分部积分法的二个经验

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分部积分法

(易积)
？？问题： xexdx
xcos xdx
6
第三节分部积分法
第四章
由导数公式 (uv) uv uv
uv (uv) uv
积分得: uvdx uv uvdx 或 udv u Nhomakorabea v du
分部积分公式
注： 1.左端的被积表达式为两部分;右端为两部分.
2.公式的作用：化难为易
x ln2 x 2x ln x 2 dx
x ln2 x 2x ln x 2x C.
14
2
2
11
经验2: 幂对(反三角)dx 可设对数(反三角)= u
例5.
解:设u arccos x ,dv dx，则du
1 dx,
1 x2
v
x
arccos u
xdx
v
x
arccos
x
xd(arccos
x)
x arccos x
x dx x arccos x
1 x2
d(1 x2 ) 2 1 x2
ln a
2
三 (1) sin xdx cos x C;
角 (2) cos xdx sin x C;
函数
(3) tan x dx lncos x C
的 (4) cot xdx lnsin x C
积 (5) sec x dx lnsecx tan x C
分
公 (6) csc x dx lncsc x cot x C
顺序, 前者为u.
的反: 反三角函数
对: 对数函数
幂: 幂函数
指: 指数函数
三: 三角函数
13
例6. 求 ln2 xdx.

分部积分法的使用技巧

分部积分法的使用技巧
1. 先确定积分区间，确定积分区间的方法有：
（1）根据函数的性质，如函数的单调性、极值点等，确定积分区间；（2）根据函数的定义域，确定积分区间；
（3）根据函数的变化趋势，确定积分区间；
2. 根据积分区间，确定积分步长，确定积分步长的方法有：
（1）根据函数的变化趋势，确定积分步长；
（2）根据函数的变化率，确定积分步长；
（3）根据函数的变化幅度，确定积分步长；
3. 根据积分步长，确定积分点，确定积分点的方法有：
（1）根据积分步长，从积分区间的起点开始，逐步确定积分点；（2）根据函数的变化趋势，确定积分点；
（3）根据函数的变化率，确定积分点；
4. 根据积分点，计算函数值，计算函数值的方法有：
（1）根据函数的定义，计算函数值；
（2）根据函数的表达式，计算函数值；
（3）根据函数的图像，计算函数值；
5. 根据函数值，计算积分值，计算积分值的方法有：
（1）根据积分步长，计算积分值；
（2）根据函数的变化趋势，计算积分值；
（3）根据函数的变化率，计算积分值；
（4）根据函数的变化幅度，计算积分值；
6. 根据积分值，计算函数的积分，计算函数的积分的方法有：（1）根据积分步长，计算函数的积分；
（2）根据函数的变化趋势，计算函数的积分；
（3）根据函数的变化率，计算函数的积分；
（4）根据函数的变化幅度，计算函数的积分；
（5）根据函数的定义，计算函数的积分；
（6）根据函数的表达式，计算函数的积分；
（7）根据函数的图像，计算函数的积分。

