初三中考总复习图形变换

初三中考总复习——图形变换西城外国语学校袁慎鹏图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变．通过平移、轴对称、旋转变换达到复杂图形简单化、一般图形特殊化，分散条件集中化的目的．从图形变换的角度思考问题，可以整体把握图形的性质，特别是可以帮助我们从更高的层次理解平行线、截长补短、倍长中线等常用辅助线的作用，使问题解决更加简洁明确．当图形运动变化的时候，从运动变换的角度更容易发现不变量和特殊图形．一、《考试说明》的要求：1．顺序有变化，符合学生学习的顺序；2．变换的性质比较笼统没有2014年的说明具体；3．“作图”变为“画图”，画图的要求更加具体；4．基本的轴对称图形由六个变为五个，删掉了“等腰梯形”；5．C级要求的“解决简单问题”统一变为“解决有关问题”．二、图形变换在近6年中考中的分布及呈现方式：近6年的中考中，变换在选择、填空、操作题、第23题、第24题、第25题中都有出现过，主要的考察方式有：辨别轴对称图形与中心对称图形；通过阅读理解获取有效信息，选择合适的的变换对图形进行重新构造从而解决问题；把函数的图象进行变换，要求发现平移后的函数与原函数之关系；应用变换的思想综合运用几何知识添加适当的辅助线解决问题．三、复习建议：1．基本概念要明晰；2．复习要有浅入深逐层深入，让各层的学生都有所收获．3．对于几何综合题的复习要引导学生从几何图形与变换的角度重新认识常见辅助线的添加方法，比如：（1）中点、中线——中心对称——倍长中线——中位线（2）等腰三角形、角平分线、垂直平分线——轴对称——截长补短；（3）平行四边形——平移；（4）正多边形、共端点的等线段——旋转；4．对于坐标系中研究函数图象的平移和对称的问题要引导学生抓住问题的本质，把该问题转化函数图象上点的变换问题，进而进一步转化为函数图象上关键点的变换问题．四、第一轮复习安排和例题共用三个课时，第一课时：三种变换的概念和性质的简单应用；第二课时，作图和操作问题；第三课时：综合.例1（2013北京）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）学生存在的问题：审题只看见是什么，忽略不是什么；旋转对称与中心对称易混淆；怕文字表述的图形.例2如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2cm，60∠=︒．将△ABC沿AB边所在A直线向右平移，记平移后它的对应三角形为△DEF．（1）若将△ABC沿直线AB向右平移3 cm，求此时梯形CAEF的面积；【答案】53（2）若使平移后得到的△CDF是直角三角形，则△ABC平移的距离应为______cm．【答案】1或4学生存在的问题：弄不清3cm是那条线段的长，不会分类.例3（2011上海）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0?<m<180?）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝_________．【答案】80和120 西总P31T10学生存在的问题：会将整个△ABC旋转后的图形都画，把图形弄复杂.例4（2013湖南郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）【答案】DA．25° B．30° C．35° D．40°学生存在的问题:轴对称的性质应用不全面，想到了边，但忘了角.《探诊》P17 T10题例5西总P29例4 学生存在的问题：一是没看清把那个三角形平移或对称，二是不会判断中心对称.西总P88例1例6（2014顺义二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到BC边时，小球P所经过的路程为；当小球P第一次碰到AD边时，小球P所经过的路程为；当小球P第n（n为正整数）次碰到点F时，小球P所经过的路程为．55526555n-BAD C学生存在的问题：作图不合理，不会将角关系转化为线段的关系. 例7（2011北京中考）．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ．若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC 、BD 、AD BC +的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的BDE △即是以AC 、BD 、AD BC +的长度为三边长的三角形（如图2）． 请你回答：图2中BDE △的面积等于________．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，ABC △的三条中线分别为AD 、BE 、CF ．⑴ 在图3中利用图形变换画出并指明以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；⑵ 若ABC △的面积为1，则以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积 学生存在的问题：主要是在第三问，能画出图但找不出新三角形与原图形之间的面积关系，究其原因就是对于中线等分面积的性质不太会用.抛物线 例8（2013北京中考）在平面直角坐标系x O y 中，其 222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，对称轴与x 轴交于点B 。

（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<<x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式。

