高数第十章线面积分习题和答案

第十章曲线积分曲面积分练习题

A 组

一.填空题

1. 设L 是 12

2=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰L

y

dy e 2

=

2.设⋂

MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分

⎰

⋂

+MN

xdy ydx =

3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则

⎰

++L

y x xdy ydx e )( =

4. 设L 是从)0,1(A 沿12

2

2

=+y x 至点2,0(B )的曲线段，

则

⎰

+L

y x y x dy ye dx xe 2

22 =

5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则

⎰+L

dx y x xy )(3

3 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰

+

+L bdy adx )( =

7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰

dy y x dx y x L

，则L 所围成的

平面区域D 的面积等于

8. 常数 k = 时， 曲线积分⎰

+L

dy x kxydx 2

与路径无关。

9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分

⎰⎰

∑

++ds z y x 222 =

10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分⎰

L

ds =

11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则

⎰-++L

dy y x dx y x )()(=

12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则

⎰

+L

dS y x 322)(=

13. 设为曲面2222a z y x =++， 则⎰⎰∑

dS z y x

222

=

二、选择题

1．设→

→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂

AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）

A ．若

⎰+L

Qdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有

y

P

x Q ∂∂≡

∂∂ B ．若⎰

⋅L

ds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，

使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=

C ．若在

D 内

y

P

x Q ∂∂≡

∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。 D ．若对D 内每一闭曲线C ，恒有

⎰

+C

Qdy Pdx ，则⎰+L

Qdy Pdx 与路径无关。

2．已知

2

)

()(y x ydy

dx ay x +++为某函数的全微分，又为与路径无关的曲线积分被积函数，则a 等于（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 3、设曲线积分

()dx x y dx xy

L

φ+⎰2

与路径无关，其中()x φ具有连续导数，且()00=φ，则

(

)

()

()dy x y dx xy φ+⎰1,10,02=（ ）

A ．3/8

B ．1/2

C ．3/4

D ．1

4．设S 是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分

⎰⎰S

yds 的值是（ ）

A ．0 ;

B ．

34

3

; C ． 34; D ．

5.设空间区域Ω由曲面2

22y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正的常数，记Ω的表面外侧为S ，Ω

的体积为V ，则

()dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x

S

++-⎰⎰12222

= （ ）

A ．0

B ．V

C ．2V

D ．3V 6. 已知曲线C ：122=+y x 逆时针方向一周，则

⎰

+-C

y x ydx

xdy 2

2=（ ）

A. 0；

B. π2；

C. π2-；

D. π

7. 已知∑为平面1=++z y x 在第一卦限内的下侧曲面，则⎰⎰∑

++dxdy z y x

)(22

=（ ）

A. ⎰

⎰

-+--+-x

dy y x y x dx 10

221

)1(； B. ⎰

⎰-+--+x

dy y x y x dx 10

2210

)1(

C.

⎰

⎰

-+--+x

dx y x y x dy 10

2

2

1

)1(； D. ⎰

⎰-++-x

dy z y x dx 10

2210

)(

8. 单连通区域G 内),(y x P ，),(y x Q 具有连续的一阶偏导数，则曲线积分⎰+L

Qdy Pdx 与路径无关的充

要条件是（ ） A 在G 内有一闭曲线

，使⎰=+γ0Qdy Pdx ； B 在G 内有恒有

x

y Q

y x P ∂∂∂=∂∂∂22 C. 在G 内有另一曲线C ，使

⎰⎰

+=+L

C

Qdy Pdx Qdy Pdx ；

D. 在G 内有恒有

y

P

x Q ∂∂=∂∂ 9. 设为平面14

32=++z

y x 在第一卦限内的部分，则

⎰⎰∑

+

+dS y x z )3

4

2(=（ ） A

⎰

⎰-)1(30

2

2

4x dy dx ； B.

⎰⎰⋅203

043

61dy dx ； C.⎰⎰⋅30204361dy dx ； D. ⎰⎰-)1(302023

614x dy dx 10. 设L ：122

22=+b

y a x ，则⎰+-L y x ydx xdy 2

2（ ） A. 与L 取向无关，与b a ,大小有关； B. 与L 取向无关，与b a ,大小无关； C. 与L 取向有关，与b a ,大小有关； D. 与L 取向有关，与b a ,大小无关； 三、计算题

1. 计算曲线积分⎰

++L

dy x y xdx )(2

，其中L 是圆周122=+y x 在第一象限中的部分，依逆时针方向。

2. 计算

⎰⎰∑

++dxdy ydzdx xdydz 2，其中∑是上半球面222y x a z --=

上侧

3. 设L 是由63232=++y xy x 所表示的正向椭圆，

计算 I = ⎰

+++L

dy

y xy dx y x )32()3(2

22