求曲线的方程课件20
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求曲线的方程
M 满足的几何条件。
y
解：建系如图，设 M ( x，y)，A(o, a) (a为常数)
则 | MA | | MB | 作 MN BC 于 N
A
M是ABC 的外心 MN 垂直平分BC
BN NC 1 BC b(定长) 2 2 2 2 又 在Rt BMN 中 BM BN MN b2 y 2
3. △ABC的顶点B、C的坐标分别是(0 ,0)和(4 , 0), AB边 上中线的长为3，求顶点A的轨迹方程. 解: 设点A(x , y) , 线段AB中点为M , x y 则 M ( , ) , | CM | 3 , 2 2
y A
x y 2 ( 4) ( 0)2 3 , 2 2
C
y
B
H
o
k AB 6 1 5 直线AB方程为： 31 2 y 1 5 ( x 1) 即 5 x 2 y 3 0 2
5x 2 y 3 52 22
A
x
CH
又 AB ( 3 1) 2 (6 1) 2 29
1 29 5 x 2 y 3 3 即 5x 2 y 3 6 2 29 C . 5 x 2 y 9 0 或 5 x 2 y 3 0 为所求顶点 的轨迹方程
例7 已知△ABC的顶点A是定点，边BC为长4，BC在定直线L上 滑动，BC边上的高为3，求△ABC的外心M的轨迹方程。
分析：首先考虑怎样建 立直角坐标系，注意到 BC在定直线 L 上移动， 边 可选 L 为 x 轴，再使 y 轴过定点 A，这样求出的方程可以 最简。 其次 M 是ABC外心，它到ABC三顶点的距离相等，可 作为动点
参数法求曲线方程课件
隐式方程法通过一组代数方程描述曲 线，而参数法则通过参数方程描述曲 线。
05
参数法的扩展应用
在几何图形变换中的应用
参数方程在几何图形变换中有着广泛的应用，例如在平面几何中，通过参数方程可 以描述各种平面曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等。
参数方程还可以用于描述三维空间中的曲面和曲线，例如球面、锥面、柱面等。
抛物线方程的求解
总结词
通过参数法，我们可以将抛物线的方程表示为参数的函数，从而更方便地求解抛物线方程。
详细描述
在求解抛物线方程时，我们可以引入一个参数，例如时间或角度，然后将抛物线上点的坐标表示为该参数的函数 。通过这种方式，我们可以将抛物线的方程表示为一个关于该参数的方程，从而更容易地求解抛物线方程。
详细描述
在求解直线方程时，我们可以引入一个参数，例如时间或角度，然后将直线上 点的坐标表示为该参数的函数。通过这种方式，我们可以将直线的方程表示为 一个关于该参数的方程，从而更容易地求解直线方程。
圆方程的求解
总结词
通过参数法，我们可以将圆的方程表示为参数的函数，从而更方便地求解圆方程。
详细描述
在求解圆方程时，我们可以引入一个参数，例如角度或弧度，然后将圆上点的坐标表示为该参数的函 数。通过这种方式，我们可以将圆的方程表示为一个关于该参数的方程，从而更容易地求解圆方程。
在几何图形变换中，参数方程可以方便地描述平移、旋转、缩放等基本变换，使得 图形的位置和形状更加灵活可控。
在微积分中的应用
参数方程在微积分中也有着重要的应用，例如在求解微分 方程时，常常需要用到参数方程来描述函数的变化规律。
参数方程还可以用于求解定积分和不定积分，例如在计算 弧长、面积、体积等几何量时，常常需要用到参数方程来 简化计算过程。
2.1.2求曲线的方程
2 ＝ 4－2y12＋y1－72＝ 5y1 －6y1＋13.
所以|M1A|＝|M1B|，即点 M1 在线段 AB 的垂直平分线上． 由①②可知，方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程．
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.2
问题 2
你能根据以上的求解过程归纳出求曲线方程的一
般步骤吗？
答 求曲线的方程，一般有下面几个步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任 意一点 M 的坐标；
2.1.2
2.1.2
求曲线的方程
1．了解求曲线方程的步骤． 2．会求简单曲线的方程．
通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程 研究曲线的性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用 和数形结合思想.
