人教新课标A版 高中数学 必修2 第三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 同步测试D卷
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_6
课题：直线的倾斜角和斜率12课题：直线的倾斜角和斜率教学目标：1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率定义；2.理解直线的倾斜角的唯一性及直线的斜率的存在性.3、理解斜率公式的推导过程掌握过两点的直线斜率的计算公式； 教学重点：理解直线的倾斜角斜率的概念，并能灵活应用； 教学难点：直线的倾斜角和斜率关系图像的应用教学方法：启发引导、 观察归纳法 、数形结合，讲解法 教学过程：将学生分成两组，以小组竞赛的方式进行一、复习引入：在同一直角坐标系中，画出下列直线 设计意图：意在强调两点确定一条直线，过一点有无数条直线，这些直线倾斜程度不同引出直线倾斜角定义，直线找同学说，老师在黑板上画 二、直线的倾斜角定义 定义：（1）当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向所成的角叫做直线的倾斜角定义直接给出，结合复习引入中的三条直线，总结倾斜角范围 关键：①直线向上方向；②轴的正方向；③小于平角的正角． 规定：当直线和x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0°， 倾斜角的取值范围是： 然后采用层层深入设计问题，意在说明确定直线的要素，以抢答积分的形式l x x x l αl x 00180α≤<（1）y=x-1 (2) y=2x-2 (3) y=-x+13（1）已知直线上的一个点能确定一条直线的位置吗？ （2）已知直线的倾斜角α能确定一条直线的位置吗？（3）直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以确定一条直线吗？ 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是： 直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者缺一不可三、斜率的定义：凭少时玩滑梯记忆，理解坡比意义，有图片加以说明引出斜率定义，即接近生活，又形象生动。
一条直线的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，记为．例1、l 当直线的倾斜角为下列各角时，斜率分别为什么？(7)6π学生以强答形式，计分回答,教师板书.意在加强练习找学生回答，重在练习，若α=090时，斜率存在吗？完善定义，找出图像，用百岁山图片加强记忆一条直线的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，记()．再由动图得出倾斜角和斜率的变化关系，强化记忆当α=00 时，k= 0; 当00＜α＜090时，k ＞0 ;αtan kα=α2π≠130（）245（）360（）4120（）5135（）6150（）(8)4π5(9)6π4当α=090 时，k 不存在 当090＜α＜0180,k ＜0； 例2、l 当直线的斜率分别下列各值，倾斜角会是什么？例3、若直线l 的斜率k满足：333≤≤-k 则 l 的倾斜角a 的范围是 本题设计意图为已知斜率取值范围求倾斜角取值范围，充分利用函数图像，数形结合，观察出结果，从而解决问题，采用小组讨论比赛形式完成，讨论好板书结果，教师订正2、直线的斜率公式：我们知道两点确定一条直线，那么，对于给定两点P 1 （ x 1 ，y 1）， P 2 （ x 2 ，y 2）， 并且x 1 ≠x 2，如何计算直线P 1 P 2的斜率k ． 分析证明过程要详细说明，按倾斜角是锐角，钝角，再按两点上下关系不同分别说明，证明过程教师引导，师生一起完成，增强合作意识1212xx yy k --=21k =（）3k =（）4k =（）51k =-（）63k =-（）13k =（）263[0,][,)πππ⋃π5思考：（1）已知直线上两点111(,)P x y 、),(222y x P ， 运用上述公式计算直线的斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？（2）当直线平行于轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？（3）当直线与 x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 例4、 如图 ，已知 ，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？αy y ),2,3(A ),1,4(-B )1,0(-C6本题主要考察的是直线的倾斜角和斜率之间的关系，强化训练，学生回答教师板书，规范做题步骤 四、课堂小结：1、直线的倾斜角定义及其范围：2、直线的斜率定义：K>0 时， α为锐角；K<0 时， α为钝角； K=0 时， α=0；K 不存在， α= 90° 3、斜率公式：课堂小结仍以学生抢答计分形式，让学生谈收获，体会，总结课堂内容，最后总结两组得分，并给与奖励，学生们记忆深刻，为学生学习数学的积极性的提高作出很大贡献。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_0
