聚类分析数学建模
数学建模聚类分析
层次聚类
要点一
总结词
一种基于距离的聚类算法，通过构建层次结构来对数据进 行聚类。
要点二
详细描述
层次聚类算法的基本思想是，通过不断将相近的数据点合 并成新的集群，或者将现有的集群分裂成更小的集群，来 构建一个层次结构。算法首先将每个数据点视为一个独立 的集群，然后按照距离的远近逐步合并或分裂集群，直到 达到预设的停止条件。层次聚类算法有多种，其中最常用 的是凝聚层次聚类和分裂层次聚类。
密度峰值聚类
总结词
一种基于密度的聚类算法，通过识别密度峰值点来对 数据进行聚类。
详细描述
密度峰值聚类算法的基本思想是，通过识别数据集中的 密度峰值点来对数据进行聚类。算法首先计算每个数据 点在其邻域内的密度，并将密度最大的点视为密度峰值 点。然后，算法将每个密度峰值点作为中心点，将与其 相近的数据点归入同一个集群。通过这种方式，密度峰 值聚类算法能够识别出任意形状的集群，并处理异常值 和噪声点。与DBSCAN算法相比，密度峰值聚类算法 的计算复杂度较低，因此在处理大规模数据集时具有更 好的性能。
DBSCAN聚类
总结词
一种基于密度的聚类算法，通过识别高密度区域和低 密度区域来对数据进行聚类。
详细描述
DBSCAN聚类算法的基本思想是，通过识别高密度区 域和低密度区域来对数据进行聚类。算法首先从任意一 个未被访问过的数据点开始，搜索其邻域内的所有点， 如果邻域内的点数超过预设的阈值，则将该点标记为核 心点，并将其所在区域视为一个集群。然后，算法继续 搜索核心点的邻域内的点，并将这些点标记为边界点和 噪声点。通过这种方式，DBSCAN算法能够识别出任 意形状的集群，并处理异常值和噪声点。
通过分析不同群体的用户特征和行为模式，电商企业可以 制定更加精准的营销策略和个性化推荐方案，提高用户满 意度和忠诚度。
数学建模里的聚类分析
聚类分析聚类，或称分集，即所谓“物以类聚”，它是按某种相似规则对给定样本集、指标簇进行某种性质的划分，使之成为不同的类．将数据抽象化为样本矩阵()ij n m X X ⨯=，ij X 表示第i 个样本的第j 个变量的值．聚类目的，就是从数据出发，将样本或变量分成类．其方法大致有如下几个．（1） 聚类法．即谱系聚类法．将n 个样本看成n 类，将性质最接近的两类并为一新类，得1-n 类；再从1-n 类中找出最接近的两类加以合并，得2-n 类；继之，最后所有样本都成一类，得一聚类谱系，从谱系中可确定划分多少类，每类含有哪些样本．（2） 分解法．它是系统聚类的逆过程，将所有样本视为一类，按某种最优准则将它分成两类，继之，每一类都分到只含一个样本为止．（3） 动态聚类．即快速聚类法．将n 个样本粗糙地分成若干类，然后用某种最优准则进行调整，直至不能调整为止．（4） 有序样本聚类．按时间顺序，聚在一类的样本必须是次序相邻的样本．（5） 模糊聚类．它是将模糊数学用于样本聚类．（6） 运筹学聚类．它是将聚类问题化为线性规划、动态规划、整数规划模型的聚类．（7） 神经网络聚类．它是将样本按自组织特征映射的方法进行，也是我们要加以叙述的一个重点．（8） 预测中聚类．它是聚类在预测中的应用，以弥补非稳定信号回归的预测与分析．这里主要介绍谱系聚类法和快速聚类法． 一、距离定义样本矩阵()ij n m X x ⨯=，是m 维空间中n 个点，以距离度量样本之间的贴近度，就是距离聚类方法．最常用的第i 个与第j个样本的Minkowski 距离为p mk p jk ik ijx x d /11)||(∑=-=式中p 为一正整数．当2=p , ij d 就是欧几里德距离；当1=p ，ij d 就是绝对距离，或称“布洛克（cityblock ）”距离．而切比雪夫距离为||max 1jk ik mk ij x x d -=≤≤设m m C ⨯是变量的协方差矩阵，i x ,j x 为第i 行与第j 行m 个变量构成的向量，则马哈兰罗比斯距离定义为1()()T ij i j i j d x x C x x -=-- 根据距离的定义，就获得距离矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n d d d d d d d d d d 212222111211 由距离性质可知，d 为实对称矩阵，ij d 越小，两样本就越相似，其中01211====nn d d d ，根据)(j i d ij ≠的n 个点分类，依聚类准则分为不同的类．