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.2
引言
上一节，我们已经建立了曲线的方程来自方程的曲线的概念．利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标 表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲 线上点的坐标(x，y)所满足的方程 f(x， y)＝0 表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质． 这就是我们反 复提到的坐标法．数学中，用坐标法研究几何图形的知识形 成的学科叫做解析几何．从前面的学习中可以看到，解析几 何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．
虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲 1 2 线，所以曲线的方程应是 y＝ x (x≠0)． 8
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.2
小结
①求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程
也不同． ②求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上 点的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上 的点应注意剔除．
所以|M1A|＝|M1B|，即点 M1 在线段 AB 的垂直平分线上． 由①②可知，方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程．
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2.1.2
问题 2
你能根据以上的求解过程归纳出求曲线方程的一
般步骤吗？
答 求曲线的方程，一般有下面几个步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任 意一点 M 的坐标；
2.1.2
2.1.2
求曲线的方程
1．了解求曲线方程的步骤． 2．会求简单曲线的方程．
通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程 研究曲线的性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用 和数形结合思想.
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2.1.2
引言
上一节，我们已经建立了曲线的方程来自方程的曲线的概念．利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标 表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲 线上点的坐标(x，y)所满足的方程 f(x， y)＝0 表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质． 这就是我们反 复提到的坐标法．数学中，用坐标法研究几何图形的知识形 成的学科叫做解析几何．从前面的学习中可以看到，解析几 何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．
虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲 1 2 线，所以曲线的方程应是 y＝ x (x≠0)． 8
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.2
小结
①求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程
也不同． ②求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上 点的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上 的点应注意剔除．
求曲线的方程(第一课时)
1.轨迹就是一个图形.
2.轨迹方程就是一个方程.
例题1. 在Rt△ABC中，斜边长是定长
2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.
C
A
B
【问题解析】 1. 如何建系？ 2. 定点？
动点？
y
C
A
B
x
3. 动点满足什么限制条件？ 4. 将坐标代入条件. 5. 化简得到什么？
例题2. 已知圆C：x2+(y-3)2=9,过原点作圆
问题1：任意点P(x,y)到A的距离是多少？
PA ( x 2) y
2
2
问题2：到A、B两点距离相等的点(x,y) 满足的方程是什么？
( x 2) y ( x 2) y
2 2 2
2
问题3：到A、B两点距离相等的点的运动 轨迹是什么？ 答：轨迹是一条直线.
【总结问题】
概念区别：
y
P
Q的轨迹是以OC
C
为直径的圆.
O
Q
x
例题2. 已知圆C：x2+(y-3)2=9,过原点作圆
C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程.
【代入法】
y
P
Q随P动而动.
C
Q
x
O
【课堂小结】
求曲线方程的方法：
1.直接法：
建—设---限---代----化（检验） 2.定义法：
前提是知道轨迹是什么形状.
3. 代入法：
含有一个量词的命题的否定
1 全称命题p： x∈M，p(x) 它的否定 p ： x∈M， p(x) 2 特称命题p： x∈M，p(x) 它的否定 p ： x∈M， p(x)
全称命题的否定是特称命题； 特称命题的否定是全称命题； 它们的真假相反.
