双向方差分析
SPSS双因素方差分析
SPSS双因素方差分析双因素方差分析是一种用于研究两个或多个自变量对因变量之间是否存在影响的统计方法。
在本文中，我们将讨论SPSS中如何进行双因素方差分析，并对其结果进行解释。
首先，我们需要首先导入我们的数据集，并确保数据集中包含我们要研究的因变量和两个自变量。
在SPSS中，我们可以通过依次点击"文件"->"导入"->"数据"来加载数据集。
一旦我们成功加载数据集，我们可以开始进行双因素方差分析。
在SPSS中，我们可以通过依次点击"分析"->"一般线性模型"->"一元方差分析"来进行。
在进行方差分析之前，我们需要将自变量添加到"因子"的列表中。
我们可以使用鼠标将自变量拖拽到"因子"列表中，或者通过点击"添加"按钮手动将其添加。
在添加完自变量后，我们可以点击"模型"选项卡，选择我们感兴趣的方差分析模型。
在双因素方差分析中，共有三种模型可供选择：主效应模型、交互作用模型和自由模型。
-主效应模型：计算每个自变量的主效应，并忽略它们之间是否存在交互作用。
-交互作用模型：计算自变量之间是否存在交互作用，并同时计算每个自变量的主效应。
-自由模型：不计算任何主效应或交互作用，仅用于比较不同模型之间的显著性。
选择适当的模型后，我们可以点击"可选"选项卡，设置其他参数，比如显著性水平、效应大小等。
一旦我们完成了所有设置，可以点击"确定"开始进行方差分析。
SPSS将会自动生成方差分析的结果报告。
在报告中，我们可以找到各个自变量的主效应、交互作用以及整体模型的显著性等信息。
一般来说，我们关注的主要结果包括：组间方差、组内方差、平方和、均方、F统计值、显著性水平等。
双因素方差分析步骤ppt课件
消除“include intercept in
model”复选框。
点击 “continue” 返回上一层对 话框。
+ 步骤3.
+ 点击"Option"按钮， 并选择 "homogenetiy test" 复选框。
+ 点击“continue”返 回上一层对话框
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5
四、选择模型（我们不考虑交互因素）
+ 有的分析需要考虑不同因素的交互效应，而有的分析不需要考虑交互效应，为此需要选择恰当模 型。
+ 步骤4，
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3
步骤2.
+ 在对话框中， 选择变量“销 售量”－ >“dependent variable”框 中;
+ 选择变量“品 牌”和“地 区”->"fixed factor"框中
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4
三、方差齐次性检验
+ 由于方差分析要求 数据的方差相等， 必须查看数据的方 差相等与否的检验 结果。
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9
（1）品牌不同水平的比较
精选PPT课件
10
（2）地区不同水平的比较
Hale Waihona Puke 精选PPT课件11
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方差分析第四章双因素方差分析ppt课件
i1j1
i1
ab
Se
(yijyi•y•j y)2
i1 j1
整理版课件
自由度分析TN1a b1A a1 B b1
e T A B a 1 ( b a 1 ) ( b 1 ) a a b b 1
e a ( b 1 ) ( b 1 ) ( b 1 )a (1 )
e(b1)a (1)
i 1
b
a
a
a
b
b
y 1 jy i1y i2 y ib ( y 2 j y a)j
j 1
i 1
i 1
i 1
j 1
j 1
b 1 • a y • 1 a y • 2 y a • b ( b y 2 • b y 3 • y b a • )y
整理版课件
三、平方和的简化计算
ST
Se e
VE
SAB
AB
Se
e
■ 3. 判断
ab
ST
(yij y)2
i1 j1
ab
ab
ab
(y i• y ) 2 (y • j y ) 2 (y i jy i• y • j y ) 2
i 1j 1
i 1j 1
i 1j 1
ab
a
SA (yi•y)2b (yi•y)2
i1j1
i1
ab
a
SB (y•Jy)2a (y•jy)2
证明交叉项为零:
abr
(yij k yi• j)(yi• jyi••y•j•y)
i 1j 1k 1
ab
r
(yi•jyi••y•j•y) (yi j kyi•j)
i 1j 1
