反比例的图像和性质
反比例函数的图像和性质
> y >y．
1 2
3 （2）已知 x1，y1 和 x2，y2 是反比例函数 y 的两对自变 x 量与函数的对应值．若 x1 x2 0，则 0 > y1 > y2．
2．已知（ x1，y1 ），（ x2，y2），（ x3，y3 ）是反比例函数
2 的图象上的三个点，并且 y1 y2 y3 0 ，则 y x x1，x2，x3 的大小关系是（ C ）
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2 -3
有两条曲线共同组成 一个反比例函数的图像， 叫双曲线。
-4 -5 -6
反比例函数图像的两个分支关于 原点对称，反比例函数的图像(2个分 支作为一个整体)是一个中心对称图 形。
列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
… - -3 -2 -1 … 0 … 1 2 3 6 … 6 6 x Y= … - -2 -3 -6 … / … 6 3 2 1 … 1 · x
则y1与y2的大小关系(从大到小)
为
y2＞ y1
.
当k<0时:
在每一个象限内，y随x的增大而增大
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 1＜0＜x2 A(x1,y1),B(x2,y2)且x
k4 都在反比例函数 y y x(k＜0) 的图象上, x
则y1与y2的大小关系(从大到小)
为
y1 ＞0＞y2
性 质
1.反比例函数的图象是双曲线;
2.反比例函数图象无限向 x，y 轴逼近，但总不相交； 3.反比例函数自身都是中心对称图形,对称中心是坐 标原点.
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ x y y
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。
根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。
5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。
同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
反比例函数图像及性质
D
如图,已知一次函数y kx b的图象与反比例函数 8 y 的图象交于A, B两点, 且点A的横坐标和点B x 的纵坐标都是 2.
求（1）一次函数的解析式 （2）根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函 数的值的x的取值范围。
y A
O B
x
y
A.S1>S2 B.S1<S2 o S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定. Cຫໍສະໝຸດ S1ABx
D
12 3、如图，已知反比例函数 y 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标 是 6。 （1）求这个一次函数的解析式 （2）求三角形POQ的面积
C o Q x y P
x
… -6 1
-5 -4
1.2 1.5
-3 -2 2 3
-1 1 6
2
3
4
5
6 … …
… y= 6 x
-6 -3 -2 -1.5-1.2 -1
y
2、 k ＜ 0 图象在第二 和第四象限 ，在每个象 限内y 随x的 增大而增大 。
6
6 y= x
5 4 3 2 1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
活动一
问题：你还记得正比例函数y=kx (k≠0)的图象是什么 样子吗?怎样得出来的?它的性质又是什么呢？ 正比例函数图象是一条过原点直线，通过描点法得来的。
函数
正比例
图象
y
性质
O y x 图象经过一、三 象限，y随x的增 大而增大。 图象经过二、四 象限，y随x的增 大而减小。
反比例函数的图像与性质.
x
0
y
0
x
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
k 3.已知反比例函数 y (k≠0) x
k＞0 当x＜0时，y随x的增大而减小，
则一次函数y=kx-k的图象不经过第 二 象限
y
k＞0 ,-k＜0
o
x
例4:图是反比例函数y= m-5 的图象的一支.根据 x 图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范 围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和 点B(a’,b’).如果a﹥a’,那么b和b’有怎么的大小 y 关系?
则y1与y2的大小关系(从大到小)
x
为 y1 ＞0＞y2
.
A
y
y1
o
x2
x
B
x1
y2
4.已知点 A(-2,y ),B(-1,y ),C(4,y ) 1 2 3 4 y 都在反比例函数 的图象上 , x 则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞y2
.
