曲线积分与曲面积分习题答案
第九章--曲线积分与曲面积分习题解答(详解)
曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）I s=⎰，其中C是抛物线2y x=上点(0,0)O到(1,1)A之间的一段弧；解: 由于C由方程2y x=（01x≤≤）给出，因此1I s x x===⎰⎰⎰123211(14)1)1212x⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.（2）dCI x s=⎰，其中C是圆221x y+=中(0,1)A到B之间的一段劣弧；解:C AB=的参数方程为：cos,sinx yθθ==()42ππθ-≤≤，于是24cosIππθ-=⎰24cos1dππθθ-==⎰．（3）(1)dCx y s++⎰，其中C是顶点为(0,0),(1,0)O A及(0,1)B的三角形的边界；解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Cx y ds++⎰(1)OAx y ds=++⎰(1)ABx y ds+++⎰(1)BOx y ds+++⎰，由于OA:0y=，01x≤≤，于是ds dx===，故13(1)(01)2x y ds x dx++=++=⎰⎰OA，而:AB1y x=-,01x≤≤，于是ds==．xyoABC10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． 综上所述33(1)322Cx y ds -+=+=+⎰． （4）22Cx y ds +⎰，其中C 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1C 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ=．于是22201cos222Cx y ds d πθθ+=⋅=⎰⎰．（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示， 2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222A BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰（6）2ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨+=⎩. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而2221222a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为11cos ,22:, 02.11cos ,22x a a y z a x a a θθθπθ⎧=+⎪⎪⎪Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩由于d s θθθ==. 则332π2π2222 01ds sin d sin d 222y a θθθθΓ===⎰⎰2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ==，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．3 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。
曲线积分与曲面积分习题答案
第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green 公式及其应用1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1)⎰-Lydx x dy xy 22，其中L 为正向圆周922=+y x ； 解：由Green 公式，得2322223081()22LDxy dy x ydx x y dxdy d r dr ππθ-=+==⎰⎰⎰⎰⎰， 其中D 为229x y +≤。
(2)⎰-++Ly y dy y xe dx y e )2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界； 解：由Green 公式，得()(2)(1)1y y y y LDDe y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==⎰⎰⎰⎰⎰。
*(3)⎰+-Ldy xy ydx x 22，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ；解：连直线段AB ，使L 与BA 围成的区域为D ，由Green 公式，得6cos 2222223203cos 444620()01515353cos 334442264LDBAx ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d πθθπθπθθπ-+=+--+=-==⨯⨯⨯=⨯⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰*(4)⎰+-Lyx xdy ydx 22，其中L 为正向圆周4)1(22=++y x . 解：因为22222()x y P Q y x x y -∂∂==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠。
作足够小的圆周l :222x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得220L lydx xdyx y +-=+⎰，故22222222222sin cos 2Lllydx xdy ydx xdyydx xdyx y x y r r r d r πθθθπ---+=-=++--==-⎰⎰⎰⎰—2．计算下列对坐标的曲线积分：⎰+-Lx x ydy e dx y e sin 2)cos 21(，其中L 为曲线x y sin =上由点)0,(πA 到点)0,0(O 的一段弧； 解：(12cos ),2sin x xP e y Q e y =-=，2sin x P Qe y y x∂∂==∂∂， 故积分与路径无关，取)0,(πA 经x 轴到点)0,0(O 的一条路径， 从而 原式=(12cos )2sin 1x xx AOe y dx eydy e dx e ππ-+=-=-⎰⎰。
新1第十一章曲线积分与曲面积分习题答案
25第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1. 选择题：(1) 对弧长的曲线积分的计算公式⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαφϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要求 （C ） .（A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β(2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则⎰Lds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π122.计算下列对弧长的曲线积分： (1)⎰+Lds y x )(，其中L 为I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周222R y x =+；解：I ）111()()()()(1)13222LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y dsxdx y dy +=+++++=+++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰II ）22()(cos sin [sin cos ]2Lx y ds R t R t R t t R ππ+=+=-=⎰⎰(2)⎰Lyds ，其中L 为x y 22=上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧；解：2223/211[(1)]33Lyds y ===+=⎰⎰⎰26*(3) ⎰Γ+ds y x )(22，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ；)20(π≤≤t解：1/222222222220()(sin cos )2x y ds a a t a t b dta a πππΓ+=++==⎰⎰⎰*(4)⎰+L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+；解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则ds θ=。
222224sin 8Lrd d ππππππππθθθθθ====-=⎰⎰⎰⎰第二节 对坐标的曲线积分1．填空题(1) 对坐标的曲线积分的计算公式⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαφφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是[(,)cos (,)cos ]LP x y dx Q x y ds αβ+⎰ ，其中βα,为有向光滑曲线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角.2．选择题：(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ）（A ）无关， （B ）有关；(2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+-L dy y x Q dx y x P ),(),(，（B ）⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(.273．计算下列对坐标的曲线积分：(1)⎰+Ldx y x )(22，其中L 为从点)0,0(A 经上半圆周1)1(22=+-y x(0)y ≥到点)1,1(B 的一段弧；解：L的方程为221(1)y x =--，:01x →，则112222()[1(1)]21Lx y dx x x xdx +=+--==⎰⎰⎰ (2) ⎰-Lydx xdy ，其中L 为2x y =上从点)1,1(B 到点)1,1(-A 的一段弧；解：112211223Lxdy ydx x xdx x dx x dx ---=-==-⎰⎰⎰。
第十一章 曲线积分与曲面积分(整理解答)
第十一章 曲线积分与曲面积分一、 第一类、第二类曲线积分的计算，格林公式 11.6⎰Lxds =( )，其中L 是连接(1,0)及(0,1)的直线段A.21 B. 22 C. 22 D. 2 解：如图所示，L 所在直线方程参数为 1,,01y x x x x =-=≤≤，1102Lxds x x ===⎰⎰⎰所以，选B 。
11.9ds y xL)(22+⎰=( )，其中L 是圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t y t xA.π4B.2πC.π2D.π解：2222220()(cos sin )2Lx y ds t t dt πππ+=+==⎰⎰⎰所以，选C 。
11.14 下列为第一类曲线积分的是( )； A ．⎰Γs z y x f d ),,(，其中Γ为3R 中的光滑曲线 B ．⎰Γx z y x f d ),,(，其中Γ为3R 中的光滑曲线 C ．⎰Γy z y x f d ),,(，其中Γ为3R中的光滑曲线 D ．⎰Γz z y x f d ),,(，其中Γ为3R中的光滑曲线解：由第一类曲线积分的表示，选A 。
11.18 L 为曲线t y t x sin ,cos ==上0=t 到π=t 的一段弧，则=+⎰Ls y x d )( ( )；A. 1-B. 0C. 1D. 2解：()(cos sin )(cos sin )2Lx y ds t t t t dt ππ+=+=+=⎰⎰⎰所以，选D 。
11.21 L 为曲线212y x =上0x =到1x =的一段弧，则d Lx s =⎰ ( )； A．11)3 B ．C．21)3 D ．解：31121200011d (1)|1)33Lx s x x x ===+=⎰⎰⎰所以，选A 。
11.25 设L 是圆周222x y a +=在第一象限内的弧段,则Ls =⎰( ).(A)ae π； (B)2a π； (C)2a ae π； (D)2a e π.解：L 的参数方程为：cos ,sin ,02x a t y a t t π==≤≤，所以，202a Ls e ae ππ==⎰⎰所以，选C 。
南华大学第十一章 曲线积分与曲面积答案
的方向角. 二．选择题：
1．对坐标的曲线积分与曲线的方向（2） （1）无关， （2）有关； 2．若 P ( x, y ) ， Q( x, y ) 在有向光滑曲线 L 上连续，则（1） （1） （2）
∫ ∫
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy ，
2. 设光滑曲线 L 的弧长为 π ，则 6ds = （2）
L
∫
（1） π ， （2） 6π ， （3） 12π . 二.计算下列对弧长的曲线积分： 1． ( x + y ) ds ，其中 L 为
L
∫
(1) 以 O(0,0)，A(1,0), B(1,1) 为顶点的三角形的边界； (2) 上半圆周 x + y = R ；
L
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy =
2
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy .
L
2 2
三．计算下列对坐标的曲线积分： 1． ( x + y )dx ， 其中 L 为从点 A(0,0) 经上半圆周 ( x − 1) + y = 1 ( y > 0) 到点 B(1,1) 的
8 2 (1 − cos t ) 2 + 8 2 sin 2 t = 16 sin
设质心坐标为 ( x, y ) ，则
x=
1 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(t − sin t ) ⋅ 16 sin dt =
t 2
32 1 ，y= 3 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(1 − cos t ) ⋅ 16 sin dt =
曲线积分与曲面积分测试题解答
曲线积分与曲面积分测试题解答1．已知曲线弧:L 21(01)y x x =-££，计算Lxyds ò。
解：解： dx dx dy ds 21÷øöçèæ+=dx x x 2211÷÷øöççèæ--+=dx x 211-=， Lxyds ò2110==òxdx 。
注：计算曲线积分时，对圆弧宜用参数方程。
注：计算曲线积分时，对圆弧宜用参数方程。
2．设L 是曲线21,1x t y t =+=+上从点（1, 1）到点（2, 2）的一段弧，计算）的一段弧，计算2(2)LI ydx x dy =+-ò解：解： ò×-++=102]2)1()1(2[dt t t t I =3)22(10=+òdt t 。
3．计算ôõó-LLdx y dy x 33，L为圆周222x y x +=沿逆时针方向。
沿逆时针方向。
解：设x y x D 2:22£+，由格林公式得，由格林公式得ôõó-Ldx y dy x 33òò+=D dxdy y x )33(22òò-=q pp q cos 203223dr r dò-=224cos 12p p q q d ò=204cos 24pq q d p p 292214324=×××=。
4．计算(sin 2)(cos 2)xxLey y dx e y dy -+-ò，其中L 为上半圆周22y ax x =-沿逆时针方向。
针方向。
解：记1L 为0=y 上从a x 2=到0=x 的有向线段，220:x ax y D -££， 由格林公式得由格林公式得 ò+-+-1)2c o s ()2s i n (L L xx dy y e dx y y e òò=Ddy 22a p =，又ò=-+-10)2cos ()2sin (L x x dy y e dx y y e ，所以所以 (sin 2)(cos 2)xxLe y y dx e y dy -+-ò=2a p 。
高等数学曲线积分与曲面积分试卷及答案解析
一、选择题1. 设有曲线222:r y x C =+，0≥y ，其中0>r 为常数，则对弧长的曲线积分()⎰+Cds y x22的值为（ ）A. 2r π； B. 3r π； C. 4r π； D. 32r π.2. 简单闭曲线L 所围成的区域的面积为S ，L 取逆时针方向，则S 为 （ ） A.⎰-L ydy xdx 21； B. ⎰-L xdx ydy 21； C. ⎰-L xdy ydx 21； D. ⎰-Lydx xdy 21. 3. 设平面曲线C 是从点)1,1(到点)3,2(的直线段，则对坐标的曲线积分()⎰=-+Cdy x y xdx 2（ ）A. 4-；B. 4；C. 2；D. 6.4. 设有平面闭区域},|),{(a y x a x a y x D ≤≤≤≤-=，},0|),{(1a y x a x y x D ≤≤≤≤=，则 =+⎰⎰dxdy y x xy D)sin cos (（ ） A. ydxdy x D sin cos 21⎰⎰； B. xydxdy D 12⎰⎰； C. ydxdy x D sin cos 41⎰⎰；D. 0.5. 设封闭曲线L 由直线0=x ，0=y ，2=x 4=y 所围成，取逆时针方向，则曲线积分()⎰=-+-Ldy xy y dx xy x 2)2(22 （ ）A. 3816+-； B. 31616--； C. 32-； D. 16-. 6. 若L 为由点)0,0(O 到点(,0)B π的曲线弧sin ,y x =则L=ydx xdy +⎰（ ）A. 4ab π；B. 0；C. 3ab π； D. ab π.二、判断题1. 设开区域是D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则在D内xQ y P ∂∂=∂∂的充要条件是曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在D 内与路径相关. （ ）2. 在D 上，1),(=y x f ，S 为D 的面积，则S d y x f D=⎰⎰σ),(. （ ）3. 格林公式是斯托克斯公式的推广.（ ）《 高等数学 》 曲线积分与曲面积分测试题14. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分⎰⎰⎰⎰=∑xyD d y x f dS z y x f σ)0,,(),,(.（ ）5. 第一类曲线积分只与曲线的起点和终点有关.（ ）6. 曲线积分cydx xdy -⎰与路径无关。
曲线积分与曲面积分习题答案.pdf
解： Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0} ， z 1 x y ， dS 3dxdy
原式 = (2 x y 2(1 x y)) 3dxdy
D xy
13 3(
x
1 x2)dx
53
02
2
6
1
1x
3 dx (2 y) dy
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
(1) x 2 y3dx dy zdz ， 为 xOy 面内圆周 x2 y 2 a 2 逆时针方向；
解：取 为平面 z 0的下侧被 围成的部分， D 为 在 xOy 面上的投影
区域。 由 Stokes 公式，得
dydz dzdx dxdy
原式 =
x
y
z
x2 y3 1
x 2 ydx xy2 dy ，其中 L 为 x2 y 2 6x 的上半圆周从点 A(6,0)
L
到点 O (0,0) 及 x 2 y 2 3x 的上半圆周从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧
AOB；
uuur 解：连直线段 AB，使 L 与 BA 围成的区域为 D，由 Green 公式，得
第十一章 曲线积分与曲面积分
第三节 Green 公式及其应用
1．利用 Green 公式，计算下列曲线积分：
(1) xy 2dy x2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2 y 2 9 ；
L
解：由 Green 公式，得
?xy2dy x2 ydx
L
(x2
y2 )dxdy
2
2d
0
D
3 r 3dr
第九章_曲线积分与曲面积分习题解答(详细讲解)
曲线积分与曲面积分习题详解1计算下列对弧长的曲线积分： (1)/ = J c 7ydy. 是抛物线y = x 2±.点0(0,0)到 A(l,l)之间的一段弧:解:由于C 由方程y = x 2 (0<x<l )给出，因此/ =+=卜』+ 4耳」1>心2［詁(5俣］)•解：C = AB 的参数方程为:其中C 是圆X + y 2 = 1中A(0J)到“5"0-討誇),于是[\ cos & J(-sin &)，+ cos ，(3) 切.Cr + y + l)d.其中C 是顶点为0(0,0)/(1・0)及B(0J)的三角形的边界:解：厶是分段光滑的闭曲线，如图9一2所示，根据积分的可加性, 则有(^(x + y + \)c/s=L (x + y + \)ds + J# (x + y + \)cls +1。
