高中数学数列通项公式的求法详解

数列通项公式的求法及数列求和方法详解

专题一：数列通项公式的求法

关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…（2） ,17

16

4,1093,542,211（3） ,5

2

,21,32

,

1（4） ,5

4

,43,3

2

,21-- 答案：（1）110-=n

n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1

)1(1+⋅-=+n n

a n n .

公式法1：特殊数列

例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和 { b n }的通项公式；

答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1

例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）

(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D)

例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

简析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

13

21，故数列{}n b 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n .点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.

公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1

,11n S S n s a n n

n .

例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）13-+=n n S n . （2）

12-=n s n

答案：（1）n a =3232

+-n n ，（2）⎩

⎨⎧≥-==)2(12)1(0

n n n a n 点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然

后验证能否统一.

【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】

简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、指数函数、分式函数，求通项n a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得

例6、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则2≥n 时

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++

+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

1=n 时，上式也成立.所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出

11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-+

+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

例7、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则2≥n 时

11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)2(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

1=n 时，上式也成立.所以3 1.n n a n =+-

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231n n n a a +-=⨯+，进而求出

11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-+

+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

练习1：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. .答案：

)

(52N n n a n ∈+=

练习2：若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a .答案：n a =12+n 练习3：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()

1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：

a n 1

4-=

【 形如1+n a =f (n)·n a 型】

（1）当f(n)为常数，即：

q a a n

n =+1

（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a .

（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.

例7、已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故