第三章直线与方程3.1.1 直线的倾斜角与斜率第1课时教学目标一、知识与技能1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；2.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.二、过程与方法经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”的思想方法.三、情感、态度与价值观1.通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；2.通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学重点、难点教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学难点：斜率的计算方法.教学关键：直线斜率的两种计算方法.教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法.教法与学法导航教学方法：启发、引导、讨论.学习方法：探究、思考、讨论、练习.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案）.学生准备：一次函数与直线的关系、特殊角的正切值.教学过程详见下页表格.师生互动.教师提问：（由学生结合图形回答）因为平面直角坐标系内的每次序可以同时交换，举例举例例3.（1）若α=600则k=3,________ kα=-=则课堂作业1. 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）（1，1），（2，4）； （2）（–3，5），（0，2）； （3）（2，3），（2，5）； （4）（3，–2），（6，–2）【解析】（1）413021k -==>-，所以倾斜角是锐角； （2）25100(3)k -==-<--，所以倾斜角是钝角；（3）由x 1 = x 2 = 2得：k 不存在，倾斜角是90°； （4）2(2)063k ---==-，所以倾斜角为0°. 2. 已知点P (，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则Q 点的坐标为.【解析】因为点Q 在y 轴上，则可设其坐标为（0，b ） 直线PQ 的斜率k = tan120°= ， ∴k = ， ∴b = –2，即Q 点坐标为(02)-，.。
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直线的倾斜角与斜率的教学设计一、教学目标1.知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率概念，并能应用过两点的直线的斜率公式解决简单问题。
2.过程与方法：通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力。
3.态度情感与价值观：通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度。
二、教学重点与难点重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。
难点：用代数方法推导斜率的过程。
三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。
即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题1（出示幻灯片）过一点能确定一条直线吗？引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。
问题2 这些直线有怎样的区别？倾斜程度不一样.由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度怎样准确的表示它们的区别呢？观察图形，相互讨论，但是在倾斜角定义得出时会有困难。
给学生鼓励、引导，师生共同得出倾斜角概念。
1.倾斜角的定义:直线与x 轴相交时，直线向上的方向与x 轴正方向所成的角 叫做这条直线的倾斜角依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？（二）巩固旧知，同化新知日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的？当坡角α增大时，坡度如何变化？坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。
2、斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。
即)90(tan k ≠αα=问题3 所有的直线都有倾斜角和斜率吗练习已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：（1）α ＝30︒； （2）α ＝45︒；（3）α ＝120︒； （4）α ＝135︒．（三）尝试推导，深化认识两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。
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《3.1.1直线的倾斜角和斜率》教学设计【教学目标】知识与技能：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）会求过两点的直线的斜率；过程与方法：（1）经历倾斜角与斜率概念的形成过程,初步领悟数形结合的解析几何思想；（2）借助过两点的直线斜率公式的推导过程，进一步渗透分类讨论思想；情感态度价值观：通过情境贯串教学，让学生感知数学来源于生活，又应用于生活，从而激发学生的学习激情.通过数学概念的学习，体会到数学中的严谨治学的态度和数学结论中的美。
通过数学史的渗透，初步体会到数学文化的魅力【教学重点和难点】重点:直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率计算公式难点:（1）倾斜角和斜率之间的关系（2）过两点的直线斜率公式的推导过程关键点：借助问题情境的创设，设置学生活动；借助几何画板的演示，体验知识的形成过程.【教学方法】教法:情境教学法问题驱动法演示实验法学法: 观察讨论法自主探究法类比归纳法【教学用具】多媒体、几何画板【授课类型】新授【设计理念】本节课以一个情境贯串教学始终，层层深入，采用问题引领的探究式教学法，借助一个教学平台，贯串两条教学主线，再现三次教学情境，设置多次学生活动，根据“情境创设生活化，问题探究活动化，辨析质疑及时化，习题设置梯度化”的原则，让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，从而将本节课的教学步步推向高潮.【内容解析】本节课选自人教A版《数学》必修2第三章第一节《直线的倾斜角和斜率》.直线的倾斜角和斜率，分别从几何和代数的角度刻画了直线的倾斜程度，两者的联系桥梁是正切函数值，是解析几何的重要概念之一，也是研究直线方程及其位置关系等思维的起点.因此，本节起到“开启全章、承前启后”的作用.同时，本节课内容在平均变化率，导数的学习上起着至关重要的作用.【学情简析】本节课的授课对象是高一年级1720班.学生数学基础一般，已初步具备解析几何的基本思想.学生思维较活跃，善于交流，动手操作能力较强，但也有部分学困生，对高中数学的抽象性，符号化特点不太适应，对数学有畏难情绪。
