二重积分的分部积分公式与格林公式
《数学分析》第二十一章 二重积分 3
解
记 L 所围成的闭区域为 D ,
x y , , Q= 2 令P = 2 2 2 x +y x +y y2 x2 Q P 2 2 . 则当 x + y ≠ 0 时, 有 = 2 = 2 2 x ( x + y ) y
y
(1) 当( 0, 0) D 时,
L
D
xdy ydx =0 由格林公式知 ∫LBCDAB 边界: 内边界:EGFE 边界:
o
D
E
C
G
F
A
B
x
�
公式(1)叫做格林公式. 公式(1)叫做格林公式. (1)叫做格林公式
(1)
L1 L1
D
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时 区 总在他的左边. 域D总在他的左边 总在他的左边
y
证明(1) 证明(1)
若区域 D 既是 X 型 又是Y 型,即平行于 即平行于 坐标轴的直线和 L 至 多交于两点. 多交于两点
y2
,
Q P y2 =e , 则 x y
应用格林公式, 应用格林公式,有
∫∫ e D
y2
dxdy =
y2
xe ∫ + BO OA + AB
1 0
y2
dy
= ∫ xe
OA
dy = ∫ xe
x2
dx
1 1 = (1 e ). 2
xdy ydx 为一条无重点, 例 3 计算 ∫ ,其中 L 为一条无重点, 2 2 L x + y 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方
二重积分的几种计算方法[1]
![二重积分的几种计算方法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/09172ebb65ce05087632137f.png)
k 例 5: 计 算 e- y 2 dx dy , 其 中 D 是 以 O( 0, 0) , D
A ( 1, 1) , B( 0, 1) 为顶点的三角形闭区域。
k 分析: 二重积分 e- y2 dx dy 不管利用直角坐标 D
Q 还是极坐标计算, 都有 e- y2 dy 不能用初等函数表示
第 29 卷第 5期 2 0 1 1年 9 月
西安航空技术高等专科学校学报
Journal of Xi. an Aer ot echnical College
V ol1 2 9 N o1 5 Sept . 2 0 1 1
二重积分的几种计算方法
常彦妮1, 李 华2
( 1. 南阳师范学院 数学与统计学院, 河南 南阳 473061; 2. 西安航空技术高等专科学校 基础部, 陕西 西安 710077 )
[ 6] 崔宝同, 等. 数学分析的理论与方法[ M ] . 上 海: 科学 技 术文献出 版社, 1990.
[ 7] 梅顺治, 刘福贵. 高等数学方法与应用[ M ] . 北京: 科 学 出版社, 2000.
[ 8] 钱吉 林. 数 学 分 析 题 解 精 粹 [ M ] . 北 京: 崇 文 书 局, 2003: 493- 522. [ 责任编辑、校对: 李小光]
连续偏导数, 且满足
f ( x, y)
=
5Q( x , 5x
y)
-
5P ( x , y ) 5y
于是利用格林公式可把二重积分化为定积分:
k k f ( x , y) dx dy =
5Q 5x
-
5P 5y
dxdy
D
D
Q = P ( x , y ) dx + Q( x , y ) dy L B
二重积分表达式
二重积分表达式一、二重积分的概念与意义二重积分是指在二维空间中，对一个函数f(x,y)关于某一区域进行积分。
它可以用来求解空间函数在某一区域内的累积量，或者表示空间函数在某一区域内的分布情况。
二重积分是数学中的重要概念，它在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
二、二重积分的表达式二重积分的表达式为：∫∫f(x,y)dxdy（区域限定）其中，f(x,y)表示二维空间中的函数，dxdy表示在x和y方向上的微小面积元。
在进行二重积分计算时，我们需要确定积分的区域。
三、二重积分的计算方法1.重积分法：将二重积分转化为两个单重积分，分别对x或y进行积分，再将结果相加。
2.替换法：将二重积分中的某个变量用另一个变量表示，从而简化积分过程。
3.分区法：将积分区域划分为若干子区域，对每个子区域进行积分，然后求和。
4.坐标旋转法：通过旋转坐标系，将复杂函数转化为简单函数，进而简化积分过程。
