小结计算证明行列式的常用方法
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.例1 计算行列式004003002001000.解析:这是一个四级行列式,在展开式中应该有244=!项,但由于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少.具体的说,展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a .显然,如果41≠j ,那么011=j a ,从而这个项就等于零.因此只须考虑41=j 的项,同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有41322314a a a a ,而()64321=τ,所以此项取正号.故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式. 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析:观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对应相同,故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零.即:化为上三角形.解:将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…(1n +)行上去,可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行(或列)加上其余各行(或列)后,使该行(或列)元素均相等或出现较多零,从而简化行列式的计算.这类计算行列式的方法称为连加法.例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解: mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时,可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,这种方法叫滚动消去法.例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解:从最后一行开始每行减去上一行,有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式,虽然前n 行的和全相同,但却为零.用连加法明显不行,这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解:将第一列加到第二列,新的第二列加到第三列,以此类推,得:13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解. 2.3.1 按某一行(或列)展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解:按最后一行展开,得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下:设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ,其中i A 是子式i M 对应的代数余子式.即nn nn nn nn nnB A BC A •=0, nn nn nnnn nn B A B C A •=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解:从第三行开始,每行都减去上一行;再从第三列开始,每列都加到第二列,得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa a a n ()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式,再通过性质化简算出结果,这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法.升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果.其中,添加行与列的方式一般有五种:首行首列,首行末列,末行首列,末行末列以及一般行列的位置.例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解:使行列式D 变成1+n 阶行列式,即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行,得:D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始,每列乘以()1-加到第一列,得:100100000100000101111)1n D ------=( ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式,可通过计算低阶行列式的值发现其规律,然后提出假设,再利用数学归纳法去证明.对于高阶行列式的证明问题,数学归纳法是常用的方法.例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时,βcos 1=D . 当2=n 时,ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想,βn D n cos =.由上可知,当1=n ,2=n 时,结论成立.假设当k n =时,结论成立.即:βk D k cos =.现证当1+=k n 时,结论也成立.当1+=k n 时,βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开,得()βββββcos 20cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =,()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-,所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立,从而由数学归纳法可知,对一切的自然数,结论都成立. 即:βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析:若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆,则特征方程有两个不等根,则1211--+=n n n Bx Ax D .② 若0=∆,则特征方程有重根21x x =,则()11-+=n n x nB A D . 在①②中, A ,B 均为待定系数,可令2,1==n n 求出.例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n=.解:按第一列展开,得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D .作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时,B A +=9; 当2=n 时,B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ,所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行(列)法3.1.1 概念及计算方法拆行(列)法(或称分裂行列式法),就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值.拆行(列)法有两种情况,一是行列式中有某行(列)是两项之和,可直接利用性质拆项;二是所给行列式中行(列)没有两项之和,这时需保持行列式之值不变,使其化为两项和. 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解:把第一列的元素看成两项的和进行拆列,得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1,所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立,因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦,这时可同时构造一个容易求解的行列式,从而求出原行列式的值. 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值. 构造1+n 阶的德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ,其中,1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ,,21是n 级矩阵A 的全部特征值,则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值,那么就可以计算出A 的行列式.3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ,,21是n 级矩阵A 的全部特征值,证明:A 可逆当且仅当它的特征值全不为零. 证明:因为n A λλλ 21=,则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ. 即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211,nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式,形状像个三角形,故称为“三角形”行列式.4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知,nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210,nn n c a c a c a a b b b2211012,n nn b b b a a c a c a c 211122,121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式,形状像个“爪”字,故称它们为“爪”字型行列式. 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”,均可把行列式化成“三角形”行列式.此方法可归纳为:“爪”字对角消竖横. 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321,其中.,2,1,0n i a i =≠分析:这是一个典型的“爪”字型行列式,计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上,原行列式可化为三角形行列式.解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n a a a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122,nn na b c a b c a b c a2221110,n n nc a c a c a a b b b 2211012,0111222a cb ac b a c b a nn n ,121122c a c a b a b c a b nnn,n n n a c a c a c b b b a2211210,0121122a b b b c a c a c a nnn,nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式,形状像个“么”字,因此常称它们为“么”字型行列式. 