反比例函数概念与性质
反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。
2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
2.反比例函数的图象是双曲线。
随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。
3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。
6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。
8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。
四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义：反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数，其中k为非零常数。
反比例函数的性质及图像
反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性。
反比例函数图像：
具体性质：
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和
一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质反比例函数是一种常见的数学函数类型，其图像非常有特点，具有一些独特的性质。
本文将介绍反比例函数的图像及其性质，以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、反比例函数的图像反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x，其中 k 为非零常数。
根据这个函数形式，我们可以研究其图像及其性质。
1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性：我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。
也就是说，如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上，那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。
2. 渐近线：对于反比例函数 y = k/x，当 x 趋近于 0 时，y 趋于正无穷大或负无穷大。
也就是说，反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线，分别位于第一象限和第三象限。
这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =0 来表示。
3. 变化趋势：反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴，随着 x的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。
换句话说，当x 趋近于正无穷大时，y 趋于 0；当 x 趋近于负无穷大时，y 也趋于 0。
这一性质可以通过直观的图像来观察和理解。
二、反比例函数的性质除了图像特点外，反比例函数还具有一些性质，对于解题和实际应用有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 定义域和值域：反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数，值域也为除了 y=0 外的所有实数。
这是因为 0 不能作为分母。
2. 增减性：当 x1<x2 时，对于反比例函数，由于 x1 和 x2 在同一侧相对于 0，所以可以推出 y1 和 y2 在同一侧相对于 0。
也就是说，反比例函数在定义域内的不同点上具有相同的增减性。
3. 零点：反比例函数的零点为x=0，即在坐标系的原点处。
当x 不等于零时，反比例函数的值不会等于零，因此没有其他零点。
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质（No.4）一、知识要点 1、反比例函数（1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，k≠0）的函数. 说明：①自变量x 在分母上，指数为1；②比例系数k ≠0；③自变量x 的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y ≠0；④反比例函数的其他形式：k xy =，1-⋅=x k y . （2）图象：反比例函数的图象是双曲线，也称为双曲线x ky =（k≠0）. （3）性质2、待定系数法求反比例函数的解析式——只需图象上一个点的坐标即可求出k 值.3、反比例函数的图象的对称性 （1）中心对称：对称中心是原点；（2）轴对称：对称轴是直线y=x 和直线y=－x.二、基础演练1、如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） A.反比例函数 B.正比例函数 C.一次函数 D.反比例或正比例函数2、若反比例函数y=(2m －1)22-m x 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）A.－1或1B.小于21的任意实数 C.