四、实例分析假设我们要求解以下二重积分：∫∫(x^2 + y^2) dxdy（在单位圆内）我们可以将单位圆视为x^2 + y^2 = 1的图形，然后利用替换法，令x = cosθ，y = sinθ，得到：∫∫(cos^2θ + sin^2θ) dθdθ = ∫∫1 dθdθ进一步化简，得到：∫∫dθdθ = ∫0π∫02π dθdθ = 2π所以，原二重积分的值为2π。
五、二重积分在实际应用中的重要性二重积分在实际应用中具有重要作用，例如：1.在物理学中，二重积分用于求解物体在二维空间内的质心、惯性矩等物理量。
2.在工程领域，二重积分用于计算桥梁、塔架等结构的受力分析。
3.在经济学中，二重积分可以用于分析市场需求、价格与消费之间的关系。
4.在地球物理学中，二重积分用于研究地球内部的构造和地质演化。
总之，二重积分作为一种数学工具，在科学研究和实际应用中具有广泛的价值。
§9.2二重积分的计算
重积分、曲线积分、曲面积分
重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。
对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。
若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。
性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。
5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。
二重积分常用公式
二重积分常用公式二重积分是数学分析中的一个重要概念，在很多实际问题中都有着广泛的应用。
那咱们就来好好聊聊二重积分常用的公式。
还记得我读大学的时候，有一次参加数学建模比赛。
题目是要计算一个不规则物体的体积，这个物体的形状非常复杂，用常规的方法根本无法求解。
当时我们小组几个人都急得像热锅上的蚂蚁，到处翻书找资料。
后来我们发现，如果把这个问题转化为二重积分的形式，或许就能找到解决办法。
我们先确定了积分区域，也就是这个物体在平面上的投影范围。
然后根据物体的高度函数，建立了二重积分的表达式。
可是，一开始我们总是在公式的运用上出错，不是积分限弄错了，就是被积函数搞错了。
经过反复的讨论和尝试，我们终于找到了正确的公式和计算方法。
当我们算出那个准确的体积时，那种兴奋和成就感简直无法用言语来形容。
咱们先说直角坐标系下的二重积分公式。
如果积分区域是 X 型区域，也就是可以表示为a≤x≤b，φ₁(x)≤y≤φ₂(x)，那么二重积分可以表示为∫∫f(x,y)dxdy = ∫ₐᵇ[∫₍φ₁(x)₎ᵍ(φ₂(x)) f(x,y)dy]dx 。
要是积分区域是 Y 型区域，也就是可以写成c≤y≤d，ψ₁(y)≤x≤ψ₂(y)，那么二重积分就是∫∫f(x,y)dxdy = ∫ₑᵈ[∫₍ψ₁(y)₎ᵍ(ψ₂(y)) f(x,y)dx]dy 。
在极坐标系下，也有相应的二重积分公式。
如果积分区域是用极坐标表示的，比如α≤θ≤β，r₁(θ)≤r≤r₂(θ)，那么二重积分就可以写成∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ = ∫ₐᵦ[∫₍r₁(θ)₎ᵍ(r₂(θ)) f(rcosθ,rsinθ)rdr]dθ 。
这里要特别注意，在使用极坐标计算二重积分的时候，要把被积函数和面积元素都转化为极坐标的形式。
比如说，要计算一个圆形区域上的二重积分，用极坐标就会方便很多。
因为在直角坐标系下，这个积分区域的边界方程会比较复杂，但是在极坐标系下，圆形区域就可以很简单地表示出来。
二重积分的计算方法
练习题
一 、 计 算
1、Dyx3dxd,D y:x2y21,0y 2 3x。
2、将二重积分 f (x, y)d ,其中D 是由直线
D
y x, x 2及双曲线y 1(x 0)所围成的闭区 x
域,化为先对x 后对y 的二次积分.
3、将二次积分
dx
sinx x
f
(x,
y)dy改换积分次序。
0
解 先去掉绝对值符号，如图
yx2d
D3
D
D1
(x2 y)d(yx2)d
D2
D1D2
D3
1 dx x 2 (x 2 y )d y 1 d1 x (y x 2 )d y 11 .
1 0
1 x 2
15
谢谢观赏
用平面x=x0截立体，
z
截得A(x0). 应用计算
“平行截面面积为
zf(x,y)
已知的立体求体积” y
A(x0 )
的方法,
y2(x)
x
b x0 a
得
f(x,y)dxd b dyx 2(x)f(x,y)d.yy1(x)
D
a 1(x)
注意D的特殊之处。
如果积分区域为：axb, 1 (x )y2 (x ).
