2019-2020学年河北省石家庄一中高一(上)期末数学试卷
河北省石家庄市2019年数学高一上学期期末试卷
河北省石家庄市2019年数学高一上学期期末试卷一、选择题1．在正方体，为棱的中点，，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 2．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（ ）A.3B.4C.5D.63．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N*+=∈，则4S 的值为（ ） A ．3 B ．72 C ．154D ．不确定 4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1AA 与平面11AB C 所成的角为（ ）A.6πB.4πC.3πD.2π 5．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．2506．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1037=+。
在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于18的概率是（ ） A.15 B.1115 C.35 D.137．已知,(1,)m n ∈+∞，且m n >，若26log log 13m n n m +=，则函数2()m n f x x =的大致图像为（ ）A. B.C. D.8．已知函数()131,0ln ,0x x f x x x +⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为A.(]1,2-B.()1,2-C.[)2,1-D.(],2-∞9．从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．10．已知点A(2，-3)，B(-3，-2)直线l 过点P(1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是（ ）A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．34k 4-≤≤ D ．3k 44≤≤ 11．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，8 12．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则等于（ ）A ．B ．2C ．D ．4 二、填空题13．若1sin()63πα-=，则2cos ()62πα+=________. 14．如图，在凸四边形ABCD 中，,,4,23AB BC ABC AD CD π=∠===，则四边形ABCD 的面积最大值为________．15．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(P ，则sin()πα-=__________．16．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .三、解答题17．已知集合{}02A x =<，{}2log ,B y y x x A ==∈. (1)求A B ；(2)若()2,x f x x x A B =+∈⋂，求函数()f x 的值域.18．已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N=-+∈（1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足：()*133log log n n a n b n N ++=∈，求{}n b 的前n 项和nT （结果需化简） 19．已知函数()f x 是奇函数，当(0,1]x ∈时，()21x f x =-.（1）求[1,0)x ∈-时，()f x 的解析式；（2）当[1,0)x ∈-时，判断()f x 的单调性并加以证明.20．已知函数()21cos sin cos .2f x x x x =+- （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递减区间；(3)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 21．已知直线1:(21)(2)340l m x m y m ++-+-=，无论m 为何实数，直线1l 恒过一定点M .（1）求点M 的坐标；（2）若直线2l 过点M ，且与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形面积为4，求直线2l 的方程.22．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，且2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求B 的大小；（2）求ABC ∆面积的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．2314．8+ 15．12 16．三、解答题17．（1）{}=02A B x x ⋂<<（2）(16)， 18．（1）0,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）()3899164n n n n T -+=•； 19．（1）()21x f x -=-+（2）函数()f x 在[1,0)-上为单调增函数,证明过程详略20．（1）π；（2）5[,],88k k k Z ππππ++∈；（3）min 1()2f x =- 21．(1) (1,2) (2) 240x y +-=22．（1）3B π=（2。
河北省石家庄一中2019-2020学年高一上学期期末数学复习卷 (有解析)
河北省石家庄一中2019-2020学年高一上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合S ={(x,y)|x +y =3}，T ={(x,y)|x −y =1}那么集合S ∩T = ( )A. {2,1}B. (2,1)C. x =2,y =1D. {(2,1)} 2. 函数f(x)=cos(πx −π6)的图象的对称轴方程为( ) A. x =k +23(k ∈Z)B. x =k +13(k ∈Z)C. x =k +16(k ∈Z)D. x =k −13(k ∈Z)3. 已知角α的终边上一点(m,8)，且cosα=−35，则实数m 的值为( )A. 6B. −6C. 10D. −104. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,1)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 7B. −7C. 15D. −15 5. 已知f(x)={a x ,x ≤−1(a −3)x +a −5,x >−1在(−∞,+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A. (0,+∞) B. (−∞,3) C. (0,3) D. (0,2]6. 周长为9，圆心角为1rad 的扇形的面积为( )A. 92B. 94C. πD. 27. 函数f (x )=−4x 2+12x 4的大致图象是( ) A. B.C. D.8. 按数列的排列规律猜想数列23，−45，67，−89，⋅⋅⋅的第10项是( ) A. −1617 B. −1819 C. −2021 D. −2223 9. f(sinx)=cos15x ，则f(cosx)=( )A. sin15xB. cos15xC. −sin15xD. −cos15x10. 已知函数f(x)为定义在[−3,t −2]上的偶函数，且在[−3,0]上单调递减，则满足f(−x 2+2x −3)<f(x 2+t5)的x 的取值范围( ) A. (1,+∞) B. (0,1] C. (1,√2]D. [0,√2] 11. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为6π，且其图象向右平移2π3个单位后得到函数g(x)=sinωx 的图象，则φ等于( )A. 4π9B. 2π9C. π6D. π3 12. 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =3EC,CD 与BE 交于点O ，则BOOE =( ) A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设集合A ={x,y}，B ={0,x 2}，若A ，B 相等，则实数x 的值为________，y 的值为__________．14. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则向量e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ 的夹角为______ ．15. 已知cos(α−π6)=√22，则sin(2α+π6)= ______ ． 16. 已知函数f(x)={2,x >m x 2+4x +2,x ≤m，若方程f(x)−x =0恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|1<x <3}，集合B ={x|2m <x <1−m}．(1)当m =−1时，求A ∪B ；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．18.设a⃗=(3,−sin2x)，b⃗ =(cos2x,√3)，f(x)=a⃗⋅b⃗(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最大值及取最大值时x的集合．19.设函数f(x)=log2x.(1)解不等式f(x−1)+f(x)>1；(2)设函数g(x)=f(2x+1)+kx，若函数g(x)为偶函数，求实数k的值；)−f(x−3t)|≤1(3)当x∈[t+2,t+3]时，是否存在实数t(其中0<t<1)，使得不等式|f(1x−t 恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．20. 在RtΔABC 中，∠BAC =π2，AB =AC =6，设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0).(1)当λ=2时，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；(2)若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =18，求λ的值．21. 已知函数f(x)=2sin(13x −π6)，x ∈R ．(1)求f(5π4)的值；(2)若α，β∈[0,π2]，f(3α+π2)=1013，f(3β+2π)=65，求cos(α+β)的值．22. 已知函数f(x)=x 2+x −2，g(x)=|f(x)|−f(x)2，(1)写出函数g(x)的解析式；(2)若直线y =ax +1与曲线y =g(x)有三个不同的交点，求a 的取值范围；-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．根据题意S ，T 都是点集，利用交集的定义即可求得结果．解：联立{x +y =3x −y =1， 解得{x =2y =1，因此S ∩T ={(2,1)}．故选D ．2.答案：C解析：本题考查了余弦型函数的对称轴方程的求法．属于基础题．根据余弦函数的性质即可求解对称轴方程．解：函数f(x)=cos(πx −π6)，令πx −π6=kπ，k ∈Z ，可得：πx =kπ+π6，k ∈Z ，即x =k +16，k ∈Z ．故选：C ． 3.答案：B解析：解：∵角α的终边上一点(m,8)，且cosα=2=−35，则实数m =−6，故选：B ．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 4.答案：B解析：本题考查了向量的数量积和向量的模，由|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，得(m +3)2+9=9，得出m =−3，再由向量的数量积计算即可．解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +3,3)，∵|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，∴(m +3)2+9=9，∴m =−3，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1)， ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−9+2=−7． 故选B ．5.答案：D解析：本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题．由条件利用函数的单调性的性质列出不等式组，从而求得a 的取值范围．解：∵函数f(x)={ax ,x ≤−1(a −3)x +a −5,x >−1在(−∞,+∞)上是减函数， ∴{a −3<0a >0−a +3+a −5≤−a, 求得0<a ≤2，故选D ． 6.答案：A本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键． 根据扇形的面积公式进行求解，即可得出结论．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l +2r =9，∵圆心角为1rad 的弧长l =r ，∴3r =9，则r =3，l =3，则对应的扇形的面积S =12lr =12×3×3=92．故选A ． 7.答案：D解析：本题主要考查了函数图象的作法，属于基础题．解：当x =1时，f(x)=−4x 2+12x 4=−4×1+12=−32， 故排除A ，B ，C ，故选D ．8.答案：C解析：本题考查了根据数列的特点经过分析观察猜想归纳得出数列的通项公式，属于基础题．由数列23，−45，67，−89，….可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n(n 为项数)，分母为奇数2n +1或分母比分子大1.即可得到通项公式．解：由数列23，−45，67，−89，….可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n(n 为项数)，分母为奇数2n +1或分母比分子大1．故可得通项公式a n =(−1)n+1⋅2n 2n+1．∴a 10=(−1)11⋅2021=−2021．9.答案：C解析：−本题考查了函数解析式，诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．将cos x变形为sin(π2 x)，根据已知等式变形，再利用诱导公式化简即可得到结果．解：∵f(sinx)=cos15x，−x))，∴f(cosx)=f(sin(π2=cos(15×(π−x))，2π−15x)，=cos(152−15x)，=cos(8π−π2=cos(π+15x)，2=−sin15x．故选C．10.答案：C解析：根据函数的奇偶性和单调性可得．本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题．解：因为函数f(x)为定义在[−3,t−2]上的偶函数，所以−3+t−2=0，t=5，因为函数f(x)为定义在[−3,3]上的偶函数，且在[−3,0]上单调递减，)等价于f(−x2+2x−3)<f(−x2−1)，所以f(−x2+2x−3)<f(x2+t5即0≥−x2+2x−3>−x2−1≥−3，1<x≤√2．故选：C．11.答案：B解析：解：函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为6π，则：ω=2π6π=13，则：f(x)=sin(13x +φ)，将函数的图象向右平移2π3个单位后得到：g(x)=sin[13(x −2π3)+φ]=sin 13x ， 即：φ=2π9．故选：B ．直接利用正弦型函数的性质和平移变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，三角函数的平移变换．12.答案：C解析：本题主要考查了向量的运算、向量相等、平面向量基本定理，属于中档题．设BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，把AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的两种不同表示，根据向量相等列方程组 求得λ，μ，进一步得解．