黑龙江省牡丹江市穆棱一中2019-2020学年高二上学期期末数学(文)试卷
【精准解析】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019-2020学年高二7月月考(期末考试)数学(文)
高二文科数学期末考试试题一、单选题：（每题5分，共60分）1.已知集合{}{}2230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =（ ）A. [3,0]-B. [3,1]-C. [3,0)-D. [1,0)-【答案】C 【解析】 【分析】解出集合,A B 中的范围,再求交集即可.【详解】由2230x x +-≤有(1)(3)0x x -+≤,即31x -≤≤,又ln()x -中0x ->即0x <. 故AB =[3,0)-故选C【点睛】本题主要考查二次不等式的求解与集合的基本运算,属于基础题型. 2.已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ，则 A. :p x ⌝∃∈R,sin 1x B. :p x ⌝∀∈R,sin 1x C. :p x ⌝∃∈R,sin 1x > D. :p x ⌝∀∈R,sin 1x >【答案】C 【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C ． 考点：全称命题与特称命题的否定．3.复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】D 【解析】 复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x=-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D.4.已知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，如果(),02016lg(),0x x f x x x ≥+=-<⎪⎩，那么(2016)(7984)4f f π+⋅-=（ ）A. 2016B. 14C. 4D.12016【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知(2016)(7984)(2016)(100002016)44f f f f ππ+⋅-=+⋅-+，再利用分段函数，代入计算，即可得出结论． 【详解】(),02016lg(),0x x f x x x ≥+=-<⎪⎩，∴ (2016)(7984)(2016)(100002016)44f f f f ππ+⋅-=+⋅-+4lg10000lg1044π=⋅==.故选：C ．【点睛】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题． 5.若1cos 86πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A.1718B. 1718-C.1819 D. 1819-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再利用诱导公式求出3cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【详解】解：1cos()86πα-=，2cos(2)2cos ()148ππαα∴-=--212()16=⨯-1718=-， 3cos(2)cos[(2)]44ππαπα∴+=-- cos(2)4πα=-- 1718=． 故选：A ．【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，属于基础题． 6.下列命题中假命题是( ) A. ∃x 0∈R ，ln x 0＜0 B. ∀x ∈(－∞，0)，e x ＞x ＋1 C. ∀x ＞0,5x ＞3xD. ∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 0 【答案】D 【解析】【详解】∃x 0∈R ，lnx 0＜0，的当x ∈（0，1）时，恒成立，所以正确；x ∈（﹣∞，0），令g （x ）＝e x ﹣x ﹣1，可得g ′（x ）＝e x﹣1＜0，函数是减函数，g （x ）＞g （0）＝0，可得∀x ∈（﹣∞，0），e x ＞x +1恒成立，正确；由指数函数的性质的可知，∀x ＞0，5x ＞3x 正确；令f (x )＝sin x －x (x ＞0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.7.已知函数2(1)y f x x =-+是定义在R 上的奇函数，若(2)1f -=，则(0)f =（ ）A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可. 【详解】解：设2()(1)g x f x x =-+，因为函数2(1)y f x x =-+是定义在R 上的奇函数，(2)1f -=所以(1)(2)1112g f -=-+=+=， 即(1)(1)2g g -=-=，则(1)2g =-， 所以(1)(0)12g f =+=-，则(0)3f =- 故选：A【点睛】此题考查函数值的计算，根据函数的奇偶性的性质，进行转化求解是解此题的关键，属于中档题.8.已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，设2()4sin cos ()cos 242Bf B B B π=⋅-+，若()2f B m -<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1m <B. 3m >-C. 3m <D. 1m【答案】D 【解析】【详解】试题分析：先化简2()4sin cos ()cos 242Bf B B B π=⋅-+1cos 24sin cos 22B B B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅+12sin B =+，因为()2f B m -<恒成立，所以()2m f B >-恒成立，即2sin 1m B >-恒成立，所以1m ，故选D. 考点：三角函数二倍角公式、降次公式；9.已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，有2()()0f x xf x '+>，且(1)0f -=，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( )A. (1,0)(0,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (1,0)(1,)D. (,1)(0,1)-∞-【答案】B 【解析】 【分析】根据条件构造函数2()()g x x f x =，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解.【详解】由题意，设2()()g x x f x =，则2'()2()()[2()'()]g x xf x x f x x f x xf x =+=+， 因为当0x >时，有2()'()0f x xf x +>， 所以当0x >时，'()0g x >，所以函数2()()g x x f x =在(0,)+∞上为增函数，因为(1)0f -=，又函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)0f f =-=，所以(1)0g =，而当()0>g x 时，可得1x >，而()0>g x 时，有()0f x >， 根据偶函数图象的对称性，可知()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞， 故选B .【点睛】该题考查的是与导数相关的构造新函数的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的单调性，解相应的不等式，属于中档题目.10.已知log 1,23,1aa b c =->>，设log bx =- log b y c =，13z a =，则,,x y z 的大小关系正确的是( ) A. z x y >>B. z y x >>C. x y z >>D. x z y >>【答案】A 【解析】由题意得1log 1a b b a =-⇒=，2323log 3(,2)2aa >⇒>∈，所以1b <且1c >，所以11221log log log 2bb b x a b-=-=-=-=， 所以log 0b y c =<，且11(,1)32z a =∈，所以z x y >>，故选A ． 11.函数()1,0252sin 2,0,6x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，若方程()f x a =恰有三个不同的解，记为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( )A. 10102,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B. 552,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C. 10101,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D.551,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由方程()f x a =恰有三个不同的解，作出()f x 的图象，确定123,,x x x ，的取值范围，得到23,x x 的对称性，利用数形结合进行求解即可．【详解】设 123x x x <<作出函数()f x 的图象如图：由 522,626x k k Z x k πππππ+=+∈⇒=- 则当 1k = 时 , 566x πππ=-=, 即函数的一条对称轴为 56x π=，要使方程()f x a =恰有三个不同的解， 则 12a <<, 此时23,x x , 关于 56x π=对称， 则232355263x x x x ππ+=⇒+= 当 1212x x =⇒=-，即 110x -<< ，则 123153x x x x π++=+110x -<<1123555551133333x x x x πππππ∴-<+<⇒-<++< 则 123x x x ++的取值范围是551,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，选D. 【点睛】本题主要考查了方程与函数，数学结合是解决本题的关键，数学结合也是数学中比较重要的一种思想方法． 12.已知函数2()ln(1)f x a x x 在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q ≠，不等式(1)(1)2f p f q p q恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. [)8,+∞B. [)18,+∞C. (]8,12D.(12,18]【答案】B 【解析】 【分析】 因为p q≠，不妨设p q>，则(1)(1)2f p f q p q，即有(1)21(1)21f p p f q q ，构造函数2()2ln(1)2g xf x xa x x x ，则有2()2ln(1)2g x f x x a x x x在()1,2单调递增，则()0g x '≥在()1,2恒成立即可，从而求解得到a 的取值范围. 【详解】解：因为p q ≠，不妨设p q >， 因为(1)(1)2f p f q p q，所以(1)21(1)21,f p p f q q()()()()0,1,0,1,11,2,11,2p q p q ∈∈+∈+∈即函数2()2ln(1)2g xf x x a x x x 在()1,2单调递增，()2201ag x x x '∴=--≥+在()1,2内恒成立， 即2242a x x ≥++在()1,2内恒成立，由于二次函数2242y x x =++的对称轴为1x =-，开口向上， 所以该函数在()1,2上是单调增函数，故2x =时，224218y x x =++=，在()1,2x ∈时，224218y x x =++<18a ∴≥.故选： B.【点睛】本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题.二、填空题：（每题5分，共20分）13.设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x +2x +m ，则f （﹣1）=_______. 【答案】3- 【解析】 【分析】由函数()f x 是R 上的奇函数，求得1m =-，得到当0x ≥时，函数()221xf x x =+-，再由()()11f f -=-，即可求解.【详解】由题意，因为函数()f x 是R 上的奇函数，则()002200f m =+⨯+=，解得1m =-，即当0x ≥时，函数()221xf x x =+-，又由()()111(2211)3f f -=-=-+⨯-=-.故答案为：3-.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的求解，其中解答中熟练应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.已知函数()y f x =(x ∈R )的图象如图所示，则不等式()0xf x '>的解集为_____．【答案】()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先由()y f x =的图象得到函数的单调区间，从而可得()0f x '>和()0f x '<的解集，进而求出()0xf x '>的解集.【详解】解：由()y f x =的图象可知()f x 在1(,)2-∞和(2,)+∞上单调递增，在1(,2)2上单调递减，所以()0f x '>的解集为1(,)2-∞(2,)+∞，()0f x '<的解集为1(,2)2，由()0xf x '>得()00f x x >⎧⎨>'⎩或()00f x x <⎧⎨<'⎩，所以()0xf x '>的解集为()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】此题考查函数图象与其导数间的关系，属于基础题. 15.现给出五个命题： ①a ∀∈R ，212a a +>； ②223,,2()2a b R a b a b ∀∈+>--； 103147> ④4()cos ,0,cos 2f x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的最小值等于4； ⑤若不等式2210kx x k -+-<对[]1,1k ∀∈-都成立，则x 312x <<. 所有正确命题的序号为______【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】①1a =时不成立；②作差后再配方可得答案；③利用分析法证明；④不满足基本不等式的条件；⑤构造关于k 的一次函数，再利用一次函数的单调性可求出x 的取值范围 【详解】解：①当1a =时，212a a +=，所以 ①不正确；②因为222222232()23(1)()1210a a b a b a b b a b +----++=+=+-++>， 所以223,,2()2a b R a b a b ∀∈+>--成立；>>>式显然成立，所以③正确； ④由于0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1x ∈，因为4()cos 4cos f x x x=+≥=，而此时要()cos 20,1x =∉，所以取不到等号，所以4()cos ,0,cos 2f x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的最小值不等于4，所以④不正确； ⑤令22()21(1)21f k kx x k x k x =-+-=--+， 因为不等式2210kx x k -+-<对[]1,1k ∀∈-都成立，所以(1)0(1)0f f -<⎧⎨<⎩，即2212101210x x x x ⎧--+<⎨--+<⎩12x <<，所以⑤正确 故答案为：②③⑤【点睛】此题考查了不等式的性质，利用分析法证明不等式，基本不等式，属于中档题.16.若函数221()22x f x x +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点的和为0x ，则0()f x =_____【答案】154【解析】 【分析】将函数的零点转化为两函数图象交点的横坐标，利用偶函数的性质可得两零点的和，从而可求出0()f x 的值.【详解】令()0f x =，则22122x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，令2x t +=，则212tt ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 令21(),()2tg t t h t ⎛⎫== ⎪⎝⎭，两函数均为偶函数，如图两函数图象交于两点，且两个点关于y 轴对称，设两交点的横坐标分别为12,t t ，则120t t +=，所以()f x 的两个零点12,x x 的大小分别为122,2t t --，则012224x t t =-+-=-， 所以42201115()(4)424244f x f -+⎛⎫=-=-+-=-= ⎪⎝⎭， 故答案为：154【点睛】此题考查了函数与方程，函数的零点，考查了转化思想，利用了数形结合的思想，属于中档题.三、解答题：（17题10分，其它每题12分，共70分）17.已知命题p ：函数()f x 为(0,)+∞上单调减函数，实数m 满足不等式(1)(32)f m f m +<-．命题q ：当[0,]2x π∈，函数2sin 2sin 1m x x a =-++.若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】1223a ≤≤【解析】 【分析】由题意结合函数的定义域及单调性可得命题p 对应集合A ，由三角函数的性质及二次函数的性质可得命题q 对应集合B ，再由命题间的关系即可得A B ，即可得解. 【详解】设命题p ，q 所对应集合分别为A ，B ．由题意p ：102332032132m m m m m +>⎧⎪->⇒<<⎨⎪+>-⎩，23,32A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当[0,]2x π∈时，[]sin 0,1∈x ，所以q ：22sin 2sin 1(sin 1)[,1]m x x a x a a a =-++=-+∈+，[,1]B a a =+， 因为命题p 是命题q 的充分不必要条件，所以A 212332312a B a a ⎧≤⎪⎪⇒⇒≤≤⎨⎪≤+⎪⎩. 所以实数a 的取值范围为1223a ≤≤. 【点睛】本题考查了函数单调性的应用、正弦型函数值域的求解，考查了充分条件、必要条件的应用，属于中档题.18.（1）若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，求3sin(5)sin 2πθπθ⎛⎫--⎪⎝⎭的值； （2）在ABC 中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，已知2c =，3C π=，ABC 的求,a b 的值. 【答案】（1）310；（2）2a b ==. 【解析】 【分析】 （1）把sin cos 2sin cos θθθθ+=-化成正切函数并求出正切值，把3sin(5)sin 2πθπθ⎛⎫--⎪⎝⎭化简并用正切表示，则其值可求.（2）根据面积和余弦定理列方程组可解. 【详解】解：（1）若sin cos cos 0,1sin cos θθθθθ+==-与sin cos 2sin cos θθθθ+=-矛盾，所以cos 0θ≠， 所以sin cos tan 12,tan 3sin cos tan 1θθθθθθθ++===--，()2223sin cos tan 3sin(5)sin sin cos 2sin cos 1tan 10πθθθθπθθθθθθ⎛⎫--=--=== ⎪++⎝⎭（2）因为3C π=，1sin 42ABC S ab C ab ===△ 由余弦定理，222222cos ,4c a b ab C a b ab =+-=+-，()243,4a b ab a b =+-+=，42,+42ab a a b b ⎧==⎧⎨⎨==⎩⎩所以2a b ==【点睛】考查三角函数的恒等变形求三角函数值，考查用余弦定理和面积公式解三角形，中档题.19.（1）已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值； （2）设函数g (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . 若关于x 的方程g (x )＝m 有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）a =2，b =9；（2）5－＜a ＜5＋. 【解析】 【分析】（1）求出函数()f x 的导函数，由322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0,则(1)0,(1)0f f '-=-=，两式联立可求常数a ，b 的值；（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数a 的取值范围.【详解】（1）由322()3f x x ax bx a =+++可得2()36'=++f x x ax b ，因为322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，所以(1)0(1)0f f -=-='⎧⎨⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或2 9a b =⎧⎨=⎩，当1,3a b ==时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥， 函数()f x 在R 上单调递增，不满足在1x =-时有极值，故舍去. 所以常数a ，b 的值分别为2,9a b ==. （2）()2()32g x x '=-，令()0g x '=，解得12x x ==，∴当x <或x >()0g x '>，当x <<时，()0g x '<，∴()g x 的递增区间是(,-∞和)+∞，单调递减区间为(，当()x f x =有极大值5+当()x f x =有极小值5-由上分析可知y= f (x )图象的大致形状及走向，∴当55a -<<+ y a =与函数()y f x =的图象有3个不同交点，即方程g (x )＝m 有三个不同的实根【点睛】本题主要考查利用函数的导数求极值，利用导数研究函数的单调区间，考查转化思想的运用，以及运算能力，属于中档题.20.