线性代数试卷(本)

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专升本《线性代数》_试卷_答案

专升本《线性代数》一、（共12题,共150分）
1. 计算下列行列式（10分）
标准答案：
2. 已知,计算（12分）
标准答案：
3. 设均为n阶矩阵，且可逆，证明相似. （14分）
标准答案：,故相似
4. 求一正交变换,将二次型化成标准型. （14分）
标准答案：
5. 已知,求（12分）
标准答案：6. 设矩阵A和B满足,其中,求B （12分）
标准答案：
7. 解线性方程组（14分）
标准答案：
8. 判断下列向量组是线性相关还是线性无关？
（12分）
标准答案：线性相关.可用三种方法:用三阶行列式；用定义及线性方程组；用矩阵的初等行变换.
9. 已知求（12分）
标准答案：
10. 已知,其中求A （12分）
标准答案：
11. 解下列线性方程组（14分）
标准答案：
12. 判断下列向量组是线性相关还是线性无关？
（12分）
标准答案：线性相关.可用三种方法:用三阶行列式；用定义及线性方程组；用矩阵的初等行变换.。

线性代数单元测试卷(含答案)

线性代数单元测试卷(含答案)一、选择题(每题2分，共20分)1. 在线性代数中，什么是矩阵的秩？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵的非零行数D. 矩阵的最大线性无关行数正确答案：D2. 下列哪个不是矩阵的运算？A. 矩阵的加法B. 矩阵的减法C. 矩阵的除法D. 矩阵的乘法正确答案：C3. 矩阵的转置满足下列哪个性质？A. (A^T)^T = AB. (AB)^T = B^T * A^TC. (A + B)^T = A^T + B^TD. (AB)^T = A^T + B^T正确答案：B4. 什么是向量的线性组合？A. 向量相加B. 向量相减C. 向量乘以常数后相加D. 向量与常数相乘正确答案：C5. 下列哪组向量线性无关？A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (1, -1)正确答案：C二、填空题(每题3分，共30分)1. 给定矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的逆矩阵。

正确答案：[[-2, 1], [1.5, -0.5]]2. 给定矩阵B = [[2, 4], [1, 3]]，求B的特征值。

正确答案：[5, 0]3. 给定向量v = (1, 2, 3)，求v的范数。

正确答案：sqrt(14)4. 给定矩阵C = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求C的秩。

正确答案：25. 给定矩阵D = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，求D的转置矩阵。

正确答案：[[1, 3, 5], [2, 4, 6]]三、解答题(每题10分，共40分)1. 什么是线性相关和线性无关？线性相关表示向量之间存在线性组合的系数不全为零的情况，即存在非零向量组合得到零向量。

线性无关表示向量之间不存在这样的关系，即只有全为零的线性组合才能得到零向量。

2. 什么是矩阵的行列式？矩阵的行列式是一个标量，它是一个方阵中各个元素按照一定规律相乘再求和的结果。

行列式可以用来判断方阵的逆是否存在，以及计算方阵的特征值等。

线性代数试卷

《线性代数》考试卷1说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。

一、选择题(每小题3分，共24分)1．设向量组1α=（1，0，1，0）T ，2α=（2，-1，2，1）T ，3α=（1，-1，1，1）T ， 4α=（2，-1，1，1）T ，5α =（1，-2，1，2）T ，则该向量组的极大线性无关组是（） A 、1α，2α，3α B 、1α，2α，4α C 、1α，2α，5α D 、1α，2α，3α，5α2.设向量组(1)α1，α2（2）α1，α2，α3（3）α1，α2，α4（4）α1，α2，α3，α4，若（1）（2）的秩为2，（3）的秩为3，则向量组（4）的秩为。

A.1 B.2 C.3 D.43.设A 是4×3矩阵，r (A )=1,321,,ξξξ是非齐次线性方程组Ax =b 的三个线性无关解，下列哪个是Ax =0的基础解系？A 、1ξ+2ξ+3ξB 、1ξ+2ξ-23ξC 、2ξ-1ξ，3ξ-2ξD 、1ξ+2ξ，2ξ+3ξ4．设A,B 均为n 阶方阵，且满足关系式AB=0，则必有。

A ．A=0或B=0 B ．A+B=0C ．∣A ∣=0或∣B ∣=0D ．∣A ∣+∣B ∣=05.设1α，…，m α)2,,,1,(>=∈m m i R a n i 线性无关，下列哪个成立？ A 、对任意常数m k k ,,1 有011=++m m k k αα B 、任意)(m k k <个向量k i i αα ,1线性相关 C 、对任意,n R ∈ββαα,,,1m 线性相关 D 、任意)(m k k <个向量k i i i ααα,,,21 线性无关6．设A 是m ×n 矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=b 所对应的齐次方程组，则下述结论中正确的是。

