特殊的四边形及三角形的定义 性质 判定 相关计算公式
四边形的认识与性质
四边形的认识与性质四边形是几何学中的一个基本概念，它是由四条线段组成的图形，其中任意两边都不相交。
四边形在我们日常生活中随处可见，比如我们熟知的长方形、正方形、梯形等都是常见的四边形。
在本文中，我们将探讨四边形的定义、分类以及它们的性质。
一、四边形的定义四边形是由四条线段组成的闭合图形，其中任意两边都不相交。
它有四个顶点、四条边和四个内角。
四边形可以是凸四边形或凹四边形，具体形状取决于各边之间的相对位置。
二、四边形的分类1. 矩形：矩形是一种特殊的四边形，它的四个角都是直角。
矩形的对边相等且平行，对角线相等。
矩形具有许多特殊性质，比如它的对边互相垂直，对角线互相平分，以及面积等于边长乘积等。
2. 正方形：正方形也是一种特殊的矩形，它的四边长度相等且四个角都是直角。
正方形的对边平行且相等，在它内部的对角线相等且互相垂直。
正方形具有独特的特性，比如它的周长等于四倍边长，面积等于边长的平方等。
3. 平行四边形：平行四边形是四边形中较为常见的一种形式。
它的对边平行且长度相等，对角线在中点相交。
平行四边形具有许多有趣的性质，比如它的对边互相平分，对角线互相平分且长度相等，面积等于底边长乘以高等。
4. 梯形：梯形是一种至少存在两个平行边的四边形。
这两个平行边被称为上底和下底，连接它们的线段被称为斜边。
梯形的斜边上的两个内角和等于180度。
梯形还有其他各边之间的关系以及面积的计算公式。
三、四边形的性质1. 内角和：四边形的内角和等于360度。
2. 对边关系：平行四边形的对边互相平分，对边长度相等。
矩形和正方形的对边互相垂直，对边长度相等。
3. 对角线关系：矩形和正方形的对角线互相平分，对角线长度相等。
平行四边形的对角线在中点相交。
4. 面积计算：不同形状的四边形有不同的面积计算公式。
比如，矩形的面积等于边长乘积，三角形的面积等于底边长乘以高的一半。
总结：四边形是几何学中的基本图形，由四条线段组成，其中任意两边不相交。
初中几何图形概念、公式和性质等知识，父母为孩子收藏起来吧
初中几何图形概念、公式和性质等知识，父母为孩子收藏起来吧展开全文三角形知识点、概念总结1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类3. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
4. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
5. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
6. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
7. 高线、中线、角平分线的意义和做法8. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的内角和是外角和的一半10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。
11. 三角形外角的性质（1）顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；（4）三角形的外角和是360°。
四边形（含多边形）知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。
2. 性质：（1）平行四边形的对边相等且平行（2）平行四边形的对角相等，邻角互补（3）平行四边形的对角线互相平分3. 判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形4. 对称性：平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3. 判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形4. 对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
知识必备07 四边形(公式、定理、结论图表)
知识必备07四边形（公式、定理、结论图表）考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.典例1：2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，∴AF约为4mm，故选：D．【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．典例2：（2022•柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（）A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】根据四边形的内角和等于360°解答即可．【解答】解：四边形ABCD的内角和为360°．故选：C．【点评】本题考查了四边形的内角和，四边形的内角和等于360°．考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2.平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点诠释】面积公式：S 菱形=21ab=ch.（a、b 为菱形的对角线,c 为菱形的边长，h 为c 边上的高）S 平行四边形=ah.a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）典例3：（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG ＝90°，∠EGF ＝60°，∠AEF ＝50°，则∠EGC 的度数为（）A ．100°B ．80°C ．70°D ．60°【分析】由平行四边形的性质可得AB ∥DC ，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF 的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC 的度数．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠AEG＝∠EGC，∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∴∠GEF＝30°，∴∠GEA＝80°，∴∠EGC＝80°．故选：B．【点评】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．典例4：（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE与△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB＝CD．∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．典例5：（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．典例6：（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC ＝60°，BD＝4，则OE＝（）A．4B．2C．2D．【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故选：C．【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．