(推荐)高中数学函数：题型分类

高中数学函数学生常见问题以及函数常见题型、解法指导

一、学生常见问题：

（一）、认知层面的问题：

这个问题是在高一学习函数时就一直在困扰学生的问题。我们要了解高一学生在学习数学时产生困难的原因，首先要了解学生的数学认知结构。即学生在对数学对象、数学知识和数学经验感知和理解的基础上形成的一种心理结构。通俗地说：数学认知结构就是人们按照自己的经验与理解，根据自己的感知、记忆、思维的特点，把数学知识在大脑中组合而成的具有内部规律的整体结构。数学认知结构受个体认知特点的制约，具有浓厚的认知主体性与鲜明的个性色彩。高一新生在学习数学时的困难正是由于数学认知结构的特点所决定。高一新生在学习高中数学时，碰到的困难比如无法理解函数的概念，无法建立对应的观念，对集合的概念理解不够透彻等问题，导致高中数学的学习存在很大的困难。

（二）、基础知识层面的问题：

在进行高三复习的时候，同学们普遍的反映都不太好。原因在于，同学们感觉学校老师复习得很快。学校老师的讲课思路是先大致的把知识点串讲一遍，接着在课上做一些例题，课后给同学发一些卷子以做为练习，这些练习在做完之后老师也不一定会仔细的讲解，知识点的落实也不太扎实。因此同学感觉老师的复习很快。（因此这里学生会出现的问题就是基础知识不扎实）那么我们在具体的操作中，首先应该了解学生复习的程度。在总复习的过程中侧重于整体性，所以可以先了解一下学生是否有一个整体的框架。（框架的作用是帮助PEC检查学生的知识体系是否完善）

函数被分成了两块：横轴和纵轴。（参见策略库函数基本概念第一部分）

接下来，就是要求学生能够对这个表格里的每个点都比较了解。（框架完善了，就要看基础知识点是否真的落实）

首先这六大基础函数，学生是否都了解呢？包括：正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数。只有指数函数和对数函数是在高中的时候新学的，其他函数都是以前的时候就学过的。但是在考试当中会结合到一起，尤其是二次函数。抽象函数就是在考察的时候只告诉函数的一些基本性质，进行一些证明等等。复合函数就是()[]x g f 这种形式的函数，因此在跟学生交流的时候，如果学生没有这样一个整体知识框架，可以让学生首先熟悉这一块的内容，因为这是属于知识层面比较基础的部分。函数性质和图像的内容，同样要看学生是否都知道，如果掌握的不是特别清楚，那么都属于基础知识层面的问题。 （三）、（接下来）基本题型的问题

可以按照表格中体现出的顺序来考察学生基本题型的能力。

（1）定义域相关的基本题型 两类：

1.给定函数式，在函数式当中有些限定性的条件，如存在

，以及对数log 要求大于零，以

及存在分母（分母不能为零）等等基本的方式去求定义域。

2.复合函数求定义域的问题。复合函数求定义域是很严格的。就是这样一层一层的函数顺序下来要求的。如()[]()[]21x t f x g f 和，首先就要求其中()()21x t x g 和必须符合()x f 的定义域的要求；其次我们才去看21x x 和各自要按照哪个函数要求去求定义域，1x 需要符合函数()x g 的定义域要求，

2x 需要符合函数()x t 的定义域要求。其实就是两点：首先，只要是同一函数对应法则，括号内的式子的范围都是一样的。第二点就是求定义域，是求最核心的自变量x 的范围。

（2）值域相关的基本题型（其实关键的就是几种方法）

1.二次函数的值域问题。而且这是最为关键的问题。简单的二次函数，就可以通过顶点和最值等来求值域。困难的地方在于函数有参数的问题。带有参数的二次函数值域的问题也被我们称为限定性的二次函数求值域问题。也就是说，自变量x 的取值不是全体实数R ，而是在一定范围之内，如()b a x ,∈，求函数的值域的问题。解决的办法只有一种，即分类讨论。分类讨论时需要

注意的是，对称轴a

b

x 2-

=是在a 的左端、在b 的右端还是位于区间()b a ,之内，因此需要分类讨论的就是分这三类。（这个问题只要反复的练是可以达到效果的）

2.换元法（也是最常用的方法），转换成二次函数。这种题的特点是，题目中的自变量的次数

关系是倍半关系，如22,1

,1,x x

x x ，都可以利用换元的方法把题目转换成上面第一类的问题。

3.利用函数的单调性求值域。当前两种办法不能用的时候，都可以考虑函数的单调性。因此这里存在函数是否存在单调性的问题。有两种方式，一种就是平时题目的积累；一种就是猜测，去试这个函数的单调性(因为知道单调性要去证明单调性并不是一个困难的问题)，单调性的利用其实也是在利用函数的图像。

4.运用均值不等式。但是均值不等式适用的范围比较窄，且函数的形式也是比较固定的。一般来说都是函数带有分母的。如

1

1

11++

+=+=x x y x x y 或者等这样的形式可以利用均值不等式。 5.数形结合。这种类型的题目也是比较特殊的。一般的形式如

l nx mx c bx ax y +++++=22，两个根号的和的形式。根号下的函数可以转化为点线的距离和两点间的距离。

6.反解法。这种方法也就是说这个函数的定义域是比较清晰的，就可以写出反函数，利用反函数来求原函数的值域。这种方法要求原函数得存在反函数，即()y x x f y 与的=是一一对应的。这样反函数才存在，才可以反解。

7.“∆”法。这种方法适用于c

bx ax n

mx y +++=22这种形式的函数，“∆”法就是把分母乘到左边

去，然后整理成一个关于x 降幂排列的方程，然后利用0≥∆来求y 的取值范围。

这些方法中，常用的就是1、2、3、7这几种方法。其他的几种就题型也是比较单一的。 （3）求解析式（方法比较少，考得也不多） 1.配 和 凑

利用它的形式，凑出()2∇+∇+∇=∇k f 这样的形式，这要求学生做题目比较有感觉。 2.待定系数法。即设()c bx ax x f ++=2，再利用已知条件把c b a ,,的取值确定。

（4）单调性、周期性、奇偶性、对称性

1.首先，得知道这几个性质的概念各自的确定的含义。学生面临的问题就是比较偏向于用一个特定的数代入函数，以此来判断函数的单调性或者奇偶性等。其实核心在于他们对于恒成立这个概念的理解存在偏差，比较模糊。因为函数的性质是对于定义域范围内任意的x 都成立的。因此，在证明的过程中，不能用一些特定的数代入函数，因为这只是猜测函数的性质的一种方法。

2.各种性质的代数形式。

单调性：定义域内()()2121,x f x f x x >>则有 单调增 奇偶性：定义域内 ()()x f x f =- 为偶函数 ()()x f x f -=- 为奇函数 周期性：定义域内 ()()x f a x f =+ a 为周期 对称性：包括关于轴对称，关于点对称，

如关于函数关于a x =对称，则()()x a f x a f -=+

这个可以让学生去归纳。

3.解题时，题目基本都是抽其中的一条性质或者两条性质结合起来考查。