k 1
ab
补充：双因素方差分析
品牌因素 品牌1 品牌2 品牌3 品牌4
地区因素 地区1 365 345 358 288 地区2 350 368 323 280 地区3 343 363 353 298 地区4 340 330 343 260 地区5 323 333 308 298
数据结构
分析步骤
ij
x
2
xi. x x. j x xij xi. x. j x
2 k r 2 k r i 1 j 1 i 1 j 1
2
SST = SSR +SSC+SSE
分析步骤
(构造检验的统计量)
计算均方(MS)
误差平方和除以相应的自由度
双因素方差分析
(two-way analysis of variance)
1. 分 析 两 个 因 素 ( 行 因 素 Row 和 列 因 素 Column)对试验结果的影响 2. 如果两个因素对试验结果的影响是相互独 立的，分别判断行因素和列因素对试验数 据的影响，这时的双因素方差分析称为无 交互作用的双因素方差分析或无重复双因 素 方 差 分 析 (Two-factor without replication)
i 1 j 1 k r
2
SSE xij xi. x. j x
i 1 j 1
2
分析步骤
(构造检验的统计量)
总误差平方和(SST )、行因素平方和 (SSR)、
列因素平方和(SSC) 、误差项平方和(SSE) 之 间的关系
x
k r i 1 j 1 k r i 1 j 1
• •
H0：m1=m2=m3=m4 (品牌对销售量无显著影响) H1：mi (i =1,2, … , 4) 不全相等 (有显著影响)
方差分析II -双向分类
（2）计算最小显著差数 LSD0.05 和 LSD0.01 ；
（3）将平均数多重比较表中两两平均数的差 数与LSD0.05 L、SD 0.01 比较，作出统计推断。
平均数
多重比较表
Xi −18
Xi − 23
X1 = 50
6.3 变异的分解
6.3.1 平方和的剖分
kn
∑ ∑ SST =
( Xij − X )2
i=1 j=1
反映全部观测值总变异的总平方和是各观测值Xij 与 总平均数 X 的离均差平方和，记为SST
因为
∑∑ ∑ ∑ k
ni
k
( X ij − X )2 =
ni ( X i − X ) + ( X ij − X i )2
6.4 假设检验
2. 检验统计量
F
=
MS A MS E
单侧（右侧）检验
这个统计量服从第一自由度为dfA，第二自由度 为dfE的F分布。
3. 统计推断
将计算的F 值与之比较，如果F > Fα(df A ,df E ) ， 即可否定原假设，接受备择假设。
表6.2 方差分析表
*n*s
如果计算的F值落在α = 0.01时的否定域中，就在表中的F 值的右上角标以 “**”，表示至少有两个平均数间存在极显著差异；如果计算的F值落在α = 0.05 时的否定域中，就标以“*”，表示至少有两个平均数间存在显著差异；否则就标 以“ns”，表示各平均数间差异不显著。
=
X2 ••
N
=
6002 20
= 18000
k ni
∑ ∑ SST =
交互作用双因子方差分析
交互作用双因子方差分析交互作用双因子方差分析（Two-way ANOVA with interaction）是一种用于分析两个自变量对因变量的影响以及这两个自变量之间是否存在交互作用的统计分析方法。
在实验设计和数据分析中应用广泛，尤其适用于探究多个因素对结果的影响和相互作用的情况。
交互作用双因子方差分析是在传统的方差分析的基础上进一步扩展的方法，将实验因素划分为两个或更多的自变量，并考察这些自变量之间是否存在相互作用。
与传统的单因子方差分析相比，交互作用双因子方差分析可以更全面地分析因素对结果的影响，从而更准确地解释实验结果。
在进行交互作用双因子方差分析之前，首先需要构建一个实验设计矩阵，确定两个自变量的水平以及实验对象的分组情况。
然后，通过对数据进行方差分析，可以得到各自变量的主效应（main effects）和交互作用效应（interaction effects）的显著性检验结果。
主效应是指自变量对因变量的独立影响，通过比较不同水平下因变量的均值差异来进行检验。
交互作用效应是指两个自变量同时作用对因变量的影响，通过比较不同组合下因变量的均值差异来进行检验。
显著性检验可以使用方差分析表（ANOVA table）来进行，通过计算误差平方和与因子平方和来判断各效应的显著性。
双因子方差分析的优势在于可以准确地评估两个自变量的影响，并且可以检验出两个自变量之间是否存在交互作用。
通过交互作用效应的检验，可以了解不同因素之间的复杂关系，进一步深入理解研究对象的特性。
然而，交互作用双因子方差分析也存在一些注意事项。
