高考数学压轴大题--解析几何

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高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》难题汇编及答案解析

【高中数学】数学《平面解析几何》复习知识要点一、选择题1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F = ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =22 4b a=，求解a ，b 然后推出椭圆方程．【详解】椭圆2222 10x y a b a b +=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =，22 4b a=，222c a b =-，解得3a =，b =，所以所求椭圆方程为：22196x y +=，故选C ．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．2．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A B ．2C D ．3【答案】A 【解析】【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得AF =u u u v【详解】根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-．所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =，所以()2212112AF n u u u v =-+=+=故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.3．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（） A ．3B 3C ．2D ．22【答案】A 【解析】【分析】联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.【详解】由22224(42)02y x b x b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 121222,24b p b x x x x +=-=-，因为直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，125x =-，所以()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1）又直线l 经过C 的焦点，则,22b pb p -=∴=- （2）由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为24y x =.设()20000,,4M x y y x ∴=.则()()()2222200000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，故当02x =时，min ||MN = 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出A ，B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积．【详解】解：由抛物线的方程可得焦点3(2F ，0)，准线方程：32x =-，由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：32x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+，因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r，即13(2x -，123)3(2y x -=-，2)y ，可得：123y y =-，所以可得：2222639y m y -=⎧⎨-=-⎩即213m =，由抛物线的性质可得： 21233166668223AA BB AB x x m ''+==+++=+=+=g ， 221212121||()436363636433y y y y y y m -=+-=+=+=g ，由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，所以1211()||84316322AA B B S AA BB y y ''''=+-==gg g ，故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．5．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（）A ．16B ．10C ．12D ．8【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以||||2612AF BF ==⨯=．解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥．由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6，所以||||2612AF BF ==⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．6．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x yx y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点()2,2，()2,2-，()2,2--，()2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.7．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D 【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率. 【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴== 又2224tan 45FBF b S b a ∆'===o，可得：225c a = 25e ∴= 5e ⇒=本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.8．如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（） A ．12B ．23C ．13D ．14【答案】C 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM 1FAAB2==，即c c a -=12可得e=c a =13．故答案为13．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可．【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点，则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离224a 4a d ca b ==+， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4，故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 D ．【答案】D 【解析】()1ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>，所以()'a f x bx ＝－，则f ′(1)＝－ab为切线的斜率，切点为(1，－1a b+)，所以切线方程为y ＋1a b +＝－ab(x －1)，整理得ax ＋by ＋1＝0.因为切线与圆相切，所以22a b+＝1，即a 2＋b 2＝1.由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ，所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2，所以a ＋b ≤，即a ＋b 的最大值为.故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A ．3-B ．2-CD 1【答案】D 【解析】由已知，(01)(01)F Q ，，，-，过点P 作PM 垂直于准线，则PM PF =．记PQM α∠=，则sin PF PM m PQPQα===，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于点P ．设204x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得(21)P ，±，所以2PQ PF ，==，则2PF PQ a +=，∴1a =，1c =，∴1ce a==，故选D ．13．已知曲线()2222:100x y C a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，MO OP =u u u u v u u u v，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，若122PF PF =，且2120MF N ∠=︒则双曲线C 的离心率为（）A BC D【答案】B 【解析】【分析】由题意结合双曲线的定义可得124,2PF a PF a == ，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224208c a a =+，据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】由题意，122PF PF =，由双曲线的定义可得，122PF PF a -= ，可得124,2PF a PF a == ，由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-⋅⋅⋅︒ ，即有2224208c a a =+，即227c a =，可得c =，即ce a==【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a =； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．14．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A【解析】【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a =±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b =所以双曲线的渐近线方程为b y x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.15．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（） A ．92B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225*********n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.16．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为M 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解.【详解】由直线的斜率为tan 60k ︒==y b =+.圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =，则由弦长公式得：圆心(0,2)到直线y b =+的距离为1d ===，即|2|12b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为y =或4y =+.直线y =过坐标轴上的点(0,0)，直线4y =+过坐标轴上的点()0,4与3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故点M 的个数为3.故选：C.【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.17．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（）A ．2B C ．3D ．【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.【详解】由题意知212AF AF a -=，2192AF AF a c +=-，解得21122a c AF -=，1722a c AF -=，直线1AF 与b y x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c+-∠==⋅，化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =.故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.18．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <u u u v u u u v ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，29λμ=，则该椭圆的离心率为（）A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【答案】A【解析】分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP <u u u v u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率. 详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v∴1λμ+= 又∵29λμ= ∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵AP BP <u u u v u u u v∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限） ∴2(,)b P c a ，2(,)b B c a - ∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点∴直线1l 的方程为为1x y a b +=- ∴()(,)a c b A c a+ ∵2133OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+. ∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=.∴25230e e +-=∵(0,1)e ∈ ∴35e =故选A. 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．19．已知椭圆2221(1)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（）AB．3 C．2 D【答案】B【解析】【分析】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率.【详解】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得AN AT =， 11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+- 222(3)a F M a c =-=--，则26a =，即3a =，又1b =，所以2222c a b =-=，因此椭圆的离心率为223c e a ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.20．已知平面向量,,a b c r r r 满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（）A 75-B 73-C ．532-D 31- 【答案】A【解析】【分析】根据题意，易知a r 与b r 的夹角为60︒，设(=13a ，r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r ，可得2212302x y x y +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=. 故选：A.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．。

高考数学压轴大题训练：解析几何中的交汇性问题

高考数学压轴大题训练：解析几何中的交汇性问题一、解答题（共8小题，满分100分）1．（14分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点M （m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E 两点间的距离为f（m），求f（m）关于m的表达式．2．（12分）（20XX年天津）设椭圆圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为的左右顶点分别为A，B，点P在椭，求椭圆的离心率；．（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞3．（在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C 上的点（2，1）到两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且=3．求过O、A、B三点的圆的方程．4．（12分）如图所示，椭圆C：2的焦点为F1（0，c），F2（0，c）（c＞0），抛物线x=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．．5．（12分）（20XX年东莞一模）已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上．若右焦点到直线的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范22~6．（12分）（20XX年赤峰模拟）设A、B是椭圆3x+y=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；7．（14分）如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．（1）已知椭圆和判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；（2）写出与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．解答：解：(1)椭圆C2 与C1 相似. 因为C2 的特征三角形是腰长为4, 底边长为的等腰三角形，而椭圆C1 的特征三角形是腰长为2,底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1. 根据题中两个椭圆相似的定义可得：椭圆C2 与C1 相似. (4 分) (2)∵ 椭圆Cb 与椭圆C1 相似∴ 椭圆Cb 的长轴是短轴的2 倍∵ 椭圆Cb 的半短轴长为 b ∴ 椭圆Cb 的方程为：.(7 分) 由(1)可得两个相似椭圆之间的性质有：① 两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；② 分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；③ 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合，过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.(10 分) (3)假定存在满足条件的两点M、N,则设M、N所在直线为y=x+t,MN 中点为(x0,y0) . 则2 2 25x 8tx+4(t b )=0.(12 分)设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 可得∴ 结合中点在直线y=x+1 上，所以有(16 分) ∵.∴ 所求函数的解析式为：(18 分).8．（12分）（20XX年深圳一模）如图，两条过原点O的直线l1，l2分别与x轴、y轴成30°的角，已知线段PQ的长度为2，且点P（x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动．（Ⅰ）求动点M（x1，x2）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．。

高考解析几何压轴题精选(含答案)

1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。

（3分）2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)F 为右焦点的双曲线C 的离心率2e =。

（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（II ）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。

（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·A B C D A B C Dλ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

2025版高考数学总复习第8章平面解析几何高考大题规范解答__解析几何课件 (1)

解法二：(1)依题意，A(－2,0)，B(2,0)．(1 分) 设 C(x1，y1)，则x421＋y321＝1，所以 kAC·kBC＝x1y＋1 2·x1y－1 2(2 分)
＝x21y－21 4＝3x121－－x4421(3 分) ＝－34.(4 分) 即－34＝kAP·kBQ＝4＋yP2·4－yQ2.故 yPyQ 的值为－9.(5 分)
y＝kx＋m，方程(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0 的判别式 Δ＝32k2＋16－8m2>0，
x1＋x2＝－1＋4k2mk2，则x1x2＝21m＋2－2k42 .
(7 分)
因为 kMA·kMB＝1，所以x1y－1 2·x2y－2 2＝1，所以(k2－1)x1x2＋(km＋2)(x1＋x2)＋m2－4＝0，整理得(m＋2k)(m＋6k)＝0.(9 分)
[解析] (1)由双曲线定义可知||MF1|－|MF2||＝2a＝2， ∴a＝1，(1 分) 又由|F1F2|＝4，∴c＝2，(2 分) ∵a2＋b2＝c2，∴b＝ 3，(3 分) ∴双曲线 C 的方程为 x2－y32＝1.(4 分)
(2)①证明：设 M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1＝ 3x1①，y2＝－ 3x2②，将①＋②可得 y1＋y2＝ 3(x1－x2)，将①－②可得 y1－y2＝ 3(x1＋x2)，(5 分) ∴ 3y1x＋1＋y2x2＝ 3y1x－1－y2x2，即xy11＋＋yx22＝3yx11－－yx22，(6 分)
由题可知|MP|＝|MQ|， ∴x1＋x2＝2x0， y1＋y2＝2y0， ∴xy00＝3yx11－－yx22，即 kPQ＝3yx00，(7 分) ∴直线 PQ 的方程为 y－y0＝3yx00(x－x0)，即 3x0x－y0y＝3x20－y20，

压轴题06 解析几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。

高考数学压轴专题最新备战高考《平面解析几何》技巧及练习题

【最新】数学复习题《平面解析几何》专题解析一、选择题1．已知曲线()2222:100x y C a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，MO OP =u u u u v u u u v，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，若122PF PF =，且2120MF N ∠=︒则双曲线C 的离心率为（）A ．23B ．7C ．3D ．2【答案】B 【解析】【分析】由题意结合双曲线的定义可得124,2PF a PF a == ，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224208c a a =+，据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】由题意，122PF PF =，由双曲线的定义可得，122PF PF a -= ，可得124,2PF a PF a == ，由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-⋅⋅⋅︒ ，即有2224208c a a =+，即227c a =，可得7c a =，即7ce a==.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．2．已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（） A ．5 B ．7C ．9D ．11【答案】C 【解析】【分析】由题意并结合双曲线的定义可得1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值．【详解】由题意得抛物线216x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为()()123,0,3,0F F -．∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当2,,F P F 三点共线时等号成立，∴1PF PF +的最小值为9．故选C ．【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．3．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.4．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||23MN ≥．则k 的取值范围是（）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解【详解】如图所示，设弦MN 中点为D ，圆心C(3,2),330y kx kx y =+⇒-+=Q∴弦心距222(1)1CD k k ==+-+，又2||23||33MN DN DN 厖?，∴由勾股定理可得2222223DN CN CD ⎛⎫=-=-…，2231|31|(31)1(43)004k k k k k k ⇒+++⇒+⇒-剟剟答案选A 【点睛】圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。

高三数学解析几何专题(含解析)

高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。

2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。

I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。

Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。

4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。

5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。

6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。

高中数学解析几何压轴题

专业资料整理分享高中数学解析几何压轴题一．选择题1．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）A．钝角B．直角C．锐角D．都有可能2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（）A．∠PFR＞∠QFR B ∠PFR=∠QFR C．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR与∠AFR的大小不确定3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ1+λ2=（）A．B．C．D．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）A．B．e2﹣1C．D．e2+15．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5 B．7 C．13 D．156．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）A．y2=4xB．y2=4x（x≠0）C．y2=﹣4xD．y2=﹣4x（x≠0）9．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A．+=1（y≠0）B．+=1（y≠0）C．﹣=1（y≠0）D．﹣=1（y≠0）10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A．22B．20C．18D．1611．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．D．13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）A．B．8D．14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．0或4D．0或﹣41．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则PN∥MQ，，又由双曲线第二定义可知=，3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，B C D，，，4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一2B D，∴M（（的坐标代入，可得5．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（的焦点分别是两圆（6．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）B C D=（+解：∵若（+）e==7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）B C D==8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足、的坐∥∥22+=1（y≠0）B+=1（y≠0）C﹣=1（y≠0）D﹣=1（y≠0）=2，根据抛物线定义可得（10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）11．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）B C D，，再利用余弦定理，即可求得|=2|=，12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）BD，+∞）解：曲线=，k′=，＜k≤13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=B C=，14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）B C D，=的中点坐标是（）﹣，，m=15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值根据双曲线上存在两点（﹣，，∴b=，m二．解答题（共15小题）16．已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且，求直线A2Q斜率的取值范围；（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值．）根据椭圆的离心率为kk'==，利用，即可求直，且经过点（的标准方程为…（，及=则有，的最小值为17．已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2﹣=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S﹣S的取值范围．S S S S，故．=•≤15，所以（﹣在双曲线上，所以，所以=，﹣==，则S=5．﹣=，﹣﹣的取值范围为18．设椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t取值范围．，可得：中，，所以，（﹣，（﹣：．，圆的方程为（＜=ty=y=3×[+4×[=＜19．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•的最大值为1，最小值为﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．•=并与椭圆联立，利用韦达定理求﹣•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），••．，=0，=+=++20．如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．b=，知==，，==，=+4当且仅当21．已知直L1：2x﹣y=0，L2：x﹣2y=0．动圆（圆心为M）被L1L2截得的弦长分别为8，16．（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M；（Ⅱ）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y2=﹣2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k 的取值范围．．所以，得（的中垂线为，由，的中点为，即，得，，∴，④…（根据导数知识易得．22．已知直线l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．的大小，求出）由时，轨迹是双曲线，焦点为，离心率时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率＞；b≤23．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面积的最小值．⇒代入①即得的方程为的坐标为．的方程为，得，得，当且仅当，即，的面积的最小值为24．（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长．（2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ，①若φ=60°，θ=45°，求点B的轨迹；②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．则．=．又由sin60°=a，平方整理得＜φ＜分）=．．所以•φ=θ＜φ＜时，θ=φ＜时，点4，则．．＜φ＜）分）= sinφ=aφ=时，点θ=φ＜25．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．的方程为，解得的方程为．故点，的直线方程为得，．，则，同理可得，的斜率的直线方程为，由．，得．此时，的距离为，===．面积的最大值为．26．已知点B（0，1），A，C为椭圆上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．（I）当a=4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．（II）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？）依题意，可知椭圆的方程为：x++，令y=0得x==cosθ（cosθ≠0），利用余弦cosθ的有x+1∴椭圆的方程为：），=﹣=（x++，cosθ（cosθ≠0）≤x=cosθ≤，，﹣得：|AB|=|BC|=|=||==+1≥3（当且仅当，即当时，以＜a≤27．如图，P是抛物线C：x2=2y上一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与抛物线交于另一点Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．（1）若l经过点F，求弦长|PQ|的最小值；（2）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0）与x轴交于点S，与y轴交于点T①求证：②求的取值范围．，消去，|PQ|=，消去可取一切不相等的正数∴）==28．过点F（0，1）作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B，圆C：x2+（y+1）2=1 （1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围．，则过点的切线方程为：相切，坐标为的方程为：29．已知圆C的圆心在抛物线x2=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．（1）求弦长MN；（2）设AM=l1，AN=l2，求的取值范围．所以．所以θ=45°时，原式有最大值从而30．已知以动点P为圆心的圆与直线y=﹣相切，且与圆x2+（y﹣）2=外切．（Ⅰ）求动P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若M（m，m1），N（n，n1）是C上不同两点，且 m2+n2=1，m+n≠0，直线L是线段MN的垂直平分线．（1）求直线L斜率k的取值范围；（2）设椭圆E的方程为+=1（0＜a＜2）．已知直线L与抛物线C交于A、B两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，PQ中点为S，若=0，求E离心率的范围．相切，且与圆﹣外切，建立方程，即可求动）求出直线方程代入抛物线和椭圆方程，由，则有的斜率为﹣∴|k|＞∴k＜﹣＞﹣﹣，＞恒成立，方程②的判别式，∴＞）+1=＞＜＜。

第13讲解析几何解答压轴题(原卷版)

