相似三角形的平行线分线段成比例和预备定理

5、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点， 且 BE:EC=3:2 ， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则 3:5 3:5 BE:AD=_____，BF:FD=_____。
A F B E C
D
6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB 于 D ， 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ， 若 3:5 AD:DB=3:2，则EC:BC=______。
平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交。所构成的三角形与原 三角形相似。
A D B E ∵ DE∥BC C ∴△ADE∽△ABC
AD AE DE \ AB AC BC
A A, ADE B, AE C D
如图，△ABC 中，DE∥BC， GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则 图中与△ABC相似的三角形共有多 少个?请你写出来. A
A D
l1
解： l1//l 2 //l 3 Q \ AB DE BC EF （平行线分线段成比例定理） 3 2 即 BC 4 \ BC 6
3
B
2
E
l2
?
C
4
F l3
[例一]
AB m 已知：如图，l//l //l ， . 1 2 3 BC n DE m 求证： . DF m n
A E
D
B
3.AB∥CD
或：
Δ OAB∽Δ OCD Δ OAB∽Δ OCD
三角形相似具有
传递性!
Δ OEF∽Δ OAB
Δ OEF∽Δ OCD
1. DE∥BC 2.DF∥AC
2、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请 尽可能多地找出图中的相似三角形， D 并说明理由。
Δ ADE∽Δ ABC
Δ DBF∽Δ ABC Δ ADE∽Δ DBF
相似三角形判定方法
1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等； 2、（预备定理）平行于三角形一边的直线与其他 两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。
拓展提高：
1.如图, 已知DE∥BC,DF∥AC, 若 BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,
A
1.5
D
求线段AE的长度
B
探索发现：
变式1：如图，在△ABC中,点D为AB中点, 过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与 A △ABC相似吗? ∵ DE∥BC D E ∴△ADE∽△ABC B C
变式2：如图，若点D是AB边 上的任意一点, 过点D作 DE∥BC，量一量，检验△ADE 与△ABC是否相似。 D ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
A B BI CI DI
C
2 则 I I CF 3
ACI
D E
EI FI
F
探究：
BC
如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、 l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5 在 l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条 线段DE,EF的长度. AB DE l1 l2 与 相等吗？
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
D E O
E C
B
（图2）
C
符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可 练习： 能多地找出图中的相似三角形，并 O 说明理由。 E
Δ OEF∽Δ OAB
Δ OEF∽Δ OCD
C A F
1. EF∥AB 2.EF∥CD
相似.
相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。 DE//BC △ADE∽△ABC
A
A
E A
D
D B
E C
B D
C E
B
C
Baidu Nhomakorabea
判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线） 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
D B
l1 l2
l3 证明 ：Ql1//l 2 //l 3 , F C 注意观察： \ AB DE m BC EF n 此图与前面图形有何不同？ （平行线分线段成比例定理） A D EF n EF DE n m ， \ DE m DE m E B DF m n . 即 DE m [例二] F DE m . C \ DF m n
MC = BC
B 3
5
2份
M
3份 5份
C
拓展提高：
3.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC， E,F为中点. 求证：（1）△EDM∽△FBM； (2) BD=9，求BM的长
D C F M A E B
再 见
A
B
D
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB， DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
9.已知EF∥BC,求证:
F A
BD DC EG GF
27.2相似三角形的判定 之1
预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三 符号语言： 角形是相似三角形. 在△ABC和△A´B´C´中， A′ A
B C B′ C′
A A, B B, C C ∵ AB BC CA . AB BC CA
拓展提高：
D B
A E
2份
M
3份
C
5份
2.如图：在△ABC中，点M是BC上任一点， MD∥AC，ME∥AB， BD EC 2 若 求 的值。 = ， AC AB 5
练习： 2、 如图：在△ABC中，点M是BC上
任一点， MD∥AC，ME∥AB， 若 BD 求2 = 5， 的值。 EC D
A E
AB AC 解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC BD BM 2 ∴ BA= = ， BC 5 又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB CM 3 CE = ∴ = 5 CB CA
EF
A D
任意平移l5，再度量 AB,BC，DE,EF的长 度.
AB DE 与 BC EF
l3
E
B
l4
F
相等吗？
C
l5
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对 应线段的比相等.