(x + y + V)ds ,由于 OA: y = 0 0<x< 1,于是ds = J(—)2+(—)2dx = W+0认=dx , V dxdxL (x + y + l)tZy = £(x + 0 + \)dx =寸，而AB: y = l-x, OSSI,于是 + (-厅dx = dlx ・之间的一段劣弧;ds =[^(x + y + l)cls= [ [x + (\-x) + \]y/2dx = 2y/2 »同理可知BO：x = 0(0<y<l), ds = 1(—)2 + (—)2 Jv = Vo2 + l2c/y = Jv > 则Y ay dyL(x+y + l)〃$= (JO+y + lk/y = [・综上所述df r(x-y + l)J5 = - + 2V2 + - = 3 + 2>/2 ・( 2 2(4)y/x2 + y2ds ,其中C 为圆周x2 + y2 = x :解直接化为左积分.C』勺参数方程为JC =1+J>COS&, y = -sin& ( Q<0<2TT ),2 2 - 2且ds =加⑹ F +[y(e)F〃e=”& •于是(5)[r x\yzds,英中T为折线段ABCD.这里A,3・C\D的坐标依次为(0,0.0), (0,0,2), (1,0,2), (1,2,3)：解如图所示，^x2yzcls = \_x2yzds+ \_x2yzJs+ [_・线段殛的参数方程为x = 0,.y = 0,z = 2r(0<r<l),则T份+%+(少= V0:+02 +22Jr = 2r/r,= J 0 • 0 • 2/ • 2clt = 0线段BC 的参数方程为x = /,y = 0,z = 2(0<r<l),则ds = jF+O'+oTud?,故f _Fyzd$ = f ・0・2d/ = 0, J RC - J o线段丽的参数方程为x = l,y = 2/,z = 2 + r (0<r<l),则 ds = Jo, +2, + Fdf = yj5dt , 故J-x 2yzds = f 'l 2-2t (2 + t)-甌=2x/5j ；⑵ +12= |点所以L 疋 gds = |*_x 2 yzcls + [—yzds + J 而yzjds = ->j5 .2 2 2 2(6)f rds,其中「为空间曲线广+ G/>o ).JrX + z =",»解：F 在x,y 平而的投影为：x 2+y 2+(a-x)2=a 2 ,即 2x 2 + y 2-2t/x = 0 ,从而利用椭圆的苓奴方程得F 的参数二x = —a + — acos 0. 2 22设一段曲线y = lnx (0<a<x<b)上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的 平方，求其质量.解 依题意曲线的线密度为p = x 2,故所求质疑为M=\(X 2ds,英中0 <(9 < 2^.由于则ds = y]x ,2 + y t2 +z t2d0 =d&.sin 2 ede = ^=.2V2/ c 2nC ：y = \nx (Q<a<x<b)・则C 的参数方程为片=片(0 < < x < b) > y = In x所以M = £—V1 + A -\Z Y = [*(1 + d = *[(1 +戻)；一(1 + “2)訂3求八分之一球面x 2 + r + z 2=l(x>0,y>0.z>0)的边界曲线的重心，设曲线的密 度 ° =解 设曲线在xOy^yOz^Ox 坐标平而的弧段分别为厶、L 「厶，曲线的重心坐标为2「xdx _ 2 _ 4 =A/JoTf-x 2=A/=3^'故所求重心坐标为［二.二、学.\37T 3龙 3〃 丿4. 径为川 中心角为加的圆弧C 对于它的对称轴的转动惯応/ (设线密度解：如右图建立坐标系，则I = J c y 2^ •为了便于计算，利用c 的参数方程C ：x = Rcost,y = Rsint (-a <t <a).于是I = Jc y 2(^s =「R‘ sin 2 tyj(-Rsinty +(/?cos/)2dr =R 、[a sin 2 tdt = /?'(a-sintzcostz).J-ajv=HS Jv=(订习lx — — \l\ + x 2dx , X由对称性可得重心坐标则曲线的质量为出=j ds诂卩严+o+J 严卜為严习题9・21设L为xOy直线y = b (b为常数),证明J g, y)dy=o。
第十一章 曲线积分与曲面积分(题库)答案
解： P x, y y e x , Q x, y 3 x e y ，
P Q 1, 3 y x
dxdy 2dxdy 2 ab y e dx 3x e dy = x y
x y C
Q
P
D
D
29.(11-3)计算曲线积分
2 xy 2 y dx x
L
2
4 x dy ，其中 L 取正向的圆周 x 2 y 2 9 .
解：设 P 2 xy 2 y, Q
x2 4x ，
Q P 2x 4 2 x 2, x y
2
B. 6S
C. 12S
D.
24S
L
x 上自点 A 1,1 到点 B 1, 1 之间的一段弧，则 I yds （
C. 1
2 2
D. 1
设 C 为沿 x y R 逆时针方向一周的闭合曲线，则曲线积分
2 2 I x ydx xy dy 应用格林公式计算得（ A ） C
2
0 x 2 ，计算
2
L
x 1 x ds .
解：直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得
L
xds
2
0
x 1 y2 dx
0
x 1 4 x 2 dx
1 1 2 2 2 1 4 x d 1 4 x 2 8 0 3 1 2 2 2 1 4 x 8 3 2 0
L
x 2 ds
2 . 3
2.
7. (11-1)设 L 为连接 (1,0) 及 (0,1) 两点的直线段,则 8. (11-1)计算曲线积分
第10章曲线积分和曲面积分参考解答
第10章曲线积分和曲⾯积分参考解答1l ()()213122001211418312l xds x ==?+= ()1211212Ll l xds xdsxds =+=+??蜒? （2）()22234Lxy x y ds ++??，L 为椭圆22143x y +=，其周长为a 。
解：()()22222342341212LLy ds xyds x y ds ds a ++=++==蜒蜒注意第⼀类曲线积分的对称性：若曲线关于x （y ）轴对称，⽽被积函数关于y （x ）为奇函数，则曲线积分为零！（3）L，L 为圆周22x y ax +=（0a >）。
解：圆周之参数⽅程为cos 22sin 2a a x t a y t ?=+=??（02t π≤≤），故22200cos22La tdtππ==2222002cos cos cos2a u du a udu udu aππππ（4）Lzds，L为()0 cossin0x t ty t t t tz t==≤≤=解：()322123tLzds t==+-Lx ds，L圆周为2222x y z ax y z++=++=解：因222L L Lx ds y ds z ds==蜒?，故()222223112333L L Lx ds x y z ds a ds aπ=++==蜒?2、计算下列对坐标的曲线积分：（1）()()2222Lx y dx x y dy++-1,1再到点()2,0的⼆线段。
x解：()1:01L y x x=≤≤，()2:212L y x x=-≤≤()()2222LI x y dx x y dy=++-()()()()1222222222L Lx y dx x y dy x y dx x y dy =++-+++-()()()()1222222=++----()122201222x dx x dx =+-??43=（作代换2t x =-，知第⼆个定积分与第⼀个相等）（2）23Lydx xzdy yz dz -+??，L 是圆周2222x y zz ?+=?=?，从z 轴正向看去，该圆周取逆时针⽅向。
(完整版)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
1若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。）
解：
。
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
解：0.