(新课标人教A)数学必修二：3-1-1直线的倾斜角与斜率课件
• MATHEMATICS -直线与方程/＞（3o）0x3- 1直线的倾斜角与斜率3・1.1倾斜角与斜率【课标要求】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握求直线斜率的两种方法.3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.【核心扫描】1.求直线的倾斜角和斜率.（重点）2.常与三点共线、平面几何知识等结合命题.3.准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率.（易混点）Ad KEQIANTANJIUXUEXI01》课前探究学习挑战自我i点点落实自学导引1.倾斜角的概念和范围当直线Z与X轴相交时，我们取X轴作为基准，兀车由正方向与直线/向上方向之间所成的角a叫做直线I的倾斜角.当直线I与x轴干行或空时,我们规定它的倾斜角为0。
.直Ad KEQIANTANJIUXUEXI01》课前探究学习挑战自我i点点落实线的倾斜角«的范围是［°°「80。
）试一试：如图中所标直线的倾斜角正确的是(1) （2）（3）（4）2.斜率的概念及斜率公式想一想：直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗?名师点睛1・直线的倾斜角与斜率定义中应注意的问题2.直线的倾斜角与斜率的区别与联系(1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系.它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的.但倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便.⑵直线的倾斜角a与斜率b的关系如下表:M KETANGJIANGLIANHUDONG •-02》课堂讲练互动循循善诱触类旁通题型一已知倾斜角求斜率【例1】已知直线h的倾斜角为血= 15。
，直线h与的交点为直线人和乙向上的方向之间所成的角为120°,求直线仏的斜率k2.解设直线12的倾斜角为S 120。
+15。
=135。
・•\k2 = tan a2 = tan 135°= —1. •:直线J的斜率为一1・如图所示，可知«2=120°+«1y hL A X/ °、【变式1】如图所示，直线h 求儿＜2的斜率・的倾斜角«1 = 30°,直线h丄4X题型二斜率公式及其应用【例2】已知坐标平面内三点A(T,1), B(l,l), C(2,书+1).⑴求直线4B、BC、4C的斜率和倾斜角.⑵若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.解由斜率公式得,A/3+1—1 \[3说_2_(_1)_ 3・倾斜角的取值范围是0°^a<180°.又Vtan 0°=0, :.AB的倾斜角为0。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》教案_17
《直线的倾斜角与斜率》教学设计一、内容及其解析《线的倾斜角与斜率》是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。
本节内容是:直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。
其核心内容是:直线倾斜角的概念和斜率的求法。
理解它的关键是:在平面直角坐标系中,直线向上的方向与X轴正方向所成的角,和角的正切值。
之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。
二、教学目标（一）知识与技能1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.2、斜率公式的推导过程，掌握过两点的斜率公式（二）过程与方法经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”思想。
（三）情感态度与价值观1、通过直线倾斜角概念的引入学习，直线的斜率的定义，以及直线的倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流和评价能力。
2、通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合思想，树立辩证统一观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
三、学情与重难点分析本次授课班级为重点班，相对来说，学生基础较好。
本节课中教师主要采用问答式与学生分组讨论的形式进行，再由教师协助学生归纳总结的授课方式。
教学重点：直线的倾斜角，斜率的概念与公式。
教学难点：斜率的计算方法教学关键：直线斜率的两种计算方法教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法。
高中数学新课标人教A版必修2：直线的倾斜角、斜率与直线的方程 课件
[记结论·提速度]
[记结论]
1．直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应关系
α0
0＜α＜π2
π 2
π2＜α＜π
k0
k＞0 不存在 k＜0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．特殊直线的方程 (1)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 x 轴的方程为 x＝x1； (2)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 y 轴的方程为 y＝y1； (3)y 轴的方程为 x＝0； (4)x 轴的方程为 y＝0.