解：设BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵D 是AB 的中点，AE =3EC ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3λ4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{12μ=1−λ3λ4=1−μ,∴λ=45,μ=25,∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故选C ．13.答案：1；0解析：本题考查集合相等，属于基础题目．分类讨论得出即可．解：∵{x,y}={0,x 2}，若x =0，集合B 不满足集合元素的互异性，不符合题意；∴x ≠0且{y =0x =x 2, 解得x =1，y =0．故答案为1；0．14.答案：23π 解析： 分别求出|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |，|e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ |，(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )(e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ )，从而代入求余弦值，从而求角．本题考查了平面向量的数量积的定义及运算，属于中档题．解：∵单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，∴|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |=√e 1⃗⃗⃗ 2+e 2⃗⃗⃗ 2+2e 1⃗⃗⃗ e 2⃗⃗⃗ =√1+1+2⋅1⋅1⋅cos60°=√3， |e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ |=√1+4−2⋅1⋅1⋅2⋅cos60°=√3，(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )(e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ )=−e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ 2+e 2⃗⃗⃗ 2=−12−2+1=−32，设向量e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cosθ=−32√3⋅√3=−12， 又，故θ=23π，故答案为：23π．15.答案：0解析：解：∵cos(α−π6)=√22， ∴sin(2α+π6)=cos[π2−(2α+π6)]=cos(π3−2α)=cos[2(α−π6)]=2cos 2(α−π6)−1=2×(√22)2−1=0．故答案为：0．利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式即可求值．本题主要考查了诱导公式及二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．16.答案：[−1,2)解析：本题考查方程根的个数的判断，体现了数形结合及转化的数学思想．由题意得，函数y =f(x)与函数y =x 有三个不同的交点，结合图象可得出实数m 的取值范围．解：方程f(x)−x =0恰有三个不同的实数根，即函数y =f(x)与函数y =x 有三个不同的交点．如图所示：y =f(x)的图象是一条抛物线的部分加上一条平行于x 轴的射线，函数y =x 的图象s 过原点(0,0)的直线，通过联立方程，分别求出A 点和B 点的坐标：由{y =x y =x 2+4x +2，联立可得{x =−1y =−1,{x =−2y =−2，即A(−1,−1)， 再由{y =x y =2，联立可得{x =2y =2，即B(2,2)， 根据图象的性质可以判断当−1≤m <2时，直线y =x 的与y =f(x)的图象有三个不同的交点， 即方程f(x)−x =0恰有三个不同的实数根．故答案为[−1,2)．17.答案：解：(1)当m =−1时，B ={x|−2<x <2}，A ∪B ={x|−2<x <3}．(2)由A ⊆B 知{1−m >2m 2m ≤11−m ≥3，解得m ≤−2，即实数m 的取值范围为(−∞,−2]解析：(1)根据并集的定义即可求出，(2)由题意可知{1−m >2m 2m ≤11−m ≥3，解得即可．本题主要考查集合的之间的关系，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．18.答案：解：(1)由题意得，a ⃗ =(3,−sin2x)，b ⃗ =(cos2x,√3)，所以f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =3cos2x −√3sin2x=2√3(√32cos2x −12sin2x)=2√3cos(2x +π6)， 则最小正周期T =2π2=π；(2)由(1)得，f(x)=2√3cos(2x +π6)，当2x +π6=2kπ时，即x =kπ−π12(k ∈Z)，f(x)取到最大值是2√3，此时x 对应集合是{x|x =kπ−π12,k ∈Z}．解析：(1)由题意、数量积的运算、两角和的余弦公式化简f(x)，利用三角函数的周期公式求出的f(x)的最小正周期；(2)由(1)和余弦函数的性质，求出f(x)的最大值及取最大值时x 的集合．本题考查余弦函数的性质，数量积的运算、两角和的余弦公式，以及三角函数的周期公式，熟练掌握公式是解题的关键．19.答案：(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分(4分)，第2小题满分(5分)，第3小题满分(7分)．解(1)log 2x +log 2(x −1)>2，可得：{x >0x −1>0x(x −1)>4， 解得x >2(4分)(给出x <−1或x >2扣1分)(2)g(−x)=g(x)，即log 2(2−x +1)−kx =log 2(2x +1)+kx ，(5分)整理，得(2k +1)x =0，k =−12； (9分)(如g(−1)=g(1)，k =−12，没有证明扣2分)(3)不等式|f(1x−t )−f(x −3t)|≤1恒成立，即|log 21x−t −log 2(x −3t)|=|log 2(x −t)(x −3t)|≤1，(11分) 等价于12≤ℎ(x)=(x −t)(x −3t)≤2恒成立，解ℎ(x)max =ℎ(t +3)≤2,ℎ(x)min =ℎ(t +2)≥12，得t ≤78,t ≥76，综上，不存在t 符合题意． (16分)解析：(1)化简f(x −1)+f(x)>1；利用对数不等式转化为不等式组，求解即可．(2)通过函数g(x)为偶函数，利用偶函数的定义推出方程，即可求实数k 的值；(3)转化不等式|f(1x−t )−f(x −3t)|≤1恒成立，为函数的最值问题，通过绝对值函数的最值，求出t 的取值范围即可．本题考查对数不等式的解法，函数的最值，转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力． 20.答案：(1)−36；(2)12解析：如图：(1)当λ=2时，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0−36=−36.(2)因为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅[AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+(1−λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =36λ，∴36λ=18，解得λ=12． 21.答案：解：(1)f(5π4)=2sin(13×5π4−π6)=2sin π4=√2， (2)f(3α+π2)=2sin[13(3α+π2)−π6]=2sinα=1013，即sinα=513， f(3β+2π)=2sin[13(3β+2π)−π6]=2sin(β+π2)=65，即cosβ=35， ∵α∈[0,π2],β∈[−π2,0]， ∴cosα=√1−sin 2α=1213，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=1213⋅35−513(−45)=5665．解析：此题考查了两角和与差公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．(1)直接将x=5π4代入即可求得结果；(2)由函数解析式化简已知两等式求出sinα与cosβ的值，由α与β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinβ的值，将所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．22.答案：解：(1)当f(x)=x2+x−2≥0，得x≥1或x≤−2，此时g(x)=0；当f(x)=x2+x−2<0，得−2<x<1，此时g(x)=−f(x)−f(x)2=−f(x)．∴g(x)={0,(x≤−2或x≥1)−x2−x+2,(−2<x<1)．(2)当a=0时，直线y=1与曲线y=g(x)只有2个交点，不符题意．当a≠0时，由题意得，直线y=ax+1与曲线y=g(x)在x≤−2或x≥1内必有一个交点，且在−2<x<1的范围内有两个交点．由消去y，得x2+(a+1)x−1=0．令φ(x)=x2+(a+1)x−1，则a应同时满足以下条件：解得−1<a<0或0<a<12，).所以a的取值范围为(−1,0)∪(0,12解析：本题考查了函数的解析式及函数的零点与方程根的关系，考查推理计算能力，为中档题．(1)由题意对f(x)≥0，f(x)<0讨论，即可求得g(x)的解析式；(2)讨论a=0和a≠0的情况，联立，得x2+(a+1)x−1=0，令φ(x)=x2+(a+1)x−1，根据条件即可得a的取值范围；。
河北省石家庄市中学高一数学理上学期期末试卷含解析
河北省石家庄市中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C【考点】E7：循环结构．【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．2. 已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角参考答案：C[由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．]3. 如图所示的是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为a，b，c的正方形和一个直角三角形围成，现已知，，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的阴影部分的概率为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先计算总面积，再计算阴影部分面积，相除得到答案.【详解】图形总面积为：阴影部分面积为：概率为：故答案选C【点睛】本题考查了几何概型计算概率，意在考查学生的计算能力.4. 已知数列{a n}为等差数列，若，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由等差数列的性质可得a7=，而tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函数公式化简可得．【详解】∵数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π，∴a1+a7+a13=3a7=4π，解得a7=，∴tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣故选：D．【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及三角函数中特殊角的正切函数值的运算，属基础题．5. （4分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可．解答：解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题．6. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ=（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：A【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2， =，∴=，∴λ=，故选A．7. 设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3参考答案：C【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】化简这三个数为2x的形式，再利用函数y=2x在R上是增函数，从而判断这三个数的大小关系．【解答】解：∵=21.8，=（23）0.48=21.44，=21.5，函数y=2x在R上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，∴21.8＞21.5＞21.44，故y1＞y3＞y2，故选C．8. 函数y=ax2+bx+3在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞)上是减函数，则（）A. b>0且a<0B. b=2a<0C. b=2a>0D. a，b的符号不定参考答案：B试题分析：由函数的单调性可知函数为二次函数，且开口向下，对称轴为考点：二次函数单调性9. 设全集，则等于 ( ）A． B． C． D．参考答案：D10. 设向量均为单位向量，且，则夹角为( )A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是．参考答案：60°【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，解直角三角形求出∠ADE的大小，即为所求．【解答】解：由题意可得，三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则AE⊥∠面BB1C1C，ED就是AD在平面BB1C1C内的射影，故∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，设三棱柱的棱长为1，直角三角形ADE中，tan∠ADE===，∴∠ADE=60°，故答案为60°．12. 方程在R上的解集为______________.参考答案：；【分析】先解方程得，写出方程的解集即可.【详解】由题得，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角方程的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13. 若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．参考答案：14. 已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____.参考答案：2 2【分析】设扇形的半径是，由扇形的周长为，圆心角为，解得半径，再求面积。
2019-2020学年河北石家庄高一上数学期末试卷
