上海交通大学线性代数试卷A卷
线性代数-091001(A)
班级号 上海交通大学试卷（A 卷）（2009 至2010 学年 第1学期） ____________________ 号 . ___ ■生名 ________________ 课程名称 _____ 线_性_代_数_ （B 类） _______ 成绩 _________________________ xX 22 X3 0X 1xX 3 0为Ax 0，若存在二阶矩阵 B 0，使得AB 0，贝U （ X 1 X 2 X 3 0单项选择题（每题3分，共18分） 1 •记方程组 (B) 2,且 B 0; (A) 2,且 B 0 ; (C) 1,且 B 0 ； (D)1,且 B 0。
2•设A 是m n 的矩阵,1 0 0(A) 0 3 0 ; 0 0 33 0 0(C) 0 3 0 ; 0 0 1 4.设 A, B 为 n 阶矩阵，且AB(B) 当nm 时必有非零解；(D) 当m n 时必有非零解。
0 1 01 0 0，则矩阵 B 42A 2 =(0 013 0 0(B) 0 3 0 ;0 0 11 0 0(D)0 3 0。
0 0 30,B 0, 则必有(B 是n m 的矩阵，则齐次线性方程组(AB)x 0(（A ）当n m 时仅有零解； （C ）当m n 时仅有零解； 3•设矩阵A 与B 相似，其中A 2 2 2(A) (A B) A B ; (B) |B|0 ;(C) | B * | 0 ; (D) | A * | 0。
5•设A , B 为n 阶正交矩阵，则以下一定是正交矩阵的是（其中 k 1, k 2为任意常数）(A) A B ;(B) A B ;(B) 1, 2 , , s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示； (C) 1,2,, s 中任意两个向量都线性无关；(D)1, 2 , , s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。
填空题(每题3分，共18分)11 1 17.设 Aa 1a 2a 3 , bb ，其中a i 互不相同，i i 1,2,3，则线性方程组 Ax b 的解222.2a 1 a 2 a 3 b是：x 1 ,X 9,X3。
17-18线性代数第一学期考试卷A - 答案
第 1 页 共 4 页 背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称： 线性代数A 考试时间： 120 分钟 考试方式：闭卷 （A ）卷一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交，则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量， 那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 40 二、选择题(每题3 分，共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵，则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )(（其中k 为非零常数）第 2 页 共 4 页 背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分，共40分)11、求行列式21021001201002。
2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A试卷解答
北 方 交 通 大 学2000-2001学年第二学期线性代数期末考试试卷（A 卷）一．填空题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121xA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ，且BA AB =，则=x _______；=y _______． 解：由BA AB =，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121012012121xy y x ， 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2142124y xy xy x y ． 即112,4=--=x y y ，解方程组，得2,1==y x ．且当2,1==y x 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1121A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0122B ， 验证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=212401221121AB ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212411210122BA 此时有BA AB =． 应填：2,1==y x ．2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ，其中0,0≠≠i i b a ()3,2,1=i ，则()=A r _______．解：由该矩阵的构造，以及行列式的运算性质，可知该矩阵的任意一个1阶子式均不为0，而任意一个二阶子式都为0．因此该矩阵的秩()1=A r ． 应填：()1=A r ．3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且0≠=a A ，则=*A _______．解： 由E A AA=*，两端取行列式，得nAE A AA==*．由于两个n 阶矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积，因此有 nA A A =*，即na a =*A．由题设，0≠=a A ，得11*--==n n aA A．应填：1-n a ． 4．设向量()3,2,11-=α，()5,2,02-=α，()2,0,13-=α，()8,5,44=α，则4321,,,αααα线性_______关．解：根据向量线性相关的性质：1+n 个n 维向量必然线性相关．可知4321,,,αααα线性相关．应填：相关．5．设A 是3阶矩阵，A 有特征值1,1,0321=-==λλλ，其对应的特征向量分别为1ξ，2ξ，和3ξ，设[]321,,ξξξP =，则=-AP P 1___________．解：根据矩阵的相似标准形的理论，我们有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1101AP P 应填：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11． 6．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是___________． 解：根据齐次线性方程组解的结构理论，得齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是()n r =A ．应填：()n r =A ． 7．已知：()()3122232132124,,x x x x x x x x f +++=β是正定二次型，则β的取值范围是___________． 解：此二次型所对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=40001βββA ． 则此二次型为正定二次型的充分必要条件为矩阵A 是正定二次型．而A 是正定二次型的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式皆大于零．即001>=ββ； ()04400012>-=βββββ．因此有不等式组⎩⎨⎧>->0402ββ，解之得20<<β． 应填：20<<β．8．设3阶方阵A 的列分块矩阵为[]321,,αααA =，a 、b 是数，若213αααb a +=，则=A ___________．解：根据行列式的运算性质，得 [][]2121321,,,,αααααααA b a +==[][][]0,,,,,,2211212121=+=+=ααααααααααb a b a ．应填：0．9．设不含零向量的n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，则m 与n 的大小关系为______． 解：因为n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，所以向量组m ααα,,,21 是线性无关的向量组．因此n m ≤． 应填：n m ≤．10．设有一个四元非齐次线性方程组 b AX =，()3=A r ，321,,ααα为其解向量，且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=79911α， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+899132αα， 则此方程组的一般解为____________． 解：由于四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵的秩()3=A r ，因此齐次线性方程组b AX =的导出组0AX =的基础解系中有一个解向量．由于2α与3α都是非齐次线性方程组b AX =的解向量，所以()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+42929212132αα也是非齐次线性方程组b AX =的解向量．因此()13221ααα-+是齐次线性方程组0AX =的解向量．所以()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-+69917991289912132ααα或者⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6991是齐次线性方程组0AX =的基础解系中的一个解向量．因此，非齐次线性方程组b AX =的通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ， （其中k 是任意常数）． 应填：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ．二．（本题满分8分）计算n 阶行列式1111111332211------=n n a a a a a a a a D ．