P89西总例2学生存在的问题：读不懂第三问是什么意思，不能很好地抓住抛物线式轴对称图图3AF E C D B形这一特点，同时对于抛物线的连续性理解不到位.例9（2013.1海淀期末）．抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n .①求2124263x x n n -++的值；② 将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 .学生存在的问题：第2问主要是不能从坐标的特点发现P 、Q 是关于直线x=1对称的，另外就是n 与12x x 、的关系弄错，再就是消元不明确；第三问主要是临界点把握不好，缺乏对于运动变换问题连续搜索的习惯.例10（2014海淀二模）在ABC △中，90ABC ∠=o ，D 为平面内一动点，AD a =，AC b =，其中a ，b 为常数，且 a b <. 将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E .连接BE .（1）如图1，若D 在ABC △内部，请在图1中画出FCE △；（2）在（1）的条件下，若AD BE ⊥，求BE 的长（用含, a b 的式子表示）；（3）若=BAC α∠，当线段BE 的长度最大时，则BAD ∠的大小为__________；当线段BE 的长度最小时，则BAD ∠的大小为_______________（用含α的式子表示）图1 备用图例11（2014北京中考）．在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE DE ，，其中DE 交直线AP 于点F ．（1）依题意补全图1；（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数；（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<︒，用等式表示线段AB FE FD ，，之间的数量关系，并证明．学生存在的问题：第2问一是没想到连AE ，二是连BF 后证不出直角；没有吃透第一问解决问题的策略与方法，另外就是对于线段之间的关系不敏感.例12（2014昌平二模）【探究】如图1，在△ABC 中， D 是AB 边的中点，AE ⊥BC于点E ，BF ⊥AC 于点F ，AE ，BF 相交于点M ，连接DE ，DF . 则DE ，DF 的数量关系为 .【拓展】如图2，在△ A B C 中 ，C B = C A ，点 D 是AB 边的 中点 ，点M 在 △ A B C 的内部 ，且 ∠MBC =∠MAC . 过点M 作ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥AC 于点F ，连接DE ，DF . 求证：DE =DF ；【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.学生存在的问题：主要问题出在第三问一是二次相似确实是一个难点，二是证角等的方法不多.五．专题整理专题一、平移变换1. （2011湖北黄冈）如图，把Rt△ABC ∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ?6BC 扫过的面积为（ ）【答案】CA ．4B ．8C ．16D ．2．（2011广东台山）如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长分别为222和，对角线BD 、FH 都在直线L 上，21O O 和分别是正方形的中心，线段21O O 的长叫做两个正方形的中心距。

当中心2O 在直线L 上平移时，正方形EFGH 也随平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变。

（1）计算：=D O 1 2 ，=F O 2（2）当中心2O 在直线L 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距21O O = 3 。

（3）随着中心2O 在直线L 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）。

答案: 当0≤21O O <2时，两个正方形无公共点； 当21O O ＝2时，两个正方形有无数公共点；当2<21O O <3时，两个正方形有两个公共点；当21O O ＝3时，两个正方形有一个公共点；当21O O >3时，两个正方形无公共点。