［Y－型］
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d.x
D
c 1(y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
对非X、Y型区域
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
计算二重积分的几种方法
计算二重积分的几种方法摘要 二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法.关键词 二重积分 累次积分法 对称性 分部积分法1 引言本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。
职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。
在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。
2 积分的计算方法2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ∀∈，定积分()(),dcI x f x y dy =⎰存在，则累次积分(),bd a c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰也存在，且(,)(,)b da c Rf x y dxdy f x y dy dx⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是011011i i n k k m a x x x x x bc y y y y yd --=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<==<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=这个分法记为T .于是，分法将T 闭矩形域R 分成m n ⨯个小闭矩形，小闭矩形记为11(,),1,2,,;1,2,,.ik i i k k R x x x y y y i n k m --≤≤≤≤=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅设(){}(){}[]1sup ,,inf ,.,ik ik i i i M f x y m f x y x x ξ-==∀∈，有()1,,ik i ik k k m f y M y y y ξ-≤≤≤<.已知一元函数(),i fy ξ在[]1,k k y y -可积，有()11,,kik k i ik k k k k k m y f y dy M y y y y ξ--∆≤≤∆∆=-⎰.将此不等式对1,2,k m =…相加，有()1111,k k mmmy ikk i ik k y k k k my f y dy M y ξ-===∆≤≤∆∑∑∑⎰，其中()()()11,,k k my di i i y ck f y dy f y dy I ξξξ-===∑⎰⎰，即()11mmik k i ik k k k m y I M y ξ==∆≤≤∆∑∑.再将此不等式乘以i x ∆，然后对1,2,i n =…相加，有()11111nmnnmik i k i i ik i k i k i i k m x y I x M x y ξ=====∆∆≤∆≤∆∆∑∑∑∑∑.此不等式的左右两端分别是分法T 的小和()s T 与大和()S T ，即 ()()()1niii s T I xS T ξ=≤∆≤∑. (1)已知函数(),f x y 在R 可积，根据定理有 ()()0lim lim (,),T T RS T s T f x y dxdy →→==⎰⎰又不等式（1），有()()01lim,niiT i RI x f x y dxdy ξ→=∆=∑⎰⎰，即()()(),,.b b da a c Rf x y dxdy I x dx f x y dy dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰类似地，若(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],,y c d ∀∈定积分存在，则累次积分(),db ca f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，也存在，且()(),,db ca Rf x y dxdy f x y dx dy ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.也可将累次积分(),bda c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(),db ca f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰分别记为(),bdacdx f x y dy ⎰⎰和(),dbcadx f x y dy ⎰⎰.定义 1 设函数()()12,x x ϕϕ在闭区间[],a b 连续；函数()()12,y y ψψ在闭区间[],c d 连续，则区域()()()[]{}12,,,x y x y x x a b ϕϕ≤≤∈和()()()[]{}12,,,x y y x y y c d ψψ≤≤∈分别称为x型区域和y 型区域.如下图（1）和（2）所示 .定理2 设有界闭区域R 是x 型区域，若函数(),f x y 在R 可积，且[],x a b ∀∈，定积分()()()21,x xf x y dy ϕϕ⎰存在，则累次积分()()()21,bx a xdx f x y dy ϕϕ⎰⎰也存在，且()()()()21,,bx ax Rf x y dxdy dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰⎰⎰.利用极坐标计算二重积分公式：()(),cos ,sin RRf x y dxdy f r r rdrd ϕϕϕ=⎰⎰⎰⎰例1 计算二重积分()sin Rx y dxdy +⎰⎰，其中0,0.22R x y ππ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭ 解 被积函数()cos x y +在R 连续，则有()cos Rx y dxdy +⎰⎰=()220cos dy x y dx ππ+⎰⎰=220(cos cos sin sin )dy x y x y dx ππ-⎰⎰=()20cos sin y y dy π+⎰= 1+01-例2 计算二重积分22Dx dxdy y⎰⎰，其中D 是由直线2,x y x ==和双曲线1xy =所围成，D 既是x 型区域又是y 型区域，如图（3）所示.解 先对y 积分，后对x 积分.将D 投影在x 轴上，得闭区间[]1,2.[]1,2x ∀∈,关于y 积分，在D 内y 的积分限是1y x=到y x =，然后在投影区间[]1,2上关于x 积分，即 ()222231221194x x Dx x dxdy dx dy x x dx y y ==-=⎰⎰⎰⎰⎰. 先对x 积分，后对y 积分.