典例7：（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．【分析】（1）由CF∥AB，得∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，又AE＝CE，可证△ADE≌△CFE（AAS），即得AD＝CF；（2）由AD＝CF，AD∥CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD ＝AB＝AD，即得四边形ADCF是菱形．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由（1）知，AD＝CF，∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．典例8：（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD＝CD，可得结论；（2）由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形；（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，＝×AC×BC＝×2×2＝2．∴S△ABC【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．典例9：（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为6．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，∴S阴影＝6．故答案为6．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．典例10：（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E为BC的中点，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四边形DEFG是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．典例11：（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF 是矩形；＝DF•（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDFAF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF 的面积S为18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝4，＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∴S矩形ABDF∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，＝BD•CD＝×4×3＝6，∴S△BCD+S△BCD＝12+6＝18，∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF答：四边形ABCF的面积S为18．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．典例12：（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠FAO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE（SAS）．∴∠FAO＝∠EBO＝20°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．典例13：（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．【分析】先证明四边形AECF是菱形，再证明EF＝AC，即可得出结论【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形．【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的判定，掌握相关定理是解题基础考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).【要点诠释】解决四边形问题常用的方法（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决．（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题.典例14：（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（）A．6m B．8m C．4m D．8m【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE＝DF，在Rt△DCF中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE，在Rt△ABE中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE．【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∴AE∥DF，∵AD∥BC，∴AE＝DF，在Rt△ABE中，AE＝AB sin45°＝4，在Rt△DCF中，∵∠DCB＝30°，∴DF＝CD，∴CD＝2DF＝2×4＝8，故选：B．【点评】本题考查了梯形，解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.典例15：（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是4答案不唯一．（填一种即可）【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，∴正四边形可以，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，∴正六边形可以，正十二边形的每个内角是150°，∵1×60°+2×150°＝360°，∴正十二边形可以，故答案为：4答案不唯一．【点评】本题考查了平面镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．。
小学数学四边形的分类及性质
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菱形
定义：一组邻边相等 的平行四边形
判定方法：一组邻边 相等的平行四边形是
菱形
性质：对角线互相垂 直平分，对角线相等
面积公式：S=ab/2， 其中a、b分别为对角
线的长度
04
四边形面积的计算
面积公式
矩形面积：长乘以宽
平行四边形面积：底乘以高
梯形面积：（上底加下底） 乘以高除以2
质
对角相等
定义：四边形的两个对角 线互相平分
性质：对角线平分四边形 的面积
证明：通过三角形全等和 相似来证明
应用：在几何图形中，对 角相等的四边形可以简化
计算和证明
对角线互相平分
定义：四边形的两条对角线互相平分 性质：对角线互相平分的四边形是平行四边形 证明：通过三角形全等和相似来证明 应用：在几何图形的证明和计算中，经常用到对角线互相平分的性质
小学数学四边形的分类及 性质
汇报人：xxx
目录
01 四 边 形 的 分 类 02 四 边 形 的 性 质 03 特 殊 四 边 形 04 四 边 形 面 积 的 计 算 05 四 边 形 在 实 际 生 活 中 的 应 用