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇,就可以把行列式化为三角形行列式.此方法可以归纳为:“么”字两撇相互消.注意:消第一撇的方向是沿着“么”的方向,从后向前,利用n a 消去n c ,然后再用1-n a 消去1-n c ,依次类推. 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解:从最后一行开始后一行加到前一行(即消去第一撇),得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式. 4.4.2 计算方法对于这样的行列式,可通过直接展开法求解. 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解:按第一列展开,得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式,叫做“三对角型”行列式. 4.5.2 计算方法对于这样的行列式,可直接展开得到两项递推关系式,然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明. 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解:按第一列展开,得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形,得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=, 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式,成为n 级的德蒙德行列式.4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明,可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值. 构造1+n 阶的德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= , 其中,1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算,这时就需要结合多种计算方法,使计算简便易行.下面就列举几种行列式计算方法的综合应用.5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D=n .分析:乍一看该行列式,并没有什么规律.但仔细观察便会发现,按第一行展开便可得到1-n 阶的形式.解:将行列式按第一行展开,得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解:从第一行开始,依次用上一行的()1-倍加到下一行,进行逐行相加,得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由德蒙德行列式,得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值. 构造1+n 阶的德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ,其中,1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。
计算行列式常用的7种方法
行列式的计算方法介绍7种常用方法1 三角化方法:通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1 计算n+1阶行列式xa a a a a x a a a a x D nnn32121211=+2 把某一行(列)尽可能化为零 例2 计算:yy x x D -+-+=222222222222222243 递归法(数学归纳法):设法找出D n 和低级行列式间的关系,然后进行递归.例4 证明:βαβαβαβααββααββα--=++++=++1110000010001000n n n D例5 证明范德蒙行列式(n ≥2)∏≤<≤-----==nj i jin nn n n n nn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(11114 加边法:对行列式D n 添上一适当行和列,构成行列式D n+1,且D n+1=D n 例6 证明:)11(11111111111111111111121321∑=+=++++=ni in nn a a a a a a a a D5 拆分法:将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行(或列)元素均为两项和,则可拆分为两个行列式之和 例7 设abcd=1,求证:011111111111122222222=++++ddd d c c c c b b b ba a a a6 利用行列式的乘积:为求一个行列式D 的值,有时可再乘上一个适当的行列式∆;或把D 拆分为两个行列式的积. 例8(1)1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=(2)设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k=1,2…),求证:∏≤<≤-+-+--=nj i j in n nn n nn s s s s s s s s s s s s s s s n 1222111432321121)(λλ7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行(或列)展开定理的推广.定义(1) 在n 阶行列式D 中,任取k 行k 列 (1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ,称为D 的一个k 阶子式.如:D=3751485210744621则D 的一个2阶子式为:S=8261 在一个n 阶行列式中,任取k 行,由此产生的k 阶子式有C kn 个.(2) 设S 为D 的一个k 阶子式,划去S 所在的k 行k 列,余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行,S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列,称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如:3751485210744621则D 的一个2阶子式为:S=8261M=3517为S 的2阶子式 M=(-1)(1+3)+(1+3)3517为S 的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1),则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算2112100012100012100012=D 例10 块三角行列式的计算 设:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则:detA=(detB)(detC).特别地:若A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).例11 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A 0,其中0为零阵,B和D可逆,求A-1.例12 计算nn b b b a a a D 1001000102121 =例13 设:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C B A , BC T =0.证明:|AA T |=|BB T ||CC T |.(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)。
行列式的计算技巧和方法总结
计算技巧及方法总结一、 一般来说,对于二阶、三阶行列式,可以根据定义来做 1、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=2、三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504321-解 =-601504321601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯-4810--=.58-=但是对于四阶或者以上的行列式,不建议采用定义,最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。
但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。
以便计算。
计算上三角形行列式nn nnn n a a a a a a a a a 221122211211000=下三角形行列式 nnn n a a a a a a 21222111000.2211nn a a a =对角行列式nn nnn n a a a a a a a a a221121222111000=二、用行列式的性质计算1、记住性质,这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nnn n n n a a a a a a a a a D=则 nnn n n n T a a a a a a a a a D212221212111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道,行列式中的行与列具有相同的地位,行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D21221111211+++=.则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=.性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上,记作j i kc c +.2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时,常用行列式的性质,把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若21101321-=D , 则.213102011D D T =-=例3(1)01212111001211121---=--(第一、二行互换).(2)1211021101211121---=--(第二、三列互换) (3)072501111=(第一、二两行相等) (4)0337224112=---(第二、三列相等)例4(1)02222510211=--因为第三行是第一行的2倍. (2)075414153820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若121013201--=D , 则D 2121013201)2(121013402-=---=----又 D 412101320141240112204=--=--.