因为D 的左侧边界不是由一个解析式给出，而是由两个解析式1xy =和y x =给出的，所以必须将图（3）所示的区域D 分成两个区域()1D PRS 与()2D PRQ ，分别在其上求二重积分，然后再相加，即2122222122211222221294y y DD D x x x x x dxdy dxdy dxdy dy dx dy dx y y y y y =+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.例3 设函数()f x 在[]0,1上连续，并设()2,f x dx B =⎰求()()22.xI dx f x f y dy =⎰⎰解 因为()()()()2220yxI dx f x f y dy dy f x f y dx==⎰⎰⎰⎰()()()()22yxf y dy f x dx f x dx f y dy==⎰⎰⎰⎰所以()()()()()()2222222xxI f x dx f y dy f x dx f y dy f x dx f y dy B =+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以22B I =.2.2 换元法求二重积分，由于某些积分区域的边界曲线比较复杂，仅仅将二重积分化为累次积分并不能得到计算结果.如果经过适当的换元或变换可将给定的积分区域变为简单的区域，从而简化了重积分的计算.定理3若函数(),f x y 在有界闭区域R 连续，函数组 ()(),,,x x u v y y u v == （2） 将uv 平面上区域'R 变换为xy 平面上区域R .且函数组(2)在'R 上对u 与对v 存在连续偏导数，(),'u v R ∀∈,有()(),0,,x y J u v ∂=≠∂则()()()()',,,,,R R f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （3） 证明 用任意分法T 将区域R 分成n 个小区域：12,,,n R R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12,,,n σσσ∆∆⋅⋅⋅∆.于是，在'R 上有对应的分法'T ,它将'R 对应地分成n 个小区域12',',,'n R R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12',',,'n σσσ∆∆⋅⋅⋅∆.根据定理可得(),'k u v R ∀∈，有 ()()(),','.,k k k x y J u v u v σσσ∂∆≈∆=∆∂(),k k k R ξη∀∈，在'k R 对应唯一一点(),k k αβ，而()(),,,k k k k k k x y ξαβηαβ==.于是，()()()()11,,,,,'.n nkkkkk k k k k k k k f f x y J ξησαβαβαβσ==∆≈∆⎡⎤⎣⎦∑∑ (4)因为函数组（2）在有界闭区域R 上存在反函数组()(),,,u u x y v v x y ==，并且此函数组在R 一致连续，所以当0T →时，也有'0T →.对（4）取极限()0T →，有()()()()',,,,,RR f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰.例 4 计算两条抛物线2y mx =与2y nx =和两条直线y x α=与y x β=所围成R 区域的面积()0,0R m n αβ<<<<，如图（4）所示.解 已知区域R 的面积RR dxdy =⎰⎰.设2,.y yu vx x==这个函数将xy平面上的区域R变换为uv平面上的区域'R，'R是由直线,u m u n==和,v vαβ==所围成的矩形域.()()()()43224222,11.,,2,1x y x y x uu vu v y x y vy yx y x xyx x∂⎛⎫=====⎪∂∂⎝⎭-∂-由定理3可知,()()4',,nmR Rx y uR dxdy dudv dv duu v vβα∂===∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()223322433.26n mn m dvvβαβααβ---==⎰本题是典型的运用换元法解决二重积分求面积的问题。
二重积分定理公式
二重积分定理公式
二重积分公式是f(x,y)≦g(x,y)。
设二元函数z=f（x，y）定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域，并以表示第个子域的面积。
在上任取一点作和。
如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及的取法无关，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即。
这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分区域，称为二重积分号。
二重积分应用
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。
某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分,其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数字。
因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
如函数，其积分区域D是由所围成的区域。
其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。
对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。
格林公式及其应用
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
第二节二重积分的计算方法
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
βα
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
区域特征如图
r = ϕ1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ2 (θ )
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
第二节 二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少， 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 本节介绍一种计算二重积分的方法 二重积分化为二次单积分（定积分） 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。 计算。
z = f (x, y)
o
a
x
x + dx
b
x
a
o
已知平行截面面积 A ( x ) 的立体的体积
α
y
x
b
x
V = ∫a A(x)dx.
