分层分析】(1)设购买篮球 x 个，则由题干③可得购买足球((440 0－－x)
个，由题干④可列不等式为
2 xx≥≥3((4400－－xx))，解此不等式得
x) xx≥≥1166.
(2)若⑤购买篮球的费用不超过购买足球的费用，则最多可购买篮球115
(2)若此不等式组的解集为－4≤x<1，则 a 的值为－－22； 【分层分析】(2)由题意得1a.－25168＝0－－m4 m，即 a＝－－22;
重难点 2：一元一次不等式的应用
(一题多设问)某校为举行体育比赛活动，准备购买若干个足球和篮
球作为奖品，已知①篮球的单价为 100 元/个，②足球的单价为 60 元/个，
第四节 一元一次不等式 (组)及其应用
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.一元一次不等式(组)的解法及解集 表示，考查形式有：①求不等式(组)的解集；②求不等式(组)的解集并在 数轴上表示；③求不等式组的整数解；④确定不等式组中字母参数的取 值范围.2.一元一次不等式的应用，考查形式有：①利用不等式判断哪种 方案合算；②与方程(组)、函数结合确定方案问题，设题背景有购买问题、 销售费用问题，以解答题为主
中考数学 一次不等式(组)及其应用数学课件
12/9/2021
考点聚焦
归类探究
回归教材
课时8 一次不等式（组）及其应用 回归教材
“分配”中的不等关系
教材母题
课外阅读课上，老师将 43 本书分给各个小组，每组 8
本，还有剩余；每组 9 本，却又不够．问有几个小组？
解：设有 x 个小组，根据题意得89xx<>4433， ，
解得493<x<483， 取整数 x＝5. 答：有 5 个小组．
12/9/2021
考点聚焦
归类探究
回归教材
解 去分母，得 2(2x－1)－(9x＋2)≤6，去括号，得 4x－
2－9x－2≤6，移项，得 4x－9x≤6＋2＋2，合并同类项，得－5x≤10， 把 x 的系数化为 1，得 x≥－2.
12/9/2021
考点聚焦
归类探究
回归教材
课时8 一次不等式（组）及其应用
探究二 一元一次不等式组 命题角度：
不等式组的解集 解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在
的求法
数轴上，再求出它们的公共部分就得到不等式组的解集
不等式组的解集 情况(假设 a<b)
x>a，
x>b x<a，
x<b x>a，
x<b x<a，
x>b
x>b x<a a<x<b 无解
同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小解不了
12/9ห้องสมุดไป่ตู้2021
考点聚焦
归类探究
回归教材
课时8 一次不等式（组）及其应用
考点4 利用不等式(组)解决日常生活中的实际问题
方法：分析题目中的不等量关系，能准确分析题意， 列出不等量关系式，然后根据不等式(组)的解法求解．
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x 1
1
3
，在数轴上表示如解图： x3
3
（1）根据所给的条件，完成下表
第二章 方程（组）
故与不等式组（的组解）为 ，在数轴上表示如解图：
第故四不节 等式一组次的不解等为式与 ，在数轴上表示如解图：
一第次四不 节等一式次组不等式与
∴一x次的不最等小式正组整数是x=16
即第1四5节x-12一5次＞不10等0，式与
即一1次5不x-1等2式5＞组100，
例（1 ）解根不据等所式给组的条件，，完并成把下解表集在数轴上表示出来.
故即不15等x-1式2组5＞的1解00为， ，在数轴上表示如解图：
第例二1 解章不方等程式（组组） ，并把解集在数轴上表示出来.
与（不1）等根式据（所组给）的条件，完成下表
∴例x1的解最不小等正式整组数是x=16 ，并把解集在数轴上表示出来.
（1）根据所给的条件，完成下表
答题情况 题分
每题分值
得分
答对 x 10
10x
答错或不答 -5
(2)根据题意，得 1 0 x 5 (2 5 x )＞ 1 ，0 0
(3) 即15x-125＞100， (4) 解得：x＞15，
(5) ∴x的最小正整数是x=16
答：小明同学至少答对16道题。
【易错分析】本题第（2）问中出现“至少”这个
关键词，要准确地将其转化为数学语言，许多考
生会因未理解题意而出错.
【方法技巧】列不等式解应用题关键是读懂题目
中的关键词语，如不足，至少，不少 于，不多 于，不超过，不低于等，根据这些关键词列出 不等式.