例6 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ---- 解 利用行列式性质,有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a 15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例7(1).110111311103111132+=++=(2)()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=. 例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+.注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9(1)13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.(2)33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D . 解 先将第一行的公因子3提出来:,21503242132150321263-=-再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 计算.3351110243152113------=D解 21c c D→3315112043512131-------14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔72160648011202131----- 242384r r r r -+ 1510001080011202131---- 3445r r +.4025001080011202131=--- 例12计算.3111131111311113=D 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2,3,4行同时加到第1行,可提出公因子6,再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .4820000200002011116=注:仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1---+=n b a b n a abbbb b a b b b b a例13 计算.1111000000332211a a a a a a --- 解 根据行列式的特点,可将第1列加至第2列,然后将第2列加至第3列,再将第3列加至第4列,目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +1121000000033221a a a a a --23c c +1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a = 例14 计算.3610363234232dc b a c b a b a a dc b a cb a b a a dc b a cb a ba a d c baD ++++++++++++++++++=解 从第4行开始,后一行减前一行:Drr r r r r ---33412 .363023200c b a b a a c b a b a a c b a b a a d c b a +++++++++ 3423r r r r -- .20200ba a ab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0020004a ab a a cb a b a a dc ba =++++三、 行列式按行(列)展开(降阶法)1、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记ij j i ij M A +-=)1(称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理(常用) 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零,则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积,即 ij ij A a D =定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++2、用降价法计算行列式(常用)直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时,一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理(一般少用)定义2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号kkj j i i +++++- 11)1(,称为M 的代数余子式,其中k i i ,,1 为k 阶子式M 在D 中的行标,k j j j ,,,21 为M 在D 中的列标.注:行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行(列)展开的性质. 定理2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .例15求下列行列式的值:(1)214121312-- (2)120250723解 (1) 213142131)1(21122214121312-⨯+-⨯--⨯=--.272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=(2) .3)45(312253120250723=-=⨯=例16计算行列式 .5021011321014321---=D解 521011321014321---=D 313422r r r r ++520711321014107----109211206527211417)1()1(2123223-=---⨯-=-++r r r r.241861926)1(122-=--=--⨯=+例17计算行列式 .0532004140013202527102135----=D解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D 53241413252---⋅-=1213)2(r r r r -++6627013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=例18求证 21)1(11213112211132114321-+-=---n n x x xxx x x n xxn x n n.证 D3221143r r r r r r r r nn ----- 1111111111000011000111001111011110xxxx x x x ---- 11011100111101111111111)1(1xx x xn -----=+3221143r r r r r r r r nn ----- .)1(110000000100001000010000)1(211-++-=-----n n n x xxx x x x xx例19设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A 3413r r r r +- 0011202250111111---11222511---=12c c + .4205201202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M 34r r + 311501121)1(0010313150111251---=---- 312r r - .0311501501=-----例20 用拉普拉斯定理求行列式2100321003210032 的值. 解 按第一行和第二行展开..;2132132132=2132)1(21322121+++-⨯231)1(3123121+++-⨯+23)1(3233221+++-⨯+121+-=.11-=。
行列式计算方法小结
行列式计算方法小结行列式是线性代数中的一个重要概念,它为矩阵提供了一种重要的性质。
在计算行列式时,有几种常见的方法可以使用,包括拉普拉斯展开、三角形展开和直接计算等。
本文将对这几种方法进行详细介绍和比较。
一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。
它利用行列式的定义,将行列式按照其中一行或一列展开,转化为更小的行列式的求解问题。
具体步骤如下:1.选择一个行或列,记为第i行(列);2.将第i行(列)展开为n个代数余子式的乘积,并计算每个代数余子式的数值;3.将每个代数余子式乘以对应的元素,并根据正负法则进行求和。
例如,对于一个3阶的行列式A=abdegh通过拉普拉斯展开法,我们可以选择第一行展开:det(A) = aM11 - bM12 + cM13其中,M11,M12和M13分别表示代数余子式,具体计算方法为:M11=eM22-fM23M12=dM21-fM23M13=dM21-eM22代数余子式计算完成后,再将它们代入到展开式中计算即可。
拉普拉斯展开法的优点是思路清晰,易于理解和操作,适用于2阶及以上的行列式。
但当阶数较高时,计算量较大,效率较低。
二、三角形展开法三角形展开法是另一种常用的行列式计算方法。
它通过将行列式中的元素进行重新排列,使得计算过程更加规整,从而简化计算。
具体步骤如下:1.首先确定一个元素,例如第一行第一列的元素a;2.从第一行第一列开始,按照三角形的形状依次向右下方展开,依次得到包围a的三个三角形;3.将三个三角形的元素进行乘积运算,并根据正负法则求和;4.将得到的结果乘以a。
例如,对于3阶行列式A=abdegh我们可以选择第一行第一列的元素a进行三角形展开:det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)通过三角形展开法,我们将行列式按照三角形的形状展开并进行计算,最后得到结果。
三角形展开法的优点是计算规整,清晰明了,可以简化计算过程。
小结计算证明行列式的常用方法
6 用递推法计算 例 计算
a x1 a
a Dn
a x2
a a .
a
a a xn
解 依第n列把 Dn 拆成两个行列式之和
x1 a
a
Dn
a
a
a a x2
a a
aa aa
a x n 1
a
aa
x1a a
a a
a a x2
a a
a0
a0 .
a x n1
0
a
xn
右 端 的 第 一 个 行 列 式, 将 第n列 的(1)倍 分 别 加 到 第1,2,,n 1列,右端的第二个行列式按第n列展开, 得
x1 0 0 a 0 x2 0 a Dn xn Dn1, 0 0 xn1 a 0 00 a
从而 Dn x1 x2 xn1a xn Dn1.
由此递推,得
Dn1 x1 x2 xn2 a xn1 Dn2 ,于是 Dn x1 x2 xn1a x1 x2 xn2 a xn
xn xn1 Dn2 . 如此继续下去,可得
4 用降阶法计算
例 计算
abcd
bad cBiblioteka D4 cda
. b
d c ba
解 将 D4的第2、3、4行都加到第1行,并从第1行中 提取公因子a b c d,得
1111
badc
D4 (a b c d ) c
d
a
, b
d cba
再将第2、3、4列都减去第1列,得
1 b D4 (a b c d ) c d
• (a b c d )(a b c d )
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的 某行(列)化成只含有一个非零元素,然后按此 行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数可降 低 1阶,如此继续进行,直到行列式能直接计算 出来为止(一般展开成二阶行列式).这种方法 对阶数不高的数字行列式比较适用.