2019-2020学年河北石家庄高一上数学期末试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|y =lg (2−x )}，B ={x|x 2−3x ≤0}，则A ∩B =( ) A.{x|0<x <2} B.{x|0≤x <2} C.{x|2<x <3} D.{x|2<x ≤3}2. sin 18∘cos 12∘+cos 18∘sin 12∘=( ) A.−√32B.−12C.√32D.123. 函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的大致区间为( ) A.(−2, −1) B.(−1, 0) C.(0, 12)D.(12, 1)4. 设向量a →=(m,1)，b →=(1,−3)，且a →⊥(a →+b →)，则m =( ) A.3 B.−2 C.1或−2 D.1或35. 下列不等式正确的是（ ） A.log 30.2<0.23<30.2 B.log 30.2<30.2<0.23 C.0.23<log 30.2<30.2 D.30.2<log 30.2<0.236. 已知 θ∈(0,π2)，sin θ=√55 ，则cos 2θtan θ=( ) A.−310B.310C.−65D.657. 已知函数y =log a (x +3)−1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f(x)=3x +b 的图象上，则f(log 94)=( ) A.89 B.79C.59D.298. 若函数f (x )={(12)x，x ≥4，f (x +1)，x <4，则f(log 23)等于（ ）A.16B.112C.124D.13二、多选题下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.y =2x B.y =tan xC.y =(13)xD.y =x 3关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是( ) A.若a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →B.a →=(1,1)，b →=(2,x )，若a →+b →与4b →−2a →平行，则x =2C.非零向量a →和b →满足|a →|=|b →|=|a →−b →|，则a →与a →+b →的夹角为60∘ D.已知两点A (1,3)，B (4,−1)，则与向量AB →同方向的单位向量为(35,−45)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)，(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法错误的是( )A.f (x )的图象关于直线x =−2π3对称B.f (x )的图象关于点(−5π12,0)对称C.将函数y =√3sin 2x −cos 2x 的图象向左平移π2个单位得到函数f (x )的图象D.若方程f (x )=m 在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(−2,−√3]函数f(x)的定义域为R ，且f(x +1)与f(x +2)都为奇函数，则( ) A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x +3)为奇函数D.f(x +4)为偶函数三、填空题已知向量a →=(3,4)，b →=(2,3)，则a →+b →在a →−b →方向上的投影为________． 四、解答题已知全集U =R ，A ={x|x 2−2x −3≤0}，B ={x|x −a >0}． (1)若a =2，求A ∪B ，A ∩(∁U B)；(2)若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围．已知|a →|=1，a →⋅b →=12，(a →−b →)⋅(a →+b →)=12． (1)求向量a →与b →的夹角θ；(2)求|a →+b →|．已知α，β∈(0,π2)，sin (α−π4)=35，tan β=12．(1)求sin α的值；(2)求tan (α+2β)的值．已知函数f(x)=√3sin x cos x +sin (π4+x)sin (π4−x)．(1)求函数f(x)对称轴方程和单调递增区间；(2)对任意x ∈[−π6，π6]，f(x)−m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．如图，已知矩形ABCD ，AB =2，AD =√3，点P 为矩形内一点，且|AP →|=1，设∠BAP =α．(1)当α=π3时，求PC →⋅PD →的值；(2)求(PC →+PD →)⋅AP →的最大值．已知f(x)=ln (e x +1)−ax 是偶函数，g(x)=e x +be −x 是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)判断g(x)的单调性（不要求证明）；(3)若不等式g(f(x))>g(m −x)在[1, +∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年河北石家庄高一上数学期末试卷一、选择题 1.【答案】 B【考点】一元二次不等式的解法 对数函数的定义域 交集及其运算【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ A ={x|y =lg (2−x )}={x|x <2}， B ={x|x 2−3x ≤0}={x|0≤x ≤3}，∴ A ∩B ={x|x <2}∩{x|0≤x ≤3}={x|0≤x <2}． 故选B ． 2. 【答案】 D【考点】两角和与差的正弦公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：sin 18∘cos 12∘+cos 18∘sin 12∘ =sin (18∘+12∘) =sin 30∘=12． 故选D ． 3.【答案】 C【考点】函数零点的判定定理 【解析】确定f(0)=1−3=−2<0，f(12)=√e −1>0，f(14)=√e 4−2=√e 4−√164<0，f(1)=e +4−3=e +1>0，根据零点存在定理，可得结论． 【解答】解：∵ 函数f(x)=e x +4x −3在R 上是增函数， 求解：f(−2)=1e 2−11<0，f(−1)=1e −7<0， f(0)=1−3=−2<0， f(12)=√e −1>0，f(1)=e +4−3=e +1>0， ∴ 根据零点存在定理，可得函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的大致区间是(0, 12).故选C ． 4.【答案】 C【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ a →+b →=(m +1,−2)， 且a →⊥(a →+b →)，∴ a →⋅(a →+b →)=m(m +1)−2=0， 解得m =1或−2． 故选C ． 5. 【答案】 A【考点】指数式、对数式的综合比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：对于log 30.2，由对数函数的图像与性质可知log 30.2<log 31=0， 对于0.23，由指数函数的图像与性质可知0<0.23<1， 对于30.2，由指数函数的图像与性质可知30.2>30=1， 综上可知，log 30.2<0.23<30.2． 故选A ．6.【答案】D【考点】二倍角的余弦公式弦切互化【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ θ∈(0,π2)，sinθ=√55，∴cosθ=2√55.∵ cos2θ=1−2sin2θ=35，tanθ=sinθcosθ=12，所以cos2θtanθ=65.故选D.7.【答案】A【考点】对数函数的单调性与特殊点函数解析式的求解及常用方法函数的求值【解析】先利用函数y=loga(x+3)−1的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数函数f(x)=3x+b式中求出b，最后即可求出相应的函数值f(log94)．【解答】解：∵函数y=loga(x+3)−1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(−2, −1)，将x=−2，y=−1代入y=3x+b得：3−2+b=−1，∴b=−109，∴f(x)=3x−109，则f(log94)=f(log32)=3log32−109=2−109=89.故选A．8.【答案】C【考点】分段函数的应用对数的运算性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数f(x)={(12)x，x≥4f(x+1)，x<4，∴f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)=(12)log23+3=13×18=124．故选C．二、多选题【答案】A,D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：y=2x是奇函数，在定义域内是增函数；y=tan x是奇函数，它在区间(kπ−π2,kπ+π2)(k∈Z)上递增，在定义域内不能说是增函数；y=(13)x是减函数，它不是奇函数也不是偶函数；y=x3是奇函数，在定义域内是增函数．故选AD．【答案】B,D【考点】命题的真假判断与应用数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算平行向量的性质单位向量【解析】此题暂无解析【解答】解：A ，若a →⋅b →=b →⋅c →， 即有b →⋅(a →−c →)=0，则b →=0→或a →−c →=0→，或b →⊥(a →−c →)，故A 错； B ，a →=(1,1)，b →=(2,x )， 若a →+b →与4b →−2a →平行， 即有(3,x +1)//(6,4x −2)， 可得3(4x −2)=6(x +1)， 解得x =2，故B 正确；C ，非零向量a →和b →满足|a →|=|b →|=|a →−b →|， 以a →，b →为边对应的四边形为一个角是60∘的菱形， 则a →与a →+b →的夹角为30∘，故C 错； D ，点A (1,3)，B (4,−1)，AB →=(3,−4)， 可得与向量AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|=(35,−45)，故D 正确．故选BD ． 【答案】 A,B,C【考点】两角和与差的正弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 正弦函数的对称性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由函数的图象可得A =2，14⋅2πω=π3−π12，求得ω=2，由五点法作图可得2×π3+φ=π，求得φ=π3， 所以f (x )=2sin (2x +π3)，当x =−2π3时，f (x )=0，不是最值，故A 不成立；当x =−5π12时，f (x )=−2，不是函数的对称中心，故B 不成立；将函数y =√3sin 2x −cos 2x =2sin (2x −π6)的图象向左平移π2个单位得到函数y =2sin [2(x +π2)−π6]=2sin (2x +5π6)的图象，故C 不成立；当x ∈[−π2,0]时，2x +π3∈[−2π3,π3]，因为sin (−2π3)=−√32，sin (−π2)=−1，故方程f (x )=m 在[−π2,0]上有两个不相等的实数根时，则m 的取值范围是(−2,−√3]，所以D 成立． 故选ABC ． 【答案】A,B,C 【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的判断【解析】利用已知条件推导出f(x)的周期，再利用周期即可得出f(x)与f(x +3)都为奇函数． 【解答】解：∵ f(x +1)与f(x +2)都为奇函数，∴ f(−x +1)=−f(x +1)①，f(−x +2)=−f(x +2)②，∴ 由①可得f[−(x +1)+1]=−f(x +1+1)，即f(−x)=−f(x +2)③， ∴ 由②③得f(−x)=f(−x +2)，所以f(x)的周期为2， ∴ f(x)=f(x +2)，则f(x)为奇函数，∴ f(x +1)=f(x +3)，则f(x +3)为奇函数. 故选ABC . 三、填空题 【答案】6√2【考点】 向量的投影平面向量数量积的运算 【解析】此题暂无解析 【解答】解：∵ 向量a →=(3,4)，b →=(2,3)， ∴ a →+b →=(5,7)，a →−b →=(1,1)，∴ (a →+b →)⋅(a →−b →)=5+7=12，|a →−b →|=√2， ∴ a →+b →在a →−b →方向上的投影为(a →+b →)⋅(a →−b →)|a →−b →|=√2=6√2．故答案为：6√2． 四、解答题【答案】解：(1)A ={x|x 2−2x −3≤0}={x|−1≤x ≤3}，B ={x|x >a }. 当a =2时，B ={x|x >2}，∁U B ={x|x ≤2}， 所以A ∪B ={x|x ≥−1}，所以A ∩(∁U B)={x|−1≤x ≤2}； (2)因为A ∩B =A ，所以A ⊆B ， 所以a <−1．【考点】交、并、补集的混合运算 集合的包含关系判断及应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)A ={x|x 2−2x −3≤0}={x|−1≤x ≤3}，B ={x|x >a }. 当a =2时，B ={x|x >2}，∁U B ={x|x ≤2}， 所以A ∪B ={x|x ≥−1}，所以A ∩(∁U B)={x|−1≤x ≤2}； (2)因为A ∩B =A ，所以A ⊆B ， 所以a <−1． 【答案】解：(1)∵ (a →−b →)⋅(a →+b →)=12， ∴ a →2−b →2=12，即|a →|2−|b →|2=12， ∵ |a →|=1，∴ |b →|2=12， ∴ |b →|=√22， ∴ cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=121×√22=√22， 又θ∈[0,π]， ∴ θ=π4；(2)|a →+b →|2=a →2+2a →⋅b →+b →2=1+2×12+12=52， ∴ |a →+b →|=√52=√102． 【考点】数量积表示两个向量的夹角 向量的模 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ (a →−b →)⋅(a →+b →)=12， ∴ a →2−b →2=12，即|a →|2−|b →|2=12， ∵ |a →|=1，∴ |b →|2=12，∴ |b →|=√22， ∴ cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=121×√22=√22， 又θ∈[0,π]， ∴ θ=π4；(2)|a →+b →|2=a →2+2a →⋅b →+b →2=1+2×12+12=52， ∴ |a →+b →|=√52=√102． 【答案】解：(1)∵ α∈(0,π2)，∴ α−π4∈(−π4,π4)， ∴ cos (α−π4)=√1−sin 2(α−π4)=45， ∴ sin α=sin [(α−π4)+π4]=sin (α−π4)cos π4+cos (α−π4)sin π4=35×√22+45×√22=7√210；(2)∵ α∈(0,π2)，则由(1)可知，cos α=√1−sin 2α=√210，tan α=7，∵ tan β=12，∴ tan 2β=2tan β1−tan 2β=43， ∴ tan (α+2β)=tan α+tan 2β1−tan αtan 2β=7+431−7×43=−1．【考点】二倍角的正切公式 两角和与差的正切公式 两角和与差的正弦公式 同角三角函数基本关系的运用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ α∈(0,π2)，∴ α−π4∈(−π4,π4)，∴ cos (α−π4)=√1−sin 2(α−π4)=45， ∴ sin α=sin [(α−π4)+π4]=sin (α−π4)cos π4+cos (α−π4)sin π4=35×√22+45×√22=7√210；(2)∵ α∈(0,π2)，则由(1)可知， cos α=√1−sin 2α=√210，tan α=7，∵ tan β=12，∴ tan 2β=2tan β1−tan 2β=43， ∴ tan (α+2β)=tan α+tan 2β1−tan αtan 2β=7+431−7×43=−1．【答案】 解：(1)f(x)=√32sin 2x +√22⋅(cos x +sin x)√22⋅(cos x −sin x)=√32sin 2x +12(cos 2x −sin 2x)=√32sin 2x +12cos 2x =sin (2x +π6) 由2x +π6=kπ+π2⇒x =kπ2+π6(k ∈Z )，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z )， 所以对称轴是x =kπ2+π6(k ∈Z )，单调增区间是[kπ−π3，kπ+π6](k ∈Z )．(2)由x ∈[−π6，π6]得2x +π6∈[−π6,π2]，从而sin (2x +π6)∈[−12,1]，f(x)−m ≥0恒成立等价于m ≤f(x)min ， ∴ m ≤−12． 