两点式 过两点
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
与两坐标轴均不垂直 的直线
截距式 纵、横截距
xa＋by＝1
不过原点且与两坐标 轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
所有直线
[提醒] 求直线方程时要注意判断直线的斜率是否存 在．每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
[重点准·逐点清] 重点一 直线的倾斜角与斜率
1．倾斜角的定义
[提醒] 直线的倾斜角 α 的取值范围是[0，π)．
2．直线的斜率 条件
直线的倾斜角 θ，且 θ≠90° 直线过点 A(x1，y1)，B(x2，y2)且 x1≠x2
直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)
公式 k＝tan θ k＝xy11－－yx22 k＝－AB
[提速度]
1．直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是
()
A．0，π4
B．34π，π
C．0，π4∪π2，π
D．π4，π2∪34π，π
解析：由直线方程可得该直线的斜率为－a2＋1 1，
又－1≤－a2＋1 1＜0，所以倾斜角的取值范围是34π，π.
高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件1
直线的倾斜角与斜率
难点名称： 1.理解直线的倾斜角与斜率的概念 2.斜率公式的灵活运用
目录
CONTENTS
导入
知识讲授
课堂练习
小结
2
直线的倾斜角
复习导入
问题1：在直角坐标系中点用坐标表示，如 何确定一条直线呢？
两点确定一条直线
问题2：一点能确定直线吗？下面三条直
线过了同一点P，他们之间区分是什么？
kR
注意：
例如：直线 l的倾斜角为 45 ,则斜率为：k tan 45 1
直线l的倾斜角为120 ,则斜率为：k tan120 3
所以，斜率也可以用来表示倾斜程度
探究：如何由直线上两点的坐标确定的直 线的斜率
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
o x1
l3
l2 l1
P
问题3.如何描述直线的倾斜程度？ 用
知识的讲授
直线的倾斜角
y
l
l1
oP
x
直线与x轴相
交，取x轴为基
准，
与
l 的方
向之间所成的角
α叫做直线 l的
倾斜角
规定：当直线和x轴平行或重合时它的倾斜角0°
归纳
直线的倾斜角范围： [0,180 )
倾斜角表示平面直角坐标系内直线的倾斜 程度
确定直线的方法有两种： ①直线上两点 ②直线上一点和直线的倾斜角
解：设 A1x1, y1 是直线l1 上一点，根据斜率公式
1= y 1 0 x1 0
即 y1 x1
，令 y1 x1=1
所以 A11,1 ，过
新人教A版必修2高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率
3．斜率公式
直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率 k＝yx22－－yx11(其 中 x1≠x2)．
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．( ) (2)任意一条直线都有斜率．( ) (3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．( ) 【答案】(1)√ (2)× (3)×
8
求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求 角． (2) 两 点 注 意 ： ① 当 直 线 与 x 轴 平 行 或 重 合 时 ， 倾 斜 角 为 0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的 取值范围是0°≤α＜180°.
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成 的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
2．直线的斜率
定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_正__切__值___叫 做这条直线的斜率，记为k，即k＝__t_a_n_α___.
取值 范围
当α＝0°时，____k＝__0__；当0°<α<90°时，__k_<_0__ ；当90°<α<180°时，_不__存__在___；当α＝90°时， 斜率____k_>_0__.
A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 【答案】D
【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角 为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.
直线的斜率公式
【例2】 在△ABC中，已知A(1，－1)，B(1,1)，C(3，－ 1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角或直角.
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_2
3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。
理解直线倾斜角的唯一性。
理解直线斜率的存在性。
斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。
（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念及斜率与倾斜角的关系。
难点：倾斜角与斜率的关系的探究。
三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。
即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程（一）创设情境，揭示课题北盘江大桥由云贵两省合作共建，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，相当于200层楼高——这也是世界最高的桥梁：大桥主桥采用主跨720m 钢桁架梁斜拉桥方案，为目前世界最大跨径的钢桁架梁斜拉桥。
于2016年12月29日通车，云南宣威城区至贵州六盘水的车程将从此前的5个小时左右，缩短为1个多小时。
桥梁上斜拉钢丝与桥面形成了之间具有不同的倾斜程度，这就是我们这节课所要研究的内容。
（二）新课探究，形成新知（1）动动手，画出满足条件的直线 1）在平面直角坐标系中画一条直线 2）在平面直角坐标系中画一条过原点的直线3）在平面直角坐标系中画一条与x 轴正方向所成的角为30°的直线4）在平面直角坐标系中画一条过原点且与x 轴正方向所成的角为 30°的直线（2）动动脑，回答下列问题1）在平面直角坐标系中，怎样确定一条直线的位置呢？ 2）在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件： 1.两点可以确定一条直线2. 已知直线上一点和这条直线的方向 （3）直线的方向——倾斜角的概念形成问题：在如图的平面直角坐标系中，以哪个角刻画倾斜程度？倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。
高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件
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(4)倾斜角 900，斜率不存在.
