2020届一轮复习人教B版(文) 13 解析几何 单元测试
2020届高三数学一轮复习 解析几何初步巩固与练习 精品
巩固1．条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍”；条件q ：“直线l 的斜率为－2”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件解析：选B.主要考虑直线l 在x 、y 轴上的截距都为0时，满足条件p 但不能推出q . 2．(原创题)过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2C ．2D ．不确定解析：选B.由题意得k AB ＝b －a5－4＝1，即b －a ＝1，所以|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.3．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0解析：选B.∵l 2经过(0,5)且方向向量b ＝(－1，k )，∴l 2的方程为y －5＝－kx ，又∵l 1的方向向量a ＝(1,3)，l 1⊥l 2，∴－k ·3＝－1⇒k ＝13，即l 2为y －5＝－13x ，∴x ＋3y －15＝0.4．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．解析：圆x 2＋2x ＋y 2＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝1， ∴C (－1,0)．∵直线x ＋y ＝0的斜率为－1， ∴所求直线斜率为1，∴所求直线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝05．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．解析：直线l 的斜率k ＝2－a －2－a ＋2＝－1a(a ≠0)，∴－1a ·(－23)＝－1，∴a ＝－23.答案：－236．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则 x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为y ＝2x ＋2.练习1．与直线x ＋4y －4＝0垂直，且与抛物线y ＝2x 2相切的直线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．4x －y －2＝0 D ．4x －y ＋2＝0 答案：C2．直线2x cos α－y －3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的变化范围是( )A ．[π6，π3] B. [π4，π3]C ．[π4，π2)D ．[π4，2π3]解析：选B.直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]．3．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2C ．－12D ．2或－12解析：选D.当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12.4．若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a ＞0，b ＜0)三点共线，则a －b 的最小值等于( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 解析：选A.∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a ，∴1a －1b ＝1，∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －ab ＝2＋[(－b a )＋(－ab)]≥2＋2＝4.(当a ＝－b ＝2时取等号)5.已知直线l 1，l 2的方程分别为x ＋ay ＋b ＝0，x ＋cy ＋d ＝0，其图象如图所示，则有( )A ．ac ＜0B ．a ＜cC ．bd ＜0D ．b ＞d 解析：选C.直线方程化为l 1：y ＝－1a x －b a，l 2：y ＝－1c x －dc.由图象知，－1c ＜－1a ＜0，－b a ＞0＞－dc，∴a ＞c ＞0，b ＜0，d ＞0.6．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－52]∪[43，＋∞)B ．(－43，52)C ．[－52，43]D ．(－∞，－43]∪[52，＋∞)解析：选B.直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)， 且斜率为－a ，∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43，由图可知：－a ＞－52且－a ＜43，∴a ∈(－43，52)，故选B.7．已知a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的一般方程是____________________．解析：a ＋2b ＝(－2,3)，设P (x ，y )为直线l 上任意一点，由(a ＋2b )⊥PA →，得直线l 的一般方程是2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝08．从点(2,3)射出的光线沿与直线x －2y ＝0平行的直线射到y 轴上，则经y 轴反射的光线所在的直线方程为________________．解析：由题意得，射出的光线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0，与y 轴交点为(0,2)，又(2,3)关于y 轴对称点为(－2,3)， ∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)，故方程为y －2＝3－2－2x ，即x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝0 9．与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l 的方程是____________________．解析：设直线l 的方程为3x ＋4y ＝a (a ≠0)，则直线l 与两坐标轴的交点分别为(a 3，0)，(0，a4)，∴12×|a 3|·|a4|＝24，解得a ＝±24， ∴直线l 的方程为3x ＋4y ＝±24.答案：3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝010．(1)求经过点A (－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程． (2)过点A (8,6)引三条直线l 1，l 2，l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y ＝34x ，求直线l 1，l 3的方程．解：(1) ①当横截距、纵截距都为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1， 将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为 x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)设直线l 2的倾斜角为α，则tan α＝34.于是tan α2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－(34)2＝247， 所以所求直线l 1的方程为y －6＝13(x －8)，即x －3y ＋10＝0，l 3的方程为y －6＝247(x －8)，即24x －7y －150＝0.11.在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．解：(1)设C (x ，y )，M (0，b )，N (a,0)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＋52＝0y －22＝b x ＋72＝a y ＋32＝0，解得x ＝－5，y ＝－3，a ＝1，b ＝－52.∴C (－5，－3)．(2)由(1)知M (0，－52)，N (1,0)，∴k MN ＝52，∴MN 的方程为y ＝52(x －1)，即5x －2y －5＝0.12．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得|(3k ＋4)(－4k－3)|＝6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
【人教版】2020高考数学一轮复习第9章平面解析几何第2讲两直线的位置关系分层演练文
第2讲 两直线的位置关系一、选择题1．已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －2＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A ．2．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又因为0<k <12，所以x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0， 故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．3．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0，4) B ．(0，2) C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析：选B ．由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，所以直线l 2恒过定点(0，2)．4．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A ． 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选C ．因为l 1∥l 2， 所以1a －2＝a 3， 解得a ＝－1，所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＝0，所以l 1与l 2的距离d ＝||6－02＝32．选C ．5．光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( ) A ．a ＝13，b ＝6B ．a ＝－13，b ＝－6C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－3，b ＝16解析：选B ．在直线y ＝－3x ＋b 上任意取一点A (1，b －3)，则点A 关于直线x ＋y ＝0的对称点B (－b ＋3，－1)在直线y ＝ax ＋2上，故有－1＝a (－b ＋3)＋2，即－1＝－ab ＋3a ＋2，所以ab ＝3a ＋3，结合所给的选项，只有B 项符合，故选B ．6．在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D ．由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以M 位于以PQ 为直径的圆上， 因为|PQ |＝9＋1＝10，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D ． 二、填空题7．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1，1)． 又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0．答案：x ＋2y －3＝08．以点A (4，1)，B (1，5)，C (－3，2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________． 解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－（－2）－3－0＝－43．k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34． 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ， 故四边形ABCD 为矩形．故S ＝|AB |·|AD |＝（1－4）2＋（5－1）2×（0－4）2＋（－2－1）2＝25． 答案：259．已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1，1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0．答案：x ＋2y －3＝010．在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________． 解析：设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0．①又因为k BD ＝5－（－1）1－7＝－1，所以直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)， 即x ＋y －6＝0．②联立①②⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4)．答案：(2，4) 三、解答题11．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图． 由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0． 所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线， 最大距离为|－5|5＝5．(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线． 12．正方形的中心为点C (－1，0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程． 解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105．设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0． 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0．1．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)， 所以l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4，3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0．2．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由． 解：(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋（－1）2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a >0，解得a ＝3．(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)； 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。
新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析
人教B 选择性必修第一册综合测验第一章 空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章 平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin <u ,v >,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章 平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。
【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案
教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案)一．考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.二．考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.三．基础知识:椭圆及其标准方程椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.⑴范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. ⑵对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.说明⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆的参数方程是.5.椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6. 椭圆的切线方程椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线的简单几何性质双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式，.双曲线的内外部点在双曲线的内部.点在双曲线的外部.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.若渐近线方程为双曲线可设为.若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.双曲线的切线方程双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
新教材高中数学第2章平面解析几何单元质量测评课件新人教B版选择性必修第一册
A．－12或 1
B．－98或 1
C．－89
D．1
解析 因为两直线平行，所以有 2(k2－k)＋3(2k2＋k－3)＝0，即 8k2＋k
－9＝0，解得 k＝－89或 k＝1.检验知 k＝1 时不成立，故 k＝－98.
解析 答案
2．“1<m<3”是“方程m－x2 1＋3－y2m＝1 表示椭圆”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 当 m＝2 时，方程m－x2 1＋3－y2m＝1 为 x2＋y2＝1，该方程表示圆，
m－1>0，
即充分性不成立．若方程m－x2 1＋3－y2m＝1
表示椭圆，则3－m>0， m－1≠3－m，
解
得 1<m<3 且 m≠2，即必要性成立．故选 B.
9．下列说法正确的是( ) A．截距相等的直线都可以用方程ax＋ay＝1 表示 B．方程 x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于 y 轴的直线 C．经过点 P(1,1)，倾斜角为 θ 的直线方程为 y－1＝tanθ(x－1) D．经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－ x1)(y－y1)＝0
答案
解析 对于 A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程ax＋ay＝ 1 表示，所以不正确；对于 B，当 m＝0 时，平行于 y 轴的直线方程形式为 x＝2，所以正确；对于 C，若直线的倾斜角为 90°，则该直线的斜率不存在， 不能用 y－1＝tanθ(x－1)表示，所以不正确；对于 D，设点 P(x，y)是经过两 点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据P→1P2∥P→1P可得(y2－y1)(x －x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以正确．故选 BD.