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的重要概念,它在矩阵理论、方程组求解、向量空间等许多领域都有广泛的应用。
计算行列式的方法有很多种,下面我们来总结一下常见的计算行列式的方法。
1.代数余子式法:代数余子式法是计算行列式的一种经典方法。
对于n*n阶行列式A,可以按照第一行(或第一列)的元素展开得到n个代数余子式,然后按照代数余子式定义计算行列式。
具体步骤如下:(1)选择行列式A的第一行(或第一列)的所有元素,记作a11,a12,...,a1n。
(2)计算n个代数余子式,第i个代数余子式记作A(i,1)(或A(1,i))。
A(i,1)等于元素a1i所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
(3)用代数余子式计算行列式,行列式的值等于各代数余子式与元素a1i的乘积之和:det(A) = a11*A(1,1) - a12*A(2,1) + a13*A(3,1) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*A(n,1)。
2.拉普拉斯展开法:拉普拉斯展开法也是计算行列式的一种常用方法。
具体步骤如下:(1)选择行列式A的其中一行(或其中一列),记作第k行(或第k列)。
(2)计算代数余子式,第i行第j列元素所对应的代数余子式记作A(i,j)(或A(j,i))。
A(i,j)等于元素aij所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
(3)用代数余子式计算行列式,行列式的值等于各代数余子式与元素aij的乘积之和:det(A) = a1k*A(1,k) - a2k*A(2,k) + a3k*A(3,k) - ... + (-1)^(k+1)*ank*A(n,k)。
3.克莱姆法则:克莱姆法则是计算线性方程组的一个重要方法,也可以用来计算行列式。
对于n个未知数的n个线性方程组Ax = b,其中A是一个n*n阶矩阵,x和b都是n维列向量。
如果矩阵A是非奇异的(即行列式det(A)≠0),则可以用克莱姆法则求解方程组。
具体步骤如下:(1)将线性方程组的系数矩阵A按列分成n个子矩阵A1,A2,...,An,其中第i个子矩阵Ai将系数矩阵A的第i列替换为等号右边的向量b。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式的计算方法有哪些呢?可能大部分同学并不知道。
为了普及知识。
下面是由小编为大家整理的“行列式的计算方法总结”,仅供参考,欢迎大家阅读。
行列式的计算方法总结第一、行列式的计算利用的是行列式的性质,而行列式的本质是一个数字,所以行列式的变化都是建立在已有性质的基础上的等量变化,改变的是行列式的“外观”。
第二、行列式的计算的一个基本思路就是通过行列式的性质把一个普通的行列式变化成为一个我们可以口算的行列式(比如,上三角,下三角,对角型,反对角,两行成比例等)第三、行列式的计算最重要的两个性质:(1)对换行列式中两行(列)位置,行列式反号(2)把行列式的某一行(列)的倍数加到另一行(列),行列式不变对于(1)主要注意:每一次交换都会出一个负号;换行(列)的主要目的就是调整0的位置,例如下题,只要调整一下第一行的位置,就能变成下三角。
拓展阅读:行列式的性质有哪些?行列式与它的转置行列式相等;互换行列式的两行(列),行列式变号;行列式的某一行(列)的所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式;行列式如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零;若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则这个行列式是对应两个行列式的和;把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。
n阶行列式实质上是一个n^2元的函数,当把n^2个元素都代上常数时,自然得到一个数。
当我们写的时候,写成一个表是为了方便的反映函数的物性。
当然,决不是指任何n^2元函数都是行列式,具体的行列式函数定义你找书一看看。
为了让你自己觉得好理解一些,你可以试着照行列式的定义把行列式写成多项式和的常见形式,当然那个形式比较复杂,但本质上与行列式是一样的,只是写成行列式易于直观的做各种运算处理。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学中的一个重要分支,而行列式计算方法则是线性代数中的一个重要内容。
行列式是矩阵的一个标量,它可以帮助我们求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性以及计算向量的夹角等。
在学习线性代数的过程中,行列式的计算方法是一个必须要掌握的基础知识。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结,希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
一、行列式的定义。
行列式是一个非常重要的概念,它可以用来描述一个矩阵的性质。
对于一个n阶方阵A,它的行列式记作det(A)或者|A|。
行列式的计算方法有多种,接下来我们将逐一介绍。
二、行列式的计算方法。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常用的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A,它的行列式可以通过如下公式计算:det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中,a11, a12, ..., a1n为矩阵A的元素,A11, A12, ..., A1n为对应元素的代数余子式。
通过递归计算每个代数余子式的行列式,最终可以得到整个矩阵的行列式值。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是另一种行列式计算方法。
对于一个n阶线性方程组Ax = b,如果A是一个可逆矩阵,那么方程组的解可以表示为:xi = det(Ai) / det(A)。