对d 常用的系统聚类准则有： 1、类间距离定义（1） 最短距离；,min p qpq ij i Gj GD d ∈∈= （2） 最长距离；,maxpqpq ij i G j GD d ∈∈=（3） 质心距离；(,)pq p q D d x x = （4） 平均距离；1p qpq iji G j G p qD d n n ∈∈=∑∑（5） 平方距离：2()()p q T pqp q p q p qn n D x x x x n n =--+2．类间距离的递推公式（1）最短距离：min{,}rk pk qk D D D = （2）最长距离：max{,}rk pk qk D D D = （3）类平均距离：p q rk pk qk rrn n D D D n n =+（4）重心距离：2222pqp q rkpkqkpq r r r rn n n n D D D D n n n n =+-⋅（5）离差平方和距离：2222p k q k krkpk qk pq r kr kr kn n n n n D D D D n n n n n n ++=+-+++二、谱系聚类法例: 假如抽取5个样本，每个样本只测一个指标，即数据为x =[1，0；2，0；4.5，0；6，0；8，0] 试以最短距离准则进行距离聚类说明．解 这时，样本间的绝对距离、欧几里德距离或切比雪夫距离均一致，见表3.1．以最短距离准则聚类．根据定义，当令p Ω与q Ω中分别有pn 与q n 个样本，则最短距离为：},|min{),(q p ij nearj i d q p Ω∈Ω∈=δ于是，对于某步，假定具有样本为p n 的第p 集合与样本为q n 的第q 集合，聚成为具有样本为q p s n n n +=的第s 集合，则第k 集合与第s 集合的最短距离，可写为)},(),,(min{),(q k p k s k near near nearδδδ=(1)表1 绝对距离数据表中数据1、2、4.5、6、8视为二叉树叶子，编号为1、2、3、4、5．当每一个样本看成一类时，则式子(1)变为ij neard j i =),(δ，最小距离为1，即1与2合聚于6号，得表2．表中5.2)5.2,5.3min()}2,3(),1,3(min{)6,3(===δδδnear near near表2 一次合聚表2中最小距离为1.5，即4.5与6合聚于7，得表3．表中(6,7)min{(6,4.5),(6,6)}min(2.5,4) 2.5near nearnearδδδ===．表3 二次合聚表3中最小距离为2，即{4.5，6}元素（为7号）与8（为5号）合聚于8号，得表4．表中5.2)6,4,5.2min()}8,6(),6,6(),5.4,6(min{)8,6(===δδδδnear near near near表4 三次合聚最后集合{1，2}与{4.5，6，8}聚成一集丛．此例的Matlab 程序如下：x =[1，0；2，0；4.5，0；6，0；8，0])();'sin ',();'',(z dendrogram gle y linkage z CityBlock x pdist y ==绘得最短距离聚类谱系如图1所示，由图看出分两类比较合适．1号、2号数据合聚于6号，最小聚距为1；3号、4号数据合聚于7号，最小聚距为1.5；7号于5号数据合聚于8号，最小聚距为2；最后6号和8号合聚，最小聚距为2.5。
数学建模-聚类分析
满足输出；不满足循环；
（7）重复；
初始聚类中心的选择
初始聚类中心的选取决定着计算的迭代 次数，甚至决定着最终的解是否为全局最优， 所以选择一个好的初始聚类中心是很有必要 的。
（1）方法一：选取前k个样品作为初始凝聚点。