b
y
o
x
a
b
x
∵ 当 f ( x , y ) > 0时 , ∫∫ f ( x , y )dxdy 的值等于以 D 为底，以 为底，
D
为曲顶柱体的体积． 曲面 z = f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
21.2.2 格林公式
格林公式本节中的格林公式反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.设区域D 的边界L 是由一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线的正方向规定为:当人沿边界行走时,区域D 总在它的左边.与上述规定的方向相反的方向称LD.L为负方向,记为1. 平面闭曲线的正向与负向2.平面单连通区域设xy 平面有一区域D . 如果任意一条全部含在此区域内的闭曲线都可不经过D 以外的点而连续地收缩到一点，则称此区域为单连通区域，否则称为复连通区域.1D 4D 3D 2D1D 2D 3D 4D 在上图 中, 与是单连通区域, 而与 则是复连通区域.单连通区域也可以这样叙述: D内任一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点. 更通俗地说, 单连通区域就是没有“洞”的区域, 复连通区域则是有“洞”的区域.1D 4D 3D 2D3. xy 平面的 x 型区域与y 型区域称平面点集12{(,)|()(),}D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤为x 型区域(图(a)); 称平面点集12{(,)|()(),}D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤为y 型区域(图(b)).(a)x 型区域Oxcd(b)y 型区域DyO xcdab =2()y y x =1()y y x Dy(a)x 型区域Oxcd(b)y 型区域DyO xcdab =2()y y x =1()y y x Dy这些区域的特点：当 D 为 x 型区域时, 垂直于x 轴的直线 00()x x a x b =<<至多与区域 D的边界交于两点；当 D为 y 型区域时, 直线 00()y y c y d =<<至多与D 的边界交于两点.定理 若函数 (,),(,)P x y Q x y 在光滑或逐段光滑闭曲线L 所围成的有界单连通闭区域 D上有连续的一阶偏导数, 则有d d d ,L D Q P P x Q y x y σ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ (7)这里 L 为取正方向.公式(7)称为格林公式. 证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下两种情形 (i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域(如图(1)), 则可表为作出证明:12()(),,x y x a x b ϕϕ≤≤≤≤又可表为 12()(),.y x y y ψψαβ≤≤≤≤1()y x ϕ=2()y x ϕ=这里和分别为曲线 CAE分别是曲线 和 CBE 的方程. 于是ACBAEB 和 的方程，而1()x y ψ=，2()x y ψ=O x1()x ϕβαAb EaBC2()x ϕyD图 (1)21()()d d d y y DQ Q y x x x βψαψσ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰21((),)d ((),)d Q y y y Q y y yββααψψ=-⎰⎰ (,)d (,)d CBECAEQ x y y Q x y y=-⎰⎰ (,)d (,)d CBEEACQ x y y Q x y y=+⎰⎰(,)d .LQ x y y =⎰同理又可证得d (,)d .LDP P x y x y σ∂-=∂⎰⎰⎰将上述两个结果相加即得d d d .LD Q P P x Q y x y σ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ (ii) 若区域 D 是由一条按段 光滑的闭曲线围成，且可用几段光滑曲线将D 分成有限个既是 x 型又是 y 型的子区域(2)图3L 1D 2L 1L 3D 2D则可逐块按 (i) 得到它们的格林公式, 然后相加即可. 如图(2)所示的区域 D , 可将它分成三个既是 x 型又是 y 型的区域123,,.D D D 于是d D Q P x y σ⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰123d d d D D D Q P Q P Q P x y x y x y σσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰123d d d d d d L L L P x Q y P x Q y P x Q y =+++++⎰⎰⎰d d .LP x Q y =+⎰注1 若 D 由几条闭曲线所围成复连通区域， 如图 (3)所示. 这时可适当添加线段把区域化为 (ii) 的情形来处(3)图1L D3L 2L C ABEF G,,AB CE 理. 在图21-15中添加了 后，,AB D 的边界则由 23,,,,,,AB L BA AFC CE L ECCE 及 构成. 由(ii)知 CGA d D Q P x y σ⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ {}23(d d )ABL BAAFCCEL ECCGAP x Q y =++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()231(d d )L L L P x Q y =+++⎰⎰⎰ d d .LP x Q y =+⎰注2 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是 x y 型又是 型区域的并集, 例如由31sin ,(0,1];1;0;1y x x y x x x=∈=-==所围成的区域便是如此.