其中,det(Ai)是将矩阵A的第i列替换为b后所得到的新矩阵的行列式,det(A)是矩阵A的行列式。
通过计算各个未知数的值,可以得到方程组的解。
3. 数学归纳法。
数学归纳法是一种递归的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A,它的行列式可以通过以下步骤计算:当n=1时,行列式的值就是矩阵A的唯一元素。
当n>1时,可以通过展开定理将n阶矩阵的行列式转化为n-1阶矩阵的行列式,然后递归计算下去,直到n=1时结束。
4. 其他方法。
除了上述方法外,行列式的计算还有其他一些特殊情况下的方法,比如利用特征值和特征向量、利用矩阵的对角化等。
行列式计算方法
行列式计算方法行列式的计算是线性代数中的重要内容,有以下几种常用的方法:1. 代数余子式法:给定一个n阶矩阵A,取A的第i行第j列元素a_ij为基准,计算它的代数余子式A_ij的值。
代数余子式的定义是,在A中划去第i行和第j列后,剩余元素构成的(n-1)阶子矩阵的行列式。
然后,根据代数余子式的符号规律,求得A_ij*(-1)^(i+j),再将所有的代数余子式乘以对应位置的元素,再求和即可得到行列式的值。
2. 拉普拉斯展开法:选择A的任意一行或一列,例如第i行,根据拉普拉斯展开定理,将行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算,然后依次递归地计算(n-1)阶行列式,最后累加得到行列式的值。
3. 对角线法则:对于一个n×n的矩阵A,按照对角线上的元素(从左上角到右下角)出现的顺序,将对应的元素乘积相加,再减去按照对角线下方的元素(从左上角到右下角)出现的顺序,将对应的元素乘积相加。
这个过程可以用一个式子来表示:det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_21 * a_32 * ... * a_n1。
4. 公式法:对于一个3阶矩阵A,可以利用公式来计算行列式的值。
行列式的计算可以表示为:det(A) = a_11 * a_22 * a_33+ a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32 - a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_12。
对于4阶及以上的矩阵,复杂度较高,通常情况下不会直接使用公式法计算,而是选择其他方法。
以上是几种常用的求行列式的方法,不同的方法适用于不同的情况,在实际计算中可以根据需要选择合适的方法来求解。
行列式的多种计算方法
行列式的多种计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念,常用于表示线性方程组的性质和解的情况。
本文将介绍行列式的多种计算方法,包括定义法、按行展开法、秩法、特殊行列式计算法以及Laplace展开法。
一、定义法行列式的定义法是最基本也是最直观的计算方法。
对于二阶行列式,定义为:abcd行列式的值等于对角线上元素的乘积减去反对角线上元素的乘积,即ad-bc。
对于高阶行列式,可以通过对行列式进行展开,将矩阵分解成若干个二阶行列式,然后递归地计算这些二阶行列式的值,最终得到整个行列式的值。
二、按行展开法按行展开法是一种递归计算行列式的方法。
对于n阶行列式,可以通过展开第一行或第一列得到:a11a12 (1)a21a22 (2)............an1 an2 ... ann按照第一行展开:det(A) = a11 * det(A11) - a12 * det(A12) + a13 * det(A13) - ... + (-1)^(1+n) * a1n * det(A1n)其中Aij是删除第i行第j列后剩下的(n-1)阶行列式。
通过递归计算子行列式的方法,可以得到整个行列式的值。
三、秩法秩法是一种基于线性方程组的计算方法。
对于n个未知数的线性方程组,可以写成矩阵形式AX=B,其中A是一个n×n的矩阵,X和B都是n 维向量。
如果A的行列式非零,方程组有唯一解;如果A的行列式为零,则方程组无解或者有无穷多解。
所以,通过计算矩阵A的行列式,可以判断线性方程组的解的情况。
具体计算方法是将A进行行变换,化为上三角矩阵,然后将对角线上的元素相乘即得行列式的值。
四、特殊行列式计算法对于一些特殊的行列式,可以使用简便的计算方法。
例如,对于单位矩阵I,其行列式的值为1、对于对角矩阵D,其行列式的值等于对角线上元素的乘积。
对于三角形上下边对称的矩阵,其行列式的值为对角线元素与次对角线元素的乘积之差。
五、Laplace展开法Laplace展开法是一种递归计算行列式的方法。
行列式解法小结 数学毕业论文
行列式解法小结数学毕业论文
行列式解法是线性代数中重要的一种方法,可以广泛地应用于各个领域,如物理、工程、经济等。
本文就行列式解法进行了全面的介绍和分析,并探讨了它在实际应用
中的具体作用。
首先,本文阐述了行列式作为一个矩阵的一个属性,描述了它的定义、性质和计算方法。
行列式的定义是通过对一个矩阵中所有可能的排列进行组合,求得的一个标
量值。
它具有很多有用的性质,如行列式关于行和列的互换、行列式的线性性质等。
计算行列式可以使用伴随矩阵或展开式等方法。
其次,本文讨论了行列式作为一个代数工具的应用。
通过分析行列式与线性方程组之间的关系,我们可以发现,行列式可以被用来检测线性方程组解的性质。
如果行
列式的值为零,则该线性方程组无唯一解。
但如果其值不为零,则有唯一解。
此外,本文还阐释了行列式在求解矩阵乘法、求逆矩阵及求解特征值的应用。
通过行列式解法可以很容易地计算出矩阵的乘积、逆矩阵以及特征值等,这对于实际应
用中的矩阵相关问题具有很大的意义。
最后,本文对于行列式的具体应用进行了分析。
在物理领域中,如电学和热学计算问题里,行列式经常出现在方程组的解中。
在机器学习领域,行列式也被广泛地应
用于求解数据的特征值和特征向量。
在工业制造领域中,行列式可以用于计算机器人
的运动,以及控制系统的分析。
综上所述,行列式在数学中具有很重要的地位,并且在各个应用领域都有着非常广泛的应用。
因此,学习和掌握行列式解法对于从事数学及相关领域的人员来说是非
常必要的。
行列式的常用计算方法-北京交通大学数学课程
解:添加新的一行和一列,保持 Dn 不变,即
a1 1 0 a1 1 Dn 0 0 a1 a1 a2 a2 a2 2 a2 an an an an n .