【考点】两角和与差的正弦公式 函数恒成立问题 正弦函数的对称性 正弦函数的单调性 正弦函数的定义域和值域【解析】(I)化简函数，利用正弦函数的性质求函数f(x)对称轴方程和单调递增区间；(II)对任意x ∈[−π6，π6]，f(x)−m ≥0恒成立，f(x)−m ≥0恒成立等价于m ≤f(x)min ，即可求实数m 的取值范围． 【解答】 解：(1)f(x)=√32sin 2x +√22⋅(cos x +sin x)√22⋅(cos x −sin x)=√32sin 2x +12(cos 2x −sin 2x)=√32sin 2x +12cos 2x =sin (2x +π6) 由2x +π6=kπ+π2⇒x =kπ2+π6(k ∈Z )，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z )， 所以对称轴是x =kπ2+π6(k ∈Z )，单调增区间是[kπ−π3，kπ+π6](k ∈Z )．(2)由x ∈[−π6，π6]得2x +π6∈[−π6,π2]， 从而sin (2x +π6)∈[−12,1]，f(x)−m ≥0恒成立等价于m ≤f(x)min ， ∴ m ≤−12．【答案】解：(1)如图，以A 为坐标原点建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C(2,√3)，D(0,√3)， P (cos π3,sin π3)，即(12,√32)， ∴ PC →⋅PD →=(32,√32)⋅(−12,√32)=32×(−12)+(√32)2=0；(2)设P (cos α,sin α)，则PC →=(2−cos α,√3−sin α)，PD →=(−cos α,√3−sin α)，AP →=(cos α,sin α)， 可得PC →+PD →=(2−2cos α,2√3−2sin α)，则(PC →+PD →)⋅AP →=2cos α−2cos 2α+2√3sin α−2sin 2α =4(√32sin α+12cos α)−2=4sin (α+π6)−2，当α+π6=π2时，即α=π3时，(PC →+PD →)⋅AP →取得最大值4−2=2． 【考点】三角函数的最值平面向量数量积的运算 平面向量数量积【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)如图，以A 为坐标原点建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C(2,√3)，D(0,√3)，P (cos π3,sin π3)，即(12,√32)， ∴ PC →⋅PD →=(32,√32)⋅(−12,√32)=32×(−12)+(√32)2=0；(2)设P (cos α,sin α)，则PC →=(2−cos α,√3−sin α)，PD →=(−cos α,√3−sin α)，AP →=(cos α,sin α)，可得PC →+PD →=(2−2cos α,2√3−2sin α)，则(PC →+PD →)⋅AP →=2cos α−2cos 2α+2√3sin α−2sin 2α =4(√32sin α+12cos α)−2=4sin (α+π6)−2， 当α+π6=π2时，即α=π3时，(PC →+PD →)⋅AP →取得最大值4−2=2． 【答案】解：(1)∵ f(x)=ln (e x +1)−ax 是偶函数， ∴ f(−x)=f(x)，即f(−x)−f(x)=0， 则ln (e −x +1)+ax −ln (e x +1)+ax =0， 即ln (e x +1)−x +2ax −ln (e x +1)=0， 则(2a −1)x =0，即2a −1=0，解得a =12．若g(x)=e x +be −x 是奇函数． 则g(0)=0，即1+b =0， 解得b =−1；(2)∵ b =−1，∴ g(x)=e x −e −x ，则g(x)单调递增； (3)由(2)知g(x)单调递增，则不等式g(f(x))>g(m −x)在[1, +∞)上恒成立， 等价为f(x)>m −x 在[1, +∞)上恒成立， 即ln (e x +1)−12x >m −x 在[1, +∞)上恒成立，则m <ln (e x +1)+12x ，设m(x)=ln (e x +1)+12x ， 则m(x)在[1, +∞)上单调递增， ∴ m(x)≥m(1)=ln (1+e)+12，则m <ln (1+e)+12，则实数m 的取值范围是(−∞, ln (1+e)+12)． 【考点】函数恒成立问题 函数奇偶性的性质 函数单调性的判断与证明【解析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求a ，b 的值；（2）根据指数函数的单调性即可判断g(x)的单调性；（3）根据函数的单调性将不等式g （f(x)）>g(m −x)在[1, +∞)上恒成立，进行转化，即可求实数m 的取值范围．【解答】解：(1)∵ f(x)=ln (e x +1)−ax 是偶函数， ∴ f(−x)=f(x)，即f(−x)−f(x)=0， 则ln (e −x +1)+ax −ln (e x +1)+ax =0， 即ln (e x +1)−x +2ax −ln (e x +1)=0， 则(2a −1)x =0，即2a −1=0，解得a =12．若g(x)=e x +be −x 是奇函数． 则g(0)=0，即1+b =0， 解得b =−1；(2)∵ b =−1，∴ g(x)=e x −e −x ，则g(x)单调递增； (3)由(2)知g(x)单调递增，则不等式g(f(x))>g(m −x)在[1, +∞)上恒成立， 等价为f(x)>m −x 在[1, +∞)上恒成立， 即ln (e x +1)−12x >m −x 在[1, +∞)上恒成立， 则m <ln (e x +1)+12x ， 设m(x)=ln (e x +1)+12x ， 则m(x)在[1, +∞)上单调递增， ∴ m(x)≥m(1)=ln (1+e)+12，则m <ln (1+e)+12，则实数m 的取值范围是(−∞, ln (1+e)+12)．。
(9份试卷汇总)2019-2020学年石家庄市数学高一(上)期末学业质量监测模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．如图，已知正三棱柱111ABC A B C －的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）cm ．A ．12B ．13C ．14D ．152．若关于的方程有两个不同解，则实数的取值范围为（ ）A.B. C. D.3．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯。
这首古诗描述的浮屠，现称宝塔。
本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有( ) A.12B.24C.48D.964．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是A ．+12πB ．+32πC ．3+12π D ．3+32π 5．用区间[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.81=，[]1.32-=-，设{}[]x x x =-，若方程{}x kx 10+-=有且只有3个实数根，则正实数k 的取值范围为()A ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,43⎛⎤ ⎥⎝⎦6．设函数()()sin (0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图，则(A ωϕ++=)A ．36π+ B ．33π+ C ．34π+ D ．26π+7．已知函数的定义域为R ，当时，，当时，，当时，，则A ．B ．C ．1D ．28．已知梯形ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，且2AD =，4BC =，2AB =.按照斜二测画法作出它的直观图''''A B C D ，则直观图''''A B C D 面积为( ) A.3B.22C.324D.3229．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x10．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()2xf xg x -=，则有（ ）A ．(2)3)0(()f f g <<B ．(0)3)2(()f g f <<C ．(2)(03)()f g f <<D ．(0)(23)()g f f <<11．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ） A ．B ．C ．D ．12．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（ ） A ．3 B ．6C ．9D ．12二、填空题13．已知函数()(0)af x x a x=+>，若当1x ，[]21,3x ∈时，都有()()122f x f x <，则a 的取值范围为______．14．已知圆柱的底面半径为，高为2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个球的表面积为______．15．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．16．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______. 三、解答题17．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{1，2}，B ＝{}03x x ≤≤，集合C 为不等式组10360x x +≥⎧⎨-≤⎩的解集．(1)写出集合A 的所有子集； (2)求B U ð和B C ⋃．18．已知)22()2sin cos 3cos sin f x x x x x =-．（1）求函数()y f x =的最小正周期和对称轴方程； （2）若50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域． 19．已知函数(1)求的最小正周期和单调递减区间;(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.20．在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆是边长为2的等边三角形，2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点.（1）求证：//OD 平面PAC ； （2）求证:OP ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥D ABC -的体积.21．在一条笔直公路上有A ，B 两地，甲骑自行车从A 地到B 地，乙骑着摩托车从B 地到A 地，到达A 地后立即按原路返回，如图是甲乙两人离A 地的距离与行驶时间之间的函数图象，根据图象解答以下问题：直接写出，与x 之间的函数关系式不必写过程，求出点M 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；若两人之间的距离不超过5km 时，能够用无线对讲机保持联系，求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系； 若甲乙两人离A 地的距离之积为，求出函数的表达式，并求出它的最大值．22．某车间的一台机床生产出一批零件，现从中抽取8件，将其编为1X ，2X ，…，8X ，测量其长度（单位：cm ），得到下表中数据： 编号 1X2X3X4X5X6X7X8X长度1.491.461.511.511.531.511.471.51其中长度在区间1.48,1.52内的零件为一等品.（1）从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （2）从一等品零件中，随机抽取2个. ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件长度相等的概率. 【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A B A A D D D AC二、填空题 13．3,155⎛⎫ ⎪⎝⎭14．15．8 16．255-； 三、解答题17．（1）{}{}{},1,2,1,2∅ ； （2）{}[]B |03,=1,3U x x x B C =⋃-或ð 18．（1）对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，最小正周期T π=；（2）()[1,2]f x ∈- 19．（1）；（2）20．（1）略（2）略（3）16. 21．（1）M （，），甲乙经过h 第一次相遇，此时离A 距离km ；（2）甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）可得f （x ）的最大值为f （2）=1600． 22．（1）58；（2）①略；②35.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，它的体积是（ ）A 3RB 3RC ．324R D ．38R 2．函数sin 2xy =的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( ) A.()0,0B.(),0πC.,02π⎛⎫⎪⎝⎭D.,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．24．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A.2B.92 C.143D.55．已知圆22:1O x y +=，直线:3 4 0l x y m -+=与圆O 交于,A B 两点，若圆O 外一点 C 满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则实数 m 的值可以为（ ） A ．5B ．52-C ．12D ．3-6．设2a 1og 6=，5b log 15=，7c log 21=，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>7．设函数f （x ）=asinx+bcosx ，其中a ，b ∈R ，ab≠0，若f （x ）≥f（π6）对一切x ∈R 恒成立，则下列结论中正确的是（ ） A ．πf 03⎛⎫=⎪⎝⎭B ．点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心 C ．()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数D ．存在直线经过点()a,b 且与函数()f x 的图象有无数多个交点8．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果//αβ，m α⊂，那么//m β；②如果m α⊥，βα⊥，那么//m β； ③如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥； ④如果//m β，m α⊂，n αβ⋂=，那么//m n ．其中错误的命题是( ) A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④9．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．522+C ．32D ．210．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，则不等式()(21)f x f x <-的解集为（ ）A.1(,)(1,)3-∞⋃+∞ B.1(,1)(,)3-∞-⋃-+∞ C.1(,1)3D.1(1,)3--11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，c=2，则C= A.π12B.π6C.π4D.π312．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．23B ．43C ．32D ．3二、填空题13．两圆221x y +=，()()224+25x y a +-=相切，则实数a ＝______. 14．若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________。
河北省石家庄市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