3求向量场 的散度。
解 v 。
4求向量场A i j k（ 为常数）沿有向闭曲线 （从 轴的正向看 依逆时针方向）的环流量。
解： 。
第十章曲线积分与曲面积分习题简答
1计算下列对弧长的曲线积分：
（1） ，其中 是圆 中 到 之间的一段劣弧；
解: ．
（2） ，其中 是顶点为 及 所成三角形的边界；
解: ．
（3） ，其中 为圆周 ；
解: ．
（4） ，其中 为折线段 ，这里 ，
；
解: ．
2求八分之一球面 的边界曲线的重心，设曲线的密度 。
解 。
（5） ，其中 为从点 到点 的直线段 ；
解 。
（6） ， 为椭圆周 且从 轴正方向看去， 取顺时针方向。
解: 。
1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
(1)星形线 ( )；）
解: 。
(2)圆 ，（ ）；
解: 。
2利用格林公式计算下列曲线积分:
(1) ，其中 是圆 ，方向是逆时针方向；
。
2计算曲面积分 ，其中 是
（1）锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面；
解 。
（2） 面上的直线段 绕 轴旋转一周所得到的旋转曲面。
解 。
3计算下列曲面积分:
(1) ，其中 是抛物面在 面上方的部分： , ；
解： .
(2) ，其中 是上半球面 , ；
解： .
（3） ，其中 为平面 在第一卦限的部分；
4曲线积分与曲面积分答案
曲线积分与曲面积分考试要求：1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2. 掌握计算两类曲线积分的方法。
3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。
5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。
6． 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。
复习重点:1、两类曲线积分的计算方法；2、格林公式及其应用；3、两类曲面积分的计算方法；4、高斯公式、斯托克斯公式；5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。
复习题： 1．计算ds y L⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧.解 曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此⎰⎰'+=10222)(1dx x x ds y L⎰+=10241dx x x )155(121-=.2.计算曲线积分ds z y x )(222++⎰Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解 在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=, 于是ds z y x)(222++⎰Γ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=. 3.计算⎰Lxydx , 其中L 为抛物线y 2=x 上从点A (1, -1)到点B (1, 1)的一段弧.解法一: 以x 为参数. L 分为AO 和OB 两部分:AO 的方程为x y -=, x 从1变到0; OB 的方程为x y =, x 从0变到1. 因此⎰⎰⎰+=OB AO L xydx xydx xydx542)(102311==+-=⎰⎰⎰dx x dx x x dx x x .第二种方法: 以y 为积分变量. L 的方程为x =y 2, y 从-1变到1. 因此 ⎰⎰-'=1122)(dy y y y xydx L 542114==⎰-dy y . 4. 计算⎰L dx y 2.(1)L 为按逆时针方向绕行的上半圆周x 2+y 2=a 2 ; (2)从点A (a , 0)沿x 轴到点B (-a , 0)的直线段. 解 (1)L 的参数方程为 x =a cos θ, y =a sin θ,θ从0变到π.因此⎰⎰-=πθθθ0222)sin (sin d a adx y L ⎰-=πθθ023cos )cos 1(d a334a -=.(2)L 的方程为y =0, x 从a 变到-a . 因此 002==⎰⎰-a aL dx dx y .5.计算⎰+L dy x xydx 22. (1)抛物线y =x 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧; (2)抛物线x =y 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧; (3)从O (0, 0)到A (1, 0), 再到R (1, 1)的有向折线OAB . 解 (1)L : y =x 2, x 从0变到1. 所以⎰⎰⋅+⋅=+1222)22(2dx x x x x dy x xydx L 1413==⎰dx x .(2)L : x =y 2, y 从0变到1. 所以⎰⎰+⋅⋅=+10422)22(2dy y y y y dy x xydx L1514==⎰dy y .(3)OA : y =0, x 从0变到1; AB : x =1, y 从0变到1.⎰+Ldy x xydx 22⎰⎰+++=ABOAdy x xydx dy x xydx 2222⎰⎰+⋅+⋅+⋅=112)102()002(dy y dx x x =0+1=1.6. 计算ydz x dy zy dx x 2233-+⎰Γ, 其中Γ是从点A (3, 2, 1)到点B (0, 0, 0)的直线段AB .解: 直线AB 的参数方程为 x =3t , y =2t , x =t , t 从1变到0. 所以 所以 dt t t t t t I ⎰⋅-⋅+⋅=1223]2)3(2)2(33)3[(48787013-==⎰dt t . 7.设L 是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明⎰=+L dy x xydx 022.证: 令P =2xy , Q =x 2, 则022=-=∂∂-∂∂x x yPx Q . 因此, 由格林公式有0022=±=+⎰⎰⎰dxdy dy x xydx DL . (为什么二重积分前有“±”号？ )8. 计算⎰⎰-Dy dxdy e 2, 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形闭区域.分析: 要使2y e yP x Q -=∂∂-∂∂, 只需P =0, 2y xe Q -=. 解: 令P =0, 2y xe Q -=, 则2y e yP x Q -=∂∂-∂∂. 因此, 由格林公式有 ⎰⎰⎰++--=BOAB OA y Dy dy xe dxdy e 22)1(2111022----===⎰⎰e dx xe dy xe x OAy . 9.计算⎰+L dy x xydx 22, 其中L 为抛物线y =x 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧.解: 因为xxQ y P 2=∂∂=∂∂在整个xOy 面内都成立,所以在整个xOy 面内, 积分⎰+L dy x xydx 22与路径无关.⎰⎰⎰+++=+AB OA L dy x xydx dy x xydx dy x xydx 2222221112==⎰dy .10.验证: 在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解 这里P =xy 2, Q =x 2y .因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 且有yP xy x Q∂∂==∂∂2, 所以在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分.取积分路线为从O (0, 0)到A (x , 0)再到B (x , y )的折线, 则所求函数为 ⎰+=),()0 ,0(22),(y x ydy x dx xy y x u 20220202y x ydy xydy xyy==+=⎰⎰.11.计算曲面积分⎰⎰∑dS z1, 其中∑是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面 z =h (0<h <a )截出的顶部.解 ∑的方程为222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2. 因为 222y x a x z x ---=, 222yx a y z y ---=,dxdy yx a a dxdy z z dS y x 222221--=++=,所以⎰⎰⎰⎰--=∑xyD dxdy y x a adS z 2221⎰⎰--=πθ202222h a r a rdr d a 22022)]ln(21[2h a r a a ---=πh a a ln 2π=.提示: 222222222222211yx a a y x a y y x a x z z yx --=--+--+=++.12.计算⎰⎰∑xyzdS , 其中∑是由平面x =0, y =0, z =0及x +y +z =1所围成的四面体的整个边界曲面.解 整个边界曲面∑在平面x =0、y =0、z =0及x +y +z =1上的部分依次记为∑1、∑2、∑3及∑4, 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑+++=4321xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS⎰⎰∑+++=4000xyzdS ⎰⎰--=xyD dxdy y x xy )1(3⎰⎰---=110)1(3xdy y x y xdx ⎰-⋅=1036)1(3dx x x 1203=. 提示: ∑4: z =1-x -y ,d x d y d x d y z z dS y x 3122='+'+=. 13.计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x 222++⎰⎰∑, 其中∑是长方体Ω的整个表面的外侧,Ω=((x , y , z ) |0≤x ≤a , 0≤y ≤b , 0≤z ≤c ).解: 把Ω的上下面分别记为∑1和∑2; 前后面分别记为∑3和∑4; 左右面分别记为∑5和∑6.