(2)方法二： 选择第一个样本点作为第一个聚类 中心。然后选取距离第一个点最远的点作为第二个 聚 类中心。……
数据变换：进行[0,1]规格化得到
初始类个数的选择； 初始类中心的选择；
设k=3，即将这15支球队分成三个集团。现抽取日 本、巴林和泰国的值作为三个类的种子，即初始化三 个类的中心为 A：{0.3, 0, 0.19}； B：{0.7, 0.76, 0.5}； C：{1, 1, 0.5}；
样品到类中心的距离； 归类；
计算所有球队分别对三个中心点的欧氏 距离。下面是用程序求取的结果：
第一次聚类结果： A：日本，韩国，伊朗，沙特； B：乌兹别克斯坦，巴林，朝鲜； C：中国，伊拉克，卡塔尔，阿联酋，泰 国，越南，阿曼，印尼。
重新计算类中心；
下面根据第一次聚类结果，采用k-均值法调整各个类的 中心点。
A类的新中心点为：{(0.3+0+0.24+0.3)/4=0.21,
数据变换
（5）极差正规化变换:
x*ij
=
xij
min 1t n
xij
Rj
i 1,，2，...，,n; j 1,..., m
（6）对数变换x*:ij = log xij
i 1,，2，...，,n; j 1,..., m
k
样品间的距离
（1）绝对值距离：
m
dij
xit x jt
t 1
银行风险管理中的数学建模方法研究
银行风险管理中的数学建模方法研究随着金融市场的不断发展，银行风险管理的重要性也日益凸显。
银行作为金融机构，其经营活动必然会面临各种各样的风险，而科学合理的风险管理方法也就变得至关重要了。
在银行风险管理中，数学建模方法已经成为了一种常用的手段，它可以帮助银行有效地识别、评估和控制各种风险，提高银行的稳健性和盈利能力。
本文将从以下几个方面，对银行风险管理中的数学建模方法进行综述和研究。
一、银行风险分类及数学模型选择首先，我们需要了解银行的常见风险类型，根据国际惯例，银行的风险主要有信用风险、市场风险、操作风险和流动性风险等。
针对不同的风险类型，银行需要选择不同的数学模型。
1. 信用风险模型信用风险是指因借款人或客户未能按照约定的还款计划进行偿付，导致银行遭受的损失，因此，信用风险模型的本质就是对借款人和客户的违约概率进行预测和度量。
常见的信用风险模型包括基于Logistic回归、神经网络、决策树等的评级模型和预测模型，其中评级模型常用于客户的信用评估和分类，预测模型则用于预测未来违约率。
2. 市场风险模型市场风险是指由于市场利率、汇率、股票价格等外部市场因素的波动导致的银行投资组合损失。
市场风险模型的选择主要取决于银行的投资策略和投资组合的构成，例如对股票、债券、外汇等不同资产类别，采用VaR、Expected Shortfall等风险度量指标，或者对固定收益产品采用债券定价模型等进行风险度量。
3. 操作风险模型操作风险是指由于银行内部人员、系统、流程等因素的错误或意外而导致银行损失。
常用的操作风险模型包括LDA、AMA等模型，其中LDA模型主要是基于统计学的方法，包括分布假设、估计方程等，而AMA模型则是更加模型化的金融工程方法，它可以对操作风险事件的时序、复杂程度等多个方面进行度量和分析。
4. 流动性风险模型流动性风险是指银行面临的资金流动性风险，它主要包括流动性溢价、资产负债管理、清算、融资成本等方面。
数学建模各种分析方法
现代统计学1.因子分析(Factor Analysis)因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。
运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。
2.主成分分析主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。
主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。
(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。
（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。
