6.2反比例函数的图像和性质(2)

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九年级数学上册第六章反比例函数2反比例函数的图象与性质第2课时反比例函数的性质作业课件新版北师大版

(2)若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．
解：(2)∵A，B两点在函数y＝kx(x＞0)的图象上， ∴A(1，k)，B(k，1)， ∴AO＝ 12＋k2.延长CA，DB交于点E，则E(k，k)， ∴AE＝k－1，BE＝k－1，∠AEB＝90°， ∴AB＝（k－1）2＋（k－1）2. ∵AO＝AB， ∴ 12＋k2＝（k－1）2＋（k－1）2，解得k＝2＋ 3或k＝2－ 3. ∵k＞1，∴k＝2＋ 3
∴S＝m(n－3)＝mn－3m＝92，解得m＝32，∴n＝6，
∴点P的坐标是(32，6)；
②当点P在点B的右侧时，∵P(m，n)在函数y＝kx的图象上， ∴mn＝9，∴S＝n(m－3)＝mn－3n＝92，解得n＝32，∴m＝6， ∴点P的坐标是(6，32)．综上所述，点P的坐标为(6，32)或(32，6) (3)当0＜m＜3时，点P在点B的左边，此时S＝9－3m；当m＝3时，点P与点B重合，S＝0；当m＞3时，点P在点B的右边，
15．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点A，
与反比例函数y＝mx (x＞0)的图象交于点B(2，n)，过点B作BC⊥x轴于点C，点P(3n－4，1)是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC＝∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
解：将B(2，n)，P(3n－4，1)代入反比例函数y＝mx 中，
第六章反比例函数
6．2 反比例函数的图象与性质
第2课时反比例函数性质
1．(2018·衡阳)对于反比例函数y＝－2x，下列说法不正确的是（ D ） A．图象分布在第二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象经过点(1，－2) D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2

6.2反比例函数的图像和性质(2)教案

6.2反比例函数的图像和性质（2）【教学目标】1、巩固反比例函数图像和性质，通过对图像的分析，进一步探究反比例函数的增减性.2、掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.【教学重点、难点】重点：通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性.难点：由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移，又由于反比例函数图像分成两条分支，给研究函数的增减性带来复杂性.【教学过程】一、知识回顾，引入课题1．反比例函数的图象：双曲线2．图像的位置：当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内；当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内；3．对称性：中心对称4．增减性：二、合作学习巩固训练一一、判断：1）函数 x y 1-= 在每一象限内 ,y 随x 的增大而减小（） 2）函数xy 3= 在每一象限内, y 随x 的增大而增大（） 3) 若反比例函数 x k y =，在每一象限内,y 随x 的增大而，则它的图象经过一、三象限（）二、填空：1）反比例函数 x y 25-= ，图像，经过象限，在每一象限内，y 随x 的增大而 2）反比例函数xk y = ，当x=1时，y ＝2，则k= ，在每一象限内， y 随x 的减小而请大家解决下面问题：1）已知反比例函数x y 6=的图像上，有两点（-2，1y ）和（-3，2y ），比较1y 和2y 的大小。

2）已知反比例函数xy 6=的图像上，有两点（1x ，1y ）和（2x ，2y ），若1x >2x >0,比较1y 和2y 的大小。

3）若1x >2x >0改成若1x >2x ，比较1y 和2y 的大小。

巩固训练二1）反比例函数xy 1=的图象上有两点A(1,1y ),B(2,2y ), 则1y －2y 的值是（）A 正数B 负数C 非正数D 不能确定2）反比例函数)0(>=k xk y 的图象上有两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),且 1x <2x ，则1y －2y 的值是（）A 正数B 负数C 非正数D 不能确定3）已知反比例函数 xy 5= ．（1）当x ＞5时， 0 y 1；（2）当x ≤5时，则y 1,或y ＜4）已知反比例函数 xy 12-=，当x ＞-3且x ≠0时，y ＞或y ＜ . 三、例题教学学以致用例1 从A 市到B 市列车的行驶里程为120千米.假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t 小时，速度为v 千米/时,且速度限定为不超过160千米/时。