第13讲解析几何解答压轴题1．（内蒙古赤峰市·高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其左，右集点为12,F F ，过点1F 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点､2MNF 的周长为．（1）求椭圆E 的标准方程：（2）过E 右焦点的直线12,l l 互相垂直，且分别交椭圆E 于,A B 和,C D 四点，求AB CD +的最小值2．（河南新乡市·高三二模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，E 为C 上不同于A ，B 的动点，直线AE ，BE 的斜率AE k ，BE k 满足12AE BE k k ⋅=-，AE BE ⋅的最小值为-4．（1）求C 的方程；（2）O 为坐标原点，过O 的两条直线1l ，2l 满足1//l AE ，2//l BE ，且1l ，2l 分别交C 于M ，N 和P ，Q ．试判断四边形MPNQ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．3．（天津滨海新区·高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，且121PF PF ⋅=-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于A 、B 两点，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）．（i ）当PAB △面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：||||||||PA MB PB MA ⋅=⋅．4．（山东泰安市·高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）．（i ）当PAB △面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：PA MB PB MA =，并判断12,l l ，,PA PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列．5．（浙江绍兴市·高三一模）已知抛物线21:4C x y =和椭圆222:143x y C +=如图，经过抛物线1C 焦点F的直线l 分别交抛物线1C 和椭圆2C 于A ，B ，C ，D 四点，抛物线1C 在点A ，B 处的切线交于点P ．（1）求点P 的纵坐标；（2）设M 为线段AB 的中点，PM 交1C 于点Q ，BQ 交AP 于点T ．记TCD QBP ，的面积分别为12S S ，．（i ）求证：Q 为线段PM 的中点；（ii ）若1287S S =，求直线l 的方程．6．（江苏盐城市·高三二模）已知直线:l y x m +＝交抛物线2:4C y x =于,A B 两点．（1）设直线l 与x 轴的交点为T ．若=2AT TB ，求实数m 的值；（2）若点,M N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：,,,A B M N 四点共圆．7．（内蒙古赤峰市·高三月考（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，且过点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过椭圆E 右焦点的直线12l l 、相互垂直，且分别交椭圆E 于A B 、和C D 、四点，求AB CD +的最小值．8．（全国大联考（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于,A B 两点，AOB (点O 为坐标原点)的面积为2．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()()0,0E a a >的两直线1l ，2l 的倾斜角互补，直线1l 与抛物线C 交于,M N 两点，直线2l 与抛物线C 交于,P Q 两点，FMN 与FPQ △的面积相等，求实数a 的取值范围．9．（江西八校4月联考（理））已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>．左焦点()1,0F -，点()0,2M 在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且NMF 的周长最大值为4．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点．如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．10．（天津南开区·高三一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为点A ，点E 的坐标为0,4b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，延长线段1F E 交椭圆于点M ，2MF x ⊥轴．（1）求椭圆的离心率；（2）设抛物线2245y bx =的焦点为F ，B 为抛物线上一点，365BF b =，直线BF 交椭圆于P ，Q 两点，若22425AP AQ +=，求椭圆的标准方程．11．（四川成都市·高三二模（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点A ⎛ ⎝⎭，其长半轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求BEG 与BDG 的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值．12．（浙江温州市·高三二模）如图，过点(1,0)F 和点(4,0)E 的两条平行线1l 和2l 分别交抛物线24y x =于,A B 和,C D （其中,A C 在x 轴的上方），AD 交x 轴于点G ．（1）求证：点C 、点D 的纵坐标乘积为定值；（2）分别记ABG 和CDG 的面积为1S 和2S ，当1214S S =时，求直线AD 的方程．13．（四川成都市·高三二模（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2A ⎛ ⎝⎭，其长半轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求△DEG 的面积S 的取值范围．14．（四省名校联考（文））已知F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点，焦距为4，且C 过点)P．（1）求C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，若1l 与C 交于,A B 两点，2l 与C 交于,D E 两点，记AB 的中点为,M DE 的中点为N ，试判断直线MN 是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．15．（辽宁铁岭市·高三一模）已知椭圆方程22143x y +=，直线:4l x =与x 轴相交于点P ，过右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点．（1）若过点F 的直线MF 与AB 垂直，且与直线l 交于点M ，线段AB 中点为D ，求证：OD OM k k =．（2）设Q 点的坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，直线BQ 与直线l 交于点E ，试问EA 是否垂直EP ，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．16．（广东汕头市·高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，P 为坐标原点，)M，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P 的轨迹方程；（2过)M作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ； ①证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标． ②求四边形ACBD 面积的最小值．17．（聊城市·山东聊城一中高三一模）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>过点(2,1)-，离心率为216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．18．（浙江宁波市·高三月考）如图，过椭圆2212x y +=的左右焦点12,F F 分别做直线,AB CD ，交椭圆于,,,A B C D 四点，设直线AB 的斜率为(0)k k ≠（1）求||AB （用k 表示）；（2）若直线,AB CD 的斜率之积为12-，求四边形ACBD 面积的取值范围．19．（湖北八市三月联考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，离心率为12，过椭圆C 的左焦点1F 作不与x 轴重合的直线MN 与椭圆C 相交于,M N 两点，过点M 作直线:2m x a =-的垂线ME ，E 为垂足．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）①已知直线EN 过定点P ，求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．20．（河南新乡市·高三一模（理））已知动点P 到点(的距离与到直线x =的距离之比为（1）求动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）过点(4,0)A -的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点(2,1)B --，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F ．试问在x 轴上是否存在一点G ，使得0BE GF GE BF ⋅+⋅=？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（山西晋中市·高三二模（理））设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，O 为原点，点(4,0)A 是x 轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于||OA （1）求椭圆的方程；（2）直线:l y kx t =+与椭圆C 交于两个不同点M ，N ，已知M 关于y 轴的对称点为M '，N 关于原点O 的对称点为N '，若,M N ''满足(1)OA OM ON λμλμ''=++=，求证：直线l 经过定点．22．（辽宁高三一模（理））过点()0,2P 作直线l 交抛物线2:4G x y =于,A B 两点，O 为坐标原点，分别过,A B 点作抛物线G 的切线，设两切线交于Q 点．（1）求证：点Q 在一定直线m 上；（2）设直线,AO BO 分别交直线m 于点,C D ．（i ）求证：AOB COD S S =△△；（ii ）设AOD △的面积为1S ，BOC 的面积为2S ，记12P S S =+，求P 的最小值．23．（内蒙古包头市·高三期末（文））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2213x y +=的左顶点为A ，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点．（1）当P 、O 、Q 三点共线时，直线PA 、QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求AM AN ⋅的值；（2）设直线AP 、AQ 的斜率分别为1k ，2k ，当121k k =-时，证明：直线PQ 恒过一个定点R ．24．（江西上饶模拟（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且直线OP 的斜率与直线OA 的斜率之和等于直线的PA 斜率．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过A 作斜率为2的直线与轨迹C 相交于点B ，点()()0,0T t t >，直线AT 与BT 分别交轨迹C 于点E 、F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由．25．（贵州新高考联盟质检（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,,F F 焦距为椭圆C 的右顶点到点2F 的距离与它到直线:l x =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，,A B 为椭圆C 上不同的两点，点A 关于x 轴的对称点为点.D 若直线BD 的斜率为1，求证：OAB 的面积为定值．26．（浙江丽水市·高三月考）已知抛物线2:E x y =，过抛物线上第一象限的点A 作抛物线的切线，与x轴交于点M ．过M 作OA 的垂线，交抛物线于B ，C 两点，交OA 于点D ．（1）求证：直线BC 过定点；（2）若1OB OM ⋅≤-，求||||AD AO 的最小值．27．（江苏南通市·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且直线OA ，OB 的斜率之积为34-，点M 为线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求证：OMB AMNS S △△为定值．28．（山西运城市·高三期末（理））已知A ，B 是椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，C 为E 的上顶点，3AC BC ⋅=-．（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N ，P 是椭圆E 上不同的三点，且坐标原点O 为MNP △的重心，试探究MNP △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．29．（河南驻马店市·高三期末（文））已知A 为抛物线21:2(0)C y px p =>上异于原点O 的任意一点，当直线OA 的斜率为1时，||OA =．直线:20-+=l my x 交抛物线1C 于P ，Q 两点，射线OP ，OQ 分别交椭圆222:12y C x +=于E ，F 两点．（1）求抛物线1C 的方程；（2）记OEF 和OPQ △的面积分别为1S 和2S ，当218S S =时，求直线l 的斜率．30．（安徽名校期末联考（理））已知D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 延长至点P ，使得||2PA =，点P 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C的方程；M N两点，Q为曲线C上一动点(点,O Q分别位于直线MN两侧)，求四（2）作圆O的切线交曲线C于,边形OMQN的面积的最大值．。

解析几何历年高考真题试卷--带详细答案

解析几何高考真题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ，离心率为 √5 ．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 82.（2020·新课标Ⅲ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A. （ 14 ，0）B. （ 12 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 3.（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线 x =a 与双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于 D,E 两点，若 △ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4.（2020·天津）设双曲线 C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) ，过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l ．若C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（） A.x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=15.（2019·天津）已知抛物线的焦点为F ，准线为l.若与双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且 |AB|=4|OF| （O 为原点），则双曲线的离心率为（） A. √2 B. √3 C. 2 D. √56.（2020·北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作 PQ ⊥l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线 OPD. 垂直于直线 OP7.（2019·天津）已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|=4|OF| （ O 为原点），则双曲线的离心率为（）A. √2B. √3C. 2D. √5 8.（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（）A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√29.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B两点．若|AF+BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45 ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A. (0,√32] B. (0,34] C. [√32.1) D. [34,1)10.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ，则（）A. 对任意的a,b ， e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b ， e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 211.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加(m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ，则（）A. 对任意的a,b,e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b,e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2二、填空题（共5题；共6分）12.（2020·新课标Ⅰ·理）已知F 为双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________.13.（2019·江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________. 14.（2019·浙江）已知椭圆x 29+y 25=1 的左焦点为F ，点P 在椭圆且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________ 15.（2018·北京）已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ,双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1 . 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________16.（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．三、解答题（共9题；共85分）17.（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 C:x 225+y 2m 2=1(0<m <5) 的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线 x =6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP ⊥BQ ，求 △APQ 的面积．18.（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1 (a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|= 43 |AB|．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．19.（2020·新课标Ⅰ·理）已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1 （a>1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8 ，P 为直线x=6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.20.（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.21.（2019·天津）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|（O为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.22.（2019·全国Ⅲ卷文）已知曲线C：y= x22，D为直线y= −12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.23.（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C: y=x22，D为直线y=- 12的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.24.（2019·全国Ⅱ卷文）已知F1,F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点。

高考数学压轴大题解析几何

高考数学压轴大题-解析几何1. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.I 求双曲线C 的离心率e 的取值范围：II 设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125PB PA =求a 的值.解：I 由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y 并整理得1－a 2x 2+2a 2x －2a 2=0. ① 双曲线的离心率II 设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A由于x 1+x 2都是方程①的根,且1－a 2≠0,2. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点,P 为C 上任意一点,且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,求OMN ∆O 为原点的面积的最大值及相应的直线l 的方程.解：Ⅰ设椭圆的长轴为2a ,a 2=+22==c =2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x Ⅱ 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -即 044)32(22=--+my y m . 由韦达定理得:∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t ∴221y y -=41448)12(482++=+tt t t .又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在1,+∞上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316∴OMN S ∆ 的面积有最大值332.直线l 的方程为1-=x .3. 椭圆E 的中心在原点O,焦点在x 轴上,离心率e过点C 1,0的直线l 交椭圆于A 、B 两点,且满足：CA =BC λ 2λ≥．Ⅰ若λ为常数,试用直线l 的斜率kk ≠0表示三角形OAB 的面积． Ⅱ若λ为常数,当三角形OAB 的面积取得最大值时,求椭圆E 的方程．Ⅲ若λ变化,且λ= k 2＋1,试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时,椭圆E 的短半轴长取得最大值并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a ba ＞b ＞0,由e =caa 2=b 2c 2得a 2=3 b 2,故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① Ⅰ∵直线l ：y = kx ＋1交椭圆于Ax 1,y 1,Bx 2,y 2两点,并且CA =BC λ λ≥2, ∴x 11,y 1 =λ1x 2,y 2, 即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ②把y = kx 1代入椭圆方程,得3k 21x 26k 2x 3k 23b 2= 0, 且 k 2 3b 21b 2＞0 ,∴x 1x 2= 22631k k +, ③x 1x 2=2223331k b k -+, ④∴O A B S ∆=12|y 1y 2| =12|λ1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 21|．联立②、③得x 21=22(1)(31)k λ-+,∴O A B S ∆=11λλ+-·2||31k k + k ≠0．ⅡO AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + =11λλ+-·113||||k k + ≤11λλ+-λ≥2．当且仅当3| k | =1||k ,即k=,O AB S ∆取得最大值,此时x 1x 2= 1．又∵x 11= λ x 21,∴x 1=11λ-,x 2= 1λλ-,代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5,,k b 的值符合故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-λ≥2．Ⅲ由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+1, x 2=22(1)(31)k λ-+1,将x 1,x 2代入④,得23b =224(1)(31)k λλ-+1．由k 2=λ1得23b =24(1)(32)λλλ-- 1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知,当2λ≥时,3b 2是λ的减函数,故当2λ=时,23b 取得最大值3．所以,当2λ=,k =±1符合时,椭圆短半轴长取得最大值, 此时椭圆方程为x 2 3y 2 = 3．4. 已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. I 求椭圆的离心率；II 设M 为椭圆上任意一点,且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ,证明22μλ+为定值.解：I 设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线,得II 证明：由I 知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),(y x M 在椭圆上,即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由I 知.21,23,23222221c b c a c x x ===+又222222212133,33b y x b y x =+=+又,代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值,定值为1.5. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F,O 为坐标原点.I 求过点O 、F,并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；II 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G,求点G 横坐标的取值范围.解：I 222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-圆过点O 、F,∴圆心M 在直线12x =-上;设1(,),2M t -则圆半径由,OM r =3,2=解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=II 设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F,∴方程有两个不等实根; 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-6. 已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为 I 证明线段AB 是圆C 的直径;II 当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值; I 证明1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=设Mx,y 是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径证明2:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设x,y 是以线段AB 为直径的圆上则即2112211(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将1代入得: 故线段AB 是圆C 的直径证明3:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅= 12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)以线段AB 为直径的圆的方程为展开并将1代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 II 解法1:设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =-设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0则2m =± 因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0将2代入3得222220y py p p -+-= 2244(22)0p p p ∴∆=--= 解法3: 设圆C 的圆心为Cx,y,则圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅= 当122y y p +=时,d=2p ∴=.11、如图设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点．1若6ED DF =,求k 的值； 2求四边形AEBF 面积的最大值． 11．Ⅰ解：依题设得椭圆的方程为2214xy +=, 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=,(y kx k => 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，,其中1x < 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=,故21x x =-=．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-,得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k=+．所以212k =+, 化简得2242560k k -+=, 解得23k =或38k =． 6分 Ⅱ解法一：根据点到直线的距离公式和①式知,点E F ，到AB 的距离分别为1h ==,2h ==9分又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 14(12525(14k k +=+== ≤ 当21k =,即当12k =时,上式取等号．所以S 的最大值为． 12分解法二：由题设,1BO =,2AO =．设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->, 故四边形AEBF 的面积为 BEF AEF S S S =+△△222x y =+9分===当222x y =时,上式取等号．所以S的最大值为 12分12、已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =0t >与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ．1 求椭圆E 的方程；2 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,求ABC ∆的面积的最大值.12、1解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, 12=. …… 2分解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 2解法1：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即0t <<．∴弦长||AB ===． …… 8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. …… 12分=,即7t =时,等号成立. ∴ ABC ∆． …… 14分解法2：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即07t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中,令0x =,得2y =±,∴弦长||AB =． …… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. ……12分=,即7t=时,等号成立. ∴ABC∆．15、已知椭圆∑：12222=+byax>>ba的上顶点为)1,0(P,过∑的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆∑上,该菱形对角线BD所在直线的斜率为1-．⑴求椭圆∑的方程；⑵当直线BD过点)0,1(时,求直线AC的方程；⑶本问只作参考．．．．．．,．不计入总分．．．．．当3π=∠ABC时,求菱形ABCD面积的最大值．15、解：⑴依题意,1=b……1分,解12222=+byac……2分,得aby2||=……3分,所以122=ab,2=a……4分,椭圆∑的方程为1422=+yx……5分;⑵直线BD：1)1(1+-=-⨯-=xxy……7分,设AC：bxy+=……8分,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422yxbxy得0)1(24522=-++bbxx……9分,当05)1(454)2(222>-=-⨯⨯-=∆bbb时……10分,),(11yxA、),(22yxC的中点坐标为54221bxx-=+,5222121bbxxyy=++=+……12分,ABCD是菱形,所以AC的中点在BD上,所以1545+=bb……13分,解得35-=b,满足052>-=∆b,所以AC的方程为35-=xy……14分;⑶本小问不计入总分,仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用因为四边形ABCD为菱形,且3π=∠ABC,所以BCACAB==,所以菱形ABCD的面积223ACS⨯=,由⑵可得2122122122122)(2)(2)()(xxxxyyxxAC+=-=-+-=222212532532)1(548)58(28bbbxx⨯-=-⨯⨯--⨯=-,因为5||<b,所以当且仅当0=b时,菱形ABCD的面积取得最大值,最大值为531653223=⨯;。