∵ 符号语言： l3∥l4 ∥l5 ,
l1
A B
l2
D E
∴
EF AB DE BC , , AB DE BC EF
C
练一练1
1如图 已知DE∥BC ∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明 理由。
A
A
D F E G
D
E
B
F
C
B
C
2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结 BC交对角线AC于E，交AD于F，则： (1)图中与△AEF相似的三角形有___。 (2)图中与△ABC相似的三角形有___。 (3)图中与△GFD相似的三角形____。
B F
练习：
A E
C
三角形相似具有
3. Δ ADE∽Δ ABC Δ DBF∽Δ ABC
传递性!
这是两个极具代表性的 相似三角形基本模型：“A”型和“X”
A
型
C l
A D B
D
A
E
B
E l
B
C
D
E
C
A
B C
E
E
D A
l
D
B C
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你 可要认真噢！
相似三角形判定的预备定理：
解： 与△ABC相似的三角形有3个:
△AＤＥ △ＧＦＣ △ＧＯＥ
G D O B F E C
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。 1：4 A
E F B
D
G H I
B
A
E C
变式3：若点D是BA延长线上的 一点,过点D作DE∥BC，与CA的 延长线交于点E，△ADE与 E △ABC相似吗? ∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC
A G F
D
B
C
• 如图，已知DE ∥ BC,
• 则．．．．．．
E A D B
C
若DE ∥ BC则 ∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB, AD AE DE . AB AC BC
∴△ABC∽△A´B´C´
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与 △ABC相似比为 1
k
对应角_______, 相等
成比例 对应边——————的两个三 D 角形, 叫做相似三角形 . A F
C E B 6 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
AB AC BC DE DF EF

ABC∽ △DEF △
6
对应角相等 成比例 相似三角形的———————, 各对应边——————。 =k
k1 两三角形相似 k=1 两三角形全等
AB BC AC 相似比: DE EF DF
思考：
相似三角形与全等三角形有什么内 在的联系呢？
当两个三角形的相似比为 1 时，它们 是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
故△ADE∽ △ABC,
B A C E
若DE ∥ BC 则 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB=∠DCE,
D
AB AC BC . DE DC CE
若△ABC∽ △DEC,
从上面的解答中，你获得了那些信息？
A D B
E
E
C
D A
B
C
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两
边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形
G E
A E G F
B
D
C
B
D
C
10.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
A E F
AE AG AB AD
G C
G
E A B
B C
D
F
D
11.已知DE∥BC,EF∥CD, AD AB 求证: AF AD
A
E A
E
D
F D
F B C
B
C
12:如图，E是平行四边形ABCD的边BC 的延长线上的一点，连结AE交CD于F， 则图中共有相似三角形（ ） A1对 B2对 C3对 D4对
练习：
l1
A D B
如图，l3∥l4 ∥l5 ,请指出成比例的线段. l2
E C
l1
l3 l4 l5
D A B
l2
E
l3 l4
C
l5
l1
A D B
l2
E C
l1
l3 l4 l5
D A B
l2
E
l3 l4
C
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等.
三角形的中位线截得的三角形与原三角形 是否相似？相似比是多少？
2
E
6
B
6 2
C
3
F
练习：
1、若
BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE的长度 A 吗？ 解： ∵DE∥BC,DF∥AC 1.5 E D ∴四边形DFCE为平行四边形 2 ∴FC=DE=2，EC=DF=6 6 6 ∵DF∥AC C F B ∴△BDF∽△BAC 3 2 3 6 BF DF ∴BC AC ∴ 3 2 AC ∴ AC=10 ∴AE=AC-CE=10-6=4
A D B E C
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A D E
B
C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
A
探索发现：
D D E
E C
如图，在正△ABC中,点D为AB中点, 过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与 △ABC相似吗? ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
AB DE , AC DF
BC EF , AC DF
AC DF AB DE
l3
l4
F
AC DF , BC EF
C
l5
A B C
D E
l1 l2
上 上 下 下
F
l3
下 下 全 全
形象记忆
. . . .
左 左 右 右
. . . .
已知：如图，l//l //l ，AB 3, 2, 4. DE EF 1 2 3 求：BC.