01
四边形的分类
按照边长分类
等边四边形：所有边长都相等的四边形 等腰四边形：有两条边长相等的四边形 一般四边形：所有边长都不相等的四边形 特殊四边形：如矩形、菱形、正方形等，具有特定性质的四边形
交通工具中的应用
自行车：车架、车轮、车把 等部件的形状多为四边形
汽车：车身、车窗、车门等 部件的形状多为四边形
飞机：机翼、机身、尾翼等 部件的形状多为四边形
轮船：船体、甲板、船舱等 部件的形状多为四边形
长方形正方形平行四边形三角形圆的特点
长方形正方形平行四边形三角形圆的特点1. 引言1.1 概述在几何学中，长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆是最基本且常见的几何图形。
它们具有各自独特的特点和性质，在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本篇文章旨在深入探讨长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆的特点，包括定义、性质以及相关计算方法，并通过例子来解释其应用。
1.2 文章结构本文将分为五个部分来介绍长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆的特点。
首先，我们将从长方形开始，讨论其定义与性质，并介绍如何计算其周长和面积。
然后，我们转向正方形，讲解其特征与性质，并探究对角线关系以及面积的计算与应用。
接下来是平行四边形部分，我们将详细阐述它的定义与特征，并介绍计算周长和面积的方法以及一些相关定理。
最后，我们将研究三角形的基本性质与分类，并探讨圆的相关参数如圆周率以及弧长和扇形面积的计算方法。
1.3 目的本文的目的是帮助读者全面了解长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆，掌握它们各自的特点和性质，以及相应的计算方法。
通过对这些基本几何图形的深入研究，读者将能够应用它们解决数学问题，并在日常生活中更好地理解和运用几何概念。
无论是在学术上还是实际应用中，这些几何图形都扮演着重要的角色，因此对其进行系统性的学习与理解对于我们提升数学素养和推动科学发展都具有重要意义。
2. 长方形的特点:2.1 定义与性质:长方形是一种特殊的四边形，具有以下两个关键性质：- 所有角都是直角：这意味着长方形的四个内角都是90度。
- 对边相等且平行：长方形的任意两对相对边长相等且平行。
2.2 周长和面积计算:- 周长计算：长方形的周长可以通过将两条长度相加乘以2来计算，公式为：周长 = 2 * (长度 + 宽度)。
- 面积计算：长方形的面积可以通过长度乘以宽度来计算，公式为：面积 = 长度 * 宽度。
2.3 特殊性质:除了上述定义与性质外，长方形还具有一些其他特殊性质：- 对角线相等且垂直平分：长方形的对角线互相垂直且长度相等。
特殊四边形的性质和判定定理
特殊四边形的性质和判定定理名称 性质判定平行四边形1、对边平行且相等。
2、对角相等。
3、对角线互相平分。
4、是中心对称图形。
5、S=a b （a 、b 分别表示底和这一底上的高）推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边.并且等于第三边的一半。
1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（定义）2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。
矩形矩形除了具有平行四边形的所有性质外.还有以下性质：1、四个角都是直角。
2、对角线相等。
3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。
4、S= a b （a 、b 分别表示长和宽）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形菱形除了具有平行四边形的所有质外.还有以下性质：1、四条边都相等。
2、两条对角线互相垂直。
并且每一条对角线平分一组对角。
3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。
4、S= a b （a 、b 分别表示两条对角线长。
）1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、边相等到的四边形是菱形。
正方形除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外.还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45º。
2、S= a ²（a 表示两边长。
） 1、一组邻边相等的矩形是正方形。
2、有一个是直角的菱形是正方形。
3、对角线相垂直的矩形是正方形。
4、对角线相等的菱形是正方形。
等腰梯形1、两腰相等。
2、同一底上的两个角相等。
3、对角线相等。
4、轴对称图形1、对角线相等的梯形是等腰梯形。
2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
梯形中常见辅助线AB CDABCDABC DABCD A BCD例1 如图.E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点.AM ⊥EF.垂足为M.若AM=AB.求证：EF=BE+CF例2 已知：如图.正方形ABCD 中.延长AD 到E.使DE=AD.再延长DE 到F.使DF=BD.连接BF 交CD 于Q.交CE 于P 。
数学中的三角形与四边形应用技巧
数学中的三角形与四边形应用技巧三角形和四边形是数学中常见的几何形状，它们有着广泛的应用。
通过灵活运用数学中的技巧和方法，我们可以解决与三角形和四边形相关的问题。
本文将介绍一些数学中的三角形和四边形应用技巧，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、三角形应用技巧1. 三角形的面积计算：对于已知三角形的底边和高，我们可以利用面积公式计算三角形的面积。
面积公式为：面积 = 1/2 ×底边 ×高。
通过计算三角形的面积，我们可以解决与地理、建筑等领域相关的问题。
2. 三角形的相似性：当两个三角形的对应角相等时，我们可以认为这两个三角形是相似的。
利用三角形的相似性，我们可以解决一些相关的几何问题，如计算高大楼的高度、计算太阳的直径等。
3. 三角形的勾股定理：勾股定理是三角形中最重要的定理之一。
它表明，在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方和。
通过勾股定理，我们可以计算三角形的边长、角度等信息。
4. 三角形的正弦、余弦和正切函数：正弦、余弦和正切函数是三角函数的重要概念。
它们可以帮助我们计算三角形中的各种角度和边长关系。
二、四边形应用技巧1. 四边形的面积计算：对于已知四边形的边长或对角线长度，我们可以利用不同的公式计算四边形的面积。
常见的四边形包括矩形、正方形、梯形等，它们的面积计算公式各不相同。
2. 四边形的对角线关系：四边形的对角线有着特殊的关系。
例如，矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直且平分。
通过利用四边形的对角线关系，我们可以解决一些与建筑、地理等领域相关的问题。
3. 四边形的面积最大化：在给定周长或固定边长条件下，我们可以尝试通过调整四边形的形状来使面积达到最大化。
这需要运用数学中的优化方法和技巧，帮助我们找到最优解。