3. （2014平谷二模）（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明．②当BD CE AC AD==时， BPD ∠的度数____________________． 4．（07北京）如图，已知ABC △．（1）请你在BC 边上分别取两点D E ，（BC 的中点除外），连结AD AE ，，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； （2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB +AC >AD +AE ．专题二、轴对称变换．5．（2014怀柔二模）如图（a ），有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=6cm ，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切,将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图（b ）.则半圆被覆盖部分（阴影部分）的面积为_____________.6．（1）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A '处，若3=OA ，1=AB ，则点A '的坐标是多少？（2）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A '的位置，若5=OB ，21tan =∠BOC ，则点A '的坐标是多少？ 7. （2012浙江绍兴）如图，直角三角形纸片ABC 中，AB =3，AC =4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交与点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠,使点A 与点D 2重合,折痕与AD 交于点P 3;…;设P n ﹣1D n ﹣2的中点为D n ﹣1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n ﹣1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 6的长为( )A ．512532⨯ B ．69352⨯ C ．614532⨯ D ．711352⨯8. （2012江苏南京）如图，菱形纸片ABCD 中，∠A =600，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A ’、D ’处， 且A ’D ’经过B ，EF 为折痕，当D ’F ⊥CD 时，CF FD的 值为( ) A . 312- B . 36 C . 2316- D . 318+ 9．(2012山东德州)如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边 上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处， PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．10．（2014西城二模）在△ABC，∠BAC为锐角，AB>AC， AD平分∠BAC交BC于点D．（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB 之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若∠ABE=60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若+=AC AB AE3，求∠BAC的度数．专题三、旋转变换11.（2014大兴二模）已知：E是线段AC上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点D，使得∠EDB=∠EAB，联结AD.（1）若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB=60°时，如图1，求证：ED =AD+BD；（2）若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB= α（0o﹤α﹤90o）时，如图2，请你直接写出线段ED、AD、BD之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）若直线EF与线段AB不相交，当∠EAB=90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED、AD、BD之间的数量关系，并证明你的结论.12. （2014房山二模）边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交DF 于点M ，BC 边交DG 于点N .（1）求边DA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时(如图2)，求正方形ABCD 旋转的度数； （3）如图3，设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.13. （2014门头沟二模） 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME （1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧．．作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．图1 图2 图3 14. （丰台二模）如图1，在ABC △中，∠ACB=90o ，BC=2，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是________，AFBE =________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），延长FC 交AB 于点AFADEADCBAAB CDA BCD D，如果6AD =-，求旋转角α的度数．15．（2014石景山二模）将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC相交于点F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量关系； （2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值 （用含α、m 的式子表示）．16．ABC 中，BC =a ，AC =b ，以AB 为边作等边三角形ABD . 探当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a =b =3，且∠ACB =60°，则CD （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a =b =6，且∠ACB =90°，则CD = ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.17. （2011浙江义乌）如图1，在等边△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点P 是线段DC 上的动点(点P 与点C 不重合)，连结BP . 将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角（0?＜α＜180?），得到△A 1B 1P ,连结AA 1，射线AA 1分别交射线PB 、射线B 1B于点E 、F .（1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF 与△AEP 始终存在 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP =β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP 全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；ABCD E FFEDCBA（3）如图3，当α=60°时，点E 、F 与点B 重合. 已知AB =4，设DP =x ，△A 1BB 1的面积为S ，求S 关于x 的函数关系18，DA =DE ，EC （BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ；（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 图1 图219. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，分别以AB 、AC 为边作等边△ABE 和△ACD ，连结ED 交AB 于F ，求证：EF =FD ．20．（08北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=o ，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG PC的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）MEABC DF EDC BA中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<o o ，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG PC的值（用含α的式子表示）．专题五、操作题21．（丰台二模）阅读下列材料：已知：如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P 为AC 边上的一动点，以PB ，PA 为边构造□APBQ ，求对角线PQ 的最小值及此时AP AC的值是多少.在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短. 进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ 的最小值为3. 参考小明的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ 的长度最小时，=APAC_______；（2）如图3，延长PA 到点E ，使AE=nPA （n 为大于0的常数）.以PE ，PB 为边作□PBQE ，那么对角线PQ 的最小值为 ，此时=AP AC_______；（3）如图4，如果P 为AB 边上的一动点，延长PA 到点E ，使AE=nPA （n 为大于0的常数），以PE ，PC 为边作□PCQE ，那么对角线PQ 的最小值为______,此时=APAC _______.22．（密云二模）如图，将矩形纸片ABCD 按如下顺序折叠：对折、展平，得折痕EF (如图①)；沿GC 折叠，使点B 落在EF 上的点B ′处(如图②)；展平，得折痕GC (如图③)；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的C 处(如图④)；沿GC ′折叠(如图⑤)；展平，得折痕GC ′，GH (如图⑥)．(1)求图②中∠BCB ′的大小；(2)图⑥中的△GCC ′是正三角形吗？请说明理由．QB ACPBAC P QEBCP A Q EACP B23. （2014平谷二模）如图1，若点A 、B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP +BP 的值最小，做法是：作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，与直线l 的交点就是所求的点P ，线段AB′的长度即为AP +BP 的最小值．（1）如图2，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小．做法是：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为 ；（2）如图3，已知⊙O 的直径CD 为2，»AC 的度数为60°，点B 是»AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP +AP 的值最小，则BP +AP 的最小值为 ；（3）如图4，点P 是四边形ABCD 内一点，BP =m ，ABC α∠=，分别在边AB 、BC 上作出点M 、N ，使PMN ∆的周长最小，求出这个最小值（用含m 、α的代数式表示）．专题五、函数与变换24. （2014房山二模）已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.25. （丰台二模）如图，经过原点的抛物线2y x bx =-+（2b >）与x 轴的另一交点为A ，过点P （1，2b）作直线PN ⊥x 轴于点N ，交抛物线于点B.点B 关于抛物线对称轴的对称点为C.连结CB ，CP. （1）当b=4时，求点A 的坐标及BC 的长； （2）连结CA ，求b 的适当的值，使得CA ⊥CP ；（3）当b=6时，如图2，将△CBP 绕着点C 按逆时针方向旋转，得到△CB’P’，CP 与抛物线对称轴的交点为E ，点M 为线段B’P’（包含端点）上任意一点，请yECB直接写出线段EM 长度的取值范围.26．（2014海淀二模）已知关于x 的方程：2(1)0x m x m ---=①和2(9)2(1)3x m x m --++=②，其中0m >.（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；（2）设二次函数21(1)y x m x m =---的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将A 、B 两点按照相同的方式平移后，点A 落在点'(1,3)A 处，点B 落在点'B 处，若点'B 的横坐标恰好是方程②的一个根，求m 的值；（3）设二次函数22(9)2(1)y x m x m =--++，在（2）的条件下， 函数1y ，2y 的图象位于直线3x =左侧的部分与直线y kx =（0k >）交于两点，当向上平移直线y kx =时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则k 的值是________________.27．（2014平谷二模）已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．数值相28.(2012北京)已知二次函数22(3(1)22)t y t x x =++++等．（1）求二次函数的解析式；点A （3-，m ），（2）若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过求m 与k 的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（0n>）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y kx b=+向上平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．专题六、复合变换29．已知，正方形ABCD的边长为1，直线1l//直线2l，1l与2l之间的距离为1，1l与2l正方形ABCD的边总有交点．（1）如图1，当ACl⊥1于点A，，ACl⊥2交边DC、BC分别于E、F时，求△EFC的周长；（2）把图1中的1l与2l同时向右平移x，得到图2，问△EFC与△AMN的周长的和是否随x的变化而变化，若不变，求出△EFC与△AMN周长的和；若变化，请说明理由；（3）把图2中的正方形饶点A逆时针旋转α，得到图3，问△EFC与△AMN周长的和是否随α的变化而变化，若不变，求出α的周长的和；若变化，请说明理由．。