反比例函数的图象和性质(二)课件

反比例函数可以通过垂直和水平变换来进行平移和伸缩等操作。当多个函数进行组合使用时，反比例函数会发生一些有趣的变化。
反比例函数的应用举例
1 实际问题中的应用
反比例函数在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理、经济学和生物学等领域中。
2 实际问题的建模与解决
我们可以使用反比例函数来建立实际问题的模型，分析问题并解决问题。
总结和要点
反比例函数的基本性质回顾
反比例函数是一个含有x的有理式，其中x不能为0。其图象有垂直和水平渐近线，单调性以及奇偶性等特点。
反比例函数在实际生活中的重要性
反比例函数在各个领域中都有广泛的应用，是一种十分有用的数学工具。
反比例函数应用中需注意的问题
在反比例函数的应用过程中，需要注意变换和组合使用时的变化，以及实际问题的建模和解决方法。
反比例函数的图象和性质
在本节课中，我们将深入研究反比例函数的图象和性质，探索其在数学中的应用。
反比例函数的定义和表达式
定义
反比例函数是一个含有x的有理式，其中x不能为0。
表达式
一般形式为f(x) = k/x，其中k为常数且k ≠ 0。
反比例函数的图象特点
垂直渐近线和水平渐近线
反比例函数的图象在x轴和y轴上分别有一个渐近线，即y轴和x轴。
单调性和奇偶性
反比例函数具有单调性，即当x增大时，f(x)减小；当x减小时，f(x)增大。同时，反比例函数是奇函数。Biblioteka 反比例函数的性质1
定义域和值域
反比例函数的定义域是除了0的所有实数，值域也是除了0的所有实数。
2
极值和最值
反比例函数无极值，但有最值。最小值为0，最大值不存在。
3
反比例函数的变换和组合使用

反比例函数的图像和性质(2)

§反比例函数的图像和性质（2）【学习目标】1、能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．2、能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．【学习重点难点】重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析流程一：温故而知新 1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？流程二：自学指导自学课本44页例3，通过例3学会判断一个点是否在反比例函数的图象上平行训练一1．若直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则函数xkb y的图象在（）（A ）第一、三象限（B ）第二、四象限（C ）第三、四象限（D ）第一、二象限2．老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y= 的图象上，•试判断点（-5，-2）是否也在此图象上．”题中的“？•”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目。

流程三：自学课本44页例四通过例四加深对反比例函数性质的理解平行训练二已知点（－1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在双曲线xky 12+-=上，则下列关系式正确的是（）（A ）y1＞y2＞y3 （B ）y1＞y3＞y2 （C ）y2＞y1＞y3 （D ）y3＞y1＞y2 合作探究三个反比例函数（1）y= （2）y= （3）y= 在x 轴上方的图象如图所示，由此推出k1，k2，k3的大小关系达标测试1．已知正比例函数y=kx 和反比例函数y=3x的图象都过点A （m ，1），（1）求此正比例函数解析式及另一交点的坐标．（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围2．判断下列说法是否正确（1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x 轴和y 轴，•但永远也不可能到达x 轴或y 轴．（）（2）在y=3x中，由于3>0，所以y 一定随x 的增大而减小．（）（3）已知点A （-3，a ）、B （-2，b ）、C （4，c ）均在y=-2x的图象上，则a<b<c ．（）（4）反比例函数图象若过点（a ，b ），则它一定过点（-a ，-b ）．（） 3．设反比例函数y=3m x的图象上有两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），且当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是． 4．点（1，3）在反比例函数y=k x的图象上，则k= ，在图象的每一支上，y 随x•的增大而．5．正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=k x的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y 的值；（2）当-3<x<-1时，反比例函数y 的取值范围．课后作业：课本47页7、8、9题。

九年级数学北师大版(上册)《6.2反比例函数的图象》(共15张PPT)