首先，样本量需要足够大，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
其次，实验设计需要合理，各水平之间应该具有一定的平衡性。
此外，还需要注意数据的正态性和方差齐性，以确保方差分析的准确性。
总之，交互作用双因子方差分析是一种重要的统计分析方法，可以分析两个自变量对因变量的影响和相互作用。
通过准确评估各自变量的主效应和交互作用效应，可以更加全面地解释实验结果，为研究提供有力的支持和指导。
方差分析(二)
Yijk Y (Y i Y ) (Y j Y ) (Y ij Y i Y j Y ) (Yijk Y ij )
对等式两边取平方并求和可以得到总离均差平方和的分解公式， 其表达式为：
SS总＝SSA+SSB+SSAB+SS误差
n
b
a
a
b
令Tij Yijk ,Ti Tij ,Tj Tij ,T Ti Tj ,
ij
ij
(Y i Y )2
(Y j Y )2
(Yij Y i Y j Y )2
即：SS总＝SSi 处j理+SS区组+i SSj 误差
ij
(9 1)
式（9-1）中 和 分别表示对i从1到a求和与j从1到n求和。
i
j
式中各符号的意义及简化计算公式为：
第一节 随机区组设计的方差分析
一、随机区组设计方差分析的基本思想
随机区组设计（randomized block design）是事先将全部 受试对象按某种可能与实验因素有关的特征分为若干个区 组（block），使每一区组内的受试对象例数与处理因素的 分组数相等，使每个实验组从每一区组得到一例受试对象。 设共有n个区组，处理因素有a个水平（a个实验组），受试
SSA
1 bn
i
Ti
2
T2 N
vA＝a-1
处理因素B的组间离均差平方和
SSB
1 an
j
Tj2
T2 N
vB＝b-1
A与B交互作用的离均差平方和为：
方差分析二：双向方差分析
Yijk
ik
S j
Yij2k
ik
20 557
20 596
20 659
16613
18000
22843
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9
60 1812
57456
21
两因素析因分析的方差分析步骤
1.整理数据：求出处理因素 A、B 及其交互项 AB 的观
察值之和，一个因素的观察值平方和、总和、总平方和等。
110447.5 6
变异分解
(1) 总变异： 所有观察值之间的变异
(2) 处理间变异：处理因素＋随机误差
(3) 区组间变异：区组因素＋随机误差
(4) 误差变异：
随机误差
S S 总 S S 处 理 S S 区 组 S S 误 差
总 处 理 区 组 误 差
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9
双向方差分析前面内容回顾析因设计factorialdesignanova所关心的问题析因设计的4个实例析因设计的特点2个或以上处理因素factor分类变量本节只考虑两个因素每个因素有2个或以上水平level每一组合涉及全部因素每一因素只有一个水平参与几个因素的组合中至少有2个或以上的观察值观测值为定量数据需满足随机独立正态等方差的anova条件三交互作用三交互作用图第三节两因素析因设计方差分析中的多重比较第四节裂区设计splitplotdesign资料的方差分析裂区设计资料的特点一级单位大区间主区家庭学校二级单位小区内即裂区家庭成员学生两因素裂区设计资料的方差分析方法先按随机区组析因设计的方法分析因素a家庭拥挤程度区组家庭的主效应及其交互作用
变异来源 处理 区组 误差 总
离均差平方和 SS 283.83
双因素方差分析【最新】
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
双因素方差分析
这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响 在统计上称为交互作用. 各因素间是否存在交互作用是 多因素方差分析新产生的问题.
一、无交互作用的方差分析
考虑的因素记为A的第i种效应和因素B的第j 种效应分 别记作αi , βj，试验误差记作εij，其数据结构如下：
第7.3节 双因素方差分析
一、无交互作用的方差分析 二、有交互作用的方差分析 三、利用Excel进行双因素方差分析的步骤
在许多实际问题中, 往往需要同时考察几个因素对指 标的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方 差分析，就是 双因素方差分析 (double factor analysis of variance)问题.