第 1 行乘以 -1 加到除第 1 行外的每一行,得到箭形行列式
1 a1 1 1 Dn 1 1 0 0 a2 an 0 0
Dn
1 a1b1 a 2 a1 a n a1
a1b2 a1bn 1 0 0 1
1 ai bi
i 1
n
a1b2 a1bn 1 0 0 1 ai bi . i 1 1
n
0 0
几何与代数(B)
行列式的常用计算方法
k 1
注:事实上,若某 ai 0 (或 bi 0 ) ,即按该行(或该列)计算,结果即知;若 诸 ai 0 (或 bi 0 ) , i 1,2,...n ,则 Dn 1 ,结果亦然.
四、加边法
例 9 [同例 7] 计算行列式
a1 1 Dn a1 a1 a2 an (i 0, i 1, 2, , n). a2 2 an an n a2
利用行列式中若两行元素对应成比例,则行列式的值为零,可以证明上述行列式 的值为 0. (方法二) 利用○ 1 行列式关于加法的分解, 2 行列式中若两行元素对应成比例, ○ 则行列式的值为零,也可以证明上述行列式的值为 0. 例2 计算行列式
a1 b1 Dn a2 b1 an b1 a1 b2 a1 bn a2 b2 a2 bn . an b2 an bn
n 1 n 1 an 1bn an 1 bn 1 1
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法
行列式是线性代数中的重要概念,它可以用于求解线性方程组的解、判断矩阵是否可逆等问题。
行列式的计算方法有多种,下面将简要介绍一些常用的方法。
1. 拉普拉斯展开法:
拉普拉斯展开法是求解任意n阶行列式的一种常用方法。
对于一个n阶行列式,可以选择其中的任意一行或一列,将行列式按照该行或该列进行展开,可得到n个(n-1)阶的代数余子式。
然后按照代数余子式的符号规律,对每个(n-1)阶代数余子式进行乘积运算,再将这些乘积相加,即可得到n阶行列式的值。
2. 三角矩阵法:
三角矩阵法适用于计算上三角或下三角矩阵的行列式。
对于上三角矩阵,行列式的值等于主对角线上的元素之积,即d=a11*a22*a33*...*ann。
对于下三角矩阵,行列式的值等于主对角线上的元素之积的相反数。
4. 初等变换法:
初等变换法是求解行列式的一种简便方法,它通过一系列行变换或列变换将矩阵转化为特殊形式,从而可以直接读出行列式的值。
行变换或列变换不改变行列式的值,因此最后的特殊形式矩阵的行列式等于原矩阵的行列式。
5. 克拉默法则:
克拉默法则是线性代数中的一种定理,可以用来求解线性方程组的解。
对于n个未知数n个方程的线性方程组,如果系数矩阵的行列式不等于0,则方程组有唯一解。
解的表达式可以表示为未知数对应的行列式与系数矩阵的行列式之比。
6. 特征值法:
特征值法适用于计算方阵的行列式。
对于n阶方阵A,如果它的特征值为
λ1,λ2,...,λn,则它的行列式等于特征值的乘积,即|A|=λ1*λ2*...*λn。
10行列式计算方法小结
λ −2 −3 −2 D = −1 λ − 8 − 2 2 14 λ + 3 λ −2 −3 = (λ − 1) − 1 λ − 8 0 2
λ −2 −3 −1 λ − 8 0 2λ − 2
−2 −2
λ −1
−2 − 2 = ( λ − 1)(λ − 3) 2 1
即得λ =1或λ =3时D = 0.
= x 3 Dn − 3 + x 2 a 2 + xa1 + a0
= ⋯ = x n− 2 D2 + x n − 3 a n− 3 + ⋯ xa1 + a0
x 而 D2 = an− 2
n
D2=?