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反比例函数的图象和性质
1.形状反比例函数的图象是由两支曲线组成的，因此称反比例函数的图象为双曲线.
2.位置当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.
归纳：反比例函数的图象和性质：图象性质见下表：
y= k
K>0
K<0
x
图象
6.2反比例函数的图象与性质
y
O
x
1．什么是反比例函数？ k
一般地，形如 y = —x( k是常数, k ≠0 ) 的函数叫做反比例函数．
2．反比例函数的定义中需要注意什么？
（1）k 是非零常数.
（2）xy = k．
3．还记得一次函数的图像与性质吗？
函数正比例函数反比例函数
解析式
y=kx(k是常数，k≠0） y =
【典例解析】
-4 1．画出函数y = — 的图x 象
【解析】1．列表：
x
… -8 -4 -3 -2 -1 1 … 1 1 2 3 4 8
2
2
y 4 … 1 1
x
2
4 3
2
4 8 … -8 -4 -2 4 -1 1
3
2
2．描点：以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.
3．连线：用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到图象.
函数图象画法描点法
列表
描点
连线
提问：反比例函数的图像与性质又如何呢？这节课开始我们来一起探究吧。
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点, 尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一些点,这样既可以方便连线，又可以使图象精确． 2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错． 3.连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接． 4.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点． 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.

6.2反比例函数的图象与性质(教案)

6.2反比例函数的图象与性质（教案）
一、教学内容
6.2反比例函数的图象与性质：本节课我们将学习反比例函数的图象特点及其性质。内容包括：
1.反比例函数的定义：y = k/x（k≠0）；
2.反比例质：
a.图象在第一、三象限；
b.图象关于原点对称；
c.当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限；
3.提高学生的参与度，通过设立奖项、小组竞赛等形式，激发学生的学习兴趣。
4.加强课堂提问和反馈，及时了解学生的学习情况，帮助他们巩固所学知识。
在今后的教学中，我会不断总结经验，努力提高教学质量，让每一位学生都能在学习反比例函数的过程中，感受到数学的魅力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图象性质这两个重点。对于难点部分，如反比例函数图象的走势和性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示反比例函数图象的绘制及其性质。
2.教学难点
-反比例函数图象的理解：学生需要理解反比例函数图象为双曲线，且曲线与坐标轴无交点。
-反比例函数性质的掌握：如何记住并理解在不同象限内，函数值的变化规律。
-图形变换的应用：将反比例函数图象进行平移、缩放等变换时，如何快速判断变换后的图象。
举例：
a.难点一：通过动态图象演示或手绘图象，帮助学生直观地理解反比例函数图象为双曲线，并解释为何曲线与坐标轴无交点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x（k≠0）的函数。它在描述现实生活中的反比关系方面具有重要意义。

反比例函数图像与性质第2课时

反比例函数与幂函数的比较
幂函数
$y = x^n$，图像为单调递增或递减的曲线，当n>0时，在第一象限和第三象限；当n<0时，在
第二象限和第四象限。
反比例函数
$y = frac{k}{x}$，图像为双曲线，与x轴交点为$(pmsqrt{k},0)$，与 y轴交点为$(0,-frac{1}{sqrt{k}})$。
在流体中，压强与高度之间存在反比关系，即随着高度的增加，压强减小；随着高度的减小，压强增大。
反比例函数在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，供给与需求之间存在反比关系。当需求增加时，供给量减少；当需求减少时，供给量增加。
投资回报率
投资回报率与投资规模之间存在反比关系。随着投资规模的增大，投资回报率可能会降低。
像上。
答案与解析
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
判断题答案与解析
错。反比例函数图像可能在第一、三象限或第二、四象限，取决于k 的正负。
选择题答案与解析
答案不唯一，如点(1, 1)或(-1,1)都在反比例函数图像上。解析：反比例函数图像上的点满足xy = k (k ≠ 0)，因此只需验证给定点是否满
反比例函数图像与性质第2课时
目录
• 反比例函数的图像 • 反比例函数的性质 • 反比例பைடு நூலகம்数的应用 • 反比例函数与其他函数的比较 • 习题与解答
01
反比例函数的图像
反比例函数图像的形状
反比例函数的图像通常位于第一象限和第三象限，呈双曲线状。
图像在x轴和y轴上都没有截距。
当x为正数时，y为负数；当x为负数时，y 为正数。
例函数图像上。