2020届一轮复习人教B版解析几何作业(5)
(六十二)1．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离答案 A解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．2．(2019·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d ＝|2|12＋（3）2＝1，∴sin ∠AOC ＝d|OC|＝12，∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π3.3．(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|＝( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210答案 C解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，连接AC ，BC ，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故选C.4．(2019·保定模拟)直线y＝－33x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A．(3，2) B．(3，3)C．(33，233) D．(1，233)答案 D解析当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝|m|1＋（33）2＝1，解得m＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要1<m<233.5．圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c的值是()A．－3 B．3C．2 2 D．8答案 A解析由题知圆心为(2，－1)，半径为r＝5－c.令x＝0得y1＋y2＝－2，y1y2＝c，∴|AB|＝|y1－y2|＝21－c.又|AB|＝2r，∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c＝－3.6．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析把x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2.7．(2019·黄冈一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x －2)＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.选B.8．(2019·重庆一中期末)已知P 是直线kx ＋4y －10＝0(k>0)上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，若四边形PACB 面积的最小值为22，则k 的值为( ) A ．3 B ．2 C.13 D.152答案 A解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，则圆心为C(1，－2)，半径为1.由题意知直线与圆相离，如图所示，S四边形PACB ＝S △PAC ＋S △PBC ，而S △PAC ＝12|PA|·|CA|＝12|PA|，S △PBC ＝12|PB|·|CB|＝12|PB|，又|PA|＝|PB|＝|PC|2－1，∴|PC|取最小值时，S △PAC ＝S △PBC 取最小值，此时，CP 垂直于直线，四边形PACB 面积的最小值为22，S △PAC ＝S △PBC ＝2，∴|PA|＝22，|CP|＝3，∴|k －8－10|k 2＋16＝3，又k>0，∴k ＝3.故选A.9．已知点P 在圆x 2＋y 2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2－x ＝0 B ．x 2＋y 2＋y －1＝0 C ．x 2＋y 2－y －2＝0 D ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0答案 B解析 设P(x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y)，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2＋(2y ＋1)2＝5，化简，得x 2＋y 2＋y －1＝0.10．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．5 2 B ．10 2 C ．15 2 D ．20 2答案 B解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|·|BD|＝12×210×25＝10 2. 11．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( ) A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.12．(2019·四川南充期末)若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是( ) A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0 D ．x －y ＋1＝0答案 D解析 依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P(0，1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.故圆心为C(1，0)，半径为r ＝2.则易知定点P(0，1)在圆内．由圆的性质可知当PC ⊥l 时，此时直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0. 13．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx－ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b|b 2＋a 2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2，选择A.14．已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________． 答案 25π解析 因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.15．(2017·天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a)，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.16．在不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋3≥0，x ＋3y ＋3≥0，x ≤3，表示的平面区域内作圆M ，则最大圆M 的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 不等式组构成的区域是三角形及其内部，要作最大圆其实就是三角形的内切圆，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，x ＋3y ＋3＝0，得交点(－3，0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，x ＝3，得交点(3，23)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋3＝0，x ＝3，得交点(3，－23)，可知三角形是等边三角形，所以圆心坐标为(1，0)，半径为(1，0)到直线x ＝3的距离，即半径为2，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 答案 (1)y 2－x 2＝1 (2)x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3 解析 (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r. 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 02－x 02＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 02－x 02＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 02－x 02＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.18．(2019·广东汕头模拟)已知圆C 经过(2，4)，(1，3)，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点． (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．答案 (1)(x －2)2＋(y －3)2＝1 (2)①AM →·AN →为定值，且定值为7 ②y ＝x ＋1解析 (1)设圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值．过点A(0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT|2＝7， ∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT|2＝7，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1，又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。
2020_2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何章末综合测评课时分层作业含解析新人教B版选择性必修第一册
章末综合测评(二) 平面解析几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13 B ．－13 C ．3D ．－3B [设P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13．] 2．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋5＝0垂直，则实数a 的值是( )A ．23B ．1C ．12D ．2A [直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋5＝0垂直， 则a ×1＋2(a －1)＝0， 解得a ＝23．]3．若方程x 2＋y 2－x ＋y －2m ＝0表示一个圆，则实数m 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14C [根据题意，方程x 2＋y 2－x ＋y －2m ＝0表示一个圆， 则有1＋1－4×(－2m )＞0，解的m ＞－14，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞．]4．过点A (1,0)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．±2C ．±3D ．±2A [设直线l 方程为y ＝k (x －1)，则圆心到直线l 的距离为|－1|1＋k2＝11＋k2，则弦|AB |＝21－11＋k2＝2，解得k ＝±1．] 5．已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心．若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为( )A ．27B ．10C ．8D ．6B [由题意知，a ＝4，b ＝3，c ＝5．又由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8．设△PF 1F 2的内切圆的半径为R ．∵S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，∴12(|PF 1|－|PF 2|)R ＝8，即4R ＝8，∴R ＝2，∴S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10．故选B ．]6．焦点为(0，±3)，且与双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是( ) A ．x 23－y 26＝1 B ．y 23－x 26＝1 C ．y 26－x 23＝1D ．x 26－y 23＝1B [双曲线x 22－y 2＝1中，a 2＝2，b 2＝1，所以渐近线方程为y ＝±12x ，所以所求双曲线的方程中a b ＝12，c ＝3，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝3，b 2＝6，则双曲线方程为y 23－x 26＝1，故选B ．]7．若圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝r2外切，则正数r的值是()A．2 B．3C．4 D．6C[圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝r2，∴C1坐标为(1,1)，半径为1，C2坐标为(－2，－3)，半径为r，∴|C1C2|＝r1＋r2⇒(1＋2)2＋(1＋3)2＝r＋1⇒r＝4．]8．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A．22B．2－ 3C．5－2 D．6－ 3D[设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝2m．由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋2m，即m＝(4－22)a，则|AF2|＝2a－m＝(22－2)a．在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－2)2a2＋4(2－1)2a2，即c2＝(9－62)a2，即c＝(6－3)a，即e＝ca＝6－3．]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是()A．y＝x＋1 B．y＝2C．y＝43x D．y＝2x＋1BC[对于A，d1＝|5－0＋1|2＝32>4；对于B，d2＝2<4；对于C，d3＝|5×4－3×0|5＝4；对于D，d4＝|5×2－0＋1|5＝115>4，所以符合条件的有BC．]10．实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于yx－1的判断正确的是()A．yx－1的最大值为 3B．yx－1的最小值为－ 3C．yx－1的最大值为33D．yx－1的最小值为－33CD[由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0为圆心是C(－1,0)，半径为1的圆，由yx－1为圆上的点与定点P(1,0)的斜率的值，设过P(1,0)点的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，圆心到直线的距离d＝r，即|－2k|1＋k2＝1，整理可得3k2＝1，解得k＝±33，所以yx－1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即yx－1的最大值为33，最小值为－33．]11．已知点A是直线l：x＋y－10＝0上一定点，点P，Q是圆C：(x－4)2＋(y －2)2＝4上的动点，若∠P AQ的最大值为60°，则点A的坐标可以是() A．(4,6) B．(2,8)C．(6,4) D．(8,2)AD[点A是直线l：x＋y－10＝0上一定点，点P，Q是圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝4上的动点，如图：圆的半径为2，所以直线l 上的A 点到圆心的距离为4， 结合图形，可知A 的坐标(4,6)与(8,2)满足题意．]12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则有( )A ．