全国高考数学解析几何大题精选50题(完美编辑、含答案、知识卡片)

20．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（
），焦点 F1
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（﹣ ，0），F2（，0），圆 O 的直径为 F1F2．（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．若△OAB 的面积为，求直线 l 的方程．
试卷第 1 页，总 25 页
线型道路 PB，QA，规划要求：线段 PB，QA 上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆 O 的半径．已知点 A，B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C，D 为垂足），测得 AB ＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米），求当 d 最小时， P、Q 两点间的距离．
点的圆．（1）求 C 的轨迹方程；（2）动点 P 在 C 上运动，M 满足
＝2 ，求 M 的轨迹方程．
试卷第 8 页，总 25 页
18．（2018•浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y2＝4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上．（Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；
22．（2018•上海）设常数 t＞2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0），直线 l： x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l 与 x 轴交于点 A、与Γ交于点 B．P、Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点．（1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；（2）设 t＝3，|FQ|＝2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP 的面积；（3）设 t＝8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》知识点总复习有答案

新数学《平面解析几何》期末复习知识要点一、选择题1．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】【分析】设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-，所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6故选：C【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.2．已知双曲线22x a －22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2p x =-，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±，由双曲线的性质，可得b=1；则5c =，则焦距为2c=25；故选A ．3．如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（）A 2B 3C ．32D ．62【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a(其中2a 为双曲线的长轴长)，∴|AF 2|＝a ＋2，|AF 1|＝2－a ，又四边形AF 1BF 2是矩形，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝32，∴a 2，∴e 326 考点：椭圆的几何性质．4．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．2)B ．3)C ．(2,)+∞D ．3,)+∞【答案】C【解析】【分析】根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得1b a>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围．【详解】解：不妨设该双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形，所以直线y x =与双曲线有交点，所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1b a>．离心率e =所以该双曲线的离心率的取值范围是)+∞．故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．5．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（） A ．16B ．10C ．12D ．8【答案】C【解析】【分析】根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以||||2612AF BF ==⨯=．【详解】解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥．由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6，所以||||2612AF BF ==⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．6．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.7．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．3y x =±【答案】C【解析】【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上. 由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c a MOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos a MOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±. 故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.8．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C【解析】【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MFMF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.【详解】解：设1MF m =，2MF n =， ∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ， ∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==，∴()2222m n m n mn -=+-，即2401624mn =-=，∴12mn =，解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+，在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，解得6t =， ∴628MN =+=，∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．9．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（）A ．(1,14)B ．1(,1)4-C ．(1,2)D ．(1,2)-【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：抛物线24y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为M 根据抛物线定义：，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；所以点P 纵坐标为1，则横坐标为14,即(1,14)，故选A 考点：抛物线的定义及几何性质的运用.10．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（）A ．13B ．15C ．23D ．25【答案】C由221:13y C x -=知2c =，1124F A F F == ∵122F A F A -= ∴22F A = ∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴23,3c a e a === 故选C11．已知P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.【详解】P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则229PF a =+或292PF a =-，当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =.故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件.故选：B .【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.12．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是（）A ．22(3)4x y ++=B ．22(23)41x y -+=C ．22(3)1x y -+=D ．22(23)41x y ++=【答案】B【分析】根据已知条件可设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，再利用中点坐标公式可得到0023,2x x y y =-=，再代入圆的方程221x y +=即可得到线段PQ 的中点的轨迹方程.【详解】设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，（如图）则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即00232x x y y =-⎧⎨=⎩， Q 点()00,P x y 在圆221x y +=上变动，即22001x y +=()()222321x y ∴-+=即()222341x y -+=故选：B【点睛】本题考查了中点坐标公式，动点轨迹方程求法，属于一般题.13．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值.【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF = 当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=- Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.14．点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到.【详解】由题意，可设椭圆的焦点坐标为，因为为正三角形，则点在椭圆上，代入得，即，得，解得，故选B ．【点睛】本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力.15．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点OAOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（） A ．(2,0) B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)【答案】B 【解析】【分析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a+===+=，∴2b a =，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322nm mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：()()22448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C 【解析】【分析】先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值. 【详解】由已知()2,0A ，()0,2B -则AB ==，又点M 到直线的最大距离为44285211+-+=+，所以最大面积为12252102⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.17．过双曲线22134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（） A ．1 B ．23-C ．13+D ．2【答案】B 【解析】【分析】根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论．【详解】由图象可得()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=()(22211112322322PF PF OF OT -+-=⋅-+= 故选：B. 【点睛】本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．18．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs （已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（）A ．9011,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭B ．135322,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫± ⎪⎝⎭D ．(45,162±【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的定义求出点P 所在的双曲线的标准方程()2211522564x y x -=>，将方程与()222713664x y --=联立，求解即可. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，因为船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs ，则船P 到B 台和到A 台的距离差为185.20.32301.852a PB PA ⨯===-海里，故15a =，又=17c ，故8b =，故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135322,77P ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B .【点睛】本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查了理解转化能力，属于中档题.19．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是（）A ．14B ．12C ．2D 【答案】C 【解析】由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则sin PF PM PAM PAPA==∠，PAM ∠为锐角．∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PFPA最小．设切点)P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==. ∴1a =，则(2,1)P .∴2PM =，PA =∴sin PM PAM PA∠==故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.20．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（）A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,09⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,027⎛⎫⎪⎝⎭D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=，同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=，故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.。

高三数学解析几何试题答案及解析

高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点、（不与、重合），与圆相切于点，连结，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明目标可看做线段成比例，即证明思路确定为证明三角形相似：利用切割线定理得：，又由与相似，得；所以（Ⅱ）由（1）知，，与相似，则，所以试题解析：（1）连接，,,为等边三角形，则，可证与相似，得；又，则（2）由（1）知，，与相似，则因为，所以【考点】三角形相似，切割线定理2.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．【答案】（Ⅰ）的普通方程为，圆心；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）消去参数即可将的参数方程化为普通方程，在直角坐标系下求出圆心的坐标，化为极坐标即可；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为 2分圆的直角坐标方程, 4分所以圆心的直角坐标为，因此圆心的一个极坐标为. 6分(答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离, 8分所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化.：的焦点，且抛物线3.（本题满分12分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1C1上点P处的切线与圆C2：相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】第一问要求抛物线的方程，任务就是求的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得，再根据切点在切线上，得，从而求得，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于和切点横坐标的关系式，从而有，利用基本不等式求得最值．试题解析：（Ⅰ）设点，由得，，求导，……2分因为直线PQ的斜率为1，所以且，解得，所以抛物线C1的方程为．（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得，即，化简得，由，得，由方程组，解得，所以，点到切线PQ的距离是，所以，，所以，当且仅当时取“＝”号，即，此时，，所以的最小值为．【考点】导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式．4.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（-3,0），F2（3,0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程即可；（Ⅱ）首先设出点，然后联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再结合可列出等式并化简即可得到等式，最后结合已知，即可求出参数的取值范围，进而得出椭圆离心率e的取值范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得，得．结合，解得，．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）由得．设．所以，易知，，因为，，所以．即，将其整理为．因为，所以，即，所以离心率．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；5.（本小题满分12分）椭圆（）的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在两个定点，．【解析】（1）由题设可得①，又点P在椭圆C上，可得②，又③，由①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（﹡），由△=0，得，假设存在，满足题设，则由对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．试题解析：（1），，由题设可知，得①又点在椭圆上，，②③①③联立解得，，故所求椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，整理得（）方程（）有且只有一个实根，又，所以，得假设存在，满足题设，则由对任意的实数恒成立，所以，解得，或当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．总上，存在两个定点，，使它们到直线的距离之积等于．……12分【考点】1、直线与圆锥曲线的关系；2、椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．处理直线与圆锥曲线的关系问题时，注意韦达定理的应用，同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证．6.直线被圆截得的弦长为（）A．1B．2C．4D．【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.故选Ｃ.【考点】点到直线的距离.7.（本小题12分）己知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，。