注3 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:d d d .LDx y PQP x Q y σ∂∂∂∂=+⎰⎰⎰注4(,)(,)Q x y x P x y y ==-若，，则1.2C DI dxdy xdy ydx ==-⎰⎰⎰ 例42222(22)(4).Cxy y dx x x dy x y C a -+-+=⎰ 其中是圆周求，解设C 所围成的区域为D ，由格林公式，222,424,22Q PP xy y Q x x x x x y∂∂=-=-=-=-∂∂，，2(22)(4)C D Q P xy y dx x x dy dxdy x y ⎛⎫∂∂-+-=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 所以222.Ddxdy a π=-=-⎰⎰例52()(2)(,0)y y CI yx e dx xy xe y dy C A a =+++-=⎰计算其中是由点，解22(,0).B a y a x =-=-到点的圆弧B L D A添上有向线段，构成一封闭曲线，所围成的区域为，2,2,.y y y yP Q P yx e Q xy xe y x e y e y x∂∂=+=+-=+=+∂∂，由格林公式和极坐标变换，得()2(2)CBAyyLPdx Qdy Pdx Qdyyx e dx xy xey dy+++=+++-⎰⎰⎰()(sin cos )aDy x dxdy d r r rdrπθθθ=-=-⎰⎰⎰⎰232(sin cos ).3ad r dr a πθθθ=-=⎰⎰()0,BA y y x a x a ==-≤≤的方程为：，2()(2)(00)02.a ay y BAaayx e dx xy xe y dy dx x x dx a --+++-=+⋅+-=⎰⎰⎰ 232()(2)2.3yyCyx e dx xy xe y dy a a +++-=-⎰所以解22.Cxdyydxx yC -+⎰ 其中是光滑的不通过求原点的闭曲线，例6则当022≠+y x 时, 有yPy x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(.(1) 当D ∉)0,0(时,xyoCD由格林公式知⎰=+-L y x ydx xdy 022(2) 当D ∈)0,0(时,作位于D 内圆周 222:r y x l =+,应用格林公式,得C1D rlyxo⎰⎰+-=+-l L y x ydx xdy y x ydx xdy 222202222=+--+-⎰⎰l L y x ydx xdy y x ydx xdy .2π=θθθd rr r 22222sin cos +⎰π=20。
高数积分总结
高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1如果在区间I上，可导函数F (x)的导函数为f(x)，即对任一x I , 都有F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x) 就称为f(x)( 或f(x)dx) 在区间I 上的原函数。
定义2:在区间I上，函数f (x)的带有任意常数项的原函数称为f (x)(或者f(x)dx )在区间I上的不定积分，记作f(x)dx 。
性质1:设函数f(x) 及g(x) 的原函数存在，则[ f(x) g ( x)] dx f (x)dx g(x)dx 。
性质2:设函数f(x) 的原函数存在，k 为非零常数，则kf(x)dx k f (x)dx 。
2、换元积分法(1) 第一类换元法:定理1:设f(u) 具有原函数，(x) 可导，则有换元公式f[ (x)] '(x)dx [ f( )d ] 。
其中1(x)是 x (t)的反函数。
例:: dx求2 2x a(a 0) 解 •/ 1 tan 21 sec 2t , 设xta nt2t-，那么x 2a 2、a 2a 2tan 2t a\ 1asect,dx asec f tdt ，•/ sectdx2 2x a2 .a sec t1( dt asectdx22x adx22■- x a2 2——，且 sect tant 0 ar~22\ x aIn sect sectdttant CC ln(x > x 2 a 2) C 1 , C 1C ln a例：求 2cos2xdx解 2cos2xdx cos2x?2dx cos2x?(2x)'dx cos d 将 2x 代入，既得2cos2xdx sin2x C(2)第二类换元法：定理2:设x (t)是单调的、可导的函数，并且'(t) 0.又设f[ (t)] '(t)具有原函数，则有换元公式f(x)dx [ f[ (t)] '(t)dt]t i (x)于是tan 213、分部积分法 定义：设函数 (x)及 (x)具有连续导数。
[全]高等数学之二重积分计算方法总结[下载全]
![[全]高等数学之二重积分计算方法总结[下载全]](https://img.taocdn.com/s3/m/2b9bc316284ac850ac024211.png)
高等数学之二重积分计算方法总结
在考研中，对于二重积分重点要掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标），二重积分计算公式如下：
二重积分的计算主要在于把二重积分化为累次积分计算，而在化为累次积分计算时，坐标系的选择不仅要看积分域D的形状，而且还要看被积函数的形式。
（1）适合用极坐标计算的二重积分被积函数一般应具有以下形式：
f(y/x),f(x/y),f((x^2+y^2)^(1/2))
之所以适合极坐标是由于它们在极坐标下都可化为r或thetha的一元函数。
（2）适合用极坐标计算的二重积分的积分域一般应具有以下形状：
中心在原点的圆域，圆环域或它们的一部分（如扇形);中心在坐标轴上且边界圆过原点的圆域或者它们的一部分。
有时在计算二重积分时候需要利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常用的结论有以下两条：
（1）利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性：
（2）利用变量的对称性：
题型一：在直角坐标下计算二重积分
例1：
解题思路：先画积分域D，不难看出该积分域关于两个坐标轴都对称，被积函数也有奇偶性，因此，应利用对称性和奇偶性。
解：
题型二：利用极坐标计算二重积分
例2：
解题思路：积分区域D关于y轴左右对称，被积函数（x+1)^2=x^2+2x+1，其中2x是x的奇函数，x^2+1是x的偶函数，先利用奇,偶性化简，然后再用极坐标计算。
解：。
二重积分
推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它
的外面积 I P 0 , 即对任给的 0 , 存在直线网 T, 使得
S P (T ) ,
或对任给的 0 , 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖.