－1 D.1 3、反比例函数xky =(k ＞0)的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2的大小关系为___________．第3题图 第5题图 第6题图4、若函数||1m xm y -=为反比例函数，则m=___________． 5、如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=xk k 122++的图象上．若点A 的坐标为（－2，－2），则k的值为（） A ．1 B ．－3 C ．4 D ．1或－36、如图是三个反比例函数的图象的分支，其中k 1，k 2，k 3的大小关系是_____________________．7、已知y=y 1＋y 2，而y 1与x ＋1成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x=1时，y=2；x=0时，y=2，求y 与x 的函数关系式．8、如图所示，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y ＝xm的图象交于M 、N 两点． （1）根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）当x 为何值时一次函数的值大于反比例函数的值．二、能力提升9、下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）A ．B ．C ．D ． 10、（1）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是_____________．（2）直线y=kx （k ＜0）与双曲线y=x2-交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值为______． 11、如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行．点P （3a ，a ）是反比例函数y=xk（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为_____________．第11题图 第12题图 第13题图12、如图，点A 、B 是函数y=x 与y=x1的图象的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ACBD 的面积为_________． 13、如图，已知反比例函数)0(>=k xky 的图象经过直角△OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为12，则k 的值为_______________．14、如图，□AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线)0(>=k xky 经过A 、E 两点，若□AOBC 的面积为12，则k=_______．第14题图 第15题图 第16题图 第17题图15、如图，在函数)0(8>=x xy 的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1=________，S n =______________．（用含n 的代数式表示） 16、如图，双曲线x k y =经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足32=AB AO ，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= ．17、如图，已知点A 在反比例函数)0(<=x xky 上，作Rt △ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为8，则k=_______．18、如图，直线2-=kx y (k ＞0)与双曲线xky =在第一象限内的交点为R ，与x 轴的交点为P ，与y 轴的交点为Q ；作RM ⊥x 轴于点M ，若△OPQ 与△PRM 的面积是4：1，求k 的值．。
26.1.2反比例函数的图象与性质
在求解反比例函数相关问题时，要确保 $x$ 的取值范围使得函数有意义（即 $x neq 0$ ）。
在实际应用中，要注意理解反比例关系背后 的实际意义，避免盲目套用公式。
拓展延伸：反比例函数在其他领域应用
经济学中的应用
在经济学中，反比例函数可以表 示某些经济变量之间的关系，如 价格与需求量之间的反比关系。
04
感谢您的观看
THANKS
06
函数图像在第二象限和第四象限内分别位于 $x$ 轴和 $y$ 轴的两侧，且无限接近于坐标轴。
02
反比例函数图象特征
图象形状与位置
图象形状
反比例函数的图象为双曲线，两 支分别位于第一、三象限或第二 、四象限。
图象位置
当$k > 0$时，图象位于第一、三 象限；当$k < 0$时，图象位于第 二、四象限。
表达式
反比例函数的一般表达式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是比例系数， 且 $k neq 0$。
自变量取值范围
自变量 $x$ 的取值范围
在反比例函数中，自变量 $x$ 不能取值为 0，即 $x neq 0$。
函数定义域
反比例函数的定义域为 $x in R$ 且 $x neq 0$。
偶函数性质
反比例函数不是偶函数，即不满足$f(-x)=f(x)$，图像不关于 y轴对称。
周期性考察
无周期性
反比例函数不具有周期性，即不存在 一个正数T，使得对于定义域内的任 意x，都有$f(x+T)=f(x)$成立。
图像特征