主成分分析和因子分析的区别1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。
2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。
3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。
因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。
4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。
5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。
聚类分析(数学建模)
分类
俗语说，物以类聚、人以群分。 但什么是分类的根据呢？ 比如，要想把中国的县分成若干类，就有很多 种分类法； 可以按照自然条件来分， 比如考虑降水、土地、日照、湿度等各方面； 也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、基础 设施等指标； 既可以用某一项来分类，也可以同时考虑多项 指标来分类。
应用范围有限，要求用户制定分类数目(要告知)，只能对 观测量（样本）聚类，而不能对变量聚类，且所使用的聚类变 量必须都是连续性变量。
数据标准化处理：
存储中间过程数据
数据标准 化处理， 并存储。
指定5类
收敛标准值
存储最终结果输出情况，在数据文件中（QCL-1、QCL-2）
初始聚心选项，输出方差分析表
得到矩阵
G 7 G 8 D3 G 7 0 G8 12 .80 0
最后合并为一个大类。这就是按最短距离定义类间距离的 系统聚类方法。最长距离法类似！
最长距离（Furthest Neighbor ）
• x11• •
x21•
d12
• • •
•
20
组间平均连接（Between-group Linkage)
系统聚类法
Hierarchical Cluster
系统聚类法优点： 既可以对观测量（样品）也可对变量进行 聚类，既可以连续变量也可以是分类变量，提 供的距离计算方法和结果显示方法也很丰富。
聚类分析
1、系统聚类法------（分层聚类）系统聚类法是应 用最广泛的一种（Hierarchical Cluster过程） 1）、 聚类原则：都是相近的聚为一类，即距 离最近或最相似的聚为 一类。 2）、 分层聚类的方法可以用于样本聚类（Q） 型，也可以用于变量聚类（R型）。
数学建模数据处理方法
数学建模数据处理方法数学建模是解决实际问题的重要方法，而数据处理是数学建模中不可或缺的一环。
数据处理方法的好坏直接影响到模型的准确性和可靠性，因此需要对数据进行准确、全面的处理和分析。
下面将从数据采集、数据清洗、数据分析三个方面介绍数学建模中的数据处理方法。
一、数据采集数据采集是数学建模中首先需要完成的工作。
数据采集工作的质量对最终结果的精确度和代表性具有至关重要的影响。
数据采集必须具有相应数据的覆盖范围，数据即时性、真实性和准确性。
采集数据的方法主要有以下几种：1.问卷调查法：通过问卷调查的方式获得数据，是一个经典的数据采集方法。
问卷设计要考虑问题的准确性、问卷的结构和便于回答等因素，其缺点在于有误差和回答方式有主观性。
2.实地调查法：通过实地调查的方式获得数据。
实地调查法拥有远高于其它数据采集方法的数据真实性和准确性，但是它也较为费时费力走，不易操作。
3.网络调查法：通过网络调查的方式获得数据，是应用最广的一种调查方法。
以网络搜索引擎为代表的网络工具可提供大量的调查对象。
在采用网络调查时要考虑到样本的代表性，避免过多的重复样本、无效样本。
此外，由于网络调查法易遭受假冒调查等欺骗行为，结果不能完全符合事实情况。
二、数据清洗在数据采集后，需要对数据进行清洗，以确保数据的准确性和完整性。
数据清洗是数据处理过程中的一项重要工作，它能大大提高数据的质量，保证数据的准确性、真实性和完整性。