反比例函数图象与性质(二)

99 2.对于函数 y ,x＜0时,y ＞0 x
,且
y的值随x的增大而
增大
.
老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同
学分别指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第二象限;
乙:函数的图象经过第四象限;
丙:在每个象限内,y随x的增大而增大.
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: .
已知反比例函数的图象经过点A（2，6）（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大而如何变化？ 4 1 （2）点B（3，4）、C（-2 ,-4 ）和D（2，5） 5 2 是否在这个函数的图象上？
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图象
当k＞0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小. 当k＜0时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.
性质
m5 如图是反比例函数 y 的图象的一支，根据 x 图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和点B(a2,b2),如果a1>a2,那么b1和b2有怎样的大小关系？
（3）如果a3>0>a1>a2, 那么b3,b1,b2的大小关系如何？
2
x
5.如图,若正比例函数y=2x与y=ax（a＞0）的图象
k 与反比例函数y= （k＞0）的图象分别交于A、 x
C两点。若Rt△AOB与Rt△COD的面积分别记为S1、S2，请你分析S1和S2的大小关系.

八年级数学下册6.2反比例函数的图象和性质第二课时全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件

yy012
x
5/10
看看你能否处理这个问题?
已知反比例函数y=
6 x
的图象上
有两点（ x 1 ， y 1 ）和（ x 2 ， y 2 ）。?
若 x 1 ＞ x 2 ＞0，比较 y 1 和y 2 的大小。
y
1 1
（ x2， 2） y
0
x
6/10
例：从A市B市列车行驶旅程为120千米. 假设火车匀速行驶，记火车行驶时间为t 小时，速度为v千米每小时，且速度限定为160千米每小时.
6.2 反百分比函数图象和性质(2)
1/10
已知反百分比函数 y k 1 (k且k1)为常数
x
1.若点A(-1,2)在这个函数图象上，求k值，并说明图象经过哪些象限。 2.若k=13，试判断点B(3,4) ，C(2,5)是否在这个函数图象上，并说明理由。
2/10
k
反百分比函y= 数x (k≠0) 图象性质：
Ｓ＝_____
4
4
y
x
2
P
-5
O
A
5
-2
8/10
考查面积不变性和中心对称性。
变式：如图，A、C是函数 y 2 图象
x
上关于原点O对称任意两点，过C向x 轴
引垂线，垂足为B，则三角形ABC面积为
。
与过O点直线MN两个交点
9/10
10/10
0
x
y随之减小。
(2)、当k＜0，在图象所在每一个象限内，当x增大时， y随之增大。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
温馨提
“每一个象限内”另外一个
等价描述：x>0 或 x<o
醒
y