∑1: z =c (0≤x ≤a , 0≤y ≤b )的上侧; ∑2: z =0 (0≤x ≤a , 0≤y ≤b )的下侧; ∑3: x =a (0≤y ≤b , 0≤z ≤c )的前侧; ∑4: x =0 (0≤y ≤b , 0≤z ≤c )的后侧; ∑5: y =0 (0≤x ≤a , 0≤z ≤c )的左侧. ∑6: y =b (0≤x ≤a , 0≤z ≤c )的右侧;除∑3、∑4外, 其余四片曲面在yO z 面上的投影为零, 因此dydz dydz a dyd x dydz y dydz x yzyz D D 0222243⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+=∑∑∑=a 2bc . 类似地可得ac b dzdx y 22=⎰⎰∑, ab c dxdy z 22=⎰⎰∑.于是所求曲面积分为(a +b +c )abc . 14.计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy, 其中∑是球面x 2+y 2+z 2=1外侧在x ≥0, y ≥0的部分.解 把有向曲面∑分成以下两部分:1∑: 221y x z --=(x ≥0, y ≥0)的上侧, 2∑: 221y x z ---=(x ≥0, y ≥0)的下侧.∑1和∑2在xOy 面上的投影区域都是D xy : x 2+y 2≤1(x ≥0, y ≥0). 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy⎰⎰⎰⎰------=xyxyD D dxdy y x xy dxdy y x xy )1(12222⎰⎰--=xyDdxdy y x xy 2212⎰⎰-=2010221cos sin 2πθθθrdr r r d 152=. 15.利用高斯公式计算曲面积分xdydz z y dxdy y x )()(-+-⎰⎰∑, 其中∑为柱面x 2+y 2=1及平面z =0, z =3所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 解 这里P =(y -z )x , Q =0, R =x -y ,z y x P -=∂∂, 0=∂∂y Q , 0=∂∂zR .由高斯公式, 有dydz z y dxdy y x )()(-+-⎰⎰∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=-=dz d d z dxdydz z y θρρθρ)sin ()(29)sin (201030πθρρρθπ-=-=⎰⎰⎰dz z d d .。
曲线曲面积分(单元练习题)答案
曲线积分与曲面积分单元练习题一、填空题：1设L为x'+y2=1上点（1,0）到（_1,0）的上半弧段，贝U ]2ds = 2兀;x = 2 cost2.f_ ds = —兀2,其中C是曲线《y = 2sint介于t = 0到t =兀一段；C X + y 8--------- z = t3.L为逆时针方向的圆周：（x -2）2• （y • 3）2=4 ,贝y J ydx_ xdy= _8兀；L4.设C是由x轴、y轴与直线x + y =1围成的区域的正向边界，贝U :，ydx_ xdy =C5.第一类曲面积分dS^的面积；6.设曲面为：x2y2z^a2,则11 （x2y2z2）dS 二4 a4；Z7•设 3 ：x2y2z2= a2.则■j'：i z2dS = - ~ a4；i J—&格林（Green）公式指出了下列两类积分：「平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系。
高斯（Gauss）公式指出了下列两类积分：空间上的第二类曲面积分与三重积分—之间关系。
二、计算题：1.计算.yds,其中L是抛物线y =x2上自点（0, 0）到（1, 1）的一段弧。
L1 2 1 2 于 1 5 5「1解x 1 4 x dx （1 4x ）2|0=012 122.计算.xyds,其中L为从（0, 0）到（2, 0）的上半圆弧：x2• y2二2x（ y 一0）。
L解jxyds= （（1 +cost）sintdt = 2L 33 .已知平面曲线弧段L是圆x2y^4上从点2,0到0,2的有向弧段，试计算I = L xydx解 I 22cost2sintd 2cost = -8 ^costsin 2tdt =4•计算|二j (x 2 2xy)dx (x 2 y 4)dy ,其中L 为由点0(0,0)到点A(1,1)的曲线JIy = sin — x .2I = j (x 22xy)dx (x 2y 4)dy1 1 二 0x 2dx0(1 y4)dy解法二：根据第二类曲线积分计算。
曲线与曲面积分习题参考答案
十 曲线积分与曲面积分习题(一) 对弧长的曲线积分1. 计算ds y x L⎰+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t .解32032222202222222cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x Lπππ==++=+⎰⎰⎰.2. 计算ds x L⎰，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.解 )12655(1214121210-+=++=⎰⎰⎰dx x x dx x ds x L. 3．计算⎰Lyds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧.解⎰L y d s ＝dy y y dy y y ⎰⎰+=+202202421)2(1 )122(34)4(4412202-=++=⎰y d y . 4．计算⎰+Lds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段.解⎰+L ds y x )(＝23211)(10=++⎰x x . 5．计算⎰L xyzds ，其中L 是曲线2321,232,t z t y t x ===)10(≤≤t 的一段. 解 ⎰Lx y z d s ＝⎰⎰+=++13102223)1(232)2(121232dt t t t dt t t t t t ＝143216.6．计算L⎰ ，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界.解L⎰ ＝⎰1L ＋⎰2L ＋⎰3L＝dx e dt t a t a edx eax aa x⎰⎰⎰+++++024022222201)sin ()cos (11π＝(2)14ae a π+-7．设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点(),x y 处它的线密度为(),x y μ,试用对弧长的曲线积分分别表达(1)这条曲线弧对x 轴,y 轴的转动惯量,x y I I ； (2) 这条曲线弧的质心坐标,x y . 解 （1）⎰=Lx dS yI 2μ ⎰=Ly dS x I 2μ（2）⎰⎰=L L dSy x dS y x x x ),(),(μμ ⎰⎰=LL dSy x dS y x y y ),(),(μμ (二) 对坐标的曲线积分1．计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧. 解⎰+Lx d y y d x ＝0]cos cos )sin (sin [20=+-⎰dt t tR R t R t R π2．计算⎰+Lydx xdy ，其中L 分别为（1）沿抛物线22x y =从)0,0(O 到)2,1(B 的一段； （2）沿从)0,0(O 到)2,1(B 的直线段.； （3）沿封闭曲线OABO ，其中)0,1(A ,)2,1(B .解 （1）⎰=+=122)24(dx x x x I .（2）2)22(1=+=⎰dx x x I .（3）⎰+Lydx xdy ＝⎰⎰⎰++BOABOA＝210(22)0dy x x dx +++=⎰⎰.3．计算⎰-+++Ldz y x zdy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.解 直线方程为312111-=-=-z y x ，其参数方程为13,12,1+=+=+=t z t y t x ，t 从0变到1.13])13(3)12(2)1[(1=+++++=⎰dt t t t I .4．计算2()Lxydx x y dy x dz +-+⎰，其中L 是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 从0=t 到π=t 上的一段.解 dt t b a t a t a t a t a t a t a I ⎰+-+-∙=π22]cos cos )sin cos ()sin (sin cos [)(222b a a +=π.5．设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧.把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化成对弧长的曲线积分.解 由于)3,2,1()3,2,1(),,(2y x t t dt dz dt dy dt dx ==，故229411c o s y x ++=α，229412cos yx x ++=β，229413cos yx y ++=γ.(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R dS αβγΓΓ++=++⎰⎰＝dS yx yR xQ P ⎰Γ++++2294132.(三) 格林公式及应用1．计算⎰-L ydy x dx xy 22，其中L 为圆周222a y x =+，取逆时针方向. 解⎰-Lydy x dx xy22＝0)22(=--⎰⎰Ddxdy xy xy2．计算⎰+--Ldy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1( 的一段弧.解 y x P -=2,)sin (2y x Q +-= ()122017sin sin 246I x x x x dx =---=-⎰ 3. 计算(1)()xxL ye dx x e dy +++⎰，其中L 为椭圆22221x y a b +=的上半周由点(,0)A a 到(,0)B a -的弧段.解 x ye P +=1,x e x Q +=⎰⎰-=+11L L L I ＝2aD adxdy dx ab a π--=-⎰⎰⎰4. 计算3222(2cos )(12sin 3)Lxy y x dx y x x y dy -+-+⎰,其中L 为在抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧． 