渐近线方程为y ＝±3xB ．渐近线方程为y ＝±33x C ．∠MAN ＝60° D ．∠MAN ＝120°BC [由题意可得e ＝c a ＝233，可设c ＝2t ，a ＝3t ，t ＞0， 则b ＝c 2－a 2＝t ，A (3t,0)，圆A 的圆心为(3t,0)，半径r 为t ，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±33x ， 圆心A 到渐近线的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33·3t 1＋13＝32t ，弦长|MN |＝2r 2－d 2＝2t 2－34t 2＝t ＝b ，可得三角形MNA 为等边三角形， 即有∠MAN ＝60°．]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y ＝1对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为 ．2 [圆的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋(y ＋1)2＝a 24，表示以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1为圆心，以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2为半径的圆，关于直线x －y ＝1对称的圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，故有－1－0a 2－0×1＝－1，得a ＝2．]14．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为 ．－23 [设P (a,1)，Q (b ，b －7)，由PQ 中点坐标为(1，－1)得⎩⎨⎧a ＋b2＝1，1＋b －72＝－1，解得a ＝－2，b ＝4．∴P (－2,1)，Q (4，－3) 直线l 的斜率为－3－14＋2＝－23．]15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为 ．x 23＋y 22＝1 [由椭圆的定义，可知△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝43，解得a ＝3．又离心率c a ＝33，所以c ＝1．由a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1．]16．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则双曲线方程为 ，离心率为 ．(本题第一空2分，第二空3分)x 24－y 24＝12 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意知两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可知ba ＝1，又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，由a 2＋b 2＝c 2可得2a 2＝(22)2，解得a ＝2．∴b ＝2，∴双曲线方程为x 24－y 24＝1，离心率为e ＝ca ＝2．]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．[解] 若l 在两坐标轴上截距为0， 设l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0，则|4k －3|1＋k2＝32．解得k ＝－6±3214．此时l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x ； 若l 在两坐标轴上截距不为0，设l ：x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝32．解得a ＝1或13．此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0． 综上，直线l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0． 18．(本小题满分12分)过原点O 的圆C ，与x 轴相交于点A (4，0)，与y 轴相交于点B (0,2)．(1)求圆C 的标准方程．(2)直线l 过点B 与圆C 相切，求直线l 的方程，并化为一般式． [解] (1)设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 分别代入原点和A (4,0)，B (0,2)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(4－a )2＋b 2＝r 2，a 2＋(2－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝ 5.则圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5． (2)由(1)得圆心C (2,1)，半径r ＝5， 由于直线l 过点B 与圆C 相切， 则设直线l ：x ＝0或y ＝kx ＋2，当直线l ：x ＝0时，C 到l 的距离为2，不合题意，舍去；当直线l ：y ＝kx ＋2时，由直线与圆相切，得到圆心到直线距离d ＝r ， 即有|2k －1＋2|k 2＋1＝5，解得k ＝2，故直线l ：y ＝2x ＋2，即2x －y ＋2＝0．19．(本小题满分12分)已知椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．[解] 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵b a ＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b ，∴椭圆的方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1．设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32的距离为d ，则d 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝4b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3，－b ≤y ≤b ．记f (y )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3，－b ≤y ≤b ．①当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4b 2＋3＝7，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1；②当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7，解得b ＝±7－32，与0＜b ＜12矛盾．综上，可知所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1．20．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝8611．(1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0，消去y ，得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1x 2＝1． ∵|AB |＝8611， 即[1＋(－1)2][(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝8611，∴121p 2＋242p －48＝0， 解得p ＝211或p ＝－2411(舍去)， ∴抛物线的方程为y 2＝411x ．(2)设AB 的中点为点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1311，－211．假设在x 轴上存在满足条件的点C (x 0,0)，连接CD ． ∵△ABC 为正三角形，∴CD ⊥AB ，即0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－211x 0－1311·(－1)＝－1，解得x 0＝1511，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1511，0，∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1511－13112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋2112＝2211． 又|CD |＝32|AB |＝12211≠2211，∴矛盾，不符合题目条件， ∴在x 轴上不存在一点C ，使△ABC 为正三角形．21．(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)若直线ax －y ＋5＝0(a ≠0)与圆相交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P (－2,4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心坐标为M (m,0)(m ∈Z )，由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且圆的半径为5，所以|4m －29|5＝5，即|4m －29|＝25， 即4m －29＝25或4m －29＝－25，解得m ＝272或m ＝1．因为m 为整数，故m ＝1，故所求的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25．(2)设符合条件的实数a 存在，因为a ≠0，则直线l 的斜率为－1a ，所以直线l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0．由于直线l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1,0)必在直线l 上，所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34．经检验，当a ＝34时，直线ax －y ＋5＝0与圆有两个交点，故存在实数a ＝34，使得过点P (－2,4)的直线l 垂直平分弦AB ．22．(本小题满分12分)设斜率不为0的直线l 与抛物线x 2＝4y 交于A ，B 两点，与椭圆x 26＋y 24＝1交于C ，D 两点，记直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4．(1)若直线l 过(0,4)，证明：OA ⊥OB ；(2)求证：k 1＋k 2k 3＋k 4的值与直线l 的斜率的大小无关． [证明] (1)设直线方程为y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相乘可得(x 1x 2)2＝16y 1y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋4x 2＝4y可得x 2－4kx －16＝0， 则x 1x 2＝－16，y 1y 2＝16，x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，OA ⊥OB .(2)设直线y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＝4y可得x 2－4kx －4m ＝0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝x 14＋x 24＝k ， 联立y ＝kx ＋m 和椭圆2x 2＋3y 2＝12，可得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0， Δ＝36k 2m 2－4(2＋3k 2)(3m 2－12)＞0，即4＋6k 2＞m 2，x 3＋x 4＝－6km 2＋3k 2，x 3x 4＝3m 2－122＋3k 2， k 3＋k 4＝y 3x 3＋y 4x 4＝kx 3＋m x 3＋kx ＋m x 4＝2k ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋1x 4＝2k ＋m (x 3＋x 4)x 3x 4＝2k －6km 23m 2－12＝－8k m 2－4， 则k 1＋k 2k 3＋k 4＝－m 2－48与直线l 的斜率的大小无关．。
2020届高三数学一轮复习测试：解析几何
2020届高三数学一轮复习测试：解析几何数学试卷〔解析几何综合卷〕时刻：90分钟，总分值：120分一、选择题〔共60分，每题5分，讲明：选做题3选2〕1. 从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n +=中的m 和n,那么能组成落在矩形区域{(,)|||11,||9}B x y x y =<<且内的椭圆个数为A.43B. 72C. 86D. 902. 假设抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，那么p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．43. 短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，那么△ABF 2的周长为〕 A ．3 B ．6C ．12D ．244. 以双曲线1322=-x y 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是A ．4)2(22=+-y xB ．2)2(22=-+y xC ．2)2(22=+-y xD ．4)2(22=-+y x 5. 抛物线241x y =的焦点坐标是A ．〔161，0〕B ．〔0，161〕C ．〔0，1〕D ．〔1，0〕6. 双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且34παπ<<，那么双曲线的离心率的取值范畴是A ．)2,1(B ．)2,2(C ．〔1，2〕D ．)2,1(7.〔选作〕 设21,F F 分不是双曲线1922=-y x 的左右焦点．假设点P 在双曲线上,且021=•PF PF =+A ．10B ．102C ．5D ．528. 直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量、满足||||-=+，那么实数a 的值是A ．2B ．－2C ．6或－6D ．2或－29. 直角坐标平面内，过点P 〔2，1〕且与圆 224x y +=相切的直线A ．有两条B ．有且仅有一条C ．不存在D ．不能确定10. 双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为A ．23B ．2C ．3D ．111. 〔选作〕点P 在直线:1l y x =-上，假设存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，那么称点P 为〝点〞，那么以下结论中正确的选项是 A ．直线l 上的所有点差不多上〝点〞 B ．直线l 上仅有有限个点是〝点〞 C ．直线l 上的所有点都不是〝点〞D ．直线l 上有无穷多个点〔点不是所有的点〕是〝点〞12. 以下曲线中离心率为62A ．22124x y -= B ．22142x y -= C ．22146x y -= D ．221410x y -= 13. 通过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 A ．30x y -+= B ．30x y --= C ．10x y +-=D ．30x y ++=二、填空题〔共30分，每题5分，讲明：选作题4选2，注明所选题号。
2020届一轮复习人教B版解析几何作业(13)
