等差数列的判断与证明-前n项和公式法

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等差数列的前n项和公式推导与例题解析

等差数列的前n 项和·例题解析一、等差数列前n 项和公式推导：（1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）二、对于等差数列前n 项和公式的应用【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a2a9d=28a4d=25a5d=3 6111⎧⎨⎩即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3即＝＋ n N 213 () N-若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n ()-12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝【例9】等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++解法二利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S =(a +a )n 2n 1n ·×=-=-+=--+()()633232632322123218222n n n n n ∵n ∈N ，∴当n=10或n=11时，S n 取最大值165．【例11】求证：前n 项和为4n 2＋3n 的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n －1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件．说明由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d=1725d d=29817162∴a n=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。

高考数学复习知识点讲解教案第35讲等差数列及其前n项和

≠ 0时，它是关
2
2
二次函数
于的常数项为0的____________，它的图象是抛物线
=
孤立
标为正整数的均匀分布的一群_______的点.
2

2
+ 1 −

2
上横坐
常用结论
1.已知数列{ }的通项公式是 = + （其中，为常数），则数列{ }一定
是等差数列，且公差为.
2 + 9 = 1 + + 1 + 8 = 29,
[解析] 设等差数列{ }的公差为，由已知得ቊ
5 = 51 + 10 = 35,
1 = 1,
解得ቊ
∴ 8 = 81 + 28 = 8 + 28 × 3 = 92.故选B.
= 3,
（2） [2024·九省联考] 记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16= ( C )
−10
7.已知等差数列{ }的通项公式为 = 10 − ,则1 + 2 + ⋯ + 20 =______，
100
1 + 2 + ⋯ + 20 =______.
[解析] 设数列{ }的前项和为，
则20 = 1 + 2 + ⋯ + 20 =
20×[9+ 10−20 ]
◆ 知识聚焦 ◆
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{ }的首项为1 ，公差是，前项和为，则
等差数列定义式
+1 − =
_________________（为常数）
等差中项
+

等差数列前n项和的性质及应用

密码学：等差数列前n项和公式可用于设计密码算法和加密方案
计算机图形学：等差数列前n项和公式可用于生成等差数列曲线，用于计算机图形学中的渲染和动画制作
定义：等差数列中，任意两项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等差数列的定义，将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性质
优化等差数列前n项和的计算过程
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等差数列前n项和是数列中前n个数的和，记作Sn。
等差数列前n项和的公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为首项，an为第n项。
等差数列前n项和的性质包括对称性、奇偶性、线性关系等。
等差数列前n项和的定义：一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。

4.2.2等差数列的前n项和公式

( − 1)
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2

= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，

各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种形式及应用

各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种
形式及应用
一、定义：
等差数列（Arithmetic Sequence）是指一组数满足相邻两项之差均为常数的数列。

它是有序数列中最为常见的类型，而且它在数学中有着重要的应用。

二、公式：
等差数列的前n项和公式有五种形式，即：
1. 极差法：Sn = n*a + [(n-1)*d]/2；
2. 等比数列的和公式：Sn = a*(1-rn) / (1-r)；
3. 通项法：Sn = n/2(a+l)；
4. 等差前n项和公式：Sn = n/2(2a+(n-1)d)；
5. 首项和末项乘积法：Sn = n/2(a×l)。