4. 四边形的相似性：与三角形类似，当两个四边形的对应角相等时，我们可以认为这两个四边形是相似的。
通过四边形的相似性，我们可以解决一些与房屋、地图等有关的问题。
等腰三角形、平行四边形的性质定理和判定定理及其证明
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明平行四边形的性质定理和判定定理及其证明一、一周知识概述1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)．2、等腰三角形性质定理的推论推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3、等腰三角形的判定定理两个角相等的三角形是等腰三角形．4、等腰三角形判定定理的推论推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．5、直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．6、平行四边形的性质定理定理1：平行四边形的对边相等．定理2、平行四边形的对角相等．定理3、平行四边形的对角线互相平分．7、平行四边形的判定定理定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．8、三角形中位线的性质定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．二、重难点知识1、要说明一个命题的正确性，需用已学过的公理或定理进行证明，命题证明的步骤：先画图，写出已知、求证，给出严格的证明．2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点．三、典型例题讲解例1、如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．求证：BD＋EC=DE．分析：因为DE=DF＋FE，即结论为BD＋EC=DF＋FE，分别证明BD=DF，CE=FE即可，于是运用“在同一个三角形中，等角对等边”，易证结论成立．证明：∵DE∥BC(已知)，∴∠3=∠2(两直线平行，内错角相等)．又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴DB=DF(等角对等边)．同理可证EF=CE．∴BD＋EC=DF＋EF，即BD＋EC=DE．小结：过一个角的平分线上的一点作一边的平行线与另一边相交，所构成的三角形是一个等腰三角形，这是一个常见的构图，应熟练掌握．例2、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．又∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，∴∠3=∠E，∴AG//EF，∴EF⊥BC．接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．证明2：过A作AH⊥EF于H．∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，∴∠EAH=∠B，∴AH//BC，∴EF⊥BC．小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE，∴DE//MC，∴EF⊥BC．小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，∴∠1=∠B，∴EN//BC，∴EF⊥BC．小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，∴EF⊥BC．小结：本题证法中运用了等腰三角形的性质定理及其推论、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，要注意灵活运用与牢固掌握相结合．例3、如图，在△ABC 中，AB=AC=CB ，AE=CD ，AD 、BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ．求证：BP=2PQ 。
特殊四边形的知识点、定义、性质、判定
特殊四边形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“□”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”． 2．熟练掌握性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：对角相等，邻角互补； （2）边：对边分别平行且相等； （3）对角线：对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．（5）平行四边形不是轴对称图形。
3．平行四边形的判别方法①定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
③方法3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
④方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
⑤方法5：一组平行且相等的四边形是平行四边形。
二、几种特殊平行四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．三、几种特殊四边形的有关性质（1）矩形： ①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． ⑤面积S =长×宽；A BD OC AD B CO【注意：矩形具有平行四边形的一切性质】（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）． ⑤面积S =底×高=对角线乘积的一半；【注意：菱形具有平行四边形的一切性质】（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相是直角；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．⑤面积S =边长×边长=对角线乘积的一半；【注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质】四、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是直角的四边形。
平面几何中的三角形与四边形的性质
平面几何中的三角形与四边形的性质在平面几何中，三角形和四边形是两种基本的多边形形状。
它们在几何学中起着重要的作用，并具有许多独特的性质。
本文将探讨三角形和四边形的性质，包括其定义、分类、内角和外角、对角线、面积等方面。
一、三角形的性质三角形是由三条边和三个角组成的平面图形。
根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
1. 内角和外角三角形的内角和为180°。
每个内角的度数之和等于180°，这一性质被称为“三角形内角和定理”。
另外，三角形的任意一个内角的补角是其外角。
三角形的外角和等于360°。
2. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角是90°。
直角三角形的最著名例子是勾股定理，即：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 等边三角形等边三角形是一种特殊的三角形，其中三条边的长度相等。
等边三角形的三个角都是60°，也就是等边三角形的内角都是60°。