(七十)1．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0答案 B解析 可知AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x ，y)．由题意可知12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，所以4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.故选B. 2．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x答案 B 解析 双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F(－2，0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x.3．(2019·皖南八校联考)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2答案 D解析 (直译法)如图，设P(x ，y)，圆心为M(1，0)．连接MA ，PM. 则MA ⊥PA ，且|MA|＝1， 又因为|PA|＝1，所以|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2，即|PM|2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.4．方程x －1lg(x 2＋y 2－1)＝0所表示的曲线图形是( )答案 D5．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( ) A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1 C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝1答案 A解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 6．△ABC 的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x>3) D.x 216－y 29＝1(x>4) 答案 C解析 设△ABC 的内切圆与x 轴相切于D 点，则D(3，0)．由于AC ，BC 都为圆的切线． 故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6.由双曲线定义知所求轨迹方程为x 29－y 216＝1(x>3)．故选C.7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，若M(a ，b)，则动点M 所形成的轨迹曲线的长度为( )A ．π B.2π C.3πD ．2π答案 B解析 设P(x ，y)，则x 2＋y 2＝r 2，A(r ，r)，B(－r ，r)．由OP →＝aOA →＋bOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（a －b ）r ，y ＝（a ＋b ）r ，代入x 2＋y 2＝r 2，得(a －b)2＋(a ＋b)2＝1，即a 2＋b 2＝12，故动点M 所形成的轨迹曲线的长度为2π.8．(2019·福建三明一中期中)已知两点M(－3，0)，N(3，0)，给出下列曲线：①x －y ＋5＝0；②2x ＋y －24＝0；③y ＝x 2；④(x －6)2＋(y －4)2＝1；⑤y 29－x 216＝1，在所给的曲线上存在点P 满足|MP|＋|NP|＝10的曲线方程有( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①③⑤ D ．①④⑤答案 C解析 ∵|PM|＋|PN|＝10>|MN|＝6，∴P 点轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，长轴长2a ＝10，a ＝5，2c ＝6，c ＝3. ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴P 点轨迹方程为x 225＋y 216＝1.问题转化为哪条曲线与椭圆有公共点，数形结合知①③⑤三条曲线与椭圆有公共点，选C. 9．(2019·人大附中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，y)，M(x ，－4)，以线段PM 为直径的圆经过原点O.则动点P 的轨迹方程为________． 答案 x 2＝4y解析 由题意可得OP ⊥OM ，所以OP →·OM →＝0，所以(x ，y)·(x ，－4)＝0，即x 2－4y ＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＝4y. 10．已知抛物线y 2＝nx(n<0)与双曲线x 28－y 2m＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n)的轨迹方程是________． 答案 n 2＝16(m ＋8)(n<0)解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n4)2，n<0，即n 2＝16(m ＋8)(n<0)．11．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 设直线方程为y ＝k(x －1)，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)． 得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.y ＝y 1＋y 2＝4kk2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)． 12.如图所示，直角三角形ABC 的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 答案 (1)y ＝22x －22 (2)(x －1)2＋y 2＝9 (3)49x 2＋45y 2＝1 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C(4，0)．∴圆心M(1，0)． 又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P(－1，0)，M(1，0)，∵圆N 过点P(－1，0)， ∴PN 是该圆的半径．又∵动圆N 与圆M 内切， ∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54.∴轨迹方程为49x 2＋45y 2＝1.13．已知动点P(x ，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状． 答案(1)x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1) (2)略 解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ.整理，得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)． (2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 14．已知点A(－4，4)，B(4，4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为－2，点M 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的轨迹方程；(2)Q 为直线y ＝－1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D ，E ，求△QDE 的面积S 的最小值．答案 (1)x 2＝4y(x ≠±4) (2)4 解析 (1)设M(x ，y)，则k AM ＝y －4x ＋4，k BM ＝y －4x －4.∵直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差为－2， ∴y －4x ＋4－y －4x －4＝－2，∴x 2＝4y(x ≠±4)． (2)设Q(m ，－1)．∵切线斜率存在且不为0，故可设一条切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋1＝k(x －m)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k （x －m ），x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4(km ＋1)＝0.由相切得Δ＝0，将k 2－km －1＝0代入，得x 2－4kx ＋4k 2＝0，即x ＝2k ，从而得到切点的坐标为(2k ，k 2)． 在关于k 的方程k 2－km －1＝0中，Δ>0，∴方程k 2－km －1＝0有两个不相等的实数根，分别为k 1，k 2，则⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝m ，k 1·k 2＝－1，故QD ⊥QE ，S ＝12|QD||QE|.记切点(2k ，k 2)到Q(m ，－1)的距离为d ，则d 2＝(2k －m)2＋(k 2＋1)2＝4(k 2－km)＋m 2＋k 2m 2＋4km ＋4， 故|QD|＝（4＋m 2）（k 12＋1），|QE|＝（4＋m 2）（k 22＋1），S ＝12(4＋m 2)1＋1－2k 1k 2＋（k 1＋k 2）2 ＝12(4＋m 2)4＋m 2≥4，即当m ＝0，也就是Q(0，－1)时面积的最小值为4.15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为423.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l 的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．答案 (1)x 22＋y 2＝1 (2)x 2＋y 2＝2解析 (1)因为椭圆E 的离心率为22，所以a 2－b 2a ＝22.解得a 2＝2b 2，故椭圆E 的方程可设为x 22b 2＋y 2b 2＝1，则椭圆E 的左焦点坐标为(－b ，0)，过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y ＝x ＋b.设直线l′与椭圆E 的交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋b ，消去y ，得3x 2＋4bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4b 3.因为|AB|＝1＋12|x 1－x 2|＝42b 3＝423，解得b ＝1. ∴a 2＝2，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 和椭圆E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1.消去y 并整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点， 所以Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0. 化简并整理，得m 2＝2k 2＋1.因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为y ＝－1k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x －1），y ＝kx ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－km 1＋k 2，y ＝k ＋m 1＋k2，∴x 2＋y 2＝（1－km ）2＋（k ＋m ）2（1＋k 2）2＝k 2m 2＋k 2＋m 2＋1（1＋k 2）2＝（k 2＋1）（m 2＋1）（1＋k 2）2＝m 2＋11＋k 2，把m 2＝2k 2＋1代入上式得x 2＋y 2＝2.(*)②当切线l 的斜率为0时，此时Q(1，1)或(1，－1)，符合(*)式． ③当切线l 的斜率不存在时，此时Q(2，0)或(－2，0)，符合(*)式． 综上所述，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.。
2020届一轮复习人教B版解析几何作业(14)
(七十一)1．(2019·绵阳二诊)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 在椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A.214 B ．6 C ．8 D ．12答案 B解析 由题意得F(－1，0)，设P(x ，y)，则OP →·FP →＝(x ，y)·(x ＋1，y)＝x 2＋x ＋y 2，又点P 在椭圆上，故x 24＋y 23＝1，所以x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，又－2≤x ≤2，所以当x ＝2时，14(x ＋2)2＋2取得最大值6，即OP →·FP →的最大值为6.2．(2019·四川成都七中模拟)若直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 交抛物线C 于A ，B 两点，则1|AF|＋1|BF|的取值范围为( ) A ．{1} B ．(0，1] C ．[1，＋∞) D ．[12，1]答案 A解析 由题意知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，准线方程为x ＝－1.设过点F 的直线l 的斜率k 存在，则直线的方程为y ＝k(x －1)．代入抛物线方程，得k 2(x －1)2＝4x ，化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2＝1.根据抛物线性质可知，|AF|＝x 1＋1，|BF|＝x 2＋1，∴1|AF|＋1|BF|＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋2＝1.当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝1，把x ＝1代入y 2＝4x 得y ＝±2，∴1|AF|＋1|BF|＝1.故选A.3．(2019·南昌NCS 项目调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．答案 (1)x 24＋y 2＝1 (2)[0，2147)解析 (1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km)2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2. 若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km(x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2， ∴(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km·(－8km4k 2＋1)＋4m 2＝0， 即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m|1＋k 2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2），又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87， ∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是[0，2147)．4．(2019·山西五校联考)设点F 为椭圆C ：x 24m ＋y 23m ＝1(m>0)的左焦点，直线y ＝x 被椭圆C截得的弦长为4427.(1)求椭圆C 的方程；(2)圆P ：(x ＋437)2＋(y －337)2＝r 2(r>0)与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为线段AB 上任意一点，直线FM 交椭圆C 于P ，Q 两点，AB 为圆P 的直径，且直线FM 的斜率大于1，求|PF|·|QF|的取值范围．答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)(94，125]解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 24m ＋y 23m ＝1，得x 2＝y 2＝12m7，故2x 2＋y 2＝224m 7＝4427，解得m ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－837，y 1＋y 2＝637.