第一部分 考点研究
第二章 方程（组） 与不等式（组）
第四节 一次不等式与 一次不等式组
精选-中考数学总复习第二章方程组与不等式组第四节一次不等式组及其应用课件
定解集中整数的个数，注意解集两端是否包含，两端均为
整数时，若为“＞或＜”，则不包含；若为“≥或≤”，
则包含.
最新
精选中小学课件
7
1．(2017·百色)关于x的不等式组
的解集中
至少有5个整数解，则正数a的最小值是( B )
A．3
B．2
C．1
D. 2
3
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8
2．(2014·河南)不等式组 为 _－__2_ .
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12
【自主解答】
解：(1)设购买A种设备x台，则购买B种设备(10－x)台，
根据题意，得12x＋15(10－x)≥140，解得x≤3 1 ，
3
∵x为正整数，∴x＝1，2，3.
∴该景区有三种设计方案：
方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；
方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；
方最新案三：购买A种设备3台，精B选种中小学设课件备7台；
第四节 一次不等式(组)及其应用
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1
考点一 一元一次不等式组的解法及特殊解 命题角度❶ 解一元一次不等式组
例1(2017·河南)不等式组
的解集是
.
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2
【分析】先解每个不等式，再确定共同的解集.
【自主解答】
由①得，x≤2；由②得x－1＜2x，
解得x＞－1，综上可得，不等式组的解集为－1＜x≤2.
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3
总结：
求不等式组的解集的原则
解不等式组，先要解每一个不等式，再根据不等式组的解集
的口诀：同大取大，同小取小；大小小大中间找，大大小小
第四讲 一次不等式与不等式组(奥数版)
第四讲 一次不等式与不等式组一、理论提示1、一次代数式、不等式、一元一次不等式、不等式的解、不等式方程、恒等不等式、条件不等式、不等式方程、不等式组、参数不等式、绝对值不等式。
2、不等式性质：添加去掉括号、合并同类项、两边同加同减同一个代数式（移项）、两边同乘同除同一个正代数式、两边同乘同除同一个负代数式（改变方向）、差比法理论基础、对称性、传递性、同正不等式乘积（二合一）。
3、一次不等式解的理论：A 一元一次不等式可用不等式性质恒等变形为一般式：ax b <、ax b >、ax b ≤、ax b ≥，0a ≠。
B 一般式<ax b （0a ≠）：0a >时解集为bx a <；0a <时解集为bx a >；0a =时、若0b >则解集是所有数，若0b <则解集无解，若0b =则变为恒等方程。
4、参数方程：结合一次方程解的理论进行分类讨论。
5、一次方程组解法（消元法）：加减消元法、代入消元法。
6、一次比例方程组：换元法（引入参数）。
7、特殊方法：行列式解法、矩阵解法。
8、方程与方程组的应用：根据题意建立数学模型，应用方程的理论和方法进行分析，解决实际问题。
二、例题讲解：1、解方程：()()()()24517332x x x x +--=+--； 211132x x+--=；2、解关于x 的方程 x a xbbb a a ---=，其中0,0,a b a b ≠≠≠。
3、解关于x 的方程：2421m x mx -=+； ()()11234m x n x m -=+。
4、已知解关于x 的方程：()()2153a x a x b -=-+有无数多解，求,a b 的值。
5、解方程组： 3234x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 3321325x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩。
6、解方程组： :::1:2:3:42341x y z w x y z w =⎧⎨-+-=⎩ 2345238xyzx y z ⎧==⎪⎨⎪+-=⎩7、若代数式2ax bx c ++当0,1,2x =时。
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
4．(2021·荆门第 15 题 3 分)关于 x 的不等式组1＋32x≥x－1 恰有 2 个
整数解，则 a 的取值范围是 5≤5a≤＜a＜6. 6
2x≥x－1， ① 5．(2021·武汉第 17 题 8 分)解不等式组4x＋10>x＋1 ②请按下列步骤 完成解答． (1)解不等式①，得 x≥x≥－－11； (2)解不等式②，得 x＞x＞－－33；
3x－2≥1， (2021·通辽)若关于 x 的不等式组2x－a<5 有且只有 2 个整数 解，则 a 的取值范围是－1－<a1<a≤≤11..