石家庄市第一中学2019～2020学年第一学期期末考试高一年级数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．本试卷满分150分，测试时间120分钟．5．考试范围：必修一：第1章～第3章，必修四：第1章～第3章．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果集合{|42,}S x x n n ==+∈N ，{|42,}T x x k k ==-∈Z ，则（ ）A. S TB. T SC. S T =D. S T ⋂=∅ 2.函数cos(2)6y x π=+的图象的对称轴方程可能是（ ） A. 6x π=- B. 12x π=-C. 6x π=D. 12x π= 3.若点2sin,cos 63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上,则tan α的值为（ ） A. 1B. 1-C. 3D. 3 4.已知向量a r ，b r 满足0a b ⋅=r r ，1a =r ，3b =r ，则a b -=r r （ ）A. 0B. 2C. 22D.10 5.已知函数2(13)2(0)()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩，在(,)-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ()2,3B. [)1,3C. ()1,3D. []1,36.已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ） .A. 24cmB. 26cmC. 28cmD. 210cm7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x ∈时，()22,[0,1)2,[1,2]x x x f x x x ⎧-+∈=⎨-∈⎩，则函数()y f x =在[]2,4上的大致图象是（ ） A. B.C. D.8.设函数()(0)1x f x x x =>+，记1()()f x f x =，()21()()f x f f x =，…，1()[()]n n f x f f x +=，则2019()f x 等于（ ） A. 20191x x + B. 2019x x + C. 201920191x x + D. 20191x x+9.定义新运算2()3a b a a b ⊗=+-，若方程)(cos )2x x ⊗=在(0,)x π∈上的解为1x ，2x ，则()12cos x x -的值为（ ）A. B.3 C. 2 D. 110.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足()f f x <的x 取值范围是（ ）A. (3,)+∞B. (,1)(3,)-∞-+∞UC. 3,1(3,)2⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. ()1,3- 11.将函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图像向右平移16个单位长度后得到函数()y g x =的图像.如图是()y g x =的部分图像，其中,A B 是其与x 轴的两个交点，C 是其上的点，||1OA =，且ABC V 是等腰直角三角形.则ω与ϕ的值分别是（ ）A. 2πω=，512πϕ= B. 2πω=，712πϕ= C. 4πω=，524πϕ= D. 4πω=，724πϕ= 12.在ABC V 中，D 为线段AC 的中点，点E 在边BC 上，且12BE EC =，AE 与BD 交于点O ，则AO =u u u r （ ） A. 1124AB AC +u u u r u u u r B. 1144AB AC +u u u r u u u r C. 1142AB AC +u u u r u u u r D. 1122AB AC +u u u r u u u r 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.集合{}6,,,A x y z =，{}1,,,B xy yz xz =，若A B =⊆N ，则x y z ++=________．14.已知单位向量1e u r ，2e u u r 不共线，当()()1212324e e e e -⊥+u r u u r r r 时，1e u r 与2e u u r 的夹角为________． 15.若21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 16.定义函数{}12()min (),()f x f x f x =，表示函数1()f x 与2()f x 较小的函数．设函数1()2x f x =，2()32x p f x -=⋅，p 为正实数，若关于x 的方程()3f x =恰有三个不同的解，则这三个解的和是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合{}|14A x x =<<，{}281|50B x x x =-+<． （1）求集合B 及A B U ；（2）已知集合{}|1C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．18.已知向量1,2a ⎛= ⎝⎭r ，(sin 2,cos 2)b x x =r，设函数()2f x a b =⋅-r r ，x ∈R ． （1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．19.已知函数1()()221x a f x a =+∈+R ． （1）用定义证明函数()f x 在R 上是减函数；（2）探究是否存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由； （3）若1a =-，解不等式()()21240f t f t ++-≤． 20.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD CD ==，3AB =，（Ⅰ）若AC AB BD λ+=u u u r u u u r u u u r，求实数λ的值； （Ⅱ）若AD BC ⊥，求数量积AC BD ⋅u u u r u u u r 值21.已知函数21()cos cos 2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-值.22.已知函数6()4f x x x =-+． （1）若不等式(ln )ln 0f x a x -≥在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，求a 取值范围； （2）若函数()()22222log 49log 4y f x b x ⎡⎤=++⋅-⎣⎦+恰好有三个零点，求b 的值及该函数的零点．的的。
河北省石家庄市高一数学上学期期末考试.doc
石家庄市1～第一学期期末考试试卷高一数学(A 卷)(时间l ，满分150分)注意事项：1．本试卷分第l 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第l 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． ’3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第1卷(选择题共60分)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 1．已知全集U={}61≤≤∈x Z x ，集合A={}4,3,1，则=A C U A ．{}6 B ． {}4,2 C ． {}6,5,2 D ．{}6,4,3,2,1 2.的值为︒660sin A ．21 B ．21- C ．23 D ．23- 3.若向量a = (2, 3) 与b =（x ，－6）共线，则x 的值为A ．-4B ．21-C ． 3D ．4 4.下列函数中与函数x y =相等的是 A ．2x y = Ｂ．xy 2log 2= Ｃ．x x y 2= Ｄ．2)(x y = ５.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，下面心率关于时间的一个可能图象为６.函数x x x f cos )(⋅=是Ａ．奇函数 Ｂ．偶函数 Ｃ．既是奇函数又是偶函数 Ｄ．既不是奇函数也不是偶函数 ７．已知2.03.03.0,2,2.0ln ===c b a ，则、、、c b a 三个数的大小关系为Ａ．b ＞c ＞a B. b ＞a ＞c C.a ＞b ＞c D.c ＞b ＞a8.函数x x y 2log 83+-=的零点位于区间A.（0，1）B.（1,2）C.（2,3）D.(3,4)9.函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值是 A.2- B.-2 C.-1 D.5-10.已知平面向量a 、b 、c ，下列选项正确的是A.若a ≠0，a ﹒b =0,则b=0 ；B. ( a ﹒b ) ﹒c = a ﹒( b ﹒c ) ;C. 若a ≠0，a ﹒b = a ﹒c ,则b=c ；D. ( a+b ) ﹒c = a ﹒c + b ﹒c ;11.对实数a 和b ，定义运算“⊕”：a ⊕ b =(a+b )÷(a －b ),则（12log 2）)3(log 2⊕=A.15log 2B. 36log 2C.6log 2D.36log 412.二次函数f(x)满足 f(x+2)= f(-x+2)，f(0)=3，f(2)=1，若在[0,m ]上有最大值3，最小值1，则的m 取值范围是A(0,∞+) B[2,∞+) C(0,2] D[2,4]第Ⅱ卷(非选择题共90分)二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共13.已知sin α=53，且是第二象限角，则cos α= . 14.在ABC ∆中，=a,=b,若=,=2则= (用a,b 表示)15.若函数f(x)= ⎩⎨⎧<+≥+)0(,2)0(,1x x x x 则f(f(-2))= .16.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,ϕ<2π)的部分图像如右图所示，则函数f(x)解析式为三、解答题：本大题共6小题。
河北省石家庄市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
河北省石家庄市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（时间120分钟，满分150分）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{2,4,6,8}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B ⋂=（ ）A. {2,4}B. {4,6}C. {6,8}D. {2,8}【答案】A【解析】【分析】由交集运算，即可求得.【详解】由{2,4,6,8}A =，{|25}B x x =≤≤，可得： {}2,4A B ⋂=，故选：A.【点睛】本题考查交集的运算，属基础题.2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ）A. y x =B.2log y x = C. 3x y = D. y = 【答案】D【解析】【分析】先求得lg 10x y =的定义域和值域，再逐项求解.【详解】函数lg 10x y =的定义域为()0,+∞，值域也为()0,+∞；对A ：定义域和值域均为R ，故舍去；对B ：定义域为()0,+∞，值域为R ，故舍去；对C ：定义域为R ，值域为()0,+∞，故舍去；对D ：定义域为()0,+∞，值域为()0,+∞；故选：D.【点睛】本题考查指数函数、对数函数、指数型函数的定义域值域的求解.3.向量1e ，2e ，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a b -（ ）A. 1242e e --B. 1224e e --C. 123e e -D. 123e e -【答案】C【解析】【分析】 由向量的减法法则，可求得a b -的有向线段，再在1e ，2e 的方向上进行分解即可.【详解】根据减法运算法则，求得a b -，如下图：在1e ，2e 的方向上进行分解，容易知：123a b e e -=-故选：C.【点睛】本题考查向量的减法法则，平面向量基本定理，属基础题. 4.3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A. 15B. 725C. 15-D. 725- 【答案】B【解析】【分析】 由4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭凑出角度2α，再利用倍角公式求解即可. 【详解】()sin 2sin 242ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =cos24πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=212cos 4πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=18125-=725故选：B.【点睛】本题考查给值求值，以及倍角公式的应用；问题的关键是凑角和题型的识别.5.已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB 同方向的单位向量为( ) A. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， B. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】A【详解】试题分析：(41,13)(3,4)AB =---=-,所以与AB 同方向的单位向量为134(3,4)(,)555AB e AB ==-=-，故选A. 考点：向量运算及相关概念.【此处有视频，请去附件查看】6.函数()20.5()log 3f x x =-的单调递增区间为（ ）A. (0,)+∞B. (,0)-∞C. )+∞D.(,-∞ 【答案】D【解析】【分析】根据复合函数单调性判定原则(同增异减)，进行求解；同时要注意函数定义域.【详解】由题可知，函数()20.5log 3y x =-的定义域为：230x ->，解得(),x ∈-∞⋃+∞.令23y x =-，显然该函数在(,-∞单调递减；在)+∞单调递增，而0.5log y x =为减函数，故()20.5log 3y x =-单调增区间为：(,-∞. 故选：D.【点睛】本题考查复合函数的单调性，需要特别注意定义域的限制，否则容易出错.7.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥，()2x f x m =+，则(2)f -=（ ）A. -3B. 54-C. 54D. 3【答案】A【解析】根据函数的奇偶性得到00f =（） ，求出m 的值，从而求出2f （） 的值，即可得到2f -（）的值．【详解】因为f(x)为R 上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数求值问题，是一道中档题．8.已知ln x π=，21log 3y =，12z e -=则（ ） A. x y z << B. y z x << C. z y x << D. z x y <<【答案】B【解析】【分析】分别判断,,x y z 与1和0之间的大小关系，即可求得.【详解】1x ln π=>；21log 03y =<；()120,1z e -=∈ 故x z y >>.故选：B.【点睛】本题考查指数式和对数式大小的比较，注意与0和1为基准进行判断.9.定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-，当01x <≤时，()1f x x ，则()f π=（ ）A. 3π-B. 3π-C. 4π-D. 4π- 【答案】A【解析】【分析】由(2)()f x f x +=-可得函数的周期，再利用函数周期性计算函数值.【详解】由(2)()f x f x +=-可得：函数的周期为4；故()()()44f f f πππ=-=--因为(]40,1π-∈，故()4413f πππ-=--=-代入得：()3?f ππ=-.故选：A.【点睛】本题考查利用函数周期性、奇偶性求函数值，属综合基础题.10.在ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB a =，AC b =，且BG a b λμ=+，则λμ+的值为（ ）A. 13-B. 13 C. 23D. 1 【答案】A【解析】【分析】由题可知，G 点为重心，故而利用向量运算法则，可求得结果.