解：将行列式按第1列展开，得1111111332211------=n n n a a a a a a a a D ()1211114433221111111-+---+-----=n n n n a a a a a a a a a a a a()1211111-+--+-=n n n a a a D a由此得递推公式：()1211111-+--+-=n n n n a a a D a D于是，()[]()121113222111-+---+-+--=n n n nn n a a a a a a D a a D()()12112212121-+--+-=n n n a a a D a a== ()()()121122212121-+----+-=n n n n a a a n D a a a而1112211----=-=n n n a a a D所以，()()()()1211122121221-+-----+-⋅-=n n n n n n a a a n a a a a D()()122111221111--+----=-=n n n n n n a a a na a a a na ．三．（本题满分8分）已知矩阵X 满足关系式：X B XA 3+=T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1234A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41032B ， 求X ． 解：由X B XA 3+=T ，得T B X XA =-3，即()T B E A X =-3 而 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-2231300312343E A ， 所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---1232412231311E A ． 在等式()T B E A X =-3两端右乘()13--E A ，得()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-12212314884644112324140130231E A BX T． 四．（本题满分10分）设向量组[]Tk ,1,0,01=α，[]Tk 0,1,,02=α，[]T0,0,1,13=α，[]Tk 1,0,0,4=α，问：⑴ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性相关，并求其秩及一个极大无关组．解：⑴ 4维向量组4321,,,αααα线性无关当且仅当4阶行列式0,,,4321≠αααα．而 11000100011101000100011100011010100,,,4321kk k kk k kk k --=-==αααα()1101000100011111000100011-=--=-=k k kk k k k所以，当且仅当0≠k 而且1≠k 时，0,,,4321≠αααα此时向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ 当0=k 或者1=k 时，向量组4321,,,αααα线性相关．当0=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001101000100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．当1=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101001101101100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．五．（本题满分14分）对参数λ，讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=-+λλλλλ3213213211x x x x x x x x x 的解．在有解时，求出其无穷多解． 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0110111011111100110111111111122λλλλλλλλλλλλλλλλλ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+----→λλλλλλλλ11101110111⑴ 若0=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10111011011111111λλλλλ此时方程组的系数矩阵的秩为2，而其增广矩阵的秩为3，故此时线性方程组无解． ⑵ 若1=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100101102020011111111111λλλλλ此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧=-=01321x x x ．⑶ 若1-=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001010010100202011111111111λλλλλ 此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧-=-=1231x x x ．⑷ 若0≠λ，且1±≠λ，线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是3，其秩与未知变量的个数相等，故此时线性方程组有唯一解．六．（本题满分16分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=122232221A ，求可逆矩阵P ，使得AP P Λ1-=为对角矩阵，并求kA ． 解：⑴ 矩阵A 的特征多项式为()1221102211122110221122232221---+=--++-=--+--=-λλλλλλλλλλλA E()()()111221002112-+=+--+=λλλλλ所以，矩阵A 的特征值为1,1321=-==λλλ．对121-==λλ，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=++-022202220222321321321x x x x x x x x x ，得解向量[][]TT0,1,1,1,0,121==αα．对13=λ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=+02202420222132132x x x x x x x ，得解向量[]T1,1,13-=α．令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101110111P ，则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ． ⑵ 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ，得1111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P A 所以，()()111111111111---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P P PP PAkk kkk若k 是奇数，则 A P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111k； 若k 是偶数，则 E P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1111k． 七．（本题满分8分）设321,,ααα为线性空间V 的一个基， 3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=．证明：321,,βββ也是线性空间V 的一个基．并求32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量．解：⑴ 由3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=，得[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=22331121,,,,321321αααβββ 由于022245012122331121≠==-，所以矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-220331121是可逆矩阵，因此向量组321,,ααα与321,,βββ等价．这表明，321,,βββ也是线性空间V 的一个基．⑵ []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=312,,32321321ααααααα．由[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=220331121,,,,321321αααβββ，得 [][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-52242232021,,22331121,,,,3211321321ββββββααα 所以，[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2135211,,31252242232021,,312,,321321321ββββββαααα即32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量为T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-213,5,211． 八．（本题满分6分）已知矩阵A 与B 相似，其中2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A 卷解答 第 11 页 共 11 页 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x 10100002A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10010002y B ， 求x 和y ．解：由于相似矩阵有相等的行列式，即100100021*******-===y x B A因此，有y 22-=-，所以有1=y ． 再由相似的矩阵有相等的迹，即有 1202-+=++y x ，因此，有0=x ．由此得1,0==y x ．。
上海交通大学《高等代数》《数学分析》历年考研真题汇总(2009-2018真题汇编)
(x − 1)n | (f (x) + 1), (x + 1)n | (f (x) − 1).