【思路点拨】先求出不等式组的解集(用含字母 a 的代数式表示)，再根 据不等式组有且只有 2 个整数解，可推出 a 的取值范围．
解含参不等式(组)的 8 个“母题”： (1)若不等式 ax>a 的解集是 x>1，则 a>0； (2)若不等式 x>a 的解集是 x>2，则 a＝2；
第四节 一元一次不等式(组) 及其应用
命题点 1：一元一次不等式组的解法及解集表示(近 3 年考查 18 次)
x－1＜－3， 1．(2020·黄石第 6 题 3 分)不等式组2x＋9≥3 的解集是
(
C)
A．－3≤x＜3
B．x≥－2
C．－3≤x＜－2
D．x≤－3
x－4≤2(x－1)，
某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和 篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价 格也相同，已知篮球的单价比足球单价的 2 倍少 30 元，用 1 200 元购买 足球的数量是用 900 元购买篮球数量的 2 倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共 200 个，但要求足球 和篮球的总费用不超过 15 500 元，学校最多可以购买多少个篮球？
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
重难点 2：一元一次不等式的应用 在某次篮球联赛初赛阶段，每队共有 10 场比赛，每场比赛都要分出
胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分，积分超过 15 分才能获得参加 决赛资格． (1)已知甲队在初赛阶段的积分为 18 分，求甲队初赛阶段胜、负各多少 场； (2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少 场？
4．对于带有单位的应用题，设未知数和答时要带单位． 评分说明： (1)正确地设未知数并列出方程或方程组得 2 分； (2)方程或方程组解答正确得 1 分，解答的具体过程不是得分点，可以省 略；
(3)写出“答”得 1 分； (4)正确地设未知数并列出不等式得 2 分； (5)解不等式的过程不是得分点，可以省略，正确地写出不等式的解得 1 分； (6)正确地写出“答”得 1 分．
(1)【教你审题】设甲队初赛阶段胜 x 场，负 y 场．
原题信息
整理后的信息
在某次篮球联赛初赛阶段，每队共 x＋y＝10
有 10 场比赛
每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分， 2x＋y＝18
甲队在初赛阶段的积分为 18 分
解：设甲队初赛阶段胜 x 场，负 y 场，由题意得，
x＋y＝10， 2x＋y＝18，(2 分)
积分超过 15 分才能获得参加决赛 2a＋(10－a)>15
资格，乙队要获得参加决赛资格
解：设乙队初赛阶段胜 a 场，则负(10－a)场，由题意得， 2a＋(10－a)>15，(6 分) 解得 a>5.(7 分) 答：乙队在初赛阶段至少要胜 6 场．(8 分)
1．设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”等不能出现，即应给出 肯定的未知数的设法． 2．对于不等式的应用，应注意一些关键词语，从而建立不等式模型，例 如“不少于≥”“不超过≤”“至少≥”“最多≤”“不高于≤”等． 3．不等式的应用还需要验根，题目中用字母表示的量要符合实际意义， 如人数是正整数，时间不能为负数等．
第四节 一次不等式(组)及其应用
注意事项
2.对于带有单位的应用题，在设未知数、 答中要带单位
玩转福建6年中考真题（2012~2017）
考点精讲
重难点突破
数学文化讲堂（二）
重难点突破
一 一元一次不等式(组)解法及解集表示(重点) 例 1 已知三个一元一次不等式：5x－1＜3(x＋1)，
2x 1 x 1 , 2 x 8. 求： 5 2
c c
去分母（方程两边 性质3：如果a＞b， ac<bc 对应 步骤 同乘分母的最小公倍数） c＜0，那么 a b 对应 < ③_____ 系数化为1 c
c
步骤
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解集 解一元 一次不 等式及 解集表 示 x＜ a x＞ a x≤a
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数学文化讲堂（二）
例2 解：(1)设A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元， 由题意，得 8x＋3y＝950 5x＋6y＝800 ， 解得 x＝100 y＝50 . 答：A种纪念品每件需100元，B种纪念品每件需50元； (2)设商品可购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品(100－a) 件，由题意得100a＋50(100－a)≤8000， 解得a≤60. 答：商店至多可购进A种纪念品60件．
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第二章 方程（组）与不等式（组）
第四节 一次不等式（组）及其应用
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数学文化讲堂（二）
一次不等式及其应用
不等式的基本概念及性质不等式：利用不等号连接的式子叫不等式．不等号包括：“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“≠”。
例如：-5＜-2，a ＋3＞-1＋4，x ＋1≤0，a 2＋1＞0，|x |≥0，3a ≠5a 等都是不等式。