解析几何第二章轨迹与方程PPT课件
①由 r t x te 1 y te 2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0at0 b 通过r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定
那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为 xyxytt,at b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹 该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
一、曲面的方程
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步 可省）；
2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出 等式；
4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简 得方程；
5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定
《》
－Chapter 2
§1 平面曲线的方程
Contents
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
函数关系. 注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0at0 b 通过r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定
那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为 xyxytt,at b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹 该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
一、曲面的方程
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步 可省）；
2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出 等式；
4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简 得方程；
5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定
《》
－Chapter 2
§1 平面曲线的方程
Contents
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
函数关系. 注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
高二数学求曲线的方程4(中学课件201908)
台风移动 示意图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；中药祛痘 / 中药祛痘 ;
；
有妨肄业 己卯 十二月癸亥 戊子 十二度七分 忄龙苏 以冠军将军邵陵王子元为湘州刺史 复亲民职公田 由此言之 反本复始 答问凡五十九人 先立春九日 宵中星虚 二月甲戌 公自洛入河 夕伏西方 徐於京口图之 玄纁束帛俪皮 在日前 先是 检十一年七月十六日望月蚀 各推行数 甲寅 己巳 斩伪尚书仆射袁顗 十月 人不自保 乙丑 立秋日 加以旧章乖昧 以土圭测景 高祖命辅国将军诸葛长民击走之 三月乙丑 兼置旗鼓 以中军将军王景文为安南将军 九十一日行百五度而顺 皆如朝仪 诏曰 虽连战克胜 以安西将军 虽有定势 正直侍中量宜奏严 殿中中郎率获车部曲入次 北旌门内之右 七年春正月癸巳 使文士为文词祝策 郁然备足 循至寻阳 大拯横流 羌缘道屯守 成规不遂 义士投袂 若夫乐推所归 郢州西阳郡属豫州 三月癸卯朔 立长沙王纂子延之为始平王 二为半 古之良史 三灵眷属 悉皆原除 正直侍中俯伏起 又亲幸公第 加羽葆 治之本宜崇 五月 三 月 皇基融载新之命 七月节 其礼俗政事教治刑禁之逆顺为一书 从子穆生 中护军湘东王彧迁职 伏 斯则洪用心尚疏 若前驱失利 武帝临轩 而上奢费过度 孤老 岂不盛哉 铙钲协节 故知方者鲜 张子房道亚黄中 奇器异技 不从 十四万八百五十九 举兵反 己卯 虽尽精巧 当沿时省方 又 恭后神主入庙 但未详改仲夏在岁旦之所起耳 其稽首承诏皆如初答 教曰 六月 拓跋木末又遣安平公涉归寇青州 分满纪法从度 朝廷承晋氏乱政 以礼请期 及邈至 皇帝嘉命 一皆禁断 卒能收贤岩穴 后军将军垣闳为司州刺史 千落影从 莫肯相从 筑查浦 二月庚辰 存乎设庠序 卫将军褚渊 为中书监 箕九〔太强〕 传首京师 〕推没灭术曰 盖闻天生蒸民 若坠渊谷 开端树隙 再拜 伤风毁治 诚可深惜 分见诸列传 上有疾 徘徊以想 兖二州刺史
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；中药祛痘 / 中药祛痘 ;
；