6.2.2 反比例函数的图像和性质

课题：6.2.2 反比例函数的图象与性质课型：新授课年级：九年级教学目标：1．会画出反比例函数的图象，能根据图象探索并理解反比例函数的主要性质．2．提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想．会运用数形结合的思想方法解决反比例函数的有关问题．教学重点与难点：重点：探索反比例函数的主要性质.难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题．课前准备：多媒体课件、三角板．教学过程：一、感悟导入活动内容：回答下列问题.问题1.下列函数中，哪些是反比例函数？问题3. 你知道反比例函数的图象还有哪些特点吗？反比例函数还有其它的性质吗？处理方式：问题1由学生口答,并说出理由，借以复习反比例函数的定义；问题2让学在具体问题中加深对反比例函数定义以及图象的再认知．师及时给予指导纠错，再通过问题3引入本节课的内容．设计意图：反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．二、自主探究活动内容1：探究反比例函数图像的增减性（k＞0）观察反比例函数2yx=，4yx=，6yx=的图象，你能发现它们的共同特征吗?（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？处理方式：让学生课前预习并画好函数图像，课上由教师展示，让学生自主观察所画图像，并结合问题探究得出反比例函数性质.学生有可能总结为：当k＞0时, y的值随x值的增大而减小.这时教师可以提示：这样不够严谨，应强调“在每一个象限内”这个前提条件.然后动画演示几何画板课件,并总结结论: 当k＞0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x的增大而减小．（借助于下图进行说明）设计意图: 学生通过观察比较，总结出三个反比例函数图象的共同特征,在活动中放手让学生去观察，去类比，去感受，去总结，实现学生主动参与，探究新知的目的,培养学生“以图识性、以性画图”的能力；及时的小结有助于理清思路，培养学生的归纳能力和语言表达能力.活动内容2：探究反比例函数图像的增减性（k<0）处理方式：前面已经对0k >时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生观察课前预习时画好的函数图像，通过类比，分析、归纳、概括出0k <时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨．由于上面在总结k ＞0时的性质时，强调了“在每一象限内”，所以在总结k ＜0的性质时，学生比较容易想到“在每一象限内”.设计意图:通过对0k <时反比例函数图像特征的探究，培养学生利用数形结合探究问题的意识，发展学生类比分析问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上逐步提高．活动内容3：归纳性质从具体问题的分析进一步上升到理性的概括、归纳．教师要鼓励学生大胆表述自己的想法，语言即使不规范、不完整，教师也要给以充分的肯定、表扬，在讨论、交流的基础上使语言更加完善．最后由教师板书：当k ＞0时,在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大.设计意图：本环节主要是将知识进行系统的归纳、概括，通过讨论、交流，形成完整、规范的结论，可以培养学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力．三、巩固新知活动内容：做一做.y 随x y 随x2. 的增大而增大，则m 的取值范围3.点1,1()A x y ，2,2()B x y 1,2y y 的大处理方式：让学生独立完成，然后小组交流，再选派代表进行讲解，力争让所有学生都积极地投入到知识的学习中．设计意图：通过几个小题目的练习，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．问题3是一道易错题，不仅考察了性质中的“在每一象限内”这一条件，并且还蕴含着分类讨论思想，可以拓展学生思维的广度和深度．课堂上以小组合作讲解的形式，让每个学生都融入到表达与倾听中，可以调动每个学生的主观能动性．四、合作竞学活动内容：探究k 的几何意义 (课件展示问题)问题1. 如图1，在反比例函数xy 2=的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为多少?图1 图2问题2. 如图2，在反比例函数xk y =的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为多少?图3 图4问题3. 如图3，在反比例函数xk y =图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为1S ；过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S ，1S 与2S 有什么关系? 为什么?问题4. 如图4，在反比例函数xk y =的图象上任取点P ，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，△OPF 的面积又是多少呢? 为什么?处理方式：（1）鼓励学生先独立思考,然后以小组为单位,讨论分析,动手计算，总结小组成果.教师一边巡视,一边加入到各个小组的学生讨论中. 四个问题层层推进，让不同层次的学生都有事可干．（2）充分讨论后可由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．在探究的基础上，对于一般的反比例函数xk y =，充分利用小组成员间的合作，探究、归纳出一般性的结论——矩形面积总等于k ，三角形的面积总等于k 21．（3）利用几何画板软件通过拖动改变P 点位置（如下图），直观感受所得结论的正确性．可以发现矩形与三角形的面积是一个定值，加深学生对所得规律的理解．设计意图: 课本中只给出了问题3. 考虑到如果直接探究函数xk y =，对于有些学生来说有一定的困难，所以为了突破这一难点，我先给出简单的反比例函数xy 2=，在探究了这个具体函数的基础上，再由特殊到一般，进一步探究xk y =，符合学生的认知规律．最后通过几何画板的动画演示，让学生更直观地理解矩形和三角形的面积与比例系数K 的对应关系，向学生渗透数形结合的思想方法.五、反思总结活动内容：本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?你有哪些感悟和收获？你还有什么困惑？处理方式：先由学生自由发言，畅谈收获．师引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结．最后课件展示以下表格，通过对比形式，引导学生小结正比例函数、反比例函数的性质．设计意图：小结能使学生养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．小结还能引导学生关注数学的学习过程，通过交流、反思，倾听其他同学的感悟和收获，可以取长补短，共同提高．六、布置作业必做题：课本157页，习题6.3第1题、第2题、第3题．。