设函数()21cos cos 2f x x x x =+. （1）求()f x 的最小正周期及值域；（2）已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()32f B C +=，a =3b c +=，求ABC 的面积．【答案】（1）π，[]02，;（2）2. 【解析】 【分析】（1）将函数解析式化成()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的形式后再求周期及值域．（2）由()32f B C +=可求得3A π=，然后根据余弦定理及条件可得2bc =，进而可得三角形的面积．【详解】（1）由题得()21cos cos 2f x x x x =+=πcos 213x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为T π=， ∵x ∈R ， ∴π1cos 213x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴0cos 2123x π⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭， 故函数()f x 的值域为[]02，． （2）由()()π3cos 2132f B C B C ⎡⎤+=+++=⎢⎥⎣⎦，得π1cos 232A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又()0πA ∈，， ∴52(,)333A πππ-∈-，∴233A ππ-=，∴3A π=．在ABC 中，由余弦定理得222π2cos 3a b c bc =+-=()23b c bc +-，又a =3b c +=，∴393bc =-， 解得2bc =，∴ABC 的面积为1π1sin 223222S bc ==⨯⨯=． 【点睛】（1）解决三角函数的性质的有关问题时，首先应将函数的解析式化成()sin()f x A x ωϕ=+或()cos()f x A x ωϕ=+的形式，然后将x ωϕ+作为一个整体，并结合正弦（余弦）函数的相关性质求解．（2）解三角形与三角函数的图象与性质经常综合在一起考查，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等，体现了知识间的综合和联系．21.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos B C b c +=（1）求b 的值；（2）若cos 2B B +=,求a c +的取值范围.【答案】（1）b =（2）2a c ⎛+∈ ⎝ 【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b 的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos ,cos B C 分别用边表示，再根据正弦定理可以将sin sin AC转化为a c ，于是可以求出b 的值；（2）首先根据sin 2B B +=求出角B 的值，根据第（1）问得到的b 值，可以运用正弦定理求出ABC ∆外接圆半径R ，于是可以将a c +转化为2sin 2sin R A R C +，又因为角B 的值已经得到，所以将2sin 2sin R A R C +转化为关于A 的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角B 的值后，应用余弦定理及重要不等式222a c ac +≥，求出a c +的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由cos cos 3sin B C Ab c C+=， 应用余弦定理，可得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=化简得2b =b =（2）cos 2B B +=1cos 12B B ∴+=即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ()0,B π∈ 62B ππ∴+=所以3B π=法一.21sin bR B==,则sin sin a c A C +=+ =2sin sin 3A A π⎛⎫+-⎪⎝⎭=3sin cos 22A A +6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭又20,3A π<<a c <+≤法二因为b =由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得()2334a c ac =+-， 又因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时“=”成立.所以()2334a c ac =+- ()()222324a c a c a c ++⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭a c ∴+≤又由三边关系定理可知2a cb +>=综上a c +∈⎝22.已知函数()ln f x x =，()g x x m =+.()Ⅰ若()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围；()Ⅱ已知1x ，2x 是函数()()()F x f x g x =-的两个零点，且12xx <，求证：121x x <.【答案】（1）1m ≥-（2）见解析 【解析】试题分析：()1构造()()()ln F x f x g x x x m =-=--，求导，算单调性，取最值情况()2法一：联立方程组求解21211ln ln x x x x -=-转化为证明21ln ln x x -<，设t =结论；法二：要证121x x <，只需证211x x <，由单调性只需证()211F x F x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()12ln h x x x x=-+-证明结论解析：()1令()()()ln (0)F x f x g x x x m x =-=-->，有()111x F x x x-=-='，当1x >时，()0F x '<，当01x <<时，()0F x '>，所以()F x 在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增，()F x 在1x =处取得最大值，为1m --， 若()()f x g x ≤恒成立，则10m --≤即1m ≥-.()2方法一：120x x <<，211x x ∴>， 11221122,ln ln 0lnx x m x x x x lnx x m --=⎧∴-=-⎨--=⎩， 即2121ln ln x x x x -=-21211ln ln x x x x -∴=-，欲证：121x x <21211ln ln x x x x -<=-，只需证明21ln ln x x -<，只需证明21lnx x <设1t =>，则只需证明12ln ,(1)t t t t<->， 即证：12ln 0,(1)t t t t-+<>.设()12ln (1)H t t t t t =-+>，()()22212110t H t t t t -=--=-<'， ()H t ∴()1,+∞单调递减，()()12ln1110H t H ∴<=-+=，12ln 0t t t∴-+<，所以原不等式成立.方法二：由（1）可知，若函数()()()F x f x g x =- 有两个零点，有()10F >，则1m <-，且1201x x <<<， 要证121x x <，只需证211x x <，由于()F x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证()211F x F x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由()()120F x F x ==，只需证111111ln 0F m x x x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，又()111ln 0F x x x m =--=，11ln m x x ∴=- 即证1111111111lnln ln 0m x x x x x x --=-+-< 即证11112ln 0x x x -+-<，1(01)x <<. 令()12ln (01)h x x x x x =-+-<<，()222122110x x h x x x x-+=+-=>'， 有()h x 在()0,1上单调递增，()()10h x h <=，()111112ln 0h x x x x ∴=-+-<. 所以原不等式121x x <成立.点睛：本题考查了运用导数证明恒成立和不等式问题，在证明恒成立时构造新函数，求导利用单调性即可证明，在证明不等式时，有一定难度，注意题目的转化，构造t =单调性转化为()12ln h x x x x=-+-，本题属于难题．- 21 -。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_38
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线在轴上的截距为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】令，可得，解得，即直线在轴上的截距为．故选．2.圆心为，半径为的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意先求出圆的标准方程，再把它化为一般方程，即可得答案．【详解】圆心为，半径为2的圆的方程为，即.故选：A．点睛】本题考查圆的标准方程和一般方程，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题．3.抛物线焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，求出即可得结果.【详解】整理抛物线方程得，焦点在轴，，焦点坐标为，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，属于简单题.由抛物线的方程求准线与焦点坐标，一定要化为标准方程.4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（）A. 第2天 B. 第3天 C. 第4天 D. 第5天【答案】B【解析】【分析】用列举法求得前几天挖的尺寸，由此求得第几天相遇.【详解】第一天共挖，前二天共挖，故前天挖通，故两鼠相遇在第天.故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学问题，考查等比数列的概念，属于基础题.5.是双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的一点，则直线的斜率之积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出、坐标，设出，利用已知条件，列出关系式，求解即可．【详解】∵，是双曲线的左、右顶点，∴，，设，则双曲线，∴，直线，的斜率之积：．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用、直线的斜率的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．6.已知等差数列前项的和为，若，则（）A. 154B. 153C. 77D. 78【答案】C【解析】【分析】根据题意，由，解可得，又由，计算即可得答案．【详解】根据题意，等差数列中，若，即，解得，又，∴.故选：C．【点睛】本题考查等差数列的前项和公式、等差数列的前项和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7.已知直线，直线，且，则的值为（）A. -1B.C. 或-2D. -1或-2【答案】D【解析】试题分析：由两直线平行可知系数满足值为-1或-2考点：两直线平行的判定8.设等比数列的前项和为，若则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由等比数列前项和公式列方程，并解得，然后再次利用等比数列前项和公式，则求得答案．【详解】设公比为，则，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查等比数列前项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.9.已知抛物线的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为（）A. B.C. 或D.【答案】D【解析】【分析】根据的纵坐标为负数，判断出直线斜率大于零，设直线的倾斜角为，根据抛物线的定义，求得的值，进而求得，从而求得也即直线的斜率，利用点斜式求得直线的方程.【详解】由于的纵坐标为负数，所以直线斜率大于零，由此排除B,C选项.设直线的倾斜角为.作出抛物线和准线的图像如下图所示.作，交准线于点.根据抛物线的定义可知，且.依题意，故在直角三角形中，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，化简得.故选：D.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.10.等差数列的前项和为，公差为，则（）A. 随的增大而减小B. 随的增大而增大C. 随的增大而增大D. 随的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据题意，由等差数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，，当时，随的增大而减小，与无关，故A错误；对于B，，当时，随的增大而增大，与无关，故B错误；对于C，，当时，等差数列为递减数列，随的增大而减小，故C错误；对于D，，当时，等差数列为递增数列，随的增大而增大，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查等差数列前项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意数列的函数特性.11.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．12.设F是椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】取线段PF的中点H，连接OH，OA，由题意可得OH⊥AB，设|OH|＝d，根据椭圆的定义以及在Rt△OHA中，可得a＝5d，在Rt△OHF中，利用勾股定理即可求解.【详解】如图，取线段PF的中点H，连接OH，OA.设椭圆另一个焦点为E，连接PE.∵A，B三等分线段PF，∴H也是线段AB的中点，即OH⊥AB.设|OH|＝d，则|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.在Rt△OHA中，|OA|2＝|OH|2＋|AH|2，解得a＝5d.在Rt△OHF中，|FH|＝，|OH|＝，|OF|＝c.由|OF|2＝|OH|2＋|FH|2，化简得17a2＝25c2，.即椭圆C的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，解题的关键是理解题中的几何关系，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上相应位置）13.两条平行直线与间的距离为_______．【答案】【解析】【分析】将方程化成，再利用两条平行线之间的距离公式加以计算，即可得到与之间的距离．【详解】将化成，与之间的距离为，∴.故答案为：【点睛】本题考查两条平行线之间距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．14.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是__________．【答案】【解析】设，，弦所在直线方程为，则，∵，在抛物线上∴∴∴，即∴弦所在直线方程为故答案为点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦所在直线方程的斜率，方法一利用点差法，列出有关弦的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.15.已知圆上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】求得圆心和半径，根据圆上有且仅有三个点到双曲线渐近线的距离为，判断出渐近线和圆的位置关系，根据点到直线距离公式列方程，由此求得双曲线的离心率.【详解】圆方程可化为，故圆心为，半径.由于圆上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为，所以圆心到渐近线的距离为.不妨设双曲线的一条渐近线为，即，由点到直线距离公式得.故答案为：.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查双曲线的渐近线和离心率16.数列的前项和为，且满足且，则的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出数列的公差，然后转化求解的最小值．【详解】由条件满足，得或，由知，当时，；当时，．故当前50项的公差为2，后50项的公差为1时，数列的前100项和最小．∴．故答案为：．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上的点满足，求的面积．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为，运用双曲线的定义，以及两点的距离公式可得，结合，，的关系，可得，，即可得到所求双曲线的方程；（2）由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、面积公式，化简可得所求值．【详解】（1）设双曲线的方程为，由，，且该双曲线过点，可得，，又，，双曲线的标准方程为；（2）由，得，．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用勾股定理和定义法解题，考查运算能力．18.在平面直角坐标系中，设直线与圆交于不同两点.（1）求实数的取值范围；（2）若圆上存在点C使得为等边三角形，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意知圆心到直线的距离，即可解出答案．（2）有题知圆周角，得圆心角，则圆心到直线的距离，就可解得的值．【详解】（1）由题意知圆心到直线的距离，解得，∴的取值范围为；（2）为等边三角形，∴圆周角，得圆心角，则圆心到直线的距离，解得.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．19.已知是公比为整数的等比数列，，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设是公比为整数的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【详解】（1）设数列的公比为，∵成等差数列，∴又，∴，解得或，∵公比为整数，∴舍去，∴∴.（2）由则①②由①②，得∴.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式、等差数列的中项性质的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．20.已知直线y＝2x﹣m与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于点A，B．（1）m＝p且|AB|＝5，求抛物线C的方程；（2）若m＝4p，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．【答案】（1）y2＝4x；（2）见解析【解析】【分析】(1)根据韦达定理和弦长公式列方程可得;(2)联立直线与抛物线,根据韦达定理以及斜率公式可证结论。
2019-2020年牡丹江高二上册期末数学试卷(文科)(有答案)-(新课标人教版)[精品]
![2019-2020年牡丹江高二上册期末数学试卷(文科)(有答案)-(新课标人教版)[精品]](https://img.taocdn.com/s3/m/24b290a8daef5ef7ba0d3c78.png)
黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知点（3，2）在椭圆+=1上，则（）A．点（﹣3，﹣2）不在椭圆上B．点（3，﹣2）不在椭圆上C．点（﹣3，2）在椭圆上D．无法判断点（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）、（﹣3，2）是否在椭圆上2．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为（）A．9 B．13 C．15 D．183．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知焦点在轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为8，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）A．一条直线B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分7．（5分）把二进制的数11111（2）化成十进制的数为（）A．31 B．15 C．16 D．118．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）抛物线2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．=﹣1 D．=﹣210．（5分）已知双曲线C的中心为原点，点是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为（）A．2﹣y2=1 B．C．D．11．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为（）A． B．C．D．12．（5分）设抛物线y2=2的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在极坐标系中，点P的坐标为，则点P的直角坐标为．14．（5分）已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为．15．（5分）过抛物线y2=6的焦点且与轴垂直的直线交抛物线M，N，则|MN|=．16．（5分）l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B 是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．把C1的参数方程式化为普通方程，C2的极坐标方程式化为直角坐标方程．18．（12分）求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．19．（12分）已知直线l：，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．20．（12分）在抛物线上找一点P，使P到直线y=4﹣5的距离最短．21．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．22．（12分）椭圆的离心率为，右顶点为．（Ⅰ）求椭圆方程．（Ⅱ）该椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与椭圆交于点A、B，且△F2AB面积为，求直线l的方程．黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知点（3，2）在椭圆+=1上，则（）A．点（﹣3，﹣2）不在椭圆上B．点（3，﹣2）不在椭圆上C．点（﹣3，2）在椭圆上D．无法判断点（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）、（﹣3，2）是否在椭圆上【解答】解：因为点（3，2）在椭圆+=1上，由椭圆的对称性可得点（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，﹣2）均在椭圆+=1上故选C2．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为（）A．9 B．13 C．15 D．18【解答】解：根据题意，椭圆，其中a==5，b==3，则c==4，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF 2|+|F1F2|=2a+2c=10+8=18；故选：D．3．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出值为3，故选：B4．（5分）已知焦点在轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，即2a=6，则a=3，又由椭圆的离心率为，即e==，则c=1，则有b2=a2﹣c2=8，又由椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为：+=1，故选：B．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为8，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，则双曲线的焦点在轴上，若其一条渐近线方程为，则有=，即b=a，又由双曲线的焦距为8，即2c=8，则有c2=a2+b2=4a2=16，解可得：a2=4，b2=12，则双曲线的标准方程为﹣=1；故选：C．6．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）A．一条直线B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分【解答】解：根据已知条件：，在=2t（﹣1≤t≤1）时，函数y=2．所以，该函数的图象是平行于轴的一条线段．故选：C7．（5分）把二进制的数11111（2）化成十进制的数为（）A．31 B．15 C．16 D．11【解答】解：11111（2）=20+21+22+23+24=1+2+4+8+16=31．故选：A．8．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y2=12的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），∴双曲线的c=3，a2=9﹣4=5，∴e=．故选：B．9．（5分）抛物线2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．=﹣1 D．=﹣2【解答】解：由2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线2=4y的准线方程是y=﹣1，故选A．10．（5分）已知双曲线C的中心为原点，点是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为（）A．2﹣y2=1 B．C．D．【解答】解：根据题意，点是双曲线C的一个焦点，则双曲线的焦点在轴上，且c=，设其方程为﹣=1，则有a2+b2=2，则双曲线的渐近线方程为y=±，即ay±b=0，点F到渐近线的距离为1，则有=1，解可得b=1；则a=1，则双曲线的方程为2﹣y2=1；故选：A．11．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为+=1，其中a==3，b=，则c=，则有|F1F2|=2，若a=3，则|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，则|PF2|=6﹣|PF1|=2，则cos∠F1PF2==﹣；故选：A．12．（5分）设抛物线y2=2的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．【解答】解：如图过B作准线l：=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB1|=2知B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（﹣）．把=代入上式，求得y A=2，A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在极坐标系中，点P的坐标为，则点P的直角坐标为．【解答】解：∵在极坐标系中，点P的坐标为，∴=1，y=2sin=，∴点P的直角坐标为（1，）．故答案为：（1，）．14．（5分）已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为30．【解答】解：根据题意，椭圆中，a==5，b==3，如图椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则A（﹣5，0），B（0，﹣3），C（5，0），D（0，3），则|AO|=5，|DO|=3，=4××5×3=30；四边形ABCD的面积S=4S△AOD故答案为：30．15．（5分）过抛物线y2=6的焦点且与轴垂直的直线交抛物线M，N，则|MN|=6．【解答】解：根据题意，抛物线y2=6的焦点为（，0）直线MN过抛物线y2=6的焦点且与轴垂直，设M的坐标（，b），则N的坐标为（，﹣b），M在抛物线上，则有b2=6×，解可得b=±3，|MN|=2|b|=6；故答案为：6．16．（5分）l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B 是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为．【解答】解：设双曲线的焦点F（c，0），直线l：=c，可设点P（c，n），A（﹣a，0），B（a，0），由两直线的夹角公式可得tan∠APB=||=≤，∴≤，化简可得3c2≤4a2，即c≤a，即有e≤．当且仅当n=±，即P（c，±），离心率取得最大值．故答案为．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．把C1的参数方程式化为普通方程，C2的极坐标方程式化为直角坐标方程．【解答】解：曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得C1的普通方程是：（﹣1）2+（y﹣1）2=1；曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程是=1，即2+y2=1．18．（12分）求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．【解答】解：根据题意，椭圆的焦距为2=2，要求椭圆的焦距也为2，即2c=2，则c=，又由要求椭圆的离心率e=，则a=5，则其中b==20，当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为．19．（12分）已知直线l：，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．即ρ2=2ρsinθ，化为：2+y2=2y，配方为：2+（y﹣1）2=1．（Ⅱ）⊙C的圆心C（0，1），r=1．圆C与直线l相切，∴=1，解得a=﹣3或1．20．（12分）在抛物线上找一点P，使P到直线y=4﹣5的距离最短．【解答】解法一：设与y=4﹣5平行的直线y=4+b与y=42相切，则y=4+b代入y=42，得42﹣4﹣b=0．①△=16+16b=0时b=﹣1，代入①得=，∴所求点为（，1）．解法二：设该点坐标为A（0，y0），那么有y0=402．设点A到直线y=4﹣5的距离为d，则d==|﹣402+40﹣5|=|402﹣40+5|=|4（0﹣）2+1|．当且仅当0=时，d有最小值，将0=代入y=42解得y0=1．故P点坐标为（，1）．点P到直线y=4﹣5的距离最短．21．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4．（2）直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C方程y2=4．可得（1+t）2=4（1+t），整理得，∵t1•t2=﹣15＜0，∴点P在AB之间，∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|==4．22．（12分）椭圆的离心率为，右顶点为．（Ⅰ）求椭圆方程．（Ⅱ）该椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与椭圆交于点A、B，且△F2AB面积为，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：a=，离心率e==，∴c=1，b2=a2﹣c2=1，所以椭圆C的方程为．…5分（Ⅱ）焦点F1（﹣1，0），因为直线l的斜率不为0，所以可设直线方程为=y﹣1，将其代入2+2y2﹣2=0，并化简得：2y2﹣2y+1+2y2=2，整理得：（2+2）y2﹣2y﹣1=0，设A（1，y1），B（2，y2），由韦达定理得：，．∴|y1﹣y2|==，∵×|F1F2|•|y1﹣y2|=，代入解出2=1．∴直线的方程为﹣y+1=0或+y+1=0．。
2019学年黑龙江省高二上期末文科数学试卷【含答案及解析】(1)
18.2015年“国庆节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查
某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一
辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段［60，65），
［65，70），［70，75），［75，80），［80，85），［85，90），［90，95）后得到如图所示 的频率分布直方图，据图解答下列问题：
该同学的
爸爸需要早上6:00〜7:00之间出发去上班，则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的
概率是（）
D.
10.已知P是抛物线I一上的一个动点，则点P到直线和
Z的距离之和的最小值是（）
A.1B.2
C.3D.4
11.下图是函数，-I|的导函数■-厂的图象，给出下列命题：
1一3是函数y=/（.T）的极小值点；②-1是函数Y的极小值
气温 （°C）与该奶茶店的这种饮料销量（杯），得到如下数据：
0聃
$冃1日”
5月2日-
$冃5日”
平期气渥X〔兀），
[9*
10-
1?*
Jl-r
21.
2生
2&
21-
（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据不是相邻2天数据的概率;
（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程
20.如图，已知直线I与抛物线y2 =2p x相交于A（x 1，y 1），B（ x 2
取的样本中有青年职工16人，则该样本中的老年教职工人数为()
A
.6B.8
C.9
D.12
3.
命题“血已R，都有
1咯X > 0
黑龙江省牡丹江市数学高二上学期文数期末考试试卷
黑龙江省牡丹江市数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）已知P是以为焦点的椭圆上的一点，若，则此椭圆的离心率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·友谊开学考) 某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（）A . 1030人B . 97人C . 950人D . 970人3. （2分） (2017高二上·集宁月考) 下面四个条件中,使成立的充分不必要的条件是（）A .B .C .D .4. （2分）某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A . 至多有一次中靶B . 两次都中靶C . 两次都不中靶D . 只有一次中靶5. （2分）(2019·长沙模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值满足（）A .B .C .D .6. （2分）已知命题，；命题，．则下列命题命题为真的是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二下·黑龙江月考) 已知函数的导数为，且对恒成立，则下列不等式一定成立的是A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·鞍山期中) 函数y=cosx图象上任意一点处的切线倾斜角为α，则α取值范围为（）A . （0，π）B . [0， ]C . [0，]∪[ ，π）D . [0，]∪（， ]9. （2分）在区间上随机取一个实数，使得的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（）A .B .C .D . （2,4）11. （2分） (2019高二上·德惠期中) 椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积是（）A . 8B . 4C . 2D . 112. （2分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为（）A .B .C . 36D .13. （2分）(2019·河南模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A . 2B . 4C . 5D . 614. （2分）定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A . 3f（2）＜2f（3）B . 3f（4）＜4f（3）C . 2f（3）＜3f（4）D . f（2）＜2f（1）15. （2分） (2017高二下·湖北期中) 曲线f（x）=x2+2x+ex在点（0，f（0））处的切线的方程为（）A . y=x﹣1B . y=x+1C . y=3x﹣1D . y=3x+1二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2016高一下·咸阳期末) 已知一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，则x=________．17. （1分）某射手射击1次，命中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否命中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1﹣（0.1）4；④他最后一次才击中目标的概率是其中正确结论的序号是________ （写出所有正确结论的序号）18. （1分） (2018高二上·苏州月考) 若椭圆的离心率为，则 =________.19. （1分）某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（°C）181310﹣1用电量（度）24343864由表中数据得线性回归方程=bx+a中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为________20. （1分）正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x ﹣58.5．张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在________kg左右．三、解答题 (共6题；共65分)21. （10分） (2017高二下·如皋期末) 已知命题p：方程x2+ax+2a=0有解；命题q：函数f（x）=在R上是单调函数．（1）当命题q为真命题时，求实数a的取值范围；（2）当p为假命题，q为真命题时，求实数a的取值范围．22. （10分）在某音乐唱片超市里，每张唱片售价12元，顾客如果购买5张以上（含5张）唱片，则按照九折收费；如果购买10张以上（含10张）唱片，则按照八折收费．请将下面计费的程序框图补充完整．23. （15分）(2018·鄂伦春模拟) 根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：降水量工期延误天数0136根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.（1）求这天的平均降水量；（2）根据降水量的折线图，分别估计该工程施工延误天数 X = 0 , 1 , 3 , 6 的概率.24. （10分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ， b ， c.求：（1）“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；（2）“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.25. （10分） (2019高二下·上饶月考) 如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为．（1）按下列要求建立函数关系式：①设，将表示为的函数；②设（），将表示为的函数；（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．26. （10分）(2018·鄂伦春模拟) 已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线：（）与曲线有（）个公共点.（1）若，求的最小值；（2）若，记这个交点为，，，其中在第一象限，，证明：参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共6题；共65分) 21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、。