又⎩⎨⎧x 124＋y 123＝1，x 224＋y223＝1，所以（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，则(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.所以直线AB 的方程为y －337＝x ＋437，即y ＝x ＋3，代入椭圆C 的方程并整理得7x 2＋83x ＝0，则x 1＝0，x 2＝－837. 又F(－1，0)，直线FM 的斜率大于1，则直线FM 的斜率k ∈[3，＋∞)．设FM ：y ＝k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，设P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则有x 3＋x 4＝－8k 23＋4k 2，x 3x 4＝4k 2－123＋4k 2.又|PF|＝1＋k 2|x 3＋1|，|QF|＝1＋k 2|x 4＋1|，所以|PF|·|QF|＝(1＋k 2)|x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1|＝(1＋k 2)|4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1|＝(1＋k 2)·93＋4k 2＝94(1＋13＋4k 2)．因为k ≥3，所以94<94(1＋13＋4k 2)≤125.即|PF|·|QF|的取值范围是(94，125]．5．(2019·九江模拟)平面直角坐标系xOy 中，长度为3的线段MN 的两端点M ，N 分别在x 轴，y 轴上移动，动点A 满足AN →＝2MA →，点C 和点A 关于原点O 对称，动点A 的轨迹为E.(1)求轨迹E 的方程；(2)若直线MN 的斜率存在且不为0，过原点O 的直线l 和轨迹E 的交点为B ，D ，且BD →＝λMN →.求四边形ABCD 面积的最大值． 答案 (1)x 24＋y 2＝1 (2)4解析 (1)设A(x 0，y 0)，M(a ，0)，N(0，b)． ∵AN →＝2MA →，∴(－x 0，b －y 0)＝2(x 0－a ，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 0＝2（x 0－a ），b －y 0＝2y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x 0，b ＝3y 0.∴M(32x 0，0)，N(0，3y 0)．∵|MN|＝3，∴(32x 0)2＋(3y 0)2＝9，得x 024＋y 02＝1.∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k(k ≠0)，则k ＝y 0x 0.∵BD →＝λMN →，∴BD ∥MN. ∴k BD ＝k MN ＝－2y 0x 0＝－2k ，∴直线l 的方程为y ＝－2kx.设B(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－2kx ，得x 2＝41＋16k 2. 不妨设x 1＝21＋16k 2，则y 1＝－4k1＋16k 2，即B(21＋16k 2，－4k1＋16k 2)．点B(x 1，y 1)到直线AC 的距离d ＝|kx 1－y 1|1＋k 2＝6|k|1＋k 2·1＋16k2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ，得x 02＝41＋4k 2，y 02＝4k 21＋4k 2. ∴|AC|＝2|OA|＝2x 02＋y 02＝41＋k 21＋4k 2.∴四边形ABCD 的面积S ＝|AC|·d ＝24|k|1＋4k 2·1＋16k 2＝24k 21＋20k 2＋64k4＝ 24120＋1k2＋64k2≤24120＋21k 2·64k 2＝24136＝4，当且仅当64k 2＝1k 2，即k 2＝18时取等号． ∴四边形ABCD 面积的最大值为4.6．(2019·河北邯郸一中月考)已知边长为83的正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线C ：x 2＝2py(p>0)上． (1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆过定点D(0，2)，圆心M 在抛物线C 上运动，且圆M 与x 轴交于A ，B 两点，设|DA|＝l 1，|DB|＝l 2，求l 1l 2＋l 2l 1的最大值．答案 (1)x 2＝4y (2)2 2解析 (1)由题意可得此正三角形的另外两个顶点为(±43，12)，代入抛物线方程可得(±43)2＝2p ×12，解得p ＝2.∴抛物线方程为x 2＝4y. (2)设M(a ，b)，则a 2＝4b.半径R ＝|MD|＝a 2＋（b －2）2，可得⊙M 的方程为(x －a)2＋(y－b)2＝a 2＋(b －2)2.令y ＝0，可得x 2－2ax ＋4b －4＝0，∴x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a±2. 不妨设A(a －2，0)，B(a ＋2，0)． ∴l 1＝（a －2）2＋4，l 2＝（a ＋2）2＋4，∴l 1l 2＋l 2l 1＝l 12＋l 22l 1l 2＝2a 2＋16a 4＋64＝2（a 2＋8）2a 4＋64＝21＋16a 2a 4＋64，(*) 当a ≠0时，由(*)得，l 1l 2＋l 2l 1＝21＋16a 2＋64a2≤21＋162×8＝2 2. 当且仅当a 2＝64a 2，即a ＝±22时取等号．当a ＝0时，l 1l 2＋l 2l 1＝2.综上可知，l 1l 2＋l 2l 1的最大值为2 2.7．(2019·长春质量检测三)在平面直角坐标系中，已知圆C 1的方程为(x －1)2＋y 2＝9，圆C 2的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，动圆C 与圆C 1内切且与圆C 2外切． (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)已知P(－2，0)与Q(2，0)为平面内的两个定点，过(1，0)点的直线l 与轨迹E 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值． 答案 (1)x 24＋y 23＝1(x ≠－2) (2)6解析 (1)设动圆C 的半径为r ，由题意知|CC 1|＝3－r ，|CC 2|＝1＋r ，从而有|CC 1|＋|CC 2|＝4，故轨迹E 是以C 1，C 2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(－2，0)，从而轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)． (2)设l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1，消去x 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 有y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，则|AB|＝1＋m 2121＋m 23m 2＋4＝12（1＋m 2）3m 2＋4， 点P(－2，0)到直线l 的距离为31＋m 2，点Q(2，0)到直线l 的距离为11＋m 2，从而四边形APBQ 的面积S ＝12×12（1＋m 2）3m 2＋4×41＋m 2＝241＋m 23m 2＋4，令t ＝1＋m 2，t ≥1，有S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t，函数y ＝3t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，∴3t ＋1t≥4. 故S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t≤6，即四边形APBQ 面积的最大值为6.。
(人教版)备战2020年高考数学一轮复习 第二十单元 平面解析几何综合单元B卷 理
※ 推 荐 ※ 下 载 ※第二十单元 平面解析几何综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线4=+ny mx 与圆22:4O x y +=没有交点，则过点(),P m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．0或12．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与`双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( ) A．⎛ ⎝⎭B．⎡⎢⎣⎦C．(D．⎡⎣3．经过抛物线24x y =的焦点，倾斜角为120︒的直线交抛物线于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．2BCD ．164．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点， 则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．85．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( )AB ．2 CD ．36．已知椭圆()2221024x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1BCD7．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点()2,1Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()1,2-8．过椭圆221164x y +=内一点()3,1P ，且被这点平分的弦所在直线的方程是（ ）A ．34130x y +-=B ．43130x y +-=C ．3450x y -+=D ．3450x y ++=9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB ，分别交椭圆于A ，B两点，且斜率分别为1k ，2k ，若点A ，B 关于原点对称，则21k k ⋅的值为( )A ．13B ．12 C ．12-D ．13-10．已知A ，B 为抛物线2:4C y x =上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若40FA FB +=， 则直线AB 的斜率为（ ）A ．23±B ．34±C ．43±D ．32±11．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别1F 、2F ，P 为双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆与x 轴相切于点A ，则圆心I 到y 轴的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．抛物线22y x =上两点()11,A x y 、()22,B x y 关于直线y x m =+对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ） A ．2 B ．1C ．32D ．3二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上） 13．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，6AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为 ．14．已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线250x y -+=平行，则双曲线的离心率为 ．15．已知焦点在x 轴上椭圆222125x y b +=，点124,5P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，过点P 作两条直线与椭圆分别交于A ，B 两点，若椭圆的右焦点F 恰是PAB △的重心，则直线AB 的方程为 ．16．过点3,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作抛物线2ax y =的两条切线PA ，PB (A ，B 为切点)，若0PA PB ⋅=，则a 的值为 ．※ 推 荐 ※ 下 载 ※三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的A ，B 两点． （1）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；（2）如果4OA OB ⋅=-，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点．18．(12分)已知圆22:20G x y x +-=经过椭圆22221x ya b+=()0a b >>的右焦点F 及上顶点B ．过椭圆外一点(),0M m ，()m a >作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C ，D 两点． （1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．19．（12分）如图所示，已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0A ，M 为圆上一动点，点P 在AM 上， 点N 在CM 上，且满足2AM AP =，0NP AM ⋅=，点N 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；※ 推 荐 ※ 下 载 ※（2）过点A 且倾斜角是45︒的直线l 交曲线E 于两点H ,Q ，求HQ ．20．(12分)已知直线:l y x =22:5O x y +=，椭圆()2222:10y x E a b a b+=>>的离心率e =，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．（1）求椭圆E 的方程；（2）过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．21．(12分)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ⋅=，1OF =．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM △的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．※ 推 荐 ※ 下 载 ※22．(12分)设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点分别为()11,0F -，()1,0，点()2,0A a ，且122AF AF =．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点(如图所示)，试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．※ 推 荐 ※ 下 载 ※教育单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第二十单元 平面解析几何综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵直线4mx ny +=与圆22:4O x y +=2>，∴422<+n m ，∴22194m n +<，∴点(),m n 在椭圆内，故选C ．2．【答案】B【解析】由题意知，焦点为()4,0F，双曲线的两条渐近线方程为y x =． 当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选B ． 3．【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知AB的方程为1y =+，由214y x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x +-=，12x x ∴+=-124x x =-，∴AB =16，故选D ．4．