−1 = x 2 + xan −1 + an − 2 x + a n −1
n −1
于是得: 于是得: Dn = x + x
n-1阶
= a + ( −1)
n
n+1
b
n
4. 各行 列)总和相等的行列式 (赶鸭子法 各行(列 总和相等的行列式 赶鸭子法 赶鸭子法) 例 计算行列式(P.18 例6,将a 换为 计算行列式 将 换为y)
x Dn = y ⋮ y y x ⋮ y y ⋯ y ⋯ y y
li + l1 ( i = 2, 3,⋯, n)
n阶 →
n − 1阶 → ⋯ → 2阶
此法灵活多变,易于操作,是最常用的手法。 此法灵活多变,易于操作,是最常用的手法。
*4. 递推公式法 (见附录 见附录1) 见附录 *5、数学归纳法 (见附录 、 见附录2) 见附录 *6. 加边法(升阶)(见附录 加边法(升阶) 见附录 见附录3)
行列式计算方法小结
b0 00
0a b
a
0 0 (1)n1 b a
b 00
000 a b
00 a b
0 0 0 0 a n-1阶
n-1阶
a n (1)n1 bn
4. 各行(列)总和相等的行列式 (赶鸭子法) 例 计算行列式(P.18 例6,将a 换为y)
x y y y
y Dn
x
y
y
li l1(i 2,3, , n)
例 x1 b x2 x3
x4 (1)
x1 x2 a x3 x4
x1 x2 x3 a x4
x1 x2
x3 x4 a
x1 x2 x3 x4
0 a 0
0
a3 x1
0 0 a 0
0 0 0 a
另
1
1 D x1 1
xx
2
3
x2 a x3
x x a
2
3
x 4
x4 x
4
xil1 li i 2,3,4
x
1 1
0 a
0 0
11 0 a
0 0 0
1 x x x a
2
3
4
1 0 0 a
如 P.20 例8
1. 3. 某行(列)至多有两个非零元素的行列式, 可用降 阶法或定义或递推公式法或归纳法
例 P.41 33题
a b0 00 0 a b 0 0 n阶
D
按第一列展开
000 a b
b00 0a
a b0 00
( xn1 xn2 )( xn xn2 )
( xn xn1 )
6. 部分对角线上含参数的行列式
将一不含λ的非零元化成零,某行可能会 出现公因子,提公因子, 3 2
行列式计算方法小结
计算公式
对角行列式的计算公式为 $Delta = prod_{i=1}^{n} a_{ii}$,其中 $a_{ii}$ 表 示第 $i$ 行第 $i$ 列的元素。
04
行列式计算在矩阵中的应 用
行列式与矩阵的逆
总结词
上三角行列式的计算公式为 $Delta = sum_{i=1}^{n} (1)^{i+j} a_{ij} prod_{k=1}^{i1} a_{ik}$,其中 $a_{ij}$ 表示 第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
在计算上三角行列式时,需要 注意保持运算的正确性,避免 因元素位置错位导致计算错误 。
矩阵的秩是其行或列向量中线性无关向量的个数,而零行列式的矩阵必然有零秩 。因此,通过计算行列式值,可以确定矩阵秩的性质。
行列式与线性方程组
总结词
行列式在解线性方程组中起到关键作 用,通过行列式的性质可以简化方程 组的求解过程。
详细描述
对于线性方程组,如果系数矩阵的行 列式不为零,则该方程组有唯一解。 此外,行列式的性质如代数余子式等 在方程组的求解过程中也具有重要应 用。
代数余子式是由去掉一个元素后得到的$(n-1)$阶行列 式乘以一个系数$(n-1)$得到的。这种方法在实际应用 中较为常用,特别是在行列式中有很多零元素的情况。
展开法Βιβλιοθήκη 展开法是一种基于行列式展开定理的计算行列式值的方 法。具体来说,对于一个$n$阶行列式$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{matrix}|$,其 值等于按照某一行或某一列展开后的代数和。
计算行列式的方法总结
计算行列式的方法总结行列式涉及的方面很多,例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分,所以各种类型解行列式的方法一定要掌握好,才能写好行列式,下面是计算行列式的方法总结,一起来看看吧!计算行列式的方法总结(一)首先,行列式的性质要熟练掌握性质1行列互换,行列式的值不变。
性质2交换行列式的两行(列),行列式的值变号。
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式的值为零。
性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k,则k可提到行列式外。
推论1数k乘行列式,等于用数k乘该行列式的某一行(列)。
推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例,则该行列式的值为零。
性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和,则这个行列式等于两个行列式的和,这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素,其余各行(列)与原行列式相同。
性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上,行列式的值不变。
行列式展开法:行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。
行列式展开定理:定理1:n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数余子式乘积之和。
定理2:行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零。
(二)几种特殊行列式的值有关行列式的若干个重要公式:为便于考生综合复习及掌握概念间的联系,现将以后各章所涉及的有关行列式的几个重要公式罗列于下:2017考研数学:行列式的计算对于数值型行列式来说,我们先看低阶行列式的计算,对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的,我们可以直接计算。
三阶以上的行列式,一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算,对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。
在运用展开定理时,一般需要先利用行列式的性质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式,再进行展开。
特殊低阶行列式可以直接利用行列式的性质进行求解。
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i 1
n
x ai
a2
a3
x
i 1
提取第一列的公因子,得
1 a1 a2 an
1 x a2 an
n
Dn1 ( x ai) 1
a2
x
an .