4. 等腰三角形等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两边的长度相等。
等腰三角形的两个底角（不等边的两个角）相等。
二、四边形的性质四边形是由四条边和四个角组成的平面图形。
不同于三角形，四边形没有像等边三角形和等腰三角形那样的特殊命名，但它们也有各自的性质。
1. 对角线四边形的对角线是相互连接非相邻顶点的线段。
一般情况下，四边形有两条对角线。
如平行四边形的对角线长度相等，且互相平分。
而矩形和正方形的对角线相等。
2. 内角和四边形的内角和为360°。
四边形的任意一个内角的补角是其相对的内角。
3. 平行四边形平行四边形是一种特殊的四边形，其中的对边是平行的。
平行四边形的两对边分别相等且平行，对角线互相平分。
4. 矩形和正方形矩形是一种具有相邻两边相等、所有内角均为直角的四边形。
正方形是一种特殊的矩形，它的四条边和四个角都相等。
六年级数学知识点复习认识三角形与四边形
六年级数学知识点复习认识三角形与四边形六年级数学知识点复习：认识三角形与四边形在六年级的数学学习中，我们掌握了许多重要的数学知识点。
其中，三角形和四边形是数学中常见的图形，对于我们理解几何形状和计算面积周长有着重要的意义。
本文将重点复习认识三角形和四边形的相关概念和性质。
一、三角形的认识与性质1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，其中每个线段都与另外两个线段相交，形成三个内角和三个顶点。
三角形的边是线段，而顶点则是线段的端点。
2. 三角形的分类根据三角形的边长和角度的特点，我们可以将三角形分为以下几类：(1) 等边三角形：三条边的长度相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 直角三角形：一个内角为90度。
(4) 钝角三角形：一个内角大于90度。
(5) 锐角三角形：三个内角都小于90度。
3. 三角形的性质对于任意一个三角形ABC，它具有以下性质：(1) 三角形的内角和等于180度。
(2) 任意两边之和大于第三边。
(3) 三角形的最长边所对应的内角最大。
二、四边形的认识与性质1. 四边形的定义四边形是由四条线段组成的图形，其中每个线段都与另外两个线段相交，形成四个内角和四个顶点。
四边形的边是线段，而顶点则是线段的端点。
2. 四边形的分类根据四边形的边长和角度的特点，我们可以将四边形分为以下几类：(1) 矩形：拥有四个直角的四边形。
(2) 平行四边形：拥有两对平行边的四边形。
(3) 正方形：既是矩形又是平行四边形的四边形，拥有四个相等的边和四个直角。
(4) 梯形：拥有一对平行边的四边形。
(5) 菱形：拥有四个边长相等的四边形。
(6) 平行四边形的特殊情况：矩形、正方形和菱形。
3. 四边形的性质对于任意一个四边形ABCD，它具有以下性质：(1) 四边形的内角和等于360度。
(2) 平行四边形的对角线相互平分。
(3) 矩形和正方形的对角线相等。
(4) 菱形的对角线互相垂直且相互平分。
三、三角形和四边形的应用1. 计算三角形面积三角形的面积可以通过以下公式进行计算：面积 = 底边长度 ×高 / 2其中，底边为三角形的边长，高为从底边到对应顶点的垂直距离。
四边形重要知识规律总结
四边形定义四边形重要知识规律总结:平行四边行的定义有组对边分别的四边形叫平行四边形平行四边形性质（1）边：对边且（2）角：对角，邻角（3）对角线（4）对称性：对称（5）周长计算公式：（6）面积计算公式：平行四边形的判定:定义: 是平行四边形: 一组对边是平行四边形：两组是平行四边形：对角线是平行四边形．：两组是平行四边形.菱行的定义有的四边形叫菱形菱形特有的性质（1）四条边（2）对角线（4）对称性：对称（5）面积计算公式：或菱形的判定:定义: 是菱形:对角线是菱形．或：四条是菱形矩行的定义有叫矩形矩形特有的性质（1）四个角（2）对角线（4）对称性：对称矩形的判定:定义: 是矩形对角线是矩形．或：四个角是矩形三角形的中位线三角形的中位线，并且顺次连接四边形各边中点所得的四边形是顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是顺次连接菱形各边中点所得的四边形是顺次连接矩形各边中点所得的四边形是二、几种特殊四边形的性质：四边形对边角对角线对称性平行四边形平行且相等对角相等互相平分中心对称图形邻角互补矩形平行且相等四个角都是直角互相平分且相等中心/轴对称图形菱形平行且四边相等对角相等互相垂直平分，且中心/轴对称图形邻角互补每一条对角线平分一组对角正方形平行且四边相等四个角互相垂直平分且相等中心/轴对称图形都是直角每一条对角线平分一组对角等腰梯形两底平行同一底上相等轴对称图形两腰相等的角相等三、几种特殊四边形的判定方法：平行四边行：1、定义：两组对边分别平行 2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相等4、对角线互相平分5、两组对角分别相等矩形： 1、定义：有一角是直角的平行四边形2、三个角是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形菱形： 1、定义：一组邻边相等的平行四边形2、四条边都相等的四边形3、对角线互相垂直的平行四边形正方形：1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2、有一组邻边相等的矩形3、有一个角是直角的菱形等腰梯形： 1、两腰相等的梯形2、在同一底上的两角相等的梯形3、对角线相等的梯形附加：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形二次根式6、二次根式的性质：（a≥0），=（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）7、二次根式的运算：二次根式乘法法则（a≥0，b≥0）二次根式除法法则（a≥0，b＞0）二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如）仍然适用.练习：求下列二次根式中字母的取值范围（1）；（2）计算：（1）；（2）一元二次方程1.一般形式：ax2+bx+c=0X1 =√ā X2=-√ā配方法4. x1+x2=-b/a， x1.x2=c/a频数与频率命题与证明这章学到了哪些定理？反证法：。
人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)
第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ， 又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2， 方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。
三角形与四边形的性质与计算方法总结
三角形与四边形的性质与计算方法总结在数学中，三角形和四边形是最基本的几何图形之一。
它们拥有独特的性质和计算方法，对于数学学习和应用具有重要的意义。
本文将对三角形和四边形的性质与计算方法进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、三角形的性质与计算方法1. 三角形的定义与分类三角形是由三条边和三个内角构成的多边形。
根据边长和内角的关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和一般三角形等多种类型。
根据内角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