数据清洗的过程中主要包括以下几个方面的工作：1.清洗脏数据：包括数据中的重复、缺失、无效和异常值等。
其中缺失值和异常值是数据清洗的重点，缺失值需要根据数据具体情况处理，可采用去除、填充、插值等方式，异常值的处理就是通过人工或自动识别的方式找出这些数据并去除或修正。
2.去除重复数据：在数据采集时出现的重复数据需要进行去重处理，在处理过程中需要注意保持数据的完整性和准确性。
3.清洗无效数据：清洗无效数据是指对数据进行筛选、排序、分组等操作，以得到有意义的数据，提高数据的价值和质量。
数学建模在气象预报中的应用
数学建模在气象预报中的应用气象预报一直以来都是人们关注的焦点之一，而数学建模在气象预报中的应用则是提高预报准确性的重要途径之一。
数学建模通过分析气象数据和模拟气象系统，能够帮助我们更好地理解和预测气象现象。
本文将探讨数学建模在气象预报中的应用，并介绍相关的模型和方法。
一、数据预处理在气象预报中，数据的准确性和完整性对于数学建模至关重要。
通常，气象数据会包括温度、湿度、气压、风速等多个指标，这些指标的收集和准确性将直接影响最后的预报结果。
因此，数据预处理是数学建模的第一步，从地面观测站、卫星数据和雷达资料中获取的数据需要进行质量控制、插值和平滑处理。
同时，还需要考虑数据之间的关联性，例如降雨和温度之间的关系，以及海洋表面温度和气候变化的关系等。
二、气象模型数学建模过程中需要选择合适的气象模型来描述大气系统的运动和变化。
常用的气象模型包括数值天气预报模型、环流模式和季节预测模型等。
1. 数值天气预报模型数值天气预报模型是基于物理方程组和热力动力学原理建立的，用于模拟大气运动和变化的数学模型。
它通过对大气中的质量、动量、能量进行离散化求解，可以提供天气预报的数值结果。
目前常用的数值天气预报模型有欧洲中期天气预报中心开发的ECMWF模型、美国天气预报中心的GFS模型等。
2. 环流模式环流模式是用来模拟大气环流系统以及它们之间的相互作用和变化的数学模型。
环流模式可以帮助我们理解全球范围内的大气运动规律和气候变化趋势。
例如，通过环流模式可以研究厄尔尼诺现象和南方涛动等气候现象的形成和演化规律。
3. 季节预测模型季节预测模型是一种用来预测长期气候趋势和季节性气候变化的数学模型。
该模型结合了大气-海洋相互作用、太阳辐射和陆地过程等因素，可以对未来几个月到几年的气候变化进行预测。
季节预测模型对于农业、水资源管理和防灾减灾等领域有着重要的应用价值。
三、数据分析和预测数学建模在气象预报中的应用还包括数据分析和预测。
通过对历史气象数据的统计分析和建模，可以得出一些规律和趋势，进而预测未来的气象变化。
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得到新矩阵
G6 G1 G2 G5
D1 GG16
0 13.12
0
G2 24.06 11.67 0
G5 2.21 12.80 23.54 0
合并类6和类5，得到新类7
类7与剩余的1、2之间的距离分别为：
d(5,6)1=min(d51,d61)=min(12.80,13.12)=12.80 d(5,6)2=min(d52,d62)=min(23.54,24.06)=23.54
二、距离
每个样本有p个指标，因此每个样本可以看成 p维空间中的一个点，n个样本就组成p维空间 中的n个点，这时很自然想到用距离来度量n 个样本间的接近程度。
用 dij 表示第i个样本与第j个样本之间的距 离。一切距离应满足以下条件：
dij 0, 对于一切i, j dij 0,等价于样本i与样本j的指标相同 dij＝d ji，对于一切i, j dij dik dkj , 对于一切i, j, k
聚类分析
分类
俗语说，物以类聚、人以群分。 但什么是分类的根据呢？ 比如，要想把中国的县分成若干类，就有很多
种分类法； 可以按照自然条件来分， 比如考虑降水、土地、日照、湿度等各方面； 也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、基础