Ê! V •ê• F þ n ‘‚5˜m, A • V þ ‚5C†÷v A 3 − 2A 2 − A = −2id, Ù¥ id • V þð C†.
(1) A ´ÄŒé z, e´, žy². (2) - V1 = {(A − 2id)v | v ∈ V }, V2 = {(A 2 − id)v | v ∈ V }. y²: V = V1 ⊕ V2.
8
5 þ° ÏŒÆ 2015 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK£828 p “ê¤
9
6 þ° ÏŒÆ 2018 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK£828 p “ê¤
10
7 þ° ÏŒÆ 2010 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK( 614 êÆ©Û)
11
8 þ° ÏŒÆ 2011 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK( 614 êÆ©Û)
16
3
1. 2010年þ° ÏŒÆ828《高等代数》a¬ïÄ)\Æ•ÁÁK
˜! ( 20 ©) OŽ1 ª
an1
an2
(1) Dn+1 =
...
an1 −1b1 · · ·
an2 −1b2 · · · ...
ann+1 ann−+11bn+1 · · ·
1 + a1 + b1 a1 + b2
a1bn1 −1
›˜! A ´ n ‘m¥ f˜m.
C†, V1 ´ V A − ØCf˜m. y²: V1
Ö•´ V A − ØC
› ! A, B þ• n ¢é¡ , y²: AB A ŠÑŒu".
4
上海交通学期中考试试卷(A卷)-MaJia-Jun
果 φA,α ̸= φA, 令 M 为 φA,α(A) 的化零子空间. 取一个不在 M 中的向量 β. 考虑 φA,α+cβ 让 c
在 C 中变动. { φA,α+cβ | c ∈ C } 是整除 φA 的无穷多个首项系数为 1 的多项式, 所以必有
c1
̸=
c2
使得
φA,α+c1β
=
φA,α+c2β
上 海 交 通 大 学 期 中 考 试 试 卷 (A 卷)
( 2016 至 2017 学年 第 2 学期)
班级号 课程名称
学号 高等代数与解析几何 (二)
姓名 成绩
我承诺，我将 严格遵守考试纪律。
题号
得分
批阅人 (流水阅)
一二三四五六
记号
• 矩阵用大写字母记, 对应小写字母代表矩阵中的元素. 例如矩阵 A 中的第 (i, j) 个元素为 aij. AT 和 A∗ 分别代表矩阵 A 的转置和共轭转置.
构造出向量 α, 使得 φA,ξ(A) = 0. 由 (a) 和 (b), 我们得 φA 整除 φA,ξ 且 φA,ξ 整除 φA. 所以
φA,ξ = φA.
五、 [共 15 分] 假设 V 是 C 上的一个有限维的线性空间, { Aj ∈ End(V) | j ∈ J } 是 V 上 的一族可交换的线性变换. 证明: (可假设 { Aj } 是有限集)
(b) 我们就 dim V 作归纳法.
如果 dim V = 1, 命题显然成立.
现假设命题对维数小于 n 的线性空间都成立.
取 V 中任意一个 { Aj } 的共同特征向量, 记为 ε1. 考虑商空间 Q = V/ Span { ε1 }. 则 Ai 诱
06-07-1线代(A)及答案-A
由 β2 ，β3 线性表示， 3 = r(α1 ，α 2 ，α3 ) ≤ r(β 2 ，β3 ) = 2 ，矛盾。
2．(1) 因为 ( A − 3E)( A − 5E) = 0
r( A − 3E) + r(A − 5E) ≤ n ,且 r( A − 3E) + r( A − 5E) ≥ r(E) = n
⎛1⎞
⎜
6.