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
题型二
斜率公式的应用
例2、经过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线l的
下列哪些说法是正确的（
）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 F
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
F
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是 00或1800 F
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等F
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 T
F 、直线斜率的范围是R
T
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
x2 )
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通 过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求 出直线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂 直,α=900
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
练习： 高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件
y
y
y
y
α
o
x o α x oα x o α x
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
不是
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
下图中直线l1，l2，l3的倾斜角 大致是一个什么范围内的角？
y l3
l2 l1
高一数学人教版A版必修二课件：第3章3-1直线的倾斜角与斜率
答案
思考2 对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？ 为什么？ 答案 一定有l1∥l2.因为k1＝k2⇒tan α1＝tan α2⇒α1＝α2⇒l1∥l2.
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件 对应关系
α1＝α2≠90° l1∥l2⇔ k1＝k2
α1＝α2＝90° l1∥l2⇐两直线斜率都不存在
返回
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
学习目标
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件； 2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直； 3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用.
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 两条直线平行的判定
思考1 如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角 分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间 有什么关系？k1与k2之间有什么关系？ 答案 α1与α2之间的关系为α1＝α2； 对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2， 因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2. 当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在.
4.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
(1)(1,1)，(2,4)；
解
4－1 k＝2－1＝3>0，
所以倾斜角是锐角；
(2)(－3,5)，(0,2)； 2－5
解 k＝0－－3＝－1<0，
所以倾斜角是钝角；
解析答案
(3)(2,3)，(2,5)； 解 由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90°； (4)(3，－2)，(6，－2).
图示
答案
知识点二 两条直线垂直的判定
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》教案_15
高中数学教学设计编写人：编写时间：课题：3.1.1直线的倾斜角与斜率一．教学内容分析解析几何是借助直角坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，真正实现数形结合，是数学史上的重大突破，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。
本课题“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修二第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。
本节课是在学生掌握了一次函数及三角函数的基础上进行的，为学习直线方程及直线的位置关系等提供知识基础，同时也初步向学生渗透解析几何数形结合的数学思想与方法。
直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
本节课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。
二．学生学习情况分析教学对象是广东仲元中学高一年级的学生。
他们思维活跃，勇于挑战，数学基础相对较好。
在教学中，充分利用几何画板等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。
三．教学目标1. 知识技能：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）掌握和运用直线倾斜角和斜率的关系，并能完成二者间的互化；2. 过程与方法：（1）培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；（2）使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。
3. 情感、态度与价值观：（1）通过对直线倾斜角和斜率的学习，体验用代数方法刻画直线斜率的过程；（2）通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维；（3）激发学生学习数学的热情。
四．教学重点与难点重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；难点：掌握和运用直线倾斜角和斜率的关系，并能完成二者间的互化.五．教学过程设计【目标导引】展示学习目标【自主学习】知识梳理及课前训练[导语] 必修二前两章我们初步接触立体几何，接下来的后两章将会学习解析几何。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课课件_6
②当α∈［0， 90°）时，K≥0 ③当α∈( 90°， 180°）时，K＜0
举例
练3. 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说
法是正确的（ D, F ）
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等； E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等； F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
求l1，l2 的斜率.
解：
y
l2
l1
l1的斜率k1 tan 1 tan 30。
3 3
1
O
l2的倾斜角2 90。 30。 120。
2 x
l2的斜率k2 tan120。 tan(180。 60。) tan 60。 3
举例
例2. 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３， 试比较斜率的大小
规定它的倾斜角为0°.