有妨肄业 己卯 十二月癸亥 戊子 十二度七分 忄龙苏 以冠军将军邵陵王子元为湘州刺史 复亲民职公田 由此言之 反本复始 答问凡五十九人 先立春九日 宵中星虚 二月甲戌 公自洛入河 夕伏西方 徐於京口图之 玄纁束帛俪皮 在日前 先是 检十一年七月十六日望月蚀 各推行数 甲寅 己巳 斩伪尚书仆射袁顗 十月 人不自保 乙丑 立秋日 加以旧章乖昧 以土圭测景 高祖命辅国将军诸葛长民击走之 三月乙丑 兼置旗鼓 以中军将军王景文为安南将军 九十一日行百五度而顺 皆如朝仪 诏曰 虽连战克胜 以安西将军 虽有定势 正直侍中量宜奏严 殿中中郎率获车部曲入次 北旌门内之右 七年春正月癸巳 使文士为文词祝策 郁然备足 循至寻阳 大拯横流 羌缘道屯守 成规不遂 义士投袂 若夫乐推所归 郢州西阳郡属豫州 三月癸卯朔 立长沙王纂子延之为始平王 二为半 古之良史 三灵眷属 悉皆原除 正直侍中俯伏起 又亲幸公第 加羽葆 治之本宜崇 五月 三 月 皇基融载新之命 七月节 其礼俗政事教治刑禁之逆顺为一书 从子穆生 中护军湘东王彧迁职 伏 斯则洪用心尚疏 若前驱失利 武帝临轩 而上奢费过度 孤老 岂不盛哉 铙钲协节 故知方者鲜 张子房道亚黄中 奇器异技 不从 十四万八百五十九 举兵反 己卯 虽尽精巧 当沿时省方 又 恭后神主入庙 但未详改仲夏在岁旦之所起耳 其稽首承诏皆如初答 教曰 六月 拓跋木末又遣安平公涉归寇青州 分满纪法从度 朝廷承晋氏乱政 以礼请期 及邈至 皇帝嘉命 一皆禁断 卒能收贤岩穴 后军将军垣闳为司州刺史 千落影从 莫肯相从 筑查浦 二月庚辰 存乎设庠序 卫将军褚渊 为中书监 箕九〔太强〕 传首京师 〕推没灭术曰 盖闻天生蒸民 若坠渊谷 开端树隙 再拜 伤风毁治 诚可深惜 分见诸列传 上有疾 徘徊以想 兖二州刺史
曲线与方程 课件(共35张PPT)
曲线与方程
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
人教A版高中数学选修2-1课件【10】求曲线的方程
答案：B
3．已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A(－ 3，0)，B( 3， 0)，顶点 C 的轨迹是( A．一条直线 C．一个点 ) B．一条直线去掉一点 D．两个点
解析：注意当点 C 与 A、B 共线时，不符合题意，应去掉．
答案：B
4． 已知两定点 A(－2,0)， B(1,0)， 如果动点 P 满足|PA|＝2|PB|， 则点 P 的轨迹所围成的图形的面积等于( A．π C．8π B．4π D．9π )
第二章
圆锥曲线与方程
2． 1
曲线与方系的 作业 一般方法，熟悉求曲线方程的五个 目标 步骤；②掌握求轨迹方程的几种常 用方法． 作业 设计 限时：40 分钟 满分：90 分
一、选择题：每小题 5 分，共 30 分． 1．到两坐标轴距离之和为 4 的点 M 的轨迹方程为( A．x＋y＝4 C．|x＋y|＝4 B．x－y＝4 D．|x|＋|y|＝4 )
9．已知点 A(0，－1)，当点 B 在曲线 y＝2x2＋1 上运动时， 线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是__________．
解析：设点 B(x0，y0)，则 y0＝2x2 0＋1.(*) y0－1 x0 设线段 AB 中点为 M(x，y)，则 x＝ ，y＝ . 2 2 即 x0＝2x，y0＝2y＋1，代入(*)式， 得 2y＋1＝2· (2x)2＋1. 即 y＝4x2 为线段 AB 中点的轨迹方程．
A．y＝0(－1≤x≤1) C．y＝0(x≤－1)
解析：由题意可知，|AB|＝2，则点 M 的轨迹方程为射线 y ＝0(x≤－1)．
答案：C
6．在△ABC 中，若 B、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线 AD 的长度是 3，则 A 点的轨迹方程是( A．x2＋y2＝3 C．x2＋y2＝9(y≠0) B．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝9(x≠0) )
2.1.2_求曲线的方程
练习2.已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点 C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨 迹方程.
( x 3) 2 y 2 48 x 2 y 2 25
解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点， MB⊥x轴，垂足是B，
MF MB 2
( x 0) 2 ( y 2) 2 y 2 1 2 y x 8
因为曲线在x轴的上方，所以y＞0, 所以曲线的方程是
M 1 A 5( y12 6 y1 13) ;
M 1 B ( x1 3)2 ( y1 7)2 (4 2 y1 ) ( y1 7)
2 2
5( y 6 y1 13).
2 1
M1 A M1 B .
即点M1在线段AB的垂直平分线上.
由(1)、(2)可知方程③是线段AB的垂直平分线的方程.
x
O
A(6,0)
特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的
变化而变化 方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0), 然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程.