(1) C
=
⎜0 ⎜⋯
1 ⋯
⋯ ⋯
⎟
⎜⎟
1⎟ ⋯⎟
；(2)
y
=
⎜1⎟ ⎜⋯⎟
；
⎜⎜ ⎝
0
0
⋯
1
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝
1
⎟⎟ ⎠
(3) A = C ,
⎛n⎞
⎜⎟
A (α )
=
(β1
,
β2
,
⋯,
β
n
)⎜⎜
n −1⎟ ⋯⎟
=
(β1
,
β2
,⋯
,
βn
)y
。
⎜⎜ ⎝
1
⎟⎟ ⎠
四 证明题
1．(1) 3 = r(α1 ，α 2 ，α3 ) ≤ r(β1 ，β 2 ，β3 ) ≤ 3 ，故 r(β1 ，β 2 ，β3 ) = 3。
−
1⎟⎟
+
⋯
+
k
n
−1
⎜ ⎜
0
⎟； ⎟
⎜⋮⎟ ⎜⋮⎟
⎜⋮⎟
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
−
1⎟⎠
⎜⎛1⎟⎞ ⎜1⎟ α = k⎜⎜1⎟⎟ ⎜⋮⎟ ⎜⎝1⎟⎠
(线代－A 卷) 第 7 页 共 6 页
线性代数第3版习题全解（上海交通大学）
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s xy z x x zx y x x yzx-； ()2cos 1412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zz x z x++=++=++++ ()3331030yzx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4)22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5) xy x y y x y x x yx y+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2)1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====，3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
线性代数试题A答案[大全5篇]
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线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。
上海交通大学2005至2006第二学期线代数A卷期末考试试题及答案
上海交通大学2005至2006第二学期线代数A卷期末考试试题及答案线性代数试卷（A卷） 2006－06－21姓名学号得分题号一二三四总分得分一单项选择题（每题3分，共18分）1．已知矩阵，，且，则a. 当时，必有秩；b. 当时，必有秩；c. 当时，必有秩；d. 当时，必有秩。
2．已知为3维列向量组，行列式，，则行列式a. －6；b. 6；c. －18；d. 18。
3. 设线性空间中向量组线性无关，则的下列生成子空间中，维数为3的生成子空间是a. L；b. L；c. L；d. L。
4．设为维列向量组，矩阵，下列选项中正确的是a. 若线性相关，则线性无关；b. 若线性相关，则线性相关；c. 若线性无关，则线性无关；d. 若线性无关，则线性相关。
5. 设为非零实矩阵，，是行列式中元素的代数余子式，则矩阵必为a. 不可逆矩阵；b. 对称矩阵；c. 正交矩阵；d. 正定矩阵。
6．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则a. ；b. ；c. ；d. 。
二填空题（每题3分，共18分）1. 设3阶方阵有特征值，则的相似对角阵为；2. 设,，其中是非齐次线性方程组的解,为矩阵,且, 则线性方程组的通解为；3. 设实对称矩阵满足，则二次型经正交变换可化为标准形；4．已知矩阵满足，且，则行列式；5．设4阶矩阵满足行列式，，，则其伴随矩阵必有一个特征值为；6．已知4阶矩阵的秩，则齐次线性方程组的基础解系含个线性无关的解向量。
二计算题（每题8分，共48分）1．已知阶矩阵且满足方程，其中，求矩阵。
2. 已知非齐次线性方程组，其系数矩阵的秩试求：常数的值，以及该方程组的通解。
3. 求正交变换,将实二次型化为标准型,并写出正交变换。
4. 设为4阶方阵，其中是4维列向量，且线性无关，。
已知向量，试求线性方程组的通解。
5. 已知是3维线性空间的一个基，且，，。
（1）求由基到基的过渡矩阵；（2）设向量，求在基下的坐标6. 设列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量.（1）求常数；（2）试问：矩阵能否相似于对角矩阵？为什么？四证明题（每题8分，共16分）1. 已知矩阵为阶正定矩阵,证明:（1）矩阵的特征值都大于零；（2）若，则为正定矩阵。
上海交通大学试卷A卷
上 海 交 通 大 学 试 卷（ A 卷 ）课程 线性代数（B 类） 学期 2011－2012第1学期班级号 学号 姓名一．单项选择题 （每题3分，共18分）1．设A ，B 为n 阶方阵，且A A =2，B B =2。
则 （ ） （A ）)()(B r A r =时，A ，B 不相似； （B ）)()(B r A r ≠时，A ，B 相似； （C ）)()(B r A r =时，A ，B 相似； （D ）以上都有可能。
2．设A 为n 阶反对称矩阵 ，则 （ ） （A ）0)(=+E A r ； （B ）n E A r =+)(； （C ）n E A r <+<)(0； （D ）以上都有可能。
3．设B A ,为n 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00。
则伴随矩阵*C 为 （ ）（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A A B ||00||； （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B A A ||00||； （C ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A AB B ||00||； （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A B B A ||00||。
4．设A 为n m ⨯的实矩阵，矩阵)(A A T正定的充分必要条件为 （ ） （A ）m A r =)(； （B ）m A r <)(； （C ）m A r <)(； （D ）n A r =)(。
5．设α是单位向量，矩阵ααTk E A +=，其中1-≠k 。
则 （ ）我承诺，我将严格遵守考试纪律。
（A ）A 为正交矩阵； （B ）A 为正定矩阵； （C ）A 为可逆矩阵； （D ）A 为反对称矩阵。
6．设向量组321,,ααα线性无关，向量321,,βββ线性相关但相互不成比例，且， 321332123211,,αααβαααβαααβk k k ++=++=++=。
则 （ ） （A ）2-=k 或 1=k ； （B ）1=k ；（C ）2-≠k 且 1≠k ； （D ）2-=k 。
线性代数第3版习题全解(上海交通大学)