6.2反比例函数的图象与性质(2)

k y x

Q

S3
S1、S2有什么关系？为什么？
反比例函数图象性质
中考链接
（2014，常德）下列关于反比例函数y= 21 的三个结论：①它的图象经过点（7， x 3）；②它的图象在每一个象限内，y随x 的增大而减小；③它的图象在二、四象限内．其中正确的是．
交流小结，收获感悟
1. 对自己说，你有什么收获？ 2. 对同学说，你有什么温馨提示？
让我们一起回忆一
下吧！
回顾与思考
正比例函数表达式为：y=kx（k为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0时，经过一、三象限；当k＜0时，经过二、四象限．是一条经过原点（0，0）的直线，当k＞0 时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x 的增大而减小．
思维探究 2 4 6 观察反比例函数的图象， y , y , y x x x 回答下列问题：
3. 对老师说，你还有什么困惑？
布置作业，强化目标
作业：习题6.3
例题讲解
例1 函数的图象上有三点
（－3,y1）, （－1,y2）, （2,y3）,则函数值y1、y2、y3的
y3< y1< y2 大小关系是_______________;
例2 已知反比例函数 y a 2 增大而减小，求a的值和表达式.

x
a2 6

,y随x的
反比例函数
P
S1 S2 R
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？并且不同两个象限内的y值大小关系怎样？
2 4 6 如果k=－2, －4,－6,那么 y ,y ,y x x x
的图象有又什么共同特征？