A ．若AX=0仅有零解，则AX=b 有唯一解；B ．若AX=0有非零解，则AX=b 有无穷多解；C ．若AX=b 有无穷多解，则AX=0仅有零解；D ．若AX=b 有无穷多解，则AX=0有非零解。

自考本科_线性代数_历年真题[1]

第 1 页全国2010年1月自考线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x则行列式( ) A.32B.1C.2D.38 2.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=( ) A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=( ) A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则( ) A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为( ) A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是( )A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是( ) A.m ≥n B.Ax =b (其中b 是m 维实向量)必有唯一解 C.r (A )=mD.Ax =0存在基础解系第 2 页8.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是( ) A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T C.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = ()A.4B.5C.6D.710.三元二次型f (x 1，x 2，x 3)=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为( )A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341 C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡960642621 D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9123042321 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

(完整版)线性代数测试试卷及答案

线性代数(A 卷)一、选择题(每小题3分，共15分)1 .设A 、B 是任意n 阶方阵，那么下列等式必成立的是() (A) AB BA (B) (AB)2 A 2B 2 (C) (A B)2 A 2AB B 2 (D) A B B A2 .如果n 元齐次线性方程组 AX 0有基础解系并且基础解系含有 s(s n)个解向量，那1 0 0210, A *是A 的伴随矩阵，则(A*)4 .设向量 (1, 1,1)T 与向量 (2,5, t)T 正交，则t5 .设A 为正交矩阵，则A1 11 6 .设a,b,c 是互不相同的三个数，则行列式ab c2,22a b c7 .要使向量组 1 (1, ,1)T , 2 (1,2,3)T, 3 (1,0,1)T 线性相关，则8 .三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3,那么A 1的特征值分别为么矩阵A 的秩为((A) n (B) )s (C)n s (D)以上答案都不正确 3 .如果三阶方阵A (a j )3 3的特征值为1,2,5 ,那么ana 22a 33 及A 分别等于()(A) 10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,4 .设实二次型f(x 1,x 2)2 (X ,X 2)4X 1 X 2的矩阵为A, 那么()2 3(A) A3 1 ⑻(C)1 1(D)5.若方阵A 的行列式A0, 则((A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关二、填空题(每小题3分，共30分)(B)A (D)A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关的列向量组线性相关，行向量组线性无关1如果行列式D 有两列的元对应成比例，那么该行列式等于2.设A3.设，是非齐次线性方程组AX b 的解若也是它的解，那么关组和秩. 四、(10分)设有齐次线性方程组X 1 ( 1)X 2 X 3 0, (1)X 1 X 2 X 3 0, X 1 X 2 ( 1)X 3 0.问当取何值时，上述方程组（1）有唯一的零解；（2）有无穷多个解，并求出这些解. 五、（12分）求一个正交变换X PY ,把下列二次型化成标准形：、222f （X 1,X 2, X 3） X 1 X 2 X 3 4X 1X 2 4X 1X 3 4X 2X 3.六、（6分）已知平■面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c 0, 12 : bx 2cy 3a 0, 13 : cx 2ay 3b 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.线性代数(A 卷)答案1. D2. C3. B4. A5. A■-4*11.02. (A ) A3. 14. 35. 16. (c a)(c b)(b a)7. 08. 1,9.411 t 0 10. A I 5 42、1.解由AX(A I ) 1B . (2分)9 .若二次型 f(X i ,X 2,X 3)X 21 x 22 5x 23 2tX i X 2-2X 1X 3 4X 2X 3 是正定的，则 t 的取值范围10 .设A 为n 阶方阵，且满足A 2 2A 4I 0,这里I 为n 阶单位矩阵，那么A 1三、计算题（每小题9分，共27分）1 .已知A 1 00 1 ,求矩阵X 使之满足AX 0 0X B.2 .求行列式的值.3求向量组 (1,0,1,0), 2 ( 2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 （4, 3,1, 3,）的一个最大无或-1由于1 23 4 1 2 3 41 2 3 4 0 1 1 3 r r 0 1 1 3 「3 5r 2 0 1 1 3 1 3 01 UUuLu 0 5 3 3 LuiuiUj2 0 0 2 12 0 73 3 0 733424四、解方程组的系数行列式卜面求 (A I ) 由于(4分）(A I)所以 (A I) (7分）2.解 10 10 10 1010(9 分)10(4 分）(8160 (9 分)3.解故向量组的秩是UjuniUr31 2 03 12 0(6分)3是它的一个最大无关组。