示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零. 推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面 图形都是可求面积的. 注 平面中并非所有的点集都是可求面积的. 例如
D ( x, y ) x, y Q [0,1] .
易知 0 I D I D 1, 因此 D 是不可求面积的.
前页 后页 返回
D D
f ( x , y ) d .
6. 若 f ( x , y ) 在 D 上可积, 且
m f ( x , y) M , ( x , y) D ,
则有
mS D f ( x , y )d MS D ,
D
这里 S D 是积分区域 D 的面积.
前页 后页 返回
7. (积分中值定理) 若 f ( x , y ) 在有界闭域 D 上连续, 则存在 ( , ) D , 使得
D
D
就等于积分区域 D 的面积.
注1 xy . 此时通常把 f ( x , y )d 记作
f ( x , y)dxdy .
D
D
(6)
注2 可积条件
前页 后页 返回
可积的必要条件: 函数 f ( x , y ) 在可求面积的D上可积
的必要条件是它在 D上有界.
设函数 f ( x , y ) 在 D 上有界, T 为 D 的一个分割, 它 把 D 分成 n 个可求面积的小区域 1 , 2 , , n . 令 M i sup f ( x , y ) ( x , y ) i ( i 1,2, , n). mi inf f ( x , y )
积分学小结——二重积分、三重积分,线积分、面积分
Pdydz Qdzdx Rdxdy
( P cos Q cos R cos )dS
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系（牛顿--莱布尼茨公式）
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
( F ( x ) f ( x ))
2.二重积分与曲线积分的联系（格林公式）
x d x d y d z
x d x
0 1
1 (1 x ) 2
0
0
1 x 2 y
dz
(1 x 2 y )d y
1 1 1 2 3 ( x 2 x x )d x 4 0 48
(２) 柱面坐标
x r cos , y r sin , z z.
O
1 x2 x
Y－型区域为：
c yd D ( x, y ) y 1 ( y) x y 2 ( y)
y
特点：平行于x轴的直线与区域边界交点不多于两个.
d
x=y1(y)
x=y2(y)
c
x
y
y 2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y ) d x
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
0 i 1
n
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
n 0 i 1
lim [ P ( i , i )xi Q( i , i )yi ]
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
L
计
f ( x , y )ds
格林公式数学高考知识点
格林公式数学高考知识点格林公式是高中数学中的一道经典题目，常出现在高考中。
它是由英国数学家格林（George Green）在19世纪提出的，被广泛应用于电磁学、流体力学以及其他领域的偏微分方程求解中。
首先，我们来了解一下格林公式的基本原理。
格林公式是一个关于有界闭区域内曲面和该区域内部的一个函数的积分公式。
具体来说，如果一个曲面S是由一条闭合的简单光滑曲线C围成，并且函数P(x,y)和Q(x,y)在S和其内部取得了定义，那么格林公式可以用下式表示：∯S(Pdx + Qdy) = ∬D(Qx - Py)dA这里的∯S表示曲面S的面积分，∬D表示平面D的二重积分，P和Q是x和y的偏导数，x和y是S上的参数。
通过格林公式，我们可以将对有界闭区域内函数的曲面积分转化为对该区域内部的函数偏导数的二重积分。
这种转化对于一些实际问题的求解非常有用。
例如，当我们需要计算一个闭合曲线围成区域内的电场强度时，可以使用格林公式将面积分转化为二重积分，从而更容易求解。
在应用格林公式时，我们需要熟练掌握曲面和内部函数的具体形式，以及相关的计算技巧。
比如，当曲面S是一个圆环，而函数P(x,y)和Q(x,y)是关于x和y的多项式时，我们可以通过将圆环分解为多个简单的曲线并分别计算，最后再将结果相加得到最终的积分值。
这种方法在高考中经常使用，需要考生掌握。
除了上述基本形式，格林公式还可以推广到三维空间中。
在三维空间中，格林公式的表达式变为：∯S(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy) = ∬D[(∂R/∂y) - (∂Q/∂z)]dA +∬D[(∂P/∂z) - (∂R/∂x)]dB + ∬D[(∂Q/∂x) - (∂P/∂y)]dC这里的∯S表示曲面S的面积分，∬D表示曲线D的二重积分，P、Q和R都是关于x、y和z的偏导数。
三维空间中的格林公式是解决一些与曲面和空间曲线相关的问题时常用的工具。
比如，在求解一个闭合曲面内的电场强度分布问题时，可以利用格林公式将曲面积分转化为对应区域内函数偏导数的三重积分，从而能够方便地进行计算。
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分的定义是求某一域内的函数的积分，概念是由一重积分到二重积分扩展而来的，而二重积分的计算一般是采用一些公式进行运算。