【答案】C【解析】由椭圆的方程得()1,0F -，()0,0O ，设(),P x y ，()22x -≤≤为椭圆上任意一点，则()2222221131322444x OP FP x x y x x x x x ⎛⎫⋅=++=++-=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当2x =时，OP FP ⋅取得最大值6，故选C ． 5．【答案】D【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，由方程组22⎧=⎪⎨⎪=+⎩b y x a y x ，消去y ， 得220b x x a -+=有唯一解，所以280b a∆⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以b a =3c e a ==，故选D ． 6．【答案】C【解析】由椭圆的方程可知2=a ，由椭圆的定义可知，2248AF BF AB a ++==，所以()2283AB AF BF =-+≥，由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中通径最短，且223b a=，∴23b =，b =C ． 7．【答案】A 【解析】如图，∵点()2,1Q -在抛物线的内部，由抛物线的定义，PF 等于点P 到准线1x =-的距离， 过Q 作1x =-的垂线QH 交抛物线于点K ，则点K 为取最小值时所求的点．当1y =-时，由41x =得14x =，所以点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A ． 8．【答案】A【解析】设直线与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故22111164x y +=，22221164x y +=，两式相减得()()()()121212120164x x x x y y y y +⋅-+⋅-+=， ∵126x x +=，122y y +=，∴()()121212121344AB x x y y k x x y y +-==-⨯=--+，∴直线AB 的方程为()3134y x -=--，即34130x y +-=，故选A ． 9．【答案】D【解析】设点(),M x y ，()11,A x y ，()11,B x y --，∴111211y y y y k k x x x x -+⋅=⋅-+ 222212222222221111113x x b b a a b c e x x a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-=-=-=--，∴21k k ⋅的值为13-，故选D ． 10．【答案】 C【解析】∵40FA FB +=，∴4FA FB =-，∴4FA FB =，设FB t =，则4FA t =，设点A ，B 在抛物线C 准线上的射影分别为1A ，1B ，过A 作1BB 的垂线，交线段1BB 的延长线于点M ，※ 推 荐 ※ 下 载 ※则113BM AA BB AF BF t =-=-=，5AB AF BF t =+=， ∴4AM t =，∴34tan =∠ABM ，由对称性可得直线AB 的斜率为43±，故选C ．11．【答案】D故选D ． 12．【答案】C 【解析】∵21211AB y y k x x -==--，又()2221212y y x x -=-，∴2112x x +=-，由于212122x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,在直线y x m =+上，即212122y y x x m ++=+，21212y y x x m +=++， ∵2112y x =，2222y x =，∴()22212122x x x x m +=++，即()2212121222x x x x x x m ⎡⎤+-=++⎣⎦，∵2112x x +=-，2121-=⋅x x ，∴23m =，32m =．故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上） 13．【答案】9【解析】设抛物线C 的方程为22y px =，则26AB p ==，∴3=p ，∴192ABP S AB p =⨯=△． 14．【解析】由双曲线221kx y -=知，它的渐近线方程为y=，∵一条渐近线与直线250x y -+=12=，则14k =，∴双曲线方程为2214x y -=， 则2a =，1b =，c =c e a ==． 15．【答案】2015680x y --=【解析】将点P 代人椭圆的方程可得216b =，所以椭圆的方程为2212516x y +=，椭圆的焦点225a =，216b =，22225169c a b =-=-=，(3,0)F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的斜率为k ，由12121212435312125503x x x x y y y y ++⎧=⎪+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=-++⎪⎪⎩=⎪⎩， 代人椭圆的方程可得22111212222214251602516312516x y x x y y k k x y ⎧+=⎪++⎪⇒+⨯=⇒=⎨⎪+=⎪⎩， ∴AB 的中点坐标为56,25⎛⎫- ⎪⎝⎭，所求的直线方程为2015680x y --=．16．【答案】14【解析】设切线方程为312y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由2312y ax y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎩，联立并化简得01232=++-k kx ax ，由题意，234102k a k ∆⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即0462=--a ak k ，又两切线垂直，∴1241k k a =-=-，∴14a =． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）3-；（2）见解析．【解析】（1）由题意知，抛物线焦点为()1,0，设:1l x ty =+，代入抛物线24y x =， 消去x 得2440y ty --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，∴()()()212121212121212111OA OB x x y y ty ty y y t y y t y y y y ⋅=+=+++=++++2244143t t =-++-=-．（2）设:l x ty b =+，代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()2212121212121212OA OB x x y y ty b ty b y y t y y tb y y b y y ⋅=+=+++=++++222244444bt bt b b b b =-++-=-=-，∴2b =．∴直线l 过定点()2,0．∴若4OA OB ⋅=-，则直线l 必过一定点()2,0．18．【答案】（1）22162x y +=；（2）)．【解析】（1）∵圆22:20G xy x +-=经过点F ，B ，∴()2,0F ，(B ，※ 推 荐 ※ 下 载 ※∴2c =，b =，∴2226a b c =+=，椭圆的方程为22162x y +=．（2）由题意知直线l的方程为)y x m =-，m由)22162x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y ，整理得222260x mx m -+-=． 由()224860m m ∆=-->，解得m -<<，∵mm <设()11,C x y ，()22,D x y ，则12x x m +=，21262m x x -=，∴))()2121212121333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．∴()()()()112212122,2,22FC FD x y x y x x y y ⋅=-⋅-=-⋅-+ ()()21212234643333m m m m x x x x -+=-+++=． ∵点F 在圆E 内部，∴0FC FD ⋅<，即()2303m m -<，解得03m <<．m <3m <，故m的取值范围是)．19．【答案】（1）2212x y +=；（2．【解析】（1）2AM AP =，0NP AM ⋅=，∴NP 为AM 的垂直平分线，∴NA NM =，又CN NM +=2CN AN ∴+=>，∴动点N 的轨迹是以点()1,0C -，()1,0A为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a = 焦距22c =，a ∴=，1c =，21b =．∴曲线E 的方程为2212x y +=．（2）直线l 的斜率tan451k =︒=，∴直线l 的方程为1y x =-， 由22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2340x x -=． 设()11,H x y ，()22,Q x y ，则1243x x +=，120x x =，∴123HQ x =-==．20．【答案】（1）22132y x +=；（2）见解析． 【解析】（1）设随圆半焦距为c ，圆心O 到l的距离d =l 被圆O 截得弦长为以b =．由题意得222c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，又b =，∴23a =，22b =． ∴椭圆E 的方程为22132y x +=．（2）设点()00,P x y ，过点P 的椭圆E 的切线0l 的方程为()00y y k x x -=-，联立直线0l 与椭圆E 的方程得：()0022132y k x x y y x ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：()()()2220000324260k x k y kx x kx y ++-+--=，∵0l 与椭圆E 相切．∴()()()22200004432260k y kx k kx y ∆⎡⎤⎡⎤=--+--=⎣⎦⎣⎦， 整理得：()()22200002230x k kx y y -+--=，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为1k ，2k ，则20122032y k k x -⋅=--，∵点P 在圆O 上，∴22005x y +=，∴2012205312x k k x --⋅=-=--． ∴两条切线斜率之积为常数1-．21．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，43y x =-．【解析】（1）如图建系，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则1c =，又∵1AF FB ⋅=，即()()221a c a c a c +⋅-==-， ∴22a =．故椭圆方程为2212x y +=．（2）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为PQM △的垂心， 则设()11,P x y ，()22,Q x y ，∵()0,1M ，()1,0F ，故1PQ k =，于是设直线l 为y x m =+，由2222y x mx y =+⎧⎨+=⎩，得2234220x mx m ++-=， ∵()()1221011MP FQ x x y y ⋅==-+-，又()1,2i i y x m i =+=， 得()()()1221110x x x m x m -+++-=， 即()()21212210x x x x m m m ++-+-=，※ 推 荐 ※ 下 载 ※由韦达定理得()2222421033m mm m m -⋅--+-=，解得43m =-或1m =(舍去)，经检验43m =-符合条件．∴直线l 的方程为43y x =-．22．【答案】（1）22132x y +=；（2）最大值为4，最小值为9625． 【解析】（1）由题意，1222F F c ==，∵122AF AF =，∴2F 为1AF 的中点．∴23a =，22b =，所以椭圆方程为22132x y +=．（2）当直线DE 与x轴垂直时，22b DE a ==，此时2MN a == 四边形DMEN 的面积142S DE MN =⋅=． 同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积142S DE MN =⋅=．当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设():1DE y k x =+，代入消去y 得()()2222236360k x k x k +++-=， 设()11,D x y ，()22,E x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以12x x -=，所以12DE x =-=，同理()22221113322k k MN k k⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==++，所以四边形的面积()()22221111223232k k S DE MN k k ++=⋅=⋅⋅++， ()242242221242242116136613k k k k k k k k ⎛⎫⋅++ ⎪⋅++⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 令221t k k=+，则()24244613136t S t t +==-++， ∵2212t k k =+≥，()'224()0136S t t =>+， ∴()44136S t t=-+为[)2,t ∈+∞上的增函数，当2t =，即1k =±时，9625S =，∴96425S ≤<， 综上可知，96425S ≤≤．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625．。
2020届人教B版(文科数学) 解析几何 单元测试