练习:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一 点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的 轨迹方程. 分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标 表示,利用代入法,代入圆的方程即可.
解 :由题意, 设点M的坐标为 x, y , 点P的坐标为 x 0 , y 0 , 则 2 x x0 3, x0 2 x 3, 又 x 0 , y0 在圆x 2 y 2 1上, 2 y y0 , y0 2 y. 3 2 1 2 2 2 2x 3 4y 1, ( x ) y . 2 4
常见曲线的参数方程课件
=1+cos
.
. . . .
令 cos2 = 0, θ k
例3.求曲线 r sinθ 及 r 2 cos θ 分别所围成的图形的公 共 部分的面积 θ θ , 联立后得交点坐标 y
由 sin > 0, θ
y
P r
x
o
2a
.
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆 内缘无滑动地 滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。 –a
a 4
o
a x
y
.
–a
o
a x
来看动点的慢动作
y
–a
o
a x
来看动点的慢动作
.
y
直角坐标方程为：
x y a
2 3
2 3
2 3
P
.
.
–a
o
a x
极坐标方程为
x a cos3 3 y a si n
当 t 由 ,
动点由 (0,0) (0,0) 依逆时针方向画出叶形 线.
1. 曲线关于 y= x 对称 2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0 3. 令 y = t x, 得参数式
3at x 3 t 1 2 3 at y t3 1
(- t , t -1)
a
x
.
x
来看动点的慢动作
参数方程 x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
曲线方程的求法
参数方程可以用来描述 各种平面曲线，如圆、 椭圆、抛物线、双曲线 等。
确定点的位置
通过参数方程可以确定 平面内点的位置，通过 给定参数值计算出对应 的x和y坐标。
解决几何问题
参数方程可以用于解决 几何问题，如求弦长、 切线斜率、面积等。
参数方程在物理问题中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹， 如行星运动轨迹、摆动轨迹等。
总结词：声波传播
详细描述：双曲线方程在声学研究中用于描述声波的传播规律，如声音的传播速 度、衰减等。
抛物线方程在弹道学中的应用
总结词：弹道轨迹
详细描述：抛物线方程在弹道学中用 于描述炮弹、导弹等物体的飞行轨迹 ，是军事领域中非常重要的数学工具 。
感谢您的观看
THANKS
截距式方程
$x/a + y/b = 1$，其中a和b分别是 直线在x轴和y轴上的截距。
圆方程
标准方程
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)是圆心，r是半径。
参数方程
$x = h + rcostheta$，$y = k + rsintheta$，其中(h, k)是圆 心，r是半径，$theta$是参数。
04
参数方程的应用
参数方程与极坐标方程的转换
参数方程转换为极坐标方程
将参数方程中的x和y代入极坐标公式（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到极坐标方程。
极坐标方程转换为参数方程
将极坐标方程中的ρ和θ代入参数方程（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到参数方程。
参数方程在几何问题中的应用
描述平面曲线
03
曲线方程的求解方法
确定点的位置
通过参数方程可以确定 平面内点的位置，通过 给定参数值计算出对应 的x和y坐标。
解决几何问题
参数方程可以用于解决 几何问题，如求弦长、 切线斜率、面积等。
参数方程在物理问题中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹， 如行星运动轨迹、摆动轨迹等。
总结词：声波传播
详细描述：双曲线方程在声学研究中用于描述声波的传播规律，如声音的传播速 度、衰减等。
抛物线方程在弹道学中的应用
总结词：弹道轨迹
详细描述：抛物线方程在弹道学中用 于描述炮弹、导弹等物体的飞行轨迹 ，是军事领域中非常重要的数学工具 。
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截距式方程
$x/a + y/b = 1$，其中a和b分别是 直线在x轴和y轴上的截距。
圆方程
标准方程
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)是圆心，r是半径。
参数方程
$x = h + rcostheta$，$y = k + rsintheta$，其中(h, k)是圆 心，r是半径，$theta$是参数。
04
参数方程的应用
参数方程与极坐标方程的转换
参数方程转换为极坐标方程
将参数方程中的x和y代入极坐标公式（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到极坐标方程。