2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．复数()()122z i i =++，则z =（ ） A ．5i - B ．5iC ．15i +D ．15i -【答案】B【解析】根据复数的运算法则求解即可. 【详解】()()21222425z i i i i i i =++=+++=故选：B 【点睛】本题考查复数的运算，属于容易题.2．把二进制数(2)10110化为十进制数为（ ） A ．22 B ．44 C ．24 D ．36【答案】A【解析】利用二进制数的定义将二进制数(2)10110可化为十进制数. 【详解】由二进制数的定义可得421(2)1011012121222=⨯+⨯+⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查二进制数化十进制数，充分利用二进制数的定义进行转化，此外在将十进制数化为()2,k k k N*≥∈进制数，要利用除k 取余法，考查计算能力，属于基础题.3．经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为2:3:5，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中中年人人数为9，则n =（ ） A ．30 B ．40C ．60D ．80【答案】A【解析】根据用分层抽样的方法特点，各层比例相等，即可求出答案. 【详解】老年人、中年人、青年人的比例为2:3:5，用分层抽样的方法中年人人数为9，所以93,3010n n =∴=. 故选:A 【点睛】本题考查分层抽样，解题关键是各层按比例分配，属于基础题.4．某入伍新兵在打靶训练中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（ ）A ．至多有一次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有一次中靶【答案】C 【解析】【详解】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶， 连续射击2次有“至少有1次中靶”和“2次都不中靶”， 这两个事件不能同时发生，是互斥事件并且是对立事件. 故选C.5． 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在335~75/g m μ空气量为二级，超过375/g m μ为超标．如图是某地12月1日至10日的 2.5PM （单位：3/g m μ)的日均值，则下列说法不正确．．．的是（ ）A ．这10天中有3天空气质量为一级B ．从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低C ．这10天中 2.5PM 日均值的中位数是55D ．这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日 【答案】C【解析】认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果. 【详解】这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一级，所以A 正确；从图可知从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低，所以B 正确； 从图可知，这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日，所以D 正确； 由图可知，这10天中 2.5PM 日均值的中位数是4145432+=，所以C 不正确； 故选C. 【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键. 6．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据框图模拟程序运算即可. 【详解】第一次执行程序，2111S =⨯-=，25S >-，继续循环，第二次执行程序，2k =，2121S =⨯-=-，25S >-，继续循环， 第三次执行程序，3k =，2(1)35S =⨯--=-，25S >-，继续循环， 第四次执行程序，4k =，2(5)414S =⨯--=-，25S >-，继续循环，第五次执行程序，5k =，2(14)532S =⨯--=-，25S <-，跳出循环，输出5k =，结束.故选C. 【点睛】本题主要考查了程序框图，涉及循环结构，解题关键注意何时跳出循环，属于中档题. 7．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为（ ） A ．32 B ．16C ．31D ．15【答案】B【解析】根据数据1x ，2x ，…，n x 的方差为2S ，则数据1Ax B +，2Ax B +，…，n Ax B +的方差22A S g 计算即可. 【详解】因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8所以数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为2816⨯= 故选：B 【点睛】本题考查样本的数字特征，属于较易题.8．如果下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中UNTIL 后面的“条件”应为A ．i>10B ．i<8C ．i<=9D ．i<9【答案】D【解析】试题分析： 根据程序可知，因为输出的结果是990，即s=1×11×10×9，需执行4次，则程序中UNTIL 后面的“条件”应为i ＜9． 故选D【考点】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．点评：解决该试题的关键是先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=1×11×10×9=990得到程序中UNTIL 后面的“条件”．9．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3【答案】A【解析】根据正相关和负相关以及相关系数的知识，选出正确选项. 【详解】由散点图可知图(1)与图(3)是正相关，故r 1>0，r 3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r 2<0，r 4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r 2<r 4<0<r 3<r 1. 故选:A. 【点睛】本小题主要考查散点图，考查相关系数、正相关和负相关的理解，属于基础题. 10．谋士梅长苏与侠女霓凰郡主约好在公元958年的某一天下午5点—6点之间在城门口见面，他们约定：谁先到谁先等20分钟，20分钟内不见另一人的到来则离去.请你计算他们能见面的概率是（ ） A ．13B ．49C ．59D ．1136【答案】C【解析】先分别设梅长苏与霓凰郡主到达城门口的时刻为x ，y ，根据题意得到5656x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，求出其对应区域的面积，再由两人能见面需满足201603-≤=x y ，求出其对应区域的面积，面积比即为所求概率. 【详解】分别设梅长苏与霓凰郡主到达城门口的时刻为x ，y ， 由题意可得：5656x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出其表示的平面区域，显然对应区域面积为211==S ，若两人能见面，则必有201603-≤=x y，其对应区域如图中阴影部分所示，所以阴影部分面积为2111452112399⎛⎫=-⨯⨯-=-=⎪⎝⎭S S，因此，他们能见面的概率是159==SPS.故选：C【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.11．在一次体育兴趣小组的聚会中，要安排6人的座位，使他们在如图所示的6个椅子中就坐，且相邻座位(如1与2，2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好．现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示，且小林坐在1号位置上，则4号位置上坐的是小林小方小马小张小李小周体育兴趣爱好篮球，网球，羽毛球足球，排球，跆拳道篮球，棒球，乒乓球击剑，网球，足球棒球，排球，羽毛球跆拳道，击剑，自行车A ．小方B ．小张C ．小周D ．小马【答案】A【解析】根据合情推理，即可推断出4号位置上坐的是小方． 【详解】根据题意，相邻座位上的人要有共同的体育兴趣爱好，所以当小林坐在1号位置上时， 位置就坐情况可以是 12 3 4 5 6 小林 小马 小李 小方 小周 小张 小林 小张小周小方小李小马故选：A ． 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题． 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）．A ．2333⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．33,43⎣⎦D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】设正方体棱长为1，()11101A PAC λλ=≤≤，建立空间直角坐标系，用参数λ，表示直线OP 的方向向量，求出平面11A BC 的一个法向量()11,1,1B D =---u u u u r，利用线面角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值，从而得到12sin cos ,1632OP B D θλ==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u u rλ的取值范围，确定sin θ的取值范围. 【详解】如图，设正方体棱长为1，()11101A PAC λλ=≤≤．以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则11,,022O ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,,1P λλ-，所以11,,122OP λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ．在正方体1111ABCD A B C D -中，可证1B D ⊥平面11A BC ，所以()11,1,1B D =---u u u u r是平面11A BC 的一个法向量．所以122211()()122sin cos ,1113163222OP B D λλθλλλ-----===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r所以当12λ=时，sin θ取得最大值33，当0λ=或1时，sin θ取得最小值23． 所以23sin 33θ∈⎣⎦.故选A ． 【点睛】本题考查了利用空间向量求解直线与平面的夹角问题.同时对空间想象能力和运算求解能力也进行了有效地考查，属于较难的一道题.二、填空题13．己知34n n A C =，则n =________.【答案】27【解析】根据排列组合的公式化简求解可得结果. 【详解】由34n n A C =得，(1)(2)(3)(1)(2)4321n n n n n n n =-----⨯⨯⨯，解得，27n =. 所以本题答案为27. 【点睛】本题考查排列组合的公式，熟记公式，认真计算，属基础题.14．一个总体容量为60，其中的个体编号为00，01，02，…，59．现需从中抽取一个容量为7的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11～12列的18开始，依次向下，到最后一行后向右，直到取足样本，则抽取样本的号码是_____________．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 50 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60 【答案】18，05，07，35，59，26，39．【解析】从随机数表的倒数第5行第11～12列开始，依次向下，到最后一行后向右读取两位数，大于等于60的数据应舍去，与前面取到的数据重复的也舍去，直到取足7个样本号码为止． 【详解】解：根据题意，60个个体编号为00，01，⋯，59，现从中抽取一容量为7的样本， 从随机数表的倒数第5行第11～12列开始，向下读取，到最后一行后向右18，81（舍去），90（舍去），82（舍去），05，98（舍去），90（舍去），07，35，82（舍去），96（舍去），59，26，94（舍去），66（舍去），39共7个； 所以抽取样本的号码是18，00，46，40，54，20，56． 故答案为：18，05，07，35，59，26，39． 【点睛】本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题． 15．540的不同正约数共有______个． 【答案】24【解析】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，然后利用约数和定理可得出540的不同正约数个数. 【详解】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，因此，540的不同正约数共有()()()12131124+⨯+⨯+=. 故答案为：24. 【点睛】本题考查合数的正约数个数的计算，一般将合数质因数分解，并利用约数和定理进行计算，也可以采用列举法，考查计算能力，属于中等题.16．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B .曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是________【答案】144【解析】观察图像可知每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.再利用规律找到行与行之间的递推关系即可. 【详解】由图像可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行之和. 即()12,3n n n a a a n --=+≥ .故第1到第13行中实心圆点的个数分别为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.故答案为：144 【点睛】本题主要考查了递推数列的实际运用,需要观察求得行与行之间的实心圆点的递推关系,属于中等题型.三、解答题17．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中x 的值及这组数据的众数；（2）已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 【答案】（1）0.020x =，众数为75；（2）()310P A =【解析】（1）根据小矩形面积和为1，求解x ，根据最高小矩形的组中值为众数，求解即可.（2）先根据频率分布直方图求解在[)50,60内有5人，其中男生3人，女生2人，记为1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，古典概型概率公式，求解即可. 【详解】（1）由()0.0050.0100.0350.030101x ++++⨯=，解得0.020x =.这组数据的众数为75.（2）满意度评分值在[)50,60内有1000.005105⨯⨯=人. 其中男生3人，女生2人，记为1A ，2A ，3A ，1B ，2B .记满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生为事件A . 总基本事件空间为：()()()()()()()()()(){}12131112232122313212,,,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B Ω=则总基本事件个数为10个，A 包含的基本事件个数为3个. 根据古典概型概率公式可知()310P A =. 【点睛】本题考查频率分布直方图，古典概型，属于中档题.18．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格: 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 温差x/o C 10 11 13 12 8 发芽数y/颗 2325302616(Ⅰ)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另3天的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+))(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的两组检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠.(参考公式, 1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑, ˆˆay bx =-),参考数据211977,434nni ii i i x yx ====∑∑【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据所给的数据，先做出x ，y 的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．试题解析：(1)由已知中表格得, 4月7日, 4月15日, 4月21日这3天的数据的平均数为,所以,所以y 关于x 的线性回归方程为, (2)依题意得,当时,;当时,,所以(2)中所得的线性回归方程是可靠的.19．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点.(1)求证： PA EF ⊥；(2)求二面角D FG E --的余弦值. 【答案】（1）证明略； （2）10-【解析】（1）证法1：∵PD ⊥平面ABCD ， CD ⊂平面ABCD ，∴CD PD ⊥． 又ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥．∵PD AD D ⋂=，∴CD ⊥平面PAD ．……………………………………………3分 ∵PA ⊂平面PAD ，∴CD PA ⊥．∵EF CD P ，∴PA EF ⊥．…………………………………………………………6分 证法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,1F ，()0,1,1E ()0,0,2P ， ()2,0,0A ， ()111,,m x y z =， ()111,,m x y z =．………4分 ∵()()·2,0,2?0,1,00PA EF =--=u u u r u u u r ，∴PA EF ⊥．………6分（2）解法1：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ， ()0,0,1F ， ()0,0,1F ， ()0,1,1E ，()0,0,1DF =u u u r， ()111,,m x y z =，……………8分设平面DFG 的法向量为()111,,m x y z =，∵11110,0,{{20.0.z m DF x y z m FG =⋅=∴+-=⋅=u u u ru u u r令11y =，得()0,0,1DF =u u u r是平面DFG 的一个法向量．…………………………10分设平面EFG 的法向量为()111,,m x y z =，∵11110,0,{{20.0.z m DF x y z m FG =⋅=∴+-=⋅=u u u ru u u r令11y =，得()1,0,1n =是平面DFG 的一个法向量．……………………………12分 ∵10cos ,5210m n m n m n ⋅====-⋅⋅． 设二面角D FG E --的平面角为θ，则D FG E --． 所以二面角D FG E --的余弦值为10-．………………………………………14分 解法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，W则()0,0,0D ， ()0,0,1F ， ()0,0,1F ， ()0,1,1E ， ()0,0,1DF =u u u r ， ()0,0,1DF =u u u r()111,,m x y z =， ()1,1,1EG =-u u u r ， ()1,1,1EG =-u u u r．………………………………8分过D 作FG 的垂线，垂足为M ，∵()0,1,1E 三点共线，∴()1DM DF DG λλ=+-u u u u r u u u r u u u r， ∵·0DM FG =u u u u r u u u r ，∴()·1?0DF FG DG FG λλ+-=u u u r u u u r u u u r u u u r，即()()1150λλ⨯-+-⨯=，解得56λ=． ∴51115,,66636DM DF DG ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r ．………………………………………………10分再过D 作FG 的垂线，垂足为M ，∵,,F G M 三点共线，∴()1EN EF EG μμ=+-u u u r u u u r u u u r， ∵·0DM FG =u u u u r u u u r，∴，即()1EN EF EG μμ=+-u u u r u u u r u u u r ，解得23μ=．∴21111,,33333EN EF EG ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ．……………………………………………12分∴·10 cos,5DM ENDM ENDM EN〈〉==-⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u ru u u u r u u u r．∵DMu u u u r与ENu u u r所成的角就是二面角D FG E--的平面角，所以二面角D FG E--的余弦值为105-．………………………………………14分（1）根据女性频率分布直方图，估计女性使用微信的平均时间；（2）若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关？参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：【答案】(1)4.76小时(2) 有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．【解析】分析：（1）根据平均数的计算公式得到结果；（2）根据公式计算得到()2210038203012 2.941 2.70650506832K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，从而做出判断.详解：（1）女性平均使用微信的时间为：0.1610.2430.2850.270.129 4.76⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）（2）20.040.1420.121a +++⨯=（），解得0.08a =由列联表可得()2210038203012 2.941 2.70650506832K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ，所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．点睛：本题考查了平均数的计算，卡方的计算和应用；频率分布直方图中平均数的计算是，将每个长方条的中点乘以长方条的高，再乘以组距，相加即可.21．已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点(2,0),(2,0)A B -连线的斜率之积为12-，记点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点(1,0)-的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，曲线C 上是否存在点E 使得四边形OMEN 为平行四边形？若存在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）22142x y +=(2)x ≠±；（2）不存在，见解析 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意可得12PA PB k k ⋅=-，运用直线的斜率公式，化简即可得到点P 的轨迹曲线C ；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由题意知l 的斜率一定不为0，设1x my =-，代入椭圆方程整理得关于y 的二次方程，假设存在点E ，使得四边形OMEN 为平行四边形，其充要条件为OE OM ON =+u u u r u u u u r u u u r，利用韦达定理可求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入椭圆方程即可求出m ，由此可求出点E 的坐标，发现矛盾，故不存在． 