反比例函数的图像是双曲线，两支分 别位于第一、三象限和第二、四象限 ，且无限接近坐标轴但永不相交。
渐近线与交点情况
渐近线
八年级数学反比例函数的图解和性质
声速
声速与频率和介质有关，在一定 介质中，声速与频率成反比关系。
磁场
在磁场中，磁感应强度与电流成 正比，与导线长度成反比，这是
电磁感应现象的基础。
在经济中的应用
供需关系
01
在市场经济中，商品的价格与供应量成反比关系，当需求量一
定时，供应量增加会导致价格下降。
投资回报
02
投资回报率与投资额成反比关系，当风险一定时，投资额越大，
中心对称
分布在第二和第四象限
由于k的正负性，反比例函数的图像分 布在第二和第四象限。
反比例函数的图像关于原点中心对称。
反比例函数图像的变换
k值变化
改变k的值会影响反比例函 数图像的形状和位置。
x轴和y轴的变换
通过伸缩x轴和y轴，可以 改变反比例函数图像的形 状。
图像的旋转
通过旋转反比例函数图像， 可以观察其在不同角度下 的形态。
01
02
03
确定函数表达式
首先确定反比例函数的表
达式，例如$y
=
frac{k}{x}$（其中k为常
数）。
ห้องสมุดไป่ตู้
确定坐标轴
在平面直角坐标系中，选 择适当的x和y轴范围。
绘制图像
根据反比例函数的表达式， 在坐标系中逐点绘制函数 图像。
反比例函数图像的特性
无限接近x轴和y轴
反比例函数的图像会无限接近x轴和y 轴，但不会与它们相交。
反比例函数可以看作是幂函数的一种特殊情况，即当n=-1时 的幂函数。因此，反比例函数与幂函数在性质上有一定的相 似性，例如它们的导数都与自身有关。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
6.2反比例函数的图像和性质(共11张)
第10页，共11页。
正、反比例函数的图象与性质(xìngzhì)的比较：
解析 式
图象
正比例函数
y kx ( k 0)
直线
反比例函数
y k ( k 0) x
双曲线
位置
k＞0，一、三象限； k＜0，二、四象限．
增减 性
k＞0，y随x的增大而增大； k＜0，y随x的增大而减小．
k＞0，一、三象限；
y
y
y
y
O
x
A
O
x
B
O
x
C
O
x
D
y
图1
O
x
第8页，共11页。
LQ @ LQZX
如图，动点P在反比例函数
图像的一个(yī ɡè)
分支上，过点P作PA⊥x轴于点A、PB⊥y轴于点B，
当点P移动时，△OAB的面积大小是否变化？为
什么？
y
B
P
OA
x
第9页，共11页。
LQ @ LQZX
反比例函数的图象与性质：
第2页，共11页。
1．反比例函数 y k ( k 的0 )图象经过点（－1， 2），那么这个
反比例函数的解析式为x
，y图象在2 第
二象、限四，
x
它的图象关于
成原中点心对称．
2．反比例函数 y k ( k 0 )的图象与正比例函数
的图象交于点A（1，mx），则m＝ 2 ，反比例函数的y解析2式x
⑴ 求v关于t的函数解析式和自变量t的取值 范围；
⑵ 画出所求函数的图象；
⑶ 从A市开出一列火车，在40分内（包括40分）
到达B市可能吗？在50分内（包括50分）呢？如有 可能，那么此时对火车的行驶速度有什么要求？
反比例的所有概念和性质
反比例的所有概念和性质反比例是指两个变量之间存在一种相互制约的关系，当其中一个变量增大时，另一个变量会相应地减小，反之亦然。
在数学中，反比例通常用一个函数来表示，即y = k/x，其中k表示一个常数。
反比例的概念和性质如下：1. 反比例函数的定义：反比例函数是一种形式为y = k/x的函数，其中k为常数。
当x不等于零时，函数是定义良好的。
2. 反比例函数的图像：反比例函数的图像呈现出一种特殊的形态，即一个双曲线。
随着自变量x趋近于零，因变量y趋近于无穷大；随着自变量x趋近于无穷大，因变量y趋近于零。
3. 反比例的变化趋势：反比例的关系是由两个变量之间的相互制约所决定的。
当其中一个变量增大时，另一个变量会相应地减小；当其中一个变量减小时，另一个变量会相应地增大。
这种变化趋势与正比例关系相反。
4. 反比例的例子：反比例关系在现实生活中有许多实际应用，例如弹簧刚度与其伸长长度的关系、密度与体积的关系、速度与时间的关系等等。
5. 反比例的性质：反比例具有以下性质：a. 零点：反比例函数的图像经过坐标轴的原点。
b. 单调性：反比例函数在自变量的正值区间上是单调递减的，在自变量的负值区间上是单调递增的。
c. 渐进线：反比例函数的图像有两条渐近线，即y轴和x轴。
当自变量趋近于无穷大时，函数的图像趋近于x轴；当因变量趋近于无穷大时，函数的图像趋近于y轴。
d. 定比关系：反比例函数中，y/x的值始终等于常数k，即y = k/x。
6. 反比例的应用：反比例关系在实际生活中有广泛的应用，例如电阻和电流的关系、速度和时间的关系、浓度和体积的关系等等。
这些应用可以通过反比例关系来描述和解释。
7. 反比例的变种：在一些情况下，变量之间的关系可能不是严格的反比例，而是近似反比例。
在这种情况下，函数可能具有形式为y = k/x^n的一般反比例关系，其中n为正整数。
8. 反比例与正比例的关系：反比例和正比例是两个相关但相反的概念。
反比例函数的图像和性质
18.3 反比例函数的图像和性质
（2）
函数 解析式 定义域 图像形状
正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 一切实数 直线
位 置
反比例函数
y=k x ( k是常数,k≠0 )
不为零的一切实数
k>0 性质
k<0 性质
一三 象限
增 减 y随x的增大而增大 性 位 置
二四 象限
9 3k 1、若反比例函数 y 的图像位于第二、四象限， x
k>3 则k的取值范围是_________.
