天津大学工程与科学计算课后习题

4x1 − x2 = 1, −x1 + 4x2 − x3 = −x2 + 4x3 = −3.
4,
松弛因子分别取为ω = 0.8, ω = 1, ω = 1.2, 精度为10−5.
8. 已知线性方程组

2 1 2
1 4 1
3 0 1

1
n
1 2 1
3...
1 n+1
1 3 1
4...
1 n+2
··· ··· ··· ···
1 n 1
n+... 1
1

2n−1
当n = 3时,
||H3||∞
=
11 , 6
||H3−1||∞ = 408,
cond∞H3 = 748
其中下标∞表示矩阵的∞范数(行范数). 所以矩阵H3为病态矩阵(相对解方程组而 言). 当n = 6时, cond∞H6 = 2.9 × 107,随着n的增大,Hn的条件数增长很快.因此n越 大, Hn的病态越严重.
定义 1.3.4 若方程组(1.3.18 )的系数矩阵A的条件数相对较小,则称方程组是良态 的;反之,若A的条件数相对较大, 则称方程组是病态的。 同时称A为(相对方程组 而言)良态矩阵或病态矩阵.
例 1.3.5 考虑Hilbert矩阵


Hn
=

1
1
2...

2x1 + 2x2 = 1 x1 + 2x2 + x3 = 3x2 + 3x3 = 3
2
的唯一解.
(3) 设A ∈ Mn×M,则A是严格行(或列)对角占优矩阵的充要条件是A是非奇异矩 阵;
3. 将下面矩阵进行三角分解

6 2 1
−3 −9 1
−1 1 4
2). 若矩阵行列式的值相对较小,或者矩阵的某些行或者列近似地线性相关， 则矩阵可能是病态的。 这只是经验公式，只供参考
对于病态方程组, 求解时需要十分慎重, 一般需采用高精度算法.
§1.3.5 练习题三
1. 填空
第三节 第三讲 矩阵的三角分解 39
(1) 设

0 1 1
b1 a2 d3 f4
c1
b2
a3
d4 ...
c2
b3
a4 ... ...
c3
b4 ... ... ...
c4 ... ... ...
fn−2
... ... ...
dn−2
f(n−1)
... ...
a(n−2) d(n−1)
... bn−2 a(n−1)
c(n−2) b(n−1)

(3)设线性方程组为

2x1 2x1
+ 2x2 − 5x2
= =
1 3
则解此方程组的Jacobi格式的敛散性为( )。
2. 判断题:(请在你认为正确的叙述后面的括号内打”√”，否则打”×”) (1) 若A为严格行对角占优阵，则求解线性方程组Ax = b的Jacobi迭代格式收
敛。
(2) 若A ∈ Rn×n是正定矩阵,则求解线性方程组Ax = b的Jacobi迭代格式收敛。 (3) SOR 迭代格式收敛的充分必要条件是ω ∈ (0, 2)。 (4) M ∈ Mn×n(R)是求解线性方程组Ax = b的Jacobi 迭代矩阵,若A是严格对角 占优的,则||M||∞ < 1; (5) 设线性方程组为Ax = b,若A是1

x1 x1
+x1 +3x2 +x2
+x3 = 4 =5 +2x3 = 6
54 第一章 代数方程组的解法
给出求解该方程组的Seidel迭代格式,并判断迭代格式的收敛性。
6. 用Jacobi迭代法和Siedel迭代法求解下列线性代数方程组:
(1)

注记 9 SOR迭代格式中松驰因子的选择对迭代格式的收敛速度有重要影响。 能否选择一松驰因子使得SOR迭代格式具有最快的收敛速度,这一问题称为最优 松驰因子。 最优松驰因子是个非常重要的问题,目前它有一些理论分析结果。
下面结论只是对比较特殊的方程组,给出了三类迭代格式的比较及SOR最优 因子取值.
定理 1.4.9 若方程组Ax = b的系数矩阵A是正定三对角矩阵, M1和M2分别表 示方程组的Jacobi迭代格式和 Seidel迭代格式的迭代矩阵, 则r(M2) = (r(M1))2 < 1,且SOR 迭代格法中的松驰因子ω的最优值为
3. 写出求解线性方程组Ax = b的Jacobi迭代格式,并判断所写格式的收敛性,其
中Ax = b为