大学物理、数学本科《线性代数》考试题及答案(八套)试卷

XXX学年第一学期期末考试试卷本科《线性代数》考试题及答案（H）本科试卷课程代码：适用班级：计算机科学与技术命题教师：任课教师：第一套试卷一、判断是非（每小题2分，共16分）。

1 若行列式等于零，则其中必有两行对应元素成比例。

2 线性无关的向量组的任意部分组必线性无关。

3 等价的两个向量组必含有相同个数的向量。

4 两个矩阵的乘积不满足交换律和消去律。

5 非齐次线性方程组有解的充要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等。

6 正交矩阵必是可逆矩阵。

7 相似矩阵的秩一定相等。

注：两个矩阵相似或合同，则两个矩阵一定等价。

因而，他们有相同的秩。

8 在可逆的线性变换下，二次型的标准型一定是唯一的。

二、填空题（每小题2分，共16分）。

1 排列6152734的逆序数是________________。

2 若矩阵A 可逆，则=-1*)(A ___________。

3 设=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则),654(321——————。

4 若向量____________),0,1,1,0(),0,1,0,1(='==βαβα则。

5 若三阶实对称矩阵A 的特征值为-1，2，3，则A -1的特征值为______。

6 对于四阶矩阵A ，。

则__________2,1==A A7 若四阶矩阵：。

则且___________),,,,(,2),,,,(432214321=+===B B A A ααααααααα 8 若向量组）（，，，（），，，（5,4,0)02121321-==-=αααt 线性无关，则t=————————。

三、计算下列行列式（12分）。

1 29930030119920020199100101=D22222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a四、（8分）设：B A A AB B A ''-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=及求2,101121121101010101。

02198自考线性代数试卷及答案

《线性代数》试题一（课程代码：02198）一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若矩阵A满足Aˆ2-5A=E，则矩阵（A-5E）ˆ-1=【】A、A-5EB、A+5EC、AD、-A2.设矩阵A是2阶方阵,且det（A）=3,则det（5A）=【】A、3B、15C、25D、753.设矩阵A,B,X为同阶方阵,且A,B可逆,若A（X-E）B=B,则矩阵X=【】A、E+Aˆ-1B、E+AC、E+Bˆ-1D、E+B4.设矩阵A1，A2均为可逆方阵，则以下结论正确的是【】5.设αˇ1,αˇ2,…,αˇk是n维列向量,则αˇ1,αˇ2,…αˇk线性无关的充分必要条件是【】A、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中任意两个向量线性无关B、存在一组不全为0的数lˇ1,lˇ2,…,lˇk,使得lˇ1αˇ1+lˇ2αˇ2+…+lˇkαˇk≠0C、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中存在一个向量不能由其余向量线性表示D、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中任意一个向量都不能由其余向量线性表示6.设α=（aˇ1,aˇ2,aˇ3）,β=（bˇ1,bˇ2,bˇ3）,其中aˇ1,aˇ2,aˇ3不全为0,且bˇ1,bˇ2,bˇ3不全为0,则αˇTβ的秩为【】A、0B、1C、2D、37.设三阶方阵A的特征值分别为1/2，1/4，3，则Aˆ-1的特征值为【】A、2，4，1/3B、1/2,1/4,1/3C、1/2,1/4,3D、2，4，38.二次型f（X1,X2,X3）=（X1+X2+X3）2的矩阵是【】9.以下关于正定矩阵叙述正确的是【】A、正定矩阵的特征值一定大于零B、正定矩阵的行列式一定小于零C、正定矩阵的乘积一定是正定矩阵D、正定矩阵的差一定是正定矩阵10.设A为3阶矩阵，且|A|=3，则|（-A）ˆ-1|=【】A、-3B、-1/3C、1/3D、3二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、在五阶行列式中，项的符号为____________。

完整版)线性代数试卷及答案

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

大学线性代数试题及答案

线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC=，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。

4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________。

6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1230120011A ，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。

10.若()T k 11=α与()T 121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8- Ｃ．34Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。

c)(A *kA)(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。

《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）。

1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。

1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为：（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关；（B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

线性代数试卷

线性代数试卷一、选择题1.在线性代数中，一组向量能够生成整个向量空间的充要条件是： A. 线性相关 B. 线性无关 C. 最大线性无关组D. 最小线性无关组2.设 A 为一阶方阵，若 A 的行列式为 0，则 A 的逆矩阵： A. 存在且不唯一 B. 不存在 C. 存在且唯一 D. 无法确定3.若 A 为 m×n 矩阵，B 为 n×p 矩阵，则矩阵积 AB 的维数是： A. m×p B. n×(m-p) C. (n-m)×p D. p×n4.若 A 是 n 阶方阵，且 A 的特征值全相等，则 A 必定是： A. 零矩阵 B. 对角矩阵 C. 存在逆矩阵 D. 非奇异矩阵5.对于 n 维向量空间中的向量组，如果向量的极大线性无关组的个数与向量组中向量的个数相等，那么向量组的维数为： A. 无法确定 B. n C. 0 D. n-1二、填空题1.若 A 为 n 阶方阵，且 A 的秩为 r，则 A 的零空间维数为n-r。