上海交通大学试卷(A卷)
班级号_______________________ 学号______________ 姓名 课程名称 离散数学 成绩一、选择题（40’，每题2’， 每题只有一个选项是正确的，请将答案写在题号前的括号里） （ ）1．下列命题不含联结词的（称为原子命题）是____________：A. “小明和小华是兄弟”。
B. “他个子不高也不漂亮”。
C. “小张或小王能解出这道题”。
D. “小张可能去体育场也可能在家里电视屏幕上观看这场球赛”。
（ ）2．使得p q p q →→∧))((的真值为F 的是下列情形____________：A. ),(),(F F q p =B. ),(),(T F q p =C. ),(),(F T q p =D. ),(),(T T q p =（ ）3．下列公式中____________不是永真式：A. )(q p p →→⌝B. )(q p p →⌝→C. ()()q q p q p ⌝∧→∨→)(D. ()()q q p q p ⌝∨→∨→)(（ ）４．),,()(),,())((z y x P z z y x P y x ∃→∀∃的前束范式为___________：A. )),,(),,()()()((z w v P u y x P z y x ∨⌝∃∀∃B. )),,(),,()()()((z w v P u y x P z y x ∨⌝∃∃∀C. )),,(),,()()()((z w v P u y x P z y x →∃∀∃D. 以上都不对（ ）5．下式不一定成立的是___________：A ．)()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ∀∧∀=∧∀B ．)()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ∃∨∃=∨∃C ．)()()()())()()()((x Q x x P x y Q x P y x ∀∨∀=∨∀∀D ． )()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ∃∧∃=∧∃上 海 交 通 大 学 试 卷（ A 卷）（ 20_07_ 至 20_08_ 学年 第_2__学期 ）我承诺，我将严格遵守考试纪律。
上海交通大学试卷(答案)
上海交通大学试卷(答案)（2019至2020学年第1学期）课程名称初等数论第1题：选择题[共21分]1.1[3分]15125与25256能否表示成两个整数的平方和？（B）(A)都不能(B)仅15125能(C)仅25256能(D)都能1.2[3分]令k为三维实空间中一条直线上的全体整点的集合的势。
k的可能取值有多少种？（B）(A)2种(B)3种(C)可数无穷种(D)不可数多种1.3[3分]下面各数中哪一个没有原根？（B）(A)4(B)8(C)9(D)181.4[3分]最小的可以被所有判别式为−100的整正定二元二次型表出的(正)整数为哪一个？（B）(A)5(B)25(C)100(D)不存在1.5[3分]令A为一个正整数集合，令αn表示A中不超过n的元素的个数，并且令α˙=lim sup n→∞αnn >0。
∑a∈A 1a等于多少？（C）(A)π2+π4+π61−α(B)11−α2(C)∞(D)具体取值不能仅由α决定1.6[3分]225+1含有下述哪一个素因子？（D）(A)2(B)11(C)101(D)6411.7[3分]实数轴上是否存在一族开区间，使得每个有理数都只被其中有限个区间覆盖，每个无理数都被其中无限个区间盖住？（A）(A)存在(B)不存在(C)存在性与选择公理等价(D)由Godel不完全性定理可知这无法判定第2题：填空题[共30分]2.1[5分]11x+8y=600的正整数解(x,y)的个数为6。
2.2[5分]72020在十进制展开中最后两位是01。
2.3[5分]称2的幂次或者2的幂次的3倍为一个好数。
把100颗一模一样的珠子分成大小不一的若干堆，使得每一堆里头的珠子个数都是好数。
这种分法的个数为34。
2.4[5分]模257的原根共有128个。
2.5[5分](1747)=1（填一个整数）。
2.6[5分]13x=71(mod380)的解为327+380k。
第3题：计算题[10分]试确定y2+x−x3=0的所有整数解(x,y)。
线性代数第二版(上海交大)习题答案1
1. （1）()17263540123219τ=+++++＝,为奇排列. （2）()9854673218763222131τ=+++++++＝，为奇排列. （3）()()()()121215311212n n n n n n τ++-=+-+++= ，当42n k =-或43n k =-时，为奇排列； 当41n k =-或4n k =时，为偶排列. 2.()()21211n n n n a a a a a a C ττ-+= ，()()21112n n n n n a a a C s s τ--=-=-∴ .3. （1）()127435689002111005τ+++++++= ＝，8,3i j ∴==时为偶排列;（2）()132564897010200205τ+++++++= ＝，6,3i j ∴==时为偶排列.4.含23a 的所有项为()()1324112332441a a a a τ-、()()1342112334421a a a a τ-、()()2314122331441a a a a τ-、()()2341122334411a a a a τ-、()()4312142331421a a a a τ-、()()4321142332411a a a a τ-，()()()()()()13241,13422,23142,23413,43125,43216ττττττ====== ，23112332441223344114233142,,a a a a a a a a a a a a a ∴所有包含并带负号的项为---.5．证明 ()()121212121n n ni i i i i i n i i i D a a a τ=-∑()()()()()121212121n nni i i i i ni i i i a a a τ=----∑()()()1212121211n n n ni i i i i ni i i i a a a τ=--∑()1nD =-，当n 为奇数时，,20,0D D D D =-==.6．（1）2512371459274612-----()()2123131341425121522152237141734021625927295701131461216420120r r r c c r r r r r r ---+→-----↔+-→--+-→---()3232343442415221522152220113011301139021600300030012000333r r r r r r r r r r r ---+-→↔+→=----+→-.（2）1200340000130051--()()121346115283451D -==--=- . （3）222111x xy xz xyy yz xzyzz +++ ()()()()()()222222222222222222111111D x y z x y z x y z x z y x y z y z x =+++++-+-+-+2221x y z +++＝.