【详解】连接BG ，延长交AC 于O ，作图如下：容易知：G 点为重心，故而： 23BG BO =，而()12BO BA BC =+，又：BA a =-，BC b a =-，代入上式得：()21213233BG a b a a b =⨯-+-=-+ 故21,33λμ=-=，则13λμ+=-. 故选：A.【点睛】本题考查向量的基本运算在三角形中的应用，属基础题.11.已知()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A. [2,)-+∞B. (2,)-+∞C. (,4)-∞-D.(,4]-∞- 【答案】D【解析】【分析】用倍角公式将函数经过换元后转化为二次函数的单调性问题，进而求解.【详解】()cos2sin f x x a x =- =22sin 1x asinx --+，令sinx t =，由,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则： ()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数 等价于221y t at =--+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数， 只需对称轴：14a -≥，解得4a ≤-. 故选：D. 【点睛】本题考查倍角公式、换元法、二次函数的单调性问题，属综合基础题.12.定义在R 上的函数2log (2),0()(1)(2),0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩，则函数(10)f =（ ） A. 2B. -2C. -1D. 1【答案】C【解析】【分析】将10x =代入分段函数，找到函数的周期性，多次迭代即可求解.【详解】由题可知：()10,f -=()01,f =()()()1011f f f =--=()()()2100,f f f =-=()()()3211f f f =-=-，()()()4321f f f =-=-，()()()5430f f f =-=如此类推，可知()f x 是以周期为6重复出现，故而()()1041f f ==-，故选：C.【点睛】本题考查分段函数值的求解，涉及到函数的周期性，属综合基础题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量()1,3a =-，(),6b m =，若a //b ，则m =________【答案】-2【解析】【分析】由a //b 的坐标计算，即可求得m .【详解】因为a //b ，故36m -=，解得2m =-故答案为：-2.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属基础题.14.若函数2()2f x x ax =+-在区间[1,2]上有零点，则实数a 的取值范围是________.【答案】[1,1]-【解析】【分析】将函数有零点问题，转化为函数图像有交点的问题，数形结合求解.【详解】函数()22f x x ax =+-在区间[1,2]有根， 等价于2a x x=-+在区间[1,2]有根， 等价于函数y a =与函数2y x x=-+在[1,2]有交点， 故作函数2y x x =-+的图像可得：由图可知：[]1,1a ∈-，故答案为：[-1,1].【点睛】本题考查由函数存在零点求参数的范围；注意本题中的转化以及数形结合.15.函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）的部分图象如图所示，则()0f = .【答案】62【解析】 因为由图象可知振幅A 2，4T ＝712π－3π＝4π， 所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2，将7,212π⎛ ⎝代入，解得一个符合的φ＝3π，从而y 2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭6【此处有视频，请去附件查看】16.已知函数2()ln(1)f x x x =+，()()1g x f x =-，下列命题： ①()f x 的定义域为(,)-∞+∞；②()f x 是奇函数；③()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；④若实数m ，n 满足()(1)0f m f n +-=，则1m n +=；⑤设函数()g x 在[2,2]-上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=- 其中真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）【答案】①②③④【解析】【分析】对函数的性质进行逐一分析即可. 【详解】对函数(21y ln x x =+。
2019-2020学年河北省石家庄市中学高一上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年河北省石家庄市中学高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．设集合102M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，{}|31xN x =≥，则M N =（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,2C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】先解不等式求出集合M ，N ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：由102x <≤得1012x x⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得12x ≥，则1,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭， 由31x ≥得0x ≥，则[)0,N =+∞， ∴MN =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查分式不等式和指数不等式的解法，属于基础题．2．设3log 0.6a =，0.63b =，30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】C【解析】取中间值0和1，利用取中间值法比较大小． 【详解】解：∵33log 0.6log 10a =<=，0.631b =>，300.61c <=<， ∴b c a >>， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查比较指数式、对数式的大小，常用取中间值法，属于基础题． 3．函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为（） A ．(),1-∞- B ．(),0-∞ C ．()0,∞+D ．()1,+∞【答案】A【解析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可． 【详解】解：由210x ->得1x <-，或1x >，则函数的定义域为()(),11,-∞-+∞，又函数21y x =-在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，由复合函数的单调性原则“同增异减”得函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为(),1-∞-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域，属于易错的基础题．4．已知向量()3,1AB =，()6,1CD m =-，若//AB CD ，则实数m 的值为（ ） A ．19 B ．3 C ．-1 D ．-17【答案】B【解析】直接根据向量平行的坐标表示计算即可． 【详解】解：∵//AB CD ，()3,1AB =，()6,1CD m =-， ∴()3160m --=，解得3m =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标运算，属于基础题． 5．设tan160k ︒=，则sin160︒=（ ） AB C D【答案】B【解析】根据同角的平方关系与商关系求解即可． 【详解】解：∵tan160k ︒=，则k 0<，∴sin160cos160k ︒=︒，即sin160cos160k︒︒=， 又22cos 160sin 1601︒+︒=，∴222sin 160sin 1601k ︒+︒=，即222sin 1601k k ︒=+， 又160︒为第二象限角，∴sin160︒=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，属于基础题． 6．已知02πα<<，()ln 1cos s α+=，1ln 1cos t α⎛⎫=⎪-⎝⎭，则lnsin α=（ ） A ．s t - B ．s t +C ．()12s t -D ．()12s t +【答案】C 【解析】由02πα<<得sin 0α>，cos 0α>，由1ln 1cos t α⎛⎫=⎪-⎝⎭得()ln 1cos t α-=-，从而有()()ln 1cos ln 1cos αα++-t s =-，根据对数的运算即可求出答案． 【详解】解：∵02πα<<，∴sin 0α>，cos 0α>，∵1ln 1cos t α⎛⎫= ⎪-⎝⎭， ∴()ln 1cos t α-=-， 又()ln 1cos s α+=，∴()()ln 1cos ln 1cos αα++-t s =-，即()()2ln sin 2ln sin s t αα==-，∴lnsin α=()12s t -， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．7．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（ ）A ．B ．13-C ．13D【答案】C【解析】代入后根据诱导公式即可求出答案． 【详解】 解：由题()2019f ()sin 2019a πα=+()cos 2019b πβ++1sin cos 3a b αβ=--=， ∴1sin cos 3a b αβ+=-， ∴()2020f =()sin 2020a πα+()cos 2020b πβ++1sin cos 3a b αβ=+=-， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题． 8．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到()y g x =图象，则函数()y g x =（ ）A ．关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称【答案】C【解析】先求出函数的解析式，再根据正弦型函数的对称性求解即可． 【详解】解：由题意可得，()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由2,62x k k Z πππ+=+∈得,62k x k Z ππ=+∈，故C 对、D 错；由2,6x k k Z ππ+=∈得,122k x k Z ππ=-+∈，故A 、B 错； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，考查三角函数的对称性，属于基础题． 9．设函数()1,04,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，则满足()()0f x f x -->的x 的取值范围为（ ）A ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,0,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】()()0f x f x -->()()f x f x ⇔>-，再借助函数图象即可求出答案． 【详解】解：()()0f x f x -->()()f x f x ⇔>-，由对称性可知，函数()f x 和()f x -的图象关于y 轴对称， 在同一直角坐标系中画出函数()f x 和()f x -的图象，由图可知，当11,0,22x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()f x 的图象在()f x -的图象的上方，即()()f x f x >-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查根据函数图象的应用，考查数形结合思想，属于基础题．10．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x =+，且当[)2,0x ∈-时，()()22f x x x =-+.若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由题意得当[)0,2x ∈时，()()2f x x x =--()211x =--+，根据题意作出函数()f x 的部分图象，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：当[)2,0x ∈-时，()()22f x x x =-+()2212x =-++，又()()22f x f x =+，∴当[)0,2x ∈时，()()2f x x x =--()211x =--+，∴()f x 在[]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，且()()max 11f x f ==；又()()22f x f x =+，则函数图象每往右平移两个单位，纵坐标变为原来的12倍， 作出其大致图象得，当[)0,2x ∈时，由()()28119f x x =--+=得23x =，或43x =， 由图可知，若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≤，则43m ≥， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题．二、多选题11．已知定义在区间[],ππ-的函数()2cos f x x x =-，则下列条件中能使()()12f x f x <恒成立的有（ ） A ．120x x π-≤<≤ B ．120x x π≤<≤ C ．12x x >D ．2212x x <【答案】AC【解析】分析得出函数的奇偶性与单调性，再结合性质即可求出答案． 【详解】解：∵()2cos f x x x =-，∴()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，∴函数()f x 是偶函数，由单调性的性质易知，函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减，则要使()()12f x f x <恒成立必须有12x x >，故选：AC ． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．12．已知04πθ<<，若sin 2m θ=，cos2n θ=且m n ≠，则下列选项中与tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒相等的有（ ）A ．1nm + B ．1m n + C ．1n m -D ．1mn -【答案】AD【解析】由题意得221+=m n ，tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 1tan θθ-=+，切化弦即可得出结论． 【详解】解：∵sin 2m θ=，cos2n θ=， ∴221+=m n ，∴1m n -1nm=+，∴tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 1tan θθ-=+cos sin cos sin θθθθ-=+()()()()cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθ--=+-1sin 2cos 2θθ-=1m n -=1nm=+， 故选：AD ． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查简单的三角恒等变换，属于中档题．三、填空题13．已知函数()(lg f x x =+为奇函数，则a =__________；【答案】1【解析】根据()()f x f x -=-求解出a 的值. 【详解】因为(()()lg lg lg f x x f x ⎛⎫⎛⎫-=-==-=，=0x ≠，所以1a =.