2.设 A 为 m×n 矩阵，若 AX = 0 的解集是 n 维零向量 0，则 A 的列空间维数为n。

3.设 A 为 m×n 矩阵，若 AX = 0 的解集非零解存在，则 A 的秩为r。

4.设 A、B 为 n 阶方阵，且 AB = BA，则 A 和 B 可同时对角化的充要条件是 A 和 B 对应的特征向量线性无关。

5.设 A 为 n 阶方阵，若 A 的所有特征值都为正数，则A 是正定矩阵。

三、解答题1.给定矩阵 A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5& 6 \end{bmatrix}\)，求矩阵 A 的伴随矩阵。

2.给定方程组 AX = B，其中 A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)，B =\(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)，求方程组的解集。

线性代数期末考试考核试卷

（答题括号：________）
4.以下哪个向量组构成一个基？
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.（根据实际题目内容填写答案）
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题（参考）
1.向量组线性无关，可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合，例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\)，其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
（答题括号：________）
5.在求解线性方程组时，以下哪些情况下可以使用高斯消元法？
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
（答题括号：________）
（以下题目类似，省略以节约空间）
6. ...
A.若A为m×n矩阵，则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵，则A的转置为m×n矩阵

(完整版)线性代数试题套卷及答案

（线性代数）（ A 卷）专业年级：学号：姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的n m A ⨯0=Ax )(A A T(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件；(D) 无关条件。

2．已知为四维列向量组，且行列式，32121,,,,αααββ4,,,1321-==βαααA ，则行列式1,,,2321-==βαααB =+B A (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。

4016-3-40-3．设向量组线性无关，且可由向量组线s ααα，，， 21)2(≥s s βββ，，， 21性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组线性无关；s βββ，，， 21(B) 对任一个，向量组线性相关；j αs j ββα，，， 2(C) 存在一个，向量组线性无关；j αs j ββα，，， 2(D) 向量组与向量组等价。

s ααα，，， 21s βββ，，， 214．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是n 0=Ax (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；A 0=Ax (D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。

A 0=Ax 5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则A n )2(>n *A A 题号一二三总分总分人复分人得分得分评卷人√√(A) ；(B) ；A A A 11||)(-*-=A A A ||)(1=*-(C) ；(D) 。

111||)(--*-=A A A 11||)(-*-=A A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