三、应用：
1. 等差数列可以用于说明几何形体的对称性，如三角形、正方形和正多边形。

2. 等差数列可以用于推断和解决实际问题，如求解时间与距离的关系等。

3. 等差数列可以用于衡量某一事物的递增规律或趋势，如检测股价的波动趋势、记账的收入支出趋势等。

4. 等差数列可以用于估算一组数据的平均值，如计算某一时间段内股票的平均价格、计算某一地区的平均气温等。

5. 等差数列可以用于表达函数的性质，如线性函数y=ax+b、抛物线函数y=ax2+bx+c等。

等差数列前n项和公式的推导及简单应用

§2.3 等差数列的前n 项和第1课时等差数列前n 项和公式的推导及简单应用学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用a n 与S n 的关系求a n .知识点一等差数列前n 项和公式思考高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ，又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)2.梳理等差数列的前n 项和公式知识点二 a 1，d ，n ，a n ，S n 知三求二思考在等差数列{a n }中，若已知d ，n ，a n ，如何求a 1和S n?答案利用a n ＝a 1＋(n －1)d 代入d ，n ，a n ，可求a 1，利用S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d可求S n .梳理 (1)两个公式共涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n 项和.(2)依据方程的思想，在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.知识点三数列中a n 与S n 的关系思考已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n ? 答案 a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又当n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *. 梳理对于一般数列{a n }，设其前n 项和为S n ，则有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用.(2)若由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)中令n ＝2求得a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n ≥2)也适合n ＝1的情况，数列的通项公式用a n ＝S n －S n －1表示.若由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)中令n ＝2求得的a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1不相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n ≥2)不适合n ＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1，n ∈N *.(×)2.等差数列的前n 项和，等于其首项、第n 项的等差中项的n 倍.(√)类型一等差数列前n 项和公式的应用命题角度1 等差数列基本量的计算例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？考点等差数列前n 项和题点等差数列前n 项和有关的基本量计算问题解方法一由题意知S 10＝310，S 20＝1 220，将它们代入公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n ×4＋n (n －1)2×6＝3n 2＋n .方法二 ∵S 10＝10(a 1＋a 10)2＝310，∴a 1＋a 10＝62，①∵S 20＝20(a 1＋a 20)2＝1 220，∴a 1＋a 20＝122，②②－①，得a 20－a 10＝60， ∴10d ＝60，∴d ＝6，a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n 2＋n .反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n 项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用.(2)构成等差数列前n 项和公式的元素有a 1，d ，n ，a n ，S n ，知其三能求其二. 跟踪训练1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n . 考点等差数列前n 项和题点等差数列前n 项和有关的基本量计算问题解由⎩⎨⎧a n＝a 1＋(n －1)d ，S n＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎨⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.命题角度2 实际应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？考点等差数列的前n 项和应用题题点等差数列前n 项和应用题解设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则a 1＝50＋1 000×1%＝60， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5，即第10个月应付款55.5元.由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1 105，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255.反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？考点等差数列的前n 项和应用题题点等差数列前n 项和应用题解 (1)设n 分钟后第1次相遇，由题意，得2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解得n ＝7，n ＝－20(舍去).所以第1次相遇是在开始运动后7分钟. (2)设n 分钟后第2次相遇，由题意，得2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解得n ＝15，n ＝－28(舍去).所以第2次相遇是在开始运动后15分钟. 类型二由S n 与a n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？考点 a n 与S n 关系题点由S n 公式求a n解根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知 S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1) ＝2n －12，①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－12－⎝⎛⎭⎫2n －12＝2，故数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列.引申探究若将本例中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式.解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n ＋1－⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1)＋1 ＝2n －12.①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式.∴a n＝⎩⎨⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *.反思与感悟已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示. 跟踪训练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n . 考点 a n 与S n 关系题点由S n 公式求a n 解当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1. 当n ＝1时，代入a n ＝2·3n －1得a 1＝2≠3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2，n ∈N *.1.已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a m ＝99，d ＝2，则其前m 项和S m 等于( ) A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500 考点等差数列前n 项和题点求等差数列的前n 项和答案 D解析由a m ＝a 1＋(m －1)d ，得99＝1＋(m －1)×2，解得m ＝50，所以S 50＝50×1＋50×492×2＝2 500.2.记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A.2 B.3 C.6 D.7 考点等差数列前n 项和题点等差数列前n 项和有关的基本量计算问题答案 B解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3.