九年级数学上反比例函数 6.2 反比例函数的图象与性质第2课时反比例函数的性质备课素材

第六章反比例函数2 反比例函数的图象与性质第2课时反比例函数的性质素材一新课导入设计情景导入置疑导入类比导入悬念激趣同桌二人分工，一位同学在坐标纸上分别画出y ＝2x ，y ＝4x ，y ＝6x的图象，另一位同学在坐标纸上分别画出y ＝－2x ，y ＝－4x ，y ＝－6x的图象．[说明与建议] 说明：一是让学生进一步熟悉作反比例函数图象的步骤，规范学生的作图，在作图的过程中反馈校正；二是为本节课动手操作，继续探究反比例函数图象的性质做准备．建议：通过展示，学生间相互找问题，能够将反比例函数图象画得标准规范．这样做能够暴露出画图中存在的问题，比直接展示课件图象效果要好得多，同时也节省了上课画图所用的时间．回答下列问题：问题1 下列函数中，哪些是反比例函数？ (1)y ＝1x ＋1；(2)y ＝－3x ；(3)y ＝1x 2；(4)y ＝2x. 问题 2 反比例函数y ＝2x 的图象是什么形状的？位于第几象限？有什么特点？y ＝－3x 呢？问题3 你知道反比例函数的图象还有哪些特点吗？反比例函数还有其他的性质吗？ [说明与建议] 说明：反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．建议：问题1由学生口答，并说出理由，借以复习反比例函数的定义；问题2让学生凭空间想象能力回顾反比例函数y ＝2x ，y ＝－3x 的图象，并说出每个函数的图象特点，在具体问题中加深对反比例函数图象的再认知．教师及时给予指导纠错，再通过问题3引入本节课的内容．素材二考情考向分析[命题角度1] 比较反比例函数值的大小比较大小的方法有两种，一是直接将点的横坐标代入关系式，计算出y 的值，然后比较大小；二是根据反比例函数的性质比较．注意利用性质比较简单．例 [安顺中考] 如果点A(－2，y 1)，B(－1，y 2)，C(2，y 3)都在反比例函数y ＝kx (k>0)的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是(B )A ．y 1<y 3<y 2B ．y 2<y 1<y 3C ．y 1<y 2<y 3D ．y 3<y 2<y 1[命题角度2] 一次函数与反比例函数的数形结合应用所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．图6－2－16例 [聊城中考] 如图6－2－16，一次函数y 1＝k 1x ＋b 的图象和反比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y 1<y 2，则x 的取值范围是(D )A ．x<1B ．x<－2C ．－2<x<0或x>1D ．x<－2或0<x<1[命题角度3] 反比例函数与图形面积的关系由双曲线y ＝kx 上的任意一点向两坐标轴引垂线，这一点与垂足及原点所确定的三角形的面积均为定值12|k|.图6－2－17例 [娄底中考] 如图6－2－17，M 为反比例函数y ＝kx 的图象上的一点，MA 垂直于y轴，垂足为A ，△MAO 的面积为2，则k 的值为__4__．[命题角度4] 一次函数与反比例函数的综合应用反比例函数是中考命题的主要考点，近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程(组)等综合的解答题．其中，将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向．图6－2－18例 [遂宁中考] 已知：如图6－2－18，反比例函数y ＝kx 的图象与一次函数y ＝x ＋b的图象交于点A(1，4)、点B(－4，n)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△OAB 的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．[答案：(1)一次函数的表达式为y ＝x ＋3 反比例函数的表达式为y ＝4x(2)152 (3)－4<x<0或x>1]素材三教材习题答案1．(1)已知点(－6，y 1)，(－4，y 2)在反比例函数y ＝－6x 的图像上，试比较y 1与y 2的大小．你是怎么做的？(2)已知点(4，y 3)，(6，y 4)在反比例函数y ＝－6x 的图像上，试比较y 3和y 4的大小．(3)已知点(－4，y 5)，(6，y 6)在反比例函数y ＝－6x 的图像上，试比较y 5和y 6的大小．解：(1)∵－6<0，∴反比例函数y ＝－6x 的图像在第二象限内，y 随x 的增大而增大．∵－6<－4，∴y 1<y 2.(2)y ＝－6x 的图像在第四象限内，y 随x 的增大而增大．∵4<6，∴y 3<y 4.(3)∵反比例函数y ＝－6x的图像在第二象限内，y>0，在第四象限内．y<0，∴y 5>y 6.2．下列函数中，其图像位于第一、三象限的有________；在其图像所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有________．(1)y ＝12x ； (2)y ＝0.3x ；(3)y ＝10x ； (4)y ＝－7100x.[答案] (1)(2)(3) (4)[解析] 当k 分别为0.5，0.3，10时，反比例函数的图像在第一、三象限内．当k ＝－0.07时，反比例函数的图像在第二、四象限内，y 的值随x 值的增大而增大．P 157习题6.31．下列函数中，图像位于第一、三象限的有________；在图像所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有________．(1)y ＝23x ；(2)y ＝0.1x ；(3)y ＝5x ；(4)y ＝－275x .[答案] (1)(2)(3) (4)2．已知点(2，y 1)，(1，y 2)，(－1，y 3)，(－2，y 4)都在反比例函数y ＝1x 的图像上，比较y 1，y 2，y 3与y 4的大小．解：由题意得，y 1＝12， y 2＝1, y 3＝－1, y 4＝－12，所以y 3< y 4<y 1< y 2.3．已知点P(3，2)、点Q(－2，a)都在反比例函数y ＝kx 的图像上．过点P 分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S 2.求a ，S 1，S 2的值．解：将点P(3.2)代入y ＝kx ，得k ＝6.S 1＝3×2＝6.将点Q(－2，a)代入y ＝6x 得a ＝－3.S 2＝|－2|×|－3|＝6.4．已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都在反比例函数y ＝1x 的图像上，且x 1＞x 2，比较y 1与y 2的大小．解：当x 1>x 2>0时，y 1<y 2；当x 1>0> x 2时，y 1>y 2；当0>x 1>x 2时，y 1<y 2. 5．已知矩形的面积为9，试用图像表示出这个矩形两邻边之间的关系．解：如图所示：素材四图书增值练习1.直角三角形两直角边的长分别为x ，y ，它的面积为3，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是（）2. 已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y =5x的图象上的两点，若x 1<0<x 2，则有（）A. y 1<0<y 2B. y 2<0<y 1C. y 1<y 2<0D. y 2<y 1<03．已知反比例函数1k y x-=（k 为常数，1k ≠）．（1）若点2A (1 )，在这个函数的图象上，求k 的值；（2）若在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）若13k =，试判断点34B ( )，，25C ( )，是否在这个函数的图象上，并说明理由．4. 如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数b x y +-=1的图象与反比例函数xky =2的图象相交于点A （5，1）和1A . （1）求这两个函数的关系式；（2）由反比例函数xky =2的图象的特征可知：点A 和1A 关于直线x y =对称.请你根据图象，填写点1A 的坐标及21y y <时x 的取值范围.5. 如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．x y O A xyO C x y OB xyO D6. 若一次函数y=kx +1的图象与反比例函数y =x1的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是 .7. 如图，直线y=x +2与双曲线y=xm 3-在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（）8. 如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （-3，0）. (1)求点D 的坐标；(2)求经过点C 的反比例函数解析式.9. 如图，已知反比例函数)0(≠=k x k y 的图象经过点（21，8），直线b x y +-=经过该反比例函数图象上的点Q (4，m )．(1)求上述反比例函数和直线的函数关系式；xyABO1S2S(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ的面积．10. 如图所示，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，且点A、B•的横坐标分别为a、2a（a>0），AC⊥x轴于点C，且△AOC的面积为2．（1）求该反比例函数的解析式．（2）若点（-a，y1）、（-2a，y2）在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．（3）求△AOB的面积．【知识要点】1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象，体会反比例函数的三种表示方法的互相转换，对函数进行认识上的整合．2．会根据反比例函数图象的某些特征，分析并掌握反比例函数的性质，感受数形结合的数学思想方法.3.能运用反比例函数图象与对应的函数关系之间的内在联系及其几何意义解决有关问题．【温馨提示】1.反比例函数的画法的应注意：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；②选取的点越多画的图越准确；③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）.2.反比例函数图象的位置和增减性都与比例系数k 的符号有关；反之，由双曲线的位置或函数的增减性也可以判断k 的符号，反比例函数的增减性只能在同一个象限内讨论．如点A （-1，y 1），B （-2，y 2），C （1，y 3）在双曲线y=-2x 上，求y 1、y 2、y 3的大小时，必须考虑这三点是不是在一个象限，不在一个象限时不能使用反比例函数的性质。