这里，我们介绍一下二重积分中四则运算的公式，以便读者能够更准确、更方便地积分并得到想要的计算结果。
1.法二重积分加法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy+∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)+g(x,y)]dxdy其中，f(x,y)代表积分中的函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy 代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)+g(x,y)]不过是把两个函数相加而已。
2.法二重积分减法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy-∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)-g(x,y)]dxdy 其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)-g(x,y)]不过是把两个函数相减而已。
3. 乘法二重积分乘法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy×∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)g(x,y)]dxdy其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)g(x,y)]不过是把两个函数相乘而已。
4.法二重积分除法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy÷∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)÷g(x,y)]dxdy 其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)÷g(x,y)]不过是把两个函数相除而已。
以上就是二重积分四则运算的公式，它们都能够帮助人们快速、准确地算出二重积分。
在现实应用中，这些公式是实现计算机自动求积分的重要基础，对于域内的函数积分及数值求解有极大的帮助，值得大家反复研习、积极运用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在导出黎曼问题的弱解概念时，在欧拉方程两边同时乘以任意函数再积分转化为一等价的“弱”形式的方程时用到了二重积分的分部积分方法，其实就是格林公式。
一般意义下的分部积分公式：
uv dx
uv vu dx ''=-⎰⎰
或udv uv vdv =-⎰⎰
证明：
分部积分实际上是把普通积分公式f dx f '=⎰中的被积函数f 换成了两个函数的乘积，故可称之为一维情况下的分部积分；
把普通积分公式运用到二维情况，其实就得到了格林公式，格林公式实现了把面积分转换成了线积分（降次）。
格林公式：
F
dxdy Fdy x
Ω
∂Ω
∂=∂⎰⎰
⎰
F
dxdy Fdx y Ω
∂Ω
∂=-∂⎰⎰
⎰ 一般合并写为D L
Q P dxdy Pdx Qdy x
y ⎛⎫
∂∂-=
+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰
证明（以第一个公式为例）：
积分域为{}(x,y)|a(y)x b(y),c y d Ω=≤≤≤≤， 如图：
则：
(y)(y)
(y)(y)
(x,y)((y),y)
((y),y)d b c a d x b x a c
d
d
c c
F
dxdy x
F
dxdy x
F dy
F b dy F a dy
Fdy
Ω
==∂Ω
∂∂∂=
∂==-
=
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
类似地，把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出二维情况下
的分部积分。
二重积分的分部积分公式：
()g
f
f
dxdy fg dy g
dxdy x
x Ω
∂Ω
Ω
∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ()g
f
f
dxdy fg dx g
dxdy y y
Ω
∂Ω
Ω
∂∂=--∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 证明（以第一个公式为例）： 在F
dxdy Fdy x
Ω
∂Ω
∂=∂⎰⎰
⎰中，把F 换为fg ，则： ()
()fg dxdy fg dy x
Ω
∂Ω
∂=∂⎰⎰
⎰，
即()()g f f
g dxdy fg dy x x Ω
∂Ω
∂∂+=∂∂⎰⎰⎰ 即()g
f
f
dxdy fg dy g
dxdy x
x
Ω
∂Ω
Ω
∂∂=-
∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 综上：
把普通积分公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了一维分部积分公式；
把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了二维分部积分公式。
且两种分部积分公式在形式上是很相似的：
uv dx uv vu dx ''=-⎰⎰ 对比 ()g
f
f
dxdy fg dy g
dxdy x
x
Ω
∂Ω
Ω
∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰
北航 曾元圆。