在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 考点等差数列前n 项和性质运用题点等差数列前n 项和与中间项的关系答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10 ＝19×10＝190.4.已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，则a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点由S n 公式求a n 答案 3(n ＋1)解析由a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，① 得a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)n (n ＋1)，② ①－②，得na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1) ＝n (n ＋1)[(n ＋2)－(n －1)]＝3n (n ＋1)， ∴a n ＝3(n ＋1)(n ≥2).又当n ＝1时，a 1＝1×2×3＝6也适合上式， ∴a n ＝3(n ＋1)，n ∈N *. 5.已知等差数列{a n }中：(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 考点等差数列前n 项和题点等差数列前n 项和有关的基本量计算问题解 (1)∵S n ＝n ×32＋⎝⎛⎭⎫－12×n (n －1)2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4.∴n ＝12，a n ＝a 12＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)；若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3.由S n 与a n 的关系求a n 主要使用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.一、选择题1.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前9项和等于( )A.27B.632 C.45 D.－9考点等差数列前n 项和题点求等差数列前n 项和答案 A解析由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.2.在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( ) A.10 000 B.8 000 C.9 000D.11 000考点等差数列前n 项和题点求等差数列的前n 项和答案 A解析由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.3.在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( ) A.200 B.100 C.90 D.70 考点等差数列前n 项和题点求等差数列的前n 项和答案 B解析 S 10＝10×(－20＋40)2＝100.4.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36 D.45 考点等差数列前n 项和题点求等差数列的前n 项和答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.5.在等差数列{a n }中，若S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12B.2C.14D.4 考点等差数列前n 项和性质运用题点两等差数列和之比与项之比问题答案 A解析由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.6.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A.765 B.665 C.763 D.663 考点等差数列前n 项和题点求等差数列的前n 项和答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.7.在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A.－9B.－11C.－13D.－15 考点等差数列前n 项和题点求等差数列的前n 项和答案 D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.8.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于( ) A.36 B.35 C.34 D.33 考点 a n 与S n 关系题点由S n 公式求a n 答案 C解析方法一 a 2＝S 2－S 1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1， a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33. ∴a 2＋a 18＝34.方法二 a 2＋a 18＝a 1＋a 19，S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192－2×19，∴a 1＋a 19＝34，即a 2＋a 18＝34.二、填空题9.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________.考点等差数列的前n 项和应用题题点等差数列前n 项和应用题答案 10解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.10.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 考点等差数列前n 项和题点等差数列前n 项和有关的基本量计算问题答案 15解析设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.11.在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，则a －b ＋c ＝________.考点等差数列前n 项和题点等差数列前n 项和综合问题答案－3解析因为a n ＝2n ＋3，所以a 1＝5，S n ＝(5＋2n ＋3)n 2＝n 2＋4n ，与S n ＝an 2＋bn ＋c 比较，得a ＝1，b ＝4，c ＝0，所以a －b ＋c ＝－3.三、解答题12.已知等差数列{a n }的前三项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 考点等差数列前n 项和题点等差数列前n 项和有关的基本量计算问题解设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧ a ＋3a ＝2×4，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，d ＝2，k ＝50，(k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50.13.已知数列{a n }的所有项均为正数，其前n 项和为S n ，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34. (1)证明：{a n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.考点 a n 与S n 关系题点由S n 和a n 递推式求通项(1)证明当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34，解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去).当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n ＋2a n －3)－14(a 2n －1＋2a n －1－3). 所以4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝2(n ≥2).所以数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列.(2)解由(1)知a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.四、探究与拓展14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝________.考点等差数列的前n 项和题点等差数列前n 项和综合问题答案 100解因为A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，所以a 1＋a 200＝1，所以S 200＝200(a 1＋a 200)2＝100. 15.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 考点等差数列前n 项和题点等差数列前n 项和综合问题解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根. 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c . ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去). 经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。