设施等指标； 既可以用某一项来分类，也可以同时考虑多项
指标来分类。
指定5类
收敛标准值
存储最终结果输出情况，在数据文件中（QCL-1、QCL-2）
初始聚心选项，输出方差分析表
初始聚类中心表
最终聚类中心表 具体城市看后表
聚类结果：QCL-1说明聚类结果，QCL-2说明聚类的长度情况
主要城市日照时数
注：连续变量
SPSS提供不同类间距 离的测量方法
三维或者更高维的情况也是类似；只不过三维以 上的图形无法直观地画出来而已。在饮料数据中， 每种饮料都有四个变量值。这就是四维空间点的 问题了。
两个距离概念
按照远近程度来聚类需要明确两个概念：一个是点和点之间的距 离，一个是类和类之间的距离。
点间距离有很多定义方式。最简单的是歐氏距离，还有其他的距 离。
⒉相似系数 夹角余弦 相关系数
① 夹角余弦
两变量的夹角余弦定义为：
② 相关系数
两变量的相关系数定义为：
系统聚类方法
1 、最短距离（Nearest Neighbor)
x11• x12•
d13
x21•
x22•
16
三、系统聚类法基本步骤
1. 选择样本间距离的定义及类间距离的定义；
2. 计算n个样本两两之间的距离，得到距离矩阵
饮料数据（drink.sav ）
16种饮料的热量、咖啡因、钠及价格四种变量
如何度量远近？
如果想要对100个学生进行分类，如果仅仅知道 他们的数学成绩，则只好按照数学成绩来分类； 这些成绩在直线上形成100个点。这样就可以把 接近的点放到一类。
如果还知道他们的物理成绩，这样数学和物理成 绩就形成二维平面上的100个点，也可以按照距 离远近来分类。
聚类分析的第几步
下面第几 步用到
垂直冰柱图 显示层次聚 类分析
从冰柱图最 后一行开始 观察，第一 列表示类数
两步聚类法
TwoStep Cluster
一种探索性的聚类方法，是随着人工智能的发展起来的智能聚 类方法中的一种。用于解决海量数据或具有复杂类别结构的聚类分 析问题。
两步聚类法特点：
1、同时处理离散变量和连续变量的能力 2、自动选择聚类数 3、通过预先选取样本中的部分数据构建聚类模型 4、可以处理超大样本量的数据
1）、 聚类原则：都是相近的聚为一类，即距 离最近或最相似的聚为 一类。
2）、 分层聚类的方法可以用于样本聚类（Q） 型，也可以用于变量聚类（R型）。
2、非系统聚类法-----（快速聚类法----K-均值聚类 法）（K-means Cluster)
3、两步聚类法-----一种探索性的聚类方法 （TwoStep Cluster）
四、系统聚类的参数选择
㈠聚类类别：
㈡统计
㈢图：树型谱系图 冰柱谱系图
㈣聚类方法
1.Between-groups linkage 类间平均法
两类距离为两类元素两两之间平均平方距离
2.Within-groups linkage 类内平均法
两类距离为合并后类中可能元素两两之间平均平方距离
3.Nearest neighbor
聚类分析
对于一个数据，人们既可以对变量（指标）进行 分类(相当于对数据中的列分类)，也可以对观测值 （事件，样品）来分类（相当于对数据中的行分 类）。
比如学生成绩数据就可以对学生按照理科或文科 成绩（或者综合考虑各科成绩）分类，
当然，并不一定事先假定有多少类，完全可以按 照数据本身的规律来分类。
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
辽宁1 7.90 39.77 8.49 12.94 19.27 11.05 2.04 浙江2 7.68 50.37 11.35 13.30 19.25 14.59 2.75 河南3 9.42 27.93 8.20 8.14 16.17 9.42 1.55 甘肃4 9.16 27.98 9.01 9.32 15.99 9.10 1.82 青海5 10.06 28.64 10.52 10.05 16.18 8.39 1.96
D
3. 构造个类，每类只含有一个样本；
dij
4. 合并符合类间距离定义要求的两类为一个新类；
5. 计算新类与当前各类的距离。若类的个数为1，则转 到步骤6，否则回到步骤4;
