高考数学二轮复习(理数)专题圆锥曲线

专题13 圆锥曲线

1．已知双曲线－＝1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为〔3，4〕，则此双曲线的方程为〔〕

A.－＝1

B.－＝1

C.－＝1

D.－＝1

【答案】C【解析】

2．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的〔〕A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍

【答案】A

【解析】由题设知F1〔－3，0〕，F2〔3，0〕，如图，

∵线段PF1的中点M在y轴上，∴可设P〔3，b〕，

把P〔3，b〕代入椭圆＋＝1，得b2＝.∴|PF1|＝＝，|PF2|＝＝.

∴＝＝7.故选A.

3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝〔〕

A．2 B． 4 C．6 D．8

【答案】B【解析】由余弦定理得

cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

2|PF1|·|PF2|

⇒cos 60°＝⇒|PF1|·|PF2|＝4.

4．设F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在此双曲线上，且PF1⊥PF2，则双曲线C的离心率等于〔〕

A. B. C. D.

6 2

【答案】B

5．已知抛物线C的顶点是椭圆＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该椭圆在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为F1，则|PF1|＝〔〕

A. B. C. D．2

【答案】B

【解析】由椭圆的方程可得a2＝4，b2＝3，∴c＝＝1，故椭圆的右焦点F2为〔1，0〕，即抛物线C的焦点为〔1，0〕，∴＝1，∴p＝2，∴2p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝4x，联立解得或∵P为第一象限的点，∴P，

∴|PF2|＝1＋＝，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝4－＝，故选B.

6．已知双曲线－＝1〔a>0，b>0〕的左顶点与抛物线y2＝2px〔p>0〕的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为〔－2，－1〕，则双曲线的焦距为〔〕A．2 B．2 C．4 D．4 5

【答案】B

7．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是〔〕

A．4 B．3 C．4 D．8

【答案】C

【解析】∵y2＝4x，∴F〔1，0〕，l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝〔x－1〕，与y2＝4x

联立，解得x＝3或x＝〔舍〕，故A〔3，2〕，∴AK＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4.故选C.

8．已知直线y＝k〔x＋1〕〔k>0〕与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若＝2，则k＝〔〕

A. B. C. D.

2 3

【答案】B

9．设椭圆的方程为＋＝1〔a>b>0〕，右焦点为F〔c，0〕〔c>0〕，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1，x2，则P〔x1，x2〕〔〕

A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2外

C．必在圆x2＋y2＝1外 D．必在圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2形成的圆环之间

【答案】D

【解析】椭圆的方程为＋＝1〔a>b>0〕，右焦点为F〔c，0〕〔c>0〕，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1和x2，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，x＋x＝〔x1＋x2〕2－2x1·x2＝＋>＝1＋e2，

因为01，

又＋<＝2，所以1

即点P在圆x2＋y2＝1与x2＋y2＝2形成的圆环之间．故选D.

10．已知椭圆＋＝1〔a>b>0〕的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝〔a＋c〕x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率等于〔〕

A. B. C. D.12

【答案】D

11．过曲线C1：－＝1〔a ＞0，b ＞0〕的左焦点F1作曲线C2：x2＋y2＝a2的切线，设切点为M ，直线F 1M 交曲线C3：y2＝2px 〔p ＞0〕于点N ，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为〔 〕

A. B.－1 C.＋1 D.

5＋12

【答案】D

【解析】12．已知F1，F2分别是双曲线－＝1〔a>0，b>0〕的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是〔 〕

A ．〔1，〕

B ．〔，〕

C ．〔，2〕

D ．〔2，＋∞〕

【答案】D

【解析】如图所示，

过点F2〔c ，0〕且与渐近线y ＝x 平行的直线为y ＝〔x －c 〕，与另一条渐近线y ＝－x 联立得解得即点M.

∴|OM|＝＝.∵点M 在以线段F1F2为直径的圆外，

∴|OM|>c，即>c ，得>2.

∴双曲线离心率e ＝＝>2.故双曲线离心率的取值范围是〔2，＋∞〕．故选D.

13．已知双曲线－＝1〔a ＞0，b ＞0〕的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．

【答案】 2

【解析】

方法二：双曲线－＝1〔a ＞0，b ＞0〕的渐近线方程为±＝0，焦点F 到渐近线的距离d ＝＝b.设线段PF 的中点M 〔x0，y0〕，则其到两条渐近线的距离分别为b ，，距离之积为，又距离之积为·＝，则＝，

∴＝，e ＝.

14．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2〔a ＞0〕的左、右焦点，P 是抛物线y2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．

【答案】 x ＝－2

【解析】

15．设椭圆中心在坐标原点，A 〔2，0〕，B 〔0，1〕是它的两个顶点，直线y ＝kx 〔k ＞0〕与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若＝6，则k 的值为________．

【答案】 或38

【解析】

依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx 〔k ＞0〕．如图，

设D 〔x0，kx0〕，E 〔x1，kx1〕，F 〔x2，kx2〕，其中x1＜x2，则x1，x2满足方程〔1＋4k2〕x2＝4，故x2＝－x1＝.由＝6知x0－x1＝6〔x2－x0〕，得x0＝〔6x2＋x1〕＝x2＝.由D 在直线AB 上知，x0＋2kx0＝2，x0＝，所以＝，化简得24k2－25k ＋6＝0，解得k ＝或k ＝.

16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆＋＝1上，点P 满足＝〔λ－1〕〔λ∈R 〕，且·＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．

【答案】 15