等差、等比数列的前n项和知识梳理

等差、等比数列的前n 项和【考纲要求】1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 3．掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式。

【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：数列的求和问题 388559 知识要点】知识点一：数列的前n 项和n S 的相关公式 1.等差数列的前n 项和n S 公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+（A B 、为常数）当0d ≠时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 2.等比数列的前n 项和n S 公式：当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=，当1≠q 时，11(1)11n n n a a qa q S q q--==--3.任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【典型例题】类型一：等差数列的前n 项和公式及其性质例1.等差数列{}n a 的前30项之和为50，前50项之和为30，求80S 。

【思路分析】根据等差数列前n 项公式1(1)2n n n S na d -=+，整体代入，或者应用公式2n S An Bn =+。

【解析】法一: ∵{}n a 为等差数列， ∴1(1)2n n n S na d -=+, 等差、等比数列的前n 项和等比数列的求和公式等差数列的求和公式∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-+=)2......(302505050)1......(50230303021502130d a S d a S(2)-(1)有22150303050202022a d d --++=-，即 27911da +=- ∴ 80)279(802)180(80801180-=+=-+=da d a S 。

等差数列及其前n项和Word版含答案

等差数列及其前n 项和【课前回顾】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．4．与等差数列各项的和有关的性质(1)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. (2)若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. ②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. (4)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n＝S 2n －1T 2n －1.【课前快练】1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.3．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A ．－45B ．－54C.413D.134解析：选A 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，由题意可知，1a 4＝1a 1＋3d ＝14，解得d ＝－14，所以1a 10＝1a 1＋9d ＝－54，所以a 10＝－45. 4．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8，若a n ＝0，则n ＝________. 解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )，解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ，令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：55．在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12a 4＋4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 7＝12a 4＋4，得a 1＋6d ＝12(a 1＋3d )＋4，即a 1＋9d ＝8，所以a 10＝8，因此S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19×a 10＝19×8＝152. 答案：152考点一等差数列的基本运算1．等差数列运算中方程思想的应用(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．[易错提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．2．等差数列前n 项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ；若已知通项公式，则使用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，同时注意与性质“a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…”的结合使用．【典型例题】1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5(a 2＋a 4)2，得5(3＋a 4)2＝25，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.3．(2018·福州质检)设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( )A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]，所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9，或k ＝0(舍去)，故选C.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－72考点二等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足a n －a n －1＝1(n ≥3)的数列{a n }而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a 2－a 1是否等于1.【典型例题】(2018·贵州适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[思维路径](1)要求数列的项，可根据已知首项和递推关系式，令n ＝1,2可解得．(2)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其关键应推出a n ＋1n ＋1－a n n 为常数，对所给条件进行必要的变形即可．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .【针对训练】1．(2018·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．考点三等差数列的性质及前n 项和的最值1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．理清等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，即为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．【典型例题】1．在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为() A．S15B．S16C．S15或S16D．S17解析：选A∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，解得d＝－2，∴S n＝29n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，S n取得最大值．2．已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{a n}的前100项的和为() A．－200 B．－100C．－50 D．0[学审题]①由函数的对称性及单调性知f(x)在(－∞，－1)上也单调；②结合函数的性质知a50＋a51＝－2.解析：选B因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调，且数列{a n}是公差不为0的等差数列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝100(a1＋a100)2＝50(a50＋a51)＝－100.【针对训练】1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝() A．95B．100C．135 D．80解析：选B由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为()A．6 B．7C．12 D．13解析：选C因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足S n>0的最大自然数n的值为12.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18【课后演练】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．288解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32＝72.法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72. 2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1－a n ＝－23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，又∵k ∈N *，∴k ＝23.4．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝7b 4＝7×(－2－14)＝－112，又a 1＝3，所以a 8＝－109.5．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 4＝( ) A.34 B ．1 C.43D.32解析：选A 依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项、13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34.6．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18D ．30解析：选C 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.7．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：68．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 59．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝________.解析：因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3. 根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3. 答案：310．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 答案：1011．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( ) A ．72 B ．88 C ．92D ．98解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92.法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝92. 12．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日解析：选B 设n 日相逢，则依题意得103n ＋n (n －1)2×13＋97n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝1125×2，整理得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9(负值舍去)，故选B.13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，则下列命题错误的是( ) A ．若a n >0，则S n >0 B ．若S n >0，则a n >0C ．若a n >0，则{S n }是单调递增数列D ．若{S n }是单调递增数列，则a n >0解析：选D 由等差数列的性质可得：∀n ∈N *，a n >0，则S n >0，反之也成立．a n >0，d >0，则{S n }是单调递增数列．因此A 、B 、C 正确．对于D ，{S n }是单调递增数列，则d >0，而a n >0不一定成立．14．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0，解得m ＝5.答案：516．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12， ∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋3n 4. 17．已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式以及S n 的表达式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，S 4＝4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，n ∈N *. (2)由(1)知，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b n －b 1＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1(n ≥2)，∴b n ＝3n －22n －1. 当n ＝1时，b 1＝1也符合上式， ∴b n ＝3n －22n －1(n ∈N *)． 18.已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12. 法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－12. (2)由题意知，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52. ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n 2. 综上，S n ＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n 2，n 为偶数.。

等差数列及其前n项和全面总结

（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质 ①若项数为2n，则S偶-S奇= nd ， S奇 S偶
S S偶= an ，奇 n . S偶 n 1
=
an an1 .
②若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇= n an，S奇-
(4)两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为：an = bn
解
方法一
∵a1=20，S10=S15，
15 14 ∴10×20+ 10 9 d=15×20+ d， 2 2 5 ∴d= . 3 5 5 65 ∴an=20+（n-1）× ( ) n . 3 3 3 ∴a13=0.
4分 8分
即当n≤12时，an＞0,n≥14时，an＜0.
从而an115题型二等差数列的基本运算例2在等差数列a1已知a1533a45153求a61在等差数列中五个重要的量只要已知三个量就可求出其他两个量其中a两个最基本量利用通项公式与前n项和公式先求出a公差为d依条件得33a23153a61236114217
§6.2 等差数列及其前n项和基础知识
要点梳理
a1 2a2 3a3 nan ,若 { b n } 为等差数列，求证： 1 2 3 n {an}也为等差数列. n(n 1) 证明由题意有a1+2a2+3a3+…+nan= bn ① 2
从而有a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1 = n( n 1) bn-1，（n≥2） 2 ②
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 d 2 d n (a1 )n Sn = 2 . 2 数列 {an}是等差数列的充要条件是其前 n 项和公式