【点睛】已知函数为奇函数，可通过定义法：()()f x f x -=-来求解其中参数的值.这里不能直接使用()00f =，因为定义域未知. 14．已知向量a ，b 夹角为30，且2a=，313a b -=，则b =______；【解析】由313a b -=得226cos 913a a b a b b -+=，，代入数据后即可求得答案． 【详解】 解：∵313a b -=，∴()2313a b-=，即226cos 913a a b a b b -+=，， 又a ，b 夹角为30，且2a =，∴24913b b -+=，即232330b b --=，解得3b =，或3b =-（舍去），【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，属于基础题．15．若()3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上是增函数，则正实数a 的最大值为______；【答案】6π【解析】先求出函数()3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间，再根据题意即可求出答案． 【详解】 解：由22,232k x k k Zπππππ-+≤-≤+∈得，522,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又()3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上是增函数，∴06a π<≤，故答案为：6π．【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性的应用，属于基础题． 16．已知ABC ∆中，3AB AC ==，D 为边BC 上一点，6AB AD ⋅=，152AC AD ⋅=，则AB AC ⋅的值为______. 【答案】92【解析】以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),D x y ，记BAC θ∠=，再根据同角的平方关系以及数量积的坐标运算求解即可． 【详解】解：以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),D x y ，则(),AD x y =， ∵3AB AC ==，记BAC θ∠=， ∴()0,0A ，()3,0B ，()3cos ,3sin C θθ， 则()3,0AB =，()3cos ,3sin AC θθ=，∵6AB AD ⋅=，152AC AD ⋅=， ∴36x =，153cos 3sin 2x y θθ+=，∴2x =，52cos sin 2y θθ+=， 又D 为边BC 上一点，∴//BD BC ，则()3cos 33sin 0y θθ-+=，即()sin 1cos y θθ=-， 又()0,θπ∈， ∴sin 1cos y θθ=-∴2sin 2cos 1cos θθθ+-52cos 1cos 2θθ=++=，解得1cos 2θ=， ∴99cos 2AB AC θ⋅==， 故答案为：92．【点睛】本题主要考查数量积的坐标运算，考查同角的平方关系，考查设而不求思想，属于中档题．四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤. （1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足C A A =，C B B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题{}|15A x x =-≤≤，再根据集合的补集与交集的定义求解即可； （2）由CA A =得C A ⊆，由CB B =得BC ⊆，再根据包含关系求解即可． 【详解】解：（1）由题{}|15A x x =-≤≤，{|2U C B x x =<或}4x >，，(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）由C A A =得C A ⊆，则145a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得514a -≤≤， 由CB B =得BC ⊆，则244a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤， ∴实数a 的取值范围为5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及集合的包含关系，属于基础题．18．已知函数()2cos cos 1x x x f x =+，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域. 【答案】（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 即可得出答案； （2）由02x π≤≤得72666x πππ≤+≤，由此即可求出答案．【详解】解：2cos cos 1y x x x =++13cos 2222x x =++3sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （1）令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 所以函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由02x π≤≤得72666x πππ≤+≤，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 从而函数()y f x =的值域为51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题．19．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，552||=-b a .（1）求cos()αβ-的值； （2）若022ππβα-<<<<，且5sin 13β=-，求sin α的值. 【答案】（1）3cos()5αβ-=（2）3365 【解析】（1）先由条件得2242.5a a b b -⋅+=再利用向量的坐标公式计算代入得解；（2）先计算αβ-和β的三角函数值，再由sin sin[()]ααββ=-+展开结合条件的三角函数可得解. 【详解】 （1）255a b -=，2242.5a ab b ∴-⋅+= 又(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，221a b ∴==，cos cos sin sin cos()a b αβαβαβ⋅=+=-， 3cos().5αβ∴-=（2）022ππβα-<<<<，0.αβπ∴<-< 由（1）得3cos()5αβ-=，4sin()5αβ∴-=，又5sin 13β=-，12cos 13β∴=，sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ∴=-+=-+-=4123533.51351365⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的展开公式，属于基础题，第二问属于典型的给值求值问题，解题的关键是将未知角通过配凑用已知角表示，进而由三角函数的两角和的展开公式求解即可. 20．已知函数()()1log 011af x a x x -=<<+. （1）求函数()y f x =的定义域；（2）若方程()1log af x x =+有两个不等实根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1x x <-或}1x >，；（2）{|03a a <<-【解析】（1）解分式不等式101x x ->+即可得出答案；（2）由题意得()2110ax a x +-+=，()1,x ∈+∞，再根据二次方程的根的分布求解即可． 【详解】解：（1）由题意有101x x ->+，解得1x <-或1x >，所以函数()y f x =的定义域为：{|1x x <-或}1x >； （2）由（1）可知方程()log 1a f x x =+中()1,x ∈+∞， 化简1log log 11aa x x x -=++得()2110ax a x +-+=， 即方程()2110ax a x +-+=在区间()1,+∞上有两个不等实根，需满足()1120110a a a a -⎧>⎪⎪∆>⎨⎪+-+>⎪⎩，解得：03a <<-所以实数a的取值范围{|03a a <<-．【点睛】本题主要考查函数的定义域，考查二次方程根的分布，考查数形结合思想，属于中档题．21．经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度1y 与时间t 满足关系式：()1404y t t =-≤≤，服用药物N 后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度2y 与时间t满足关系式：2123,14t y t t≤<=⎨-≤≤⎪⎩.现假定某患者餐后立刻服用药物N ，且血液中微量元素总浓度y 等于1y 与2y 的和. （1）求4小时内血液中微量元素总浓度y 的最高值； （2）若餐后4小时内血液中微量元素总浓度y 不低于4的累积时长不低于两小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案.请你判断是否需要调整治疗方案. 【答案】（1）174；（2）不需要调整治疗方案【解析】（1）由题意得124,0127,14t t y y y t t t ⎧-≤<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，求出每段的最大值后再比较即可求出答案； （2）分段讨论求出t 的范围即可得出答案． 【详解】解：（1）由题微量元素在血液内的总浓度y 与时间t 的关系为：124,0127,14t t y y y t t t ⎧-+≤<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩， 当01t <<时，2117424y t ⎫=-=-+⎪⎭，当14t =时取最大值174； 当14t ≤≤时，27y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当t =时取得最大值7-因为1774>-174；（2）当01t ≤<时，44t -+≥，解得01t ≤<；当14t ≤≤时，274t t ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭，解得12t ≤≤； 注射药物N 后两小时内血液中微量元素总浓度不低于4，所以不需要调整治疗方案． 【点睛】本题主要考查分段函数的性质及其应用，属于基础题． 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()2log 21x f x x -=-+.（1）求0x >时，()f x 的解析式；（2）设[]1,2x ∈时，函数()()222f x x g x m m =+⋅-，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为5，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()2log 21xf x x =++；（2）存在，7m =-【解析】（1）0x >时，0x -<，()()2log 21xx f x -=--+，再根据()()f x f x =--即可求解；（2）由题意可得()()()22122x x g x m m =++-，令[]22,4xt =∈，令()()212h t t m t m =++-，则函数()h t 在[]2,4上的最小值为5，再分类讨论即可求出答案． 【详解】解：（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =--， 设0x >，则0x -<，()()()2log 21xf x x x f =⎡⎤---+--⎣=⎦()2log 21x x =++， 即0x >时，()()2log 21xf x x =++；（2）由（1）当[]1,2x ∈时，()()2log 21222x x xm g m x ++=+⋅-()()22122x xm m =++-，令[]22,4x t =∈，()()212h t t m t m =++-，函数()g x 在[]1,2x ∈上的最小值5，即为函数()h t 在[]2,4上的最小值， ①当122m +-<即5m ≥-时，函数()h t 在区间[]2,4上是增函数， 所以()()min 265h t h ==≠，所以m ∈∅，②当1242m +≤-≤即95m -≤≤-时，()min 210154m h t m ---==， 化简得210210m m ++=，解得3m =-或7m =-，所以7m =-，③当142m +->即9m <-时，函数()h t 在区间[]2,4上是减函数， 所以()()min 42205h t h m ==+=，解得152m =-，所以m ∈∅；综上：存在7m =-使得函数()g x 的最小值为5． 【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查函数能成立问题，考查分类讨论思想，属于难题．。
河北省石家庄市2019-2020学年高一上学期期末数学试题
石家庄市2019~2020学年度第一学期期末考试高一数学（时间120分钟，满分150分）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{2,4,6,8}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B ⋂=（ ）A. {2,4}B. {4,6}C. {6,8}D. {2,8} 2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A. y x = B.2log y x = C. 3x y = D. y = 3.向量1e u r ，2e u u r ，a r ，b r 在正方形网格中的位置如图所示，则a b -r r （ ）A. 1242e e --u r u u rB. 1224e e --u r u u rC. 123e e -u r u u rD. 123e e -u r u u r 4.3cos 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A. 15 B. 725 C. 15- D. 725-5.已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB u u u r 同方向的单位向量为( ) A. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， B. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 6.函数()20.5()log 3f x x =-的单调递增区间为（ ）A. (0,)+∞B. (,0)-∞C. )+∞D. (,-∞7.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥，()2x f x m =+，则(2)f -=（ ）A. -3B. 54-C. 54D. 3 8.已知ln x π=，21log 3y =，12z e -=则（ ） A. x y z << B. y z x << C. z y x << D. z x y << 9.定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-，当01x <≤时，()1f x x =-，则()f π=（ ）A. 3π-B. 3π-C. 4π-D. 4π-10.在ABC n 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，且BG a b λμ=+u u u r r r ，则λμ+的值为（ ）A. 13- B. 13 C. 23 D. 111.已知()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A [2,)-+∞ B. (2,)-+∞ C. (,4)-∞- D. (,4]-∞-12.定义在R 上函数2log (2),0()(1)(2),0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩，则函数(10)f =（ ） A. 2 B. -2 C. -1 D. 1第Ⅰ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量()1,3a =-r ，(),6b m =r ，若a r //b r ，则m =________.14.