B1
B2
B3
A1
390 380 440 420 370 350
A2
390 410 450 430 370 380
解 由Excel软件依次单击：工具-数据分析-方差分析：可重 复双因素方差分析, 如下图
单击“确定”后，得分析结果如下：
由此可见，因素B显著，而因素A和A与B交互作用都 不显著．下面着重考察因素B.
方差来源 平方和 自由度
A B 误差 总和
Q1
r-1
Q2
s-1
Q3 (r-1)(s-1)
Q
rs-1
均方 S12 S22 S32
F值 S12/S32 S22/S32
显著性
二、有交互作用的方差分析
如果因素A 和因素B 没有交互作用， 则只需要在各 个组合水平下各做一次试验就可以进行方差分析．
但是如果因素A 和因素B 有交互作用，这时必须在 各个组合水平下做重复试验方可进行方差分析．
第九章双向方差分析
表2 方差分析结果
变异来源 处理间 窝别间 误差 总的 自由度ν 2 9 18 29
SS
5.638 14.020 0.487 20.146
MS
a. R Squared = .861 (Adjusted R Squared = .772)
第二节
数据变换
一.对数变换(logarithm 对数变换(logarithm transformation)
Y=lgX 常用于： 常用于： 1）使服从对数正态分布的数据正态化。如生长率、变化 ）使服从对数正态分布的数据正态化。如生长率、 速度、 抗体滴度等。 速度、 抗体滴度等。 2）使数据达到方差齐性，特别是各样本的标准差与均数 ）两个及两个以上因素的各种实验设计的定量资料的均值检验场合秩和检验要求正态性方差齐性参数检验非参数检验适用于分布类型不明确或不满足参数检验的条件单组设计配对设计成组设计完全随机设计随机区组设计析因设计裂区设计交叉设计正交设计拉丁方设计第九章方差分析二
第九章 方差分析（二）： 方差分析（ 双向方差分析
Univariate Analysis of Variance
Between-Subjects Factors N A 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 3 3 3 3 3 3 3 3
B
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: X Source Corrected Model Intercept A B Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 4274.140a 105483.300 283.831 3990.310 690.069 110447.510 4964.210 df 9 1 2 7 14 24 23 Mean Square 474.904 105483.300 141.915 570.044 49.291 F 9.635 2140.026 2.879 11.565 Sig. .000 .000 .090 .000
《双因素方差分析》课件
同样地，因素B对因变量的影响也是显著的，表 明在不同水平下，因变量的均值存在显著差异。
3
交互作用
分析结果表明，因素A和因素B之间存在显著的 交互作用，这种交互作用对因变量产生了显著影 响。
对未来研究的建议
扩大样本量
为了更准确地评估双因素方差分析的结果，建议在未来研究中扩大样本量，以提高分析 的稳定性和可靠性。
数据筛选
检查数据是否满足方差分析的前提假设，如正 态分布、方差齐性等。
数据编码
对分类变量进行适当的编码，以便在分析中使用。
模型拟合
确定模型
根据研究目的和数据特征，选择合适的双因素方差分析模型。
拟合模型
使用统计软件（如SPSS、SAS等）进行模型拟合，得到估计参数和模型拟合指标。
假设检验
检验主效应
考虑其他影响因素
除了因素A和因素B外，可能还有其他未考虑的因素对因变量产生影响。因此，未来的 研究可以考虑纳入更多的变量，以更全面地了解因变量的影响因素。
深入研究交互作用
双因素方差分析结果表明因素A和因素B之间存在交互作用。为了更深入地了解这种交 互作用的机制和效果，建议进行更详细的研究和探讨。
实际应用价值
主效应和交互效应检验
使用双因素方差分析来检验两个实验因素的 主效应和它们之间的交互效应。
结果解释
根据分析结果，解释实验因素对因变量的影 响以及交互作用的存在与否。
05 结论与建议
研究结论
1 2
因素A对因变量的影响
通过双因素方差分析，发现因素A对因变量的影 响显著，说明在因素A的不同水平下，因变量的 均值存在显著差异。
双因素方差分析的数学模型
双因素方差分析涉及两个实验因素，通常表示为A和B。
双因素方差分析
双因素方差分析标题：双因素方差分析的应用与解读摘要：本文通过介绍双因素方差分析的基本原理和方法，以及其在实际研究中的应用，帮助读者了解和理解该统计方法的概念和分析原理。
文章中还将详细探讨如何正确解读双因素方差分析结果，以及常见的误解和注意事项。
最后，本文将探讨该方法的局限性和发展前景，为读者提供一个全面的视角来评估该统计方法的实用性和适用性。
第一部分：引言双因素方差分析是一种常用的统计方法，用于研究两个或更多因素对某个变量的影响。
在实际研究中，我们常常需要探究不同因素对某一现象的综合影响，例如产品价格和广告投入对销售额的影响。