利用口诀计算分部积分的方法

利用口诀计算分部积分的方法作者：吕昂来源：《中国校外教育·综合(上旬)》2013年第03期分部积分是积分运算的基本方法之一。

运用分部积分法计算积分问题时，通常采用“竖式法”或“表格法”等，但这些方法往往操作起来十分复杂或不容易理解。

本文将介绍一种简便的计算法——口诀法，以达到简化运算的目的。

分部积分口诀法分部积分口诀高等数学是高职高专的一门公共基础课，微积分是高职高专学生的必修内容。

一元函数微积分实际上包括两部分内容，一部分是微分学（极限、导数、导数的应用），另一部分是积分学（不定积分、定积分）。

对于高职学生来讲，求函数的导数相对来说比较容易理解，计算方法也比较容易掌握。

而对于积分来说学生时常会感觉到比较困难，有时做题无从下手。

不定积分的计算方法主要包括：直接积分法、换元积分法（第一换元法、第二换元法）、分部积分法。

而其中的分部积分法更是较难掌握，传统计算分部积分时通常采用“竖式法”或“表格发”，但这些方法操作起来往往比较复杂或不易理解。

下面将介绍一种简单有效的分部积分计算方法——口诀法。

在利用分部积分法计算积分问题时，被积函数通常是两个不同类型函数的乘积。

不妨假设这两个不同类型的函数为 U（x）和 V（x），则分部积分口诀公式为：为进一步理解上面公式，我们首先来研究一下选择积分函数的先后顺序。

下面我们来看几个例子。

由例1可以看出，当被积表达式中的 U（x）和 V（x）是由幂函数和三角函数组成时，通常“积”三角函数.由例2可以看出，当被积表达式中的 U（x）和V（x）是由幂函数和对数函数组成时，通常“积”幂函数.有些积分需要接连应用几次分部积分法才能完成.由例3可以看出，当被积表达式中的 U（x）和V（x）是由幂函数和eax（指数函数）组成时，通常“积”eax（指数函数）.有些积分在接连使用几次分部积分后，会出现与原来积分相同类型的项，经过移项合并后，可得所求积分.由例4可以看出，当被积表达式中的 U（x）和 V（x）是由eax（指数函数）和三角函数组成时，通常“积”eax（指数函数）.总结以上数例，可知凡属于以下类型的不定积分，常可利用分部积分来计算：（其中k，m为自然数）.选择积分的先后顺序为：eax（指数函数），三角函数，幂函数，对数函数下面对口诀公式给出进一步说明：即在 U（x）和 V（x）中，如果有eax（指数函数）先积eax（指数函数）；没有eax（指数函数），先积三角函数；既没有eax（指数函数），又没有三角函数，则积幂函数。

巧记分部积分法

笔者通过实践，发现用上述方法讲授分部积分法，学生有了方法可
循．时少，牛很容易掌樨．日不易出错用学而
：
￣ｒ：』ｃｘａｎ等（ａ）ｃｒａｎｔａｒｔ
２１ｒ，１、
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参考文献［］１吴赣昌高等数学（＿－－ｚ类第四版上册）Ｍ］北京：￣－Ｙ［中国人民大学出版社，１．２１０［］２关赣昌．积分（管类类第三版）Ｍ］北京：微经［中国人民大学出
版社．０９２０
专ｒｎ专卜南ｊａａ＂ｊｃＪｔ－ｌ出
盖息
高校理科研究
Ｉｉ分部积分法５２
昆明理工大学津桥学院建筑艺术及工学系任献花
［摘
郝冰陈付彬
要】分部积分法是大学高等数学教学的一个重点，也是学生学习的难点。本文给出了使用分部积分法的口诀，并结合实例讨论
了该口诀的实用性。
［关键词］分部积分法口诀直接把山看成幽分部积分公式对学生来说非常简单，但是如何熟练地用分部积分法来求积分对大多数独立学院的学生来说却是难点。运用分部积分公对于被积函数中只含有ａｃｉ￣ａｃｏ．ａｃａ３、ｒｃｌ２、ｒｓｎ ’、ｒｃｓ７、ｒｔｎ＂ａｃｏ７ｌａ、ｉ（３、ｏ（ｘ等函数的不定积分ｎ ’ ｓＩ－ｃｓ１）ｎｎ）ｎ由于被积函数只有一个嘲数，可以考虑直接把ｄｘ看成幽。
一

实用多次分部积分法

实用多次分部积分法分部积分法是微积分中的基本技巧之一，它用于求解含有乘积项的积分，也是解决一些复杂积分的重要工具。

但是，有时候单次分部积分法并不能直接得到积分的解析式，需要多次分部积分才能得到答案。

本文将介绍实用多次分部积分法，以及一些常见的例子。

一、基本分部积分法首先，我们回顾一下基本分部积分法。

对于两个可导函数u(x)和v(x)，其积分的分部积分公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)是被积函数中的“内函数”，v'(x)是被积函数中的“外函数”。

这个公式的思想是将一个积分转化为另一个积分，从而简化计算。

例如，对于积分：∫xsinxdx我们可以将其写成：∫xsinxdx = x∫sinxdx - ∫(x)'∫sinxdx dx= x(-cosx) - ∫(-cosx)dx= -xcosx + sinx + C其中，C是常数项。

二、二次分部积分法当基本分部积分法不能直接得到积分解析式时，我们可以使用二次分部积分法。

这种方法的思路是，通过多次分部积分，将被积函数中的某些项转化为可以直接求解的项，从而简化计算。

例如，对于积分：∫x^2e^xdx我们可以选择u(x) = x^2，v'(x) = e^x，然后使用分部积分公式：∫x^2e^xdx = x^2e^x - ∫2xe^xdx现在，我们需要再次使用分部积分，将∫2xe^xdx转化为可以直接求解的形式。