等差数列的推理与证明

等差数列的推理与证明一、等差数列的定义与性质1.1 等差数列的定义：等差数列是一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。

1.2 等差数列的性质：（1）等差数列的任意两项之差等于它们下标之差乘以公差；（2）等差数列的任意一项都可以用它的首项和公差表示；（3）等差数列的前n项和可以表示为首项与末项的平均值乘以项数。

二、等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差，n表示项数。

三、等差数列的证明方法3.1 数学归纳法：（1）证明等差数列的通项公式成立，首先验证n=1时公式成立；（2）假设n=k时公式成立，证明n=k+1时公式也成立。

3.2 反证法：（1）假设等差数列的某一项不满足通项公式，即存在一项an不满足an = a1 + (n - 1)d；（2）通过推导得出矛盾，从而证明假设不成立，即等差数列的每一项都满足通项公式。

四、等差数列的推理与应用4.1 等差数列的推理：根据等差数列的性质，可以推理出数列的任意一项都可以用首项和公差表示，以及前n项和的计算公式。

4.2 等差数列的应用：（1）解决实际问题：例如计算等差数列的前n项和，求等差数列中的某一项等；（2）其他数学问题的解决：例如求等差数列的极限、求等差数列的通项公式的反函数等。

五、等差数列的综合考察5.1 考察等差数列的性质与通项公式的运用；5.2 考察等差数列的推理与证明方法的应用；5.3 考察等差数列在前n项和、极限等方面的综合运用。

总结：等差数列是数学中的一种基本数列，通过学习等差数列的定义、性质、通项公式以及推理与证明方法，可以更好地理解和运用等差数列解决实际问题。

在教学过程中，要注重培养学生的逻辑思维能力，提高他们对等差数列概念的理解和运用能力。

习题及方法：1.习题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。

(完整版)数列前n项和的求法总结

数列前n 项和的求法总结核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。

当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

一．公式法（1）等差数列前n 项和： S n=n(a 1+a n )2=na 1+n(n+1)2d（2）等比数列前n 项和： q =1时， S n=na 1；q ≠1时， S n =a 1（1−q n ）1−q（3）其他公式： S n=1+2+3+⋯+n =12n (n +1)S n =12+22+32+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)S n =13+23+33+⋯+n 3=[12n (n +1)]2例题1：求数列 112，214，318，……，(n +12n )，…… 的前n 项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

练习：二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn =a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn =an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn =n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。

归纳等差数列与等比数列中二级结论

归纳等差数列与等比数列中二级结论一、等差数列常见结论1、判断给定的数列｛外｝是等差数列的方法（1）定义法：％L%=d是常数（〃亡/）数列｛%｝是等差数列：<2）通项公式法：%=kn+b（k,b是常数）V二〉数列｛%｝是等差数列；（3）前n项和法：数列（%）的前n项和S…=An2+Bn（A.B是常数,A2+fl2^0）=>数列（丹｝是等差数列：（4）等差中项法：《+%.2 =2。

心（，羔？0数列（“”｝是等差数列；2、等差数列的通项公式的推广和公差的公式：=a ni +（n—m）d（n.ni e N*）=>d=—~~（n,m e N*,n。

m）:n—m3、若A是a与b的等差中项。

2人=。

+人4、列｛%｝,也｝都是等差数列且项数相同，则｛炊｝，｛劣+如｝,｛外一如｝,｛P4+死,｝都是等差数列：5、数列（外｝中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；6、数列｛《｝中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列：7、若数列｛%｝是等差数列，且项数m.n.p.qtm.n,p.q e N*）满足m+n=p+q.则“〃,十%=%+%，反之也成立：当p=g时，+a n=2a p,即.，是c妇和《，的等差中项:8、若数列｛%｝是等差数列的充要条件是前n项和公式=f（n）,是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即\=A/r+Bn（A.B是常数,A2+B2^0）；9、若数列｛%｝的前n项和s.=A/+伽+C（A.B是常数,C。