【详解】解：（1）设(,)P x y ，有12PA PB k k ⋅=-， 得1222y y x x ⋅=-+-， 整理得22142(2)x y x +=≠±，∴曲线C 的方程为22142x y +=(2)x ≠±；（2）假设存在符合条件的点()00,E x y ，由题意知直线l 的斜率不为零， 设直线l 的方程为()()11221,,,,x my M x y N x y =-由22124x my x y =-⎧⎨+=⎩，得：()222230,0m y my +--=∆> 12222my y m ∴+=+ 则()12122422x x m y y m +=+-=-+由四边形OMEN 为平行四边形， 得OE OM ON =+u u u r u u u u r u u u r2242,22m E m m -⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭点E 坐标代入C 方程得：4220m m +=， 解得20m =∴此时(2,0)E ，但2x ≠±，所以不存在点E 使得四边形OMEN 为平行四边形. 【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出1C 的极坐标方程；（2）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩后得到曲线，曲线(0)3πθρ=>分别与1C 和3C 交于A ，B 两点，求AB ． 【答案】（1）4cos ρθ= （2）1AB =【解析】（1）根据公式求出消去参数α，得到1C 的普通方程，再把cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得到1C 的极坐标方程；（2）根据伸缩变换得到2C 的方程，从而得到1OB =，再得到4cos23OA π==，从而求出AB 的长.【详解】解：（1）将22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=，将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=，所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）因为1,2x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩，所以得到2,x x y y '=='⎧⎨⎩， 将2,x x y y '=='⎧⎨⎩代入2C 得221x y ''+=， 所以3C 的方程为221x y +=． 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以1OB =．又4cos23OA π==，所以1AB OA OB =-=．【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程，伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.。
黑龙江省牡丹江一中2018-2019学年高二(上)期末数学试卷(文科)(含精品解析)
2018-2019学年黑龙江省牡丹江一中高二〔上〕期末数学试卷〔文科〕一、选择题〔本大题共12小题，共分〕1. 复数53+4i的虚部是()A. 45B. −45i C. 45i D. −45【答案】D【解析】解：53+4i =5(3−4i)(3+4i)(3−4i)=5(3−4i)25=35−45i，故复数的虚部为：−45，故选：D．分子分母同乘以分母的共轭复数3−4i可化简复数，由复数的定义可得其虚部．此题考查复数的基本概念，属基础题．2. 某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为()A. 80B. 40C. 60D. 20【答案】B【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，∴三年级要抽取的学生是24+3+2+1×200=40，故选：B．要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．此题考查分层抽样方法，此题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，此题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．3. 图是某赛季甲、乙两名篮球运发动每场比赛得分统计的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是()A. 62B. 63C. 64D. 65【答案】C【解析】解：由茎叶图知：甲这几场比赛得分的中位数为：28，乙这几场比赛得分的中位数为：36，∴甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是：28+36=64．故选：C．由茎叶图知：甲这几场比赛得分的中位数为：28，乙这几场比赛得分的中位数为：36，由此能求出甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和．此题考查两组数据的中位数之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用．4. 对变量x，y有观测数据(x i,y i)(i=1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v，有观测数据(u i,v i)(i=1,2，…，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断()A. 变量x与y正相关，u与v正相关B. 变量x与y正相关，u与v负相关C. 变量x与y负相关，u与v正相关D. 变量x与y负相关，u与v负相关【答案】C【解析】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选：C．通过观察散点图得出：y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．此题考查了散点图的应用问题，通过读图来解决问题，是基础题．5. 同时掷两个骰子，向上点数和为5的概率是()A. 421B. 19C. 112D. 221【答案】B【解析】解：根据题意，列表得：由表可得：共有36种等可能的情况，向上的点数之和是5的情况有4种，则两个骰子向上的一面的点数和为5的概率为436=19．故选：B．根据题意，用列表的方法列举所有可能的情况，进而由表可得所有的情况数目与向上点数和为5的情况数目，由等可能事件的概率公式计算可得答案．此题考查等可能事件的概率计算，涉及列举法求等可能事件的概率，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．6. 在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟和效果最好的模型是()A. 模型1的相关指数R2为0.25B. 模型2的相关指数R2为0.50C. 模型3的相关指数R2为0.98D. 模型4的相关指数R2为0.80【答案】C【解析】解：相关指数R2越大，拟合效果越好．∵R2=0.98在四个选项中最大，∴其模型拟合效果最好．故选：C．两个变量y与x的回归模型中，相关指数R2越大，拟合效果越好．此题考查了拟合效果的判断问题，相关指数R2越大，其拟合效果越好．7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.以下图是源于其思想的一个程序框图，假设输入的a，b分别为5，2，则输出的n=()A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B，b=4，满足进行循环的条件，【解析】解：当n=1时，a=152，b=8满足进行循环的条件，当n=2时，a=454，b=16满足进行循环的条件，当n=3时，a=1358，b=32不满足进行循环的条件，当n=4时，a=40516故输出的n值为4，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．此题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8. 假设直线ax+y=0始终平分圆x2+y2−2ax+2ay+2a2+a−1=0的周长，则a的值为()A. 1B. 0C. 0或1D. 0或−1【答案】B【解析】解：根据题意，圆x2+y2−2ax+2ay+2a2+a−1=0，即(x−a)2+(y+a)2=1−a，其圆心为(a,−a)，半径r=√1−a，则有1−a>0，则a<1；假设直线ax+y=0始终平分圆x2+y2−2ax+2ay+2a2+a−1=0的周长，则直线经过圆心，则有a2−a=0，解可得a=0或1，又由a<1；故a=0；故选：B．根据题意，由圆的方程分析圆心与半径，又由直线ax+y=0始终平分圆x2+y2−2ax+2ay+2a2+a−1=0的周长，可得直线经过圆心，则有a2−a=0，解可得a的值，验证圆的方程即可得答案．此题考查直线与圆的位置关系，注意直线平分圆周的含义，属于基础题．9. 已知五个数3，5，7，4，6，则该样本标准差为()A. 1B. √2C. √3D. 2【答案】B【解析】解：数据3，5，7，4，6的平均数为x=15(3+5+7+4+6)=5方差为S2=15[(3−5)2+(5−5)2+(7−5)2+(4−5)2+(6−5)2]=2∴标准差为√2故选：B．先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差．计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：(1)计算数据的平均数x；(2)计算偏差，即每个数据与平均数的差；(3)计算偏差的平方和；(4)偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．10. 已知点P是抛物线y2=2x上的动点，F为抛物线的焦点，A(72,4)，则|PA|+|PF|的最小值是( )A. 72B. 5 C. 92D. 4【答案】B【解析】解：由题意可得F(12,0)，∵点A(72,4)在抛物线外，∴根据抛物线的定义可得|PA|+|PF|的最小值为|AF|=√(72−12)2+(4−0)2=5故选：B先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，根据点A 在抛物线外可得到|PA|+|PF|的最小值为|AF|，再由两点间的距离公式可得答案．此题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．11. 甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12、13、14，则有人能够解决这个问题的概率为( ) A. 1312B. 34C. 14D. 124【答案】B【解析】解：此题没有被解答的概率为(1−12)(1−13)(1−14)=14， 故能够将此题解答出的概率为1−14=34， 故选：B ．利用相互独立事件的概率乘法公式求出“问题未被解答”的概率，利用对立事件的概率公式得到“问题被解答”的概率．此题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、对立事件的概率公式；注意正难则反的原则，属于中档题．12. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2， (960)分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A. 7B. 9C. 10D. 15【答案】C【解析】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+(n−1)30=30n−21．由451≤30n−21≤750解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n= 9+(n−1)30=30n−21，由451≤30n−21≤750求得正整数n的个数．此题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．二、填空题〔本大题共4小题，共分〕13. 某妇产医院长期观察新生婴儿的体重，通过样本得到其频率分布直方图如下图，则由此可预测每10000名新生婴儿中，体重在(2700,3000]的人数大概是______【答案】3000【解析】解：由频率分布直方图得体重在(2700,3000]的频率为0.001×300=0.3，∴由此可预测每10000名新生婴儿中，体重在(2700,3000]的人数大概是10000×0.3=3000．故答案为：3000．由频率分布直方图得体重在(2700,3000]的频率为0.3，由此可预测每10000名新生婴儿中，体重在(2700,3000]的人数．此题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．14. 设P是双曲线x29−y227=1上一点，F1，F2分别是左右焦点，假设|PF1|=7，则|PF2|=______【答案】13【解析】解：根据题意，双曲线x 29−y 227=1，其中a =3，c =6，又由P 是双曲线上一点，则有||PF 1|−|PF 2||=2a =6， 又由|PF 1|=7，则|PF 2|=1<c −a =3(舍去)或13， 故答案为：13．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a 、c 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|−|PF 2||=2a =6，计算可得|PF 2|分析可得答案．此题考查双曲线的定义，注意由双曲线的标准方程求出a 的值．15. 某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为______cm ． 【答案】185【解析】解：设X 表示父亲的身高，Y 表示儿子的身高则Y 随X 的变化情况如下；建立这种线性模型：用线性回归公式，求解得线性回归方程y =x +3 当x =182时，y =185 故答案为：185．设出解释变量和预报变量；代入线性回归方程公式，求出线性回归方程，将方程中的X 用182代替，求出他孙子的身高．此题考查由样本数据，利用线性回归直线的公式，求回归直线方程．16. 任取两个小于1的正数m 、n ，假设m 、n 、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是______． 【答案】π2−1【解析】解：由m 、n 、1能作为三角形的三条边长，且正数m 、n 小于1，则{0<m <10<n <1m +n >1记事件A 为“它们能构成钝角三角形三条边长”，则{m 2+n 2<10<m <10<n <1m +n >1，由古典概型中的面积型，由图可得：P(A)=S 弓S 三角形ABC=π4−1212=π2−1故答案为：π2−1．由m 、n 、1能作为三角形的三条边长，且正数m 、n 小于1，则{0<m <10<n <1m +n >1，由“它们能构成钝角三角形三条边长”，则{m 2+n 2<10<m <10<n <1m +n >1，由古典概型中的面积型，作图求面积即可此题考查了三角形法则及几何概型中的面积型，属中档题三、解答题〔本大题共6小题，共分〕17. 已知曲线C 的参数方程为{y =sinθx=1+cosθ(θ为参数)(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线x +y −5=0距离的最小值． 【答案】解：(1)∵曲线C 的参数方程为{y =sinθx=1+cosθ(θ为参数)， ∴曲线C 的直角坐标方程为(x −1)2+y 2=1． (2)设曲线C 上的点的坐标为(1+cosθ,sinθ)，∴曲线C上的点到直线x+y−5=0距离：d=√2=|√2sin(θ+π4)−4|√2，∴当sin(θ+π4)=1时，曲线C上的点到直线x+y−5=0距离的最小值为2√2−1．【解析】(1)由曲线C的参数方程能求出曲线C的直角坐标方程．(2)求出曲线C上的点的坐标为(1+cosθ,sinθ)，曲线C上的点到直线x+y−5=0距离d=√2=|√2sin(θ+π4)−4|√2，由此能求出曲线C上的点到直线x+y−5=0距离的最小值．此题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的距离的最小值的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18. 已知射手甲射击一次，命中9环(含9环)以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．(1)求甲射击一次，命中不足8环的概率；(2)求甲射击一次，至少命中7环的概率．【答案】解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，则P(A)=1−0.56−0.22−0.12=0.1，“甲射击一次，命中7环”为事件B，则P(B)=0.12，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，(1)“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B，由互斥事件的概率加法公式，P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.12=0.22．答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．(2)方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，“甲射击一次，命中9环(含9环)以上”为事件D，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B+C+D，∴P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.12+0.22+0.56=0.9．答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件A，∴P(A)=1−P(A)=1−0.1=0.9．答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．【解析】记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A ，“甲射击一次，命中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件．(1)“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A +B ，由互斥事件的概率加法公式，能求出甲射击一次，命中不足8环的概率．(2)方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C ，“甲射击一次，命中9环(含9环)以上”为事件D ，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B +C +D ，由此能求出甲射击一次，至少命中7环的概率．方法2：“甲射击一次，至少命中7环”为事件A ，由对立事件的概率求法能求出甲射击一次，至少命中7环的概率．此题考查概率的求法，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用对立事件的概率的求法．19. 已知直线l ：x +y −3=0.在极坐标系(以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ=4sinθ．(1)写出圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，假设点P 的坐标为(2,1)，求|PA|+|PB|．【答案】解：(1)圆C 的方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，化为：x 2+y 2=4y ，配方为：x 2+(y −2)2=4．(2)由直线l ：x +y −3=0，点P 的坐标为(2,1)，可得参数方程：{x =2−√22ty =1+√22t (t 为参数)．代入圆的方程可得：t 2−3√2t +1=0， ∴t 1+t 2=3√2，t 1t 2=1．∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3√2．【解析】(1)圆C 的方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，利用互化公式可得普通方程．(2)直线l ：x +y −3=0，点P 的坐标为(2,1)，可得参数方程：{x =2−√22ty =1+√22t (t 为参数).代入圆的方程可得：t 2−3√2t +1=0，可得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|.此题考查了极坐标方程化为普通方程、参数方程的应用、直线与圆的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. 我校为了让高一学生更有效率地利用周六的时间，在高一新生第一次摸底考试后采取周六到校自主学习，同时由班主任老师值班，家长轮流值班.一个月后进行了第一次月考，高一数学教研组通过系统抽样抽取了400名学生，并统计了他们这两次数学考试的优良人数和非优良人数，其中部分统计数据如下：(1)请画出这次调查得到的2×2列联表；并判定能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为周六到校自习对提高学生成绩有效？(2)从这组学生摸底考试中数学优良成绩中和第一次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次考试的概率．