解 322cos P xy y x =-，2212sin 3Q y x x y =-+ ⎰⎰⎰--=+211L L L L I ＝0)4321(00122-+--⎰⎰⎰y y dxdy D π＝42π5. 计算⎰+-L y x xdy ydx )(222，其中L 为圆周2)1(22=+-y x ，L 的方向为逆时针方向. 解 )(222y x y P +=，)(222y x x Q +-=，当022≠+y x 时， yPy x y x x Q ∂∂=+-=∂∂)(22222 L 所围区域为D ，由于D ∈)0,0(，故不能直接用格林公式.选适当小的0>r ，作位于D 内的小圆周222:r y x l =+.记L 与l 所围区域为1D ，在1D 上应用格林公式，得⎰+-L y x xdyydx )(222－⎰+-l y x xdy ydx )(222＝0其中l 取逆时针方向.所以⎰+-L y x xdyydx )(222＝⎰+-l y x xdy ydx )(222＝πθθπ=--⎰20222222cos sin r r r . 6. 计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==，)20(π≤≤t 所围成区域的面积.解 ⎰-=L ydx xdy A 21＝2024224283)cos sin 3sin cos 3(a dt t t a t t a ππ=+⎰7. 证明曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内与路径无关，并计算积分值.解 （1）42y xy P -=，324xy x Q -=xQy x y P ∂∂=-=∂∂342在整个xoy 面上成立 故曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内与路径无关.（2）⎰⎰+=21L L I ＝8．验证dy x xydx 22+在整个xoy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求这样的一个),(y x u .解 （1）验证略；（2）y x dy x y x u yABOA2020),(=+=+=⎰⎰⎰9．试用曲线积分求dy y x dx y x )cos ()sin 2(++的原函数. 解 y x P sin 2+=，y x Q cos =，xQ y y P ∂∂==∂∂cos 在整个xoy 面上成立 所以 ⎰++=),()0,0()cos ()sin 2(),(y x dy y x dx y x y x u=y x x ydy x xdx yxsin cos 220+=+⎰⎰+C.(四) 对面积的曲面积分1．计算⎰⎰∑+dS y x)(22，其中∑是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解⎰⎰∑+dS y x)(22＝⎰⎰⎰⎰∑∑+21＝⎰⎰⎰⎰+++++xyxyD D y x dxdy y x dxdy z z y x )(1)(222222 ⎰⎰++=xyD dxdy y x )()12(22＝π212+. 2. 计算⎰⎰∑++dS zy x )223(，其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限的部分.解 d x d y y x y x I xyD ⎰⎰-+-+--++=22)34()2(1))321(223(， ＝⎰⎰⎰⎰-+=+x D dy y dx dxdy y xy 23302)265(361)265(361 ＝614)42741549(361202=+-⎰dx x x . （x y x D xy 2330,20:-<<<<） 3．计算⎰⎰∑dS z 2，其中∑为球面2222a z y x =++. 解⎰⎰∑dS z 2＝⎰⎰⎰⎰--=++--xyxyD D y x dxdy y x a a dxdy z z y x a2222222221)(2＝42022342a d a d a aπρρρθπ=-⎰⎰4．计算⎰⎰∑++dS z y x )(，∑是球面0,222≥=++z a z y x .有问题 解 ⎰⎰----++=xyD dxdy y x a y x a y x I 222222)(＝⎰⎰⎰⎰--+--+xyxyD D dxdy y x a dxdy y x a y x )()(222222 ＝πρρρθπ2)(002220=-+⎰⎰ad a d 5．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=. 解 ⎰⎰∑=zdS M ＝dxdy y x y x xyD 22221)(21+++⎰⎰＝2012d d πρ⎰(五) 对坐标的曲面积分1．计算⎰⎰∑zdxdy y x22，其中∑是球面2222R z y x =++的下半部分的下侧.解⎰⎰∑zdxdy y x22＝dxdy y x R y x xyD ⎰⎰--2222＝24220cos sin Rd πθρθρ⎰⎰ ＝72105R π2．计算⎰⎰∑++yzdzdx xydydzxzdxdy ，其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解 4321∑+∑+∑+∑=∑0321===⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⎰⎰⎰⎰--=++∑xyD dxdy y x x yzdzdx xydydz xzdxdy )1(34＝dy xy x x dx x⎰⎰---10102)(3＝85. 3．计算⎰⎰∑++=dxdy z h dxdz y g dydz x f I )()()(，其中h g f ,,为已知连续函数，∑为平行六面体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:表面的外侧. 解 654321∑+∑+∑+∑+∑+∑=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-==∑yzyzD D dydz a f dydz f dydz x f I )()0()(1＝bc f a f )]0()([-⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-==∑yzyzD D dxdz b g dxdz g dxdz y g I )()0()(2＝ac g b g )]0()([-ab h c h I )]0()([3-=所以321I I I I ++=＝ab h c h ac g b g bc f a f )]0()([)]0()([)]0()([-+-+-. 4．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为半球面222y x a z --=的上侧.解⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21222dydz x dydz x dydz x＝0)()(222222=-----⎰⎰⎰⎰dydz z y a dydz z y a yzyzD D 同理：02=⎰⎰∑dzdx y 4202222222)()(a d a d dxdy y x a dxdy z aD xyπρρρθπ=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑故⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222＝42a π. 5．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是柱面122=+y x 被0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧. 解⎰⎰∑=0zdxdy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=∑1032211dz y dy dydz y xdydz yzDπθθθθππ43)2cos 1(23cos 320202=+==⎰⎰d d同理：π43=⎰⎰∑ydzdx 故⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝π23. 6．设∑为平面x z a +=在柱面222x y a +=内那一部分的上侧，下面两个积分的解法是否正确？如果不对，给出正确解法. （1）3()()x z dS a dS a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积； （2）3()()x z dxdy a dxdy a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积. 解 （1）正确；（2）错误.正确解法是：()x z dxdy a dxdy ∑∑+=⎰⎰⎰⎰＝3adxdy a xyD π=⎰⎰.(六) 高斯公式利用高斯公式计算: 1．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为球面2222a z y x=++的内侧.解 2223()I x y z dv Ω=-++⎰⎰⎰2403sin Rd d r dr ππθϕϕ=-⎰⎰⎰5125R π=- 2．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面22y x z +=在第一卦限中10≤≤z 部分的下侧.解 补充曲面：)0,0,1(,1:221≥≥≤+=∑y x y x z ，取上侧； )1,10(,0:22≤≤≤≤=∑z x x y ，取左侧；)1,10(,0:23≤≤≤≤=∑z y y x ，取后侧.∑，1∑，2∑和3∑构成闭曲面，所围的空间闭区域记为Ω，由高斯公式，得⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑+∑+∑+∑---++321zdxdy ydzdx xdydz＝003+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩzxxyD D dzdx dxdy dv＝ππρρθρπ=+⎰⎰⎰43110202dz d d .3．