倾斜角α的取值范围： 00≤α＜1800
练习1：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如
果不对，违背了定义中的哪一条？
y
o
x
y
y
o
x o
y
x
o
x
（1）
（2）
（3）
（4）
注意：直线L向上的方向与X轴的正 方向限定了角的两边所在的射线
问题：一条直线的倾斜角确定，这条直线在
平面直角坐标系的位置确定吗？
例题4.如图：已知A（3，2），B（-4,1），
C（0，-1），求直线AB，BC，CA 的斜率，并
判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。
y
解：直线AB的斜率
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课课件_0
l O Px
它们的倾斜程度不同．
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
y l3 l2 l1
O
P
x
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为 基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫 做直线 l 的倾斜角.
y
注： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
a
o
x
思 考
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
相等
2、若给定一个倾斜角 ，能确定一条直线的位置？ 并说明理由。
不能
确定一条直线需要几个几何要素呢？
1、直线上的一个定点； 2、直线的倾斜角。
坡度（比）
升高量（即坡角的正切值） 前进量
直线的斜率
定义：一条直线的的倾斜角α（ 90）的正切值叫做
这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan （ 90）
注：倾斜角是90 °的直线没有斜率。
我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
例2
提示：tan 180 - - tan
已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率. (1) 30 ; (2) 45 ; (3) 120 ;
(4) 135 ;
讨论：倾斜角的变化对斜率的影响
直线的倾斜角范围
议一议：如果一条直线绕着一点旋转，则它的倾斜角有 什么变化？
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o
p
x直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 0
直线倾斜角α的范围为： 0,180
思 考
1、如图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等？
y
ab
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课课件_20
《几何学》
《圆锥曲线论》
牛顿（1642-1727） 二次和三次曲线理论
欧拉（1707-1783） 拉格朗日(1736-1813)
《分析引论》
《解析力学》
拉盖尔（1834-1886） 把解析几何在空间展开
二、创设情景、引入新课
情境引入：观察图形中直线， 你发现了什么吗？
．O
．
A 1.经过一点可以作无数条直线；
． ． 2.经过两点可以确定一条直线； ．
3 .一点+某个固定方向 确定一条直线 。
归纳： 确定一条直线位置的要素：
1、经过两点； 2、一点+直线的方向,也就是直 线的倾斜程度. 那么，直线的方向我们该如何来表示呢？
三、师生互动、概念生成
（一）直线的倾斜角
1.直线倾斜角的定义：
当直线 l与X轴相交时，我们取x轴作为基
y
当 =90o时，
k =?
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时，
直线的斜率为多少？
90o tan (不存在)，
即k不存在。
∴直线斜率 k tan (α 900 )
2.探究：直线的倾斜角与斜率的关系
直线的倾斜角与斜率的关系（探究1）.gsp 直线的倾斜角与斜率的关系（探究2）.gsp
高中数学人教A版 必修2
3.1.1直线的倾斜角与斜率 （一）
一、回顾历史、展望未来
解析几何学的创立者
——法国数学家笛卡儿、费马
形
几何
研究 几何问题
桥梁
y
数
o
x 代数
坐标系
用代数的方法
解析几何学的发展历程是漫长的 是先辈们的汗水和智慧的结晶 迪卡儿→费马→… →今天的你 →…
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_1
倾斜角是从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，但是如何具体刻画直线的倾斜程度呢？这就需要一个能够“量化”的量来刻画。思考2：在日常生活中，有没有其他表示倾斜程度的量？
例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线 ， ， 及 。
例1的作用是已知给定直线上两点坐标求直线斜率，在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系，以及斜率和倾斜角的关系。体现数学运算和逻辑推理核心素养。
目的是加强数形结合。通过分析，得到为了方便的画出直线，还需要在确定一个点。从而说明用坐标法表示斜率公式的必要性。体会逻辑推理喝几何直观想象。
板书课题: 3.1.1倾斜角和斜率
通过一些列问题，自然生成寻找确定直线的几何要素的想法。由熟知的两点确定一条直线，去掉一个点后，提出问题：“过一点能确定一条直线吗?”通过与学生共同画图，借助于PPT的展示，直观的看出，过一点可以作出无数条直线，一点不能确定一条直线。那么，紧接引导学生思考“这些直线的区别在哪？什么地方不同？”，学生通过图片很自然地看出直线的倾斜程度不同，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的必要性和形成过程。逐步渗透数学抽象这一核心素养。在几何画板上的操作直观的感受到倾斜程度不同。
既然斜率是直线倾斜程度的一个很好的代数表示？为什么还要引入过两点直线的斜率的公式呢？这是因为倾斜角的正切值表示斜率有其局限性：对有非特殊倾斜角的直线，正切值很难算出，有必要用其他更好的方法来计算斜率，自然而然引入过两点的直线的斜率公式。
重难点分析
重点：探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过
高中数学 第三章 直线与方程 3.1.1 倾斜角与斜率课件 新人教A版必修2
K12课件
3
三、核心素养 通过本章学习学生经历如下的过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言 描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题; 分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.帮助学生不断地体会“数形 结合”的思想方法.