高考数学压轴题：平面解析几何

高考数学压轴题：平面解析几何一、解答题（共35小题）1．已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223x y a +=相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1k =，且10||AB =，求实数a 的值；（Ⅱ）若2AC CB =，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且1273||,(4OP PF PF O ==为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，长轴长为等于圆22:(2)4R x y +-=的直径，过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，与圆R 交于两点M ，N （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ，RB 的斜率之和等于零；（Ⅲ）求||||AB MN 的取值范围．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON 的取值范围．6．（2016•太原校级二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足(OA OB tOP O +=为坐标原点），当25||PA PB -<时，求实数t 取值范围． 7．（2016•抚顺一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线1A M 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△1A MN 的外接圆在M 处的切线与椭圆相交所得弦长为57，求椭圆方程．8．（2016•江西模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．9．（2016•石家庄二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，||||MA MB λ=，且当直线l 垂直于x 轴时，||AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）若1[2λ∈，2]，求弦长||AB 的取值范围．10．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．11．（2015•潍坊模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由．．12．（2019•秦淮区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，以椭圆C左顶点T为圆心作圆222:(2)(0)T x y r r++=>，设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求TM TN的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：OR OS为定值．13．（2016•益阳模拟）已知以点(1,2)A-为圆心的圆与直线1:270l x y++=相切．过点(2,0)B-的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与1l相交于点P．()I求圆A的方程；（Ⅱ）当219MN=l的方程；（Ⅲ）BQ BP是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．14．（2019•上海）已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F ABF MNS S=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．15．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．16．（2019•新课标Ⅱ）已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． ()i 证明：PQG ∆是直角三角形； ()ii 求PQG ∆面积的最大值．17．（2019•浙江）如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ∆的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记AFG ∆，CQG ∆的面积分别为1S ，2S ．（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求12SS的最小值及此时点G的坐标．18．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2xC y=，D为直线12y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以5(0,)2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．19．（2018•天津）设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离5A的坐标为(,0)b，且||||62FB AB=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线:(0)l y kx k=>与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若||52(||4AQAOQ OPQ=∠为原点），求k的值．20．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1(3,)2，焦点1(3F0)，2(3F0)，圆O的直径为12F F．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若OAB∆26，求直线l的方程．21．（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．22．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．23．（2018•上海）设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)F ，直线:l x t =，曲线2:8(0,0)y x x t y Γ=．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP ∆的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．24．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．25．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程．26．（2017•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．()I 求椭圆的方程和抛物线的方程；()II 设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点(B B 异于)A ，直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆，求直线AP 的方程．27．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）如图，动直线1:l y k x =-交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且||:||2:3MC AB =，M 的半径为||MC ，OS ，OT 是M 的两条切线，切点分别为S ，T ，求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．28．（2017•新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．29．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,)P -，43(1,)P 中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．30．（2016•浙江）如图，设椭圆222:1(1)x C y a a+=>（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）（Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．31．（2016•天津）设椭圆2221(3)3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113||||||eOF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点(B B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y 轴于点H，若BF HF⊥，且MOA MAO∠∠，求直线l的斜率的取值范围．32．（2016•四川）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3l y x=-+与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PBλ=，并求λ的值．33．（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率是3，抛物线2:2E x y=的焦点F是C的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．()i求证：点M在定直线上；()ii直线l与y轴交于点G，记PFG∆的面积为1S，PDM∆的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标．34．（2016•新课标Ⅱ）已知椭圆22:13x yEt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)k k>的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA NA⊥．（Ⅰ）当4t=，||||AM AN=时，求AMN∆的面积；（Ⅱ）当2||||AM AN=时，求k的取值范围．35．（2016•新课标Ⅰ）设圆222150x y x++-=的圆心为A，直线l过点(1,0)B且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明||||EA EB+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．2020年高考数学复习之挑战压轴题（解答题）：平面解析几何综合题（35题）参考答案与试题解析一、解答题（共35小题）1．（2016•南昌校级二模）已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223x y a +=相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1k =，且||AB =，求实数a 的值；（Ⅱ）若2AC CB =，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（Ⅰ）若1k =，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及||AB =可求实数a 的值；（Ⅱ）根据2AC CB =关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，（Ⅰ）由2213y x x y a=+⎧⎨+=⎩得24210x x a ++-=，则1212x x +=-，1214ax x -=，则123|||24AB x x a -=-=2a =．（Ⅱ）由2213y kx x y a=+⎧⎨+=⎩，得22(3)210k x kx a +++-=，则12223k x x k +=-+，12213ax x k -=+，由2AC CB =得1(x -，121)2(y x -=，21)y -，解得122x x =-，代入上式得： 122223k x x x k +=-=-+，则2223kx k =+，1222133||3||||||322323||||AOB k S OC x x x k k k ∆=-====++ 当且仅当23k =时取等号，此时2223k x k =+，22122224222(3)3k x x x k =-=-⨯=-+，又1221136a ax x k --==+，则1263a -=-，解得5a =．所以，AOB ∆，此时椭圆的方程为2235x y +=．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．2．（2017•河南模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且123||(4OP PF PF O =为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由．【考点】3K ：椭圆的标准方程；4K ：椭圆的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题【分析】（1）设出P 的坐标，利用||OP 的值求得0x 和0y 的关系式，同时利用1234PF PF =求得0x 和0y 的另一关系式，进而求得c ，通过椭圆的离心率求得a ，最后利用a ，b 和c 的关系求得b ，则椭圆的方程可得．（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消去y ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则可利用韦达定理表示出12x x +和12x x ，假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则可表示出MA MB ，利用0MA MB =求得m 的值．【解答】解：（1）设0(P x ，0)y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则由220074OP x y =+=；由1234PF PF =得00003(,)(,)4c x y c x y -----=，即2220034x y c +-=．所以1c =又因为222,1c a b a ===所以．因此所求椭圆的方程为：2212x y +=．（2）动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22416(21)039k x kx +--=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则121222416,3(21)9(21)k x x x x k k +==-++．假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则1122(,),(,)MA x y m MB x y m =-=-． 21212121212()()()MA MB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+ 由假设得对于任意的,0k R MA MB ∈=恒成立，即221096150m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得1m =．因此，在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点，点M 的坐标为(0,1)【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和推理的能力．3．（2016•衡阳三模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】3K ：椭圆的标准方程；KH ：直线与圆锥曲线的综合【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（1）由题意知2a =，b c =，22b =，由此可知椭圆方程为22142x y +=．（2）设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ，()()110,,2,OP x y OM y ==则，直线()0001:2,442y y CM y x y x y =+=+即，代入椭圆方程2224x y +=，得222200011(1)40822y x y x y +++-=，然后利用根与系数的关系能够推导出OM OP 为定值．（3）设存在(,0)Q m 满足条件，则MQ DP ⊥．2000220048(2,),(,)88y yMQ m y DP y y =--=-++，再由()220022004802088y y MQ DP m y y ⋅=---=++得，由此可知存在(0,0)Q 满足条件．【解答】解：（1）2a =，b c =，222a b c =+，22b ∴=；∴椭圆方程为22142x y +=（4分）（2）(2,0)C -，(2,0)D ，设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， ()()110,,2,OP x y OM y ==则直线()0001:2,442y y CM y x y x y =+=+即，代入椭圆方程2224x y +=，得222200011(1)40822y x y x y +++-=（6分）21204(8)128y x y -=-+，∴201202(8)8y x y -=-+，∴012088y y y =+，∴20022002(8)8(,)88y y OP y y -=-++（8分） ∴2220002220004(8)84324888y y y OP OM y y y -+=-+==+++（定值）（10分）（3）设存在(,0)Q m 满足条件，则MQ DP ⊥（11分）2000220048(2,),(,)88y yMQ m y DP y y =--=-++（12分）则由()220022004802088y y MQ DP m y y ⋅=---=++得，从而得0m =∴存在(0,0)Q 满足条件（14分）【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．4．（2016•天津一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴长为等于圆22:(2)4R x y +-=的直径，过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，与圆R 交于两点M ，N（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ，RB 的斜率之和等于零；（Ⅲ）求||||AB MN 的取值范围．【考点】1K ：圆锥曲线的实际背景及作用；3K ：椭圆的标准方程【专题】15：综合题；31：数形结合；34：方程思想；4R ：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）根据椭圆的简单几何性质，求出a 、b 的值即可；（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，求出直线RA 、RB 的斜率之和即可证明结论成立；（Ⅲ）讨论直线l 的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出||||AB MN 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C 长轴长等于圆22:(2)4R xy +-=的直径，所以24a =，2a =； ⋯（1分）2，得22222212c a b e a a -===，所以222142b b a ==，得22b =；⋯（2分）所以椭圆C 的方程为22142x y +=；⋯（3分）（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1y kx =+，与22142x y +=联立，消去y ，得22(12)420k x kx ++-=；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122412k x x k +=-+，122212x x k =-+，⋯（5分）由(0,2)R ，得 121222RA RB y y k k x x --+=+121211kx kx x x --=+12112()k x x =-+ 12122x x k x x +=-2241220212k k k k -+=-=-+．⋯（7分）所以直线RA ，RB 的斜率之和等于零；⋯（8分）（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，||AB =||4MN =，||||8AB MN =；⋯（9分）当直线l的斜率存在时，||AB =12||x x =-12()x x +4(12k k =-+ 22328k += ||MN ==⋯（11分）所以22328||||12k AB MN k+=+⨯241k +=；因为直线l 过点(0,1)P ，所以直线l 与椭圆C 和圆R 均交于两点，令212k t +=，则1t ，所以22(21)(21)1||||4242482t t AB MN t t -+==-<，又2124y t =-在1t 时单调递增，所以1||||446AB MN =，当且仅当1t =，0k =等号成立；⋯（13分）综上，||||AB MN 的取值范围是．⋯（14分）【点评】本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力，是综合性题目．5．（2015•大庆一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON 的取值范围．【考点】3K ：椭圆的标准方程；4K ：椭圆的性质【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由题意知12c e a ==，能够导出2243a b =．再由b C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4)1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=，再由根与系数的关系证明直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）分MN 的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y 在椭圆C 上．由22(1)1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．再由根据判别式和根与系数的关系求解OM ON 的取值范围；当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =，易得M 、N 的坐标，进而可得OM ON 的取值范围，综合可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===．即2243a b =．又因为b =所以24a =，23b =．故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4)1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=．①设点1(B x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则1(A x ，1)y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y 在椭圆C 上．由22(1)1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知△0>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+，22943M N m y y m =-+．则2225125334344(43)M N M N m OM ON x x y y m m +=+=-=--++．因为20m ，所以21133044(43)m --<+．所以5[4,)4OM ON ∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得3(1,)2M -，3(1,)2N 或3(1,)2M 、3(1,)2N -．此时54OM ON =-．所以OM ON 的取值范围是5[4,]4--．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．6．（2016•太原校级二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足(OA OB tOP O +=为坐标原点），当25||PA PB -<t 取值范围．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；KH ：直线与圆锥曲线的综合【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由题意知c e a ==所以22222212c a b e a a -===．由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在．设:(2)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)P x y ，由22(2)1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=再由根的判别式和嘏达定理进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意知2c e a ==，所以22222212c a b e a a -===．即222a b =．（2分）又因为1b ==，所以22a =，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（4分）（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在．设:(2)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)P x y ，由22(2)1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=．△422644(21)(82)0k k k =-+->，212k <．（6分） 2122812k x x k +=+，21228212k x x k-=+12(OA OB tOP x x +=∴+，12)(y y t x +=，)y ， ∴21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，22216(12)k t k ∴=+．（8分） 25||PA PB -<，∴12|x x -，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-< ∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++，22(41)(1413)0k k ∴-+>，∴214k >．（10分） ∴21142k <<，22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++， ∴2t -<<2t <<，∴实数t 取值范围为26(2,(,2)-．（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法和求实数t 取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用根的判别式和韦达定理进行解题．7．（2016•抚顺一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线1A M 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△1A MN 的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为57，求椭圆方程．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）首先，得到点M 的坐标，然后，代入，得到212b a ac =+，从而确定其斜率关系；（Ⅱ）首先，得到1(2A c -，30)(,)2cM c ，然后，可以设外接圆圆心设为0(P x ，0)，结合圆的性质建立等式，然后，利用弦长公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意2(,)b M c a-------------（1分）因为1(,0)A a -，所以212b a ac =-------------+（2分）将222b a c =-代入上式并整理得112a c e a -=-=（或2)a c =----------（3分）所以12e =------------（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得2a c =，3b c =（或22221)43x y c c+=------------（5分）所以1(2A c -，30)(,)2cM c ，外接圆圆心设为0(P x ，0)由1||||PA PM =222003(2)()()2c x c x c +-+-----------（6分）解得：08cx =-------------（7分）所以34238PMck c c ==------------+（8分）所以△1A MN 外接圆在M 处切线斜率为34-，设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC 方程为33()24c y x c -=--，即3944cy x =-+------------（9分）与椭圆方程2223412x y c +=联立得22718110x cx c -+=------------（10分）解得1211,7cx c x ==------------（11分）由弦长公式12|||MC x x =-115|77c c -=------------（12分）解得1c =------------（13分）所以椭圆方程为22143x y +=------------（14分）【点评】本题重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等知识，属于中档题．8．（2016•江西模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c ，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a ，b ；（Ⅱ）把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D ，可得1AD BD k k =-，即可得出m 与k 的关系，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）左焦点(,0)c -到点(2,1)P∴=，解得1c =．又12c e a ==，解得2a =，2223b a c ∴=-=． ∴所求椭圆C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，△22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为2234k m +>．∴122834mkx x k-+=+，21224(3)34m x x k -=+．22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+．以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)D ，1AD BD k k =-，∴1212122y y x x =---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，∴2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++．化为2271640m mk k ++=，解得12m k =-，227km =-．，且满足22340k m +->．当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7．综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0)7．【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．9．（2016•石家庄二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，||||MA MB λ=，且当直线l 垂直于x 轴时，||AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）若1[2λ∈，2]，求弦长||AB 的取值范围．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）先由离心率得到a ，b 的关系，再由求出b ，再由直线l 垂直于x 轴时，||AB =求得关于a ，b 的另一方程，联立求得a ，b 的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设AB 的方程(1)y k x =-，将直线的方程代入椭圆的方程，消去x 得到关于y 的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB 的斜率的取值范围，从而求得弦长||AB 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，c e a ==，即2212c a =，∴22212a b a -=，则222a b =，①把1x =代入22221x y a b +=，得y =则2212b a a-=，② 联立①②得：22a =，21b =．∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）如图，当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)20k y ky k ++-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则21212222,1212k k y y y y k k --+==++，③ 由||||MA MB λ=，得AM MB λ=，1(1x ∴-，12)(1y x λ-=-，2)y ，则12y y λ-=，④把④代入③消去2y 得：241212k λλ=+-+，当1[2λ∈，2]时，2412[012k λλ=+-∈+，1]2．解得：272k ． 22221212222221144||1()4(12)12k k k AB y y y y k k k k +=++-=+++2222211922222(1)22(1)(2,]112122k k k k k+==-=-∈+++．∴弦长||AB 的取值范围为92[2,]8．【点评】本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．10．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．【考点】JE ：直线和圆的方程的应用【专题】15：综合题【分析】（1）因为直线l 过点(4,0)A ，故可以设出直线l 的点斜式方程，又由直线被圆1C 截得的弦长为圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P 点的直线1l 与2l 的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线1l 与2l 的方程．【解答】解：（1）由于直线4x =与圆1C 不相交；∴直线l 的斜率存在，设l 方程为：(4)y k x =-（1分）圆1C 的圆心到直线l 的距离为d ，l 被1C 截得的弦长为1d ∴==（2分）d =(247)0k k +=即0k =或724k =-∴直线l 的方程为：0y =或724280x y +-=（5分）（2）设点(,)P a b 满足条件，由题意分析可得直线1l 、2l 的斜率均存在且不为0，不妨设直线1l 的方程为()y b k x a -=-，0k ≠ 则直线2l 方程为：1()y b x a k-=--（6分）1C 和2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等， 1C ∴的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等1|5(4)|a b +--=（8分）整理得|13||54|k ak b k a bk ++-=+--13(54)k ak b k a bk ∴++-=±+--即(2)3a b k b a +-=-+或(8)5a b k a b -+=+- 因k 的取值有无穷多个，所以2030a b b a +-=⎧⎨-+=⎩或8050a b a b -+=⎧⎨+-=⎩（10分）解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或32132a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩这样的点只可能是点15(2P ，1)2-或点23(2P -，13)2（12分）【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到一个关于x 的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．11．（2015•潍坊模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由．．【考点】4K ：椭圆的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想【分析】（1）设0(Q x ，0)，由2(,0)F c ，(0,)A b 结合向量条件及向量运算得出关于a ，c 的等式，从而求得椭圆的离心率即可；（2）由（1）知a ，c 的一个方程，再利用AQF ∆的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（3）由（Ⅱ）知直线:(1)l y k x =-，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P 且m 的取值范围．【解答】解：（1）设0(Q x ，0)，由2(,0)F c ，(0,)A b 知20(,),(,)F A c b AQ x b =-=-2F A AQ ⊥，∴22000,b cx b x c--==-，由于12220F F F Q +=即1F 为2F Q 中点．故2222223b c c b c a c c-+=-∴==-，故椭圆的离心率12e =，（3分）（2）由（1）知12c a =，得12c a =于是21(2F a ，30)(,0)2Q a -， AQF ∆的外接圆圆心为1(2a -，0)，半径1||2r FQ a ==所以1|3|22a a --=，解得2a =，1c ∴=，3b 所求椭圆方程为22143x y +=，（6分）。