（4）xy x y yx y x x yxy+++()()()3333332D xy x y x y x y x y =+-+--=-+.（5）0000x y z x z y y z x z y x()12341010********10x y z x y zx y z x y z x z y x y z z y z y c c c c c x y z y z x x y z z x z x zyxx y zyxyx+++++++→=++++++()()()()()2123134141101010x y z r r r xz y y z x z y y z r r r x y z x y z z xy x z z x y x z y xx yzr r r y xx y z +-→------+-→++=++---------+-→--- ()12123200z x yy z c c c x y z z x yx y z x z c c c x y z z---+→++-----+→--- ()()()101101y z x y z z x y x y z x z z-=++------ ()()()()()21232310101100y z r r r x y z z x y x y z x y r r r y x z-+-→++-----+-→--()()()()444222222222x y z z x y x y z y x z x y z x y x z y z =++------=++---.（6）1111111111111111x x y y +-+-()()()14124234311110011111001111100111111111x x y r r r x xy r r r y yyr r r y y ++-→--+-→++-→--000000000000111011x yy x y y x yy x y x y xy yy yy--=--=---- ()22222000011111x yy x yxy xy xy xy x y xy x y xx -=+=+=-+=--.7．（1）122222222232222n()()12121122210002222122222222010012232001000203,4,,22200020002i i n r r r r r r i nn n n --+-→+-→=-=--()22!n =--.（2）1231234111321221n n n n n n n nn n ------设此行列式的值为D , 将第2,3,,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为()112312n n n ++++=+ ，将此公因式提出, 因此有 121125411431321)1(21-+=n nn n D，再令第n 行减去第1n -行, 第1n -行减去第2n -行, …, 第2行减去第1行, 可得()()11231111110111111111110111122111110111111111n n n n n nn n n n D nn n n-----++==----()123111111111111121111111111n n nn n c c c c c n -----+++++→---()()()1210000000100000001112,3,,1221000000010000ni i n n n nnc c c n n n n i n n n n-------+→++=--=------()()()()()()()()32112212211111122n n n n n n n n n n n nn ---+---++=---=-.（3）1231031201230n n n ------11231231030262!12000322,3,,1230000i i n nn n r r r n nn i nn-+→=--=---. （4）0000000000000000x y x y x x y yx将行列式按第一列展开得nn n n n y x yxy x y yxy x y xxD 11)1(000000)1(0000000++-+=-+=.8. （1）11001010001x y z x y z= ()()()22222212341111000100110100010001001x y zx y z x y zx c x c y c z c c x y z y z---+-+-+-→=---=2220x y z ∴++=,0x y z ===.（2）2222134526032113212x x ---=--+--22132222131223452625463211123132121232x x c c x x ------↔---+--+----()()2122231343422241412231223209000900100520052511r r r x x r r r r r r x x r r r x --+-→--+-→-+→-----+→-()()225910x x =---=31x x ∴=±=±或.9. （1）()11111111222222222333333331a b x a x b c a b c a b x a x b c x a b c a b xa xbc a b c ++++=-++证明 第二列乘以()x -加到第一列得()()()()21111111122222222222333333331111x a a x b c a a x b c D x aa xbc x a a x b c a a x b c x aa xbc -++=-+=-++-+ ()()11122122223331a b c c x c c x a b c a b c +-→-， 得证.（2）1211100010001nn k k k n na a x a x a x a x-=---=-∑.证明 用数学归纳法证明. 当2n =时, 212212121k k k a D a x a a x a x-=-==+=∑, 命题成立.假设对于()1n -阶行列式命题成立, 即 1111n n k n k k D a x ----==∑,则n D 按最后一行展开, 有111000001000001000(1)0001001n n nn xx D a xD x x+----=-+--11111(1)(1)n n n n k n k k a x a x -+---==--+∑11n n k n k k a a x --==+∑1nn k k k a x -==∑，因此, 对于n 阶行列式命题成立.（3）cos 100012cos 100012cos 00cos 0002cos 1012cos n αααααα=.证明 用数学归纳法证明.当1n =时, 1cos D α=, 命题成立. 假设对于1n -阶行列式命题成立, 即 1cos(1)n D n α-=-, ， 则n D 按最后一列展开, 有11cos 100012cos 100012cos 00(1)2cos 0002cos 101n n n n D D ααααα+--=-+22cos cos(1)n n D αα-=--[]12cos cos(2)cos(2)2n n n ααα=+--- cos n α=，因此, 对于n 阶行列式命题成立.