(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】直线与抛物线：交于两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则直线过定点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，则，又，，解得.将直线：代入，得，∴，∴.即直线：，所以过定点2.【湖南省浏阳一中、醴陵一中联考】双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，设内切圆的半径为．由得，整理得．因为P为双曲线右支上一点，所以，，所以．故选D．3.【江西省南昌市2019月考】已知椭圆：的右焦点为,且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0.为坐标原点，若直线、、的斜率之和为1.则（）A． B．-3 C． D．【答案】A【解析】因为椭圆：的右焦点为,且离心率为，且所以可求得椭圆的标准方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），因为A、B在椭圆上，所以，两式相减得，即同理可得所以因为直线、、的斜率之和为1所以所以选A4.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( ) A. B. C. D.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切，所以圆心到直线的距离d==a，整理为a2=3b2，即a2=3(a2-c2)⇒2a2=3c2，即=，e==.5.(2018·南昌模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为( ) A.150° B.135° C.120° D.不存在【解析】选A.由y=得x2+y2=2(y≥0),它表示原点O为圆心,以为半径的圆的一部分,如图所示:显然直线l的斜率存在,设过点P(2,0)的直线l为y=k(x-2),则圆心到此直线的距离d=,弦长|AB|=2=2,所以S△AOB=××2≤=1,当且仅当(2k)2=2-2k2,即k2=时等号成立,由图得k= -,所以直线l的倾斜角为150°.6.(2019·汉中模拟)双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F恰好与抛物线y2=8x 的焦点F重合,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1【解析】选D.因为抛物线y2=8x的焦点F(2,0),所以由题意知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),所以a2+b2=4,因为P是抛物线与双曲线的一个交点,|PF|=5,所以P点横坐标x P=3,代入抛物线y2=8x得P(3,±2),把P(3,±2)代入双曲线-=1(a>0,b>0)得-=1,整理,得a4-37a2+36=0, 解得a2=1,或a2=36(舍),则b2=3,所求双曲线方程为x2-=1.7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2,则双曲线C的离心率e 为 ( )A. B. C.2+1 D.+1【解析】选D.因为直线y=(x+c)过左焦点F1,其倾斜角为30°,所以∠PF1F2= 30°,∠PF2F1=60°,所以∠F2PF1=90°,即F1P⊥F2P,所以|PF2|=|F1F2|=c,|PF1|=|F1F2|sin 60°=c,由双曲线的定义得2a=|PF1|-|PF2|=c-c,所以双曲线C的离心率e===+1.8.已知l是双曲线C:-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2分别是C的左、右焦点,若·=0,则点P到x轴的距离为( )A. B. C.2 D.【解析】选C.由已知F1(-,0),F2(,0),不妨设l的方程为y=x,点P(x0,x0),由·=(--x0,-x0)·(-x0,-x0)=3-6=0,得x0=±,所以点P到x轴的距离为|x0|=2.9.(2018·南昌模拟)已知抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线y=k(x-1)与C1,C2依次相交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)四点(其中x1<x2<x3<x4),则|AB|·|CD|的值为( )A.1B.2C.D.k2【解析】选A.因为y2=4x,焦点F(1,0),准线l0:x=-1.由定义得:|AF|=x A+1,又因为|AF|=|AB|+1,所以|AB|=x A,同理:|CD|=x D,由题意可知直线l的斜率存在且不等于0,把直线l的方程y=k(x-1)代入抛物线方程,得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x A x D=1,则|AB|·|CD|=1.综上所述,|AB|·|CD|=1.10.已知椭圆+y2=1,F1,F2为其两焦点,P为椭圆上任一点.则|PF1|·|PF2|的最大值为( )A.6B.4C.2D.8【解析】选B.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4,|PF1|·|PF2|=mn≤=4(当且仅当m=n=2时,等号成立).11.已知P是双曲线-y2=1上任意一点,过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则·的值是( )A.-B.C.-D.不能确定【解析】选A.设点P(x0,y0),因为该双曲线的渐近线分别是-y=0,+y=0,所以可取|PA|=,|PB|=,又cos∠APB=-cos∠AOB=-cos 2∠AOx=-cos=-,所以·=||·||·cos∠APB=·=×=-.12.已知双曲线-y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线交于A,B两个不同的点,点M(2,2)是AB的中点,则△OAB(O为坐标原点)的面积是( )A.4B.3C.D.2【解析】选D.双曲线-y2=1中a=,b=1,c==2,右焦点为(2,0),则抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(2,0),即2=,解得p=4,即抛物线方程为y2=8x,联立直线y=kx+m得k2x2+(2km-8)x+m2=0,判别式Δ=(2km-8)2-4k2m2>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=,由点M(2,2)是AB的中点,得=4,2=2k+m,解得k=2,m=-2,满足判别式大于0,所以x1+x2=4,x1x2=1,弦长|AB|=·=×=2,点O到直线2x-y-2=0的距离d==,△OAB(O为坐标原点)的面积是d·|AB|=××2=2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2019·赣州模拟)以抛物线y2=8x的焦点为圆心且与直线kx-y+2=0相切的圆中,最大面积的圆方程为.【解析】因为抛物线y2=8x的焦点F(2,0),直线kx-y+2=0过定点A(0,2).所以以AF为半径的圆最大,|AF|==2,所以最大面积的圆方程为(x-2)2+y2=8.答案:(x-2)2+y2=814.(2018·渭南模拟)过抛物线 y2=4x 的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若A,B两点的横坐标之和为,则|AB|= .【解析】根据题意,设A的坐标为(x1,y1),B的坐标为(x2,y2),抛物线 y2=4x,其准线方程为x=-1,又由A,B在抛物线上,则|AF|=x1-(-1)=x1+1,|BF|=x2-(-1)=x2+1,|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=(x1+x2)+2=+2=.答案:15.(2018·咸阳模拟)已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0且a≠b)的两个焦点,P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.给出下面四个命题:①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上;②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上;③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上;④△PF1F2的内切圆必经过点(a,0).其中所有真命题的序号是.【解析】设△PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2切于点A,点B,与F1F2切于点M,则|PA|= |PB|,|F1A|=|F1M|,|F2B|=|F2M|,又点P在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,设点M的坐标为(x,0),则由|PF1|-|PF2|=2a,可得(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a,显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴.由以上分析易知,①④正确,②③错误. 答案:①④16.已知点A是抛物线y2=2px上的一点,F为其焦点,若以F为圆心,以|FA|为半径的圆交准线于B,C两点,且△FBC为正三角形,当△ABC的面积是时,则抛物线的方程为.【解析】由题意得|BC|=|AF|=p,因为△ABC的面积是,所以由抛物线的定义可得×p×p=,所以p=8,所以抛物线的方程为y2=16x.答案:y2=16x三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1).(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.【解析】(1)由已知,l2的斜率存在,k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,a=1.因为l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.又l1过点(-3,-1),所以-3a+4=0,即a=(矛盾),此种情况不存在,所以k2≠0,即k1,k2都存在且不为0.因为k2=1-a,k1=,l1⊥l2,所以k1k2=-1,即×(1-a)=-1.(*)又因为l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0.(**)由(*)(**)联立,解得a=2,b=2.(2)因为l2的斜率存在,l1∥l2,所以直线l1的斜率存在,k1=k2,即=1-a,①又坐标原点到这两条直线的距离相等,l1∥l2,所以l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b,②联立①②,解得或所以a=2,b=-2或a=,b=2.误区警示:(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.18.(12分)(2018·衡水模拟)已知焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)与圆心在坐标原点O,半径为r的☉O交于A,B两点,且A(2,m),|AF|=,其中p,r,m均为正实数.(1)求抛物线C及☉O的方程.(2)设点P为劣弧上任意一点,过P作☉O的切线交抛物线C于Q,R两点,过Q,R的直线l1,l2均与抛物线C相切,且两直线交于点M,求点M的轨迹方程. 【解题指南】(1)由已知,|AF|=2+=,p=1,将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标,由点点距得到半径;(2)设M(x,y),Q,R,P(x0,y0),由直线和曲线相切得到k=,l2:y=x+,同理l2:y=x+,联立两直线得,根据点(x0,y0)在圆上可消参得到轨迹.【解析】(1)由已知,|AF|=2+=,即p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x,将A(2,m)代入抛物线方程,解得m=2,所以A(2,2),r2=|OA|2=8,圆O的方程为x2+y2=8.(2)设M(x,y),Q,R,P(x0,y0),由题意设l1:y-y1=k,则由得ky2-2y+2y1-k=0,令Δ=(-2)2-4k(2y1-k)=0,解得k=,所以l1:y=x+,同理l2:y=x+.由解得因直线QR:x0x+y0y=8,x0∈[2,2],由得x0y2+2y0y-16=0,所以所以因为P(x0,y0)在圆上满足+=8,得-y2=1,x∈[-4,-2].19.(12分)(2018·昆明模拟)已知点A,B的坐标分别为(-,0),(,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-,点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程.(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,交y轴于R点,若=λ1,=λ2,证明:λ1+λ2为定值.【解析】(1)设点M(x,y),由已知·=-(x≠±),化简得曲线E的方程为+y2=1(x≠±).(2)设点P,Q,R的坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),R(0,y0).由=λ1得(x1,y1-y0)=λ1(1-x1,-y1),所以x1=,y1=,因为点P在曲线E上,所以+=1,化简得+4λ1+2-2=0,①同理,由=λ2得x2=,y2=,代入E的方程化简得+4λ2+2-2=0,②由①②可知λ1,λ2是方程x2+4x+2-2=0的两个实数根(Δ>0),所以λ1+λ2=-4,即λ1+λ2为定值.20.(12分)(2019·九江模拟)如图,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为,过点F且互相垂直的直线l1,l2与椭圆E相交于A,B,C,D四点,与y轴相交于M,N两点.(1)求椭圆E的标准方程.(2)当|MN|最小时,求四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为,所以c=1,=,a2=b2+c2,联立解得c=1,a=2,b2=3.所以椭圆E的标准方程为+=1.(2)由题意可知:直线l1,l2的斜率存在且不为0.设直线l1的方程为:x=ty+1(t≠0),令x=0,可得y=-,可得M.同理可得:N(0,t).|MN|==|t|+≥2.当且仅当t=±1时取等号.不妨取t=1,则直线l1的方程为x=y+1,设A(x1,y1),C(x2,y2).联立化为:7x2-8x-8=0,所以x1+x2=,x1x2=-.所以|AC|==·=,根据对称性可得:|BD|=|AC|=.所以四边形ABCD的面积S=|AC|·|BD|=×=.21.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A,左焦点为F1(-2,0),点B(2,)在椭圆C上,直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与y轴交于点M,N.(1)求椭圆C的方程.(2)以MN为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.【解析】(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆的左焦点为F1(-2,0), 所以a2-b2=4.因为点B(2,)在椭圆C上,所以+=1,解得a2=8,b2=4,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由已知得点A(-2,0),设P(x0,y0)(不妨设x0>0),则Q(-x0,-y0),由得x0=,y0=,所以直线AP的方程为y=(x+2),直线AQ的方程为y=(x+2),所以M,N,所以|MN|==.设MN的中点为E,则点E的坐标为,以MN为直径的圆的方程为x2+=,即x2+y2+y=4,令y=0得x=2或x=-2,即以MN为直径的圆经过两定点(-2,0),(2,0).22.(12分)(2018·沈阳模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=6,直线y=kx与椭圆交于A,B两点.(1)若△AF1F2的周长为16,求椭圆的标准方程.(2)若k=,且A,B,F1,F2四点共圆,求椭圆离心率e的值.(3)在(2)的条件下,设P(x0,y0)为椭圆上一点,且直线PA的斜率k1∈(-2,-1),试求直线PB的斜率k2的取值范围.【解析】(1)由已知c=3,又2a+2c=16,所以a=5.又a2=b2+c2,解得a2=25,b2=16.所以椭圆的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-a2b2=0,所以x1+x2=0,x1x2=,由AB,F1F2互相平分且共圆,易知,AF2⊥BF2, 因为=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),所以·=(x1-3)(x2-3)+y1y2=x1x2+9=0,即x1x2=-8,所以=-8,又b2+9=a2,解得a2=12(a2=6舍去),所以离心率e=.(3)由(2)的结论知,椭圆方程为+=1, 可设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),k1=,k2=,所以k1k2=,又==-,即k2=-,由-2<k1<-1知,<k2<.即直线PB的斜率k2的取值范围是.。
