数学建模与数学实验

数学建模与数学实验

实验报告

班级: 数学师范153 姓名:付爽

学号:1502012060

实验名称: 数列极限与函数极限

基础实验

基础实验一数列极限与函数极限第一部分实验指导书解读

一、实验目的

从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义;理解数列收敛的准则;理解函数极限与数列极限的关系。

二、实验使用软件

Mathematic 5、0

三.实验的基本理论即方法

1割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积;其次,当将边数屡次加倍时,正多边形的面积增大,边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。

“割之弥细,所失弥少。割之又割以至不可割,则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。

以n

S 表示单位圆的圆内接正1

23-⨯n 多边形面积,则其极限为圆周率π。用下列Mathematica 程序可以从量与形两个角度考察数列{n

S }的收敛情况: m=2;n=15;k=10;

For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆

内接正1

23-⨯n 多边形边长) s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正1

23-⨯n 多边形面积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];

Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]]

]

t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)

ListPlot[t] (散点图)

2裴波那奇数列与黄金分割

由2110;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。 如果令n n n F F R

1

1--=,由n F 递推公式可得出 11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ,]251251[511

1++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n F ; 215lim lim 1-==+∞→∞→n n n n n F F R 。

用下列Mathematica 程序可以从量与形两个角度考察数列{n

R }的收敛情况: n=14,k=10;

For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;

f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)

rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];

Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn];

]

t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]

ListPlot[t]

3收敛与发散的数列

数列}{1∑=-n i p i 当1>p 时收敛,1≤p 时发散;数列}{sin n 发散。

4函数极限与数列极限的关系

用Mathematica 程序

m=0;r=10^m;x0=0;

f[x_]=x*Sin[1/x]

Plot[f[x],{x,-r,r}]

Limit[f[x],x->x0]

观察的1

sin )(-=x x x f 图象可以发现,函数在0=x 点处不连续,且函数值不存在,但在0=x 点处有极限。

令100,,2,1,/1Λ===n n a x n ,作函数的取值表,画散点图瞧其子列

的趋向情况

k=10;p=25;

a[n_]=1/n;

tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]

ListPlot[tf]

Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]

分别取不同的数列n a (要求0→n a ),重做上述过程,并将各次

所得图形的分析结果比较,可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于1

sin )(-=x x g ,类似地考察在0=x 点处的极限。 三、实验准备

认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验,在此基础上制定实验计划(修改、补充或编写程序,提出实验思路,明确实验步骤),为上机实验做好准备。

四、实验思路提示

3、1考察数列敛散性

改变或增大n,观察更多的项(量、形),例如,n分别取50,100,200,…;扩展有效数字k,观察随n增大数列的变化趋势,例如,k分别取20,30,50;或固定50;或随n增大而适当增加。对实验要思考,例如,定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异;数列收敛方式;又例如,如何估计极限近似值的误差。

3、2考察函数极限与数列极限的关系

改变函数及极限类型,例如,考虑六种函数极限,既选取极限存在也选取极限不存在的例子;改变数列,改变参数观察更多的量,考察形的变化趋势;扩展有效数字k,提高计算精度。要对实验思考,归纳数列敛散与函数敛散的关系。

第二部分实验计划

实验主要就是从观察数列的敛散性,观察函数值的变化趋势来理解极限的概念,进一步体会实验的准则

1.割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积;其次,当将边数屡次加倍时,正多边形的面积增大,边数愈大