i1
1 a2 a3 x
将第1列的( a1)倍加到第2列,将第1列的 ( a2)倍加到第3列,,将第1列的( an)倍加到最 后一列,得
10
4 用降阶法计算
例 计算
abcd
bad c
D4 c
d
a
. b
d c ba
解 将 D4的第2、3、4行都加到第1行,并从第1行中 提取公因子a b c d,得
1111
badc
D4 (a b c d ) c
d
a
, b
d cba
再将第2、3、4列都减去第1列,得
1 b D4 (a b c d ) c d
110
• dc ac bc,
cd bd ad
再将第2列减去第1列,得 D4 (a b c d )(a b c d ) 100 • dc ad bc, cd bc ad
按第1行展开,得
ad bc D4 (a b c d )(a b c d ) b c a d
(a b c d)(a b c d)•[(a d)2 (b c)2] (a b c d )(a b c d )
• (3 2)(4 2)(n 2)[n (n 1)] n!(n 1)!(n 2)!2!1!.
评注 本题所给行列式各行(列)都是某元素的 不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列 式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取 公因子、调换各行(列)的次序等)将此行列式 化成范德蒙行列式.
n 1,而是由1递升至n.若提取各行的公因子,则方
幂次数便从0增至n 1,于是得到 1 1 1 1 2 22
Dn n! 1 3 32
1 2n1 3n1 .
1
n
n2 nn1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式,由 范德蒙行列式知
Dn n! ( x i x j)
ni j1
n!(2 1)(3 1)(n 1)
3 用化三角形行列式计算
例 计算
x a1 a2 a3 an a1 x a2 a3 an Dn1 a1 a2 x a3 an . a1 a2 a3 a4 x
解 将第2,3,,n 1列都加到第一列,得
n
x ai
a1
a2
an
i 1
n
x ai
x
a2 an
i 1
Dn1
x
n
ai
a2
x
an
证明 由行பைடு நூலகம்式的定义有
D (1) a a a
(p p p )
12
n
,
1
1p1 2 p2
n pn
D (1) a b a b a b
(p p 12
p
n
)
(
1 p1)(
) 2 p2 (
) n pn
2
1 p1
2 p2
n pn
(1) a a a b
(p p p )
12
n
, (12 n)( p1 p2 pn)
• (a b c d )(a b c d )
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的 某行(列)化成只含有一个非零元素,然后按此 行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数可降 低 1阶,如此继续进行,直到行列式能直接计算 出来为止(一般展开成二阶行列式).这种方法 对阶数不高的数字行列式比较适用.
注意 如果一个n阶行列式中等于零的元素比 n2 n还多,则此行列式必等于零.
例设
a11 a12 a1n
D1
a21
a22
a2n
,
an1 an2 ann
a11
a12 b1
D2
a21b
a22
an1 bn1 an2 bn2
a1n b1n
a
2n
b2n
,
ann
证明:D1 D2 .
1 p1 2 p2
n pn
而
p1 p2 pn 1 2 n,
D (1) a a a D 所以 2
(p p p )
12
n
1p 2p
np
.
1
1
2
n
评注 本题证明两个行列式相等,即证明两点, 一是两个行列式有完全相同的项,二是每一项 所带的符号相同.这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法.
2 利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德 蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列 式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例 计算
1 11 2 22 2n Dn 3 32 3n . n n2 nn
解 Dn中各行元素分别是一个数的不同方幂,方幂
次数自左至右按递升次序排列,但不是从0变到
p1 2,3;
p 1,2,3,4,5; 2
p3 1,2,3,4,5;
p 2,3; 4
p5 2,3.
因为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 在上述可能取的代码中,
一个5元排列也不能组成,
故 D5 0.
评注 本例是从一般项入手,将行标按标准顺序 排列,讨论列标的所有可能取到的值,并注意每 一项的符号,这是用定义计算行列式的一般方法.
计算(证明)行列式(总结)
1 用定义计算(证明) 例 用行列式定义计算
0 a12 a13 0 0 a21 a22 a23 a24 a25 D5 a31 a32 a33 a34 a35 0 a42 a43 0 0 0 a52 a53 0 0
解 设 D5中第1,2,3,4,5行的元素分别为a1 p1 , a2 p2 , a3 p3 , a4 p4 , a5 p5 , 那么,由D5中第1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
0 ab d c cd
0 d b ac bd
0 cb
, bc ad
按第1行展开,得
ab db cb
D4 (a b c d ) d c a c b c . cd bd ad
把上面右端行列式第2行加到第1行,再从第1行 中提取公因子a b c d,得
D4 (a b c d )(a b c d )
00
1 x a1 0 0
n
Dn1 (x ai)1
a2 a1
x a2
0
i1
1 a2 a1 a3 a2 x an
n
n
( x ai) ( x ai).
i1 i1
评注 本题利用行列式的性质,采用“化零” 的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式. 化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多 的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零 的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数 化为1;若所给行列式中元素间具有某些特点,则 应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到 化为三角形行列式之目的.