），则数列｛%｝从第二项起是等差数列：€10、若数列｛%｝是等差数列,前n项和为S"则｛工｝也是等差数列，其首项和｛遮｝的n首项相同，公差是｛《｝公差的!：11、若数列｛%｝,｛如｝都是等差数列，其前n项和分别为S0n，则M=如T2n-l12、若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为x—dg+d；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为:13、等差数列的前n项和为S”，且……分别为数列｛%｝的前m 项、2m项,3m项.4m项,……的和，则S,n,S2m-Sm.S3w-S2m,……成等差数列（等差数列的片段和性质）：14等差数列｛%｝中.若项数n为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S奇,S倪，则^-=—;若项数n为偶数，室==_；S偶〃T S仰％+1215、在等差数列｛外｝中，若公差d>0,则等差数列（外｝为递增数列；若公差，<0・则等差数列｛《｝为递减数列：若公差d=0，则等差数列｛%｝为常数列：16.有关等差数列｛%｝的前n项和为S”的最值问题；（1）何时存在最大值和最小值① 若％>O,〃vO,则前n项和为S”存在最大值② 若％v0,d>0,则前n项和为S”存在最小值（2）如何求最值a >0① 方法一：（任何数列都通用）通过〈"解出n可求前n项和为&的最大值；通过｛、八解出n可求前n项和为金的最小值：② 方法二：利用等差数列前n项和5『的表达式为关于n的二次函数且常数项为0 （若为一次函数.数列为常数列.则前n项和&不存在最值〉，利用二次函数求最值的方法进行求解：有以下三种可能：若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴：若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数.又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值.则n就取靠近对称轴的那个正整数：17、用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于如〃这五个虽，知任意三个可以求出其它的两个，叩“知三求二”二、【等比数列】中的一级结论1、对等比数列定义的理解（1）是从第二项开始.每一项与前一项的比（2）每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0（3）等比数列中任何一项都不为0<4）符号语言的描述：若数列｛外｝中满足—=q（不为。

等差等比数列及求数列的通项和前n项和

等差等比数列及求数列的通项和前n项和Prepared on 22 November 2020等差数列（一）定义及其判断定义：1(2)n n a a d n --=≥判定：（二）基本公式通项公式1(1)n a a n d =+-通项公式的变形()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=- 前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ （注意数列求和中的倒序相加及适用类型）注意：公式得应用主要在于求基本量，1S n n a d n a 、、、、知三求二（三）性质及其应用1角标性质：,m n p q n m p q a a a a +=++=+若则2等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

3等差中项：2a M b a b M ⇔+=、、成等差数列4等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等差数列。

5在等差数列{}n a 中，有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：（1）当1a >0，d<0时，满足的项数m 使得m s 取最大值。

（2）当1a <0，d>0时，满足的项数m 使得m s 取最小值。

巩固练习： 1设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为2设nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a =3在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为4等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 5若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于 6设{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则数列{a n }前8项的和为7等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7>S 8>S 6，则下列结论：①a 7＝0②a 8<0③S 13>0④S 14<0其中正确结论是8如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=9设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＝5a 3，则＝__________.10设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于11已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是12记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S13已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14，(1)求{a n }的通项公式；(2)当{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值．14设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。

等差数列的前n项和公式的性质

2
例 3. 项数为奇数的等差数列{an }，奇数项之和为 44，偶数项之和为
33，求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项
有 n 项，中间项是第(n＋1)项，即 an＋1，
1
S奇 2a1＋a2n＋1n＋1 n＋1an＋1 n＋1 44 4
解法1: 由S3=S11, 得
1
1
3 13 3 2 d 1113 1110 d
2
2
∴ d=－2
1
Sn 13n n(n 1) (2)
2
n2 14n
( n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0
=
5+2

，则
+3

10n 3
67
7
=_______；
=_______；
2n 2
18
8
课堂小结
等差数列的前n项和公式的性质
性质1：数列{an}是等差数列⟺Sn=An2+Bn (A,B为常数)
Sn

性质2: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列也
d
n
是等差数列, 且公差为 2 .
当m=n时，公式变化？
an S 2 n 1

bn T2 n1
例 4.已知{an},{bn}均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn,
5
a5
Sn 2n＋2
Tn，且T ＝
，则b ＝________.
3
n
5
n＋3
变式1. 若

证明等差数列前n项和的方法

证明等差数列前n项和的方法
我们要证明等差数列的前n项和的公式。

首先，我们需要理解等差数列的定义和性质。

等差数列是一个序列，其中任何两个连续的项之间的差都是常数。

假设等差数列的首项是 a_1，公差是 d，项数是 n。

等差数列的通项公式是：a_n = a_1 + (n-1) × d
等差数列的前n项和公式是：S_n = n/2 × (2a_1 + (n-1) × d)
我们将使用数学归纳法来证明这个公式。