注意：不等式 成立；而不等式 也成立，因为 成立，所以不等式 成立。
基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变。
基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
注意：⑴在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向。
⑵在不等式两边不能乘以0，因为乘以0后不等式将变为等式 不等式具有互逆性和传递性：不等式的互逆性：如果a ＞b ，那么b ＜a ； 如果b ＜a ，那么a ＞b 。
不等式的传递性：如果a ＞b ，b ＜c ，那么a ＞c 。
用不等式表示数量的不等关系。
⑴a 是正数； ⑵a 是非负数 ； ⑶a 的相反数不大于1 ； ⑷x 与y 的差是负数。
利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空。
⑴若a ＜b ，则2a _____2b ； ⑵若a ＞b ，则-4a _____-4b ； ⑶若362x ->，则x _____-4；⑷若a ＞b ，c ＞0，则ac _____bc ；⑸若x ＜0，y ＞0，z ＜0，则(x －y )z _____0例2例1一次不等式及其应用根据a ＞b ，则下面哪个不等式不一定成立( ) A ．a ＋c 2＞b ＋c 2 B ．a －c 2＞b －c 2 C ．ac 2＞bc 2 D ．2211a b c c >++(第15届“希望杯”邀请赛试题)若 ，则下列式子中正确的是( ) A ．-a ＜-b B ．11<abC ．|a |＜|b |D ．a 2＞b 2不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解。
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方程（组）与不等式（组）
第四节 一次不等式（组）及不等式应用
一、考情分析：
本节知识在学业水平测试要求中要求学达到掌握程度，能解不等式（组）、不等式
的实际应用，多以填空题、选择题、解答题第一题的考察形式出现。
2012-2019年云南
省的学业水平测试对知识点的考察中，省卷考察3-6分，昆明卷考察3-8分，曲靖卷考
察3分。
二、考点分析：
命题点1：不等式的性质 命题点2：一元一次不等式的解法及解集表示
命题点3：一元一次不等式组的解法及解集表示 命题点4：不等式的实际应用
三、考点梳理：
1、不等式的性质：性质1： ；
性质2： ；
性质3： 。
2、一元一次不等式的解法步骤： ；
解集在数轴上的表示： 。
3、一元一次不等式组的解法步骤 ；
解集的表示： 。
4、不等式的实际应用：所求问题中含有“至少”、“最多”、“不低于”、“不高于”
“不大于”“不小于”等词.
四、精讲点拨：
例1：表达式①;02≥x ②;2453>+x ③n m 25+； ④;0<+y x ⑤923=+x 中
的一元一次不等式有_______________ （填序号）。
例2：已知b a <，用适当的不等号填空：（1）a-2______b-2； （2）-a______-b ； （3）
3-a______3-b 。
例3：已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≤->+)
(2)1(4162a x x x
（1）不等式①的解集为__________；（2）不等式②的解集为_____________；
（3）若a=3，则该不等式组的解集为__________，并将解集在数轴上表示：
五、课堂检测：
1、不等式26x -＞0的解集是（ ）
A ．x ＞1
B ．x ＜−3
C ．x ＞3
D ．x ＜3
2、不等式⎩
⎨⎧≥+>-01012x x 组的解集是： 。
3、已知三角形的两边长分别是2和5，则该三角形的第三边x 的取值范围是_________。
4、二次根式6-x 中，x 的取值范围是___________。
5、在函数y=(m+3)x+1中，若y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________。
6、解一元一次不等式（组）（1）12312≤+-x x （2）⎪⎩
⎪⎨⎧+<-≤-413)1(3)2(2x x x x 六、拓展延伸
1、某商店用1000元民币购进水果销售,过了一段时间,又用2400元人民币购进这种水果,所购数量是第一次购进数量的2倍,但每千克的价格比第一次购进的贵了2元
(1)该商店第一次购进水果多少千克?
(2)假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售.若两次购进水果全部售完,利润不低于950元,则每千克水果的标价至少是多少元?
2、水是人类生命之源,为了鼓励居民节约用水,相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策,若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费);若每户每月用水量超过10立方米,则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%,每立方米污水处理费不变.甲用户4月份用水8立方米,缴水费27.6元;乙用户4月份用水12立方米,缴水费46.3元.(注:污水处理的立方数=实际生活用水的立方数)
(1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元?
(2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元,该用户7月份最多可用水多少方米?。