2. 三角形的性质（1）内角和定理：三角形的三个内角之和始终为180度；（2）外角和定理：三角形的外角等于其对应的两个内角之和；（3）角平分线定理：三角形内部的角平分线将对边分成比例相等的线段；（4）三角形的中线定理和高定理：三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心；三角形的高是由顶点向对边作垂线所得的线段。
3. 三角形的计算方法（1）根据三角形的边长、内角和高的长度，可以应用三角函数（如正弦、余弦、正切等）来计算三角形的面积和边长等；（2）利用勾股定理，可以计算直角三角形的边长；（3）利用余弦定理和正弦定理，可以计算一般三角形的边长和角度。
二、四边形的性质与计算方法1. 四边形的定义与分类四边形是由四条边和四个内角构成的多边形。
根据边长和角度的关系，四边形可以分为等边四边形、等腰四边形、矩形、正方形和一般四边形等多种类型。
2. 四边形的性质（1）对角线性质：四边形的对角线相互垂直，且对角线的长度满足勾股定理；（2）角平分线定理：四边形内部的角平分线将对边分成比例相等的线段；（3）四边形内角和定理：四边形的四个内角之和为360度；（4）四边形的中线定理：四边形两条对边的中线交于一点，这个点被称为四边形的重心。
3. 四边形的计算方法（1）矩形和正方形的计算方法：矩形和正方形的面积计算公式为长度乘以宽度，周长计算公式为边长之和乘以2；（2）一般四边形的计算方法：根据四边形的性质和边长、对角线长度等信息，可以利用面积公式和周长公式计算其面积和周长。
四边形的分类与性质
四边形的分类与性质
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1 四边形的分类 2 四边形的性质
四边形的分类
按照边数分类
三角形：三边
五边形：五边
四边形：四边 六边形：六边及以上
按照角度分类
分类标准：内角和的性质
定义：根据四边形内角和的 性质，将四边形分为一般四 边形和特殊四边形
定义：四边形的边长性质是指四 边形各边的长度关系
边长关系：相对边相等、对角线 互相平分
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对角线性质：对角线互相平分
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特殊性质：矩形、菱形、正方形 的边长性质
角度性质
定义：四边形的角度性质是指四边形各内角和外角的大小关系。 定理：任意四边形的内角和等于360度，外角和也等于360度。 应用：通过角度性质，可以判断四边形的形状，也可以计算四边形的角度。 推论：在四边形中，相对的两个内角是补角，相对的两个外角也是补角。
分类结果：一般四边形（内 角和为360度），特殊四边
形（内角和为180度）
特殊四边形的进一步分类： 平行四边形、梯形、等腰梯
形等
按照对角线分类
梯形：对角线互相平分，但 一组相对边不平行
平行四边形：对角线互相平 分，且一组相对边平行
斜四边形：对角线不一定互 相平分，且两组相对边都不
平行
按照是否平行Leabharlann 类平行四边形：两 组相对边平行
梯形：只有一组 相对边平行
不规则四边形： 没有一组相对边 平行
四边形的性质
对角线性质
定义：对角线是连接四边形不相邻两点的线段 性质：对角线互相平分，对角线互相垂直，对角线相等 判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 应用：利用对角线性质解决实际问题
中考全等三角形的判定与性质、平行四边形及特殊平行四边形、平行线分线段成比例定理、相似三角形
预测03 全等三角形的判定与性质、平行四边形及特殊平行四边形的性质及判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定2015-2020上海中考“23题几何证明”考点及分值分布年份题型考点分值15证明2323-1平行四边形的性质及判定23-2等角的余角相等相似三角形的判定（AA）1216证明2323-1垂径定理+全等三角形的判定、性质23-2全等三角形的判定、性质+平行四边形判定1217证明2323-1全等三角形的性质及判定，平行四边形的性质及判定，菱形的判定定理23-2等腰三角形三角形的内角和定理正方形的判定定理1218证明23正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质1219证明2323-1全等三角形的判定、性质23-2相似三角形的判定(SAS)+菱形判定1220证明23相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识12借助转化思想解决相似三角形中的证明问题2018徐汇一模23题：如上题的视频所示，解决相似三角形的线段比问题的步骤如下：①将已知（求证）条件标记在图上，借助线段勾画出需要求证的相似三角形，如果不能勾出三角形，借助线段间的相等关系，观察是否可以转化，继而找到题目中隐含的相似三角形或找到中间比。
②一般证明2个三角形相似，往往需要2个条件，而题目中往往都会出现一组等角，那么就根据题意，到底是用S.A.S还是用A.A.判定相似。
若用A.A判定相似，那么利用直角或外角性质，找到另一组等角；若用S.A.S判定相似，那么去寻找夹角所在的夹边对应的相似三角形，利用2次相似，得到题目中所需要的的线段间的比例关系。
(再复杂的证明题所需要的的相似也不超过2次)③善于挖掘题目中隐含的基本图形，这些基本图形往往是解决问题的桥梁，不要疏漏了。
双垂直基本模型：2020崇明一模23题：解题思路：(1)根据题目中的比例线段以及求证的结论可以确定要求证的是：△AEF∽△CDF；(2)根据结论中的比例关系，可以确定要证明的相似三角形是：△BDF∽△AFO.这对相似三角形的等角是∠BFD=∠AFC=90°，另外可以从A.A或S.A.S两个角度进行证明.2019普陀一模23题：解题思路：(1)根据条件中的等积式可以得到：△AEF∽△ABE，得到∠B=∠DAE，再根据∠DAF=∠EAC，得到另一组等角：∠DAE=∠BAC，得到△ADE∽△ACB；(2)根据结论中的比例关系，由于DF、DE，CE、CB在一直线上，因此无法勾画出要求证的相似三角形，因此将求证变形，得到DF:CE对应的相似三角形是△ADF∽△ACE、DE:CB对应的相似三角形是△ADE∽△ACB，而这两种比例线段得以转化的中间比是AD:AC，继而得到了等量关系.相似三角形与比例线段相似三角形与比例线段相关的几何证明题往往是23题几何证明的必考知识点，同时在25题压轴题中也常常会有类似知识点的问题呈现。
四边形及三角函数知识点回顾、例题讲解及课后练习（含答案）
图形的变换、四边形及初中三角函数知识点回顾、典例精讲、课后练习（含答案）教学目标：一. 教学目标：1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。
、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。
2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。
算和证明。