证明步骤如下：
1. 基础步骤：当 n = 1 时，S_1 = a_1，与公式一致。

2. 归纳假设：假设当 n = k 时，公式成立，即S_k = k/2 × (2a_1 + (k-1) × d)。

3. 归纳步骤：我们需要证明当 n = k + 1 时，公式也成立。

S_{k+1} = S_k + a_{k+1}
= k/2 × (2a_1 + (k-1) × d) + a_1 + k × d
= (k+1)/2 × (2a_1 + k × d)
所以，当 n = k + 1 时，公式也成立。

由1和3，我们可以得出结论：等差数列的前n项和公式对任何正整数n都成立。

等差数列性质及应用

1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)． (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列∈S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值高三数学学案第11期课题：等差数列性质及应用第11课时第四部分数列在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．高频考点一等差数列基本量的运算例1、(1)(2012·天津卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100 B.99C.98D.97(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.答案 (1)C (2)30【方法规律】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【变式探究】（2019年天津一中高三数学第一次质量检测）已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和.若S 8＝4S 4，则a 10等于( ) A.172 B.192C.10D.12解析由S 8＝4S 4，得8a 1＋8×72×1＝4×⎝⎛⎭⎫4a 1＋4×32×1，解得a 1＝12，∈a 10＝a 1＋9d ＝192，故选B. 答案 B高频考点二等差数列的判定与证明例2、已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 【感悟提升】等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．【变式探究】(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 (1)C (2)A1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.高频考点三等差数列的性质及应用例2、(1)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∈S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∈S 30－30＝10＋2×10＝30，∈S 30＝60.(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：∈函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． ∈邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .【举一反三】(1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A.13B.12C.11D.10(2)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.(2)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案 (1)A (2)10高频考点四等差数列前n 项和及其最值【例4】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A.5 B.6C.7D.8(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.S n 取得最大值.(2)由a n ＝2n －10(n ∈N ＋)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∈n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∈|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋100＝130. 答案 (1)C (2)130【方法规律】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【变式探究】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.12解析由a 6a 5＝911，得S 11＝S 9，即a 10＋a 11＝0，根据首项a 1＞0可推知这个数列递减，从而a 10＞0，a 11＜0，故n ＝10时，S n 最大. 答案 B1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则（）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】由已知,所以故选C.2【2016高考浙江理数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且，，（）.若（）A ．是等差数列B ．是等差数列C ．是等差数列D ．是等差数列【答案】A{}n a 108a =100a =1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N P Q P Q ≠表示点与不重合1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则{}n S 2{}n S {}n d 2{}n d3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______.. 【答案】6【解析】∈是等差数列，∈，，，， ∈，故填：6．4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 . 【答案】【解析】由得，因此5.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则= （） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B .6.【2015高考福建，理8】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D{}n a n S n 16a =350a a +=6=S {}n a 35420a a a +==40a =4136a a d -==-2d =-616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-={}n a {S }n 21253,S =10a a +=-9a 20.510S =32a =2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯={}n a 2a 4a 6a 64222240a a a =-=⨯-=,a b ()()20,0f x x px q p q =-+>>,,2a b -p q +7.【2013高考天津，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（） A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则【答案】C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例，而，A 错误，B 举同样反例，，而，B 错误，下面针对C 进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则C.8.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n 项和，且，，则________．【答案】【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．9.【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则{}n a 120a a +>230a a +>130a a +<120a a +<120a a <<2a >10a <()()21230a a a a -->1232,1,4a a a ==-=-120a a +>230+<a a 1232,1,4a a a ==-=-130a a +<120+>a a {}n a 120a a <<10,a >d 0d >22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a ad d a ad d =++--=>2113a a a >1a ⇒>n S {}n a 11a =-11n n n a S S ++=n S =1n-111n n n n n a S S S S +++=-=⋅1n n S S +⋅1111n nS S +=--1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1-1-11(1)n S n n =---=-1n S n=-{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a += .【答案】10．10．（2014·天津卷）数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.【答案】1【解析】因为数列{a n}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q ＝1.。