K12课件
4
3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率
答案:(2) 3 -1 0°<α <90° 90°<α <180°
K12课件
时,α =60°;当 ;当k<0时,α 的范
14
方法技巧 (1)根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图,则 直线向上的方向与x轴的正方向所成的角,即为直线的倾斜角. (2)直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况: ①当0°≤α<90°时,随α的增大,k在[0,+∞)范围内增大; ②当90°<α<180°时,随α的增大,k在(-∞,0)范围内增大.
(A)-1
(B) 1 2
(C)1
(D) 3 2
K12课件
11
3.(由两点计算斜率)过两点A(1, 3 ),B(4,2 3 )的直线的倾斜角为( A ) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
4.(倾斜角与斜率)已知M(a,b),N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角
.
答案:90°
K12课件
15
即时训练1-1:(1)已知一条直线过点(4,-2)与点(1,-2),则这条直线的倾斜 角为( ) (A)0° (B)45° (C)60° (D)90°
(2)已知直线l过点O(0,0),A(1,1),将l绕点O逆时针方向旋转75°,得到直线
l′,则直线l′的倾斜角为
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人教新课标A版高中数学必修2 第三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率同步
测试D卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共15题；共30分)
1. （2分）已知点A（a，a）（a≠0），B（1，0），O为坐标原点．若点C在直线OA上，且BC与OA垂直，则点C的坐标是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）(2018·长沙模拟) “ ”是“直线的倾斜角大于”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
3. （2分）若点P是函数图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的最小值是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）线l经过原点和点（﹣， 1），则它的斜率为（）
A . -
B . -
C .
D .
5. （2分）已知M(a，b)，N(a，c)(b≠c)，则直线MN的倾斜角是（）
A . 不存在
B . 45°
C . 135°
D . 90°
6. （2分）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α ，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1 ，那么l1的倾斜角为（）
A . α＋45°
B . α－135°
C . 135°－α
D . 当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
7. （2分）若ac＞0且bc＜0，直线ax+by+c=0不通过（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
8. （2分）如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
9. （2分）直线l1：ax+y+b=0和直线l2：=﹣1在同一坐标中的图形可能是下图中的（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）直线的倾斜角的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2018高二下·陆川月考) 设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）直线mx+ny﹣1=0同时过第一、三、四象限的条件是（）
A . mn＞0
B . mn＜0
C . m＞0，n＜0
D . m＜0，n＜0
13. （2分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，2）且与线段AB相交，则l的斜率k的取
值范围是（）
A . k≤﹣1或k≥5
B . ﹣5≤k≤1
C . ﹣1≤k≤5
D . k≤﹣5或k≥1
14. （2分）若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）
A .
B .
C .
D .
15. （2分）已知过点P（﹣2，m），Q（m，6）的直线的倾斜角为45°，则m的值为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
二、填空题 (共5题；共5分)
16. （1分） (2017高一下·安庆期末) 过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为________．
17. （1分）将直线y=2x绕原点逆时针旋转，则所得直线的斜率为________ ．
18. （1分）若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．
19. （1分）过点（1，3）作直线l，若l经过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，则可作出的l的个数为
________ 条．
20. （1分）(2018·山东模拟) 直线的倾斜角的取值范围是________.
三、解答题 (共5题；共25分)
21. （5分） (2016高一上·广东期末) 设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
22. （5分）△OAB的三个顶点是O（0，0），A（1，0），B（0，1）．如果直线l：y=kx+b将三角形OAB的面积分成相等的两部分，且k＞1．求k和b应满足的关系．
23. （5分） (2018高二上·哈尔滨期中) 曲线，直线关于直线对称的直线为，直线，与曲线分别交于点、和、，记直线的斜率为．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
24. （5分） (2017高一下·安庆期末) 设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
25. （5分）已知函数．
（1）若，且，求的最大值；
（2）当时，恒成立，且，求的取值范围．
参考答案一、单选题 (共15题；共30分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
三、解答题 (共5题；共25分) 21-1、
21-2、
22-1、
23-1、24-1、
24-2、
25-1、
25-2、。