下面是临界值表供参考：(参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】解：(1)2×2列联表>10.828，随机变量K2的观测值k=8007因此能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为周六到校自习对提高学生成绩有效；×5=3个；(2)从摸底考试数学优良成绩中抽取150250×5=2个，从第一次月考数学非优良成绩中抽取100250设从这5个成绩成绩来自同一次考试的事件为A，则P(A)=C 32+C 22C 52=25因此，这2个成绩来自同一次考试的概率是25．【解析】(1)由2×2列联表，计算K 2，对照临界值表得出结论；(2)根据分层抽样比例求出所抽取的5个成绩，利用列举法计算基本领件数、计算对应的概率值 此题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．21. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，总分值为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答以下问题： 分组频数频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 0.1670.5～80.5 1080.5～90.5 16 0.3290.5～100.5 合计50(Ⅰ)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)； (Ⅱ)补全频数直方图；(Ⅲ)学校决定成绩在75.5～85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？【答案】解：(1) 分组频数频率 50.5～60.5 40.08(4分)(2)频数直方图如下图(8分)(3)成绩在75.5～80.(5分)的学生占70.5～80.5的学生的5，因为成绩在70.5～80.5的学生频率为0.2，10所以成绩在75.5～80.5的学生频率为0.1，(10分)，因为成绩在80.5～90.5的学生频率为0.32，所以成绩在80.5～85.5的学生占80.5～90.5的学生的510成绩在80.5～85.5的学生频率为0.16(12分)所以成绩在76.5～85.5的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900=234(人)(14分)【解析】(1)根据样本容量，频率和频数之间的关系得到要求的几个数据，注意第三个数据是用样本容量减去其他三个数得到．(2)首先根据表格中已知频率乘以总人数即可求出小组的频数，再根据所有频率之和为1可以求出最后一个未知小组的频率，然后乘以总人数就可以求出这组的频数，最后根据表格数据库补全频数分布直方图；(3)先计算出成绩在76.5～85.5的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900=234(人)．本小题主要考查频率分布直方图、用样本的频率分布估计总体分布等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题．)为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=422. 已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P(1,32(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积S ABCD的最大值．【答案】解：(I)设椭圆E 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)，由已知|PF 1|+|PF 2|=4，得2a =4，∴a =2，…(2分) 又点P(1,32)在椭圆上，∴14+94b 2=1，∴b =√3， 椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1.…(5分)(II)由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形， ∴S ▱ABCD =4S △OAB ，设直线AB 的方程为x =my −1，且A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =my −1x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2−6my −9=0，∴y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，…(6分)S △OAB =S △OF 1A +S OF 1B =12|OF 1||y 1−y 2|=12|y 1−y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=6√m 2+1(3m 2+4)2，…(9分)令m 2+1=t ，则t ≥1，S △OAB =6√t(3t+1)2=6√19t+1t+6，…(11分)又∵g(t)=9t +1t 在[1,+∞)上单调递增 ∴g(t)≥g(1)=10，∴S △OAB 的最大值为32． ∴S ▱ABCD 的最大值为6.…(13分)【解析】(I)设椭圆E 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)，由已知|PF 1|+|PF 2|=4，14+94b 2=1，由此能求出椭圆E 的标准方程．(II)由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形，S △ABCD =4S △OAB ，设直线AB 的方程为x =my −1，且A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x =my −1x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2−6my −9=0，由此利用弦长公式能求出S △BCD 的最大值．此题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．。
黑龙江省牡丹江市穆棱一中2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试卷
黑龙江省牡丹江市穆棱一中2020-2021学年高二上学期期末数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．“a ＞0”是“|a|＞0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=3．已知P 是椭圆22110036x y +=上一点，点12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，直线1PF 交椭圆于另一点A ，则2PAF ∆的周长为（ ）A ．10B ．16C ．20D ．404．若椭圆22110034x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为6，则点P 到另一个焦点2F 的距离为（ ）A ．10B ．6C ．12D ．145．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．2213y x -= B ．2213x y -= C ．2213x y -= D ．22122x y -= 6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.67．若()e x f x =，则()0f '等于（ ）A ．0B ．1C ．eD ．e x 8．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)9．已知椭圆221259x y +=，12,F F 分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，则||ON 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线的焦点的距离是 ( )A ．6B ．4C ．8D ．12 11．已知()ln x f x x =，则()f x '=（ ） A ．21xB ．11x -C ．1ln x -D ．21ln x x - 12．双曲线2213y x -=的焦点到渐近线的距离是（ ）A B ．2 C D ．12二、填空题13．抛物线218y x =-的焦点坐标为_________ 14．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______15．与椭圆221259x y +=有公共焦点，且离心率43e =的双曲线的标准方程_______ 16．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为．三、解答题17．某校从高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）按分层抽样从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选取6人，再从这6人中选取两人作为代表参加交流活动，求他们在不同分数段的概率.18．如果():30p x x -<是:23q x m -<的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．设函数()365f x x x =-+，x ∈R ，求()f x 的单调区间和极值. 20．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点（0，4），离心率为35. （1）求C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．参考答案1．A【解析】试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．解：∵a ＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a ＞0或a ＜0即|a|＞0不能推出a ＞0，∴a ＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件故选A考点：必要条件．2．C【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.3．D【分析】由题意可得，10a =，再由椭圆的定义知，2PAF ∆的周长为4a ，即可得到答案.【详解】由题意，10a =，又由椭圆定义知，122PF PF a +=，122AF AF a +=，即2PAF ∆的周长：2111212440PAF l PF AF PA PF PF AF AF a ∆=++=+++==. 故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的定义的应用，属于基础题.4．D【分析】根据椭圆的定义即可得到结论.【详解】由椭圆的定义知：12220PF PF a +==，又16PF =，所以，212020614PF PF =-=-=.故选：D.【点睛】本题给出椭圆上一点到一个焦点的距离，求它到另一个焦点的距离，着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题.5．A【分析】 先设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，再根据已知得到一个关于a,b 的方程组，解方程组即得双曲线的方程.【详解】∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>．由题知c ＝2， ∴a 2＋b 2＝4.① 又点(2,3)在双曲线上，∴222223a b-＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－213y =. 故答案为A【点睛】(1)本题主要考查双曲线标准方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求双曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.6．B【解析】区间[22,30)内的数据共有4个，总的数据共有10个，所以频率为0．4,故选B ．7．B【解析】【分析】令导函数中的x 等于0求出f′（0）的值．【详解】∵f （x ）=e x ，∴f′（x ）=e x ，∴f′（0）=e 0=1，故选：B ．【点睛】本题考查了基本初等函数的导数的运算，以及函数在某点处的导数值，属于基础题． 8．C【解析】y ′＝3x 2＋1>0对于任何实数都恒成立．9．D【解析】【分析】根据三角形中位线性质以及椭圆定义可得结果.【详解】 由椭圆定义得21210MF MF a +==，因为12MF =，所以28MF =因为N 是1MF 的中点，所以22MF ON ==4，选D.【点睛】本题考查椭圆定义，考查基本求解能力. 属于基础题.10．A【解析】试题分析：由抛物线28y x =知，点P 到y 轴的距离是4，那么P 到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P 到该抛物线的焦点的距离是6，故选A ．考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”．11．D【分析】根据导数的运算法则求导即可得到结论.【详解】由导数的运算法则，得()221ln 11ln x x x x f x x x ⋅-⋅-'==. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，关键是掌握基本的导数公式和法则，属于基础题. 12．A【分析】根据方程得双曲线的一个焦点为()12,0F ，渐近线方程为y =，利用点到直线的距离公式即可.【详解】由题意，设双曲线的一个焦点为()12,0F ，其中一条渐近线方程为y =，0y -=，所以，焦点到渐近线的距离为d ==故选：A.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，属于基础题.13．()0,2-【分析】将抛物线的方程化为标准形式后，由抛物线的定义即可得到焦点坐标..【详解】 抛物线218y x =-化为28x y ，所以，焦点坐标为()0,2-.故答案为：()0,2-.【点睛】本题考查抛物线的标准方程与性质，属于基础题.14．12【考点定位】此题考查分层抽样的概念和具体做法，明确分层抽样的本质是关键【解析】 试题分析：由题意知，抽样比例为2898，故应抽取女运动员人数是28421298⨯=（人）． 考点：分层抽样.15．22197x y -= 【分析】根据题意，设双曲线方程为221259x y λλ-=--()925λ<<，再由离心率43e =求得λ的值即可.【详解】 由题意，设双曲线方程为221259x y λλ-=--()925λ<<， 则在双曲线中，225a λ=-，29b λ=-， 所以，离心率43c e a ===，解得16λ=， 即双曲线方程为22197x y -=. 故答案为：22197x y -=. 【点睛】本题考查椭圆，双曲线的几何性质及其标准方程的计算，属于基础题.16【详解】tan6b c a a π=∴== 17．（1）及格率是80%；平均分是72分（2）13 【分析】（1）由频率分布直方图直接可计算得及格率以及平均分；（2）按分层抽样知[80,90)5人A ，B ，C ，D ，E ，[90,100]”1人F ，写出基本事件，事件“不同分数段”所包含的基本事件数5种，利用古典概型即可得到结论.【详解】（1）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.0200.0300.0250.005)100.80+++⨯=，所以抽样学生成绩的合格率是80%.- 利用组中值估算抽样学生的平均分：123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅450.05550.15650.2750.3850.25950.05=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯72=.估计这次考试的平均分是72分（2）按分层抽样抽取[80,90)5人A ，B ，C ，D ，E ，[90,100]”1人F .，则基本事件(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种，事件“不同分数段”所包含的基本事件数5种，故所求概率为：51153p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均数，考查分层抽样的定义，古典概型，属于基础题. 18．3m ≥【分析】通过解不等式化简命题，再由充分不必要条件列不等式组解得即可.【详解】由不等式()30x x -<，得03x <<，由不等式23x m -<，得32mx +<， ∵命题p 是命题q 的充分不必要条件， ∴332m+≥，即3m ≥. 故实数m 的取值范围为3m ≥. 【点睛】本题考查解不等式，充分必要条件的定义，属于基础题.19．单调增区间(,-∞，)+∞.单调减区间(.5y =极大值，5y =-极小值.【分析】求导根据导数的正负得到单调区间，再计算极值得到答案. 【详解】解：()2'36f x x =-，令()'0f x =得1x =，2x =()'f x ，()f x 随x 的变化如下表：由上表知()y f x =的单调增区间(,-∞，)+∞.单调减区间(.(5y f ==极大值，5y f ==-极小值.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间和极值，属于常考题型，需要熟练掌握.20．（1）2212516x y +=；（2）36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用待定系数法求出b =4，再根据35c e a ==，代入即可求解. （2）直线方程为()435y x =-，将直线方程与椭圆方程联立消y ，利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）将（0，4）代入C 的方程得2161b=， ∴b =4，又35c e a == 得222925a b a -=， 即2169125a -=，∴A =5， ∴C 的方程为2212516x y +=． （2）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为A ()11,x y ，B ()22,x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=， 即2380x x --=， ∴AB 的中点坐标12322x x x +==， ()1212266255y y y x x +==+-=-，即中点为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题.。
黑龙江省2019-2020学年高二上学期期末考试（2）数学试卷
数学试题注意事项：1、答题前在试卷、答题卡填好姓名、班级、考好等信息。
2、请将答案正确填写在答题卡上。
一、选择题（每题5分，满分60分，将答案用2B 铅笔涂在答题纸上）1.若sin cos 0αα⋅>，则角α的终边在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限C. 第一、四象限D. 第二、四象限2.向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（ ）A. -1B. 0C. 1D. 23.下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A.sin2xy = B.x sin 3y = C.x tan y = D.x 2cos y = 4.下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x =B ．21y x =-+C ．||1y x =+D ．||2x y -=5.执行如右图所示的程序框图，输出的S 的值是（ ）A. 2113B. 1C. 32D. 9876106、已知向量a ,b 夹角为60º，且|a |=1， 32 |b -2a |=， 则|b |=（ ）A.3B.4C.3D.22 7.将函数2sin 2y x =的图象向左平移π6个单位后得到函数)(x f ,则)(x f 的图像（ ） A.关于点（3π，0）对称 B.在区间（0，8π）上为减函数 C.最小正周期为 π=2T D.关于直线x=4π对称开始结束输出S 2≥i 1+=i i 1212++=S S S 1,0==S i8.一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如右图， 则截去部分体积与剩 余部分体积的比值为（ ） A.81B.71C.61 D. 519.若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限10.已知直线l ，m 和平面，，且l ⊥，m ∥，则下列命题中正确的是( )A.若∥，则l ⊥mB. 若⊥，则l ∥mC. 若l ∥，则m ⊥D. 若l ⊥m ，则∥11.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b ，则 向量),(b a m =与向量)1,2(-=n 垂直的概率为（ ）A ．16 B ．14 C.13 D ．1212．已知函数f (x)=f (π-x),且当)2,2(ππ-∈x 时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2), c=f (3),则（ ）A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD. c<b<a 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13、已知向量a =(m ,-4)，b =(-3,2)，且a ∥b ，则m = .14、函数则15、圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点()3,1A ，则直线l 的方程 . 16、若连续抛掷一颗均匀的骰子两次，第一次掷得的点数为m ，第二次掷得的点数为n 则点P （m ，n)落在圆x 2+y 2=16内的概率是 。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_47