2023_年全国甲卷解析几何大题的解法探究

２０２３年全国甲卷解析几何大题的解法探究何㊀勇(白云兴农中学ꎬ贵州贵阳５５００００)摘㊀要:２０２３年全国甲卷解析几何压轴大题是以直线和抛物线为载体ꎬ考查直角三角形面积的最小值ꎬ经过探究发现该题存在多种解法ꎬ利用学生熟知的联立普通方程㊁参数方程㊁极坐标等方法都可以处理该题ꎬ考查学生思维的多向型.关键词:解析几何ꎻ最值问题ꎻ参数方程ꎻ极坐标方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２８－００９８－０３收稿日期:２０２３－０７－０５作者简介:何勇ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀２０２３年全国甲卷理科数学的解析几何大题是非常不错的一道题目ꎬ该题解法多样ꎬ可用高中的多个知识点进行解答.１高考真题题目㊀已知直线ｘ－２ｙ＋１＝０与抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)交于ＡꎬＢ两点ꎬ且｜ＡＢ｜＝４１５.(１)求ｐꎻ(２)设Ｃ的焦点为ＦꎬＭꎬＮ为Ｃ上两点ꎬＭＦңＮＦң＝０ꎬ求әＭＮＦ面积的最小值.２解法探究２.１第(１)问解析解法１㊀设Ａ(ｘＡꎬｙＡ)ꎬＢ(ｘＢꎬｙＢ)ꎬ由ｘ－２ｙ＋１＝０ꎬｙ２＝２ｐｘꎬ{得ｙ２－４ｐｙ＋２ｐ＝０.所以ｙＡ＋ｙＢ＝４ｐꎬｙＡｙＢ＝２ｐ.所以ＡＢ＝１＋１ｋ２(ｙＡ＋ｙＢ)２－４ｙＡｙＢ＝５ˑ(４ｐ)２－４ˑ２ｐ＝４１５.即２ｐ２－ｐ－６＝０.因为ｐ>０ꎬ解得ｐ＝２.解法２㊀设Ａ(ｘＡꎬｙＡ)ꎬＢ(ｘＢꎬｙＢ)ꎬ由ｘ－２ｙ＋１＝０ꎬｙ２＝２ｐｘꎬ{得ｘ２＋(２－８ｐ)ｘ＋１＝０.所以ｘＡ＋ｘＢ＝８ｐ－２ꎬｘＡｘＢ＝１.所以ＡＢ＝１＋ｋ２(ｘＡ＋ｘＢ)２－４ｘＡｘＢ＝５２ˑ(８ｐ－２)２－４ˑ１＝４１５ꎬ即２ｐ２－ｐ－６＝０.因为ｐ>０ꎬ解得ｐ＝２.解法３㊀因为直线ｘ－２ｙ＋１＝０的一个参数方程为ｘ＝－１＋２５５ｔꎬｙ＝５５ｔìîíïïïï(ｔ为参数)ꎬ把直线的参数方程８９代入抛物线的普通方程即(５５ｔ)２＝２ｐ(－１＋２５５ｔ).化简ꎬ得ｔ２－４５ｐｔ＋１０ｐ＝０.设Ａ(－１＋２５５ｔＡꎬ５５ｔＡ)ꎬＢ(－１＋２５５ｔＢꎬ５５ｔＢ)ꎬ则ｔＡ＋ｔＢ＝４５ｐꎬｔＡｔＢ＝１０ｐ.则｜ＡＢ｜＝｜ｔＡ－ｔＢ｜＝(ｔＡ＋ｔＢ)２－４ｔＡｔＢ＝(４５ｐ)２－４０ｐ＝４１５.即２ｐ２－ｐ－６＝０.因为ｐ>０ꎬ解得ｐ＝２.说明㊀直线ｘ－２ｙ＋１＝０的参数方程有无数个[１]ꎬ与所取直线上的点有关.２.２第(２)问解析解法１㊀因为Ｆ(１ꎬ０)ꎬ显然直线ＭＮ的斜率不可能为零ꎬ设直线ＭＮ:ｘ＝ｍｙ＋ｎꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由ｙ２＝４ｘꎬｘ＝ｍｙ＋ｎꎬ{可得ｙ２－４ｍｙ－４ｎ＝０.所以ｙ１＋ｙ２＝４ｍꎬｙ１ｙ２＝－４ｎꎬә＝１６ｍ２＋１６ｎ>０ꎬ得ｍ２＋ｎ>０.因为ＭＦң ＮＦң＝０ꎬ所以(ｘ１－１)(ｘ２－１)＋ｙ１ｙ２＝０.即(ｍｙ１＋ｎ－１)(ｍｙ２＋ｎ－１)＋ｙ１ｙ２＝０.即(ｍ２＋１)ｙ１ｙ２＋ｍ(ｎ－１)(ｙ１＋ｙ２)＋(ｎ－１)２＝０.将ｙ１＋ｙ２＝４ｍꎬｙ１ｙ２＝－４ｎ代入ꎬ得４ｍ２＝ｎ２－６ｎ＋１ꎬ即４(ｍ２＋ｎ)＝(ｎ－１)２>０.所以ｎʂ１ꎬ且ｎ２－６ｎ＋１ȡ０.解得ｎȡ３＋２２或ｎɤ３－２２.设点Ｆ到直线ＭＮ的距离为ｄꎬ所以ｄ＝ｎ－１１＋ｍ２ꎬＭＮ＝(ｘ１－ｘ２)２＋(ｙ１－ｙ２)２＝１＋ｍ２ｙ１－ｙ２＝１＋ｍ２１６ｍ２＋１６ｎ＝２１＋ｍ２ｎ－１.所以әＭＮＦ的面积Ｓ＝１２ˑＭＮˑｄ＝１２ˑｎ－１１＋ｍ２ˑ２１＋ｍ２ｎ－１＝(ｎ－１)２.而ｎȡ３＋２２或ｎɤ３－２２ꎬ所以ꎬ当ｎ＝３－２２时ꎬәＭＮＦ的面积Ｓｍｉｎ＝(２－２２)２＝１２－８２.解法２㊀当直线ＭＮ的斜率存在时ꎬ设直线ＭＮ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ且ｋʂ０ꎬ设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＦ(１ꎬ０)ꎬ由ｙ２＝４ｘꎬｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ{可得ｋ２ｘ２＋(２ｋｂ－４)ｘ＋ｂ２＝０.所以ｘ１＋ｘ２＝４－２ｋｂｋ２ꎬｘ１ｘ２＝ｂ２ｋ２.所以ＦＭң＝(ｘ１－１ꎬｙ１)ꎬＦＮң＝(ｘ２－１ꎬｙ２)且ＭＦң ＦＮң＝０.即ＦＭң ＦＮң＝(ｘ１－１)(ｘ２－１)＋ｙ１ｙ２＝(ｋ２＋１) ｘ１ｘ２＋(ｋｂ－１)(ｘ１＋ｘ２)＋ｂ２＋１＝０.所以ｋ２＋ｂ２＋６ｋｂ－４＝０.即１－ｋｂ＝１２｜ｋ＋ｂ｜.要使直线ＭＮ与抛物线有两个交点ꎬ则ә＝１６－１６ｋｂ>０.即ｋｂ<１.所以｜ＭＮ｜＝１＋ｋ２ (ｘ１＋ｘ２)２－４ｘ１ｘ２＝４１＋ｋ２ｋ２１－ｋｂ.点Ｆ到直线ＭＮ的距离ｄＦ－ＭＮ＝｜ｋ＋ｂ｜１＋ｋ２ꎬ所以ＳәＦＭＮ＝１２｜ＭＮ｜ｄＦ－ＭＮ＝１２４１＋ｋ２ｋ２１－ｋｂ｜ｋ＋ｂ｜１＋ｋ２＝２１－ｋｂ｜ｋ＋ｂ｜ｋ２＝(ｋ＋ｂ)２ｋ２＝(１＋ｂｋ)２.由ｋ２＋ｂ２＋６ｋｂ－４＝０可得(ｂｋ)２＋６ｂｋ＋１＝４ｋ２>０.９９解得ｂｋ<－３－２２或ｂｋ>－３＋２２.所以ＳәＦＭＮ>１２－８２.当直线ＭＮ的斜率不存在时ꎬ可求得直线ＭＮ的方程为ｘ＝３－２２或ｘ＝３＋２２ꎬ(１)当直线ＭＮ的方程为ｘ＝３－２２时ꎬＳәＦＭＮ＝１２－８２ꎻ㊀(２)当直线ＭＮ的方程为ｘ＝３＋２２时ꎬＳәＦＭＮ＝１２＋８２.㊀综上ꎬәＭＮＦ的面积Ｓｍｉｎ＝(２－２２)２＝１２－８２.启示㊀解法１和解法２在设直线方程形式上是不同的ꎬ直线方程的不同导致计算量和思想方法不同ꎬ在教学中要重视ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｘ＝ｋｙ＋ｂ两种方程的应用ꎬ选择合适的方程会大大减少计算量或者避免分类讨论的出现ꎬ提高解题的效率.解法３㊀设øＭＦｘ＝θꎬ由抛物线的焦半径可得｜ＭＦ｜＝２１－ｃｏｓθꎬ｜ＮＦ｜＝２１－ｃｏｓ(π/２＋θ)＝２１＋ｓｉｎθꎬＳәＦＭＮ＝１２｜ＭＦ｜｜ＮＦ｜＝２(１－ｃｏｓθ)(１＋ｓｉｎθ)＝２１＋ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ－ｃｏｓθｓｉｎθ.令ｔ＝ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝２ｓｉｎ(θ－π４)ꎬｃｏｓθｓｉｎθ＝１－ｔ２２ꎬ所以ＳәＦＭＮ＝２１＋ｔ＋(ｔ２－１)/２＝４(ｔ＋１)２ꎬｔɪ[－２ꎬ２]ꎬｔʂʃ１.所以当ｔ＝２时ꎬＳәＦＭＮ的最小值为１２－８２.解法４㊀如图１所示ꎬ把抛物线向左平移一个单位长度ꎬ抛物线的焦点移动到坐标原点处ꎬ以ｘ轴为极轴ꎬ点Ｆ为极点ꎬ建立极坐标系ꎬ此时抛物线的方程为ｙ２＝４(ｘ＋１)ꎬ极坐标方程为ρ２ｓｉｎ２θ＝４(ρｃｏｓθ＋１)ꎬθɪ(０ꎬ２π)ꎬρ>０ꎬ在极坐标系下设Ｍ(ρ１ꎬθ)ꎬＮ(ρ２ꎬπ２＋θ)ꎻ图１㊀平移后抛物线示意图所以ρ２１ｓｉｎ２θ＝４(ρ１ｃｏｓθ＋１)ꎬρ２２ｓｉｎ２(π２＋θ)＝４[ρ２ｃｏｓ(π２＋θ)＋１]＝４(－ρ２ｓｉｎθ＋１)＝ρ２２ｃｏｓ２θꎬ解得ρ１＝２(１＋ｃｏｓθ)ｓｉｎ２θ＝２(１＋ｃｏｓθ)(１－ｃｏｓθ)ｓｉｎ２θ(１－ｃｏｓθ)＝２１－ｃｏｓθꎬρ２＝２１＋ｓｉｎθ.所以ＳәＮＦＭ＝１２ρ１ρ２＝２(１－ｃｏｓθ)(１＋ｓｉｎθ)＝２１＋ｓｉｎθ－ｃｏｓθ－ｓｉｎθｃｏｓθ.令ｔ＝ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝２ｓｉｎ(θ－π４)ꎬｓｉｎθｃｏｓθ＝１－ｔ２２ꎬ所以ＳәＦＭＮ＝２１＋ｔ＋(ｔ２－１)/２＝４(ｔ＋１)２ꎬｔɪ[－２ꎬ２]且ｔʂʃ１.所以当ｔ＝２时ꎬＳәＦＭＮ的最小值为１２－８２.参考文献:[１]人民教育出版社ꎬ课程教材研究所ꎬ中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学(选修２－１):Ａ版[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１９.[责任编辑:李㊀璟]００１。

(解析几何压轴题)(30题)2021高考数学考点必杀500题(新高考) (解析版)