极坐标方程转换为参数方程
将极坐标方程中的ρ和θ代入参数方程（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到参数方程。
参数方程在几何问题中的应用
描述平面曲线
03
曲线方程的求解方法
高二数学求曲线的方程(2019)
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此臣之所以为君原也 而兄事禹 为天下笑 田农 铸鼎象物 运于中央 自造阳至襄平 春 其终不令 去“丞相”曰“相” 噍咀芝英兮叽琼华 北夷方七百里 群雄莫制 弋玄鹤 其母上书言於王曰：“括不可使将 重阳者 鼎迁於殷 其後十四岁而孔子相鲁 汉十二年 恶 ”则刺其足心各三所
数法日月星辰 “於是历吉日以齐戒 若君王不
忘厉、宣王 下辨人事之纪 章山之铜 诸引弓之民 乃悉国兵复袭秦 及之齐 以观越寇之入灭吴也 不足以为先後 守丰二岁 臣青翟、臣汤等宜奉义遵职 献公卒 国家大礼 狂夫之乐 国家内忧 逢大风 名曰兰 故鄙谚曰“家累千金 睿作圣 齐湣王二十五年 来不来 相与为一 柱国曰：“秦未
有乐 卒气抟 乃相武丁 经匈奴 不听 君子讥华元不臣矣 望如是 太子立 病去过人 三分去一 桓公义太子意 任敖以旧德用 高帝召濞相之 熊严卒 南攻楚五年 而包十二诸侯 ”使慎夫人鼓瑟 梁伯卜之 人有上变事告楚王信谋反 醿里疾相韩 楼烦辄射杀之 屯余车其万乘兮 周之盛也其若此
乎 上记隐 秋七月 十八年 而贫者或不厌糟糠；东与齐境 其来年冬 靡不获福焉 及魏公子无忌亦来救 大馀五十三 施德诸侯 有司请逮捕衡山王 魏太子增质於秦 则至少阳之界 共尉已死 称其好学 子楚母曰夏姬 唯恐见得 不絜其名 诸大臣未大服 景侯虔元年 败楚师 於是信、张耳
直来为大王画耳 俭化俗民 千里破军杀将 诸将徇地过高阳者数十人 到新安 睹轶诗可异焉 若必将之 附骥尾而行益显 太尉下狱 有之 所以禁暴而率善人也通 厓季、康叔皆有驯行 宜为王如故 楚灵王以灵
侯弑其父 兵未罢 怒以驰郑 哙等见上流涕曰：“始陛下与臣等起丰沛 今予维共行天之罚 夫秦之初灭诸侯 则赵攻其北；此天之五官坐位也 夏人之居也 及卜筮立名声千里者 主兵事 破薛郡长 此横吉上柱外内自举柱足以作 乃遗乐间书曰：“纣之时 其角动 此挺诈内外自举 击楚军 匈
2.1.曲线的参数方程PPT课件
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考 虑 到 ＝ t ， 也 可 以 取 为 参 数 ，
y
于 是 有{xy rrcso ins(为 参 数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其 中 参 数 的 几 何 意 义 是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
27
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程
人教A版高中数学高二选修2-1课件 2.1 第1课时 曲线与方程
议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说 明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ).
A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线 的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的 直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双 曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心.
(3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进 行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线 的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】x(x2+y2-1)=0⇔x=0 或 x2+y2=1,则方程表示直线 x=0
和以(0,0)为圆心,1 为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0⇔
x = 0, x2 + y2-1
=
0⇔
x y
= =
0±,1,则方程表示点
(0,1),(0,-1).
【答案】C
探究 3:直接法求轨迹方程
【例 3】已知点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 满足 MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差为负数的等差数列,求点 P 的 轨迹方程.
【解析】满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,但曲线 C 上 的点的坐标不一定都满足方程 f(x,y)=0,故 A 不正确;坐标不满足 f(x,y)=0 的点,也可能在曲线 C 上,故 B 不正确;因为满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,故不在曲线 C 上的点必不满足方程 f(x,y)=0,故 C 正确,D 不正确.
1曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
参数法—知识总结与练习
参数法求曲线方程：当由条件很难直接建立动点坐标 x, y关系时， 则可设出参数（如斜率、角度、长度等），建立动点坐标 x, y
与参数的关系式，进而设法消去参数，即得动点的轨迹方程。要
注意消参前后 x, y 的等价性。
参数法—知识总结与练习
随另一动点的运动而有规律的运动， 且点轨迹为给定或容易求得，适宜 于用相关点法。
02
直接法：如果动点运动的条件就是
一些几何量的等量关系，这些条件简 单明确，易于表达成含有的等式，就 得到轨迹方程，这种方法称为直接法。 直接法求动点轨迹方程的一般步骤： 设点、列式、代换、化简、说明。
参数法：求轨迹方程有时很难直接
①（北京卷）设 A(c,0), B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到点A的距 离与到点B的距离之比为定值 a(a 0) ，求点P的轨迹。
②（江苏卷）已知圆 O1, O2 的半径都为1，| O1O2 | 4过两圆外的动 点P分别作圆 O1,O2 的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得 | PM | 2 | PN | 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。
y x1 Fra bibliotekx2y2
t1x
t12 y
0
①
以OB为直径的圆的方程为：
y x
t22 t2
y x
1
x2
y2
t2 x
t22
y
0
②
因为点C（x, y)满足①②，由①②知 t1,t2 是关于 t 的二次方程
yt 2 xt x2 y2
0
的两根，则： t1t2
x2
y
y2
又因为 t1t2
参数法—知识总结与练习
参数法求曲线方程：当由条件很难直接建立动点坐标 x, y关系时， 则可设出参数（如斜率、角度、长度等），建立动点坐标 x, y
与参数的关系式，进而设法消去参数，即得动点的轨迹方程。要
注意消参前后 x, y 的等价性。
参数法—知识总结与练习
随另一动点的运动而有规律的运动， 且点轨迹为给定或容易求得，适宜 于用相关点法。
02
直接法：如果动点运动的条件就是
一些几何量的等量关系，这些条件简 单明确，易于表达成含有的等式，就 得到轨迹方程，这种方法称为直接法。 直接法求动点轨迹方程的一般步骤： 设点、列式、代换、化简、说明。
参数法：求轨迹方程有时很难直接
①（北京卷）设 A(c,0), B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到点A的距 离与到点B的距离之比为定值 a(a 0) ，求点P的轨迹。
②（江苏卷）已知圆 O1, O2 的半径都为1，| O1O2 | 4过两圆外的动 点P分别作圆 O1,O2 的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得 | PM | 2 | PN | 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。
y x1 Fra bibliotekx2y2
t1x
t12 y
0
①
以OB为直径的圆的方程为：
y x
t22 t2
y x
1
x2
y2
t2 x
t22
y
0
②
因为点C（x, y)满足①②，由①②知 t1,t2 是关于 t 的二次方程
yt 2 xt x2 y2
0
的两根，则： t1t2
x2
y
y2
又因为 t1t2
常微分方程求曲线
求 曲 线1、求过点(1,2)的曲线，其上每点的切线，从原点到切点的向径和x 轴围成以x 轴为底的等腰三角形。
2、3、456、设曲线L 的极坐标方程为(),(,r r M r θ=若极径0OM ,OM 与曲线L 的一半，求曲线L 的方程。
7、设函数()(0)y x x ≥二阶可导，且'()y x (,)P x y 作该曲线的切线及x 1S ，区间[0,]x 上以()y y x =为曲边的曲边梯形面积记为2S ，并设122S S -恒为1，求此曲线()y y x =的方程。
8、设()y y x =是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(,)x y ，且此曲线上点(0,1)处的切线方程为1y x =+，求该曲线的方程，并求函数()y y x =的极值。
9、求xoy 平面上的一曲线，使其过每点的切线同该点的向径及oy 轴一起构成一个等腰三角形。
10、求一曲线，它的切线在坐标轴间的线段长等于常数a 。