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有三道大题，共20道小题，满分100分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算整理可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.设，则“”是“”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式和分式不等式可求得解集，根据集合的包含关系与充分、必要条件的关系可得到结果.【详解】的解集的解集且“”是“”的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够根据不等式的解法求得解集，根据集合包含关系可得结果.3.设等差数列的前项和为，已知，则（）A. 24B. 20C. 16D. 18【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可将所求式子化为，由求得后即可得到结果.详解】故选：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差中项的性质、下标和性质的应用，属于基础题.4.若，则下列命题正确的个数（）①；②；③；④A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由特例，可验证出①②③错误；由作差法可知④正确.【详解】，当，时，对于①：，，则，①错误；对于②：，，，②错误；对于③：，，则，③错误；对于④：当时，，，，即，④正确.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质判断不等关系的问题，关键是能够熟练掌握不等式的性质，解决此类问题通常采用特殊值法快速排除错误选项.5.明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层有（）A. 3盏灯B. 192盏灯C. 195盏灯D. 200盏灯【答案】A【解析】【分析】由等比数列前项和公式可构造方程求得首项.【详解】设每层灯的盏数为等比数列，首项为顶层灯的盏数，公比，解得：，即顶层有盏灯故选：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列前项和公式的应用，属于基础题.6.已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（）A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由焦距可求得，进而得到；由椭圆定义可求得结果.【详解】由椭圆定义知：的周长为故选：【点睛】本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即.7.在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】【分析】结合三角形面积公式求得，分为和两种情况；当时，自然为最大角，得到；当时，利用余弦定理求得，根据大边对大角原则可知最大；通过正余弦定理求得，进而求得.【详解】或当时，最大角为，则当时，由余弦定理可得：最大角为，综上所述：中最大角的正切值为或故选：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到三角形面积公式、三角形大边对大角原则的应用等知识；关键是能够通过分类讨论的方式，根据边的长度关系确定最大角.8.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理可构造出关于的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径由双曲线方程得其渐近线方程为，即圆心到渐近线的距离，解得：故选：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到垂径定理的应用；关键是明确直线被圆截得的弦长为.9.已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，利用两点连线斜率公式和切点处的导数值表示出切线斜率，从而构造方程求得结果.【详解】由题意得：，直线恒过设直线与相切于点则，即，解得：故选：【点睛】本题考查过某一点的曲线的切线方程的求解，关键是能够通过假设切点的方式，将切线斜率利用两点连线斜率公式和导数值分别表示出来，构造出等量关系.10.对于函数，，下列说法正确的有（）①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③；④在上单调函数.A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定的单调性，知④错误；由单调性可知极大值点，并求得极大值，知①正确；由零点存在定理和单调性可确定函数恰有两个不同零点，②正确；根据单调性和函数值的大小可知③正确.【详解】当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，④错误；在处取得极大值，①正确；在必有一个零点又，即为的一个零点且在无零点恰有两个不同的零点，②正确；，又在上单调递减，③正确则正确的命题为：①②③，共个故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点个数的问题，涉及到零点存在定理的应用；关键是能够明确函数的单调性与导函数的正负之间的关系，属于导数部分知识的综合应用.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知，，，则_______.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于基础题.12.已知为坐标原点，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，若的面积为32，则_______.【答案】20【解析】【分析】由抛物线方程可知焦点坐标，利用三角形面积公式可求得点纵坐标，进而得到点横坐标；利用抛物线焦半径公式求得结果.【详解】由题意得：设，则，解得：故答案：【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是能够利用三角形面积求得抛物线上点的横坐标.13.平面直角坐标系中第一象限的点到点和到点的距离相等，则的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】利用两点间距离公式可整理得到，由可得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】，整理可得：（当且仅当，即时取等号）故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够对“”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.14.已知数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】【分析】令可求得，根据可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，，解得：当且时，，即数列是以为首项，为公比的等比数列故答案为：【点睛】本题考查等比数列中的项的求解，关键是能够利用与的关系证得数列是等比数列，同时确定首项和公比.15.已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】令，由数形结合知，由解析式可求得，从而将表示为关于的函数，利用导数可求得最值.【详解】令，则，如下图所示：，令，则当时，在上单调递增，即的最大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将所求式子转化为关于某一变量的函数的形式，同时利用数形结合的方式确定变量的范围；易错点是忽略变量的取值范围，造成最值求解错误.三、解答题：本大题共5小题，满分40分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知在中，角所对的边分别为，且，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将已知等式转化为余弦定理的形式求得，根据可得到结果；（2）利用正弦定理可求得，知，根据三角形内角和可求得，得到；由三角形面积公式求得结果.【详解】（1）（2）由（1）知：由正弦定理得：又【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理和余弦定理的应用、三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.17.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，成等比数列.（1）求数列的通项公式，并求；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列性质；利用和表示出可求得，从而得到等差数列通项公式并求得首项；由等差数列前项和公式求得；（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、裂项相消法求和，进而得到.【详解】（1）由成等比数列得：设等差数列公差为，则解得：，则（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解、数列求和中的分组求和、公式法和裂项相消法的应用等知识；确定求和方法的关键是能够通过通项公式的形式来选择对应的方法.18.如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由面面垂直性质可得平面，可知；由长度关系可结合勾股定理证得；利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，又平面，又，平面平面（2）平面以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设，则，，，，，，则，，由（1）知，平面平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，即，令，则，设所求的锐二面角为，则【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直判定与性质定理的应用等知识，属于常考题型.19.已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的交于两点，为坐标原点，且，证明：直线与圆相切.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆上点为短轴端点时所给三角形面积最大可得，结合离心率和椭圆的关系，构造方程组求得，进而得到椭圆方程；（2）①当的斜率存在时，设方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；利用垂直关系可得向量数量积等于零，代入韦达定理的结论整理可得；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，代入可求得；②当的斜率不存在时，可求得方程，易知其与圆相切；综合两种情况可得结论.【详解】（1）椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大时椭圆上的点为短轴端点，又，椭圆的标准方程为（2）设，①当的斜率存在时，设由得：则，又，即满足到直线的距离又圆的半径直线与圆相切②当的斜率不存在时，所在的两条直线分别为与椭圆方程联立可求得交点横坐标为或可得到所在的直线为：或直线与圆相切综上所述：当时，直线与圆相切【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的判定等知识；求解直线与椭圆综合问题的常用方法是将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，利用韦达定理表示出已知等量关系；易错点是忽略直线斜率是否存在的讨论.20.已知函数（其中为自然对数的底数，）.（1）若是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；（2）若时都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【解析】【分析】（1）由极值点可知，从而求得；根据导函数的正负即可确定的单调区间；（2）求导后得到导函数；当和时，可根据导函数正负确定单调递增，从而，满足题意；当时，由零点存在定理可知存在，使得时，，由单调性可知不恒成立；从而得到所求范围.【详解】（1）由得：定义域为，是的极值点，解得：此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增的单调递减区间为，单调递增区间为（2），①当时，恒成立单调递增，满足题意②当时，是上的增函数，且若，即，则且不恒等于单调递增，满足题意若，即，，存在，使得当时，，则单调递减即不恒成立，不合题意综上所述：实数的取值范围为【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到极值点的应用、利用导数求解函数的单调区间、零点存在定理的应用、恒成立问题的求解等知识；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论的方式得到导函数在不同情况下的正负，进而确定函数的单调性，通过单调性得到能使得不等式恒成立的参数的范围.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有三道大题，共20道小题，满分100分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算整理可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.设，则“”是“”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式和分式不等式可求得解集，根据集合的包含关系与充分、必要条件的关系可得到结果.【详解】的解集的解集且“”是“”的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够根据不等式的解法求得解集，根据集合包含关系可得结果.3.设等差数列的前项和为，已知，则（）A. 24B. 20C. 16D. 18【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可将所求式子化为，由求得后即可得到结果.详解】故选：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差中项的性质、下标和性质的应用，属于基础题.4.若，则下列命题正确的个数（）①；②；③；④A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由特例，可验证出①②③错误；由作差法可知④正确.【详解】，当，时，对于①：，，则，①错误；对于②：，，，②错误；对于③：，，则，③错误；对于④：当时，，，，即，④正确.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质判断不等关系的问题，关键是能够熟练掌握不等式的性质，解决此类问题通常采用特殊值法快速排除错误选项.5.明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层有（）A. 3盏灯 B. 192盏灯 C. 195盏灯 D. 200盏灯【答案】A【解析】【分析】由等比数列前项和公式可构造方程求得首项.【详解】设每层灯的盏数为等比数列，首项为顶层灯的盏数，公比，解得：，即顶层有盏灯故选：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列前项和公式的应用，属于基础题.6.已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（）A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由焦距可求得，进而得到；由椭圆定义可求得结果.【详解】由椭圆定义知：的周长为故选：【点睛】本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即.7.在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】【分析】结合三角形面积公式求得，分为和两种情况；当时，自然为最大角，得到；当时，利用余弦定理求得，根据大边对大角原则可知最大；通过正余弦定理求得，进而求得.【详解】或当时，最大角为，则当时，由余弦定理可得：最大角为，综上所述：中最大角的正切值为或故选：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到三角形面积公式、三角形大边对大角原则的应用等知识；关键是能够通过分类讨论的方式，根据边的长度关系确定最大角.8.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理可构造出关于的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径由双曲线方程得其渐近线方程为，即圆心到渐近线的距离，解得：故选：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到垂径定理的应用；关键是明确直线被圆截得的弦长为.9.已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，利用两点连线斜率公式和切点处的导数值表示出切线斜率，从而构造方程求得结果.【详解】由题意得：，直线恒过设直线与相切于点则，即，解得：故选：【点睛】本题考查过某一点的曲线的切线方程的求解，关键是能够通过假设切点的方式，将切线斜率利用两点连线斜率公式和导数值分别表示出来，构造出等量关系.10.对于函数，，下列说法正确的有（）①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③；④在上单调函数.A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定的单调性，知④错误；由单调性可知极大值点，并求得极大值，知①正确；由零点存在定理和单调性可确定函数恰有两个不同零点，②正确；根据单调性和函数值的大小可知③正确.【详解】当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，④错误；在处取得极大值，①正确；在必有一个零点又，即为的一个零点且在无零点恰有两个不同的零点，②正确；，又在上单调递减，③正确则正确的命题为：①②③，共个故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点个数的问题，涉及到零点存在定理的应用；关键是能够明确函数的单调性与导函数的正负之间的关系，属于导数部分知识的综合应用.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知，，，则_______.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于基础题.12.已知为坐标原点，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，若的面积为32，则_______.【答案】20【解析】【分析】由抛物线方程可知焦点坐标，利用三角形面积公式可求得点纵坐标，进而得到点横坐标；利用抛物线焦半径公式求得结果.【详解】由题意得：设，则，解得：故答案：【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是能够利用三角形面积求得抛物线上点的横坐标.13.平面直角坐标系中第一象限的点到点和到点的距离相等，则的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】利用两点间距离公式可整理得到，由可得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】，整理可得：（当且仅当，即时取等号）故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够对“”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.14.已知数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】【分析】令可求得，根据可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，，解得：当且时，，即数列是以为首项，为公比的等比数列故答案为：【点睛】本题考查等比数列中的项的求解，关键是能够利用与的关系证得数列是等比数列，同时确定首项和公比.15.已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】令，由数形结合知，由解析式可求得，从而将表示为关于的函数，利用导数可求得最值.【详解】令，则，如下图所示：，令，则当时，在上单调递增，即的最大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将所求式子转化为关于某一变量的函数的形式，同时利用数形结合的方式确定变量的范围；易错点是忽略变量的取值范围，造成最值求解错误.三、解答题：本大题共5小题，满分40分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知在中，角所对的边分别为，且，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将已知等式转化为余弦定理的形式求得，根据可得到结果；（2）利用正弦定理可求得，知，根据三角形内角和可求得，得到；由三角形面积公式求得结果.【详解】（1）（2）由（1）知：由正弦定理得：又【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理和余弦定理的应用、三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.17.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，成等比数列.（1）求数列的通项公式，并求；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列性质；利用和表示出可求得，从而得到等差数列通项公式并求得首项；由等差数列前项和公式求得；（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、裂项相消法求和，进而得到.【详解】（1）由成等比数列得：设等差数列公差为，则解得：，则（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解、数列求和中的分组求和、公式法和裂项相消法的应用等知识；确定求和方法的关键是能够通过通项公式的形式来选择对应的方法.18.如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由面面垂直性质可得平面，可知；由长度关系可结合勾股定理证得；利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，又平面，又，平面平面（2）平面以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设，则，，，，，，则，，由（1）知，平面平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，即，令，则，设所求的锐二面角为，则【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直判定与性质定理的应用等知识，属于常考题型.19.已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的交于两点，为坐标原点，且，证明：直线与圆相切.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】。