(4)121211111111(1)111nn i ina a a a a a a =++=++∑证明 法一11212121323131414111111111000011100001110000011100000001n n n na a a a r r r a a a r r r D a r r r a a a a a -+-+-→-+-→=--→+--+提取公因子1232112*********1000010100010000010001010001n n n n na a a a a a a a a a ---+-----12321121121111111101000000100000000000001001nk k n n n n n na a a a a a c c c c a a a a =---++++→∑1211(1)nn i ia a a a ==+∑. 法二122112133223243431100001000111100011110001111000100001n n n n n n a a a a c c c a a a c c c D a c c c a a a a a ---+-→-+-→=--→+--+按最后一列展开（由下往上）121(1)()n n a a a a -+ 12233422000000000000000000000000000n n na a a a a a a a a --------122331100000000000000n n na a a a a a a a ----+---223341100000000000000n n na a a a a a a a -----+--1211232123123(1)()n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a -----=+++++1211(1)nn i ia a a a ==+∑. (5)()()12311231123111123112311n n n nnn n nij j i j i i n nn nx a a a a a x a a a a a x a a a x a x a a a a x a a a a a x ---==--⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 证明 法一12311231123112311231n n n n n n n n n n n x a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x -----=1231112221211333134141111110000000000n n n n n nx a a a a a x x a r r r a x x a r r r r r r a x x a a x x a ------→---→-→----()()()311211223311112211000101001001010001n n n n n nn n a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ---------------提取公因子()()()12122111211122101000000001001ni n n i i in n n nn n n a a a a x a x a x a x a c c c c x a x a x a -=--+----+++→---∑()()111nn ij j i j i i a x a x a ==⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 法二12311231123112311231n n n n n n n n n n nx a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x -----=121232343c c c c c c c c c -→-→-→ 1122223333111231000000000000n n n nn nx a a x x a a x x a x a a x a a a a x ----------按最后一行展开（由右往左）11222211()()()()n n n n n x x a x a x a x a --------1122223333122000000000000000000n n n n nx a a x x a a x x a a x a a x -----------112222333321111000000000000000n n n n n n n x a a x x a a x x a a a x x a a x ----------+----()22223313344111110000000100000n n n n n n n a x x a a x x a a x a a x x a a x +---------+----1122221111222211()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n x a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------=-----+----12222112113311()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------+----+----+ 111223322()()()()()n n n n n n a x a x a x a x a x a ----+-----()()111nn ij j i j i i a x a x a ==⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 10.解：由范德蒙德行列式性质得21211112111111()1n n n n n n x x x a a a P x a a a ------=12111111211111n n n n n n x a a a x a a a ------=()()()1231121222212311111n n n n n n n a a a a x a x a x a a a a a ----------＝，121,,,n a a a - 互不相同,∴由范德蒙德行列式性质得12312221123111110n n n n n n a a a a a a a a ------≠，故()P x 是x 的1n -次多项式，方程()0P x =的所有根为121,,,n x a x a x a -=== . 11. （1）方程组的系数行列式504211217041201111D -==-≠，所以方程组有唯一解.又130421121711200111D -==-，253421121741201011D ==，350321111741101101D -==，450431121741211110D -==-，故可得解为111D x D ==，221D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. （2）方程组的系数行列式2151130627002121476D ---==≠--，所以方程组有唯一解.