特殊的四边形及三角形的定义 性质 判定 相关计算公式

特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式

平行四边形

1.平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

2.平行四边形的性质：

（1）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，不是轴对称图形。（关于对称性的）

（2）平行四边形的对角相等；（关于角的）

（3）平行四边形的邻角互补；（关于角的）

（4）平行四边形的对边相等；（推论：夹在两条平行线间的平行线段。）（关于边的）

（5）平行四边形的对边平行；（关于边的）

（6）平行四边形的对角线互相平分。（关于对角线的）

（7）连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（关于中点四边形的）

3.平行四边形的判定方法：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（定义判定法）

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4. 相关计算公式：

平行四边形的面积公式：

底×高；如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则S=ah

平行四边形周长：

2×（底1+底2）；如用“a"表示底1，“b”表示底2，“c“表示平行四边形周长，则C=2（a+b）5.平行四边形中常用辅助线的添法：

（1）连结对角线或平移对角线；

（2）过顶点作对边的垂线构成直角三角形；

（3）连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线；

（4）连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

矩形

1.矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.矩形的性质：

（1）矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，对称轴共有两条；（关于对称性的）

（2）矩形的对角相等；（关于角的）

（3）矩形的邻角互补；（关于角的）

（4）矩形的对边相等；（关于边的）

（5）矩形的对边平行；（关于边的）

（6）矩形的对角线互相平分；（关于对角线的）

（7）矩形的四个角都是直角；（关于角的）

（8）矩形的对角线相等。（关于对角线的）

（9）矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等

3.矩形的判定方法：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（定义判定法）

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形

（4）对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形（5）有三个角是直角的四边形是矩形；

（6）四个内角都相等的四边形为矩形；

（7）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；

（8）对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。

4.相关计算公式

矩形面积：S=ah(注:a为边长,h为该边上的高)S=ab(注:a为长,b为宽)

矩形周长：C=2(a+b)(注:a为长,b为宽)

顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。

菱形

1.菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的性质：

（1）菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；

（2）在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。

（3）菱形的对角相等；（关于角的）

（4）菱形的邻角互补；（关于角的）

（5）菱形的对边相等；（关于边的）

（6）菱形的对边平行；（关于边的）

（7）菱形的对角线互相平分；（关于对角线的）

（8）菱形的四边都相等；（关于边的）

（9）菱形的对角线互相垂直，且平分各内角；（关于对角线的）

（10）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形。（关于中点四边形的）

3.菱形的判定方法：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（定义判定法）

（2）对角线相互垂直的平行四边形是菱形；

（3）关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；

（4）四条边都相等的四边形是菱形。

4. 相关计算公式：

菱形的面积：菱形的面积等于两对角线乘积的一半。（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）

正方形

1.正方形的定义：

（1）四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（3）有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。

（4）有一个角为直角的菱形是正方形。

（5）对角线平分，垂直且相等，并且交角为直角的四边形为正方形。

2.正方形的性质：

（1）既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；（关于对称性的）

（2）正方形的对角相等；（关于角的）

（3）正方形的邻角互补；（关于角的）

（4）正方形的对边相等；（关于边的）

（5）正方形的相邻边互相垂直；（关于边的）

（6）正方形的对边平行；（关于边的）

（7）正方形的对角线互相平分；（关于对角线的）

（8）正方形的四个角都是直角；（关于角的）

（9）正方形的对角线相等。（关于对角线的）

（10）正方形的四边都相等；（关于边的）

（11）正方形的对角线互相垂直，且平分各内角。（关于对角线的）

3.正方形的判定方法：

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（3）有一个角为直角的菱形是正方形；

（4）对角线相等的菱形是正方形；

（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；

（6）四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形；

（7）四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形；

（8）对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形。

4.相关计算公式：

面积计算公式：S=边长×边长或：S=对角线×对角线÷2

周长计算公式: C=4×边长

顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。

等腰三角形

1.等腰三角形的定义：

有两边相等的三角形是等腰三角形。

2. 等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）

（2）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合；（简写成“三线合一”）（3）等腰三角形的两底角的平分线相等；（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）

（4）等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等；

（5）等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；

（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高；(需用等面积法证明) （7）等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。3. 等腰三角形的判定方法：

（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）

等边三角形

1.等边三角形的定义：

三边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。

（注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）

2.等边三角形的性质：

（1）等边三角形的内角都相等，且为60度；

（2）等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合；（三线合一）

（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。3.等边三角形的判定方法：

（首先考虑判断三角形是等腰三角形）

（1）三边相等的三角形是等边三角形；（定义）