(完整版)线性代数试题套卷及答案

错选、多选或未选均无分。

1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。

2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。

3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。

4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。

5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝，a ＝，b ＝。

线性代数试卷及答案3套

线性代数A卷一、填空题（共6小题，满分18分）1.设α=(1,0,-1,2),β=(0,1,0,1)，令A＝αTβ，则A4 = .2.设矩阵且BA=B+E，则B-1= .3.设α1,α2是2维的列向量,令A=(2α1+α2,α1-α2),B=(α1,α2),若|A|=－6, 则|B|= .4.设A为n阶方阵，且A2=A，则R(A)+ R(A- E) = .5.设α1=(1,1,1),α2=(a,0,b),α3=(1,2,3)线性相关，则a与b应满足的关系式为.6. 设α+2β=(2,1,t,-1),2α-β=(-1,2,0,1),且α与β正交，则t= .二、单项选择题（共6小题，满分18分）1. 设A为n阶方阵，且AA T= E，|A|＜0,则A+ E为[ ].(A) 非奇异矩阵，(B) 奇异矩阵，(C)正交矩阵，(D)正定矩阵.2.设A是4×3矩阵，且R(A)=2，若则R(AB)为[ ].(A) 2，(B) 3，(C)4，(D) 0.3. 设A为n阶可逆矩阵，k≠0为常数，则(k A)*为[ ].(A) k A*，(B) k n-1 A*，(C) k n A*，(D) k n A.4. 设向量组α1,α2,α3线性无关，则下面向量组线性相关的是[ ].(A) α1－α2,α2－α3,α3－α1，(B) α1+α2,α2+α3,α3+α1，(C)α1－2α2,α2－2α3,α3－2α1， (D) α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1.5.设矩阵A n×m，B m×n，且n＜m，若AB＝E，则下面结论正确的是[ ].(A) A的行向量组线性相关，(B) A的列向量组线性无关，(C) 线性方程组Bx＝0仅有零解， (D) 线性方程组Bx＝0必有非零解.6.设3阶方阵A与B相似，且A的特征值为，则tr(B-1- E)为[ ].(A) 2，(B) 3，(C)4，(D) 6.三、解答题（共6小题，满分42分）1.设A为4阶方阵，A*是A的伴随矩阵，且|A|＝0，而A*≠O.α1,α2,α3是线性方程组Ax＝b的三个解向量，其中，求线性方程组Ax＝b的通解.2.设向量组，问a为何值时，向量组α1,α2,α3,α4线性相关，并求此时的极大无关组.3.求一组非零向量α1,α2与已知向量α3＝(1,1,1)T正交，并把它们化成R3的一个标准正交基.4.设矩阵，且A*相似于B，其中A*是A的伴随矩阵，求x，y.5.设二次型，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12，求a，b.6.设V是二阶实对称矩阵全体的集合，对于通常矩阵的加法与数乘运算所构成的实数域R上的线性空间.且是V的一个基，试证也是V的一个基.并求V中的向量在该组基下的坐标.四、（本题满分11分）已知齐次线性方程组(Ⅰ)(Ⅱ)同解，求a，b，c的值.五、（本题满分11分）设矩阵3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3，且R(A)＝1.①求A的特征值与特征向量；②求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使P-1AP=Λ；③求A及.线性代数B卷一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设4阶矩阵A的行列式|A| =3，则行列式．2．设A为3阶正交矩阵，且A T= -A*，其中A*是A的伴随矩阵，则|A| = ．3．设α1,α2是n(n3)元齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则R(A)= ．4．设线性空间R2的两个基A：α1=(1,0)T,α2=(1,1)T；B：β1=(1,1)T，β2=(-1,1)T，则A组基到B组基的过渡矩阵为．5．设3阶矩阵A的特征值为1、3、5，则A的迹tr A= ．6．若二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3正定，则t满足．二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设A为m×n矩阵.B为n×m矩阵，则[ ]．(A)当时，必有|AB|≠0；(B)当时，必有|AB|=0；(C)当时，必有|AB|≠0；(D)当时，必有|AB|=0．2．设α1,α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可为[ ].(A)α1-α2,α2-α3，α3-α1； (B)与α1,α2，α3等秩的一个向量组；(C)α1,α1+α2，α1+α2+α3； (D)与α1,α2，α3等价的一个向量组.3．设A为n阶非奇异阵(n2)，A*是A的伴随阵，则[ ]．(A) (A*)*= |A|n -2A；(B) (A*)*=|A|n+2A；(C) (A*)*= |A|n -1A； (D) (A*)*=|A|n+1A.4．设A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，R(A)=r，矩阵B=AC的秩为r1，则[ ]．(A) r >r1； (B) r<r1；(C) r与r1关系依赖与矩阵C； (D) r=r1.5．设A，B为n阶矩阵，若[ ]，则A与B合同．