计算⎰⎰∑+++-dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，∑为正方体Ω的表面并取外侧,其中 {(,,)|0,0,0}x y z x a y a z a Ω=≤≤≤≤≤≤.解 ()I y x dv Ω=+⎰⎰⎰＝400)(a dz y x dy dx aaa=+⎰⎰⎰ 4．计算⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (222γβα，其中∑是由222z y x =+及)0(>=h h z 所围成的闭曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是此曲面的外法线的方向余弦. 解 2()2()2I x y z d x d y d z x y d x d y d z z d x d y d zΩΩΩ=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=2220()xyxyh D D dxdy zdz h x y dxdy +=--⎰⎰⎰⎰=412h π.(七) 斯托克斯公式1．计算⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(，其中L 为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向. 解 由斯托克斯公式，得⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(＝()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝⎰⎰∑-+dxdy dzdx dydz 2＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=xyzxyzD D D dxdy dzdx dydz 2＝1. 2．计算⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(，其中L 是从)0,0,(a 经)0,,0(a 和),0,0(a 回到)0,0,(a 的三角形.解 由斯托克斯公式，得⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(＝()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝2242222a dxdy dxdy dydz dxdy dydz xyxyyzD D D ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑. (八) 曲线积分与曲面积分自测题1．计算曲线积分 (1)ds y x L⎰+22，其中L 为圆周ax y x =+22；解 :cos (-)22L r a ππθθ=≤≤)d s d d a θθθ==cos r a θ==ds y x L⎰+22=222cos 2a ad a ππθθ-=⎰ .(2)⎰Lzds ，其中Γ为曲线)0(,sin ,cos 0t t t z t t y t t x ≤≤===；解d s t d t=⎰Lz d s=0322(2)3t t +-=⎰ (3)⎰+-Lxdy dx y a )2(，其中L 为摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=上对应t 从0到π2的一段弧；解⎰+-Lx d y dx y a )2(=20{[(2(1cos ))](1cos )(sin )sin }a a t a t a t t a t dt π---+-⎰=2220sin 2at tdt a ππ=-⎰. (4)⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(，其中Γ是曲线32,,t z t y t x ===上由01=t 到12=t 的一段弧；解⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y2222)(=14623220[()1223]t t t t t t t dt -+-⎰=16401(3)35t t dt -=⎰(5)⎰-+-Lx x dyy e dx y y e )2cos ()2sin (，其中L为上半圆周0,)(222≥=+-y a y a x 沿逆时针方向；解 补充积分路径1:0L y =，x 从0到2a. sin 2,cos 2xxP e y y Q e yy =-=-11(s i n 2)(c o s 2)xx LL L L ey y dx e y dy +-+-=-⎰⎰⎰=220()(sin 020)0ax D Q Pdxdy e dx a x y π∂∂---+=∂∂⎰⎰⎰2．计算曲面积分 (1)⎰⎰∑++222z y x dS ，其中∑是介于平面0=z 及H z =之间的圆柱面222R y x =+； 解x =，dS ==⎰⎰∑++222z y x dS=12∑∑+⎰⎰⎰⎰=yzD+yzD=221yzD R z =+⎰⎰=2arctanHR π. (2) ⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(222，其中∑为锥面)0(22h z y x z ≤≤+=的外侧；解 11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰=()P Q Rdxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰2()xyD x y dxdy --⎰⎰ =44044h h ππ-=-.(3)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑为半球面22y x R z --=的上侧；解11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰=()P Q R dxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰0xyD dxdy -⎰⎰ =3302dv R πΩ-=⎰⎰⎰.(4)⎰⎰∑++++3222)(z y x zdxdyydzdx xdydz ，其中∑为曲面)0(9)1(16)2(5122≥-+-=-z y x z 的上侧；解 0I = （利用高斯公式） (5) ⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑为球面)0,0(1222≥≥=++y x z y x 外侧. 解⎰⎰∑xyzdxdy =12xyzdxdy xyzdxdy ∑∑+⎰⎰⎰⎰=12022cos sin xyD d r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰=215. 3．证明：22yx ydyxdx ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数.解 在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 是单连通域.在G 内，222()Q xy Px x y y ∂-∂==∂+∂， 所以存在(,)u x y ，使22xdx ydydu x y+=+. 取积分路径：(1,0)(,0)(,)x x y →→(,)22222(1,0)10(,)x y yx xdx ydy x y u x y dx dy x y x x y +==+++⎰⎰⎰=221ln()2x y +. 4．计算⎰Γ-+-++dz x y dy z x dx z y )()()2(,其中Γ为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，从z 轴正向看取逆时针方向. 解 由斯托克斯公式，得⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(＝()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝⎰⎰∑-+dxdy dzdx dydz 2＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=xyzxyzD D D dxdy dzdx dydz 2＝1.5．求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标.解 设面密度为ρ，重心(,,)x y z 由对称性：0x y ==2200xyaD M dS πρρ∑===⎰⎰⎰=22a πρ2112xyD z zdS Ma ρπ∑==⎰⎰=2a 故重心的坐标为(0,0,)2a .。
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第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green 公式及其应用1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1)⎰-Lydx x dy xy 22，其中L 为正向圆周922=+y x ； 解：由Green 公式，得232222381()22LDxy dy x ydx x y dxdy d r dr ππθ-=+==⎰⎰⎰⎰⎰， 其中D 为229x y +≤。
(2)⎰-++Ly y dy y xe dx y e )2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界； 解：由Green 公式，得()(2)(1)1y y y y LDDe y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==⎰⎰⎰⎰⎰。
*(3)⎰+-Ldy xy ydx x22，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ；解：连直线段AB ，使L 与BA 围成的区域为D ，由Green 公式，得6cos 2222223203cos 444620()01515353cos 334442264LDBAx ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d πθθπθπθθπ-+=+--+=-==⨯⨯⨯=⨯⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰*(4)⎰+-Lyx xdy ydx 22，其中L 为正向圆周4)1(22=++y x . 解：因为22222()x y P Qy x x y -∂∂==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠。