选择u(x) = 2x，v'(x) = e^x，然后使用分部积分公式：∫2xe^xdx = 2xe^x - ∫2e^xdx将这个结果代入上一个式子中，得到：∫x^2e^xdx = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C= (x^2 - 2x + 2)e^x + C其中，C是常数项。

三、三次分部积分法有些情况下，二次分部积分法仍然无法得到积分的解析式，需要使用更高次的分部积分法。

关于分部积分计算需要注意的几点

关于分部积分计算需要注意的几点1. 引言1.1 分部积分的定义分部积分是微积分中的基本概念之一，它是对一个积分式的乘积进行分解，以便更容易求解的方法。

在分部积分中，我们将积分式中的一个因数看作是导数，另一个因数看作是原函数，通过这种方式可以将原本复杂的积分式简化为更容易计算的形式。

分部积分的定义可以通过以下公式表示：\int u dv = uv - \int v duu和v是可微的函数，du和dv分别是u和v的微分。

这个公式在实际应用中非常有用，可以帮助我们解决各种类型的积分问题。

掌握分部积分的定义和基本原理是学习微积分的重要一步，它能帮助我们更好地理解积分的概念和方法，同时也可以应用到各种实际问题中。

通过熟练掌握分部积分的定义和基本原理，我们可以更高效地解决复杂的积分计算问题，提升数学求解能力。

1.2 分部积分的基本原理分部积分的基本原理是一种计算积分的方法，通过将一个积分拆分成两个函数相乘后再对其中一个函数求导，从而简化原积分的计算过程。

这个方法本质上是积分与导数的反向操作，即将难以直接积分的函数通过求导得到一个更简单的形式，再进行积分。

在应用分部积分时，需要选择一个函数作为“u”，另一个函数作为“dv”，然后根据分部积分公式进行计算。

分部积分的基本原理可以帮助我们解决一些复杂的积分问题，特别是当积分中包含多个函数相乘时。

通过不断应用分部积分，可以逐步简化复杂的积分，最终得到解析形式的结果。

掌握分部积分的基本原理对于求解一些特定形式的积分问题是非常重要的，同时也有助于我们理解积分与导数的关系，深化对微积分的理解。

在学习分部积分时，要深入理解其基本原理，并灵活应用于具体问题的求解中。

2. 正文2.1 分部积分的常见形式分部积分是微积分中的重要概念之一，常常用于求解复杂的定积分或不定积分。

在实际应用中，我们经常会遇到各种形式的分部积分，因此需要对其常见形式有所了解。

1. 乘积形式：最基本的分部积分形式就是两个函数的乘积形式，即\int u \cdot v dx = u \cdot \int v dx - \int u'(\int v dx) dx。