(A) 存在n阶可逆矩阵P、Q，且PAQ=B；(B) 存在n阶可逆矩阵P，且P-1AP= B；(C) 存在n阶正交矩阵Q，且Q-1AQ= B；(D) 存在n阶方阵C、U，且CAU= B.6．n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的[ ]．(A) 充分必要条件；(B) 充分而非必要条件；(C) 必要而非充分条件；(D) 既非充分也非必要条件.三、解答题（共5小题，每小题9分，满分45分）1. 计算4阶行列式.2．设向量组α1=(1,0,2,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(2,1,3,0)T，α4=(2,5,-1,4)T.(1) 判断向量组的线性相关性；(2) 求它的秩和一个极大无关组；(3) 把不在极大无关组中的向量用这个极大无关组线性表示.3. 设向量α1=(1,2,1)T和α2=(1,1,2)T都是方阵A的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A2β．4．设3阶方阵A、B满足AB= 2A+B，其中求A.5. 已知线性空间R[x]3={a0+a1x+a2x2| a0,a1,a2 R}，(1) 证明1，1＋x，(1＋x)2是R[x]3的一个基；(2) 求由基1，x，x2到基1，1＋x，(1＋x)2的过渡矩阵.四、（本题满分9分）设线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)x1+3x2+3x3=a-3有公共解，求a的值和所有的公共解.五、（本题满分10分）设实二次型f(x1,x2,x3)=x T Ax的秩为2，且α1=(1,0,0)T 是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解.(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；(3)写出该二次型.线性代数C卷一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设A为3阶方阵，|A|=1，则| -2A|=__________.2．设A是n阶方阵，x1，x2均为线性方程组Ax=b的解，且x1≠x2，则|A|=____ ____ .3．设A为n阶可逆阵，且A2=|A|E，则A*= . 4．若n阶方阵A与单位阵E相似，则A= .5．设4阶方阵A，R(A)=2，则R(A*)= .6. 若二次型是正定的,则t应满足.二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设A为实对称矩阵,Ax1=λ1x1,Ax2=λ2x2,且λ1≠λ2，则(x1,x2) =[ ].(A) 1；(B) -1；(C) 0；(D) 2. 2．设A、B均为n阶可逆阵，则[ ].(A) ((AB)2)-1=(B2)-1(A2)-1；(B) 存在可逆阵P、Q，使PAQ=B；(C) 存在可逆阵P, 使A=P-1BP；(D) 存在可逆阵P,使P T AP=B.，则3．设A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，R(A)=r，矩阵B=AC的秩为r1 [ ].(A)r>r1；(B)r<r1；(C)r与r1关系依赖与矩阵C；(D)r=r1.4．设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可为 [ ].(A)α1，α1+α2，α1+α2+α3；(B) 与α1，α2，α3等价的一个向量组；(C) α1-α2，α2-α3，α3-α1；(D) 与α1，α2，α3等秩的一个向组.5．向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是[ ].(A) α1，α2，…，αs都不是零向量；(B) α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关；(C) α1，α2，…，αs中任一向量都不能用其余向量线性表出；(D) α1，α2，…，αs中任意s-1个向量都线性无关.6. 如果[ ]，则A与B相似.(A) |A|=|B|； (B) R(A)=R(B)；(C) A与B有相同的特征多项式；(D) n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同.三、解答题（共5小题，每小题9分，满分45分）1.计算行列式.2.设3阶方阵A、B满足AB= 2A+B，其中求A.3. 设向量组α1=(1,0,2,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(2,1,3,0)T，α4=(2,5,-1,4)T.(1) 判断向量组的线性相关性；(2) 求它的秩和一个极大无关组；(3) 把不在极大无关组中的向量用极大无关组线性表示.4．设矩阵，求（1）A2；（2）A n.5. 已知是矩阵的一个特征向量.(1) 试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2) 问A能否相似于对角阵？说明理由．四、（本题满分9分）设3维向量组试问：(1) 当λ取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法唯一；(2) 当λ取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，但表示法不唯一；(3) 当λ取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示．五、（本题满分10分）设实二次型f(x1,x2,x3)=x T Ax的秩为2，且α1=(1,0,0)T 是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解.(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；(3)写出该二次型.。