双因素方差分析能够帮助我们进行出色的统计分析，确保数据结果的准确性和可信度。
第二部分：双因素方差分析的基本原理和方法双因素方差分析是一种通过计算因素之间的差异来确定不同因素对某一现象的影响程度的方法。
它通过将数据分为不同的组别，并计算组间差异和组内差异，来判断不同因素是否对现象产生显著影响。
这种方法将数据集划分为两个或更多的因素组，然后通过计算组别间的方差和组内的方差来确定每个因素的影响程度。
第三部分：双因素方差分析的应用双因素方差分析在许多领域中得到了广泛应用。
例如，在医学研究中，我们可以使用双因素方差分析来确定一个新药物对不同性别和不同年龄组的病人的治疗效果。
在市场营销领域，我们可以使用双因素方差分析来探究不同价格和不同广告投入对产品销售额的影响。
在教育领域，我们可以使用双因素方差分析来研究不同教学方法和不同学生能力水平对学生成绩的影响。
这些例子仅仅是说明双因素方差分析的应用领域的一部分，该方法在实际研究中的应用潜力巨大。
第四部分：正确解读双因素方差分析结果正确解读双因素方差分析结果是使用该方法的关键。
首先，我们需要了解P值和显著性水平的概念。
P值表示观测到的差异出现在无关因素组中的概率。
显著性水平则是在假设检验中用来判断观测到的差异是否真实存在的标准。
其次，我们需要关注效应大小。
Two-Way ANOVA：双向方差分析
Two-way Analysis of Variance
Two-way ANOVA is applied to a situation in which you have two independent nominal-level variables and one interval or better dependent variable Each of the independent variables may have any number of levels or conditions (e.g., Treatment 1, Treatment 2, Treatment 3…… No Treatment) In a two-way ANOVA you will obtain 3 F ratios One of these will tell you if your first independent variable has a significant main effect on the DV A second will tell you if your second independent variable has a significant main effect on the DV The third will tell you if the interaction of the two independent variables has a significant effect on the DV, that is, if the impact of one IV depends on the level of the other
More Conventions to Know
双向方差分析
双向方差分析
双向方差分析（Bivariate Analysis of Variance）是统计分析的一种方法，用于评估两个变量之间的关系。
它通过比较两组样本之间平均值的差异来确定两个变量之间是否存在相关性。
双向方差分析首先检验两个独立变量之间是否存在显著差异，然后检验两者之间是否存在相关性。
双向方差分析使用F-test来检验两个变量之间的差异，使用t-test 或Pearsonr来检验两者之间的相关性。
双向方差分析可以帮助研究者评估两个变量之间的关系，因此可以帮助研究者了解变量间是否存在某种联系，从而作出相应的决策。
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nj
3 3 3 3 3 3 3 3 24
Y
i ij
1 2 3 4 5 6 7 8
57.0 55.0 62.1 74.5 86.7 42.0 71.9 51.5 8
ij
197.8 196.1 208.1 222.2 273.2 137.0 202.2 154.5
ni
Y
j
500.7 62.6
1591.1 66.3 110447.5
区组
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9 4
表 9-1 区 组 (j)
三 种 营 养 素 喂 养 四 周 后 各 小 鼠 所 增 体 重 (g) 营 养 素 分 组 (i) 1(A) 2(B) 64.8 66.6 69.5 61.1 91.8 51.8 69.2 48.6 8 523.4 65.3 35459.1 3(C) 76.0 74.5 76.5 86.6 94.7 43.2 61.1 54.4 8 567.0 70.9 42205.0 按区组求 和
自由度 2 7 14 23 均方 MS 141.92 49.29
离均差平方和 SS 283.83 3990.31 690.07 4964.21
F
2.88
P
0.0897 0.0000
570.04 11.56
(a-1)(n-1)
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9 8