分部积分法

分部积分法是种积分的技巧。

它是由微分的乘法定则和微积分基本定理推导而来的。

其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。

规则假设与是两个连续可导函数. 由乘积法则可知对上述等式两边求不定积分,得移项整理,得不定积分形式的分部积分方程由以上等式我们可以推导出分部积分法在区间的定积分形式已经积出的部分可以代入上下限表示为以下等式，而以上这条等式可以通过函数求导乘积法则，以及微积分基本定理通过以下方式倒推并得以验证在传统的微积分教材里分部积分法通常写成不定积分形式:如果更简单些, 令, , 微分和, 就可以得到更常见到的形式:注意，上面的原式中含有g的导数; 在使用这个规则时必须先找到不定积分g, 并且积分必须是可积的. 在级数的离散分析中也可以用到类似的公式表达, 称为分部求和. 另一可用的表达方式可以将原表达方式里的因子仅写成f和g, 但缺点是引进了镶套积分:这个表达方式只有当f是连续可导而且g是连续是才有效.在黎曼-斯蒂尔吉斯积分和勒贝格-斯蒂尔吉斯积分有更多分部积分的公式.提示: 部分积分下面这样更复杂一点的积分运算里也是有效的:[编辑] 例题用分部积分法求积分:先设:u= x, 故du = dx,dv= cos(x) dx, 故v = sin(x).代入原积分:这里C是任意积分常数.连续使用分部积分可以求解这类积分:每次分部积分后x的幂减低1次.下面这个例子需要用点技巧:和其他例题不同的是分部积分之后得出的结果里含有要求解的积分式, 在这时不必再按积分做下去.此题要使用两次分部积分.先令:u= cos(x); 故du= −sin(x) dxd v =e x dx; 故v = e x于是有:对余下的积分式再用分部积分, 设:u= sin(x); d u = cos(x) dxv= e x; dv = e x dx得到:把两次分部积分的结果合在一起:注意, 要求解的积分式同时出现在等式两边. 我们只要把它移到等式一边就可以得到积分结果:同样, C在这里是积分常数.同样的技巧用在求解正割函数的立方的积分里.另外两个很有用的分部积分范例是分布积分法用在函数本身和1的乘积. 这里的前提是函数的导数是已知的,而且这个导数和x的乘积的积分已知.第一个范例是∫ ln(x) d x.我们把它写成:设:u= ln(x); d u = 1/x d xv= x; d v = 1·d x于是:同样, C 是积分常数.第二个范例是∫ arctan(x) d x, 这里arctan(x) 是反三角函数.成重写入下:令:u= arctan(x); d u = 1/(1+x2) d xv= x; d v = 1·d x代入后有:其中用到换元积分法和自然对数积分.[编辑] ILATE 约法用分部积分法时选择哪个函数为u哪个为dv很要紧，ILATE约法给出一个简单的选择u的方法:I: 反三角函数: arctan x, arcsec x, etc.L: 对数函数: ln x, , etc.A: 代数函数: , , etc.T: 三角函数: sin x, tan x, etc.E: 指数函数: , , etc.u确定后，另一个函数自然是dv. ILATE这个口诀代表优先选择的顺序。

分部积分法顺序口诀

分部积分法顺序口诀对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。

一、口诀“反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。

将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。

（分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。

）反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领当出现两种函数相乘时指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算而反三角函数不需要动再具体点就是：反*对->反(对)反*幂->反(幂)对*幂->对(幂)二、相关知识（一）不定积分的公式1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-13、∫1/x dx = ln|x| + C4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠15、∫e^x dx = e^x + C6、∫cosx dx = sinx + C7、∫sinx dx = - cosx + C8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C（二）求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

分部积分法顺序口诀

不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。

根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。

分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。

5本词条无参考资料, 欢迎各位编辑词条，额外获取5个金币。

基本信息中文名称分布积分法外文名称Integration by parts目录1定义2应用折叠编辑本段定义不便于进行换元的组合分成两部份进行积分部积分法分部积分法分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。

根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。

分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。

折叠编辑本段应用在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。

原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv移项后，成为：udv = d(uv) -vdu两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。

在定积分上的应用与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a=[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a=[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。

分部积分法的解题方法浅析

分部积分法的解题方法浅析作者：刘风云来源：《新一代》2017年第14期摘要：分部积分法是计算积分的重要方法之一。

本文以不定积分为例，介绍了分部积分法的几种方法，包括口诀法和列表法，以帮助学生在使用分部积分法计算积分时较快速的确定u和dv，从而达到解题的目的。

关键词：不定积分；分部积分法；口诀法；列表法微分学和积分学是微积分的两大主要内容。

对于积分的计算方法，常用的有公式法、第一换元法（即凑微分法）、第二换元法和分部积分法。

其中，分部积分法是乘积微分公式的逆运算，主要针对于两个不同类型的函数乘积的积分。

但是对于如何选取u和dv，很多学生却难以掌握从而导致积分失败。

本文结合自己的教学经验，谈一谈在使用分部积分法时的一些解题技巧。

一、分部积分公式（1）和（2）式叫做分部积分公式。

当积分∫udv不易计算，而积分∫vdu比较容易计算时，就可以使用这个公式。

分部积分法的关键在于选取u和dv，如果选取不当，极有可能使得积分的计算更加复杂。

一般说来分部积分法对于u和dv的选取原则是：（1）v要容易求出来；（2）∫vdu 比∫udv容易计算。

二、口诀法分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，而基本初等函数共有六大类，除常数函数外，还包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数（以下简称幂、指、对、三、反）。

我们发现，指数函数和三角函数的导数仍是指数函数和三角函数；幂函数的导数仍是幂函数，但阶数会降低；而对数函数和反三角函数的导数则变了类型。

由此可得在使用分部积分法计算积分时选取u和dv的优先级顺序：反对幂三指，在前者为u。

在计算积分时按照此口诀即可达到事半功倍的效果。

具体计算步骤为：（一）分拆。

将被积函数分拆为两个函数的乘积，若该两个函数是不同类型的则可用分部积分法；（二）判断。

判断两个函数分属哪种类型；（三）选取。

按照口诀确定u；四、总结分部积分法在使用时限制比较大，并且往往需要结合其他积分方法使用。

分部积分法顺序口诀

1.有关不定积分用分部积分法做不定积分,有个口诀叫反对幂指三,这个口诀是指的是遇到不定积分，用分部时，按照反对幂指三的顺序来处理，就是类似与加减乘除中，如果同时出现，就先乘除后加减，被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。

2.所谓的“反对幂指三”：反三角函数,对数函数,幂函数,指数函数,三角函数.说明白点就是这五种函数都可以在分部积分法中当做是v`（x）dx中的v`(x).因为将它们五种函数放到d中很容易,一般ln, log, e, 和tan, sec, cos, sin，cot, cosec的单数幂的时候优先考虑分部
3.被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。

分部积分法

分部积分法
是微积分中的一类积分办法。

对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行
换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。

定积分的分部积分法公式是（uv）'=u'v+uv'，代入∫u'vdx=uv-∫uv'dx，得u'v=（uv）'-uv'，即∫u'vdx=uv-∫uv'dx。

的定分数就是分数的一种，就是函数在区间上分数和的音速。

一个函数，可以存有不
定积分，而不存有的定分数；也可以存有的定分数，而不存有不定积分。

一个连续函数，
一定存有的定分数和不定积分；若只有非常有限个间断点，则的定分数存有；若存有弹跳
间断点，则原函数一定不存有，即为不定积分一定不存有。

分部积分，integral by parts，是适用于三种情况的积分方法： 1、可以逐步降低
幂次的积分例如：∫x?sinxdx = -∫x?dcosx = -x?cosx + 4∫x3cosxdx + c 这样一来，x 的幂次就降低了，以此类推，就积出来了。

2、可以将对数函数转化成代数函数的积分
例如：∫x3lnxdx = (1/4)∫lnxdx? = (1/4)x?lnx - (1/4)∫x3dx + c 这样一来，lnx
就消失了，就轻而易举地可以积出来了。

3、可以将积分过程当成解代数方程一样解的积
分例如∫(e^x)sinxdx∫(e^x)cosxdx∫(e^-2x)sin3xdx、∫(e^-4x)cosxdx。

微积分分部积分法

分部积分法分部积分法是一个特别的积分方法，最适用于积分两个函数的积，但在其他的情况下也会有用。

下面会有很多例子，但我们先来看看法则：∫u v dx = u∫v dx −∫u' (∫v dx) dxu 是函数 u(x)v 是函数 v(x)图：我们现在看一个例子：例子：∫x cos(x) dx 是什么？这是 x乘以cos(x)，所以应该可以用分部积分法。

我们需要先选择哪个函数为 u 和 v：u = xv = cos(x)格式和法则里一样了：∫u v dx求 u 的积分：u' = x' = 1求 v 的积分：∫v dx = ∫cos(x) dx = sin(x)（见积分法则）放进法则里：简化，然后解：x sin(x) − ∫sin(x) dxx sin(x) + cos(x) + C步骤是：选 u 和 v求 u 的积分：u'求 v 的积分：∫v dx代入 u, u' and ∫v dx 到：u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx简化，然后解用文字写出来，∫u v dx 是：（u 积分 v）减（u 的倒数，v 的积分）的积分再看几个例子：例子： ∫ln(x)/x2 dx 是什么？先选 u 和 v：u = ln(x)v = 1/x2求 u 的积分：ln(x)' = 1/x求 v 的积分：∫1/x2 dx = ∫x-2 dx = −x-1 = -1/x （基于幂次方法则）放进法则里：简化：−ln(x)/x − ∫−1/x2 dx = −ln(x)/x − 1/x + C−(ln(x) + 1)/x + C例子：∫ln(x) dx 是什么？只有一个函数！我们怎样选 u 和 v ?没问题！我们选 v 为 "1"：u = ln(x)v = 1求 u 的积分：ln(x)' = 1/x求 v 的积分：∫1 dx = x放进法则里：简化：x ln(x) − ∫1 dx = x ln(x) − x + C例子： ∫e x x dx 是什么？选 u 和 v：u = e xv = x求 u 的积分：(e x)' = e x求 v 的积分：∫x dx = x2/2放进法则里：糟了！越来越复杂！如果我们选不同的 u 和 v 呢？例子：∫e x x dx （续）选不同的 u 和 v：u = xv = e x求 u 的积分：(x)' = 1求 v 的积分：∫e x dx = e x放进法则里：简化：x e x − e x + Ce x(x−1) + C故事的寓意是：小心选 u 和 v！选一个微分后比较简单的 u 和积分后不会更复杂的 v。

分部积分列表法

分部积分列表法一、什么是分部积分列表法分部积分列表法是微积分中的一种计算积分的方法。

在应用分部积分法时，我们通常会遇到一些复杂的积分，无法直接计算。

这时，我们可以将积分分解为多个部分，然后对每个部分进行积分计算，最后再将结果相加得到最终的积分值。

二、分部积分列表法的基本原理分部积分法是基于积分的乘法法则进行推导的。

根据积分的乘法法则，对于两个函数f(x)和g(x)，有以下公式：∫f(x)g’(x)dx = f(x)g(x) - ∫f’(x)g(x)dx这个公式就是分部积分公式，也是应用分部积分法的基本原理。

通过反复应用这个公式，我们可以将一个复杂的积分问题分解为多个简单的积分问题。

三、分部积分列表法的步骤使用分部积分列表法求解积分问题的步骤如下：步骤一：确定分部积分的顺序对于一个复杂的积分问题，我们需要确定分部积分的顺序。

通常，我们选择的顺序是使得每次进行分部积分后，被积函数的形式能够简化或者消除。

步骤二：列出分部积分的列表根据确定的分部积分顺序，我们将每一步的积分计算列为一个列表。

列表的顺序应与分部积分的顺序一致。

步骤三：计算每一步的积分对于列表中的每一项，我们按照分部积分公式进行计算。

每次计算后，我们将结果填入列表中，作为下一步计算的基础。

步骤四：重复步骤三，直至得到最终结果通过反复应用分部积分公式，我们将逐步简化原始的积分问题，直至得到最终的结果。

在每一步计算中，我们可以根据需要选择适当的化简方法，如代数化简、换元法等。

四、分部积分列表法的应用示例下面通过一个具体的例子来说明分部积分列表法的应用。

例：计算∫x^2cos(x)dx步骤一：确定分部积分的顺序我们选择x^2作为f(x)，cos(x)dx作为g’(x)。

步骤二：列出分部积分的列表步骤f(x) g’(x)1 x^2 cos(x)2 2x -sin(x)3 2 -cos(x)4 0 -sin(x)步骤三：计算每一步的积分根据分部积分公式，我们可以得到每一步的积分结果：步骤f(x) g’(x)∫f(x)g’(x)dx1 x^2 cos(x) x^2sin(x)2 2x -sin(x) -2xcos(x)3 2 -cos(x) -2sin(x)4 0 -sin(x) 0步骤四：重复步骤三，直至得到最终结果将每一步的积分结果相加，得到最终的积分结果：∫x^2cos(x)dx = x^2sin(x) - 2xcos(x) - 2sin(x) + C其中C为常数项。

分部积分法

分部积分法
分部积分法是微积分中的一种方法，用于求解一个函数的积分。

它基于乘积法则，可以将被积函数分解成两个函数的乘积形式，然后对其中一个函数求导，另一个函数求积分，从而将原本难以求解的积分转化成一个更易于求解的积分式子。

具体而言，设有两个函数f(x) 和g(x)，则根据乘积法则，它们的乘积的导数为f(x)g'(x) + g(x)f'(x)。

根据分部积分法，我们可以将被积函数拆分成这样的形式，然后对其中一个函数求导，同时对另一个函数求积分。

通常情况下，我们会选择一个函数f(x) 求导，另一个函数g(x) 求积分，这样我们就能够将原本难以求解的积分转化成一个更易于求解的积分式子。

分部积分法的具体公式为：
∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x)dx
其中，f(x) 和g(x) 分别为两个函数，g'(x) 和f'(x) 分别为它们的导数。

需要注意的是，分部积分法并不能解决所有的积分问题，但在很多情况下都能够起到很好的作用。

在使用分部积分法时，我们需要灵活运用，选择合适的分解形式和函数求导、积分的顺序，以便最终求得正确的积分结果。

高等数学分部积分法

所以
ex sin x ex cosx ex sin xdx ,
eHale Waihona Puke xsinxdx
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
.
分部积分过程：uvdx udv uv vduuv uvdx .
例例88 求 sec3 xdx .
解因为
sec3 xdx sec xsec2 xdx sec xd tan x sec x tan x sec x tan2 xdx sec x tan x sec x(sec2 x 1)dx
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
分部积分过程：uvdx udv uv vduuv uvdx .
例例11 xcosxdx xd sin x xsin x sin xdx
x sin xcos xC .
例例22 xexdx xdex xex exdx xex ex C .
2 xe x 2e x C 2e x ( x 1)C .
•可用分部积分法的积分小结 (1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积:
xcosxdx , xexdx , x2exdx
(2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积:
xln xdx , arccosxdx , xarctan xdx
§4.3 分部积分法
•分部积分公式
设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么,
(uv)uvuv,
移项得
uv(uv)uv.
对这个等式两边求不定积分, 得
uvdx uv uvdx ,或 udv uv vdu ,
这两个公式称为分部积分公式. •分部积分过程
uvdx udv uv vduuv uvdx .

分部积分法应用的总结

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分部积分法应用的总结
作者：周宏辉
来源：《中国校外教育·理论》2009年第06期
[关键词] 高等数学教学分部积分法凑微分法
∫udv=uv-∫vdu称为分部积分公式,它可以将求∫udv的积分问题转化为求∫vdu的积分,当后者这个积分较容易时,分部积分公式就起到了化难为易的作用。

由此可见,用好分部积分法关键是恰当地选择好u和dv,一般要考虑如下两点:
1.V要容易求得(可用凑微分法求出);
2.∫vdu是要比∫udv容易积出。

当我们所求的积分需要用分部积分公式时,其大部分形式为∫f(x)•g(x)dx,而不是∫udv。

这就需要我们通过凑微分法把f(x)•g(x)dx化成f(x)dv或g(x)dv的形式。

那么怎样求得dv?才能使分部积分更容易。

我们总结出这样一个规律,我们把f(x)、g(x)分成为eax、三角函数、指数函数、幂函数(多项式也可)、反三角函数、对数函数,并以以上次序来使用凑微分法得到dv。

分部积分的方法

分部积分的方法
分部积分的方法是将一个复杂函数分解为两个或多个简单的函数，然后分别对它们进行积分，最终得到原函数的积分结果。

这种方法的核心思想是利用微分定理和积分定理之间的关系，将一个复杂函数的积分问题转化为多个简单函数的积分问题。

具体步骤如下：
1. 确定被积函数和积分限。

2. 将被积函数分解为简单函数和幂函数。

3. 对简单函数和幂函数进行积分。

4. 将积分结果相乘，得到原函数的积分结果。

通过分部积分法，可以将复杂的定积分问题转化为简单的问题，从而加快计算速度和提高准确性。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的分部积分方法，并注意计算的准确性。

分部积分法

或

u d v uv v d u

解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为 u 后者为 v. 例5. 求解: 令 u arccos x , v 1 , 则
反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数
1 1 2 则 u , v x x 2 1 1 2 原式 = x ln x x dx 2 2
1 2 1 2 x ln x x C 2 4
例5. 求 x arctan x d x .
解: 令 u arctan x , v 1 1 2 u , 则 2 v x
x
1 x 2 2 1 x 1 2 d x x arctan x 2 ∴ 原式 2 2 1 x 1 1 1 2 ) d x x arctan x (1 2 2 1 x2 1 2 1 x arctan x ( x arctan x ) C 2 2

u v d x uv v u d x
2

u v d x uv v u d x

或

u d v uv v d u

例1. 求解: 令则
u x , v cos x ,
∴
u 1 , v sin x 原式 x sin x sin x d x x sin x cos x C
2
x
继续使用分部积分法令 u x，dv e x dx ，则du dx，v e x
则
2 x x x d x 2 [ x x e e e dx ] x e
2 x

分部积分法的二个经验

分部积分法

分部积分法的使用技巧

利用口诀计算分部积分的方法

巧记分部积分法

实用多次分部积分法

关于分部积分计算需要注意的几点

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分部积分法顺序口诀

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分部积分法的解题方法浅析

分部积分法顺序口诀

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微积分 分部积分法

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分部积分法应用的总结

分部积分的方法

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