线性代数期末考试试卷合集(共十一套)

线性代数期末考试试卷合集（共十一套）目录线性代数期末试卷及参考答案（第一套） .............................................................................. 1 线性代数期末试卷及参考答案（第二套） .............................................................................. 9 南京工程学院期末试卷（第一套） ........................................................................................ 17 南京工程学院期末试卷（第二套） ........................................................................................ 24 南京工程学院期末试卷（第三套） ........................................................................................ 30 线性代数期末试卷（A 卷） .................................................................................................. 36 线性代数期末试卷（B 卷） .................................................................................................. 41 线性代数期末试卷（C 卷） .................................................................................................. 46 线性代数期末试卷（D 卷） .................................................................................................. 51 线性代数期末试卷（E 卷） .................................................................................................. 57 线性代数期末试卷（F 卷） (62)线性代数期末试卷及参考答案（第一套）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223A 满足B AB =，则矩阵=B ( )(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21k k ； (B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11； (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121k k k k ； (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111k k .（21k k ,为任意常数） 2、设n 阶方阵A ，B 满足E AB =，则下列一定成立的是 ( ) (A )E B A == ； (B )E B A =+ ； (C )1=A 或1=B ； (D )1=⋅B A .3、设矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A 则 =-++)()(E A R E A R ( )(A ) 2； (B ) 3； (C ) 4； (D ) 5 .4、设向量组A :r a a a,,,21可由向量组B :s b b b ,,,21线性表示，则正确的是 ( )(A )当s r >时，向量组A 必线性相关； (B ) 当s r <时，向量组A 必线性相关； (C )当s r >时，向量组B 必线性相关； (D ) 当s r <时，向量组B 必线性相关.5、设A 为n m ⨯的矩阵，0=x A 是非齐次线性方程组b x A =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )(A ) 若0=x A 仅有零解，则b x A =有唯一解；(B ) 若b x A =有无穷多解，则0=x A 有非零解；(C ) 若n m =，则b x A=有唯一解；(D ) 若A 的秩m A R <)(，则b x A=有无穷多解.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010002cb a A ，当c b a ,,满足时，A 为可逆方阵.2、若可逆方阵A 的有一个特征值3，则13-)(A 必有一个特征值为 .3、设A 为54⨯的矩阵，且秩2=)(A R ，则齐次方程组0=x A 的基础解系所含向量个数是 .4、若三阶行列式222023z y x =1，则行列式1117110111------z y x = ． 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13232121,,x 线性相关，则常数x＝ .三、计算题（本题共6小题，共50分）1、(6分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a a A 140132121的秩2=)(A R , 求常数b a ,及一个最高阶非零子式.2、（8分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量. 3、（8分）设3阶方阵A 与B 满足BA A BA A 22+=*, 其中,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400030001A 求B .4、（10分）设向量组A ：.,,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 1301 3192 01414321αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式aa a a D ++++=4321432143214321,其中0≠a .6、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=--532403321321321x x x b ax x x x x x ，问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1、设矩阵B A ,为3阶方阵，且42==B A ,，则121=-AB.( )2、由3维向量构成的向量组4321a a a a,,,中必有一个可由其余向量线性表示. ( ) 3、对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，且O A ≠，则一定有C B =.( )4、设向量21ηη ,是线性方程组b x A =的解，则212ηη -也是此方程组的一个解.( ) 5、正交向量组321a a a ,,线性无关.( )五、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 1、设n 阶对称矩阵A 满足关系式O E A A =++862，证明：(1)E A 3+是可逆矩阵，并写出逆矩阵; (2) E A 3+是正交矩阵．2、若3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的线性无关解，且,)(3-=n A R证明：030201a a a a a a---,,是其对应的齐次线性方程组0 =x A 的基础解系．参考答案一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠；2.91； 3. 3； 4. 23- ； 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分)，由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=--0201b a ， ⎩⎨⎧=-=∴21b a ，一个最高阶非零子式3221-． 2．解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当232==λλ时, 解().02=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+ 3. 解: B= 2(|A |E －2A ) -1 A |A |=12(|A |E －2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101， B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321αααα=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且321422αααα++-=5. 解：aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+＝)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ，此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ，此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x 原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962，即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆，且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知，E A E A E A TT T 333+=+=+)()(，故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(，所以E A 3+是正交矩阵．2．证明: 3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的解，030201a a a a a a---∴,,是对应齐次方程组0 =x A 的解；又,)(3-=n A R 所以0 =x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个；下证 030201a a a a a a---,,线性无关即可.设0033022011 =-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ,,,线性无关，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a---,, 线性无关,从而030201a a a a a a---,,是其对应的齐次方程组0 =x A 的基础解系线性代数期末试卷及参考答案（第二套）一、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1、设向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123,321βα ，则当k ＝时，.正交与βαα +k2、设方阵A 满足关系式O A A =+322，则1)(-+E A = .3、若三阶行列式930021-=x xxx ，则 =x ． 4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0211A ，多项式x x x f 2)(2+=，则=)(A f . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13,032,101λ线性相关，则常数λ= .6、n 元非齐次线性方程组b x A=有无穷多解的充要条件是 .7、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,则 ._______________,______,===b a λ二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设A ，B 是任意n 阶方阵(2≥n )，则下列各式正确的是 ( )(A ) B A B A +=+； (B ) 22B A B A B A -=-⋅+； (C ) B A B A ⋅=； (D ) A B AB T⋅= .2、下列4个条件中，①A 可逆； ②A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数）； ③A 的列向量组线性无关； ④ O A ≠ ；可使推理“ 若O AB =，则O B = ”成立的条件个数是 ( )(A ) 1个； (B ) 2个； (C ) 3个； (D ) 4个.3、向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ ，，，21线性表示，则下列结论中不成立的是( )(A ) 向量组s βββ，，，21线性无关；(B ) 对任一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性相关；(C ) 存在一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性无关；(D ) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ ，，，21等价. 4、设A ，B 均为3阶方阵, 3)(=A R ，2)(=B R , 则=)(AB R( )(A ) 1； (B ) 2； (C ) 3； (D ) 6 .5、设A 为n m ⨯的矩阵，r A R =)(，则非齐次线性方程组b x A=( )(A ) 当n r = 时有唯一解； (B ) 当n m r == 时有唯一解；(C ) 当n m = 时有唯一解； (D ) 当n r < 时有无穷多解. 三、计算题（本题共6小题，共54分）1、(7分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=61011152121λλA 的秩2)(=A R , 求常数λ及一个最高阶非零子式.2、（9分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230001A 的全部特征值和特征向量.3、（8分）设3阶方阵C B A ，，满足方程 A B A C =-)2(，试求矩阵A ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010301B ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001C .4、（10分）设向量组A ：.6721 ,11313 ,5652 ,21214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式cc b b a a x x x x D ---=000000, 其中x c b a ,,,全不为0.6、（12分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x x a x x x x x 3213213214231202，问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分）1、若向量321,,ααα线性无关，求证 2132αα +，324αα +，135αα + 也线性无关.2、设矩阵T E A ηη -=, 其中E 是3阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x η 是单位向量，证明：(1) A A =2； (2) A 不可逆.参考答案一、填空题(本题7小题, 每小题3分, 共21分)1. 75-； 2. E A +2； 3. 3±； 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2631 ； 5. 6 ； 6. n b A R A R <=),()(； 7. -1 ，-3 ，0 .二、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. D ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B .三、计算题(本题6小题, 共54分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---3390022110121λλλλλ(3分)，由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=-03039λλ，3=∴λ (2分)，一个最高阶非零子式5221 ．2．解: 由λλλλ---=-32230001E A (),01)5(2=--=λλ得A 的特征值为.1,5321===λλλ当51=λ时, 解 ().05=-x E A,0001100012202200045⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-r E A得基础解系：,1101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 对应51=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当132==λλ时, 解().0=-x E A,000000110220220000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r E A 得基础解系：,001 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ,110 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p对应132==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+.3. 解: CB A E C =-)2( ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000300012E C ； ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--51000310001)2(1E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=-5300032030110001030130002000151000310001)2(1CB E C A . 4. 解: ),,,(4321αααα =A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00210045101321 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021********001 （初等变换步骤不一，请酌情给分）所以,秩3=A R , (1分) 一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且32142617αααα--=5. 解：)1,2,3(1=++i c c i i Dcb a xx x x---0000000234＝xabc 4- .6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==b a b A B 4231120211),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----120014100211b a a ， (1) 当b a ,2≠取任意数时, 3)()(==B R A R ，此时方程组有唯一解； (2). 当1,2≠=b a 时, 3)(2)(=<=B R A R ，此时方程组无解；(3) 当1,2==b a 时, 32)()(<==B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000012100211 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000012101001 即⎩⎨⎧--==121321x x x原方程组的通解为)(011120R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.四、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: 由题意 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++540013102),,()5,4,32(321133221ααααααααα , 记 AK B = .K K ∴≠=，022 可逆，又321,,ααα线性无关，所以)5,4,32(133221αααααα +++R 3),,(321==αααR ，即 2132αα +，324αα +，135αα+ 也线性无关．2．证明: (1) η为单位向量，1=∴ηηT ，A E E E E A T T T T T T T =-=+--=--=∴ηηηηηηηηηηηηηη)())((2.(2) 由(1)知，A A =2，即 O E A A =-)(，3)()(≤-+∴E A R A R ，η为单位向量，O E A T ≠-=-∴ηη ， 1)(≥-E A R ，从而32)(<≤A R ，所以0=A ，故A 不可逆.另一证法： 0)(=-=-=-=ηηηηηηηηηηT T E A ，的非零解，为线性方程组0=∴ηηA所以0=A ，故A 不可逆.南京工程学院期末试卷（第一套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院试卷共 6 页第 4 页南京工程学院期末试卷（第二套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院期末试卷（第三套）共6 页第1页课程所属部门：数理部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科线性代数期末试卷（A 卷）一、（本大题共8小题，每题3分，共24分）1. 设B A ,均为n 阶方阵，则下面各式正确的是----------------------------------（ C ） (A)TTTB A AB =)( (B) 222)(B A AB = (C) || ||AB BA = (D)AB BA = 2. 下列命题正确的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) 若02=A ，则0=A (B) 若A A =2，则0=A 或E A = (C) 若E A =，则E A n = (D) 若E A =2，则E A ±=3. 若行列式的所有元素都变号，则--------------------------------------------------（ D ） (A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号4. 设k c c c b b b a a a =321321321，则112311231123232323a a a a b b b b c c c c ++=+-------------------------------（ B ） (A) k 6 (B) k 3 (C) k 2 (D) k5. 若某线性方程组的系数行列式为零，则该方程组------------------------------（ D ） (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 无解 (D) 有非零解或无解6．已知TT T t ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα线性相关的，则t =-----（ B ）(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77. 设方阵A 相似于(1,1,1)diag -,则10A =---------------------------------------- ( A )(A) E (B) 10E (C) E - (D) 10E - 8. 设A 为n 阶方阵，则下列说法中正确的是--------------------------------------（ B ） (A) 若A 可对角化，则A 为实对称阵 (B) 若A 为实对称阵，则A 可对角化 (C) 若A 可对角化，则A 必可逆 (D) 若A 可逆，则A 可对角化二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1.设2110A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则*A =0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1A-=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭。