上海交通大学线性代数试卷A卷

线性无关，
。已知向量
，试求
线性方程组
的通解。
5. 已知
是 3 维线性空间 的一个基，且
，
，
。
（1）求由基
到基
的过渡矩阵 ；
（2）设向量
，求
在基
下的坐标
6. 设列向量
是矩阵
的对应特征值 的一个特
征向量 . （1）求常数 为什么？
； （2）试问：矩阵 能否相似于对角矩阵？
四 证明题 （每题 8 分，共 16 分）
姓名
题号 得分
上海交通大学线性代数试卷 A 卷
2006
－06－21
学号
得分
一
二
三
四
总分
一 单项选择题 （每题 3 分，共 18 分）
1．已知矩阵
，
则
a. 当
时，必有秩
；
；
c. 当
时，必有秩
；
。
，且
，
b. 当
时，必有秩
d. 当
时，必有秩
2． 已知
为 3 维列向量组，行列式
，
，则行列
式 a. －
6； c. －
的基
础解系 含
个线性无关的解向量。
三 计算题 （每题 8 分，共 48 分）
1．已知 阶矩阵
且满足方程
，其中
，
求矩阵 。
2. 已知非齐次线性方程组 试求：常数 的值，以及该方程组的通解。
，其系数矩阵 的秩
3. 求正交变换
, 将实二次型
化
为标准型 , 并写出正交变换
。
4. 设
为 4 阶方阵，其中
是 4 维列向量，且
。
3. 正交变换
，为
，
化二次型为标准形
。
4.
，
线性无关，
，解得
。
5. （1）
；
（ 2）
。
6. （1）
；
（2）不能，因为其特征值为 -1,-1,-1 ；但线性无关的特征向量只有一个 . 四 证明题
1. （ 1）
为可逆矩阵，
又
其中
为可逆矩阵。因此 为正定矩阵， 相似于 ， 的特征值与 相
同，故 的特征值都大于零。
为
；
，则
的相似对角阵
2. 设
,
，其中
是非齐次线性方程组
的
解, 为 为
矩阵 , 且
, 则线性方程组 ；
的通解
3. 设实对称矩阵
换
可化为标准形
满足
，则二次型 ；
经正交变
4．已知矩阵
满足
，且
，则行列式
；
5．设 4 阶矩阵 满足行列式 必有一个特征值为
，
，
，则其伴随矩阵
；
6． 已知 4 阶矩阵
的秩
，则齐次线性方程组
18；
3. 设线性空间 中向量组 数为 3 的生成子空间是
a. L
b. 6 ； d. 18 。 线性无关， 则 的下列生成子空间中， 维
；
b. L
；
c. L
；
d. L
。
4．设 是
a. 若
为 维列向量组，矩阵 线性相关，则
，下列选项中正确的 线性无关；
b. 若
线性相关，则
线性相关；
c. 若
线性无关，则
线性无关；
d. 若
线性无关，则
线性相关。
5. 设
为非零实矩阵，
， 是行列式
中元素 的
代数余子式，则矩阵
阵； 阵；
a. 不可逆矩 c. 正交矩
必为
b. 对称矩阵； d. 正定矩阵。
6．设 为 阶非奇异矩阵
， 为 的伴随矩阵，则
a.
；
b.
；
c.
；
d.
。
二 填空题 （每题 3 分，共 18 分）
1. 设 3 阶方阵 有特征值
1. 已知矩阵
为 阶正定矩阵 , 证明 :
（1） 矩阵 矩阵。
的特征值都大于零；
（ 2）若
2．设 阶方阵
, 其中
是 维列向量 , 证明：
，则
为正定
（1）
的充要条件为
；
（2）当
时，矩阵 不
可逆。
一 选择题 二 填空题
参考答案 cadbcc
1.
；2.
三 计算题
1.
。
2.
,
； 3.
来自百度文库
； 4. ； 5. ； 6．3。
（2） 定
2. （ 1）
， 实对称，且特征值大于零，所以正
，故
的充要条件为
；
（2） 由（ 1）得
，若 可逆，
，则
，矛盾。