第十章曲线曲面积分(习题及解答)

第十章 曲线曲面积分

§10．1对弧长的曲线积分

一、选择题

1. 设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ).

(A)

(,)d (,)d AB

BA

f x y s f x y s =-⎰⎰； (B)

(,)d (,)d AB

BA

f x y s f x y s =⎰

⎰

；

(C)(,)d (,)d 0AB

BA

f x y s f x y s +=⎰⎰

；

(D)(,)d (,)d AB

BA

f x y s f x y s =--⎰

⎰

． 答(B).

2. 设有物质曲线23

:,,(01),23

t t C x t y z t ===≤≤其线密度为2y ρ=,它

的质量M =( ).

(A)12401d t t t t ++⎰; (B)12240

1d t t t t ++⎰

;

(C)

1240

1d t t t ++⎰

; (D)

1240

1d t t t t ++⎰

. 答(A).

3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分22

d x y OM

I e

s

+=⎰不相等的积分是( ).

(A)120

2d x

e

x ⎰; (B)

120

2d y

e

y ⎰

;

(C)

2

d r

e r ⎰

; (D)

10

2d r e r ⎰

答(D).

4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d L

x y s -=⎰( ).

(A)

4

03d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)303d 4y y y ⎛⎫

- ⎪⎝⎭⎰; (C)30391+d 416y y y ⎛⎫

- ⎪⎝⎭⎰; (D)40391+d 416x x x ⎛⎫- ⎪⎝

⎭⎰. 答(D).

5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分

d L

y s =⎰

( ).

(A)12014d x x +⎰; (B)10

1d y y y +⎰

;

(C)

120

14d x x x +⎰

; (D)

10

1

1d y y y

+⎰

. 答(C).

6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d L

x y s +=⎰( ).

(A)2; (B)2; (C)2-; (D)22. 答(D).

二、填空题

1. 设L 是圆周2

2

1x y +=,则31d L

I x s =

⎰

与52d L

I x s =

⎰

的大小关系是

.

答:12.I I =

2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d L

x y s +=

⎰.

答：2.

3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d n L

x y s +=

⎰.

答：212a a π+.

4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d L

x y s -=⎰

.

答：0.

5. 设L 是圆周2

2

1x y +=,则2d L

I x s =

=

⎰

.

答：π.

6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d L

x y s -=

⎰.

答: 23(1)2

e --.

7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段, 则1d L

y x s +=

⎰.

答：3. 三、解答题

1.计算下列对弧长的曲线积分：

(1) d L

x s ⎰其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.

答： 1(55621)12+-.

(2)

22

d x y L

e

s +⎰

其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限

内所围成的扇形的整个边界.

答： 2 2.4a a e π⎛

⎫+- ⎪⎝

⎭

(3) 2d x yz s Γ

⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、

(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).

答：9.

(4) 2d L

y s ⎰其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.

答： 34232.53

a ⋅⋅

(5) 22()d L x y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )

(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩

(02)t π≤≤.

答： 2322(12).a ππ+

§10．2对坐标的曲线积分

一、选择题

1. 设AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d AB

y x x y +=⎰( ).

(A)2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C).

2. 设C 表示椭圆22

221x y a b

+=,其方向为逆时针,则2()d C x y x +=⎰ ( ).

(A)ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B). 3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则

(3)d (2)d C

x y x y x y +++=⎰

( ).

(A)21

[(2)(23)]d x x x x x +++⎰

； (B)

21

[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰

(C)

2

1

[(73)2(51)]d x x x -+-⎰

; (D)

2

1

[(73)(51)]d x x x -+-⎰

. 答(C).

4. 设曲线C 的方程为cos ,sin x t y t ==(0)2

t π

≤≤,

则22d d C

x y y y x x -=⎰( )

(A)20

[cos sin sin cos )]d t t t t t π-⎰

； (B)

2220

(cos sin )d t t t π

-⎰

(C)

220

0d d cos sin sin cos 2sin 2cos t t t t t t t t

π

π-⎰

⎰; (D)201

d 2t π

⎰.答(D).

5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).

(A)

22()(d d )0L

f x y x x y y ++=⎰

；(B)

22()(d d )0L

f x y x y y x ++=⎰