作足够小的圆周l :222x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得220L lydx xdyx y +-=+⎰，故22222222222sin cos 2Lllydx xdy ydx xdyydx xdyx y x y r r r d r πθθθπ---+=-=++--==-⎰⎰⎰⎰2．计算下列对坐标的曲线积分：⎰+-Lx xydy e dx y esin 2)cos 21(，其中L 为曲线x y sin =上由点)0,(πA 到点)0,0(O 的一段弧；解：(12cos ),2sin x x P e y Q e y =-=，2sin x P Qe y y x∂∂==∂∂， 故积分与路径无关，取)0,(πA 经x 轴到点)0,0(O 的一条路径， 从而 原式=(12cos )2sin 1x xx e y dx eydy e dx e ππ-+=-=-⎰⎰。
*3．设函数)(u f 具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L ，有⎰=+Lxdy ydx xy f 0))((.证明：()()P Qf xy xyf xy y x∂∂'==+∂∂，记L 围成的闭区域为D, 由Green 公式，得()()00LDf xy ydx xdy dxdy +==⎰⎰⎰.第四节 对面积的曲面积分1．填空题：(1) 设∑为球面1222=++z y x ，则=⎰⎰∑dS 4π ；(2) 面密度3),,(=z y x μ的光滑曲面∑的质量=M 3dS ∑⎰⎰ .2．计算下列对面积的曲面积分： (1)⎰⎰∑++dS z y x )22(，其中∑为平面1=++z y x 在第一卦限的部分；解：{(,)|1,0,0}xy D x y x y x y =+≤>>，1z x y =--，dS110120(22(1(2)31()22xyxD x y x y dx y dyx x dx -++--=-=--=⎰⎰⎰原式=(2)⎰⎰∑zdS ，其中∑为)1()(2122≤+=z y x z 的部分；解：22{(,)|2}{(,)|02}xy D x y x y r r θθπ=+≤=≤≤≤≤，dS=22200D223/22211(221)22)1)215xyx y drr drπθπππ=+==+-=+=⎰⎰⎰原式*(3) ⎰⎰∑++2)1(yxdS，其中∑为0,0,0,1====++zyxzyx围成四面体的整个边界.解：1234∑=+++∑∑∑∑，其中1:1,:1,xyz x y D x y dS=--+≤=∑，2:0,:1,yzx D y z dS dzdy=+≤=∑，3:0,:1,zxy D x z dS dxdz=+≤=∑，4:0,:1,xyz D x y dS dxdy=+≤=∑。
12342222211111122200000011200(1)(1)(1)(1)(1)1)(1)(1)(1)1111)()212(1)xy yz zx xyD D D Dx y xdSx ydydz dxdz dxdyx y y x x ydy dy dxdx dz dzx y y xydx dx y---=+++++∑∑∑∑=+++++++++=++++++-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式1)ln2y=第七节 Stokes 公式 *环流量与旋度1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分： (1)zdz dy dx y x ++⎰Γ32，Γ为xOy 面内圆周222a y x =+逆时针方向； 解：取∑为平面0z =的下侧被Γ围成的部分，D 为∑在xOy 面上的投影区域。
由Stokes 公式，得22226233381D dydz dzdx dxdyx y dxdy x y dxdy a x y z x y zπ∂∂∂=-=-=-∂∂∂∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式= (2)dz y x dy x z dx z y)()()(222222-+-+-⎰Γ，Γ为平面1=++z y x 在第一卦限部分三角形的边界，从x 轴正向看去是逆时针方向；解：取∑为平面0z =的上侧被Γ围成的部分，∑的单位法向量n =。
由Stokes 公式，得222222222222cos cos cos ()2dS dS x y z xy zy z z x x y y z z x x y x y z dS dS αβγ∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∑∑------=++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式=第十一章 综合练习题1．填空题：(1) 已知L 为椭圆22143x y +=，其周长为a ，则=++⎰ds y x xy L )432(22 12a ；(2)已知L 为直线1x =上从点(1,2)到点(1,3)的直线段，则35sin tan Lx ydx x dy +=⎰1 ；(3)设L 是以点(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形正向边界，则=+⎰Lxydy dx xy220 ；(4)曲线积分⎰+Lxdy ydx y x F ))(,(与路径无关，则可微函数),(y x F 应满足条件 xyxF yF ''= ；*(5)设∑为平面1=++z y x 在第一卦限的部分，取上侧，则=---+-⎰⎰∑dxdy y x dzdx x z dydz z y )(3)(2)(222222 0 .2．求下列曲线积分：(1) ⎰Γds x 2，其中Γ为球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 所截得的圆周；解：在Γ的方程中，由于x, y, z 循环对称，故222x dS y dS z dS ΓΓΓ==⎰⎰⎰，于是2222223112()23333a x dS x y z dS a dS a a ππΓΓΓ=++===⎰⎰⎰ *(2)⎰+-L y x ydxxdy 224，其中L 是以)0,1(为圆心，2为半径的正向圆周；解：222224(4)y x P Q y x x y -∂∂==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠。
作足够小的椭圆222:4l x y ε+=，取顺时针方向，由格林公式，得2204L lxdy ydxx y+-=+⎰。
所以222222220244L l l xdy ydx xdy ydx xdy ydxd x y x y πεθπεε---=-=-==++⎰⎰⎰⎰*3．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线L ，使该曲线从O 到A 积分⎰+++Ldy y x dx y)2()1(3的值最小.解：令3()(1)(2)LI a y dx x y dy =+++⎰，则3334()[1s i n (2s i n )c o s ]43I a a x x a x a x d x a a ππ=+++=-+⎰。
所以2()4(1)0I a a '=-= 所以得驻点1a =。
又(1)80I ''=>，故()I a在1a =取得最小值，从而L 为sin (0)y x x π=≤≤。
*4．设曲线积分⎰+Ldy x y dx xy )(2ϕ与路径无关, 其中ϕ具有连续的导数, 且0)0(=ϕ,计算⎰+)1,1()0,0(2)(dy x y dx xy ϕ.解：2Pxy y ∂=∂，()Q y x x ϕ∂'=∂，由于积分⎰+Ldy x y dx xy )(2ϕ与路径无关， 所以P Q y x∂∂=∂∂，即2()xy y x ϕ'=，从而2()x x c ϕ=+。
由(0)0ϕ=，知0c =，所以2()x x ϕ=。
于是 (1,1)12(0,0)1()2xy dx y x dy ydy φ+==⎰⎰。
5． 计算下列曲面积分：(1)⎰⎰∑dS x 2，其中∑为圆柱面122=+y x 介于0=z 与2=z 之间的部分； 解：在∑的方程中，由于x 与y 循环对称，故22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰，于是22211()222x dS x y dS dS π∑∑∑=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ *(2)⎰⎰∑++++2222)1(z y x dxdyz xdydz ，其中∑为下半球面221y x z ---=的上侧；解：设平面221:0,(,){(,)|1}z x y D x y x y =∈=+≤∑，取下侧。
∑和1∑围成的下半球体为Ω。
由格林公式得：112222210(1)(1)(1)(32)222Dxdydz z dxdyxdydz z dxdy xdydz z dxdyz dy dxdyd rdr πππθπ∑+Ω=++∑=++-++∑∑∑=-++=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰近三年考研真题（2013年）1. 设 221:1L x y +=, 222:2L x y +=,223:22L x y +=, 224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰，则1234max{,,,}I I I I =（ ）（A ）1I (B) 2I (C) 3I （D ）4I（2012年）2. 设{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z =++=≥≥≥∑，则2y ds =∑⎰⎰（2011年）3. 设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22Ly xzdx xdy dz ++=⎰（2011年）4. 已知L 是第一象限中从点（0，0）沿圆周222x y x +=到点（2，0），再沿圆周224x y +=到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分233(2)LJ x ydx x x y dy =++-⎰。