解析几何压轴题（30题）（新高考）1．（2020·江苏苏州市·吴江中学高三其他模拟）(本题满分14分)已知椭圆2221+=+x y mm m 的右焦点为F ,右准线为l ，且直线y x =与l 相交于A 点.（Ⅰ）若⊙C 经过O 、F 、A 三点,求⊙C 的方程；（Ⅱ）当m 变化时, 求证：⊙C 经过除原点O 外的另一个定点B ；（Ⅲ）若5⋅<AF AB 时,求椭圆离心率e 的范围. 【答案】（Ⅰ）22(2)0x y mx m y +--+=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）0e <<. 【详解】（Ⅰ）22222,,a m m b m c m =+=∴=,即c m =,(,0)F m ∴,准线1x m =+,(1,1)A m m ∴++ ……………………………(2分)设⊙C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,将O 、F 、A 三点坐标代入得：200220F m Dm m D E =⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩,解得02F D m E m=⎧⎪=-⎨⎪=--⎩ ……………………(4分) ∴⊙C 的方程为22(2)0xy mx m y +--+= ……………………………(5分)（Ⅱ）设点B 坐标为(,)p q ,则22(2)0p q mp m q +--+=,整理得：222()0p q q m p q +--+=对任意实数m 都成立 ……………………(7分)∴22020p q p q q +=⎧⎨+-=⎩,解得00p q =⎧⎨=⎩或11p q =-⎧⎨=⎩, 故当m 变化时，⊙C 经过除原点O 外的另外一个定点B (1,1)-……………(9分) （Ⅲ）由B (1,1)-、(,0)F m 、(1,1)A m m ++得(1,1)AFm =---,(2,)AB m m =---∴2225AF AB m m ⋅=++<,解得31m -<< ………………………(10分)又200m m m ⎧+>⎨>⎩,∴01m <<又椭圆的离心率e ===（01m <<）…………（12分） ∴椭圆的离心率的范围是02e <<………………………………（14分）2．（2017·四川成都市·成都七中高三一模（文））如图,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为60︒.（Ⅰ）求该椭圆的离心率;（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记GFD 的面积为1S ,OED （O 为原点）的面积为2S ,求12S S 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12e =；（Ⅱ）(9,)+∞. 【解析】（Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒1分则tan 603bc︒== 2分将3b c =代入222a b c =+，解得2a c =． 3分所以椭圆的离心率为12c e a ==． 4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c+=． 5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=得222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． 7分则2122843ck x x k -+=+，121226(2)43ck y y k x x c k +=++=+， 22243(,)4343ck ckG k k -++． 8分因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+． 9分因为 △GFD ∽△OED ，所以2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+11分 222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k ++===+>． 13分所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． 14分 3．（2021·江西上饶市·高三三模（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个顶点在直线12x y +=上，直线l 经过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于A 、B两点，点P ⎛ ⎝⎭（P 不在直线l 上）（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与2x =交于点M ，设PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k ．试问：是否存在常数λ使得123k k k λ+=？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，2λ=.【详解】（1）直线12x y +=与坐标轴的交点为，1a b ∴==故椭圆的标准方程为2212x y +=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:(1)AB y k x =-，则(2,)M k .由22222(1)2(1)2012y k x x k x x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩，即()222124220k k x k +-+-=， 22121222422,1212k k x x x x k k -∴+==++，()()12121212121122221111y y k x k x k k x x x x --∴+=+=+----()22122212121222422111222222421121211212k x x k k k k k k x x x x x x k k-⎫+-+=-+=-=-⎪----++⎝⎭-+++22221k k -=-⨯=-又32122k kk -==--123222k k k k ⎛⎫∴+=-= ⎪ ⎪⎝⎭故存在常数2λ=使得1232k k k +=4．（2021·湖南高三三模）已知椭圆221169x y +=，A 是椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点，直线():0l y kx b k =+>与椭圆交于M 、N 两点，且M 点位于第一象限．（1）若0b =，证明：直线AM 和AN 的斜率之积为定值；（2）若34k =，求四边形AMBN 的面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：设11(,)M x y ，则11(,)N x y --， ∵(4,0)A ，(0,3)B ，∴114AM y k x =-+，114AN y k x =+，∵11(,)M x y 在椭圆上，∴22119(16)16y x =- ∴22112211169916161616AM ANy x k k x x -⋅==⋅=---为定值．（2）设3:4l y x b =+，依题意：0k >，M 点在第一象限，∴33b -<<．联立：22341169y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：229128720x bx b ++-=， ∴1243bx x +=-，212889x x b ⋅=-，设A 到l 的距离为1d ，B 到l 的距离为2d ，∴1|124|44|3|(3)555b d b b +==⋅+=+，2|124|44|3|(3)555b d b b -+==⋅-=-， ∴12245d d +=．又∵2212121295516||1||()4325216449MN x x x x x x b =+⋅-=+-=-+≤ （当0b =时取等号）， ∴121124||()52122225AMBN S MN d d =⋅+≤⋅⋅=． ∴四边形AMBN 的面积的最大值为1225．（2021·全国高三专题练习（理））如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2A B y y ⋅=-；（2）存在，2λ=.【详解】（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =得2220y my --=，则2A B y y ⋅=-.（2）由（1）同理得2M N y y ⋅=-设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =得2240y ny --=，则4A N y y ⋅=-又122222N A N A N A N A N A y y y y k y y x x y y --===-+-，同理22M B k y y =+则212222A NA N A NB M A Ny y y y y y k k y y y y λ++=====--+-+ ∴存在实数2λ=，使得212k k =成立.6．（2021·云南高三其他模拟（文））已知焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>经过圆()()()222:440D x y r r -+-=>的圆心，点E 是抛物线C 与圆D 在第一象限的一个公共点，且2EF =.（1）分别求p 与r 的值；（2）点M 与点E 关于原点O 对称，点A ，B 是异于点O 的抛物线C 上的两点，且M ，A ，B 三点共线，直线EA ，EB 分别与x 轴交于点P ，Q ，问：PF QF ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.【答案】（1）2p =，r =；（2）为定值，2. 【详解】（1）由已知得抛物线C 过点()44D ,，所以1624p =⨯，所以2p =. 即抛物线C 的方程为24y x =.设点()()000,0E x y y >，则012EF x =+=，所以01x =，于是得02y ==，即()1,2E ，将点E 的坐标代入圆D 的方程，得()()222142413r =-+-=，所以r =.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2M --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()24,12,y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=，由0∆>，得2210k k --<，即11k << 因为A ，B 异于原点O ，所以2k ≠，则124y y k+=，1284y y k =-.因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，则1111212241214EA y y k x y y --===-+-，2222412EBy k x y -==-+. 因为EF x ⊥轴，所以 ||||4||||||||||EA EB EA EB EF EF PF QF k k k k ⋅=⋅=⋅ ()()()121212|22||24|44y y y y y y +++++==88|44|24k k -++==，所以||||PF QF ⋅的值为定值2.7．（2021·天津高三一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短半轴长为1，离心率为2. （1）求C 的方程；（2）设C 的上､下顶点分别为B ､D ，动点P (横坐标不为0)在直线2y =上，直线PB 交C 于点M ，记直线DM ，DP 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k ⋅的值. 【答案】（1）2214x y +=（2）34-【详解】（1）依题意可知1b =，c a =2212a a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得24a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）依题意可知(0,1)B ，(0,1)D -，设00(,)M x y ，则001DB y k x -=，直线BD ：0011y y x x -=+，令2y =，得001x x y =-，即00(,2)1x P y -， 0101DMy k k x +==，020003(1)2101DP y k k x x y -+===--，所以00120013(1)y y k k x x +-⋅=⋅2203(1)y x -=20203()344x x ⨯-==-. 8．（2021·全国高三专题练习（文））已知抛物线1C 的顶点为坐标原点O ，焦点为圆222:4C x y +=与圆()223:31C x y +-=的公共点．（1）求1C 的方程；（2）直线1:34l y x =+与1C 交于A ，B 两点，点P 在1C 上，且P 在AOB 这一段曲线上运动（P 异于端点A 与B ），求PAB △面积的取值范围．【答案】（1）28x y =；（2）1250,8⎛⎤⎥⎝⎦. 【详解】（1）联立()22224,31,x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得0,2.x y =⎧⎨=⎩因此1C 的焦点为()0,2，设抛物线()21:20C x py p =>，则22p=，则4p =，故1C 的方程为28x y =．（2）联立28,13,4x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得6,92x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或4,2,x y =-⎧⎨=⎩ 不妨假设96,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,2B -，则()64AB =--=．设()00,P x y ，则046x -<<，P 到直线l的距离d ===因为当46x -<<时，函数()2125y x =--的值域为[)25,0-，所以0<≤111250228PABS d AB <=⨯⨯≤=△，故PAB △面积的取值范围是1250,8⎛⎤⎥⎝⎦． 9．（2021·全国高三专题练习（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，上、下顶点分别是1B ，2B ，离心率12e =，短轴长为23. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若12MN B F ⊥，试求1F MN △内切圆的面积.【答案】（1）22143x y +=；（2）36169π. 【详解】（1）由题意得12223c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，又222a b c =+，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由()10,3B ，()21,0F ，知12B F 的斜率为3-，因12MN B F ⊥，故MN 的斜率为33，则直线l 的方程为()313y x =-，即31x y =+，联立221,4331,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：2136390y y +-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则126313y y +=-，12913y y =-，则1F MN △的面积()212121224413S c y y y y y y =⋅-=+-=，由1F MN △的周长48L a ==，及12S LR =，得内切圆2613S R L ==，所以1F MN △的内切圆面积为236ππ169R =. 10．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x ya b a b+=>>（，短轴长为23，椭圆左顶点到左焦点的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，(6,0).【详解】（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意. 所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+. 设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+. 因为APE OPF ∠=∠，所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-= 化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点(6,0).11．（2021·辽宁高三其他模拟（理））已知圆()22:11F x y -+=，动点()(),0M x y x ≥，线段FM 与圆F 交于点I ，MH y ⊥轴，垂足为H ，||||MI MH =，设动点M 形成的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程，并证明斜率为2-的一组平行直线与曲线C 相交形成的弦的中点在一条直线上；（Ⅱ）曲线C 上存在关于直线:230l x y --=对称的相异两点A 和B ，求线段AB 的中点D 的坐标.【答案】（Ⅰ）24y x =，证明见解析；（Ⅱ）()1,1-.【详解】（Ⅰ）||1||||1MI MF MH +==+，∴点M 的轨迹C 为以F 为焦点，1x =-为准线的抛物线，曲线C 的方程为24y x =，设点()()111222,,,A x y A x y 为其中任意一条斜率为2-的直线与曲线C 的两个交点，设线段12 A A 的中点为(),E x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()1212124y y y y x x -+=-，121242A A k y y ∴==-+，1222y y y ∴+=-=， 1y，所以这组斜率为2-的平行直线与曲线C 相交形成的弦的中点在直线1y =-上；（Ⅱ）设点()()3344,,,A x y B x y ，则23324444y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()3434344y y y y x x -+=-，344AB k y y ∴=+，又,A B 关于直线l 对称，2AB k ∴=-，即34 2y y +=-，3412y y +∴=-，又,A B 的中点一定在直线l 上，343423122x x y y ++∴=⨯+=， ∴线段AB 的中点D 坐标为()1,1-．12．（2021·湖南长沙市·长沙一中高三一模）已知抛物线()2:20C y px p =>的准线为l ，过抛物线上一点B 向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C 的焦点F ，且4BF =．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为A ，过x 轴上的一个定点()1,0的直线m 与抛物线C 交于,D E 两点．记直线,AD AE 的斜率分别为12,k k ，若1213k k +=，求直线m 的方程. 【答案】（Ⅰ）28y x =；（Ⅱ）4340x y --=. 【详解】（Ⅰ）由题意,42p B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入22y px =，得216p =，4p =，∴抛物线C 的方程为28y x =.（Ⅱ）当直线m 的斜率不存在时，120k k +=与题意不符，所以直线的斜率一定存在，设直线m 的方程为()1y k x =-代入到28y x =中，()2222280k x k x k -++=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则21222122281k x x k k x x k ⎧++=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 12121222y yk k x x +=+++ ()()12121122k x k x x x --=+++()()()1212122422k x x x x x x ++-⎡⎤⎣⎦=++ 2819163k k ==+43k ∴=，所以直线m 的方程为4340x y --=． 13．（2021·全国高三专题练习（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F .设P 是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，212PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积.【答案】（1）2214x y +=；（2【详解】（1）由条件可知222212c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程是2214x y +=；（2）设直线:l x y =-()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立2214x y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2510y --=，12y y +=1215y y -=，11212AOBSOF y y =⨯⨯-==14．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆Γ：()22211y x a a+=>与抛物线C ：()220x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆于A ，B 两点，且1AB =. （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆Γ于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值.【答案】（1）椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C 的方程为：2x =；（2）最大值为1.【详解】（1）因为1AB =，所以不妨设A 的坐标为1(,)22p --，B 的坐标为1(,)22p -，所以有：2222114414p a p a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，∴24a=，p = ∴椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C 的方程为：2x =；（2）由（1）可知：F 的坐标为：，设直线l的方程为：y kx =+O 到MN 的距离为d，则d ==，联立2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得：()22410k x ++-=，则()22414k k MN +==+，1OMNS==≤=，当且仅当22k =时取等号，故OMN 面积的最大值为1.15．（2021·广东佛山市·高三一模）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点为()1,0F ，且过点()2,0A -．（1）求C 的方程；（2）点P 、Q 分别在C 和直线4x =上，//OQ AP ，M 为AP 的中点，求证：直线OM 与直线QF 的交点在某定曲线上．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析．【详解】（1）依题意知()2,0A -为椭圆C 的左顶点，故2a =，又()1,0F 为C 的右焦点，所以221a b -=．于是23b =，b =所以C 的方程为22143x y +=．（2）设00()2),(P x y x ≠±，则002,22x y M -⎛⎫⎪⎝⎭，直线AP 的斜率002y k x =+，又//OQ AP ，所以直线OQ 的方程为002y y x x =+，令4x =得0044,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭， 002,22x y OM -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0043,2y FQ x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，2220000003(2)23(4)4(*)222(2)x y x y OM FQ x x --+⋅=+=++，又P 在C 上，所以2200143x y +=，即22003412x y +=，代入（*）得0OM FQ ⋅=，所以OM QF ⊥．故直线OM 与QF 的交点在以OF 为直径的圆上，且该圆方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．即直线OM 与直线QF 的交点在某定曲线221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上．16．（2020·福建宁德市·高三其他模拟）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点是(1,0)F ，点P 是椭圆E上一点，且||PF 的最大值为2b ．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点A 的直线l 与椭圆交于B ，与y 轴交于C ．设FAB 和FAC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S ⋅的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）2130,2S S ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦点为(1,0)F ，所以1c =，又2a c b +=，222a b c =+，所以24a =，23b =，即椭圆方程为22143x y +=．（2）由题可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的解析式为2x my =+，则C 点为2(0,)m-，由221432x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得：22(34)120m y my ++=，解得：21243B my m=-+，故11||||2B S FA y =，21||||2C S FA y =，由此可得：212216||||434B C S S FA y y m ⋅=⋅⋅⋅=+，所以2130,2S S ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭．17．（2021·四川高三三模（理））已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且()2,1P 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）A ，B 是椭圆上异于P 的两点，设直线PA ，PB 斜率分别为1k ，2k ，点()8,3Q 到直线AB 的距离为d ，若121k k +=，求以d 的最大值为直径的圆的面积．【答案】（1）22163x y +=；（2）25π．【详解】（1）由题意知b c =，a =∴设椭圆的方程为222212x y b b+=()0b >∵点()2,1P 在椭圆上， ∴224112b b+=，23b =， ∴椭圆方程为22163x y +=（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()12,A x y ，()22,B x y由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214260k x kmx m +++-=，()22863k m ∆=-+122421km x x k +=-+，21222621m x x k -⋅=+ ∵直线PA 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k += ∴121211122y y x x --+=--，即()()121212121220y x x y x x y y x x +++-+-= ∴()()()1212211240k x x m k x x m -++-+-=∴()()2222642112402121m kmk m k m k k --⋅-+-⋅-=++ ∴()()3210m k m ++-=， ∴3m =-或12m k =-当12m k =-时，直线AB 的方程为()21y k x =-+恒过()2,1P ，不合题意当3m =-时，由()28660k ∆=->，得1k >或1k <-当直线AB 的斜率不存在，直线AB 过()0,3C-时，不妨设(0,A，(B121k k +=+= ∴当直线AB 恒过定点过()0,3C -，则()8,3Q 到直线AB 的距离为10d QC ≤=，当AB CD ⊥时等号成立，此时，1413CD k k =-=-<- ∴以d 的最大值为直径的圆的面积210π25π2S ⎛⎫== ⎪⎝⎭．18．（2021·四川高三三模（文））已知O 为坐标原点，,A B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点，AOB 的面积为1，椭圆C的离心率为2. （1）求,a b 的值；（2）若与AB 垂直的直线交椭圆C 于,M N 两点，且OM ON ⊥，求AMN 的面积. 【答案】（1）2a =，1b =；（2或17. 【详解】（1）由椭圆方程知：(),0A a ，()0,B b ，112AOBSab ∴==，由222112ab c e a a b c ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩得：2a =，1b =.（2）由（1）知：椭圆C 的方程为2214x y +=，()2,0A ，()0,1B ；101022AB k -==--，2MN k ∴=，可设直线MN 方程为2y x m =+，由22214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：221716440x mx m ++-=，则()2225668440m m ∆=-->，解得：m <<设()11,M x y ，()22,N x y ，121617m x x ∴+=-，2124417m x x -=，()()()221212121216224217m y y x m x m x x m x x m -∴=++=+++=， OM ON ⊥，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，即22441601717m m --+=，解得：2m =±，此时17MN ==；当2m =时，直线MN ：22y x =+，即220x y -+=，则点A 到直线MN 的距离5d ==，1122AMNSMN d ∴=⋅==；当2m =-时，直线MN ：22y x =-，即220x y --=，则点A 到直线MN 的距离5d ==，1122AMNSMN d ∴=⋅==综上所述：AMN . 19．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，过点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点.（1）若1F PQ 的周长为8，12F PF △C 的标准方程；（2）设,A B 分别为椭圆的左､右顶点，直线PA ，QB 的斜率分别为1221,,k k k k λ=，若()3,4λ∈，求椭圆C 的离心率的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）13,25⎛⎫⎪⎝⎭. 【详解】（1）由椭圆定义得：11||48PF QF PQ a ++==，所以2a =，又当点P 位于短轴端点时，12F PF △的面积最大，此时12122F PF S b c ∆=⨯⨯=bc =又222a b c =+，解得①1b c ==时，椭圆的标准方程为22143x y +=，②1,b c ==2214x y +=.（2）设(,0)A a -，(,0)b a ，()11,P x y ，()22,Q x y 由题意知直线斜率不为0，且过(,0)c ，设:l x my c =+，联立22221x my c x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22222222220b m a y mcb y b c b a +++-=，所以()212222222122222mcb y y b m a b c a y y b m a ⎧-+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩(*)，且121212,y y k k x a x a ==+-，由题知21k k λ=，则有()()()()2121212211212121()()y x a y my c a k my y c a y k y x a y my c a my y c a y λ+++++====-+-+-，将(*)代入整理得：21212221212()()mcb my y c a y b m a my y c a y λ⎛⎫-++- ⎪+⎝⎭==+-()()()222212222221222()2()()mb c a c a mcb c a y b m a mb c a c a y b m a -++--++-+-+()()()2222212222221222()2()()mb c a c a mc c a c a y b m a mb c a c a y b m a⎡⎤-++-⎣⎦-++==-+-+()()222122222212222()()()ca mb mc c a c a y b m amb c a c a y b m a ⎡⎤-++⎣⎦-++-+-+()()()222122222221222()()()ca m a c c a yb m am a c c a c a y b m a-+-++==--+-+()()221221()11()m a c c a y a c a c ea c a c em a c c a y +--+++==---+--所以12111e λλλ-==-++，(3,4)λ∈ 所以13,25e ⎛⎫∈⎪⎝⎭20．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆221:142x y C +=，椭圆2C 与1C 是“相似椭圆”，已知椭圆2C 的短半轴长为b ．（1）写出椭圆2C 的方程（用b 表示）；（2）若椭圆2C 的焦点在x 轴上，且2C 上存在两点M ，N 关于直线21y x =+对称，求实数b 的取值范围．【答案】（1）222212x y b b +=或222212y x b b +=；（2）)+∞．【详解】（1）由椭圆2C 与1C 是相似椭圆，得224221a b ==，∴椭圆2C 的方程为222212x y b b +=或222212y x b b +=．（2）由题设知：椭圆2C 为222212x y b b+=，设()11,M x y ，()22,N x y ，M ，N 的中点为E ，1:2MN l y x m =-+． ∴联立MN l 与椭圆2C 的方程，整理得()2223440x mx m b-+-=，∴0∆>，即2223b m >且12423E mx x x +==， 23E m x ∴=，1223E E my x m =-+=，由22,33m m E ⎛⎫⎪⎝⎭在直线21y x =+，得32m =-，于是222332b m >=，∴b 的取值范围为)+∞． 21．（2021·四川德阳市·高三三模（文））已知平面上的动点(),E x y 及两定点()2,0A -，()2,0B ，直线EA ､EB 的斜率分别为1k ､2k ，且1234k k =-，设动点E 的轨迹为曲线R . （1）求曲线R 的方程；（2）过点()1,0P -的直线l 与曲线R 交于C ､D 两点.记ABD △与ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2【详解】（1）由题意知2x ≠±，且12yk x =+，22y k x =-则3224y y x x ⋅=-+- 整理得，曲线R 的方程为()221043x y y +=≠.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为1x =- 此时ABD △与ABC 面积相等，120S S -=当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()10y k x k =+≠()11,C x y ､()22,D x y 联立方程，得()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得：()22223484120kxk x k +++-=0∆>，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+ 此时()()1221212122211S S y y y y k x k x -=-=+=+++()212122234kk x x k k =++=+因为0k ≠，上式234k k=≤+==当且仅当k =) 所以12S S -22．（2021·天津高三其他模拟）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为e =其左右顶点分别为,A B ，下焦点为F，若ABFS．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上的动点，且在第一象限运动，直线AP 的斜率为k ，且与y 轴交于点M ，过点M 与AP 垂直的直线交x 轴于点N ，若直线PN 的斜率为25k -，求k 值．【详解】（1）由题可知：122ABFSbc =⋅=2bc e ==，22221bc a cb ac a b c⎧=⎧⎪=⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩， ∴椭圆方程为2214y x +=；（2）()1,0,AP A k k -=，设直线():(1),0,AP l y k x M k =+∴，联立方程()222222(1)424014y k x k x k x k y x =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 222224,44A P A P k k x x x x k k --∴+=⋅=++， ()22248,144p p p k kx y k x k k -∴=∴=+=++，22248,44k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭，MN AP ⊥，设直线1:,MN l y x k k=-+令0y =，解得2N x k =，()2,0N k ∴， 2222824454PNk k k k k k k +==---+，即425240k k +-=，解得23k =或28k =-（舍）， P 在第一象限，k ∴=23．（2021·全国高三其他模拟）已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线0l ：0x -=垂直，且双曲线C 的右焦点F 到直线0l 的距离为1．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于M ，N 点，且直线1A M 与直线2A N交于点Q ，求证：1AQ QF =．【详解】（1）由题知双曲线C 的渐近线方程为by x a =±， ∵双曲线的一条渐近线与直线0l：0x -=垂直，∴ba=b =．设(),0F c ，12c==，∴2c =． ∵222c a b =+，∴22244a b a =+=， ∴21a =，23b =，故双曲线C 的标准方程为2213y x -=．（2）由（1）可得()2,0F ，()11,0A -，()21,0A ． ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，结合双曲线C 的方程可得3=±y ，若()2,3M ，()2,3N -，则直线1A M 的方程为1y x =+，直线2A N 的方程为33y x =-+，由直线1A M 与直线2A N 的方程可得13,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，∴点Q 在直线12x =上，又1A F 的垂直平分线为直线12x =，∴1AQ QF =．若()2,3M -，()2,3N ，则直线1A M 的方程为1y x =--，直线2A N 的方程为33y x =-，由直线1A M 与直线2A N 的方程可得13,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴点Q 在直线12x =上，又1A F 的垂直平分线为直线12x =，∴1AQ QF =． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y ，由题可知0k ≠，联立，得()22213y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 可得()222234430k x k x k -+--=，由直线l 与双曲线C 有两个交点，得23k ≠，212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-．∵直线1A M 的方程为()1111y y x x =++，直线2A N 的方程为()2211yy x x =--，∵()()21121111y x x x y x ++=--，两边同时平方得()()2222122121111y x x x y x ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，又221113y x -=，222213y x -=，∴()()()()()()222221212222121231111311x x y x y x x x -++=---()()()()21121111x x x x ++=--()()1212121211x x x x x x x x +++=-++22222222434133434133k k k k k kk k +++--=+-+-- 22222243434343k k k k k k +++-=+-+- 9=，∴2191x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭，解得12x =或2x =．由题易知()()211101y x y x +<-，当2x =时，101x x +>-，矛盾，舍去，故12Q x =，即点Q 在直线12x =上，又1A F 的垂直平分线为直线12x =，∴1AQ QF =． 24．（2021·河南郑州市·高三三模（文））椭圆()222210,0x y a b a b +=＞＞经过点()0,1．若斜率为k的直线l 与椭圆交于不同的两点E 、G ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设()2,0P -，直线PE 与椭圆的另一点交点为M ，直线PG 与椭圆的另一个交点为N ．若M 、N 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k ．【答案】（1）2213x y +=；（2）1k =．【详解】（1）因为椭圆()222210,0x y a b a b +=＞＞经过点()0,1，所以b =1，222213b e a =-= ，即2213b a =，解得a所以椭圆的方程是2213x y +=．（2）设()()11223344,,,,(,),(,)E x y G x y M x y N x y ，则221133x y +=，①222233x y +=，② 又()2,0P -，所以设1112PE y k k x ==+，直线PE 的方程为()12y k x =+，由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，所以13171247x x x --=+，13147y y x =+，即1111712(,)4747x y M x x --++，同理可得2222712(,)4747x y N x x --++，又因为71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，由Q 、M 、N 三点共线，可得121212124747712712471144777444y y x x x x x x --++=----++++，化简得12121y y x x -=-，即1k =. 25．（2021·浙江高三二模）如图，A 点在y 轴正半轴上，抛物线2y x =上有三个不同的点B ，C ，D ，使得四边形ABCD 是菱形，C 点在第四象限.（1）若B 点与坐标原点重合，求菱形ABCD 的面积；（2）求OA 的最小值.【答案】(1)63(51)25++【详解】(1)设点A (0，2a )，因四边形ABCD 是菱形且B 点与坐标原点，则CD ⊥x 轴且|CD |=2a ，由抛物线对称性知C (a 2，-a )，D (a 2，a )，由|AB |=|BC |得2222()a a a =+3a =所以菱形ABCD 的边|AB |=3h =a 2=3，其面积为||333S AB h =⋅==(2)设点B (s 2，s )，D (t 2，t )，则线段BD 中点坐标为22(,)22s t s t++，而线段AC 与BD 有相同中点，点A 在y 轴上，则点2222(,)C s t s t +-+，22(0,)A s t s t ++，因AC ⊥BD ，即0AC BD ⋅=，222222(,2),(,)AC s t s t s t BD t s t s =+---+=--，222222()()(2)()0s t t s s t s t t s +-+---+-=，而t ≠s ，则22222()()s t s t s t s t +++=++令222s t m +=，则221m s t m +=-，而222()2()s t s t +<+，m>0，有12m + 322222||11m m m OA s t s t m m m +=+++=+=--，令32(),(12)1m mf m m m +=>+-，22342222222(31)(1)2()41(25)(25)()(1)(1)m m m m m m m m m f m m m +--+-----+'==-- ()025f m m '=⇒=+1225,()0m f m '+<<+<，25,()0m f m '>+>，所以()f m 在(12,25)++上单调递减，在(25,)++∞上单调递增，25m =+时，()f m 取最小值2(35)25(51)25(51)25(25)512(51)f +++++++===++. 26．（2021·四川广元市·高三三模（理））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ．（1）若点(),1C p 3（2）点(),1C p ，若线段CF 的中垂线交抛物线于A ，B 两点，求三角形ABF 面积的最小值．【答案】（1）2y =；（2）4．【详解】（1）抛物线的准线方程是2p x =-，焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2p p ∴+=0p >，p ∴=∴抛物线的方程为2y =（2）由题意知线段CF 的中点坐标为31,42p M ⎛⎫⎪⎝⎭，1022CF k p p p -==-， 2AB pk ∴=-∴直线AB 的方程为13224p p y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭设()11,A x y ，()22,B x y由2213224y pxp p y x ⎧=⎪⎨⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩，得2234202p y y +--= 124y y ∴+=-，212322y y p =--)2124||p AB y p+∴=-==又||CF ==2411||||228ABFp SAB CF p+∴=⨯⨯==令2(0)t p t =>，则3(4)()t f t t +=，222(4)(2)()t t f t t+-'= ∴当02t <<时，()0f t '<，()f t 递减，当2t >时，()0f t '>，()f t 递增， ∴当2t =即p =ABFS △取得最小值，最小值为84=．27．（2021·河南郑州市·高三三模（理））已知抛物线2:4C x y =和圆()22:11E x y ++=，过抛物线上一点()00,P x y ，作圆E 的两条切线，分别与x 轴交于A ､B 两点.（1）若切线PB 与抛物线C 也相切，求直线PB 的斜率；（2）若02y ≥，求△PAB 面积的最小值. 【答案】（1）3±；（2）最小值为2.【详解】（1）由题意，可设切线PB 的方程为y kx m =+，代入抛物线的方程得2440x kx m --=，由相切的条件得：216160k m ∆=+=，即20k m +=，由直线与圆相切可得圆心到直线距离1d ==，即222k m m =+，∴230m m +=，可得3m =-或0m =，∵当0m =时，有PB 的方程为0y =，此时(0,0)P 与圆E 的有且仅有一条切线， ∴3m =-，舍去0m =，故23k =，即3k =±.（2）设切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，圆心到直线距离1d ==，整理得222000000(1)(22)20k x x y x k y y --+++=，而220004(2)0x y y ∆=++>(02y ≥)，设P A ，PB 斜率分别为12,k k ，则20000012122200222+,,11x y x y y k k k k x x ++=⋅=-- 令y =0，得000012,A B y yx x x x k k =-=-，0000120000121212000|||()()|||||y y y y k k AB x x y y k k k k k k -=---=-=⋅==00011||22PABSAB y y =⋅== 令222(6)(),2(2)y y y f y y y +=≥+，2232(4+18()0(2)y y y f y y +'=>+），则()f y 在[2,)+∞上单调递增，即min ()(2) 4.f y f ==∴PABS的最小值为2.28．（2021·浙江高三三模）如图，已知抛物线C ：214y x =，点()()000,1A x y y ≥为抛物线上一点，过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线，8OM NO =，过点N 的直线l 交抛物线于点E ，F ，直线AE ，AF 的斜率分别为1k ，2k ，满足120k k +=.（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）求点A 到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）焦点坐标()0,1，准线方程1y =-；（2）232416. 【详解】（1）抛物线的标准方程为24x y =，所以其焦点坐标()0,1，准线方程1y =-；（2）已知204x y =，则点A 处的切线方程：20024x x y x =-，因为过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线所以()202222004124x t x t x x x t t t ⎧-⎪⋅=-⎪⎪-⎨⎪⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，化简得：224200030216x t t x x +--=.由0t >得：)242000200042202x x x t y y y t -+==-++> 设()11,E x y ，()22,F x y ，则由120k k +=得：1020044x x x x +++=，即0122x x x -=+，所以021212EF x y y k x x -==--，由8OM NO =得0,8t N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，直线l ：028x ty x =--，则023y d +==23=[)01,y ∈+∞上单调递增所以，当01y =时，min 416d =，此时，直线l 与抛物线相交.29．（2021·宁夏银川市·银川一中高三三模（理））已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1. 直线l 与y 轴交于点()0,P m ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3AP PB =.（1）求椭圆C 的方程；（2）求m 的取值范围．【答案】（1）22112x y +=；（2）11(1,)(,1)22--. 【详解】（1）设椭圆的方程为2222:1(0)C bb x a a y +>>=，因为椭圆C 的离心率e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-，可得2c e a ==且12a c -=-，解得1,2a c ==，则22212b ac =-=，所以椭圆的方程为22112x y +=. （2）由题意，直线l 的斜率显然存在，设:l y kx m =+，与椭圆C 交点为1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=，所以22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∆=-+-=-+>，且212122221,22km m x x x x k k --+==++，因为3AP PB =，所以123x x -=，可得122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，消去2x 得212123()40x x x x ++=，即2222213()4022km m k k --⨯+⨯=++，整理得22224220k m m k +--=，即222(41)22m k m -=-，当214m =时上式不成立，当214m ≠时，可得2222241m k m -=-，由3AP PB =，可得0k ≠，所以22222041m k m -=>-，解得112m -<<-或112m <<，经验证此时2222k m >-成立，即0∆>成立，所以实数m 的取值范围为11(1,)(,1)22--. 30．（2021·山东济宁市·高三二模）己知抛物线()2:20C x py p =>，过点()0,T p 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交抛物线C 于A ，B 两点，2l 交抛物线C 于E 、F 两点，当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，线段AB 的中点为M ，线段EF 的中点为N ，求OMN 面积的最小值．【答案】（1）2=4x y ；（2）8．【详解】（1）因为()220x py p =>可化为22x y p =，所以x y p '=．因为当A 点的横坐标为1时，抛物线C 在A 点处的切线斜率为12，所以112p =，所以2p =，所以，抛物线C 的标准方程为2=4x y ．（2）由（1）知点T 坐标为()0,2，由题意可知，直线1l 和2l 斜率都存在且均不为0，设直线1l 方程为2y kx =+，由224y kx x y=+⎧⎨=⎩联立消去y 并整理得，2480x kx --=， ()2243216320k k ∆=-+=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +-，128x x ⋅=-，所以，()21212444y y k x x k +=++=+，因为M 为AB 中点，所以()22,22M k k +，因为12l l ⊥，N 为EF 中点，所以222,2N k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以，直线MN 的方程为()()()22222221222222k k y k x k k x k k k k⎛⎫+-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-+=⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭+ 整理得14y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，直线MN 恒过定点()0,4．所以OMN面积1211424=4()482S k k k k k k ⎛⎫=⨯⨯--=++≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1kk即1k =±时，OMN 面积取得最小值为8．。

