电磁场与电磁波基础知识总结

电磁场与电磁波总结

第一章

一、矢量代数 A ∙B =AB cos θ

A B ⨯=AB e AB sin θA ∙(B ⨯C ) = B ∙(C ⨯A ) = C ∙(A ⨯B )()()()C A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯

二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元x y z =++l

e e e d x y z

矢量面元=++S

e e e x y z d dxdy dzdx dxdy

体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y

2. 圆柱形坐标系 矢量线元=++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ

体积元dz d d dV

ϕρρ=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e z

z z ρϕϕρ

ρϕ

3. 球坐标系 矢量线元d l = e r d r e θr d θ+e ϕr sin θd ϕ

矢量面元d S = e r r 2sin θd θd ϕ

体积元ϕθθd drd r dV

sin 2=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕ

θϕϕθ

三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度

=⋅⎰A S

S

d Φ0

lim

∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A S

v d div v

2. 环流量与旋度

=

⋅⎰

A l l

d Γmax

n 0

rot =lim

∆→⋅∆⎰A l

A e l

S d S

3. 计算公式

∂∂∂∇=

++∂∂∂⋅A y x z A A A x y z

11()z A A A z ϕρρρρρϕ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕ

θθθθθϕ

x

y z

∂

∂∂

∇⨯=

∂∂∂e e e A x y z x y z

A A A 1z

z

z

A A A ρϕ

ρϕρρϕρ∂∂∂

∇⨯=

∂∂∂e e e A 2

1sin sin r r z

r r A r A r A ρϕθθθϕθ∂∂∂

∇⨯=∂∂∂e e e A

4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理

⋅=∇⋅⎰

⎰A S A S

V

d dV

⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S l

S

d d

四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度

00()()lim

∆→-∂=∂∆l P u M u M u l

l 0

cos cos cos ∂∂∂∂=

++∂∂∂∂P u u u u

l

x y z

αβγ

cos ∇⋅=∇e l u u θgrad ∂∂∂∂=

=+∂∂∂∂e e e +e n x y z

u u u u

u n x y z

2. 计算公式

∂∂∂∇=++∂∂∂e e e x

y z u u u u x y z 1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u u

u r r r z

θϕ

θθ 五、无散场与无旋场

1. 无散场()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A

2. 无旋场()0∇⨯∇=u -u =∇F 六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系

2222

2222222

2222

2

2

2

2

2

222

222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=

++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z z

y

y

y

x x x z z z x y z

u u u

u A A A x y z

A A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z

，，

2. 圆柱坐标系

222

22

22222

2222

111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝

⎭A e e e z z u u u

u z

A A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ

3. 球坐标系

22

222222

111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=+

+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u u

u r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2

22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 2

2cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理

如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ

其中

1

()()4''∇⋅'=

'-⎰F r r r r V dV φπ1

()

()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π

第二章

一、麦克斯韦方程组 1. 静电场 真空中：

00

1

d =

=

V

q

dV ρεε⋅⎰

⎰

S

E S （高斯定理） d 0⋅=⎰l E l 0

∇⋅=

E ρ

ε0∇⨯=E 场与位：3

'

1'()(')'4'

V dV ρπε-=-⎰

r r E r r r r ϕ=-∇E 0

1()

()d 4πV V ρϕε'

'='-⎰

r r |r r |