6.画出聚类图；
7.决定类的个数和类。
系统聚类分析的方法
系统聚类法的聚类原则决定于样品间的距离 以及类间距离的定义，类间距离的不同定义 就产生了不同的系统聚类分析方法。
得到新矩阵
G7 G1 G2
D2 GG17
0 12.80
0
G2 23.54 11.67 0
合并类1和类2，得到新类8
此时，我们有两个不同的类：类7和类8。 它们的最近距离
d(7,8) =min(d71,d72)=min(12.80,23.54)=12.80
得到矩阵
G7 G8
D3 G7 0
当然还有一些和距离相反但起同样作用的概念，比如相似性等， 两点越相似度越大，就相当于距离越短。
由一个点组成的类是最基本的类；如果每一类都由一个点组成， 那么点间的距离就是类间距离。但是如果某一类包含不止一个点， 那么就要确定类间距离，
类间距离是基于点间距离定义的：比如两类之间最近点之间的距 离可以作为这两类之间的距离，也可以用两类中最远点之间的距 离作为这两类之间的距离；当然也可以用各类的中心之间的距离 来作为类间距离。在计算时，各种点间距离和类间距离的选择是 通过统计软件的选项实现的。不同的选择的结果会不同，但一般 不会差太多。
一、聚类分析的基本概念
研究对样品或指标进行分类的一种多元统 计方法,是依据研究对象的个体的特征进行 分类的方法。
聚类分析把分类对象按一定规则分成若干 类，这些类非事先给定的，而是根据数据 特征确定的。在同一类中这些对象在某种 意义上趋向于彼此相似，而在不同类中趋 向于不相似。
职能是建立一种能按照样品或变量的相似 程度进行分类的方法。
x8
13.29 14.87 9.76 11.35 10.81
将每一个省区视为一个样本，先计算5个省区之间 的出欧下式三距角离阵，）用D0表示距离矩阵（对
0
浙江 2 11.67 0
D0 河南 3 13.80 24.63 0
甘肃 4 13.12 24.06 2.20 0
根据谱系图确定分类个数的准则：
各类重心间的距离必须很大； 类中保包含的元素不要太多； 类的个数必须符合实际应用； 如果采用几种不同的聚类方法处理，则在各
种聚类图中应该发现相同的类。
聚类分析
1、系统聚类法------（分层聚类）系统聚类法是应 用最广泛的一种（Hierarchical Cluster过程）
简单介绍基本原理
分两步进行
第一步：预聚类。对记录进行初始的归类，用户自定义最大 类别数。通过构建和修改特征树（CT Free）完成。
第二步：正式聚类。对第一步完成的初步聚类进行再聚类并 确定最终的聚类方案，系统根据一定的统计标准确定聚类的 类别数目。
t 1
chebychev distance 切比雪夫距离
d Max xit x jt t
明氏距离在实际中应用的很多， 但也存在一些缺点：
1、量纲的问题； 处理办法：标准化
2、指标间的相关问题；
改进的办法，采用马氏距离
Mahalanobis 马氏距离 dij (M ) ( Xi X j )S 1( Xi X j )
本章要介绍的分类的方法称为聚类分析（cluster analysis）。对变量的聚类称为R型聚类，而对观 测值聚类称为Q型聚类。这两种聚类在数学上是对 称的，没有什么不同。
聚类分析的基本思想是认为我们所研究的样本或指标（变 量）之间存在着程度不同的相似性（亲疏关系）。于是根据 一批样本的多个观测指标，具体找出一些彼此之间相似程度 较大的样本（或指标）聚合为一类，把另外一些彼此之间相 似程度较大的样本（或指标）又聚合为另一类，关系密切的 聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类 单位，直到把所有样本（或指标）都聚合完毕，把不同的类 型一一划分出来，形成一个由小到大的分类系统。最后把整 个分类系统画成一张谱系图，用它把所有样本（或指标）间 的亲疏关系表示出来。这种方法是最常用的、最基本的一种， 称为系统聚类分析。
常见的距离有：
minkowski distance （明氏距离）：
1
d
tp1xit x jt
q
q