高考数学解析几何压轴题

2.圆锥曲线1.(2017·福建厦门第一中学期中)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点F 是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，M 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且||MF ＝53. (1)求C 1的方程；(2)已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆C 1上，顶点B ，D 在直线7x －7y ＋1＝0上，求直线AC 的方程. 解 (1)设M (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意知点F 2即为点F (1，0).由抛物线的定义，|MF 2|＝53⇒x 1＋1＝53⇒x 1＝23，因为y 21＝4x 1，所以y 1＝263，即M ⎝⎛⎭⎫23，263，所以|MF 1|＝⎝⎛⎭⎫23＋12＋⎝⎛⎭⎫2632＝73，由椭圆的定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝73＋53＝4⇒a ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1. (2)因为直线BD 的方程为7x －7y ＋1＝0，四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，设直线AC 的方程为y ＝－x ＋m ，代入椭圆C 1的方程，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，由题意知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0⇔－7<m <7.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m 7，y 1＋y 2＝2m －(x 1＋x 2)＝－8m 7＋2m ＝6m 7，所以AC 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫4m 7，3m 7，由四边形ABCD 为菱形可知，点⎝⎛⎭⎫4m 7，3m 7在直线BD 上，所以7·4m 7－7·3m 7＋1＝0⇒m ＝－1∈()－7，7. 所以直线AC 的方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.2.(2017·湖南师大附中月考)已知椭圆C 的中心在原点，离心率为22，其右焦点是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线，分别交y 轴于点M ，N .试推断是否存在点P ，使|MN |＝143？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为c ，因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心，所以c ＝1，因为椭圆的离心率为22，则c a ＝22，即a ＝2c ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点P (x 0，y 0)(x 0＜0)，M (0，m )，N (0，n )，则直线PM 的方程为y ＝y 0－m x 0x ＋m ，即(y 0－m )x －x 0y ＋mx 0＝0.因为圆心E (1，0)到直线PM 的距离为1，即|y 0－m ＋x 0m |(y 0－m )2＋x 20＝1，即(y 0－m )2＋x 20＝(y 0－m )2＋2x 0m (y 0－m )＋x 20m 2，即(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0，同理可得，(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0.由此可知，m ，n 为方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两个实根，所以m ＋n ＝－2y 0x 0－2，mn ＝－x 0x 0－2， |MN |＝|m －n |＝(m ＋n )2－4mn ＝4y 20(x 0－2)2＋4x 0x 0－2＝4x 20＋4y 20－8x 0(x 0－2)2. 因为点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，则x 202＋y 20＝1，即y 20＝1－x 202，则|MN |＝2x 20－8x 0＋4(x 0－2)2＝2(x 0－2)2－4(x 0－2)2＝2－4(x 0－2)2，令2－4(x 0－2)2＝143，则(x 0－2)2＝9，因为x 0＜0，则x 0＝－1，y 20＝1－x 202＝12，即y 0＝±22，故存在点P ⎝⎛⎭⎫－1，±22满足题设条件. 3.已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1，0)的距离为d 2，且d 2d 1＝22，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B (A ，B 都在x 轴上方)，且∠OF A ＋∠OFB ＝180°.(1)求椭圆C 的方程；(2)当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；(3)对于动直线l ，是否存在一个定点，无论∠OF A 如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设P (x ，y )，则d 1＝|x ＋2|，d 2＝(x ＋1)2＋y 2， ∴d 2d 1＝(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22，化简得，x 22＋y 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)A (0，1)，F (－1，0)，∴k AF ＝1－00－(－1)＝1，又∵∠OF A ＋∠OFB ＝180°，∴k BF ＝－1，直线BF 的方程为y ＝－(x ＋1)＝－x －1，代入x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝－1(舍)，⎩⎨⎧ x ＝－43，y ＝13.∴B ⎝⎛⎭⎫－43，13， k AB ＝1－130－⎝⎛⎭⎫－43＝12， ∴直线AB 的方程为y ＝12x ＋1，即直线l 的方程为x －2y ＋2＝0. (3)方法一 ∵∠OF A ＋∠OFB ＝180°，∴k AF ＋k BF ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 方程为y ＝kx ＋b ，将直线AB 的方程y ＝kx ＋b 代入x 22＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫k 2＋12x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0.∴x 1＋x 2＝－2kb k 2＋12，x 1x 2＝b 2－1k 2＋12， ∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋b x 2＋1＝(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝0， ∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b＝2k ×b 2－1k 2＋12－(k ＋b )×2kb k 2＋12＋2b ＝0， ∴b －2k ＝0，∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，∴直线l 总经过定点M (－2，0)，方法二由于∠OF A ＋∠OFB ＝180°，∴点B 关于x 轴的对称点B 1在直线AF 上.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，B 1(x 2，－y 2)，直线AF 方程为y ＝k (x ＋1).代入x 22＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫k 2＋12x 2＋2k 2x ＋k 2－1＝0. ∴x 1＋x 2＝－2k 2k 2＋12，x 1x 2＝k 2－1k 2＋12， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，直线AB 的方程为y －y 1＝y 1－y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1－y 2＝x 2y 1－x 1y 2y 1－y 2. 又∵y 1＝k (x 1＋1)，－y 2＝k (x 2＋1)，∴x ＝x 2y 1－x 1y 2y 1－y 2＝x 2×k (x 1＋1)＋x 1×k (x 2＋1)k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝2×k 2－1k 2＋12－2k 2k 2＋122－2k 2k 2＋12＝－2. ∴直线l 总经过定点M (－2，0).4.(2017·广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点.(1)若AF →＝3FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.解 (1)依题意可设直线AB ：x ＝my ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 与抛物线联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1y 2＝4x⇒y 2－4my －4＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4， ∵AF →＝3FB →，∴y 1＝－3y 2，∴m 2＝13，∴直线AB 的斜率为3或－ 3.(2)S 四边形OACB ＝2S △AOB ＝2·12||OF ||y 1－y 2＝||y 1－y 2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16m 2＋16≥4，当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4.5.(2017·惠州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝||AF 1＋||AF 2＝22，因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t 9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，故y 0＝y 1＋y 22＝t 9且－3＜t ＜3. 由PM →＝NQ →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53. (也可由PM →＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159.) 又－3＜t ＜3，所以－73＜y 4＜－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围[－1，1]矛盾. 因此点Q 不在椭圆上，即椭圆上不存在满足题意的Q 点.6.(2017·河南开封月考)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .(1)求动点Q 的轨迹Г的方程；(2)已知A ，B ，C 是轨迹Г的三个动点，点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，且|CA |＝|CB |，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)∵Q 在线段PF 的垂直平分线上，∴|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4，又|EF |＝23＜4，∴Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，∴Г：x 24＋y 2＝1. (2)由点A 在第一象限，B 与A 关于原点对称，设直线AB 的方程为y ＝kx (k ＞0)，∵|CA |＝|CB |，∴C 在AB 的垂直平分线上，∴直线OC 的方程为y ＝－1kx . ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx x 24＋y 2＝1⇒(1＋4k 2)x 2＝4，|AB |＝2|OA |＝2x 2＋y 2＝4k 2＋14k 2＋1，同理可得|OC |＝2k 2＋1k 2＋4， S △ABC ＝12|AB |×|OC |＝4(k 2＋1)2(4k 2＋1)(k 2＋4)＝4(k 2＋1)(4k 2＋1)(k 2＋4)， (4k 2＋1)(k 2＋4)≤4k 2＋1＋k 2＋42＝5(k 2＋1)2，当且仅当k ＝1时取等号， ∴S △ABC ≥85. 综上，当直线AB 的方程为y ＝x 时，△ABC 的面积有最小值85.。