反比例函数的图象与性质-ppt课件

方 ■ 方法：利用数形结合思想解决反比例函数与几何的综
法
技合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=

（k

为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质

反比例函数的图象和性质(第2课时)

综上，反比例函数在其定义域内的两个区间上均为单调递减。
利用性质求最值问题
对于形如 $y = ax + frac{b}{x}$ (a > 0, b > 0) 的函数，可以利用反比例函数的性质求最值。由于 a、b 同号，函数在 x > 0 时有最小值，在 x < 0 时有最大值。
通过将原函数转化为 $y = a(x + frac{b}{ax})$，进而利用反比例函数的性质，可以求得函数的最小值为 $2sqrt{ab}$，当且仅当 $x = sqrt{frac{b}{a}}$ 时取到。
06
课后作业及拓展延伸
完成课后作业题目
题目1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k neq 0$），当 $x = 2$ 时，$y = 3$，求该反
比例函数的解析式。
题目2
已知点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 在反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k > 0$）的图象上，且 $x_1 < x_2$，比较
图象在各象限的分布情况
当$k > 0$时，反比例函数的图象分布在第一象限和第三象限。在每个象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐减小，但永远不会等于0。
当$k < 0$时，反比例函数的图象分布在第二象限和第四象限。在每个象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐增大，但同样永远不会等于0。
03
利用性质解决实际应用问题
在经济学中，反比例函数常被用来描述成本、收益等经济量之间的关系。例如，当某一商品的需求量 x 增加时，其价格 y 会相应下降，这时可以用反比例函数来描述这种关系。
在工程学中，反比例函数也可以用来描述某些物理量之间的关系。例如，电路中的电阻 R 与电流 I 成反比关系，即 $R = frac{U}{I}$，其中 U 为电压。这时可以利用反比例函数的性质来分析电路的特性。