高考数学压轴大题--解析几何

高考数学压轴大题-解析几何

1. 设双曲线C ：1:)0(1222

=+>=-y x l a y a

x 与直线相交于两个不同的点A 、B.

（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：

（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.12

5

PB PA =求a 的值.

解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=-.1,

12

22y x y a

x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①

.120.0)1(84.012

24

2

≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以

双曲线的离心率

).,2()2,2

6

(

2

2

6

,120.11122

+∞≠>∴≠<<+=

+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a

a

a e

（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A

.

12

5

).1,(125

)1,(,

12

5

212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得

由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，

13

17

,060289

12,,.12125.1212172222

2

222

2

2=

>=

----=--=a a a a x a a x a

a x 所以由得消去所以

2. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的

夹角余弦的最小值为3

1

.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ∆（O 为原点）的面积的最大值及

相应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a ,

∴a PF PF 221=+ 2221==c F F

2

12

22

124cos PF PF PF PF ⋅-+=

θ

=

2

12122124

2)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+

=1244212-⋅-PF PF a 又

21212PF PF PF PF ⋅≥+

∴2

21a PF PF ≤⋅

即31211244cos 2

22=-=--≥a

a a θ ∴32

=a ∴椭圆方程为12

32

2=+

y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N

()1111212

OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121

y y -

22

1,32

1.x y x my ⎧+

=⎪⎨⎪=-⎩

063)1(222=-+-y my

即 044)32(22=--+my y m . 由韦达定理得:

324221+=+m m y y 324

22

1+-=⋅m y y ∴212212

214)(y y y y y y -+=-

= 3216)32(162222+++m m m =2

22)

32()

1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t

∴2

21y y -=4

1448)12(482++=

+t

t t t . 又令t

t t f 1

4)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数,

所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5. ∴2

21y y -有最大值3

16

∴OMN S ∆ 的面积有最大值332.

直线l 的方程为1-=x .

3. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e =

2

3

，过点C (-1，0)的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足：CA =BC λ (2λ≥)．

(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．

(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时，椭

圆E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．

解：设椭圆方程为22

221+=x y a b

(a ＞b ＞0)，

由e =c

a

=23及a 2= b 2+c 2得a 2=3 b 2，

故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ①

(Ⅰ)∵直线l ：y = k (x ＋1)交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，并且CA =BC λ (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2)， 即121

21(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ②

把y = k (x +1)代入椭圆方程，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0， 且 k 2 (3b 2-1)+b 2＞0 （*），

∴x 1+x 2= -2

2631k k +， ③

x 1x 2=2

2

23331k b k -+， ④

∴O A B S ∆=12|y 1-y 2| =12|λ+1|·| y 2| =|1|

2

λ+·| k |·| x 2+1|．

联立②、③得x 2+1=2

2

(1)(31)

k λ-+， ∴O A B S ∆=11λλ+-·2||

31

k k + (k ≠0)．

(Ⅱ)O AB S ∆=

11λλ+-·2||

31

k k + =1

1λλ+-·113||||

k k +

≤

11λλ+-·123

(λ≥2)． 当且仅当3| k | =

1||k ，即k =33

±时，O AB S ∆取得最大值，此时x 1+x 2= -1． 又∵x 1+1= -λ( x 2+1)，