第2讲-等差数列及其前n项和

第2讲-等差数列学习提纲与学习目标1、掌握等差数列的定义、通项公式和前n项和公式的求法2、熟练掌握等差数列的性质，并能利用这些性质解决相应问题1．等差数列的定义对于数列{}n a ，如果对任意的*1()n n N ≥∈，都有1n n a a d +-=（常数），则称{}n a 为等差数列，常数d 叫这个等差数列的公差。

如,,a b c 三个数成等差数列，则称b 为,a c 的等差中项。

2．等差数列的通项公式若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为1(1)n a a n d =+-。

3．等差数列的前n 项和公式2111()(1)()2222n n n a a n n d d d S na n a n +-==+=+-；4. 数列{}n a 是等差数列2n S An Bn ⇔=+(,A B 为常数)nS n⇔为等差数列。

5．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．(3)a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)a n.例1（1）（2018全国I ）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12（2）（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ,则“0d >”是465"+2"S S S >的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】（1）32433343332133233()S S S S S a a S S d S d a d a d d =+⇒=-++=+⇒=⇒=⇒+=，因12a =，故3d =-，故51410a a d =+=-，选C 。

等差数列的前n项和

等差数列的前n项和等差数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之差都相等。

求等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。

本文将着重介绍等差数列的概念、求解前n项和的公式以及实际应用。

一、等差数列的概念等差数列又称为等差数列，是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。

通常用字母a表示首项，字母d表示公差，n表示项数。

等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。

举个例子，如果一个等差数列的首项为1，公差为2，那么该数列的前几项分别为1, 3, 5, 7, 9...二、等差数列前n项和的求解求解等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。

对于首项为a、公差为d的等差数列，前n项和Sn可以通过以下公式来计算：Sn = (n/2)(a + an) = (n/2)(2a + (n-1)d)其中Sn表示前n项和，n表示项数，a表示首项，d表示公差。

例如，求解等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和，可以使用上述公式进行计算：Sn = (3/2)(1 + 5) = 3*(6/2) = 9因此，等差数列1, 3, 5的前3项和为9。

三、等差数列前n项和的实际应用等差数列的前n项和在实际应用中有着广泛的用途。

以下是几个常见的应用场景：1. 金融投资：在金融投资中，等差数列的前n项和可以用来计算投资利息或回报。

假设每年的回报率为r%，首次投资金额为a元，那么第n年的总金额为Sn = a*(1+r)^n。

其中，(1+r)^n是一个公差为r的等比数列，可以将其转换为等差数列，并使用前n项和公式进行计算。

2. 资源分配：在资源分配问题中，等差数列的前n项和可以用来计算每个参与者的分配数量。

假设有n个参与者，资源总量为Sn，按比例进行分配，那么每个参与者的分配数量为an = Sn*(a1/a)。

其中a1为首项，a为总和。

3. 时间管理：在时间管理中，等差数列的前n项和可以用来计算每个任务的时间分配。

等差数列的判定与证明-前n项和公式法

解：易得an=Sn－Sn－1=11－2n,(n≥2)，又a1=S1=9, ∴an=11－2n,（n∈N*）∵a5>0,a6<0,∴当n≤5时，bn=an, Tn=Sn=10n－n2,当n>5时，bn=－an,,Tn=2S5－Sn=50－(10n－ n2)=n2－10n+50
即Tn

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10n n2

n2

10n

50
(n 5) (n 5)
4．等差数列前 n 项和公式中涉及五个量 a1，d，n，an，Sn，已知其中任意三个就可以列方程组求另外两个(简称“知三求
二”)，它是方程思想在数列中的体现．
当n为奇数时，Sn的一些性质
1）Sn n an1 (项数与中间项的积）
2
2）S奇
S偶

a
n
（中间项）
1
2
3）S奇 n 1 (项数加1比项数减1） S偶 n 1
项数加比项数减当n为偶数时中间两项的比来确定可由不等式组最小为何值时来确定可由不等式组最大为何值时例题1已知项数为奇数的等差数列a奇数项之和为44偶数项之和为33求项数n77117711334460且an13则这个数列前多少项之和最小
等差数列的判定与证明-前n项和公式法
复习回顾
1.等差数列的{an}的通项公式
例题1 已知项数为奇数的等差数列｛an｝,奇数项
之和为44，偶数项之和为33，求项数n
解：由题意， S奇 44，S偶 33
S奇 S偶 an1 11
2
又 Sn n an1 S奇 S偶 77
2
11n 77, n 7
例2 数列｛an｝中，a1=－60,且an+1=an+3,则这个数列前多少项之和最小？