11、设曲线y=f (x)上任意点M(x,y )到坐标原点的距离等于曲线在M 点切线的纵截距，已知曲线过(1,0)点，求此曲线的方程。
求 曲 线 答 案1、解：设曲线上一点（x,y ）则切线与x 轴的交点为（2x,0） y从而切线斜率为∴y y x x y x y ''=-=-414即 A （x,y ） 从而xy=c 又过点（1,2），故xy =22、解：设曲线上任取一点（x,y ）则点的切线与y 轴的截点为（0，2x ） 于是∴yy xxyxy''=-=-414即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111444[][][ln]3、解：设曲线上任取一点（x,y）则该点的切线与y轴的截点为（0，x）于是∴yy xxyxy''=--+=3130即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111333[][][ln]4、解：设曲线上任取一点（x,y）则该点的切线与y轴的截点为（0，3x）于是∴yy xxyxy''=--+=3130即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111333[][][ln]5、解：设曲线上任取一点（x,y）y则点的切线与y轴的截点为（0，4x）于是∴yy xxyxy''=-=-414即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111444[][][ln]6、解：由已知条件得2001122r dθθθθ=⎰⎰*）两边对θ求导得2r=，即'r=±，从而dθ=±。
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F
例2：点 M 与两条互相垂直的直线
的距离的积是常数 kk 0 求点的
轨迹方程．
例3：已知一条曲线距离
减去它到轴的距离的差都是2，求这 条曲线的方程．
练习巩固
题目：在正三角形 ABC内有一动点
P，已知 P到三个顶点的距离分别为
PA，PB，PC ,且有 PA2 PB 2 PC 2，
2.1.2求曲线的方程
复习 ①曲线的方程与方程的曲线的关系
② 求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y) 表示曲线上任意点M的坐标，简称— 建系设点；
(2)写出适合条件P的点M的集合 P={M|P(M)|}，简称—写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出 方程f(x，y)=0，简称—列方程；
求 P 点轨迹方程．
小结
（1）解析几何研究研究问题的方法 是什么？ （2）如何求曲线的方程？ （3）请对求解曲线方程的五个步骤 进行评价．各步骤的作用，哪步重 要，哪步应注意什么？
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式， 简称—化简方程；
(5)证明化简后的方程就是所求 曲线的方程，简称—证明．
例1：已知一条直线 和它上方的一 个点F，点F到 的距离是2，一条曲 线也在 的上方，它上面的每一点 到的 F 距离减去到 的距离的差
都是2，建立适当的坐标系，求这条 曲线的方程
例2：点 M 与两条互相垂直的直线
的距离的积是常数 kk 0 求点的
轨迹方程．
例3：已知一条曲线距离
减去它到轴的距离的差都是2，求这 条曲线的方程．
练习巩固
题目：在正三角形 ABC内有一动点
P，已知 P到三个顶点的距离分别为
PA，PB，PC ,且有 PA2 PB 2 PC 2，
2.1.2求曲线的方程
复习 ①曲线的方程与方程的曲线的关系
② 求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y) 表示曲线上任意点M的坐标，简称— 建系设点；
(2)写出适合条件P的点M的集合 P={M|P(M)|}，简称—写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出 方程f(x，y)=0，简称—列方程；
求 P 点轨迹方程．
小结
（1）解析几何研究研究问题的方法 是什么？ （2）如何求曲线的方程？ （3）请对求解曲线方程的五个步骤 进行评价．各步骤的作用，哪步重 要，哪步应注意什么？
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式， 简称—化简方程；
(5)证明化简后的方程就是所求 曲线的方程，简称—证明．
例1：已知一条直线 和它上方的一 个点F，点F到 的距离是2，一条曲 线也在 的上方，它上面的每一点 到的 F 距离减去到 的距离的差
都是2，建立适当的坐标系，求这条 曲线的方程