黑龙江省牡丹江市2019年数学高二年级上学期期末调研试卷
黑龙江省牡丹江市2019年数学高二年级上学期期末调研试卷一、选择题1．已知集合{}2|160A x x =-<，{}5,0,1B =-，则( )A.A B ⋂=∅B.B A ⊆C.{}0,1AB =D.A B ⊆2．已知等差数列{}n a 的前15项和1545S =，那么412a a +等于( ) A ．6B ．10C ．12D ．153．已知定义在R 上的函数()f x 的图象如图所示,则'()0xf x <的解集为( )A ．(-∞,0)∪(1,2)B ．(1,2)C ．(-∞,1)D ．(0,1)∪(2,+∞)4．2243A C -= （ ）A ．9B ．12C ．15D ．35．等差数列{}n a 中，已知147=39a a a ++，258=33a a a ++，则369a a a ++的值是（ ） A ．30B ．27C ．24D ．216．曲线()33f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则P 点的坐标为（ ） A ．()1,3B ．()1,3-C ．()1,3和()1,3-D ．()1,3-7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了 A.96里 B.48里 C.192里D.24里8．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（ ） A ．为真命题 B ．为真命题 C ．为真命题 D ．为真命题9．如图是某几何体的三视图,图中方格的单位长度为1,则该几何体的表面积为（ ）A.1610．设，，，则的大小关系为（ ）A.B.C.D.11．已知向量a 与向量b 的模均为2，若327a b -=，则它们的夹角是（ ） A.60︒B.30°C.120︒D.150︒12．执行如图所示的程序框图，输出的S 和n 的值分别是（ ）A.20，5B.20，4C.16，5D.16，4二、填空题13．在区间(0,1)中随机取出两个数，则两数之和小于45的概率是__________． 14．函数的最大值为_________．15．一只蚂蚁位于数轴0x =处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率为________. 16．若函数()y f x =的图像经过点(1,2)，则()1y f x =-+的图像必经过的点坐标是_______.三、解答题 17．已知复数，若，且在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数； （2）若是纯虚数，求实数的值. 18．已知函数/(x .（1）当时，求在最小值；（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；（3）求证：.19．2016年6月22日“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在15—75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：.把年龄落在区间自和内的人分别称为“青少年”和“中老年”.（2）根据已知条件完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；临界值表：附：参考公式，其中.20．已知，用反证法证明方程没有负数根.21．如图，在直棱柱中，，，，，.（1）求的长，并证明：；（2）求平面与平面所成角的余弦值.22．已知抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=2与x轴的交点为M，与抛物线E的交点为N，且4|FN|=5|MN|．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线y=kx+2与E交于A，B两点，C（0，-2），记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求证：k12+k22-2k2为定值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．82514． 15．4916．()1,3-. 三、解答题 17．(1).(2).【解析】分析：（1）先根据和在复平面内对应的点位于第四象限求出a 的值，即得复数z.(2)直接根据纯虚数的定义求m 的值. 详解：（1）因为，所以，所以.又因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，即.（2）由（1）得，所以，所以.因为是纯虚数， 所以，所以.点睛：（1）本题主要考查复数的模和复数的几何意义，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.18．（1）1；（2）；（3）见解析【解析】分析：（I ）可先求f′（x ），从而判断f （x ）在x ∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x ），可得若f （x ）存在单调递减区间，需h′（x ）＜0有正数解．从而转化为：ax 2+2（a ﹣1）x+a ＜0有x ＞0的解．通过对a 分a=0，a ＜0与当a ＞0三种情况讨论解得a 的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x ＞1时，，即.，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln （n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设时，命题成立，即，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．详解：（1），定义域为.∵∴在上是增函数..（2）因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解.即有有解.①当时，明显成立.②当时，开口向下的抛物线，总有有解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正跟.当时，；，解得.综合①②③知：.综上所述：的取值范围为.（3）（法一）根据（1）的结论，当时，，即.令，则有，∴.∵，∴.（法二）当时，.∵，∴，即时命题成立.设当时，命题成立，即.∴时，根据（1）的结论，当时，，即.令，则有，则有，即时命题也成立.因此，由数学归纳法可知不等式成立.点睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力．函数在一个区间上单调递增，则函数的导函数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.19．（1）36.43；（2）有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”试题【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中众数是最高小矩形底边的中点，求出即可；利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值；（Ⅱ）依题意完成2×2列联表，计算K2，对照临界值得出结论．试题解析：（1）根据频率分布直方图可知样本的众数为40，因为，设样本的中位数为，则，所以，即样本的中位数约为36.43.（2）依题意可和，抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人.完成的列联表如下：结合列联表的数据得，因为，所以有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”.20．见解析【解析】试题分析：假设命题的结论不成立，即反面成立，即f(x)=0，有负实数根，再推出方程两边不可能相等，矛盾。
牡丹江市穆棱一中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷含解析
【解析】
【分析】
将抛物线的方程化为标准形式后，由抛物线的定义即可得到焦点坐标.。
【详解】抛物线 化为 ，
所以，焦点坐标为 。
故答案为： .
【点睛】本题考查抛物线的标准方程与性质,属于基础题。
14. 一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______
利用组中值估算抽样学生的平均分：
.
估计这次考试的平均分是 分
（2)按分层抽样抽取 5人A,B,C，D，E， ”1人F.,则基本事件(A，B）,（A,C），（A,D)，（A，E）,（A，F）,(B，C），（B，D)，(B,E）,(B，F）,(C,D），(C，E)，（C，F),（D，E)，(D，F)，(E，F），共15种,事件“不同分数段”所包含的基本事件数5种，
8。函数y＝x3＋x的递增区间是( ）
A. (0，＋∞)B. (－∞,1)
C. （－∞，＋∞）D. （1，＋∞)
【答案】C
【解析】
y′＝3x2＋1〉0对于任何实数都恒成立．
9.已知椭圆 ， 分别为其左、右焦点，椭圆上一点 到 的距离是2, 是 的中点，则 的长为（ ）
A. 1B。 2C。 3D。 4
故答案为A
【点睛】(1）本题主要考查双曲线标准方程的求法,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力。(2）求双曲线的方程,一般利用待定系数法，先定位,后定量。
6。下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位:台）的茎叶图，则数据落在区间［22,30）内的概率为（ )
A。 0。2B. 0。4C. 0.5D。 0。6
∴ ，即 。
2019-2020年高二上学期期末调研数学试卷(文理合卷).docx
2019-2020 年高二上学期期末调研数学试卷（文理合卷）一、填空题 （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位 置上）1．命题：“ x R ， sin x ≤x ”的否定是 ▲.2. 在长方体 A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，直线 AB 与直线 A 1C 1 的位置关系是▲ 。
3. 地球表面积大约是火星表面积的 4 倍，则地球体积是火星体积的 ▲倍。
4．抛物线 x 2y 的焦点坐标为▲。
5．“直线 l 与平面无公共点”是“直线 l 在平面外”的 ▲ 条件。
（从“充分不必要”、“必要不充分” 、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一个填空）6．已知两条直线 y ax 2 和 y (a 2) x1互相垂直，则 a▲。
7. 直线 x y 20 被圆 x 2＋ y 2＝ 4 截得的弦长为▲。
8．已知 f ( x)2xf (1)x ，则 f (1)=▲ 。
9. （文） 设 F 为双曲线x 2y 2 1的右焦点， P 为它的右准线与渐近线的交点，916则 PF▲。
（理）做一个底面为正方形， 容积为 256 m 3 的长方体型无盖水箱， 当它的高为 ▲ m 时用料最省。
10. 若直线 y2x b 是函数 y2 的切线，则 b 的值为 ▲ 。
x11. 已知 a,b 是两条互不重合的直线， ,是两个互不重合的平面，给出四个命题： ① a // b ， b // ，则 a // ；② a, b , a // , b // ,则 // ；③ a, a // ,则； ④ a,b // ,则 ab ，其中正确命题的序号是 ▲。
12. 函数 f ( x)1 x sin x 在区间 [ ,2 ] 上的最小值为▲。
2 313. 若抛物线 y 2 4x 的顶点是抛物线上点到点A(m,0) 距离最近的点，则m 的取值范围是▲。
14. 若函数 f (x)1 x 3 1 (a 1)x2 2a(a 1)x 在区间 ( 1,1) 上不单调，则实数a 的取值3 2范围是▲ 。
黑龙江省牡丹江市穆棱一中2019-2020学年高二上学期期末考试语文试卷
语文试卷一、现代文阅读（30分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1—3题。
书院概说①书院是中国古代特有的一种教育组织形式。
书院之名始于唐中叶贞元年间(公元785-805年)官方设立的丽正书院和集贤殿书院，其职责为收集整理、校勘修订图书，供朝廷咨询，兼作皇帝侍读、侍讲，类似宫廷图书馆。
唐末五代，读书士子多隐居避乱读书山林，后发展为聚书授徒讲学，常以书院命名读书讲学之地，遂演化为一种教育组织形式。
至宋初，形成一批颇有影响的著名书院，如：白鹿洞、岳麓、嵩阳等书院。
南宋时期更吸收、借鉴佛教禅林讲学的制度，使书院得到进一步发展和完善，经元、明而不衰，至清末，随着整个封建教育制度的衰败，近代新式学堂的诞生，古代书院才逐步改为学堂。
书院在中国大地上存在了1000余年，成为中国文化史和教育史上引人注目的一大奇观。
②书院一般是以私人创办或主持为主的，也有家族、民间出资筹办的，多数得到朝廷和地方官府的鼓励和资助，或赐名、赐银，或拨田产，成为私办官助、民办公助的办学兴教的形式。
③大多数书院是由名师大儒聚徒讲学发展而成的。
主办者或主持人以书院为基地，研究或传布自己学术研究的心得和成果。
书院生徒多是慕名师来学。
④讲学和学术研究是书院主要的活动内容。
讲学与学术研究紧密结合成为书院教育的突出特点，结合的方式灵活多样。
通常由书院主持者主讲，每讲立一主题，称为明立宗旨，讲授其研究心得和研究成果，生徒边听讲，边质疑问难，形成讨论式教学。
有时书院延聘不同学派的名师来书院讲学，书院师生共同听讲，开展论辩，探究不同学派之异同。
如：朱熹曾邀陆九渊至白鹿洞书院讲“君子喻于义，小人喻于利”。
这种讲学方式，更进一步发展成“讲会”制度，各书院轮流主办，邀集其他书院师生共同讲论，当地官员、士绅、民众均可自由前来听讲，从而扩展为以书院为中心的地区性学术讲习活动，并且订立了完整的“讲会规约”。
⑤书院的另一项重要的活动内容是开展祭祀活动。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文_14
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若集合，，则（）A． B ． C． D．2、从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是( )A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐3、若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（）A. 11B.C. 13D.4、若不等式的解集为，则（）A. 2B. 3C. 4D. 95、已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.6、椭圆的左右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于两点，则的周长为( )A． B．6 C．D． 127、，若，则等于()A． B． 1 C． D．8、若实数数列：成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（）A．或 B．或 C． D．或9、若函数是R上的单调函数,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10、已知椭圆，一直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（）A.1 B． C．D．11.已知双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．12、对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（）A. 2017B. 2018C. 2019D.2020二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13、一个单位共有职工300人，其中男职工180人，女职工120人．用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为50的样本，应抽取女职工______14、.把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排,则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是 ________15、如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若，则_______________．16、已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是________．三、解答题（本题共6小题，共70分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C．
D．
12. 双曲线
的焦点到渐近线的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13. 抛物线
的焦点坐标为_________
14. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽 取女运动员人数是_______
15. 与椭圆
有公共焦点，且离心率
的双曲线的标准方程_______
16. 已知双曲线 ．
三、解答题
的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为
黑龙江省牡丹江市穆棱一中2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试卷
17. 某校从高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：
黑龙江省牡丹江市穆棱一中2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试卷
一、单选题
1. “a＞0”是“|a|＞0”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2. 设命题
，则 为（）Βιβλιοθήκη A．B．C．
D．
3. 已知P是椭圆 A．10
上一点，点
分别是椭圆的左、右焦点，直线 交椭圆于另一点A，则
9. 已知椭圆 A．1
，
分别为其左、右焦点，椭圆上一点 到 的距离是2， 是 的中点，则
的长为（ ）
B．2
C．3
D．4
10. 设抛物线 A．6
上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )
B．4
C．8
D．12
11. 已知 A．
，则
（） B．
黑龙江省牡丹江市穆棱一中2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试卷
) B．
C．
D．
6. 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )
A．0.2
B．0.4
C．0.5
D．0.6
7. 若 A．0 C．
，则
等于（ ）
B．1 D．
8. 函数y＝x3＋x的递增区间是( ) A．(0，＋∞) C．(－∞，＋∞)
B．(－∞，1) D．(1，＋∞)
（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分； （2）按分层抽样从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选取6人，再从这6人中选取两人作为代表参加交流活动，求他们在不同分数段的概率
18. 如果
是
的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
19. 设函数
，
，求
的单调区间和极值.
20. 设椭圆C：
的周长为（ ）
B．16
C．20
D．40
4. 若椭圆 A．10
上一点P到焦点 的距离为6，则点P到另一个焦点 的距离为（ ）
B．6
C．12
D．14
黑龙江省牡丹江市穆棱一中2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试卷
5. 焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( A．
过点（0，4），离心率为 .
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标．