查界值表，得 F0.05(2，14)=3.74， 今F＝2.88<F0.05(2, 14)，故P>0.05。
2
随机区组设计 randomized block design
又称为配伍组设计，是配对设计的扩 展。具体做法是：先按影响试验结果的非 处理因素（如性别、体重、年龄、职业、 病情、病程、动物窝别等）将受试对象配 成区组(block)，再分别将各区组内的受试 对象随机分配到各处理或对照组。
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9 3
1. 两个或以上处理因素 的各处理水平间的均数有
无差异？即主效应有无统计学意义？
2. 两个或以上处理因素之间有无交互作用？
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9
11
析因设计的4个实例
实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固 醇降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固 醇的作用（主效应）？②两种药间有无交互作用
5
Yi
Y
j
2 ij
32783.4
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9
变异分解
(1) 总变异： 所有观察值之间的变异
(2) 处理间变异：处理因素＋随机误差
(3) 区组间变异：区组因素＋随机误差
(4) 误差变异： 随机误差
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
1.完全随机设计的ANOVA 2.随机区组设计的ANOVA
所关心的问题：
一个处理因素不 同处理水平间的 均数有无差异？
以上第2个设计中，设立单位组（区组）的 目的是控制混杂因素。使混杂因素在各处理水平 间达到均衡，提高检验效率。
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9 10
析因设计（factorial design）ANOVA 所关心的问题
273.22 137.02 202.22 154.52 ) 1591.12 / 24 3990.31
SS误差 4964.21 283.83 3990.31 690.07
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表9-2
变异来源 处理 区组 误差 总
例9-1资料的方差分析表
i 1 j 1
n
a
n
SS处理
i 1
a
( Yij )
j 1
2
n
n
1 C (500.7 2 523.42 567.02 ) 1591.12 / 24 283.83 8
( Yij )
i 1 a 2
SS区ห้องสมุดไป่ตู้
j 1
a
1 C (197.82 196.12 208.12 222.22 3
上一章内容 单向方差分析：处理因素效应+随机效应
本章内容 双向方差分析：处理因素效应+随机效应 +区组效应 （或另一处理因素效应、交互作用等） 随机区组设计的方差分析 析因设计的方差分析 裂区设计的方差分析
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第一节 随机区组设计 资料的方差分析
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甲药 用 用 64 78 80 28 31 23 乙药 不用 56 44 42 16 25 18
不用
完全随机的两因素2×2析因设计
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实例2：白血病患儿的淋巴细胞转化率（％），问 ①不同缓解程度、不同化疗时期淋转率是否相同？ ②两者间有无交互作用？
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H0： 1 2 3 ，即三种不同营养素的小鼠所 增体重的总体均数相等 H1：三种不同营养素的小鼠所增体重的总体均数 不全相等 0.05
SS总 Yij2 C 110447.5 1591.12 / 24 4964.21
结论：按 0.05 水准，不拒绝 H 0 ，尚不 能认为三种不同营养素对小鼠所增体重的 总体均数不等。 当a=2时，随机区组设计资料的方差分析与 配对设计资料的t 检验等价，有 t F 。
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第二节 两因素析因设计资料的方差分析
前面内容 回顾
例9-1
按随机区组设计方案，以窝别作为区组标志，
给断奶后小鼠喂以三种不同营养素A、B、C，问营养 素对小鼠所增体重有无差别。
表 8个区组小鼠按随机区组设计的分配结果
1 2 3 4 5 6 7 8 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 随机数 44 11 8 94 85 96 31 74 77 94 43 63 87 10 3 76 5 54 62 55 63 70 55 22 分组 c b a b a c a b c c a b c b a c a b b a c c b a