又1815193068152120476D ---==---，22851190610805121076D --==----，321811396270252146D --==--，421581309270215147D --==---， 故可得解为113D x D ==，224D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. （3）方程组的系数行列式3200013200630013200013200013D ==≠，所以方程组有唯一解.又1120000320031013200013200013D ==，2310001020015003200013200013D ==-，332100130007010200003200013D ==，432010132003013000010200003D ==-，532001132001013200013000010D ==，故可得解为113163D x D ==，22521D x D ==-，3319D x D ==，44121D x D ==-，55163D x D ==. 12.设平面方程为ax by cz d ++=，则由题意知233a b c d a b c d a b c d ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩， 方程组的系数行列式111231160311D =-=-≠--，所以方程组有唯一解.又11131811d D dd d=-=---，21121231d D dd d=-=--，31123631dD d d d==--，故可得解为12D d a D ==，28D db D ==，338D d c D ==， 代入平面方程得438x y z ++=. 13. 证明充分性：若0a b c ++=，则把c a b =--带入方程组000ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（1） 可得1x y ==即三条直线相交于一点()1,1；必要性：若三条不同直线（1）相交于一点，则三个平面000ax by cz bx cy az cx ay bz ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2） 相交于非零点，而由克莱姆法则，方程组（2）有非零解的必要条件是其行列式为零，又()()()()22212a b c b c a a b c a b b c c a c a b⎡⎤=-++-+-+-⎣⎦， 所以，a b c ==或0a b c ++=，由题意a b c ==不满足， 故0a b c ++=.14.令()32f x ax bx cx d =+++，由()10f -=，()14f =，()23f =，()316f =知48423279316a b c d a b c d a b c d a b c d -+-+=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 方程组的系数行列式11111111480842127931D --==≠，所以方程组有唯一解.又10111411196342116931D -==，2101114112408321271631D --==-，31101114108431279161D -==，4111011143368423279316D --==，故可得解为12D a D ==，25D b D ==-，30D c D ==，47Dd D==， 即()32257f x x x =-+.。
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题号 得分
上海交通大学线性代数试卷 A 卷
2006
－06－21
学号
得分
一
二
三
四
总分
一 单项选择题 （每题 3 分，共 18 分）
1．已知矩阵
，
则
a. 当
时，必有秩
；
；
c. 当
时，必有秩
；
。
，且
，
b. 当
时，必有秩
d. 当
时，必有秩
2． 已知
为 3 维列向量组，行列式
，
，则行列
式 a. －
6； c. －
18；
3. 设线性空间 中向量组 数为 3 的生成子空间是
a. L
b. 6 ； d. 18 。 线性无关， 则 的下列生成子空间中， 维
；
b. L
；
c. L
；
d. L
。
4．设 是
a. 若
为 维列向量组，矩阵 线性相关，则
，下列选项中正确的 线性无关；
b. 若
线性相关，则
线性相关；
c. 若
线性无关，则
（2） 定
2. （ 1）
， 实对称，且特征值大于零，所以正
，故
的充要条件为
；
（2） 由（ 1）得
，若 可逆，
，则
，矛盾。
线性无关，
。已知向量
，试求
线性方程组
的通解。
5. 已知
是 3 维线性空间 的一个基，且
，
，
。
（1）求由基
到基
的过渡矩阵 ；
（2）设向量
，求
在基
下的坐标
6. 设列向量
是矩阵
的对应特征值 的一个特
征向量 . （1）求常数 为什么？
； （2）试问：矩阵 能否相似于对角矩阵？
四 证明题 （每题 8 分，共 16 分）
为
；
，则
的相似对角阵
2. 设
,
，其中
是非齐次线性方程组
的
解, 为 为
矩阵 , 且
, 则线性方程组 ；
的通解
3. 设实对称矩阵
换
可化为标准形
满足
，则二次型 ；
经正交变
4．已知矩阵
满足
，且
，则行列式
；
5．设 4 阶矩阵 满足行列式 必有一个特征值为
，
，
，则其伴随矩阵
；
6． 已知 4 阶矩阵
的秩
，则齐次线性方程组
的基
础解系 含
个线性无关的解向量。
三 计算题 （每题 8 分，共 48 分）
1．已知 阶矩阵
且满足方程
，其中
，
求矩阵 。
2. 已知非齐次线性方程组 试求：常数 的值，以及该方程组的通解。
，其系数矩阵 的秩
3. 求正交变换
, 将实二次型
化
为标准型 , 并写出正交变换
。
4. 设
为 4 阶方阵，其中
是 4 维列向量，且
。
3. 正交变换
，为
，
化二次型为标准形
。
4.
，
线性无关，
，解得
。
5. （1）
；
（ 2）
。
6. （1）
；
（2）不能，因为其特征值为 -1,-1,-1 ；但线性无关的特征向量只有一个 . 四 证明题
1. （ 1）
为可逆矩阵，
又
其中
为可逆矩阵。因此 为正定矩阵， 相似于 ， 的特征值与 相
同，故 的特征值都大于零。
1. 已知矩阵
为 阶正定矩阵 , 证明 :
（1） 矩阵 矩阵。
的特征值都大于零；
（ 2）若
2．设 阶方阵
, 其中
是 维列向量 , 证明：
，则
为正定
（1）
的充要条件为
；
（2）当
时，矩阵 不
可逆。
一 选择题 二 填空题
参考答案 cadbcc
1.
；2.
三 计算题
1.
。
2.
,
； 3.
； 4. ； 5. ； 6．3。线性无Βιβλιοθήκη ；d. 若线性无关，则
线性相关。
5. 设
为非零实矩阵，
， 是行列式
中元素 的
代数余子式，则矩阵
阵； 阵；
a. 不可逆矩 c. 正交矩
必为
b. 对称矩阵； d. 正定矩阵。
6．设 为 阶非奇异矩阵
， 为 的伴随矩阵，则
a.
；
b.
；
c.
；
d.
。
二 填空题 （每题 3 分，共 18 分）
1. 设 3 阶方阵 有特征值