若函数2()2f x x ax =+-在区间[1,2]上有零点，则实数a 的取值范围是________.15.函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）部分图象如图所示，则()0f = . 16.已知函数()ln(f x x =+，()()1g x f x =-，下列命题： ①()f x 定义域为(,)-∞+∞；②()f x 是奇函数；③()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；④若实数m ，n 满足()(1)0f m f n +-=，则1m n +=；⑤设函数()g x 在[2,2]-上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=-其中真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≤-．（1）求()U A C B ⋂；（2）若函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合C ，满足A C ⊆，求实数a 的取值范围.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r ，(),n sin cos αα=r ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若m n ⊥r r ，求tan α的值； 的的（2）若m r 与n r 夹角为3π，求α的值. 19.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，2()log f x x =.（1）求当0x <时函数()f x 的解析式；（2）解不等式()212f x ->. 20.已知函数()sin 22f x x x =-.（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g()x 的图象.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求g()x 的值域. 21.已知函数22()cos sin cos ()f x x x x x x R =-+∈.（1）求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的单调递减区间.22.已知函数21()log x f x x a+=-（a 为常数）是奇函数. （1）求a 的值与函数()f x 的定义域；（2）当(1,)x ∈+∞时，2()log (1)f x x m +->恒成立，求实数m 的取值范围.。
石家庄市2019-2020学年第一学期期末高一数学试卷含答案
石家庄市2019～2020学年度第一学期期末考试高一数学参考答案一、选择题1-5 A D C B B 6-10 D C B A A 11-12 D C二、填空题13、－2 14、[－1,1] 15、6216、①②③④ 三、解答题17．（本小题满分10分）解：(1)由题知，B ＝{x |x ≤2}，∴ ∁U B ＝{x |x ＞2} ……………………………………3分 ∵ A ＝{x |－1≤x ＜3}∴ A ∩(∁U B ) ＝{x |2＜x ＜3} ……………………………………6分(2) 函数f (x )＝lg(2x ＋a )的定义域为集合C ＝{x |x ＞－a 2}，…………… 7分 ∵ A ⊆C ，∴－a 2＜－1， ……………………………………… 10分 ∴．a ＞2故实数a 的取值范围为(2，＋∞ ) ……………………………10分18．（本小题满分12分）解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0． 由向量数量积的坐标公式得22sin α－22cos α＝0， ∴tan α＝1． ……………………………………5分(2)∵m 与n 的夹角为π3， ∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3， 即22sin α－22cos α＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝12． 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α－π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴α－π4＝π6，即α＝5π12． ……………………………………12分 19．（本小题满分10分）解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 2(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x ) ＝f (x )．所以当x ＜0时函数f (x )的解析式为f (x )＝log 2 (－x )． ……………………………………6分(2)因为f (4)＝log 24＝2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以|x 2－1|＞4，解得x ＜－5，x ＞ 5即不等式的解集为{x |x ＜－5，x ＞5} ………………………………12分20．（本小题满分12分）解：(1)f (x )＝2(12sin 2x －32cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 因此f (x )的最小正周期为π．由2x －π3＝π2＋k π，得 对称轴方程为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ……………………………………6分 (2)由条件可知g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3． 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 从而sin ⎝⎛⎭⎫x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤12，1， 故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上的值域是[1，2]． ……………………………12分 21．（本小题满分12分）解：(1)由题意，f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝2sin 3π2＝－2. ……………………………6分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由正弦函数的性质令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．……………………12分 22. （本小题满分12分）解：(1)∵函数f (x )＝log 2x ＋1x －a是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴log 2－x ＋1 －x －a ＝－log 2x ＋1x －a，…………………2分 即log 2x －1x ＋a ＝log 2 x －a x ＋1， ∴a ＝1，f (x )＝log 2x ＋1x －1.…………………3分 令x ＋1x －1＞0， 解得x ＜－1或x ＞1.∴函数f (x )的定义域为{x |x ＜－1，或x ＞1}．………………6分(2)∵f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )，……………8分当x ＞1时，x ＋1＞2，∴log 2(1＋x ) ＞log 22＝1. ……………10分 ∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)＞m 恒成立， ∴m ≤1.∴m 的取值范围是(－∞，1]．……………12分。
2019-2020学年河北省石家庄一中高一(上)期末-解析
−x2 + 2x, x [0,1)
2 − x, x 1, 2
，则函
数 y = f (x) 在[2, 4] 上的大致图像是（ ）
y
2 1
x O 12 3 4
A.
y
y
2 1
x O 12 3 4
B.
y
1 x
O 12 3 4
1 x
O 12 3 4
C.
D.
【解析】因为 f (x + 2) = 2 f (x) ，所以有 f (3) = 2 f (1) = 2 ,故可以排除 C, D ;
33
sin(2 x1
−
3
)
=
3 3
，即：
cos(2
x1
−
3
)
=
6 3
，
sin(2
x2
−
3
)
=
3 3
cos(2
x2
−
3
)
=
6 3
3
cos(x1 − x2 ) =
1+ cos[2(x1 − x2 )] = 2
1+
cos[(2x1
−
3
)
−
(2 x2
−
3
)]
=
3 ，故选：B．
2
3
10.已知偶函数 f (x) 在区间0, +) 上单调递增，则满足 f ( 2x + 3) f (x) 的 x 的取值范围是（ ）
【解析】 A = B N x, y, z 中有一个为 1，且 xy, yz, xz 中有一个为 6
又因为集合中元素的互异性 所以 x, y, z 只能是 1.2,3 中的数，因此之和为 6 故答案为：6．
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2019-2020学年河北省石家庄一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）如果集合{|42S x x n ==+，}n N ∈，{|42T x x k ==-，}k Z ∈，则( ) A ．S T Ü
B ．T S Ü
C ．S T =
D ．S T =∅I
2．（5分）函数cos(2)6y x π
=+的图象的对称轴方程可能是( )
A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
3．（5分）若点2(sin ,cos
)6
3
π
π
在角α的终边上，则tan α的值为( ) A ．1
B ．1-
C ．3
D ．3-
4．（5分）已知向量a r
，b r 满足0a b =r r g ，||1a =r ，||3b =r ，则||(a b -=r r ) A ．0
B ．2
C ．22
D ．10
5．（5分）已知函数2
(13)2(0)()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+⎩
…，在(,)-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(2,3)
B ．[1，3)
C ．(1,3)
D ．[1，3]
6．（5分）已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为( ) A ．24cm
B ．26cm
C ．28cm
D ．210cm
7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0x ∈，2]时，22,[0,1)
()2,[1,2]x x x f x x x ⎧-+∈=⎨-∈⎩
，则函数()y f x =在[2，4]上的大致图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（5分）设函数()(0)1
x
f x x x =>+，
记1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，⋯，1()[()]n n f x f f x +=，则2019()f x 等于( ) A ．
20191
x
x +
B ．
2019
x
x +
C ．
201920191
x
x +
D ．
20191
x x
+ 9．（5分）定义新运算2()3a b a a b =+-⊗，若方程(3sin )(cos )2x x =⊗在(0,)x π∈上的解为1x ，2x ，则12cos()x x -的值为( ) A ．3
B ．
3
C ．2
D ．1
10．（5分）已知偶函数()f x 在[0，)+∞是单调递增函数，则满足(23)()f x f x +<的x 的取值范围是( ) A ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞
B ．(3,)+∞
C ．3
[,1)(3,)2--+∞U
D ．3[,3)2
-
11．（5分）将函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象向右平移1
6
个单位长度后得到函
数()y g x =的图象．如图是()y g x =的部分图象，其中A ，B 是其与x 轴的两个交点，C 是其上的点，||1OA =，且ABC ∆是等腰直角三角形．则ω与ϕ的值分别是( )
A ．5,2
12
π
π
ωϕ=
=
B ．7,2
12
π
πωϕ=
=
C ．5,4
24
π
πωϕ=
=
D ．7,4
24
π
πωϕ=
=
12．（5分）已知在ABC ∆中，D 为线段AC 的中点，点E 在边BC 上，且1
2
BE EC =，AE 与BD 交于O ，则(AO =u u u r
)
A ．
1124
AB AC +u u u
r u u u r B ．
1144
AB AC +u u u
r u u u r C ．
1142
AB AC +u u u
r u u u r D ．
1122
AB AC +u u u
r u u u r 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）集合{6A =，x ，y ，}z ，{1B =，xy ，yz ，}xz ，若A B N =⊆，则x y z ++= ． 14．（5分）已知单位向量1e u r ，2e u u r 不共线，当1212(32)(4)e e e e -⊥+u r u u r u r u u r 时，1e u r 与2e u u r
的夹角为 ．
15．（5分）若21cos()34πα-
=，则sin(2)6
π
α+= ． 16．（5分）定义函数1(){()f x min f x =，2()}f x ，表示函数1()f x 与2()f x 较小的函数．设函数||1()2x f x =，||2()32x p f x -=g ，p 为正实数，若关于x 的方程()3f x =恰有三个不同的解，则这三个解的和是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合{|14}A x x =<<，2{|8150}B x x x =-+<． （1）求集合B 及A B U ；
（2）已知集合{|1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．
18．（12分）已知向量13(,)2a =-r ，(sin 2,cos 2)b x x =r ，设函数3()f x a b =-
r
r g ，x R ∈． （1）求()f x 的最小正周期和最大值；
（2）讨论()f x 在区间2[,]33
ππ
上的单调性．
19．（12分）已知函数1
()()221
x a f x a R =
+∈+． （1）用定义证明函数()f x 在R 上是减函数；
（2）探究是否存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若1a =-，解不等式2(1)(24)0f t f t ++-…．
20．（12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD CD ==，3AB =， （Ⅰ）若AC AB BD λ+=u u u r u u u r u u u r
，求实数λ的值； （Ⅱ）若AD BC ⊥，求数量积AC BD u u u r u u u r
g 的值
21．（12分）已知函数21
()3sin cos (0)2f x x x cos x ωωωω-+>，1x ，2x 是函数()f x 的零
点，且21||x x -的最小值为2
π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设α，(0,)2πβ∈，若13()235f πα+=，155
()21213
f πβ-=-，求cos()αβ-的值．
22．（12分）已知函数6
()4f x x x
=-
+． （1）若不等式()0f lnx alnx -…在2
1
[,1)e 上恒成立，求a 的取值范围； （2）若函数22222
[log (4)]9log (4)y f x b x =++-+g 恰好有三个零点，求b 的值及该函数的零
点．。