教学重点与难点：特殊四边形的综合应用二. 教学重点与难点：特殊四边形的综合应用知识要点：三. 知识要点：知识点1：图形的变换与镶嵌知识点2：四边形的定义、判定及性质知识点3：矩形、菱形及正方形的判定知识点4：矩形、菱形及正方形的性质知识点5：梯形的判定及性质例题精讲例1.如图所示，△ABC 是等边三角形，延长BC 至E ，延长BA 至F ，使AF =BE ，连结CF 、EF ，过点F 作直线FD ⊥CE 于D ，试发现∠FCE 与∠FEC 的数量关系，并说明理由．的数量关系，并说明理由．解：如图所示，延长BE 到G ，使EG =BC ，连FG ．∵AF =BE ，△ABC 为等边三角形，∴BF ＝BG ，∠ABC ＝60°，°，∴△GBF 也是等边三角形．在△BCF 和△GEF 中，中，∵BC =EG ，∠B =∠G =60°，BF =FG ， ∴△BCF ≌△GEF ，∴CE =DE ，又∵FD ⊥CE ，∴∠FCE =∠FEC （等腰三角形的“三线合一”）． 过T 作TF ⊥AB 于F , 证△ACT ≌∠AFT (AAS ),△DCE ≌△FTB (AAS )．例2. 已知：知：如图，△如图，△ABC 中，中，∠∠C =90°，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，求证CT =BE ．解：过T 作TF ⊥AB 于F , 证△ACT ≌∠AFT(AAS),△DCE ≌△FTB(AAS) 例3.如图，已知△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，∠C =35°，且AB +BH =HC ，求∠B 度数．度数． 解：在CH 上截取DH =BH ，连结AD ，先证△ABH ≌△ADH ， 再证∠C =∠DAC ，得到∠B =70°．°．例3. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，•就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．面图形．（1）请根据图，填写下表中的空格：例题精讲 BACDEFAC TEBM D CA BH正多边形边数正多边形边数 3 4 5 6 …n 正多边形每个内角的度数正多边形每个内角的度数 60°90°108°120°…？（2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；并探究这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．【解析】（1）n 180)2n(´-．（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．（3）如：正方形和正八边形如图．设在一个顶点周围有n个正方形的角，n个正八边形的角，则m、n•应是方程m²90°＋n²135°＝360°的正整数解．°的正整数解．即2m＋3n＝8的正整数解，的正整数解，••这个方程的正整数解只有12mn=ìí=î一组。
特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式
特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，不是轴对称图形。
（关于对称性的）（2）平行四边形的对角相等；（关于角的）（3）平行四边形的邻角互补；（关于角的）（4）平行四边形的对边相等；（推论：夹在两条平行线间的平行线段。
）（关于边的）（5）平行四边形的对边平行；（关于边的）（6）平行四边形的对角线互相平分。
（关于对角线的）（7）连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
（关于中点四边形的）3.平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（定义判定法）（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4. 相关计算公式：平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则S=ah平行四边形周长：2×（底1+底2）；如用“a"表示底1，“b”表示底2，“c“表示平行四边形周长，则C=2（a+b）5.平行四边形中常用辅助线的添法：（1）连结对角线或平移对角线；（2）过顶点作对边的垂线构成直角三角形；（3）连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线；（4）连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质：（1）矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，对称轴共有两条；（关于对称性的）（2）矩形的对角相等；（关于角的）（3）矩形的邻角互补；（关于角的）（4）矩形的对边相等；（关于边的）（5）矩形的对边平行；（关于边的）（6）矩形的对角线互相平分；（关于对角线的）（7）矩形的四个角都是直角；（关于角的）（8）矩形的对角线相等。
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特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，不是轴对称图形。
（关于对称性的）（2）平行四边形的对角相等；（关于角的）（3）平行四边形的邻角互补；（关于角的）（4）平行四边形的对边相等；（推论：夹在两条平行线间的平行线段。
）（关于边的）（5）平行四边形的对边平行；（关于边的）（6）平行四边形的对角线互相平分。
（关于对角线的）（7）连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
（关于中点四边形的）3.平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（定义判定法）（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4. 相关计算公式：平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则S=ah平行四边形周长：2×（底1+底2）；如用“a"表示底1，“b”表示底2，“c“表示平行四边形周长，则C=2（a+b）5.平行四边形中常用辅助线的添法：（1）连结对角线或平移对角线；（2）过顶点作对边的垂线构成直角三角形；（3）连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线；（4）连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质：（1）矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，对称轴共有两条；（关于对称性的）（2）矩形的对角相等；（关于角的）（3）矩形的邻角互补；（关于角的）（4）矩形的对边相等；（关于边的）（5）矩形的对边平行；（关于边的）（6）矩形的对角线互相平分；（关于对角线的）（7）矩形的四个角都是直角；（关于角的）（8）矩形的对角线相等。
（关于对角线的）（9）矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等3.矩形的判定方法：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（定义判定法）（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形（4）对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个内角都相等的四边形为矩形；（7）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（8）对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。
4.相关计算公式矩形面积：S=ah(注:a为边长,h为该边上的高)S=ab(注:a为长,b为宽)矩形周长：C=2(a+b)(注:a为长,b为宽)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。
菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.菱形的性质：（1）菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；（2）在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。
（3）菱形的对角相等；（关于角的）（4）菱形的邻角互补；（关于角的）（5）菱形的对边相等；（关于边的）（6）菱形的对边平行；（关于边的）（7）菱形的对角线互相平分；（关于对角线的）（8）菱形的四边都相等；（关于边的）（9）菱形的对角线互相垂直，且平分各内角；（关于对角线的）（10）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形。
（关于中点四边形的）3.菱形的判定方法：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（定义判定法）（2）对角线相互垂直的平行四边形是菱形；（3）关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；（4）四条边都相等的四边形是菱形。
4. 相关计算公式：菱形的面积：菱形的面积等于两对角线乘积的一半。
（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）正方形1.正方形的定义：（1）四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（3）有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。
（4）有一个角为直角的菱形是正方形。
（5）对角线平分，垂直且相等，并且交角为直角的四边形为正方形。
2.正方形的性质：（1）既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；（关于对称性的）（2）正方形的对角相等；（关于角的）（3）正方形的邻角互补；（关于角的）（4）正方形的对边相等；（关于边的）（5）正方形的相邻边互相垂直；（关于边的）（6）正方形的对边平行；（关于边的）（7）正方形的对角线互相平分；（关于对角线的）（8）正方形的四个角都是直角；（关于角的）（9）正方形的对角线相等。
（关于对角线的）（10）正方形的四边都相等；（关于边的）（11）正方形的对角线互相垂直，且平分各内角。
（关于对角线的）3.正方形的判定方法：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（3）有一个角为直角的菱形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（6）四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形；（7）四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形；（8）对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形。
4.相关计算公式：面积计算公式：S=边长×边长或：S=对角线×对角线÷2周长计算公式: C=4×边长顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。
等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合；（简写成“三线合一”）（3）等腰三角形的两底角的平分线相等；（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）（4）等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等；（5）等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高；(需用等面积法证明) （7）等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
3. 等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）等边三角形1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
（注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）2.等边三角形的性质：（1）等边三角形的内角都相等，且为60度；（2）等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合；（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3.等边三角形的判定方法：（首先考虑判断三角形是等腰三角形）（1）三边相等的三角形是等边三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；（4）等边三角形是锐角三角形；（5）有两个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。
等腰梯形1.等腰梯形的定义:一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形。
2.等腰梯形的性质：（1）等腰梯形只有一条对称轴，上底和下底的中垂线就是它的对称轴；（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等；（3）等腰梯形的两腰相等；（4）等腰梯形的两底平行；（5）等腰梯形的两个底角相等；（6）等腰梯形的对角线相等；（7）等腰梯形内接于圆。
3. 等腰梯形的判定方法：（1）一组对边不平行边相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）对角线相等的梯形是等腰梯形；（4）一组对边平行（不相等），另一组对边相等（不平行）的四边形是等腰梯形；（5）对角线相等，形成两个等腰三角形。
4.相关计算公式等腰梯形的中位线长是上下底边长度和的一半；等腰梯形的面积公式等于上底加下底和一半乘高,也等于中位线乘高。
直角三角形1.直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
2.直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）在直角三角形中，两个锐角互余。
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C/2）。
（4）直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
（5）在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
3.直角三角形的判定方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；（2）一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；（3）若a的平方＋b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；（勾股定理的逆定理）。
（4）若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；（5）两个锐角互余的三角形是直角三角形。