2022年高考数学真题：解析几何(解析版)

第7讲解析几何一、单选题1．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ，则C 的离心率为（）AB ．32C ．132D ．172【答案】C 【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，可判断N 在双曲线的右支，设12F NF ，21F F N ，即可求出sin ，sin ，cos ，在21F F N 中由12sin sin F F N 求出12sin F F N ，再由正弦定理求出1NF ，2NF ，最后根据双曲线的定义得到23b a ，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ，因为123cos 05F NF，所以N 在双曲线的右支，所以OG a ，1OF c ，1GF b ，设12F NF ，21F F N ，由123cos 5F NF，即3cos 5 ，则4sin 5=，sin a c ，cos b c ，在21F F N 中，12sin sin sin F F N 4334sin cos cos sin 555b a a bc c c，由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c c F F N ，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c，2555sin 222c c a a NF c 又12345422222a b a b aNF NF a，所以23b a ，即32b a ，所以双曲线的离心率132c e a故选：C2．（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）AB ．22C ．12D ．13【答案】A 【解析】【分析】设 11,P x y ，则 11,Q x y ，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a ，再根据2211221x y a b，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解： ,0A a ，设 11,P x y ，则 11,Q x y ，则1111,AP AQ y y k k x a x a，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ，又2211221x y a b ，则2221212b a x y a，所以2221222114b a x a x a ，即2214b a ，所以椭圆C的离心率c e a 故选：A.3．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x 的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF ，则AB （）A ．2B．C ．3D．【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得， 1,0F ，则2AF BF ，即点A 到准线1x 的距离为2，所以点A 的横坐标为121 ，不妨设点A 在x 轴上方，代入得， 1,2A ，所以AB .故选：B4．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA，则C 的方程为（）A ．2211816x y B ．22198x y +=C ．22132x y D ．2212x y 【答案】B 【解析】【分析】根据离心率及12=1BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率13c e a ，解得2289b a ，2289 b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则 12,0,,0A a A a ，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,) BA a b BA a b ，因为121BA BA所以221 a b ，将2289b a 代入，解得229,8a b ，故椭圆的方程为22198x y +=.故选：B.二、多选题5．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p 焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM ，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF C ．||4||AB OF D ．180OAM OBM【答案】ACD 【解析】【分析】由AF AM 及抛物线方程求得3(4p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB 的方程，联立抛物线求得(,3p B ，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB即可判断C 选项；由0OA OB ，0MA MB 求得AOB ，AMB 为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM 可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp ，代入抛物线可得2233242p y p p ，则36(,)42p p A ，则直线AB的斜率为2342p p A 正确；对于B，由斜率为AB的方程为2p x y，联立抛物线方程得220y py p ，设11(,)B x y1p y p，则1y，代入抛物线得2123p x，解得13p x，则6(,)33p B ，则32p OB OF ，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF，C 正确；对于D，2333(,)(,)0423343234p p p p p OA OB，则AOB 为钝角，又2225((,)043436p p p p p MA MB，则AMB 为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ，则180OAM OBM ，D 正确.故选：ACD.6．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p 上，过点(0,1)B 的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1yB ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA D ．2||||||BP BQ BA 【答案】BCD 【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点A 的代入抛物线方程得12p ，所以抛物线方程为2x y ，故准线方程为14y ，A 错误；1(1)210AB k，所以直线AB 的方程为21y x ，联立221y x x y，可得2210x x ，解得1x ，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx ，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y，得210x kx ，所以21212Δ401k x x k x x，所以2k 或2k ，21212()1y y x x ，又||OP，||OQ所以2||||||2||OP OQ k OA ，故C 正确；因为1|||BP x，2||||BQ x ，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ，而2||5BA ，故D 正确.故选：BCD 三、填空题7．（2022·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE ，则ADE的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c ，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE的方程：x c ，代入椭圆方程22234120x y c，整理化简得到：221390y c ，利用弦长公式求得138c，得1324a c ，根据对称性将ADE 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a .【详解】∵椭圆的离心率为12c e a，∴2a c ，∴22223b a c c ，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ，，，∴23AF O，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE直线DE 的方程：x c ，代入椭圆方程22234120x y c ，整理化简得到：221390y c ，判别式22224139616c c ，∴12226461313cCD y，∴138c，得1324a c ，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ，，∴ADE 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a .故答案为：13.8．（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a ，若直线AB 关于y a 对称的直线与圆22(3)(2)1x y 有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】13,32【解析】【分析】首先求出点A 关于y a 对称点A 的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解： 2,3A 关于y a 对称的点的坐标为 2,23A a ， 0,B a 在直线y a 上，所以A B 所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a，即 3220a x y a ；圆 22:321C x y ，圆心 3,2C ，半径1r ，依题意圆心到直线l 的距离1d，即 2225532a a ，解得1332a ，即13,32a；故答案为：13,329．（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y 在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MNl 的方程为___________．【答案】0x 【解析】【分析】令AB 的中点为E ，设 11,A x y ， 22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ，设直线:AB y kx m ，0k ，0m ，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】解：令AB 的中点为E ，因为MA NB ，所以ME NE ，设 11,A x y ， 22,B x y ，则2211163x y ，2222631x y ，所以2222121206633x x y y ，即 12121212063x x x x y y y y 所以1212121212y y y y x x x x ，即12OE AB k k ，设直线:AB y kx m ，0k ，0m ，令0x 得y m ，令0y 得m x k，即,0m M k ， 0,N m ，所以,22m m E k，即1222mk m k，解得k 22k （舍去），又MNMN 2m 或2m （舍去），所以直线2:22AB y x，即0x；故答案为：0x 10．（2022·全国·高考真题）写出与圆221x y 和22(3)(4)16x y 都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544y x 或7252424y x 或1x 【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y 的圆心为 0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y 的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k ，所以34l k ，设方程为3(0)4y x t t O 到l的距离1d，解得54t，所以l 的方程为3544y x ，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ，其中0p ，0k ，由题意14，解得7242524k p，7252424y x 当切线为n 时，易知切线方程为1x ，故答案为：3544y x 或7252424y x 或1x.11．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m的渐近线与圆22430x y y 相切，则m _________．【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线 22210x y m m的渐近线为y x m ，即0x my ，不妨取0x my ，圆22430x y y ，即 2221x y ，所以圆心为 0,2，半径1r ，依题意圆心 0,2到渐近线0x my 的距离1d ，解得3m或33m （舍去）．12．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x 与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e 【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线by x a 中02b a即可求得满足要求的e 值.【详解】解：2222:1(0,0)x y C a b a b ，所以C 的渐近线方程为b y x a,结合渐近线的特点，只需02b a ，即224b a，可满足条件“直线2y x 与C 无公共点”所以 c e a又因为1e ，所以1e故答案为：2（满足1e 13．（2022·全国·高考真题（文））设点M 在直线210x y 上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．【答案】22(1)(1)5x y 【解析】【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M 在直线210x y 上，∴设点M 为(,12) a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ，222694415 a a a a a ，解得1a ，∴(1,1)M，R M 的方程为22(1)(1)5x y .故答案为：22(1)(1)5x y 14．（2022·全国·高考真题（文））过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2) 中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】 222313x y 或 22215x y 或224765339x y或2281691525x y；【解析】【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ，若过 0,0， 4,0， 1,1 ，则01640110F D F D E F ，解得046F D E，所以圆的方程为22460x y x y ，即 222313x y ；若过 0,0， 4,0， 4,2，则01640164420F D F D E F ，解得042F D E，所以圆的方程为22420x y x y ，即 22215x y ；若过 0,0， 4,2， 1,1 ，则0110164420F D E F D E F ，解得083143F D E，所以圆的方程为22814033x y x y ，即224765339x y；若过 1,1 ， 4,0， 4,2，则1101640164420D E F D F D E F ，解得1651652F D E，所以圆的方程为2216162055x y x y ，即 2281691525x y；故答案为： 222313x y 或 22215x y 或224765339x y或2281691525x y；四、解答题15．（2022·全国·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y ．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点 1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y ．过P且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213y x (2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k ；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y，由②//PQ AB 等价转化为003ky x ，由①M 在直线AB 上等价于 2002ky k x ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c ,∵渐近线方程为y，∴bab ，∴222244c a b a ，∴1a，∴b ．∴C 的方程为：2213y x ；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x ，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为 2y k x ,则条件①M 在AB 上，等价于 2000022y k x ky k x ；两渐近线的方程合并为2230x y ,联立消去y 并化简整理得： 22223440k x k x k 设 3334,,,A x y B x y ,线段中点为 ,N N N x y ,则 2342226,2233N N N x x k kx y k x k k ,设 00,M x y ,则条件③AM BM 等价于 222203030404x x y y x x y y ,移项并利用平方差公式整理得：3403434034220x x x x x y y y y y ，3403403434220y y x x x y y y x x ,即 000N N x x k y y ,即200283k x ky k ；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由10102020,y y x x y y x x ,∴ 121202y y x x x ,所以直线PQ的斜率 1201212122x x x y y m x x x x,直线 00:PM y x x y ,即00y y ,代入双曲线的方程22330x y ,即3yy 中，得：00003y y ,解得P的横坐标：100x y x,同理：200x y x，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x∴03x m y,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x ，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于 2002ky k x ；条件②//PQ AB 等价于003ky x ；条件③AM BM 等价于200283k x ky k ；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k ,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k ，20263k ky k ，∴003ky x ，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k ，20263k ky k ，∴02623x k ，∴ 2002ky k x ，∴①成立.16．（2022·全国·高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a 上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ，求PAQ △的面积．【答案】(1)1 ；(2)1629．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m ，1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k ，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ 即可求出直线,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a 上，所以224111a a ，解得22a ，即双曲线22:12x C y 易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m ， 1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx mx y 可得， 222124220k x mkx m ，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ，22222216422210120m k m k m k ．所以由0AP BP k k 可得，212111022y y x x ，即 122121210x kx m x kx m ，即 1212212410kx x m k x x m ，所以 2222242124102121m mk k m k m k k，化简得， 2844410k k m k ，即 1210k k m ，所以1k 或12m k ，当12m k 时，直线 :21l y kx m k x 过点 2,1A ，与题意不符，舍去，故1k ．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为 , ，因为0AP BP k k ，所以π ，因为tan PAQtantan 2 ，2tan 0，解得tan ，于是，直线 :21PA y x，直线 :21PB y x ，联立 222112y x x y可得，23211002x x ，因为方程有一个根为2，所以103P x ，P y53，同理可得，10423Q x，Q y 4253．所以5:03PQ x y ，163PQ，点A 到直线PQ的距离223d，故PAQ △的面积为1162317．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p 的焦点为F ，点 ,0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF ．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为, ．当取得最大值时，求直线AB 的方程．【答案】(1)24y x ；(2):4AB x .【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得=2pMF p，即可得解；（2）设点的坐标及直线:1MN x my ，由韦达定理及斜率公式可得2MN AB k k ，再由差角的正切公式及基本不等式可得22AB k，设直线:AB x n ，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为2px ，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32pMF p，所以2p ，所以抛物线C 的方程为24y x ；(2)设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y，直线:1MN x my ，由214x my y x可得2440y my ，120,4y y ，由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y，34223434444AB y y k y y y y ，直线112:2x MD x y y，代入抛物线方程可得 1214280x y y y ，130,8y y ，所以322y y ，同理可得412y y ，所以 34124422MNAB k k y y y y又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为, ，所以tan tan 22MN AB k k，若要使最大，则0,2，设220MN AB k k k ，则2tan tan 12tan 11tan tan 1242k k k k，当且仅当12k k即2k 时，等号成立，所以当最大时，22AB k，设直线:AB x n ，代入抛物线方程可得240y n ，34120,4416y y n y y ，所以4n ，所以直线:4AB x .【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.18．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过 30,2,,12A B两点．(1)求E 的方程；(2)设过点 1,2P 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)22143y x (2)(0,2) 【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.(1)解：设椭圆E 的方程为221mx ny ，过 30,2,,12A B，则41914n m n ，解得13m ，14n ，所以椭圆E 的方程为：22143y x .(2)3(0,2),(,1)2A B ，所以2:23AB y x ，①若过点(1,2)P 的直线斜率不存在，直线1x .代入22134x y，可得(1,3M，(1,N ，代入AB 方程223y x，可得3,)3T ，由MT TH得到H .求得HN方程：(22y x ，过点(0,2) .②若过点(1,2)P 的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y .联立22(2)0,134kx y k x y得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k ，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k ，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k，且1221224(*)34kx y x y k联立1,223y y y x可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x，将(0,2) ，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y ，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2). 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。

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高考数学压轴大题-解析几何1. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值.解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x aa x 所以由得消去所以2. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ∆（O 为原点）的面积的最大值及相应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a ,∴a PF PF 221=+ 2221==c F F21222124cos PF PF PF PF ⋅-+=θ=2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a 又21212PF PF PF PF ⋅≥+∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -221,321.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩063)1(222=-+-y my即 044)32(22=--+my y m . 由韦达定理得:324221+=+m m y y 324221+-=⋅m y y ∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t∴221y y -=41448)12(482++=+tt t t . 又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5. ∴221y y -有最大值316∴OMN S ∆ 的面积有最大值332.直线l 的方程为1-=x .3. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e =23，过点C (-1，0)的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足：CA =BC λ (2λ≥)．(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时，椭圆E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a b(a ＞b ＞0)，由e =ca=23及a 2= b 2+c 2得a 2=3 b 2，故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ①(Ⅰ)∵直线l ：y = k (x ＋1)交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，并且CA =BC λ (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2)，即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ②把y = k (x +1)代入椭圆方程，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0，且 k 2 (3b 2-1)+b 2＞0 （*），∴x 1+x 2= -22631k k +， ③x 1x 2=2223331k b k -+， ④∴O A B S ∆=12|y 1-y 2| =12|λ+1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 2+1|．联立②、③得x 2+1=22(1)(31)k λ-+， ∴O A B S ∆=11λλ+-·2||31k k + (k ≠0)．(Ⅱ)O AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + =11λλ+-·113||||k k +≤11λλ+-·123(λ≥2)．当且仅当3| k | =1||k ，即k =33±时，O AB S ∆取得最大值，此时x 1+x 2= -1．又∵x 1+1= -λ( x 2+1)，∴x 1=11λ-，x 2= -1λλ-，代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5，,k b 的值符合(*) 故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-(λ≥2)．(Ⅲ)由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+-1，x 2=22(1)(31)k λ-+-1，将x 1，x 2代入④，得23b =224(1)(31)k λλ-++1．由k 2=λ-1得23b =24(1)(32)λλλ--+1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知，当2λ≥时，3b 2是λ的减函数，故当2λ=时，23b 取得最大值3．所以，当2λ=，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x 2 + 3y 2 = 3．4. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （I ）求椭圆的离心率；（II ）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值.解：（I ）设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a c ba c a c x x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又（II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ① 由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+222221222121212123.833()()a c ab x xc a b x x y y x x x c x c -∴==+∴+=+-- .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x 又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.5. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点.（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ，∴圆心M 在直线12x =-上。

设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =得2213(),22t -+=解得 2.t =±∴所求圆的方程为2219()(2).24x y ++±=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根。

记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<<∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-6. 已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为255时，求p 的值。