3x1 −2x1
2x2 +x2
−2x3 = 6 +x3 = 8 +2x3 = 5
4. 证明：如果A是严格行对角占优矩阵，则Seidel迭代格式收敛。
5. 设线性代数方程组为
0 100 0
2 0 0

,
则矩阵的条件数cond1(A) = (2) 设

−3 0 0
0 1 0
0 1 4
,
则矩阵的条件数cond∞(A) =
(3)
设A
=

1 1
1 2
,则Cond∞(A)
=
.
(4) 设矩阵A的Doolittel分解为A = LU,则矩阵L的对角线元素ℓii = ( ).
2. 判断题:(请在你认为正确的叙述后面的括号内打”√”，否则打”×”)
(1) 设A ∈ Rn×n非奇异, 则A存在唯一的Doolittle分解的充分必要条件 是A的各 阶顺序主子式均大于零.
(2) 可以采用追赶法求出方程组
由上讨论看到，要判断一个矩阵是病态的还是良态的，需要计算矩阵的条 件数condA = ||A||||A−1||. 条件数的大小与选择的范数有关，不同的范数下条件数 也不相同，同时计算A−1本身也非常复杂。 在实际应用中, 如下的一些现象可作 为判断病态矩阵的参考：
1). 若用列主元素Gauss消去法解方程组时，出现小主元素， 则矩阵A可能是 病态的；
=
?
(3)设 f 基函数, 则
f∈(xC) −(n+∑1n)[af,(bx]k,)ℓ{kℓ(kx()x)=}nk?=0是区间[a,
b]上 以{ xk }nk=0 为 节 点 的Lagrange插 值
————————————————————————————————— ———-
§1.4.5 练习题四
迭代格式收敛判定准则列表1-4-4
1. 填空：
(1)若求解方程组Ax
=
b的迭代格式x(k+1)
=
M x(k)
+
f 收敛,
则 lim
k→∞
||
Mk||2
=?
第四节 第四讲 解线性方程组的迭代法 53
迭代格式\ 原 则 Jacobi 格式 Seidel 格式 SOR 格式
ωopt
=
1+
2 √
1−
. r(M2)
最优因子
此时SOR迭代矩阵M的谱半径r(M) = ωopt − 1。 注记 10 一般情况下，最优因子难以确定。 在实际计算时可采用试算方法选择 松驰因子。 对同一初始向量,在(0, 2)中选择两个不同的松驰因子，迭代相同的次 数。 比较残余向量z(k) = b − Ax(k),保留||z(k)||较小的松驰因子。 这是一种比较实用 的方法。
函数插值可应用于 数据补充
1. 填空：
∑n
(1)设{ℓk(x)}nk=0是区间[0, k3ℓk(x) =?
n]上(n
≥
3)以xk
=
k为节点的Lagrange插值基函数,
则
k=0
(2)设{ℓk(x)}nk=0是区间[a,
b]上以{xk}nk=0为节点的Lagrange插值基函数,
则
∑n
k=0
ℓk(x)
0.001x1 + 2.000x2 + 3.000x3 = 1.000 −1.000x1 + 3.712x2 + 4.623x3 = 2.000 −2.000x1 + 1.072x2 + 5.643x3 = 3.000
(计算过程及结果均保留至小数点后第3位)
38 第一章 代数方程组的解法
当condA
5
3.0007211 04.0029250 -5.0057135
6
2.9963275 4.0009262 -4.9982822
7
3.0000498 4.0002586 -5.0003486
与SOR迭 代 格 式 运 行 结 果 相 比 较,SOR迭 代 格 式 的 结 果 要 精 确 一 些 。 这 表 明SOR迭代格式,若能选择好的松驰因子,会提高收敛速度。
7. 用SOR迭代法求解线性代数方程组:
(1)

−4x1 + x2 + x3 + x4 = 1, x1 − 4x2 + x3 + x4 = 1, x1 + x2 − 4x3 + x4 = 1, x1 + x2 + x3 − 4x4 = 1;
(2)

k
1
2
3
4
5
xk
1.00000
76 第二章 函数插值法
(b).抛物线插值误差.| f ′′′(x)|
=
2 x3
在[3.2,
3.4]中的最大值为
M3
=
2
×
(3.2)−3,
|R2(3.27)|
≤
3!
×
2 (3.2)3
|3.27