2a 3 2、已知反比例函数 y 的图像在每一象限内， x 3
y随x增大而减小，则a_____________. 2
k 1 3、若反比例函数 y 的图像上两点 M ( x1 , y1 ) 、 x N ( x2 , y2 ) ，且当 x1 x2 0 时，y1 y2 ，则k的取
位 置 增 减 性 位 置 增 减 性
正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 一切实数 直线 一三 象限
反比例函数
y=k x ( k是常数,k≠0 )
不为零的一切实数 双曲线 一三象限
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
二四 象限 二四象限
k<0 性质
y随x的增大而减小 y随x的增大而增大
练习册：18.3(2) 一课一练： 18.3(2)
下列函数中，其图像位于第一、三象限的 有 ⑴、⑵、⑶、(6) ； 在其图像所在的每一个象限内，y 的值随着 x 的增大而增大的有 ⑷ 、(5) ．
10 1 y x
0.3 2 y x
1 3 y 2x
7 4 y xΒιβλιοθήκη 5 y k 1 x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学生画反比例函数 的图像。
小组合作讨论函数图象的特征，在教师的引导下，学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．
学生独立完成练习
学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法。
4．是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？
5．反比例函数 与 的图象有什么共同特征?
三、巩固提高，应用新知
教师布置练习，巡视、检查
四、课堂小结，布置作业
1．同学们谈谈这节课的学习收获。（可以是学习内容、可以是学习方法、可以是情感价值观等方面）
2．教师结合板书，进行学习总结
3.教师布置作业
学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将答案填写在黑板的表格中，强调是从形状、位置、变化趋势三个方面去的一般方法，为学习反比例函数的图象和性质做好铺垫。
图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性认识。
通过类比正比例函数，引导学生观察图象的形状、位置、变化趋势，感受“形”的特征，感受自变量与函数值之间变化与对应的关系，使学生对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。
教学构想及目标:
知识目标：1．进一步熟悉画函数图象的主要步骤，会画反比例函数的图象。
2．体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。
3．理解反比例函数的性质。
能力目标：1．通过观察反比例函数图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力。
2．体会数形结合的思想和分类讨论的思想。
情感目标：培养学生交流合作的能力，通过学生在学习过程中获得成功的体验，增强学生学习数学的自信心。
教学重点：
反比例函数图象和性质。
教学难点：
由反比例函数图像探究出反比例函数的性质。
教学方法：
1.采用启发讲授，小组讨论，合作探究相结合的教学方式。
2.鼓励学生针对问题展开交流，充分发挥学生在教学中的主体作用，一切结论都由学生猜想，实践，探索，反思后自己得出。
《反比例函数的图像与性质（1）》教案
课程分析：
在学习一次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，因此，通过类比，结合反比例函数的图象探究性质，从使用的方法上不会存在障碍，但由于反比例函数图象相对于一次函数图象，其形态丰富、结构复杂，具有自身的特殊性，故对性质的深入理解和掌握，对性质探究中的数学思想的体会和运用，还存在一定的困难。教学中，注重强调说明由“数”到“形”、由“形”到“数”的转化关系，以“数”与“形”的转化为途径，展开探究活动。我根据教材的内容和学生实际的学习能力和学习程度将教学重点放在下面几个方面：（1）由反比例函数解析式发现反比例函数图像的特征；（2）让学生掌握画反比例函数的图象的方法（描点法），并通过观察知道反比例函数的图象是双曲线；（3）鼓励学生在独立思考，独立操作的前提下，通过小组合作交流分析和解决问题．充分利用图像的直观，引导学生对所画的反比例函数的图象进行观察、比较，发现规律，归纳出反比例函数的主要性质，展示研究函数的一般方法，并能够利用函数的图像及性质解决一些简单的实际问题。从而使每一位同学都掌握从函数图像获取信息的能力，解决问题的能力。
通过一系列的练习，来实现知识向能力的转化。
教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯。
通过再次画出反比例函数的图象，使学生巩固前面已获得的作图经验，提高学生利用描点法画出函数图象的能力。同时，在总结说出反比例函数 的图象特征的过程中，使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括的能力，以及经历通过画出函数图象，并利用图形研究函数性质的过程。
学生通过观察比较，总结这两个反比例函数图象的特征，在活动中，让学生自己去观察、发现、总结，实现学生主动参与，探究新知的目的。
教师活动
学生活动
设计意图
一、创设情境，引入新知
我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？
二、观察探究，形成新知
1．反比例函数的图象是什么样的？让学生根据解析式说出。
2．你能画出反比例函数 的图象吗？
3．教师引导学生观察，类比正比例函数，归纳说出反比例函数 图象的形状、位置、变化趋势及其函数的增减性。