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周周测13解析几何综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l经过点M(2,1)，若点P(4,2)和Q(0，－4)到直线l 的距离相等，则直线l的方程为()A．3x－2y－4＝0B．x＝2或3x－2y－4＝0C．x＝2或x－2y＝0D．x＝2或3x－2y－8＝0答案：B解析：解法一当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，因为P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝32，则直线l的方程为3x－2y－4＝0，故选B.解法二由题意知，所求直线经过P(4,2)和Q(0，－4)的中点或过P(4,2)和Q(0，－4)的直线平行．当所求直线经过P(4,2)和Q(0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x＝2；当所求直线与过P(4,2)和Q(0，－4)的直线平行时，由k PQ＝－4－20－4＝32，得直线l的方程为y－1＝32(x－2)，即3x－2y－4＝0.2．[2019·大连模拟]直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦长为()A．6 B．3C．6 2 D．3 2答案：A解析：假设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦为AB.∵圆的半径r＝10，圆心到直线的距离d＝5(－3)2＋42＝1，∴弦长|AB|＝2×r2－d2＝210－1＝2×3＝6.故选A.3．[2019·河北衡水武邑中学月考]若直线l ：mx ＋ny －m －n ＝0(n ≠0)将圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝4的周长分为两部分，则直线l 的斜率为( )A ．0或32B ．0或43C ．－43 D.43答案：B解析：由题意知直线l 将圆分成的两部分中劣弧所对圆心角为2π3，又圆心为(3,2)，半径为2，则圆心到直线的距离为1，即|3m ＋2n －m －n |m 2＋n2＝1，解得m ＝0或m n ＝－43，所以直线l 的斜率为k ＝－m n ＝0或43，故选B.4．一个圆经过点(0,1)，(0，－1)和(2,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254 答案：C解析：由题意可得圆经过点(0,1)，(0，－1)和(2,0)，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1＝r 2，(2－a )2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.5．[2018·全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22 D.223答案：C解析：∵a2＝4＋22＝8，∴a＝22，∴e＝ca＝222＝22.6．[2019·长春监测]已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝() A．1 B．2C．4 D.12答案：A解析：如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.故选A.7．[2019·重庆二调]已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|＋|PM|的最小值是() A．6 B．5C．4 D．3答案：A解析：由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P 作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选A.8．[2019·海口模拟]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B. 2C.322 D ．2 2答案：C解析：由题意知x A >x B >0.设∠AFx ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则由点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ⇔cos θ＝13.又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，所以△AOB 的面积S ＝12×|OF |×|AB |×sin θ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322. 9．[2019·湖北四地七校联考]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过点F 1及虚轴的一个端点，且点F 2到直线l 的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( )A.1＋52B.3＋54C.1＋52D.3＋52答案：D解析：设虚轴的一个端点为B ，则S △F 1BF 2＝12×b ×2c ＝12×a ×b 2＋c 2，即b ×2c ＝a ×b 2＋c 2，(c 2－a 2)4c 2＝a 2(－a 2＋2c 2)，4e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋54或e 2＝3－54(舍去)，e ＝3＋52.故选D. 10．[2019·辽宁五校联考]一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB→＝2AG →，则(OA →－OB →)2－4OG→2的最大值为( ) A ．24 B ．16C ．8D ．－16答案：B解析：由AB →＝2AG →知G 是线段AB 的中点，∴OG →＝12(OA →＋OB→)，∴(OA →－OB →)2－4OG →2＝(OA →－OB →)2－(OA →＋OB →)2＝－4OA →·OB→.由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，∴－4OA →·OB →＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋x 21x 2216＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋22－4＝16－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋22≤16，即(OA →－OB →)2－4OG →2的最大值为16，故选B.11．[2019·安徽皖南八校联考]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.若在直线x ＝2a 上存在点P 使得线段PF 1的垂直平分线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 答案：B解析：∵直线x ＝2a 上存在点P 使线段PF 1的垂直平分线过点F 2，∴根据垂直平分线的性质以及直角三角形的性质可得，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ≥2a －c ，∴2a ≤3c ，∴e ≥23.又∵e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.故选B. 12．[2019·长沙模拟]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为( )A ．2B ．3 C. 3 D. 6答案：B解析：由题意知，e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝2⇒b 2＝3a 2，则双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x ，y )，则B (－m ，－n )，k 1·k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2x 2－m 2＝3.故选B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2019·湖南衡阳模拟]直线l 过点A (1,1)，且l 在y 轴上的截距的取值范围为(0,2)，则直线l 的斜率的取值范围为________．答案：(－1,1)解析：设直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，令x ＝0，可得y ＝1－k ，∵直线l 在y 轴上的截距的取值范围是(0,2)，∴0<1－k <2，∴－1<k <1.14．[2019·泰安调研]已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．答案：25π解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π. 15．双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到焦点(5,0)的距离是172，则点P 到另外一个焦点的距离是________．答案：332解析：点P 到点(5,0)的距离是172<5＋4，所以点P 只能在与焦点(5,0)同侧的一支上，设点P 到另外一个焦点的距离为d ，则d －172＝8，解得d ＝332. 16．[2019·辽宁联考]设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．答案：15解析：在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，c ＝3，所以焦点坐标分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋(2a －|PF 2|)＝10＋(|PM |－|PF 2|)．∵|PM |－|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号，∴当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM |－|PF 2|)max ＝(6－3)2＋(4－0)2＝5，此时得|PM |＋|PF 1|的最大值，为10＋5＝15.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)[2019·湖北宜城一中月考]△ABC 的一个顶点为A (2,3)，两条高所在直线方程为x －2y ＋3＝0和x ＋y －4＝0，求△ABC 三边所在直线的方程．解析：因为点A 不在两条直线上，所以不妨设直线x －2y ＋3＝0和x ＋y －4＝0是分别经过点B 和点C 的高线，∴由垂直关系可得AB 的斜率为1，AC 的斜率为－2.∵AB 和AC 都经过点A (2,3)，∴AB 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0，AC 的方程为y －3＝－2(x －2)，即2x ＋y －7＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即B (1,2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即C (3,1)，∴BC 的斜率为2－11－3＝－12，∴BC 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)求两圆公共弦长；(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程．解析：(1)两圆方程相减得x －2y ＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线方程．又圆C 1的圆心C 1(1，－5)到公共弦的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35，圆C 1的半径r 1＝50＝52，由d 2＋(L 2)2＝r 21(L 为公共弦长)，得L ＝2r 21－d 2＝25，即公共弦长为2 5.(2)直线C 1C 2的方程为2x ＋y ＋3＝0，直线C 1C 2与相交弦所在直线x －2y ＋4＝0的交点为(－2,1)，即为所求圆的圆心．又因为所求圆的半径为L 2＝5，所以以相交弦为直径的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5.19．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M .(1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程；(2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．解析：(1)∵抛物线C ：y 2＝2px (x >0)的焦点为F (1,0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，∴p ＝2，M (0,1)．若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为x ＝0，满足题意． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ， 得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 当k ＝0时，x ＝14.满足题意，方程为y ＝1.当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，解得k ＝1，方程为y ＝x ＋1.综上，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2＋4y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4.∴△OAB 的面积S ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12×1×16＋16＝2 2.20．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .解析：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0， 可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为kBM ＋kBN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).① 将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k＝－8＋8k ＝0.所以kBM ＋kBN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .21．(本小题满分12分)[2018·天津卷]设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意知，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ， 可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以，k 的值为－12.22．(本小题满分12分)[2019·河北衡水月考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且以两焦点为直径的圆的内接正方形的面积为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点D ，使直线AD 与BD 的斜率之和k AD ＋k BD 为定值？若存在，求出点D 坐标及该定值；若不存在，试说明理由．解析：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，2c sin π4＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝c 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋6＝0. 由Δ＝64k 2－24(1＋2k 2)＝16k 2－24>0，解得k <－62或k >62.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝61＋2k 2. 设存在点D (0，m )满足题意，则k AD ＝y 1－m x 1，k BD ＝y 2－m x 2， 所以k AD ＋k BD ＝y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)x 1x 2＝2kx 1x 2＋(2－m )(x 1＋x 2)x 1x 2＝6k －4k (2－m )3. 要使k AD ＋k BD 为定值，只需6k －4k (2－m )＝6k －8k ＋4mk ＝2(2m －1)k 与参数k 无关，故2m －1＝0，解得m ＝12.当m ＝12时，k AD ＋k BD ＝0. 综上所述，存在点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使得k AD ＋k BD 为定值，且定值为0.。